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2e semestre 2015-2016

Université de Caen
UFR Sciences

Mathématiques

L1 MASS/Info

Exercices
Table des matières
I Algèbre

2

1

Espaces vectoriels

2

1.1 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . .
1.2 Bases, dimension . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sommes et intersections de sous-espaces

2
4
6

Applications linéaires

7

II Analyse
1

2

2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Injectivité, surjectivité . . . . . . . . . . 8
2.3 Sommes directes et projections . . . . . 10
3

Matrices

3.1
3.2
3.3
3.4

Calcul matriciel . . . . . . . . . .
Déterminants . . . . . . . . . . .
Applications linéaires et Matrices
Changement de base . . . . . . .

2

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12
14
15
17

Nombres réels et suites

21

1.1 L'ordre de R . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Suites numériques . . . . . . . . . . . . 22
Fonctions continues

2.1
2.2
2.3
2.4

Limites . . . . . . . . .
Développements limités
Calculs de limites . . . .
Continuité . . . . . . . .

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III Annales
1

24

24
24
25
26
2

3

12

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.

21

4

Dérivation

28

Intégration

31

3.1 Recherche de dérivées . . . . . . . . . . 28
3.2 Accroissements nis et formule de Taylor 29
3.3 Études de fonctions . . . . . . . . . . . . 30
4.1 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . 31
4.2 Intégrales, primitives, équations di érentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Propriétés des intégrales . . . . . . . . . 33

Annales 2013/2014

1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7

Devoir1 . . . . .
Devoir2 . . . . .
Devoir3 . . . . .
Devoir4 . . . . .
Devoir5 . . . . .
Examen session1
Examen session2

Annales 2014/2015

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

Devoir1 . . . . .
Devoir2 . . . . .
Devoir3 . . . . .
Devoir4 . . . . .
Examen session1
Examen session2

38
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38

38
38
39
39
40
40
41

42

42
43
43
44
45
46

Première partie

L1 = {(x, y) ∈ R2 | xy = 1},
L2 = {(x, y) ∈ R2 | x + 3y = 2},
L3 = {(x, y) ∈ R2 | 3x + 2y = 0}.
Ces ensembles sont-ils des sous-espaces vectoriels de R2 ?

Algèbre
1

Espaces vectoriels

Déterminer ceux des sous-ensembles suivants qui sont des sous-espaces
vectoriels de E :
E1 = {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ∈ E = R5 | x1 − x2 + x3 + x4 + x5 = 0},
E2 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ E = R3 | x21 + x22 = x23 },
E3 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ E = R4 | x1 − x2 + x3 + x4 = 1}.
Exercice 6.

1.1 Sous-espaces vectoriels
Représenter les sous-ensembles suivants de R2 et dire si ce sont des
sous-espaces vectoriels :
E = {(2, 1)}
F = {(1, 2t) | t ∈ R}
G = {(2t, −t) | t ∈ R}
H = {(t, t) | t > 0}
I = {(t2 , t) | t ∈ R}
J = {(s, s + t) | s, t ∈ R}

Exercice 1.

Exercice 7.

F = {(x, y, z) ∈ R3 = E | x + y − z = 0} et
G = {(a − b, a + b, a − 3b) | a, b ∈ R}.

a. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R3 .
b. Déterminer F ∩ G.

Les sous-ensembles suivants de R3 sont-ils des sous-espaces vectoriels ?
E = {(2t, 0, t) | t ∈ R},
F = {(0, 2t, s) | s, t ∈ R},
G = {(t + s, 2t − 3s, s) | s, t ∈ R},
H = {(2t2 , 0, t) | t ∈ R},
I = {(t, st, s) | s, t ∈ R},
J = {(s + t2 , −s, t2 ) | s, t ∈ R}.

Exercice 2.








Dans R2 on considère les sous-ensembles :
L1 = {(x, y) ∈ R2 | x ≤ y},
L2 = {(x, y) ∈ R2 | xy = 0},
L3 = {(x, y) ∈ R2 | x = y},
L4 = {(x, y) ∈ R2 | |x| = |y|},
L5 = {(x, y) ∈ R2 | x2 = y 2 },
L6 = {(x, y) ∈ R2 | x = 2y}.
Ces ensembles sont-ils des sous-espaces vectoriels de R2 ?
Exercice 8.

Les sous-ensembles suivants de R3 sont-ils des sous-espaces vectoriels ?
E = {(x, y, z) ∈ R3 | x + 3z = 0, 2y − z = 0, x − 2y + 3z = 0},
F = {(x, y, z) ∈ R3 | 2y = x, x2 + z = 0}.
G = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 = y 2 , x + y + z = 0, z = 0}.

Exercice 3.

Soit n ∈ N. Montrer que l'ensemble des matrices triangulaires supérieures de taille n est un sous-espace vectoriel de Mn (R).

Exercice 9.

À l'aide de la méthode du pivôt de Gauss, mettre les sous-espaces
vectoriels suivants sous forme paramétrée :
E = {(x, y, z) ∈ R3 | x − 2y + z = 0 et x + y − 2z = 0 et 5x − 4y − z = 0},
I = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + y − z = 0 et − 4x − y + z = 0},
J = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x − 4y + 2z = 0 et 3x − 6y + 3z = 0},
K = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x + y − 2z − t = 0 et x + y − z + t = 0 et − 4x −
y + 4z + 5t = 0},
L = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x + y + 3z − 2t = 0 et x + 3y + 4z − 3t = 0 et 2x +
4y + 8z − 3t = 0},
M = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x−y −3z +2t = 0 et 2x+y −3z +t = 0 et y +z −t =
0}.

Exercice 4.

Exercice 5.

On considère les sous-ensembles

Soit E l'ensemble des applications de R dans R . Parmi les sousensembles suivants, lesquels sont des sous-espaces vectoriels de E ?
F1 : ensemble des applications impaires,
F2 : ensemble des applications qui s'annulent en 0,
F3 : ensemble des applications qui s'annulent en un point,
F4 : ensemble des applications telles que f (1) = 0,
F5 : ensemble des applications positives,
F6 : ensemble des applications telles que f (0) = 1,
F7 : ensemble des applications continues.

F8 : ensemble des applications telles que f (1) = 2f ( 2)
Exercice 10.

Dans R2 on considère les sous-ensembles :
2

Soit E = R[X] l'espace vectoriel sur R des polynômes à coe cients
réels. Déterminer celles des parties suivantes qui sont des sous-espaces vectoriels de
R[X] :
E1 = {P ∈ R[X] | deg P = n} (n étant un entier naturel xé),
E2 = {P ∈ R[X] | deg P ≤ n} (n étant un entier naturel xé),
E3 = {P ∈ R[X] | P (1) = P 0 (1) = 0}.

b. (i) Cet ensemble S est-il un sous-espace vectoriel de R5 ?
(ii) Montrer que le vecteur v0 = (0, 0, 0, 0, 1) est une solution du système.
(iii) Montrer que l'on peut écrire S = v0 + E = {v0 + v | v ∈ E}, où E est un
sous-espace vectoriel de R5 .
(iv) Montrer que E est l'ensemble des combinaisons linéaires d'une famille nie
de vecteurs de E .

Exercice 11.

On considère E = {(x, y) ∈ R2 | x = y} et F = {(x, y) ∈ R2 | x = 0}.
Montrer que E et F sont des sous-espaces vectoriels mais que le sous-ensemble E ∪F ,
que l'on représentera dans le plan, n'est pas un sous-espace vectoriel.

Exercice 12.

Exercice 13.

Annales
Exercice 17.

On considère les sous-ensembles suivants de R4 :

On pose E = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0}. Montrer que E est un sous-espace
vectoriel de R3 .
On pose V = {(t2 , −t2 , 0) | t ∈ R}. Le sous-ensemble V est-il un sous-espace vectoriel
de E ?

F = {(r + 2t, r + s + t, r + 2s, t − s) | r, s, t ∈ R},
G = {(x, y, z, t) | x + y − 2z − t = 0}.

a. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R4 .
b. Déterminer F ∩ G.
Exercice 14.

(Partiel no 1, 2012)
a. Soit E un espace vectoriel sur R. Soit F un sous-ensemble de E .
Quand peut-on dire que F est un sous-espace vectoriel de E ?
b. Pour chacun des ensembles suivants, dire s'il s'agit ou non d'un espace vectoriel
(avec démonstration) :
E1 = {(x, y) ∈ R2 | x et y sont des réels tels que y ≤ 0},
E2 = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x − y − z = 2},
E3 = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + y − z = 0},
E4 = {(2a − b, a + 3b) | a, b réels},
E5 = {f fonction de R dans R telle que f (1) = f (−1) = 0}.
c. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E .
On considère l'ensemble H dé ni par H = F ∩ G = {u ∈ E | u ∈ F et u ∈ G}.
Montrer que H est non vide.
Montrer que H est un sous-espace vectoriel de E .

Exercice 18.

On considère les sous-ensembles suivants de R4 :
F = {(a, b, c, d) ∈ R4 | b − 2c + d = 0},
G = {(a, b, c, d) ∈ R4 | a = d et b = 2c}.

a. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R4 .
b. Déterminer F ∩ G.
Soit E un espace vectoriel, U et V des sous-espaces vectoriels de E
a. Soit W = {(x, y) ∈ E × E | x ∈ U, y ∈ V }. Montrer que W est un sous-espace
vectoriel de E × E .
b. Soit S = {x + y | x ∈ U, y ∈ V }. Montrer que S est un sous-espace vectoriel de
E × E.
c. Soit D = {(x, x) ∈ E × E | x ∈ E}. Montrer que D est un sous-espace vectoriel
de E × E .

Exercice 15.

Exercice 16.

dans R5 :

(Partiel no 2, 2012) Soient E un espace vectoriel et U et V deux
sous-espaces vectoriels de E . On pose H = U + V = {u + v | u ∈ U, v ∈ V }.
a. Montrer que U ∪ V ⊂ U + V .
b. Montrer que U + V est un sous-espace vectoriel de E .
c. Soit F un sous-espace vectoriel de E tel que U ∪ V ⊂ F .
Montrer que U + V ⊂ F .
Exercice 19.

On considère le système formé des 3 équations suivantes, à résoudre

 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + x5
x1 − 2x2 + x3 + 2x4 − x5

2x1 − x2 + x3 + x4 + x5

(Partiel no 1, 2011)

= 1
= −1
= 1.

(Partiel no 1, 2013)
Soit E un R-espace vectoriel et H un sous-ensemble de E .
Exercice 20.

a. Déterminer l'ensemble S des solutions de ce système.
3

Quelles conditions doit véri er H pour que H soit un sous-espace vectoriel de E ?
Soient F , G les sous-ensembles de R3 dé nis par :

b. u = (1, 2, −1), v = (1, 0, 1), w = (−1, 2, −3) ,
c. u = (1, 2, 1, 0), v = (−1, 1, 1, 1), w = (2, −1, 0, 1), t = (2, 2, 2, 2).
d. On considère les 3 polynômes Pi donnés par :
P1 (X) = 1, P2 (X) = 2X + 3X 2 , P3 (X) = 3X − X 2 + X 3 .
e. On considère les 3 fonctions dé nies sur R par :
f1 (x) = e−x , f2 (x) = 1, f3 (x) = ex .
f. On considère les 3 polynômes Qi donnés par :
Q1 (X) = X − 1, Q2 (X) = X 2 − X + 1, Q3 (X) = 2X 2 .

F = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0},
G = {(x, y, z) ∈ R3 | x − y − z = 0}.

a.
b.
c.
d.

Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R3 .
Montrer que F ∩ G = {(0, a, −a) | a ∈ R}.
F ∪ G est-il un sous-espace vectoriel de R3 ?
Soit H un sous-espace vectoriel de R3 tel que F ∪ G ⊂ H .
(i) Montrer que u = (1, 1, −2), v = (0, 1, −1) et w = (1, 0, 1) sont dans H .
(ii) Soit λ, µ, ν des réels. Montrer que λu + µv + νw est un élément de H .
(iii) On xe x, y , z ∈ R. Déterminer les réels λ, µ, ν tels que

g. A1 =



1
1

1
0

h. B1 =



1
1

−1
0



, A2 =




, B2 =

0
1


1
0
1
0



, A3 =

0
1





, B3 =

1
1


0
1
2
1



, A4 =

−1
1





1
1

1
1



,

.

Dans R3 on considère les vecteurs u = (1, −1, 4), v = (1, 2, 3) et
w = (1, −1, 2). Montrer que (u, v, w) est une famille génératrice de R3 .
Et si on considère u0 = (1, 0, −1), v 0 = (0, 1, 1) et w0 = (1, −1, −2).

Exercice 24.

(x, y, z) = λu + µv + νw.

(iv) En déduire que H = R3 .

Les vecteurs suivants de R3 sont-ils linéairement indépendants ?
a. u = (2, 1, 1), v = (1, 3, 1), w = (−2, 1, 3) ,
b. u = (1, 0, 3), v = (0, 1, 2), w = (2, −3, 0) ,
c. u = (2, 1, 1), v = (1, 2, 1), w = (1, 1, 2).

Exercice 25.

1.2 Bases, dimension
Exercice 21.

dans
a.
b.
c.

E?

Les vecteurs u suivants sont-ils combinaisons linéaires des vecteurs vi

E = R2 , u = (1, 2), v1 = (1, −2), v2 = (2, 3) ,

Soit E = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0}. Montrer que E est un
sous-espace vectoriel de R3 . Donner une base de E et sa dimension.

Exercice 26.

E = R , u = (2, 5, 3), v1 = (1, 3, 2), v2 = (1, −1, 4) ,
3

E = R3 , u = (3, 1, m), v1 = (1, 3, 2), v2 = (1, −1, 4)
(on discutera selon les valeurs de m).

Exercice 27.

a. Dans R3 , soient u = (−1, 1, 1), v = (1, −1, 1).
Montrer que la famille (u, v) est libre et la compléter en une base de R3 .
b. Dans R4 , soient u = (1, 1, 1, 1), v = (−1, 1, 1, 1).
Montrer que la famille (u, v) est libre et la compléter en une base de R4 .

Les familles suivantes de vecteurs de R3 sont-elles libres ?
Si ce n'est pas le cas, former une relation linéaire liant ces vecteurs :
a. x1 = (1, 0, 1) et x2 = (1, 2, 2) ,
b. x1 = (1, 0, 0) et x2 = (1, 1, 0) et x3 = (1, 1, 1) ,
c. x1 = (1, 2, 1) et x2 = (2, 1, −1) et x3 = (1, −1, −2) ,
d. x1 = (1, −1, 1) et x2 = (2, −1, 3) et x3 = (−1, 1, −1).

