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Analyse ­ Chapitre 13 ­ Exercice 1

Chapitre 13. Equations différentielles linéaires.
 Enoncés.

Exercice 1. 10 équations différentielles linéaires
du 1er ordre.
Déterminer la solution générale des équations différentielles suivantes, en
choisisssant pour chacune d'elles un intervalle adapté au calcul :
1) x y ' + 2 y = x ² – 3

2) (1 + x ²) y ' + x y = 2 x ² + 1

3) y ' + y tan x = 

4) x y ' – x y = e x

5) x y ' – 2 y = ln x

6) y ' + 

 y = 

 

7) x (x ² + 1) y ' – (x ² – 1) y = – 2 x 8) x (x – 1) y ' – 2 y = x – 1
9) x y ' – (x + 1) y = – (x ² + 1) e x

10) y ' + 

 = 1

Solution.
1°/ Première équation.
L'équation différentielle est une équation différentielle linéaire du premier ordre, avec second
membre.
Sa solution générale s'obtient en ajoutant, à la solution générale de l'équation sans second membre
(SG ESSM), une solution particulière de l'équation avec second membre (SP EASM).

a) SG ESSM.
L'équation sans second membre est x y ' + 2 y = 0.
Les solutions non nulles vérifient   = –  ,   = – 2 

.

Intégrons les deux membres de cette équation à variables séparées : ln | y | = – 2 ln | x | + constante,
soit y =  , où k est une constante réelle arbitraire.
y = 

, x  0.

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b) SP EASM.
L'équation avec second membre est x y ' + 2 y = x ² – 3.
Le second membre est un polynôme du deuxième degré. Cherchons une solution particulière
polynôme du deuxième degré : y = a x ² + b x + c.
y ' = 2 a x + b,
x y ' + 2 y = x (2 a x + b) + 2 (a x ² + b x + c) = 4 a x ² + 3 b x + 2 c.
Par identification :
4 a x ² + 3 b x + 2 c = x ² – 3.
4 a = 1, 3 b = 0, 2 c = – 3,
a =  , b = 0, c = –  .
y = 

 –  .

c) SG EASM.
La solution générale de l'équation avec second membre s'obtient par addition de la solution générale
de l'équation sans second membre et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.
y = 

 + 

 –  , k  r, x  0.

2°/ Deuxième équation.
a) SG ESSM.
(1 + x ²) y ' + x y = 0
 = – 



 = – 

 dx,

ln | y | = –   ln (1 + x ²) + constante,

y = 

, k  r.

b) SP EASM.
(1 + x ²) y ' + x y = 2 x ² + 1
Le second membre est un polynôme du deuxième degré.
S'il y a une solution y polynôme, x y et x ² y ' sont des polynômes de même degré.
Pour que (1 + x ²) y ' + x y soit un polynôme du deuxième degré lorsque y est un polynôme, cherchons
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une solution particulière polynôme du premier degré :
 
y = a x + b.
y ' = a,
(1 + x ²) y ' + x y = a (1 + x ²) + x (a x + b) = 2 a x ² + b x + a.
Par identification :
2 a x ² + 3 b x + a = 2 x ² + 1.
2 a = 2, b = 0, a = 1,
y = x.

c) SG EASM.
La solution générale de l'équation avec second membre s'obtient par addition de la solution générale
de l'équation sans second membre et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.
y = 

 + x, k  r.

3°/ Troisième équation.
a) SG ESSM.
y ' + y tan x = 0
 = – tan x, 

 = – 

 dx,

ln | y | = ln | cos x | + constante,
y = k cos x, k  r.