Exercice 22.

Exercice 23.

Pour chacun des ensembles suivants, véri er qu'il s'agit d'espaces
vectoriels et en donner une base :
Exercice 28.

A1 = {(x, y, z) ∈ R3 | x + 2y + 2z = 0},
A2 = {(x, y, z) ∈ R3 | y + z = 0 et x = 0},

Dans chacun des cas suivants, les familles données sont-elles des fa-

milles libres ?
a. u = (1, 2, 3), v = (1, −4, 6) ,

A3 = {(a + b, b − a, a + b), a, b ∈ R},
A4 = {(a, 2a, a), a ∈ R}.

4

Donner la dimension de chacun de ces espaces vectoriels.
Exercice 29.


M1 =

1
0

Déterminer une base des sous-espaces vectoriels suivant de R4 .
a. E1 = Vect(u1 , u2 , u3 , u4 ) avec u1 = (1, 2, −3, 4), u2 = (2, 4, −5, 9),
u3 = (−2, −1, 3, 1), u4 = (3, 0, −1, −4).
b. E2 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 = 2x2 − x3 , x4 = x1 + x2 + x3 }.

Exercice 34.

On considère les matrices :
0
0




, M2 =

0
1

1
0




, M3 =

0
0

0
1




, M4 =

0
0

−1
0


.

Annales

La famille (M1 , M2 , M3 , M4 ) est-elle une base de M2 (R) ?
Exercice 30.


(Partiel, 2002)
On note e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)
les 3 vecteurs de la base canonique (e1 , e2 , e3 ) de R3 . On pose v1 = 2e1 + e2 + e3 ,
v2 = e1 + 2e2 + e3 et v3 = e1 + e2 + e3 .
a. Écrire v1 ,v2 et v3 sous forme de triplets de coordonnées.
b. Montrer que la famille (v1 , v2 , v3 ) constitue une base de R3 .
c. Déterminer les coordonnées dans la base (v1 , v2 , v3 ) du vecteur w = 2e1 + e3 .
Exercice 35.

On considère
les ensembles suivants :


a b
a, b, c, d ∈ R | ad − bc = 0}
c d
a b
E2 = {M =
a, b, c, d ∈ R | a + d = 0}
c d
a 0
E3 = {M =
a ∈ R}
0 a
0 b
E4 = {M =
b, c, d ∈ R}
c d
E1 = {M =

(Partiel no 4, 2010)
a. Qu'appelle-t-on rang d'une famille de vecteurs ?
b. Soit (u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ) la famille de vecteurs de R5 dé nie par :

Exercice 36.

Parmi ces ensembles, lesquels sont des espaces vectoriels ? On en donnera une base.
Que peut-on dire de E3 + E4 ?
Exercice 31.

u1 = (1, 0, 2, 1, 2), u2 = (1, 2, −1, −1, 0), u3 = (2, 1, 0, 0, 1),

On considère les familles de vecteurs B1 , B2 suivantes dans R3 :

u4 = (0, 1, 1, 0, 1), u5 = (3, 4, 0, −1, 2).

B1 = ((1, 1, 1), (1, −1, 1), (1, 1, −1)),

Quel est le rang de la famille (u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ) ?
Soit F = Vect(u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ). Donner une base de F .

B2 = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)).

a. Montrer que B1 et B2 sont des bases de R3 .
b. Soit X le vecteur de coordonnées (x, y, z) dans la base B =
((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) de R3 . Donner les coordonnées de X dans la base
B1 en fonction de x, y , z .
c. Donner les coordonnées de X dans la base B2 en fonction de x, y , z .

(Partiel no 4, 2011)
a. Qu'appelle-t-on rang d'une famille de vecteurs ?
b. Soit (u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ) la famille de vecteurs de R5 dé nie par :

Exercice 37.

u1 = (1, 0, 0, 1, 2), u2 = (1, 0, 1, 1, 0), u3 = (2, −1, 0, 4, 3),

Montrer que les vecteurs u1 = (0, 1, 1), u2 = (1, 0, 1) et u3 = (1, 1, 0)
forment une base de R3 .
Trouver les coordonnées dans cette base du vecteur u = (1, 1, 1).

u4 = (0, −1, −1, 2, 1), u5 = (2, 1, 2, 0, 1).

Exercice 32.

Quel est le rang de la famille (u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ) ?
Soit F = Vect(u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ). Donner une base de F .

Exercice 33.

a. Montrer que les vecteurs u1 = (−1, 2, 3), u2 = (1, −2, 3) et u3 = (1, 2, −3)
forment une base de R3 . Décomposer dans cette base le vecteur u = (1, 1, 1).
b. Montrer que les vecteurs v1 = (0, 1, 1, 1), v2 = (1, 0, 1, 1) et v3 = (1, 1, 0, 1)
et v4 = (1, 1, 1, 0) forment une base de R4 . Décomposer dans cette base les
vecteurs u = (1, 1, 1, 1) et v = (1, 0, 0, 0).
5

1.3 Sommes et intersections de sous-espaces
Exercice 38.

a. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R4 .
b. Montrer que les vecteurs suivants forment une famille génératrice de F :

Soient F et G les sous-espaces vectoriels de R4 dé nis par :
F = {(a, b, c, d) ∈ R4 | b − 2c + d = 0},

u = (1, 1, 1, 0),

G = {(a, b, c, d) ∈ R | a = d et b = 2c}.
4

Dans R3 , soient u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0), v1 = (0, 1, 1) et v2 =
(1, 0, 1). On pose F = Vect(u1 , u2 ) et G = Vect(v1 , v2 ). Déterminer F ∩ G.
Exercice 39.

(Examen, Session 2, 2012)
On considère le sous-ensemble suivant de R4 :

On considère dans R4 les vecteurs suivants :

Exercice 43.

v1 = (1, 3, −2, 2), v2 = (2, 7, −5, 6), v3 = (1, 2, −1, 0),

F = {(x, y, z, t) | x + y − z − t = 0 et 2x + y − z = 0}.

w1 = (1, 3, 0, 2), w2 = (2, 7, −3, 6), w3 = (1, 1, 6, −2).

Soit F le sous-espace vectoriel de R4 engendré par (v1 , v2 , v3 ) et G celui engendré
par (w1 , w2 , w3 ).
a. Montrer que v3 est une combinaison linéaire de v1 et v2 .
En déduire une base de F .
b. Montrer que w3 est une combinaison linéaire de w1 et w2 .
En déduire une base de G.
c. Montrer que la famille (v1 , v2 , w1 , w2 ) est liée. En déduire une base de F + G.
d. Soit E = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R3 | 4x1 − 2x2 + x4 = 0}. Donner une base de E .
e. Montrer que F + G = E . Quelle est la dimension de F ∩ G ?
Exercice 41.

w = (2, 1, 0, 1).

Déterminer la dimension de F et une base de F .
c. Déterminer la dimension de G et une base de G.
d. Rappeler la formule permettant de calculer dim F ∩ G en fonction des dimensions de F , G et F + G. Sans déterminer F + G ni F ∩ G, en déduire que
dim F ∩ G ≥ 1.

Donner une base de F , de G et de F ∩ G.
En déduire que F + G = R4 .

Exercice 40.

v = (0, 1, 2, −1),

a. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R4 .
b. Déterminer une base de F .
c. On considère les vecteurs suivants de R4 :
u = (1, 1, 1, 0),

v = (1, 2, 1, 1),

w = (1, 0, 1, −1).

Déterminer le rang de la famille (u, v, w).
d. On note G le sous-espace engendré par la famille (u, v, w).
On admet que F et G engendrent R4 .
(i) Rappeler la formule permettant de calculer la dimension de F ∩ G en fonction des dimensions de F , G et F + G.
(ii) Montrer que F et G sont des sous-espaces supplémentaires de R4 .

On considère les sous-ensembles suivants de R4 : F = {(r + 2t, r + s +

t, r + 2s, t − s) | r, s, t ∈ R}
G = {(x, y, z, t) | x + y − 2z − t = 0}.
a. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R4 .
b. Donner une base de F et une base de G.
c. Que peut on dire de dim(F ∩ G) ?
d. Déterminer (F ∩ G).

(Examen, Session 1, 2013)
On considère les sous-ensembles suivants de l'espace vectoriel réel E = R4 :
Exercice 44.

F = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − 2y + z + t = 0},
G = {(x − y, x + y, x − 2y, x + 2y) avec (x, y) ∈ R2 }.

Annales

a.
b.
c.
d.

Exercice 42. (Examen, Session 1, 2012)
On considère les sous-ensembles suivants de R4 :

F = {(r + 2t, r + s + t, r + 2s, t − s) | r, s, t ∈ R},
G = {(x, y, z, t) | x + y − 2z − t = 0}.

6

Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E .
Déterminer une base BF de F et en déduire la dimension de F .
Déterminer une base BG de G et en déduire la dimension de G.
Rappeler la formule permettant de calculer dim(F ∩ G) en fonction des dimensions de F , G et F + G. Sans déterminer F + G ni F ∩ G, en déduire que
dim(F ∩ G) ≥ 1.

2

Exercice 45. (Examen, Session 2, 2013) On considère les sous-ensembles suivants
de l'espace vectoriel réel E = R4 :

Applications linéaires

2.1 Généralités

F = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − 2y + z + t = 0 et x − z + 3t = 0},

Parmi les applications suivantes, déterminez celles qui sont des applications linéaires :
f : R3 → R dé nie par f (x, y, z) = x + y + 2z ,
f : R2 → R dé nie par f (x, y) = x + y + 1,
f : R2 → R dé nie par f (x, y) = xy ,
f : R3 → R dé nie par f (x, y, z) = x − 2z ,
f : R2 → R2 dé nie par f (x, y) = (x + y, x − y),
f : R2 → R2 dé nie par f (x, y) = (x2 , y 2 ),
Exercice 48.

G = {(2x + y + 2z, y, x − z, −x − z) avec (x, y, z) ∈ R3 }.

a. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E .
On admettra que c'est aussi le cas de G.
b. Déterminer une base BF de F et en déduire la dimension de F .
c. Déterminer une base BG de G et en déduire la dimension de G.
d. Rappeler la formule permettant de calculer dim(F ∩ G) en fonction des dimensions de F , G et F + G. Sans déterminer F + G ni F ∩ G, en déduire que
dim(F ∩ G) ≥ 1.
e. Montrer que F ⊂ G. En déduire dim(F ∩ G).

Exercice 49.

Soit f l'application dé nie de R4 dans R2 par

f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 + x2 − x3 − x4 , x1 + x2 − x3 + 2x4 ).

a. Montrer que f est une application linéaire.
b. Déterminer le noyau de f . Est-ce que f est injective ?
c. Est-ce que f est surjective ?

(Partiel no 4, 2012)
On note (e1 , e2 , e3 , e4 ) la base canonique de E = R4 , et on considère les vecteurs
suivants de E :
Exercice 46.

u1 = (1, −1, 0, 0), u2 = (2, 2, 0, −1), v1 = (−2, 0, 1, 1), v2 = (0, 2, 1, 0).

Exercice 50.

On pose F = Vect(u1 , u2 ), G = Vect(v1 , v2 ) et H = {x, y, z, t) ∈ R4 | z = t = 0}.
a. Montrer que les familles (u1 , u2 ) et (v1 , v2 ) sont libres.
b. Déterminer le rang de la famille (u1 , u2 , v1 , v2 ).
c. A l'aide des questions précédentes, déterminer dim F , dim G et dim(F + G).
La somme F + G est-elle directe ? Calculer dim(F ∩ G).
d. Montrer que u2 appartient à G, et en déduire une base de F ∩ G.
e. Véri er que G et H sont en somme directe. En déduire que (v1 , v2 , e1 , e2 ) est
une base de R4 , et donner un supplémentaire de G.

On considère l'application f de R3 dans R3 dé nie par
f (x, y, z) = (x + y − z, x − y + z, −x + y + z).

a. Montrer que f est une application linéaire.
b. Montrer que f est injective.
c. Montrer que f est bijective et calculer f −1 (a, b, c).
Calculer f −1 (f (x, y, z)) et f (f −1 (a, b, c)).
Exercice 51. On considère l'espace vectoriel E = {P ∈ R[X] | deg P ≤ 4} et
on considère l'application f dé nie de E dans R[X] par f (P ) = Q avec Q(X) =
XP 0 (X) − P (X).
a. Montrer que f est une application linéaire.
b. Montrer que f (E) ⊂ E .
c. L'application f est-elle injective ?
d. L'application f considérée comme application de E dans E est-elle surjective ?

On considère les sous-ensembles suivants de R4 :
F = {(x, y, z, t) ∈ R4 , tel que x + z = y + t}
Exercice 47.

G = {(x, y, z, t) | x + y + z − t = 0, x − y + z + t = 0}.

a. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R4 .
b. Donner une base de F et une base de G.
c. Montrer que F ⊕ G = R4

Exercice 52.

Soit f l'application de R3 dans R3 dé nie par
f (x, y, z) = (x + 2z, x + y + z, −x − 2z).

7

a. Montrer que f est une application linéaire.
b. Déterminer Ker f . L'application f est-elle surjective ?
c. Montrer qu'il existe u ∈ R3 tel que Ker f = {au | a ∈ R}.






Soit E l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coe cients dans R.
On considère l'ensemble

Exercice 53.

(
F =

a
c

b
d



est dé nie de R3 dans R par f (x, y, z) = x − y + 2z .
est dé nie de R2 dans R par f (x, y) = xy .
est dé nie de R2 dans R par f (x, y) = x − y − 1.
est dé nie de R[X] dans R[X] par f (P ) = P 0 où P 0 désigne le polynôme
dérivé du polynôme P ..

f1
f2
f3
f4

(Partiel no 2, 2011)
Soit E un espace vectoriel sur R. Soit F un sous-ensemble de E .
a. Quand peut-on dire que F est un sous-espace vectoriel ?
b. Soit f une application linéaire de E dans E . On pose F = {u ∈ E | f (u) = 2u}.
Montrer que F est un sous-espace vectoriel.
Exercice 58.


)


∈E a+d=0 .


a. Montrer que F est un espace vectoriel de E en utilisant la dé nition.

b. On considère l'application Tr : E → R qui à la matrice A = ac db associe
Tr(A) = a + d. Montrer que Tr est une application linéaire.
c. En déduire une autre démonstration du fait que F est un espace vectoriel.

(Partiel no 2, 2011) Soit E l'ensemble des matrices carrées d'ordre
2 à coe cients dans R . On dé nit une application f comme suit :
Exercice 59.



Soit E , F et G trois espaces vectoriels, f une application linéaire de
E dans G et g une application linéaire de F dans G. On dé nit une application h de
E × F dans G par h(x, y) = f (x) + g(y). Montrer que h est une application linéaire.

f : E → R,

Exercice 54.

a.
b.
c.
d.

Exercice 55. Soit E l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal
à 3. On dé nit la fonction f de E dans R en posant f (P ) = a − d, où P (X) =
aX 3 + bX 2 + cX + d.
a. Montrer que f est une application linéaire de E dans R.
b. Déterminer Ker f .
c. L'application f est-elle injective, surjective, bijective ?

a
c

b
d


7→ a − d.

Montrer que f est linéaire.
Dé nir Ker f .
Déterminer Ker f .
L'application f est-elle injective, surjective ?
(Les réponses doivent être justi ées).

Exercice 60.

(Partiel no 2, 2012)

Soit f l'application dé nie de R4 dans R4 par

f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 − x2 , x2 − x3 , x3 − x4 , x4 − x1 ).

Soit n un entier strictement positif. On note E = R[X]n le sous-espace
vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. On considère l'application f
de E dans E dé nie par f (P ) = Q, où Q(X) = 21 (P (X) + P (−X)).
a. Montrer que f est une application linéaire et que f ◦ f = f .
b. Déterminer Ker f et Im f .
Exercice 56.

a.
b.
c.
d.

Annales
(Partiel no 2, 2011)
a. Soit E un espace vectoriel sur R.
Donner la dé nition d'une application linéaire de E dans E .
b. Les applications suivantes sont-elles linéaires ?
Les réponses devront être justi ées.

Montrer que f est une application linéaire.
Déterminer Ker f .
L'application f est-elle une injection ?
Le vecteur (1, 0, 0, 0) a-t-il un antécédent par f ? L'application f est-elle une
surjection ?

2.2 Injectivité, surjectivité

Exercice 57.

Exercice 61.

Soit f une application linéaire de R5 dans R3 dé nie par

f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (x1 + x2 + x3 , x1 − x4 + x5 , x2 + x3 + x4 − x5 ).

8

a. Déterminer une base de Ker f et la compléter en une base de R5 .
b. Déterminer une base de Im f et la compléter en une base de R3 .

d. L'application f est-elle surjective ? Déterminer Im f (on donnera une base de
Im f et sa dimension).
e. Peut-on conclure sans calculs si f est injective ou non ?
Que vaut dim(Ker f ) ?
Véri er que si P3 (X) = X 3 alors f (P ) = 0. Que peut-on en déduire ?
f. Montrer que R3 [X] = Ker f ⊕ Im f .
Montrer que la restriction de f à R2 [X] est une bijection.

Soit (e1 , e2 , e3 , e4 ) la base canonique de R4 . On pose u1 = (1, 0, 1, 0),
u2 = (−1, 1, 0, 1), u3 = (0, −1, 1, 0), u4 = (−1, 1, 1, 1). On dé nit l'application linéaire f en posant f (e1 ) = u1 , f (e2 ) = u2 , f (e3 ) = u3 , f (e4 ) = u4 .
a. Soit u = (x, y, z, t) ∈ R4 , déterminer f (u).
b. Montrer que f est une bijection de R4 dans lui-même. On expliquera la méthode
choisie et on citera les propriétés utilisées.
Exercice 62.

(Partiel 2009) Soit (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 . On pose
u1 = (0, −1, 1) , u2 = (−1, 0, 2) , u3 = (1, −1, 0). On dé nit l'application linéaire f
en posant f (e1 ) = u1 , f (e2 ) = u2 , f (e3 ) = u3 .
a. Soit u = (x, y, z) ∈ R3 , déterminer f (u).
b. Montrer que f est un isomorphisme (c'est à dire une application linéaire bijective) de R3 dans lui-même. On expliquera la méthode choisie et on citera les
propriétés utilisées.

Exercice 65.

On travaille dans R3 [X], espace vectoriel des polynômes réels de degré
inférieur ou égal à 3.
a. Donner une base et la dimension de R3 [X].
b. On dé nit les polynômes P1 , P2 , P3 , P4 en posant P1 (X) = 1, P2 (X) = 2X
, P3 (X) = −2 + 4X 2 , P4 (X) = −12X + 8X 3 . Montrer que la famille
(P1 , P2 , P3 , P4 ) est une base de R3 [X].
c. Quelles sont les coordonnées du polynôme X 2 + 2X − 1 dans la base
(P1 , P2 , P3 , P4 ) ?
d. On dé nit une application f : R3 [X] → R3 [X] en posant f (P ) = Q où Q est
le polynôme dé ni par Q(X) = XP 0 (X) − P (X).
(i) Montrer que f est une application linéaire.
(ii) Soit P ∈ R3 [X] tel que P (X) = aX 3 + bX 2 + cX + d.
Calculer f (P ). En déduire f (P2 ).
(iii) L'application f est-elle injective ? Déterminer Ker f (on donnera une base
de Ker f et sa dimension).
(iv) Peut-on conclure sans calculs si f est surjective ou non ?
Que vaut dim(Im f ) ? Donner une base de Im f .
Exercice 63.

(Partiel no 4, 2011) On travaille dans R4 .
a. Donner (sans démonstration) la base canonique et la dimension de R4 .
On appellera B = (e1 , e2 , e3 , e4 ) cette base canonique.
b. On dé nit les vecteurs u1 , u2 , u3 , u4 en posant

Exercice 66.

u1 = (−2, −1, 1, 0), u2 = (−1, −1, 0, 1),
u3 = (0, 1, 0, −2), u4 = (1, 0, −1, −1).

Montrer que la famille (u1 , u2 , u3 , u4 ) est une base de R4 .
c. Quelles sont les coordonnées du vecteur u = (0, −2, −1, −2) dans la base
(u1 , u2 , u3 , u4 ) ?
d. On dé nit l'application linéaire f de R4 dans R4 en posant

Annales

f (x, y, z, t) = (x − y + z, y + z + t, 0, x + y + 3z + 2t).

(i) Calculer f (u1 ) et f (u2 ).
(ii) L'application f est-elle injective ? Déterminer Ker f : on donnera une base
de Ker f et sa dimension.
Déterminer un supplémentaire de Ker f dans R4 .
(iii) Calculer f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ), f (e4 ).
Soit F = Vect(f (e1 ), f (e2 )).
(iv) Montrer que f (e3 ) ∈ F et f (e4 ) ∈ F .
(v) Soit v ∈ R4 , montrer que f (v) ∈ F . En déduire que Im f = F .

(Partiel 2009) On travaille dans R3 [X], espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3.
a. Donner une base et la dimension de R3 [X].
b. On dé nit f de R3 [X] dans R3 [X] en posant f (P ) = 3P − XP 0 , où P 0 désigne
le polynôme dérivé de P. Montrer que f est linéaire.
c. Soit P ∈ R3 [X] tel que P (X) = aX 3 + bX 2 + cX + d.
Calculer f (P ).
Exercice 64.

9

(Partiel no 3, 2012)
On dé nit l'application f de R2 dans R2 par f (x, y) = (3x − 2y, 4x − 3y).
On dé nit les deux vecteurs suivants de R2 : v1 = (1, 1) et v2 = (−1, −2).
a. Donner la dé nition d'un endomorphisme de R2 .
b. Montrer que f est un endomorphisme de R2 .
c. Calculer le noyau de f .
d. Montrer que (v1 , v2 ) est une base de R2 .
e. Calculer f (v1 ) ainsi que f (v2 ) en fonction de v1 et v2 .
f. En déduire que pour tout v ∈ R2 , on a f ◦ f (v) = v puis que f est bijective
(on donnera l'inverse de f ).

c. Que peut -on dire de la projection sur G parallèlement à F ?
d. Déterminer g projection sur F parallèlement à G.

Exercice 67.

On considère les sous-ensembles F et G de l'espace vectoriel réel
E = R4 : F = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x−y+z −t = 0} et G = V ect(w) où w = (0, 0, 0, 1).
Exercice 71.

a. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E dont on donnera une base et
la dimension.
b. Montrer que E = F ⊕ G
c. On considère la projection p sur G parallèlement à F . Si u ∈ E , déterminer
p(u).
d. On considère la projection q sur F parallèlement à G. Si u ∈ E , déterminer
q(u).

(Partiel no 2, 2013)
Soit f : R → R4 l'application dé nie par

Exercice 68.

4

On note (e1 , e2 ) la base canonique de R2 et u = (1, −1). On pose
F = Vect u et G = Vect e1 .
a. Montrer que R2 = F ⊕ G.
b. Représenter sur une gure les sous-espaces F et G, les vecteurs suivants, ainsi
que leurs projetés sur F parallèlement à G : v1 = (1, 1), v2 = (1, −1), v3 =
(0, −2), e1 , e2 .
c. On note p : R2 → R2 la projection sur F parallèlement à G. Calculer p(x, y)
pour tout (x, y) ∈ R2 .

Exercice 72.

f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (−x2 + x3 , −x1 − x3 , −x1 + x2 − 2x3 , 3x1 − 3x2 + 6x3 + 2x4 ).

a. Rappeler la dé nition des applications linéaires.
Montrer que f est une application linéaire.
b. (i) Rappeler la dé nition du noyau d'une application linéaire. Déterminer
Ker f . On montrera qu'il existe un vecteur u ∈ R4 à déterminer tel que
Ker f = {λu | λ ∈ R}.
(ii) L'application f est-elle injective ?
c. On considère le sous-ensemble F ⊂ R4 des vecteurs v = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4
tels que f (v) + v = 0.
(i) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R4 .
(ii) Déterminer F .
On donnera deux vecteurs v , w ∈ R4 tels que F = {λv + µw | λ, µ ∈ R}.
d. L'application f est-elle surjective ?

Exercice 73. On pose u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 0, 1) et u3 = (0, 1, 2) et F = vect(u1 )
et G = vect(u2 , u3 ).
Déterminer les projections sur F parallèlement à G et sur G parallèlement à F .

Dans R2 on considère les droites D : x − y = 0 et E : x + y = 0.
On note p la projection sur D parallèlement à E .
a. Monter que R2 = D ⊕ E . Ainsi p est bien dé nie.
b. Déterminer les images par p des vecteurs e1 , e2 de la base canonique de R2 .
On pourra faire une gure.
c. Calculer p(x, y) pour tout (x, y) ∈ R2 . Véri er que p ◦ p = p.
Exercice 74.

2.3 Sommes directes et projections
Dans R5 on considère les vecteurs u1 = (1, 0, 2, 0, 0), u2 = (1, 0, 3, 0, 0),
v1 = (0, 1, 0, −1, 0), v2 = (0, 2, 0, 2, 0), et v3 = (0, 1, 0, 0, 1). Montrer que R5 =
Vect(u1 , u2 ) ⊕ Vect(v1 , v2 , v3 ).
Exercice 69.

On considère l'application linéaire p : R2 → R2 donnée par l'expression
p(x, y) = (x − 2y, 0). Montrer que p est une projection. Déterminer les sous-espaces
F , G tels que p soit la projection sur F parallèlement à G.

Exercice 75.

On pose f (x, y, z) = ( 21 (x − 2y + z), 12 (z − x), 21 (−x − 2y + 3z)).
a. Montrer que f ◦ f = f .
b. Déterminer F = ker f et G = Im f .

Exercice 70.

Exercice 76.

R donnée par
2

On xe un réel a 6= −1 et on considère l'application linéaire p : R2 →
p(x, y) =

10

1
a+1 (ax

+ y, ax + y).

Véri er que p est une projection. Déterminer en fonction de a les sous-espaces F , G
tels que p soit la projection sur F parallèlement à G.

a. Calculer (f ◦ f )(1, 0, 0) en fonction de a et b.
En déduire que si f est une projection, alors a = b.
b. Pour quelles valeurs de a et b l'endomorphisme f est-il une projection non
nulle ?

On note (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et on considère les sousespaces suivants de R3 :
Exercice 77.

Annales

F = {(x, y, z) ∈ R3 | x = y + z}, G = Vect(1, 0, −1).

(Partiel no 3, 2013)
On note f : R → R3 l'application linéaire dé nie par

a.
b.
c.
d.

Montrer que F et G sont en somme directe.
Déterminer une base de F . Montrer que R3 = F ⊕ G.
Décomposer les vecteurs e1 , e2 , e3 dans la somme directe F ⊕ G.
On note p : R3 → R3 la projection sur F parallèlement à G. Déterminer
l'expression de p(x, y, z) en fonction de x, y et z .
e. Véri er l'identité p ◦ p = p. Montrer sans calcul que p(2, 1, 1) = (2, 1, 1) et
p(−1, 0, 1) = (0, 0, 0). Déterminer l'expression de q(x, y, z), où q est la projection sur G parallèlement à F .

Exercice 81.

3

f (x, y, z) = (y − z, −x + 2y − z, −x + y).

On pose u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0) et u3 = (1, 1, 1).
a. Rappeler la dé nition d'une base d'un espace vectoriel.
Montrer que (u1 , u2 , u3 ) est une base de l'espace vectoriel R3 .
b. Montrer que f est une application linéaire.
c. Déterminer Ker(f ), en donner une base, et donner sa dimension.
d. (i) Calculer f (u1 ), f (u2 ) et f (u3 ). (Ce calcul doit être en accord avec le résultat
de la question précédente.) En déduire que Im(f ) est engendrée par f (u1 )
et f (u2 ), c'est à dire que Im(f ) = Vect(f (u1 ), f (u2 )).
(ii) Calculer une base de Im(f ) et donner la dimension de Im(f ).
e. Calculer f ◦ f (u1 ), f ◦ f (u2 ) et f ◦ f (u3 ) , en déduire que f ◦ f = f .
f. (i) En utilisant l'égalité f ◦ f = f démontrée dans la question précédente,
montrer que, pour tout u ∈ R3 , on a u − f (u) ∈ Ker(f ) , en déduire que

On note (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et on considère les sousespaces suivants de R3 :
Exercice 78.

D = Vect(3, 1, 2), E = {(x, y, z) ∈ R3 | 3x + y + 2z = 0}.

a. Déterminer une base de E . Montrer que R3 = D ⊕ E .
On note p la projection sur D parallèlement à E .
b. Trouver un scalaire λ tel que e1 − λ(3, 1, 2) ∈ E .
En déduire la décomposition de e1 dans la somme directe D ⊕ E , ainsi que la
valeur de p(e1 ).
c. Calculer p(e2 ) et p(e3 ). Donner l'expression de p(x, y, z) pour tout (x, y, z) ∈
R3 .
Exercice 79.