b) SP EASM.
y ' + y tan x = 
y ' cos x + y sin x = 1
Cette équation possède la solution particulière évidente y = sin x, puisque la dérivée de sin x est cos x
et cos ² x + sin ² x = 1.
y = sin x.
Mais ce qui paraît évident à certains ne l'est pas pour d'autres !
Nous allons donc utiliser la méthode générale de variation de la constante, de Lagrange, pour
trouver une solution particulière.
Cette méthode consiste à rechercher une solution particulière de la forme y = k cos x, dans laquelle k
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n'est plus une constante comme dans la solution générale de l'équation sans second membre, mais une
fonction de x.
En dérivant, on obtient :
y ' = k ' (x) cos x – k (x) sin x.
L'équation y ' cos x + y sin x = 1 devient alors :
k ' (x) cos ² x – k (x) sin x cos x + k (x) sin x cos x = 1,
k ' (x) = 
 = (tan (x))'
Comme on ne cherche qu'une solution particulière, on peut prendre k (x) = tan x, donc y = k (x) cos x
= sin x.

c) SG EASM.
La solution générale de l'équation avec second membre s'obtient par addition de la solution générale
de l'équation sans second membre et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.
y = k cos x + sin x, k  r.

4°/ Quatrième équation.
a) SG ESSM.
y ' – y = 0
 = 1, 

 = dx,

ln | y | = x + constante,
y = k e x, k  r.

b) SP EASM.
Suivant la méthode de variation de la constante, cherchons une solution particulière de la forme y = k
(x) e x.
y ' = k ' (x) e x + k (x) e x
y ' – y = k ' (x) e x + k (x) e x – k (x) e x = k ' (x) e x.
L'équation avec second membre y ' – y = 

 se réduit à k ' (x) =  .

On peut prendre pour solution particulière k (x) = ln | x |, donc y = e x ln | x |.
y = e x ln | x |, x  0.

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c) SG EASM.
La solution générale de l'équation avec second membre s'obtient par addition de la solution générale
de l'équation sans second membre et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.
y = (k + ln | x |) e x, k  r, x  0.

5°/ Cinquième équation.
a) SG ESSM.
x y ' – 2 y = 0.
 =  , 

 = 2 

,

ln | y | = 2 ln | x | + constante,
y = k x ², k  r.

b) SP EASM.
x y ' – 2 y = ln x.
La fonction logarithme est définie pour un argument positif : x > 0.
Le deuxième membre est ln x, dont la dérivée est  .
On peut chercher une solution particulière de la forme y = a ln x + b, où a et b sont des constantes.
y ' =  ,
x y ' – 2 y = a – 2 a ln x – 2 b.
Par identification :
– 2 a ln x + (a – 2 b) = ln x
a = –  , b =   = –  , y = –   (1 + 2 ln x).

y = –   (1 + 2 ln x), x > 0.

Méthode de Lagrange.
Suivant la méthode de variation de la constante, cherchons une solution particulière de la forme y = k
(x) x ².
y ' = k ' (x) x ² + 2 k (x) x,
x y ' – 2 y = x (k ' (x) x ² + 2 k (x) x) – 2 k (x) x ² = k ' (x) x ³.
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L'équation avec second membre x y ' – 2 y = ln x se réduit à k ' (x) = 

, k (x) = 

Pour trouver une solution, on intègre par parties en posant u = ln x, du = 
 dx =  u dv = u v –  v du = – 

 +   

 = – 

, dv = 
 – 

 dx.
, v = – 

.

 + constante.

Comme on ne cherche qu'une solution particulière, on peut prendre pour constante 0 et k (x) = – 
(1 + 2 ln x), y = –   (1 + 2 ln x).

c) SG EASM.
La solution générale de l'équation avec second membre s'obtient par addition de la solution générale
de l'équation sans second membre et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.
y = k x ² –   (1 + 2 ln x), k  r, x > 0.

6°/ Sixième équation.
a) SG ESSM.
y ' + 

 y = 0.
 = – 



 = – 6 

,

ln | y | = – 6 ln | x + 2 | + constante,
y = 

, k  r, x  – 2.

b) SP EASM.
y ' + 

 y = 

.

Suivant la méthode de variation de la constante, cherchons une solution particulière de la forme y = 
.

y ' = 

 – 6 

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y ' + 

 y = 

 = 

 

k ' (x) = (x + 2) 4
k (x) =   (x + 2) 5 
y =   

, x  – 2.

c) SG EASM.
La solution générale de l'équation avec second membre s'obtient par addition de la solution générale
de l'équation sans second membre et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.
y = 

 +   

, k  r, x  – 2.