R3 = Ker(f ) + Im(f ).

(ii) En utilisant l'égalité f ◦ f = f démontrée dans la question précédente,
montrer que Ker(f ) ∩ Im(f ) = {0}.
g. Soit E un espace vectoriel, soient F et G deux sous espaces vectoriels de E,
rappeller ce que signi e : E est la somme directe de F et G . L'espace R3
est-il la somme directe de ses sous-espaces Ker(f ) et Im(f ) ?

On considère l'endomorphisme p : R3 → R3 donné par

p(x, y, z) =

1
(5x − 4y + 2z, −4x + 5y + 2z, 2x + 2y + 8z).
9

(Partiel no 4, 2013)
On considère les vecteurs, sous-espaces et applications linéaires suivants :
Exercice 82.

Montrer que p est une projection. Déterminer les sous-espaces F , G tels que p soit
la projection sur F parallèlement à G. (On donnera des bases de F et G.)

u1 = (2, 0, 3), u2 = (−2, 3, 0), u3 = (0, 1, 1), v = (3, −3, 1),
F = Vect(u1 , u2 , u3 ), G = Vect(v),

Pour toute valeur des paramètres réels a, b on considère l'endomorphisme f : R3 → R3 donné par l'expression
Exercice 80.

ϕ : R3 → R, (x, y, z) 7→ 3x + 2y − 2z.

a. (i) Déterminer le rang de la famille (u1 , u2 , u3 ).

f (x, y, z) = (ax + by + az, bx + ay + az, ax + ay + bz).

11

(ii) Justi er que dim Im ϕ = 1. À l'aide du théorème du rang, en déduire la
dimension de Ker ϕ.
(iii) Véri er que u1 , u2 , u3 ∈ Ker ϕ. En déduire que F ⊂ Ker ϕ.
(iv) À l'aide des questions précédentes, montrer que F = Ker ϕ.
b. À partir de cette question on peut admettre que F = Ker ϕ.
(i) Montrer que G ∩ F = {0}.
(ii) À l'aide des questions précédentes, montrer que R3 = F ⊕ G.
c. On note p : R3 → R3 la projection sur F = Ker ϕ parallèlement à G.
(i) Calculer ϕ(v).
(ii) Soit u = (x, y, z) un vecteur quelconque de R3 .
Déterminer en fonction de x, y , z le réel λ tel que u − λv ∈ Ker ϕ.
(iii) Donner l'expression de p(x, y, z) en fonction de (x, y, z).

3

Exercice 84.



1
A1 =  2
3


2 −1
−1
1 ,
1 −3


1
 1
A2 = 
 −1
1


Matrices
Calculer, s'ils existent, les produits AB et BA dans les cas suivants :


1
2
0 ,
B1 =  −1
3 −1




1 −1
1 2
4 ,
A2 =
, B2 =  2
−1 3
0 −1



1 0 1
1
1 −1
1
2
A3 =  −1 2 1  , B3 =  0
3 1 0
−1 −2
4




1 0
1 2
1
A4 =
, B4 =  2 1  ,
3 4 −1
0 1



1 0
1
1
1 −1
1
2
A5 =  1 2 −1  , B5 =  0
3 1
0
−1 −2
0


A1 =

1
−1

2
3



Exercice 85.



1 −1
1 −1
−1 −1
−1
1


−1
−1 
,
−1 
−1




−1
0
2

1 1
3 2
a 3
−1 0

1
1
0

0
1
1

0
−1
−2
−4



4
 0
C1 = 
 −5
2


−1 2 1
−1 3 1  ,
1 2 0




C3 = 


,

1
B1 =  0
3

5
6
−2 −3 
,
3
3 
1
0







1
 −1
C2 = 
 0
−1

A3 = 

3.1 Calcul matriciel
Exercice 83.

Calculer le rang des matrices suivantes :



2
B2 =  1
1


2
 4
D2 = 
 0
3


1
 2
 , B3 = 
 3
4


1

3 
 , D3 = 

0 
3

2
3
4
5
1
a
1
4

2
3
1
3

1
2
1


−1 1
−1 6 
,
0 3 
1 1


1
1 ,
2


−1
−1 
,
2 
−2


5
6 
,
7 
8

1 −1 2
1
1 1 
.
−1
3 3 
2
0 a
3
4
5
6

4
5
6
7

On considère les vecteurs :

u1 = (1, 2, 1, −1), u2 = (1, 1, 2, 0), u3 = (0, 1, −1, −1), u4 = (1, 0, 1, −3).

,

Quel est le rang de cette famille de vecteurs ?
Donner une famille libre de vecteurs extraite de (u1 , u2 , u3 , u4 ).
Exercice 86.



On considère les vecteurs :

u1 = (1, 2, 0, 1), u2 = (0, 0, 2, 2), u3 = (2, 4, 2, 4), u4 = (3, 6, 0, 3).

.

Quel est le rang de cette famille de vecteurs ?
Donner une famille libre de vecteurs extraite de (u1 , u2 , u3 , u4 ).
Exercice 87.

12

On considère la matrice A =



−1
3

−2
4



.

a. Calculer A2 − 3A + 2I2 .
b. En déduire que A est inversible et calculer son inverse.
Exercice 88.

Montrer que A est inversible et déterminer A−1 .
Exercice 93.

On considère la matrice

On considère la matrice identité I ∈ M3 (R) et la matrice



2
A= 1
1


−1
1
1
1 .
A =  1 −1
1
1 −1


On se place dans l'espace des matrices carrées d'ordre 3 à coe cients
réels M3 (R). 



Exercice 94.

On considère la matrice identité I ∈ M3 (R) et la matrice


0
A= 1
1

4
A =  −3
−3

a.
b.
c.
d.


−3
9
4 −9  ,
3 −8



1 0
P = 1 3
0 1


−1
1 .
1

Démontrer que la matrice P est inversible et calculer P
On pose D = P −1 AP . Calculer D.
Pour tout entier n ∈ N, calculer Dn .
En déduire An pour tout n.

Exercice 91.

−1

Exercice 95.

réels M3 (R).

.

A=

1
3

2
4

.

On considère la matrice


1
A= 2
−1

1

0

0
1
0

0
0 
1

On se place dans l'espace des matrices carrées d'ordre 3 à coe cients



b c
a+c b 
b a

a. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M3 (R), engendré par I, J, K .
b. Montrer que la famille (I, J, K) est libre dans M3 (R). En déduire une base et
la dimension de E .
c. Calculer J 2 , K 2 , JK , et KJ et véri er que J 2 = K + I , K 2 = I = et = JK =
KJ = J .
d. Soit M = aI + bJ + cK et N = a0 I + b0 J + c0 K .
Montrer que M N ∈ E et que M N = N M .
e. Soit L la matrice de E dé nie par L = I + J − K . Montrer que L est inversible
et calculer son inverse sous forme d'une matrice de E . (On pourra déterminer
une matrice Q = aI + bJ + cK telle que LQ = I ).



Montrer que A est inversible et déterminer A−1 .
Exercice 92.

0

1
I= 0
0

a
On considère E l'ensemble des matrices de la forme M (a, b, c) =  b
c
pour a, b, c réels.
On pose I = M (1, 0, 0) ; J = M (0, 1, 0) et K = M (0, 0, 1)

On considère la matrice


1

a. Calculer A .
b. Soit E le sous-espace vectoriel de M3 (R) engendré par I ,A et A2 . Montrer que
la famille I ,A et A2 est libre dansM3 (R). En déduire une base et la dimension
de E .
c. On pose M = aI + bA + cA2 et N = a0 I + b0 A + c0 A2
Calculer M N et montrer que M N ∈ E et que M N = N M .
d. Soit M ∈ E . Calculer le déterminant de M .
e. On pose B = I +2A+3A2 . Montrer que B est inversible et calculer son inverse.

On considère les matrices A et P suivantes :


0

2

Calculer A2 en fonction de A et I .
En déduire que A est inversible et déterminer A−1 .
Exercice 90.

0

On pose A =  1 0 0  ,


1
1 .
0

1
0
1


1
1 .
2

Montrer que A est inversible et déterminer A−1 .

Calculer A2 et montrer que A2 = 2I − A.
En déduire que A est inversible et déterminer A−1 .
Exercice 89.

1
2
1


0
1
−1
1 .
1 −1

13

Annales

Parmi les matrices suivantes, lesquelles sont inversibles ?
(On pourra calculer le rang, utiliser le déterminant...)
Exercice 100.

Exercice 96.

(Partiel, 2008) On considère la matrice


1
A= 1
1





2
1
1 −1  .
−1 −4

A=

(Partiel no 5, 2013)


4
On considère la matrice A =  −5
5

−5 14
D =  −1 3
−2 5

1 2 −1
3
F = 1 1
−1 1
1


−5 −5
4
5 .
−5 −6

a. Montrer que A2 − 3A = 4I3 , où I3 désigne la matrice identité d'ordre 3.
b. En déduire que A est inversible et donner son inverse.
Exercice 98.

,

Dans le cas où les matrices sont inversibles, déterminer leur inverse à l'aide du pivot
de Gauss.

(Partiel no 5, 2013) Déterminer le rang de la matrice A suivante :

Exercice 101.

On considère les matrices suivantes :





1 0
 1 2

A=
 2 1
 0 1
3 4

2
1 2
−1 −1 0
0
0 1
1
0 1
0 −1 2



.





1
 1
C=
 1
0

Calculer le déterminant des matrices suivantes. En déduire lesquelles
sont inversibles.
Exercice 99.



1
3

2
4

1
D= 1
1

1
1
1

A=





0
2
1
1 −1  , C =  −1
−1 −2
2




1
a b c
1
 1
1 , E =  b c b , F = 
 −1
1
c a a
1



1
, B =  −1
1




−1
3
2 −1  ,
3
1

1
A= 2
1



3.2 Déterminants





2
1
4
5
3
−3 −1  , C =  −1 −1 −1  ,
8
3
−3 −5 −2



6
−1
3
3
1  , E =  −2
4
3 ,
3
2 −2 −1



1
2
1
2

0 −5 
.
 , G =  −2 −3
 4
9
6
7 
1 −1 −5
5

0
B =  −1
2



Montrer que A est inversible et déterminer A−1 .
Exercice 97.

−2
−3

3
4








3−m
5
−5
−5 −7 − m
5 ,
Bm = 
−5
−5 3 − m



−1 0 −1
1
1 −1 1

1 0
1 
1 −3 0 
, D =  3

 0 −2
1 1
0 
0 2 
2 3
1
1
1 −1 1


m−2 2
2m
2 m 2(m + 1)  ,
Em = 
−1 2
m+1

On calculera rang et/ou déterminant de ces matrices.



−1 −2
1
2 ,
1
1

0
2 4
1 −1 1 
.
1
3 1 
2
1 3

14

Exercice 102.



Calculer le déterminant des matrices suivantes :





1
2 5
−1
3
a
 2
2 3  , B(a) =  −2
4
a , C = 
 3
8 10
2 −2 −1
1



a a b
10
0 −5 15

 a a 0
 −2
7
3
0
 , E(a, b, c) = 
D=
 c 0 a
 8
14
0
2 
0 c a
0 −21
1 −1



−1 − x
4
2
1 1
2 1−x
−1  , Q(a) =  1 a
P (x) = 
−2
0 2−x
1 1


1
1 −1 2
 a
1
1 1 

R(x) = 
 1 −1
3 3 
4
2
0 a

−1
A= 1
−2

Exercice 105.

3
6
9
1

caractérisé par :



−2 4
−4 8 
,
1 5 
4 8


f (e1 ) = e1 + e2 − e3 , f (e2 ) = e1 + e2 + 2e3 , f (e3 ) = 2e1 + 2e2 + 3e3 .

a. Écrire la matrice de f dans la base (e1 , e2 , e3 ).
b. En déduire f (u) où u = (x, y, z).
c. Déterminer Ker f et Im f .

0
b 
,
a 
a

1
a ,
a

Soit E = (e1 , e2 , e3 , e4 ) la base canonique de R4 . On considère l'application linéaire de R4 dans R4 dé nie par :

Exercice 106.

f (e1 ) = e1 + e2 + e3 + e4 ,
f (e2 ) = e1 − e2 + e3 − e4 ,
f (e3 ) = −e1 + e2 − e3 + e4 ,
f (e4 ) = e1 + e2 − e3 − e4 .

a. Déterminer la matrice A de f dans la base E .
Calculer f (x, y, z, t).
b. f est-elle injective, surjective ?
c. Montrer que v1 = e2 + e3 est une base de Ker f . En déduire dim Im f .
Montrer que v2 = f (e1 ), v3 = f (e3 ), v4 = f (e4 ) est une base de Im f .
d. Montrer que R4 = Ker f ⊕ Im f .
e. Montrer que V = (v1 , v2 , v3 , v4 ) est une base de R4 .
Écrire la matrice de f dans la base V .

3.3 Applications linéaires et Matrices
3
Exercice 103. Soit B la base canonique de R .
On considère l'endomorphisme f de R3 dont la matrice dans la base B est :



−3
A= 0
−2

1
2
1


4
0 .
3

On pose E = R4 . Soit f l'application linéaire de E dans E dont la
matrice dans la base canonique E est

Exercice 107.

a. Si u = (x, y, z), calculer f (u).
b. Soient v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 1, 1), v3 = (2, 0, 1).
Montrer que la famille U = (v1 , v2 , v3 ) est une base de R3 .
c. Déterminer la matrice de f dans la base U . (On calculera f (v1 ), f (v2 ), f (v3 ).)
Exercice 104.

Soit (e1 , e2 , e3 ) une base de E et f un endomomorphisme de E



2
 1
A=
 1
1

Soit f l'application linéaire dé nie de R5 dans R2 par :

−4 8
−2 7
−2 5
−2 3


−6
−6 
.
−4 
−2

a. Déterminer le rang de la matrice A.
b. On pose u1 = (1, 1, 1, 1) et u3 = (1, 0, −1, −1)
Calculer f (u1 ) et f (u3 ).
Montrer que u1 et u3 forment une base de Ker f .
c. Soit F = {u ∈ E, f (u) = 2u}.
(i) Sans déterminer F , montrer que F est un sous-espace vectoriel de E .

f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (x1 + x2 − x3 + x4 − x5 , x1 + x2 − x3 + x4 − x5 ).

a. Calculer le rang de f et la dimension de Ker f .
b. Déterminer la matrice de f par rapport aux bases canoniques de R5 et R2 .
c. Déterminer Ker f .
15

(ii) Déterminer F . On en donnera une base.
d. On pose u2 = (2, 1, 1, 1) et u4 = (1, 2, 1, 0).
(i) Montrer que la famille U = (u1 , u2 , u3 , u4 ) est une base de E .
On expliquera la méthode choisie pour cette démonstration.
(ii) Calculer f (u2 ) et f (u4 ). En déduire que u2 ∈ Im f et u4 ∈ Im f .
En déduire que (u2 , u4 ) est une base de Im f .
(iii) Déterminer la matrice B de f dans la base U .

On considère l'endomorphisme f : R3 → R3 donné par la matrice
suivante dans la base canonique :

Exercice 110.



−5
A= 2
5

a. Montrer que les vecteurs suivants forment une base de R3 :
u1 = (3, −1, −3), u2 = (1, 0, −1), u3 = (0, −1, 1).

On pose E = R4 . Soit f l'application linéaire de E dans E dont la
matrice dans la base canonique E est
Exercice 108.



1
 1
A=
 −1
0

b. Écrire la matrice B de f dans la base (u1 , u2 , u3 ).
c. Calculer B 2 et B 3 .
d. Montrer qu'on a An = 0 pour tout n ≥ 3.


0 −1
1
6
5 −11 
.
3
4 −7 
−3
3 −6

Exercice 111.

a. Déterminer le rang de la matrice A. L'application linéaire f est-elle injective,
surjective, bijective ? Justi er vos réponses.
b. On pose u1 = (1, 0, 2, 1) et u2 = (0, 1, 1, 1). Calculer f (u1 ) et f (u2 ). Que peuton en déduire ? Donner une base de Ker f .
c. On pose u3 = (1, 1, −1, 0) et u4 = (0, 2, 1, 1).
(i) Montrer que la famille U = (u1 , u2 , u3 , u4 ) est une base de E .
On expliquera la méthode choisie pour cette démonstration.
(ii) Calculer f (u3 ) et f (u4 ). En déduire que u3 ∈ Im f et u4 ∈ Im f .
En déduire que (u3 , u4 ) est une base de Im f .
(iii) Déterminer la matrice B de f dans la base U .

On considère l'endomorphisme f : R3 → R3 donné par
f (x, y, z) = (4x + 4y + z, −3x − 3y − z, −3x − 4y).

On admet que les vecteurs suivants forment une base de R3 :
u1 = (−3, 2, 1), u2 = (−2, 1, 1), u3 = (−3, 2, 2).

a.
b.
c.
d.
e.

Soit f l'application linéaire de R4 dans R4 dont la matrice dans la
base canonique est



Écrire la matrice A de f dans la base canonique.
Écrire la matrice B de f dans la base (u1 , u2 , u3 ).
Calculer B 2 . Que peut-on en déduire pour A2 ?
L'endomorphisme f est-il bijectif ?
Sans nouveau calcul, donner l'expression de An pour tout n.
On pourra distinguer deux cas.

Annales

Exercice 109.

1
 1
A=
 1
1


9 −8
−3
3 .
−9
8

1
1
1
3 −1
5 
.
−1
7 −7 
5 −7 13

(Partiel, 2003)
On considère l'application f dé nie de R3 dans R3 par
Exercice 112.

f (x, y, z) = (x − 15y − 9z, −2x − 6y − 6z, 3x + 15y + 13z).

a. Déterminer le rang de A.
b. L'application linéaire f est-elle injective, surjective, bijective ?
Justi er vos réponses.
c. Que peut-on dire de Im f et de Ker f ?
On donnera la dimension de Im f et de Ker f .

a.
b.
c.
d.
16

Montrer que f est une application linéaire.
Écrire la matrice A de f dans la base canonique de R3 .
Calculer det A. En déduire que Ker f 6= {0} et que Im f 6= R3 .
Montrer de deux façons di érentes que f ◦ f = 4f . En déduire que si v ∈ Im f
alors f (v) = 4v .

e. Montrer que Ker f ∩ Im f = {0}.
En déduire que Ker f et Im f sont des sous-espaces supplémentaires de R3 .
f. Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de f est diagonale avec
soit des 0 soit des 4 sur la diagonale.
(Examen, Session 1, 2011)
u = (x, y, z) ∈ E :

Exercice 113.

On considère l'application linéaire f de R3 dans R3 dé nie par
f (x, y, z) = (x + y, 2x − y + z, x + z).
a. Écrire la matrice M de cette application linéaire dans la base canonique de R3 .
b. Calculer f (1, 2, 3) de deux manières : en utilisant la dé nition ou en utilisant
la matrice.
c. Déterminer une base de Ker f et une base de Im f .
d. Soient v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 2, 1), v3 = (2, 0, 1). Montrer que la famille U =
(v1 , v2 , v3 ) est une base de R3 .
e. Calculer f (v1 ), f (v2 ) et f (v3 ) en fonction des vecteurs de U .
f. Écrire la matrice B de f dans la base U .
g. Retrouver cette matrice en utilisant les formules de changement de base.
Exercice 115.

Soit E = R3 . On pose, pour tout

f (u) = (x + z, 2x − y + z, −x + y − z).

a. (i) Montrer que f est une application linéaire de E dans E .
(ii) On pose e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), et e3 = (0, 0, 1). Quelle est la matrice
de f dans la base E = (e1 , e2 , e3 ) ?
b. Montrer que l'application f est bijective. (On justi era le résultat et on expliquera la méthode choisie.)
c. Donner une expression de f −1 (a, b, c).
d. On pose P (X) = det(A − XI3 ) où I3 désigne la matrice identité. Calculer
P (X). Véri er que P (−1) = 0. En déduire une factorisation et les racines de
P (X).

Exercice 116.

a. Soient u1 = (4, 3, −2), u2 = (4, 0, −1), u3 = (2, 1, 0). Montrer que (u1 , u2 , u3 )
est une base de R3 . Donner la matrice de passage de la base canonique
(e1 , e2 , e3 ) à (u1 , u2 , u3 ) ainsi que la matrice de passage de (u1 , u2 , u3 ) à la
base canonique.
b. Soient u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, −1, 0), u3 = (1, 1, 1) et v1 = (0, 1, 1), v2 =
(1, 0, 1), u3 = (1, 1, 0). Montrer que (u1 , u2 , u3 ) et (v1 , v2 , v3 ) sont des bases de
R3 . Donner les matrices de passage d'une base à l'autre.

3.4 Changement de base
Exercice 114.

canonique est

Soit E un espace vectoriel de dimension 3 sur R et soit (e1 , e2 , e3 )
une base de E . Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base (e1 , e2 , e3 )
est :



On considère l'endomorphisme f de R4 dont la matrice dans la base


3
 1
A=
 1
−1

Exercice 117.


1
1 −1
3 −1
1 
.
−1
3
1 
1
1
3

1 2
A= 2 1
2 2

−2
−2  .
−3

a. Montrer que A est inversible (sans calculer A−1 ).
Calculer A2 et en déduire A−1 .
b. On considère la famille (v1 , v2 , v3 ) avec v1 = e1 + e2 + e3 , v2 = e1 − e2 ,
v3 = e 2 + e 3 .
(i) Montrer que (v1 , v2 , v3 ) est une base de E .
(ii) Déterminer la matrice de passage P de la base (e1 , e2 , e3 ) à la base
(v1 , v2 , v3 ) .
(iii) Déterminer la matrice de l'endomorphisme f dans la base (v1 , v2 , v3 )
c. Calculer An pour tout n ∈ N.

a. Calculer f (x, y, z, t) pour tout (x, y, z, t) ∈ R4 .
b. On considère les vecteurs :
e01 = e1 + e2 + e3 + e4 , e02 = e1 + e2 − e3 − e4 ,
e03 = e1 − e2 + e3 − e4 , e04 = e1 − e2 − e3 + e4 .

(i) Écrire la matrice de passage P de la base canonique vers E 0 = (e01 , e02 , e03 , e04 ).
(ii) Calculer P 2 et en déduire P −1 .
(iii) Montrer que E 0 est une base de R4 .
c. Déterminer la matrice de f dans la base E 0 .
d. En déduire Ker f et Im f .

Soit E = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 . On considère : v1 =
2e1 + 3e2 , v2 = −e1 − e2 + e3 et v3 = 2e1 + 2e2 + e3 .

Exercice 118.

17

a.
b.
c.
d.

Montrer que B = (v1 , v2 , v3 ) est une base de R3 .
Quelle est la matrice de passage de E à B ?
Quelle est la matrice de passage de B à E ?
Soient w = e1 + 4e2 − 3e3 . Quelles sont les coordonnées de w dans la base E ?
dans la base B ?
e. Soit ϕ l'endomorphisme de R3 déterminé par

b. L'application f est-elle bijective ? On justi era le résultat et on expliquera la
méthode choisie.
c. On pose u1 = (1, −1, 0, 0), u2 = (0, 0, 1, −1), u3 = (1, 1, 0, 0) et u4 = (0, 0, 1, 1).
(i) Montrer que le système U = (u1 , u2 , u3 , u4 ) est une base de E .
(ii) Déterminer la matrice B de l'application f dans la base U .
d. On désigne par P la matrice de passage de la base E à la base U .
(i) Déterminer P .
(ii) Déterminer P −1 .
(iii) Quelle relation y-a-t-il entre les matrices A, B , P et P −1 ?
(iv) En déduire An pour tout n ∈ N.

ϕ(v1 ) = 2v1 , ϕ(v2 ) = 0, ϕ(v3 ) = −v1 .

Quelle est la matrice de ϕ dans la base B ? dans la base E ?
Quel est le rang de ϕ ?
On note Bcan = (e1 , e2 , e3 , e4 ) la base canonique de R4 . On considère
l'endomorphisme f : R4 → R4 donné par l'expression

Exercice 119.

Exercice 121.

Soit f l'application linéaire dé nie de R3 dans R3 par

f (x, y, z) = (5x − y + 2z, −x + 5y + 2z, 2x + 2y + 2z).

f (x, y, z, t) = (3x + 3y + 6z − 3t, x − 2y + 3z + 2t, −x − y − 2z + t, x − 4y + 3z + 4t).

a. Déterminer f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ).
Donner la matrice A de f dans la base canonique.
b. Calculer det A. L'application f est-elle bijective ?
Déterminer Ker f : on en donnera une base et on véri era que dim Ker f = 1.
c. Quelle est la dimension de Im f ? On pose v1 = (5, −1, 2) et v2 = (2, 2, 2).
Montrer que v1 et v2 forment une base de Im f .
d. On pose u = (1, 1, −2), v = (1, 1, 1), w = (2, 0, 1).
Montrer que U = (u, v, w) est une base de R3 .
Donner la matrice de passage P de la base canonique à la base U . Calculer
P −1 .
Calculer la matrice A0 de f dans la base U .

a. Calculer f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ) et f (e4 ). Écrire la matrice A de f dans la base
Bcan .
b. Calculer det A. L'endomorphisme f est-il bijectif ?
c. Montrer que Ker f est une droite (c'est à dire un espace vectoriel de dimension 1) et déterminer un vecteur u1 qui engendre Ker f .
d. On pose u2 = (−2, −2, 1, −2), u3 = (−3, 0, 1, 0) et u4 = (−3, 1, 1, 2).
Montrer que C = (u1 , u2 , u3 , u4 ) est une base de R4 .
e. Calculer la matrice B de f dans la base C , sans utiliser la formule de changement
de base.
f. Ecrire la matrice de passage P de Bcan à C . Calculer son inverse P −1 .
g. Rappeler la formule de changement de base permettant d'exprimer B en fonction de A et P . à l'aide de la formule, véri er le calcul de la question 5.
h. On pose g = f ◦ f .
(i) Montrer sans calcul que u1 ∈ Ker g .
(ii) Calculer B 2 . En déduire une base de Ker g et une base de Im g .

Soit R4 muni de sa base canonique E = (e1 , e2 , e3 , e4 ) où e1 =
(1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1). Soit f : R4 → R4
l'application linéaire dont la matrice dans la base canonique est :

Exercice 122.



2
 0
A=
 −1
0

Soit E = R4 . On pose, pour tout u = (x, y, z, t) ∈ E , f (u) =
(x + 2y, 2x + y, z + 2t, 2z + t).
a. (i) Montrer que f est une application linéaire de E dans E .
(ii) On pose e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0) et e4 = (0, 0, 0, 1).
Quelle est la matrice de f dans la base E = (e1 , e2 , e3 , e4 ) ?
Exercice 120.

1 −4
4
0
1
2
2
0
0


−1
0 
.
2 
3

a. Soit x ∈ R4 un vecteur dont les coordonnées dans la base E sont (x1 , x2 , x3 , x4 ).
En utilisant la matrice A, déterminer les coordonnées de f (x) dans la base E .
b. Déterminer le rang r de f et la dimension de Ker f .
c. L'application f est-elle injective ? surjective ? bijective ?
18

d. Déterminer une base de Ker f .
e. Donner une famille génératrice de Im f et en déduire une base.
f. On considère la famille de vecteurs (u1 , u2 , u3 , u4 ) où :

(Examen, Session 2, 2012) On note Bcan = (e1 , e2 , e3 , e4 ) la base
canonique de R4 . On considère l'endomorphisme f : R4 → R4 donné par sa matrice
dans la base canonique :

Exercice 124.


u1 = (2, 0, −1, 0), u2 = (0, 4, 1, 0),
u3 = (3, 0, −1, 1), u4 = (2, 0, 1, 0).

(i)
(ii)
(iii)
(iv)

Calculer f (u1 ), f (u2 ), f (u3 ) et f (u4 ).
Montrer que E 0 = (u1 , u2 , u3 , u4 ) forme une base de R4 .
Donner la matrice de passage P de la base E à la base E 0 .
Donner la matrice A0 de f dans la base E 0 .

Exercice 123.