7°/ Septième équation.
a) SG ESSM.
x (x ² + 1) y ' – (x ² – 1) y = 0.
 = 
Décomposons la fraction rationnelle du deuxième membre en éléments simples :
 =   + 
En multipliant par x et en faisant x = 0, on trouve : a = – 1.
 +   = 
 = –   + 
 = – 

 + 

 dx

ln | y | = – ln | x | + ln (x ² + 1) + constante.
y = k 

, k  r, x  0.

b) SP EASM.
x (x ² + 1) y ' – (x ² – 1) y = – 2 x.
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Analyse ­ Chapitre 13 ­ Exercice 1

Cette équation différentielle admet la solution particulière évidente y = – x.
En effet, avec y = – x, y ' = – 1, et x (x ² + 1) y ' – (x ² – 1) y = – x (x ² + 1) + x (x ² – 1) = – 2 x.
y = – x.

c) SG EASM.
La solution générale de l'équation avec second membre s'obtient par addition de la solution générale
de l'équation sans second membre et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.
y = k 

 – x, k  r, x  0.

8°/ Huitième équation.
a) SG ESSM.
x (x – 1) y ' – 2 y = 0.
 = 

 = –   + 

 = – 2 

 + 2 

ln | y | = – 2 ln | x | + 2 ln | x – 1 | + constante.
y = k 

, k  r, x  0, x  1.

b) SP EASM.
x (x – 1) y ' – 2 y = x – 1.
Suivant la méthode de variation de la constante, cherchons une solution particulière de la forme y = k
(x) 

.

y ' – 

 y = k ' (x) 

L'équation avec second membre y ' – 
 + 

 y =   devient k ' (x) 

 =   ; k ' (x) = 

 = 

.

On peut prendre pour solution : k (x) = ln | x – 1 | – 

.

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Analyse ­ Chapitre 13 ­ Exercice 1

y = 

ln | x – 1 | – 

, x  0, x  1.

c) SG EASM.
La solution générale de l'équation avec second membre s'obtient par addition de la solution générale
de l'équation sans second membre et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.
y = 

k + ln | x – 1 | – 

, k  r, x  0, x  1.

9°/ Neuvième équation.
a) SG ESSM.
x y ' – (x + 1) y = 0.
 = 1 + 
 = dx + 
ln | y | = x + ln | x | + constante.
y = k x e x, k  r,

b) SP EASM.
x y ' – (x + 1) y = – (x ² + 1) e x.
Suivant la méthode de variation de la constante, cherchons une solution particulière de la forme y = k
(x) x e x.
y ' –  1 + 

 y = k ' (x) x e x = –  x + 

k ' (x) = – 1 – 

 e x.

.

k (x) = – x + 
x k (x) = 1 – x ².
y = (1 – x ²) e x.

c) SG EASM.
La solution générale de l'équation avec second membre s'obtient par addition de la solution générale
de l'équation sans second membre et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.
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Analyse ­ Chapitre 13 ­ Exercice 1

y = (1 + k x – x ²) e x, k  r.

10°/ Dixième équation.
a) SG ESSM.
y ' + 

 = 0.
 = – 
 = – 
ln | y | = – arg sinh x + constante = – ln (x + 
y = 

) + constante
, k  r.

b) SP EASM.
y ' + 

 = 1.

Suivant la méthode de variation de la constante, cherchons une solution particulière de la forme y = 
.
y ' + 

 = 

k ' (x) = x + 
k (x) =   +  (x 

 = 1.

 + ln (x + 

)) =  (x + 

y =    x + 

) +   ln (x + 

).

.

c) SG EASM.
La solution générale de l'équation avec second membre s'obtient par addition de la solution générale
de l'équation sans second membre et d'une solution particulière de l'équation avec second membre. En
changeant le nom de la constante d'intégration :
y =    x + 

, k  r.

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