1

0 −1

 −1

A=
 0

−2

−1

−2

−3

1

6

7

0



−2 

.
−2 
6

a. Donner l'expression de f (x, y, z, t) en fonction de x, y , z et t.
b. Calculer le déterminant de A. L'endomorphisme f est-il bijectif ?
c. On pose u1 = (0, 1, 0, −1).
Montrer que Kerf est engendré par u1 et déterminer le rang de f .
d. On pose u2 = (2, 3, 2, −6), u3 = (2, 0, 1, −2) et u4 = (1, −1, 0, 1).
Montrer que C = (u1 , u2 , u3 , u4 ) est une base de R4 .
e. Calculer la matrice B de f dans la base C , sans utiliser la formule de changement
de base.
f. Ecrire la matrice de passage P de Bcan à C . Calculer son inverse P −1 .
Rappeler la formule permettant d'exprimer B en fonction de A et P .
On ne demande pas de véri er la validité de la formule dans ce cas.
g. Calculer la matrice B 2 − 2B + 1.
h. Sans nouveau calcul, en déduire une base de Ker((f − id) ◦ (f − id)).

Soit E = R4 . On pose, pour tout u = (x, y, z, t) ∈ E
f (u) = (x + 2y, 2x + y, z + 2t, 2z + t).

a. On pose e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0) et e4 = (0, 0, 0, 1).
Quelle est la matrice de f dans la base E = {e1 , e2 , e3 , e4 }.
b. L'application f est-elle bijective ? On justi era le résultat et on expliquera la
méthode choisie.
c. On pose u1 = (1, −1, 0, 0), u2 = (0, 0, 1, −1), u3 = (1, 1, 0, 0) et u4 = (0, 0, 1, 1).
(i) Montrer que la famille U = {u1 , u2 , u3 , u4 } est une base de E .
(ii) Déterminer la matrice B de l'application f dans la base U .
d. On désigne par P la matrice de passage de la base E à la base U .
(i) Déterminer P .
(ii) Déterminer P −1 .
(iii) Quelle relation y-a-t-il entre les matrices A, B , P et P −1 ?
(iv) En déduire An , n ∈ N.
e. On pose P (X) = det(A − XI4 ) où I4 est la matrice identité d'ordre 4.
(i) Calculer P (X).
(ii) Déterminer P (−1).
(iii) Factoriser P (X) et en déterminer ses racines.

(Examen, Session 1, 2013)
On pose E = R4 . Soit f l'application linéaire de E dans E dont la matrice dans la
base canonique E est


Exercice 125.


A=


2
1
0
−3

−1 0
1
0 0
1 
.
0 1
0 
1 0 −2

a. Soit w le vecteur de coordonnées (x, y, z, t) dans la base E . Calculer f (w).
b. Calculer det A. Que peut-on en déduire pour f ?
c. On pose u1 = (1, 1, 0, −1). Calculer f (u1 ). Que peut-on en déduire pour
dim Ker f ?
d. Déterminer le rang de la matrice A et une base de Ker f .
e. Soit F = {u ∈ R4 , f (u) = −u}.
(i) Sans déterminer F , montrer que F est un sous-espace vectoriel de R4 .
(ii) Montrer que F ⊂ Imf .

Annales

19

(iii) On pose u2 = (1, 1, 0, −2). Véri er que u2 ∈ F .
f. On pose u3 = (0, 0, 1, 0) et u4 = (−1, 0, 0, 1).
(i) Montrer que la famille U = (u1 , u2 , u3 , u4 ) est une base de E . On expliquera
la méthode choisie pour cette démonstration.
(ii) Calculer f (u3 ) et f (u4 ). En déduire que u3 ∈ Imf et u4 ∈ Imf . En déduire
que (u2 , u3 , u4 ) est une base de Imf .
(iii) Déterminer la matrice B de f dans la base U .
g. Soit P la matrice de passage de la base E à la base U .
(i) Écrire la matrice P et calculer P −1 .
(ii) Quelle relation lie les matrices A , B , P et P −1 ?
(iii) En déduire, en fonction de n, la matrice An .
(Examen, Session 2, 2013)
On pose E = R4 . Soit f l'application linéaire de E dans E dont la matrice dans la
base canonique E est


Exercice 126.

1
 2
A=
 0
1

0 0 −2
−2 2
0 
.
−3 3
6 
0 0 −2

a. Soit w le vecteur de coordonnées (x, y, z, t) dans la base E . Calculer f (w).
b. Calculer det A. Que peut-on en déduire pour f ?
c. On pose u1 = (2, 4, 2, 1) et u2 = (0, 1, 1, 0). Calculer f (u1 ) et f (u2 ).
Que peut-on en déduire pour dim Ker f ?
d. Déterminer le rang de la matrice A.
Que peut-on en déduire pour dim Ker f ?
e. On pose u3 = (0, 2, 3, 0) et u4 = (1, 2, 0, 1).
(i) Montrer que la famille U = (u1 , u2 , u3 , u4 ) est une base de E . On expliquera
la méthode choisie pour cette démonstration.
(ii) Déterminer la matrice B de f dans la base U .
f. (i) Montrer que u3 et u4 appartiennent à Imf .
(ii) En déduire une base de Imf .
g. Soit P la matrice de passage de la base E à la base U .
(i) Écrire la matrice P et calculer P −1 .
(ii) Quelle relation lie les matrices A, B , P et P −1 ?
(iii) En déduire, en fonction de n, la matrice An .

20

Deuxième partie

Analyse
1

Exercice 6.

sont des entiers véri ant 0 < p < q .
a. Montrer que A est borné par −3 et 2.
b. Déterminer inf(A) et sup(A).

Nombres réels et suites

1.1 L'ordre de R(
Exercice 1.

a.
b.
c.
d.

Soit S =

Soit I = [0, 1]. On veut montrer que toute application croissante f :
I → I admet un point xe. Pour cela on pose A = {x ∈ I | f (x) ≤ x}.
Démontrer les 4 propriétés suivantes :
a. A 6= ∅,
b. x ∈ A =⇒ f (x) ∈ A,
c. A admet une borne inférieure a et a ∈ I ,
d. f (a) = a.
Conclure.

Soit A = {a ∈ Q | a2 < 2}.
a. Pourver que A est une partie non vide majorée de R.
b. Montrer que pour r ∈ Q on a r2 6= 2.
On suppose que A possède une borne supérieure a dans Q.
On pose 4 = |a2 − 2|. D'après la question précédente, > 0.
c. Montrer que 1 ≤ a ≤ 2.
d. On suppose que a2 < 2. Montrer que a + ∈ A.
e. On suppose que a2 > 2. Montrer que a − est un majorant de A
f. Conclure.

On désigne par E(x) la partie entière du réel x ∈ R, c'est-à-dire l'unique
n ∈ Z tel que n ≤ x < n + 1.

Exercice 2.

Exercice 8.

a.
b.
c.
d.

a. Résoudre dans R l'équation suivante : | − 3x + 4| + | − 5 + x| = 10
b. Résoudre dans R l'inéquation suivante : |2x − 1| ≤ |x + 2|
c. Résoudre dans R l'inéquation suivante : |x − 1| + |x + 1| ≤ |2x + 3|

n

Soit E1 l'ensemble des réels de la forme

semble des réels de la forme

p
avec p, q ∈ N∗
qp + 1

Annales

n−1
avec n ∈ N et E2 l'en2n + 1

Exercice 10.

a. Soit A un ensemble de nombres réels. Rappeler les dé nitions de minorant de
A et de borne inférieure de A.
b. Donner une caractérisation de la borne inférieure. (Plusieurs réponses possibles.)

Les ensembles Ei admettent-ils une borne supérieure ? inférieure ? un plus petit élément ? un plus grand élément ?
Soit E l'ensemble des réels de la forme

n−
n+

1
n
1
n

Montrer que pour x ≤ y on a E(x) ≤ E(y).
Montrer que E(x + y) − E(x) − E(y) ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1.
Montrer que si x ∈ R \ Z alors E(−x) = −E(x) − 1.
Tracer le graphe de la fonction f : R → R, x 7→ E(x).

Exercice 9.

Soit un = n(−1) et A = {un | n ∈ N}. L'ensemble A admet-il des
bornes supérieure et inférieure ? Si oui, les calculer.
Exercice 3.

Exercice 5.

2p2 − 3q
, où p et q
p2 + q

Exercice 7.


)
n + 1
n∈N .
2n + 1

Montrer que S est majoré et minoré.
Calculer sup S en justi ant la réponse.
L'ensemble S possède-t-il un plus grand élément ?
Calculer inf S .

Exercice 4.

Soit A l'ensemble des nombres réels de la forme

avec n ∈ N∗ .


)
1
(−1)n
c. Soit A =
+
n ∈ N∗ .
2n
n
Déterminer si A admet des bornes inférieure et supérieure.
(

L'ensemble E admet-il une borne supérieure ? inférieure ? un plus petit élément ? un
plus grand élément ?
21

1.2 Suites numériques

d. Soit A et B deux sous-ensembles non vides de R tels que ∀a ∈ A ∀b ∈ B a ≤ b.
Montrer que sup(A) et inf(B) existent et que sup(A) ≤ inf(B).
(
Exercice 11.

Posons A =

Exercice 14.


)
2n + 4
n∈N .
6n + 5

Étudier la monotonie des suites suivantes :

an = (−2)n ,

en = n(n + 1) · · · (2n − 1)(2n),

a. Montrer que A est une partie de R majorée et minorée.
b. Montrer que pour tout n ≥ 0 on a

Exercice 15.

2n + 4
1
7
= +
.
6n + 5
3 18n + 15

an =

c. Montrer que A admet un plus grand élément, mais pas de plus petit élément.
d. Montrer que 31 est la borne inférieure de A.
e. Quelle est la borne supérieure de A ?

n
, dn = n2 − 2n,
1+n
fn = nn − n!, gn = n + 2 sin(nπ/2).

bn = n + (−1)n ,

cn =

Étudier la convergence des suites suivantes :


2n2 − 3n + 5
ln(n) + 3
,
, bn = −3n2 − n n + n2 ln(n), cn =
2
3−n
2−n

e2n + 3n
n2 − ln(n)
n
dn = n
, en =
, fn =
− 3 n,
e −5
n ln(n) − 1
ln(n)
n
n
(−1)
n
+
1
gn = n−2+(−1) , hn =
.
n
2n(−1) + 3

Exercice 12.

a. Soit A un sous-ensemble non vide de R et soit M ∈ R.
(i) Rappeler la dé nition de M est un majorant de A .
(ii) Donner une condition nécessaire et su sante pour que A possède une borne
supérieure.
b. Soit C = {

un+1 =

x3
| x ∈ R}. Le sous-ensemble C a-t-il une borne supérieure ?
+1

Dans chacun des cas suivants, étudier la convergence de la suite (un )n
et donner sa limite éventuelle :
a. u0 ∈ R, un+1 = un − 1,

b. u0 = 0, un+1 = 2 + un .
Exercice 17.

(Partiel no 1, 2013)
Considérons le sous-ensemble suivant de R :
Exercice 13.



p

a. Montrer que un ≥ 1 pour tout n ∈ N, et que la suite (un )n est croissante.
b. Montrer que pour tout n ∈ N on a un+1 − un ≤ 1/2n , et en déduire que un ≤ 3.
c. Montrer que (un )n converge et calculer sa limite, en utilisant vn = u2n .

x2

A=

On dé nit une suite (un )n∈N de nombres réels en posant u0 = 1 et
u2n + (1/2)n pour tout n ∈ N.

Exercice 16.



n − 6
n

N
.
2n + 1

Soit (un )n∈N la suite dé nie par u0 = 0 et un+1 =
que la suite (un )n est convergente et calculer sa limite.

a. Montrer que A est majoré et minoré.
b. Montrer que pour tout n ∈ N on a

Exercice 18.

n−6
1
13
= −
.
2n + 1
2 4n + 2

Exercice 19.



4 + 3un . Montrer

Soit a ∈ R+ . On dé nit la suite (un )n∈N par u0 = a et un+1 = f (un ),

x + 16
où f (x) =
.
x+7

c. Montrer que A admet un plus petit élément mais pas de plus grand élément.
d. Déterminer sup(A) et inf(A).

a. Véri er que cette suite est bien dé nie.

b. Pour tout n ∈ N on pose vn =

un − 2
. Trouver une relation entre vn+1 et vn .
un + 8

c. Déterminer vn pour tout n.
d. En déduire que (un )n converge et calculer sa limite.
22

On considère la suite de nombres réels (un )n dé nie par la donnée de
son premier terme u0 ∈ ]0, +∞[ et la relation de récurrence un+1 = 13 (u2n + 2).
a. Montrer que si la suite (un )n est convergente alors sa limite est égale à 1 ou 2.
b. Montrer que si u0 > 1 alors un > 1 pour tout n.
c. Véri er que un+1 − un = 13 (un − 1)(un − 2). En déduire que
(i) si 1 < un < 2 alors un+1 < un ,
(ii) si 2 < un alors un < un+1 .
d. On suppose que 1 < u0 < 2.
Montrer que la suite (un )n est convergente et donner sa limite.
e. On suppose que 2 < u0 .
Montrer que la suite (un )n est divergente et tend vers +∞.
f. Que peut-on dire de la suite (un )n lorsque u0 = 1 ou u0 = 2 ?
g. On suppose 0 < u0 < 1. La suite (un )n est-elle convergente ?

Exercice 23. On pose u0 = a où a est un réel strictement positif et, pour tout
n ∈ N∗ : un+1 = un 2 + un . Que peut-on dire de cette suite ?

Exercice 20.

Exercice 21.

1
2
a. Montrer que la suite est bien dé nie et que un > 0, ∀n ∈ N.

b. Montrer que ∀n ∈ N∗ , un ≥ 2

Exercice 24.

un + 2vn
,
3

vn+1 =

un + 3vn
4

On donne trois réels distincts a, b, c véri ant les 3 conditions suivantes :
a, b, c sont dans cet ordre trois termes consécutifs d'une suite arithmétique.
b, c, a sont dans cet ordre trois termes consécutifs d'une suite géométrique
leur somme est égale à 18.
Calculer ces trois nombres.
Exercice 25.

Exercice 26.

pour tout n ∈ N∗ .

On pose S0 = 1 et, pour tout n ∈ N∗ : Sn = Sn−1 +

a. Montrer que pour tout n ∈ N on a Sn =

a.
b.
c.
d.

Calculer uO
Calculer la raison q de la suite (un ).
Calculer le terme un .
P
Calculer Sn = nk=0 uk .

Annales
(Partiel, 2009)
On dé nit la suite (un )n∈N par u0 = 1 et un+1 = 12 un + 2.
a. Montrer que un ≥ 0 pour tout n.
b. Montrer que (un )n est une suite monotone.
c. Montrer que (un )n est une suite bornée.
d. Montrer que la suite (un )n est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 27.

1
.
(n + 1)2

1
k=0 (k+1)2 .

Pn

(à partir du partiel, 2011)
On considère les suites (un )n∈N et (vn )n∈N dé nies par u0 = 3, v0 = 4 et
Exercice 28.

b. Montrer que pour tout k ∈ N∗ on a
c. Montrer que pour tout n ∈

Une suite géométrique (un ) dé nie sur N est telle que :
20
9 .

8u0 = 27u3 et u2 =

a. Montrer que la suite (wn )n dé nie par wn = vn − un est une suite géométrique
dont on précisera la raison. En déduire que c'est une suite à termes positifs.
b. Déterminer la limite de la suite (wn )n .
c. Montrer que la suite (un )n est croissante et que la suite (vn )n est décroissante.
d. Montrer que les suites (un )n et (vn )n sont convergentes et convergent vers la
même limite, que l'on notera l et qu'on ne cherchera pas à calculer.
e. Soit (tn )n la suite dé nie par tn = 3un + 8vn . Montrer que cette suite est
constante.
f. Déterminer la valeur de l.
Exercice 22.

2
).
un

c. Montrer que la suite (un ) est décroissante.
d. Montrer que la suite (un ) est convergente et déterminer sa limite

Soit (un )n∈N et (vn )n∈N les suites dé nies par u0 = 1, v0 = 2 et

un+1 =

On pose u0 = 2 et pour tout n ∈ N : un+1 = (un +

1
1
1
k2 +k = k − k+1 .
Pn
1
N∗ on a k=1 k21+k = 1 − n+1
.
1
N on a Sn ≤ 2 − n+1 .

d. Montrer que pour tout n ∈
e. Montrer que la suite (Sn )n est strictement croissante.
f. Montrer que la suite (Sn )n est convergente.

un+1 =

23

un + vn
,
2

vn+1 =

un+1 + vn
2

pour tout n ∈ N∗ .

2

a. On pose wn = vn − un pour tout n.
Rappeler la dé nition d'une suite géométrique.
Montrer que la suite (wn )n est une suite géométrique.
Que peut-on en déduire pour le signe de wn et la limite de (wn )n ?
b. Montrer que pour tout n, un ≤ vn
c. Montrer que (un )n et (vn )n sont convergentes et de même limite.
d. On pose tn = un + 2vn . Montrer que la suite (tn )n est constante.
En déduire la limite des suites (un )n et (vn )n .

2.1 Limites

Exercice 33.

a. Montrer que les fonctions sinus et cosinus n'ont pas de limite en +∞.
b. Étudier l'existence des limites suivantes :


n−2 n+1
wn =
.
nα + 3


lim e−x x2 sin x, lim+ 1 + x sin x1 ,
x→+∞
x→0
x→0
q

1
lim x sin , lim
1 + x1 sin x − cos x1 sin x.
x x→+∞
x→0+
lim+ sin x1 ,

et yn+1 =

Étudier si les limites suivantes existent. Lorsque c'est le cas, les cal-

Exercice 34.

(Partiel no 2, 2013)
On considère les suites réelles (xn )n∈N , (yn )n∈N dé nies par x0 = 2, y0 = −1 et les
relations de récurrence :

culer.

Exercice 30.

xn − yn
2

lim

Exercice 32. On note E(x) la partie entière de x. Montrer que la fonction E n'a
pas de limite en 0. Étudier la limite de E(x2 ) quand x tend vers 0.

a. Montrer que la suite (un )n converge et déterminer sa limite.
b. (i) Lorsque α = 1, montrer que la suite (wn )n converge et calculer sa limite.
(ii) Pour quelles valeurs de α la suite (wn )n converge-t-elle ?
c. Montrer que la suite (vn )n converge et déterminer sa limite.

(R) xn+1 =

sin x2
= 0.
x→+∞ E(x)

E(x)
= 1 et
x→+∞
x
lim

(Partiel no 2, 2013) Pour tout réel x on note E(x) la partie entière de
x, c'est-à-dire l'unique entier véri ant les inégalités x − 1 < E(x) ≤ x. On xe un
paramètre α > 0. On considère les suites (un )n∈N , (vn )n∈N , (wn )n∈N dé nies par les
formules suivantes :

(E( n))2
vn =
,
n+3

On note E(x) la partie entière de x. Montrer que

Exercice 31.

Exercice 29.


E( n)
un =
,
n+3

Fonctions continues

2x2 − 3x + 2
x2 + 2x
2x2 − 3x + 2
, m = lim
, n = lim
,
2
2
x→+∞ 2x − x + 1
x→0 x + 3
x→0 2x − x + 1
1 + 3x2 + x3
x2 + 2x
1 + 3x2 + x3
o = lim
, p = lim
,
q
=
lim
,
x→+∞ x + 3
x→+∞
x→0
x + 5x2
x + 5x2

x2
ex − 2x
, s = lim
,
r = lim
x→0 sin x
x→0 x
x
sin x
, u = lim
t = lim
.
x→0 1 + exp( 1 )
x→0 1 − cos(x)
x
l = lim

−xn + 2yn
.
3

a. On pose zn = xn + yn . Exprimer zn+1 en fonction de zn .
Que peut-on en déduire pour la suite (zn )n ? Est-elle convergente ?
b. Exprimer xn+1 − xn en fonction de zn .
En déduire que la suite (xn )n est monotone.
c. Montrer par récurrence qu'on a |xn | ≤ 2 et |yn | ≤ 2 pour tout n.
d. À l'aide des questions précédentes, montrer que la suite (xn )n converge.
e. (Question hors-barême)
(i) Trouver une application f : R2 → R2 telle que (xn+1 , yn+1 ) = f (xn , yn )
pour tout n.
(ii) Résoudre le système f (x, y) = (x, y).
(iii) Peut-on modi er les valeurs de x0 et y0 de manière à ce que les suites (xn )n ,
(yn )n dé nies par les relations (R) soient constantes et non nulles ?

2.2 Développements limités
Exercice 35.

Déterminer le DL3 (0) des fonctions suivantes :
f (x) =



1 + 2x,

i(x) = cos(x),

24

1
x
,
h(x) =
,
1 + x2
1−x
j(x) = sin(2x2 ).

g(x) = √

Exercice 36.

Donner le DLn (0) des fonctions suivantes :
2

f (x) = e(x ) ,

Exercice 37.

g(x) = √

a.
b.
c.
d.

1
.
1 − x2

Calculer les DL3 (0) de

E ectuer le DL4 (0) de u(x) = x ln(1 + x) et véri er que limx→0 u(x) = 0.
Calculer le DL4 (0) de u(x)2 , u(x)3 et u(x)4 .
Déduire de ce qui précède le DL4 (0) de f (x) = eu(x) .
Calculer le DL3 (0) de g(x) = (1 + x)x .

Exercice 44.

ex
f : x 7→ √
, g : x 7→ cos x sin x,
1+x
h : x 7→ e−x cos(3x), i : x 7→ ln(1 + x) ln(1 − x).

Calculer les DL4 (0) de
x

f : x 7→ e(e ) ,

g : x 7→ ln(cos x),

Calculer les DL5 (0) de

1

Exercice 47.

Calculer, si elles existent, les limites suivantes :

ln(1 + x)
ex − 3x
x sin x
, m = lim
, n = lim
,
x→0
x→0
x→0
sin x
sin x
1 − cos x
tan x − sin x
x
ex − 1
o = lim 2
, p = lim
, q = lim
,
3
x→0
x→0 1 + e1/x
x→0 x + x
x


2
1+x−1−x
1
cos x − cos 2x
r = lim
, s = lim (|x|x − 1), t = lim
,
x→0 x
x→0
x→0
x
(sin x)2


2
1 − x2
ex +x − e2x
1
, v = lim
.
u = lim 2 ln
x→0
x→0 x
cos x
cos π2 x
l = lim

Calculer le DL4 (1) des fonctions
x ln x et g : x 7→

sin(πx)
.
πx

Calculer, lorsqu'ils existent :

a. les DL3 (1) de (ln x)/x2 et ex x,
b. les DL2 ( 14 ) de ln x et cos(πx),

c. le DL3 (3) de x − 3.

Exercice 41.

Exercice 48.

Montrer qu'il existe des réels a, b, c, d et une fonction ϕ : ]1, +∞[ → R
uniques tels que

Exercice 49.

et

Pour quelles valeurs de n ∈ N la quantité

lim ϕ(x) = 0.

x→+∞

Déterminer les limites suivantes :
l = lim

x→1

Donner la valeur de a, b, c et d.
Exercice 43.

(sin x)n
admet-elle une
ln(1 + x2 )

limite nie quand x tend vers 0 ? Lorsque c'est le cas, déterminer cette limite.

Exercice 42.

x3 + 1
c
d
ϕ(x)
= ax + b + + 2 + 2
x2 − 1
x x
x

.

2.3 Calculs de limites

√Étudier l'existence d'un développement limité au voisinage de 0 de
ex − 1 + x
g : x 7→
.
sin x − tan x



1
1−u

xln(x)

Exercice 46.

Exercice 39.

f : x 7→

1 − sin(x).

.
Déterminer le DL3 (1) de f (x) = 2
x −1
On pourra poser y = x − 1

p
p
3
f : x 7→ ch(x) sin(x), g : x 7→ 1 − x3 1 + x2 ,
1+x
sin x
h : x 7→
, i : x 7→
.
1−x
exp x

Exercice 40.

p

. On utilisera le DL2 (0) de
Calculer le DL4 (0) de f : x 7→
cos x
Quel est le DL5 (0) de f ?
Exercice 45.

Exercice 38.

h : x 7→

n = lim

On se propose de calculer le DL4 (0) de f : x 7→ (1 + x)x .

x→1 x3

25

ln x
,
−1

x3

cos x − sin x
,
sin(x − π4 )

2 + x − x4 − 32
o = lim
.
x→2
(x − 2)2

m = limπ

ex − e
,
+ x2 − x − 1

x→ 4

c. Soient a et b deux réels , trouver la condition nécessaire et su sante pour que
la limite m suivante existe, et donner la valeur de m lorsqu'elle existe.

2
1
+
quand x tend
(cos x)2
ln(sin x)
π
vers . On réduira au même dénominateur après avoir posé u = x − π2 .
2

Exercice 50.

Déterminer la limite de f (x) =

m = lim

Annales

x→0

(Partiel, 2003) (Les questions 2 et 3 sont indépendantes.)
a. Donner (sans justi cation) les développements limités des fonctions suivantes
à l'ordre 4 en zéro :

ln(1 + ax) − sin(bx)
.
1 − cos(x)

Exercice 51.

2.4 Continuité
Soit f : R∗ → R dé nie par f (x) = sin( x1 ).
a. Montrer que f est bornée. Atteint-elle ses bornes ?
b. Peut-on prolonger f par continuité à l'origine ?

Exercice 54.

a ∈ R xé.

a

ln(1 + x), sin x, cos x, (1 + x)

b. Déterminer un développement limité à l'ordre 3 en zéro de la fonction f dé nie
par :
f (x) =

ex

Étudier la continuité des fonctions suivantes :

1 si x ≥ 0
f : R → R, x 7→
0 si x < 0,

sin x
.
− cos x

Exercice 55.

c. Déterminer la limite lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures de la fonction
f dé nie par :



g : R → R, x 7→

sin x − x

√ .
f (x) =
sin x − x

(Partiel
no 4, √
2010)

3x + 1 −

esin x − ex

x+1

x sin x1
0

si x 6= 0
si x = 0,

sin x
si x ≤ c
ax + b si x > c.
Pour la dernière fonction a, b, c sont des constantes données.

h : R → R, x 7→

Exercice 52.



On pose f (x) =
et g(x) =
.
sin x
sin x − x
Déterminer les limites de f (x) et g(x) lorsque x tend vers 0.
Pour g on pourra faire un DL à l'ordre 3.



Soient x, y ∈ R+ et f : [a, b] → R une fonction continue, avec a < b.
Montrer qu'il existe c ∈ [a, b] tel que (x + y)f (c) = xf (a) + yf (b).

Exercice 56.

Exercice 57.

(Partiel no 3, 2013)
a. Rappeler les développements limités à l'ordre 2 au point 0 des fonctions suivantes :

On considère les équations

Exercice 53.

x → ln(1 + x),
x → cos(x),

x → sin(x),
x
x → e2 ,

x→



(E)

(F ) x7 − 3x − 1 = 0.

Montrer que (E) admet au moins une solution dans l'intervalle [0, 1] et que (F ) en
admet au moins une dans [1, 2].

1 + x.

b. Calculer le développement limité à l'ordre 2 au point 0 de la fonction
f : x 7→

p

x

On pose f (x) = x1 ln(
f est-elle continue en 0 ?

1 + sin(x) − e 2 .

Exercice 58.

Trouver le plus grand entier n tel que la limite l suivante existe et, pour cet
entier, calculer l.
p

On pose f (x) =
fonction continue sur R ?

x

l = lim

x→0

2x − 5x = 0,

1 + sin(x) − e 2
.
xn

Exercice 59.

26

ex − 1
) pour x 6= 0 et f (0) = 12 .
x

ex − e3x
pour x 6= 0. Peut-on prolonger f en une
x3

Exercice 60.

On pose f (x) =

f est-elle continue en 0 ?

2cosx + ex + e−x − 4

pour x 6= 0 et f (0) = 21 .
xsinx − x2 1 − x2
sinx

c. Soit f : R → R une fonction continue telle que limx→+∞ f (x) = a > 0 et
limx→−∞ f (x) = b < 0.
Montrer qu'il existe c ∈ R tel que f (c) = 0.

1

On pose f (x) = (
) x2 pour x 6= 0. Peut-on prolonger f par
x
continuité en 0 ?

Exercice 61.

Exercice 62.

o
Exercice 66. (Partiel n 3, 2009)
On xe a ∈ R+ et b ∈ R et on dé nie f : R → R en posant


ln(1 + ax2 )


si x < 0,



x2

3(cos x)2 (sin x) + 3 si x ∈ [0, π],
f (x) =




 31+x−π−1


+ b si x > π.
x−π

cos(1 − x) − 1
pour x 6= 1. Peut-on prolonger f par
2−x−1

On pose f (x) = √

continuité en 1 ?

Annales

a. Calculer limx→0− f (x).

(Partiel, 2006) Les réels a, b, α sont des paramètres. On considère
la fonction f : R → R dé nie par
Exercice 63.

 x
e



ax + b
f (x) =
0



−e−αx

si
si
si
si


3

b. Calculer limx→0+ 1+x−1
et en déduire limx→π+ f (x).
x
c. Pour quelles valeurs de a et b la fonction f est-elle continue sur R ?

x ≥ 1,
0 < |x| < 1,
x = 0,
x ≤ −1.

(Partiel no 4, 2009)
a. Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires.
b. Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction continue.
Montrer qu'il existe au moins un point c ∈ [0, 1] tel que f (c) = c.

Exercice 67.

a. Déterminer les intervalles de R où f est continue quels que soient les valeurs
de a, b, α.
b. À quelle condition, nécessaire et su sante, la fonction f est-elle continue à
l'origine ?
c. (i) Calculer les limites suivantes :
lim f (x),

x→1+

lim f (x),

x→1−

lim f (x),

x→−1+

Exercice 68.

2

On pose f (x) =
continue sur R ?

lim f (x).

x→−1−

(Partiel no 4, 2011)
a. Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires.
b. On considère l'équation (En ) : x3 + (n2 + 1)x + 2n + 1 = 0.
Montrer que pour tout n ∈ N∗ l'équation (En ) admet au moins une solution
xn ∈ [−1, 0].

(Partiel,
2008)


1+x−

e(x ) − cos x
pour x 6= 0. Peut-on prolonger f en une fonction
x2

Exercice 69.

(ii) Déterminer α, a, b pour que f soit continue sur R entier.
Exercice 64.

(Partiel no 4, 2010)

1−x

pour x ∈ [−1, 1], x 6= 0.
On pose f (x) =
ex − 1
Peut-on prolonger f par continuité en 0 ?

Exercice 70.
o

(Partiel n 4, 2011)

(Partiel, 2008) (Les trois questions sont indépendantes.)
2
n
a. Montrer que l'équation
(E) : x (cos x) − x sin x + 1 = 0 admet au moins une
π π
racine dans − 2 , 2 pour tout n ∈ N.
b. Soit f : [0, 1] → R une fonction

continue telle que f (0) = 0 et f (1) = 4.
Montrer qu'il existe c ∈ 0, 21 tel que f (c + 21 ) − f (c) = 2.

Exercice 65.

f (0) = a et f (x) =

1
x3

Soit a un réel et soit f : R → R la fonction dé nie par
2
ln(1 + x + x2 ) − x12 pour x 6= 0.

a. Montrer que f est bien dé nie sur R.
b. Peut-on choisir a pour que f soit continue sur R ?
27

(Partiel no 4, 2013)
a. Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires.
b. Montrer que pour tout entier n ∈ N∗ l'équation (En ) suivante, d'inconnue x,
admet au moins une solution xn dans l'intervalle [0, n] :

c. Dresser le tableau de variation de f et donner l'allure de la courbe représentative de f .

Exercice 71.



n2 ln 2 −

(En )

x
n

Exercice 74.

Exercice 75.

Exercice 76.

Soit f : R \ {1} → R la fonction dé nie par

a. La fonction f est-elle continue en 0 ?

Annales

ln(1 − x) ln(1 + x)
f (x)
=

pour tout x ∈ ]0, 1[.
x
x
x
c. La fonction f est-elle dérivable en 0 ?

b. Montrer que

Exercice 77.

dé nie par

d. Dresser le tableau de variation de f et préciser les limites aux bornes de l'ensemble de dé nition.
Soit f : [0, 1] → R la fonction dé nie par
f (x) =


x − ln x
0

 r

1+x

si x > 0
On pose f (x) =
1 + x2

 1 − ln(1 − 1 x) si x < 0.
2

a. Déterminer le domaine de dé nition D de f .
b. Montrer que f est continue sur D.
Peut-on prolonger la fonction f en une fonction continue sur R ?
c. La fonction obtenue est-elle dérivable sur R ?
d. Donner l'équation de la tangente en 0 à la courbe représentative de f .


2x


si x ≤ 0

 √1 + x 2
f (x) =


x − 1



si x ∈ ]0, 1[ ∪ ]1, +∞[.

ln

x + 1



On considère la fonction f dé nie sur ]−1, +∞[ par f (0) = 0, et

a. Montrer que f est continue sur ]−1, +∞[.
b. La fonction f est-elle dérivable sur ]−1, +∞[ ? Déterminer f 0 (0).
c. La fonction f est-elle de classe C 1 sur ]−1, +∞[ ?

3.1 Recherche de dérivées

Exercice 73.


ex − 1
.
x

f (x) = x1 (ln(1 + x) − x − 21 x2 ) pour x 6= 0.

Dérivation

Exercice 72.



Montrer que f peut être prolongée par continuité sur R en une fonction continue et
dérivable sur R.

= x.

On véri era soigneusement les hypothèses du théorème.
c. (Question hors-barême)
Pour tout n on choisit une solution xn de (En ) dans [0, n]. Est-il possible que
la suite (xn )n soit bornée ?

En supposant (xn )n bornée, on pourra déterminer la limite de ln 2 − xnn .

3

1
On pose f (x) = ln
x

(Partiel, 2007) Soit a, b des paramètres réels et f : R → R la fonction

 sin x
si x > 0
x
f (x) =

(x + a)2 + 2(x + a) + b si x ≤ 0.

a. Calculer limx→0− f (x) et limx→0+ f (x).
b. Quelle relation doivent véri er a et b pour que f soit continue en 0 ?
c. On suppose désormais que f est continue à l'origine.
(i) Calculer fg0 (0) et fd0 (0).
(ii) Peut-on choisir a et b pour que f soit dérivable en 0 ?

si x 6= 0
si x = 0.

a. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.
b. Montrer que pour tout x ∈ ]0, 1[ on a − ln x > 1 − x et étudier la dérivabilité
de f en 1.
28

(Partiel no 4, 2013)
On dé nit une fonction f : ]−1, 1[ → R en posant f (0) = 1 et

a.
b.
c.
d.
e.

Exercice 78.

f (x) =

a.
b.
c.
d.
Pour

sin x
ln(1 + x)

pour x 6= 0.

Justi er la dérivabilité de f sur ]−1, 0[ et ]0, 1[. Calculer f 0 sur ]−1, 0[ et ]0, 1[.
Montrer que f est continue en 0.
La fonction f est-elle dérivable en 0 ?
La fonction f est-elle de classe C 1 sur ]−1, 1[ ?
les 3 dernières questions, on pourra utiliser des DL à l'ordre 2.

Soit f : R → R une fonction de classe C 3 et a un réel xé. Déterminer
les limites suivantes en fonction des dérivées de f en a :

Exercice 84.

lim

t→0

3.2 Accroissements nis et formule de Taylor
Exercice 79.

Étudier la fonction f et en déduire que f ([0, 1]) ⊂ [0, 1].
Étudier la fonction f 0 et en déduire que |f 0 (x)| ≤ 41 pour x ∈ [0, 1].
Montrer qu'on a |f (x) − f (y)| ≤ 14 |x − y| pour tous x, y ∈ [0, 1].
Montrer qu'il existe un unique réel α ∈ [0, 1] tel que f (α) = α.
Montrer qu'on a |un − α| ≤ 4−n pour tout n. La suite (un )n converge-t-elle ?
Trouver un entier N pour lequel |uN − α| ≤ 10−4 .

Montrer que pour tous réels x et y on a : |cos2 x − cos2 y| ≤ 2|x − y|

f (a + t) − f (a − t)
f (a + t) + f (a − t) − 2f (a)
f (a + t) − f (a)
, lim
, lim
,
t→0
t→0
t
t
t2
f (a + 3t) − 3f (a + 2t) + 3f (a + t) − f (a)
lim
.
t→0
t3

Application : déterminer lim



1 √
( 2 + t + 2 − t − 2 2).

t→0 t2

Exercice 80.

a. Énoncer le théorème de Rolle.
b. En utilisant ce théorème, montrer que l'équation 3x5 + 15x − 1 = 0 admet une
unique racine réelle.

Exercice 85.

f 0 (0) = 0.

Soit a > 0 et f : [0, a] → R dérivable telle que f (0) = f (a) = 0 et

a. Exemple : a = 2π et f (x) = 1 − cos x. Tracer l'allure du graphe de f sur [0, 2π].
Discuter graphiquement l'existence de points (x, f (x)) en lesquels la tangente
au graphe de f passe par l'origine.
b. Montrer que la dérivée de la fonction x 7→ f (x)
x s'annule sur ]0, a[.
Montrer qu'il existe au moins 2 points du graphe de f sur [0, a] en lesquels la
tangente passe par l'origine.

Soit f : R → R une fonction dérivable sur R telle que f (0) = 0,
f (1) = −1 et f (2) = 1. Montrer qu'il existe c ∈ ]0, 2[ tel que f 0 (c) = 0.
Exercice 81.

Soit f : R∗ → R dé nie par f (x) = 21 (x + x2 ).
a. Montrer que − 21 ≤ f 0 (x) ≤ 12 pour tout x ≥ 1.
b. Montrer que pour tous a, b ≥ 1 on a |f (b) − f (a)| ≤ 21 |b − a|.

Exercice 82.

Exercice 86.




c. Véri er√que f ( 2) = 2 et déduire de la question précédente que |f (x)− 2| ≤
1
2| pour tout x ≥ 1.
2 |x −

On considère les fonctions
f : x 7→

d. On dé nit une suite (un )n∈N en posant u0 = 1 et un+1 = f (un ).
(i) Montrer par récurrence qu'on a 1 ≤ un ≤ 2 pour tout n.

(ii) Montrer par récurrence qu'on a |un − 2| ≤ 2−n pour tout n.
(iii) Montrer que (un )n∈N converge et déterminer sa limite. √
Expliquer comment calculer une valeur approchée de 2 à 10−6 près en
utilisant la suite (un )n .

1
,
1−x

g : x 7→

1
1
et h : x 7→
.
1+x
1 − x2

Calculer par récurrence la dérivée nième de f , dé nie sur R \ {1}. En déduire celles
de g puis h. Retrouver le développement de Taylor de f à tout ordre.
Calculer le DL4 (0) de f : x 7→ cos(x). En déduire la valeur de
f (4) (0). Essayer de retrouver cette valeur en calculant f (4) (x) pour tout x.

Exercice 87.

p

On pose f (x) = ex ln(x) pour x > 0.
a. Calculer le DL4 de f en 1.
b. En déduire la valeur de f (4) (1).

Exercice 88.

On considère la fonction f : R → R dé nie par f (x) = 13 x3 − 12 x2 + 1
et la suite (un )n∈N dé nie par u0 = 0 et un+1 = f (un ).

Exercice 83.

29

Enoncer le théorème des accroissements nis.
En déduire que ∀x ≥ 0, on a arctan(x) ≤ x.
Donner un encadrement de arctan( 21 )

b. Montrer qu'on a |f 0 (x)| ≤ 12 pour tout x ∈ R+ .
c. Énoncer le théorème des accroissements nis.
d. À l'aide des questions précédentes, montrer que |f (x) − α| ≤ 12 |x − α| pour tout
x ∈ R+ .

e. On dé nit une suite (un )n∈N en posant u0 = 1 et un+1 = 1 + un .
Véri er que un ≥ 0 pour tout n ∈ N.
Montrer que |un+1 − α| ≤ 12 |un − α| pour tout n ∈ N.
Montrer que |un − α| ≤ ( 12 )n pour tout n ∈ N.
En déduire que limn→∞ un = α.

Exercice 89.

Soit f une fonction de R dans R qui possède les propriétés suivantes
la fonction f est dérivable sur R
pour tout réel x, |f 0 (x)| ≤ 12
il existe un unique réel α tel que f (α) = α.
On considère la suite dé nie par u0 = 1 et un+1 = f (un ).
a. Enoncer le théorème des accroissements nis.
b. Montrer qu'on a |f (x) − f (y)| ≤ 12 |x − y| pour tous réels x,y .
c. Montrer qu'on a |un − α| ≤ 21 |un−1 − α| pour tout n ≥ 1
d. Montrer qu'on a |un − α| ≤ 2−n |1 − α| pour tout n.
Que peut-on en déduire pour la suite (un )n ?
Exercice 90.

3.3 Études de fonctions
Exercice 93.

Annales

On se propose d'étudier le graphe de la fonction


2

f : x 7→ x arctan

(Partiel, 2011)
Pour tout entier n ∈ N∗ on dé nit une fonction fn : R∗+ → R en posant

.

Déterminer le domaine de dé nition de f et étudier sa continuité.
Calculer la dérivée f 0 et l'écrire sous la forme f 0 (x) = xv(x).
Étudier les variations de v(x). En déduire le signe de f 0 (x) en fonction de x.
E ectuer un développement limité de u 7→ uf ( u1 ) à l'ordre 1 en 0.
(On admettra que arctan(t) = t + t2 (t) avec lim0 = 0.)
En déduire que le graphe de f admet une asymptote D en +∞ et −∞ dont
on précisera l'équation.
e. Montrer que le graphe de f coupe D en un unique point d'abscisse x0 , et que
x0 ∈ [−2, −1]. Pour cela on pourra étudier la fonction g dé nie par


fn (x) = n( n x − 1) − ln x.
y n −1
y−1



a.
b.
c.
d.

Exercice 91.

a. On xe un entier n ∈ N∗ .
(i) Rappeler la formule exprimant

1
1+x

comme polynôme pour tout y 6= 1.

(ii) Montrer que y − 1 ≤
− 1) pour tout y ≥ 1.

b. On xe un entier n ∈ N .
(i) Calculer et factoriser fn0 (x), pour tout x > 0.
(ii) Monter que pour tout x ≥ 1 on a |fn0 (x)| ≤ x−1
n .
1
n
n (y


g(x) = arctan

2

(iii) En déduire qu'on a |fn (x)| ≤ (x−1)
pour tout x ≥ 1.
n
(On notera que fn (1) = 0.)
c. On xe un réel x ≥ 1.

(i) Déterminer limn→∞ ( n x − 1).

(ii) Montrer que limn→∞ n( n x − 1) = ln x.
Ce résultat est-il encore valable pour x ∈ ]0, 1[ ? (On pourra poser y = 1/x.)

1
1+x


+

1−x
.
x2

f. Calculer f (0) et f (−2). Construire le graphe de f .
Représenter l'allure du graphe de f : x 7→ e1/x x(x + 1) et étudier
l'existence d'asymptotes.
p

Exercice 94.

(Partiel no 5, 2013)

On considère la fonction f : R+ → R, x 7→ 1 + x.
a. Calculer l'unique réel positif α ∈ R+ tel que f (α) = α.
Exercice 92.

30



Exercice 95.

Etudier la fonction x 7→ 2arctan( x)

Exercice 96.

2x
Etudier la fonction x 7→ arctan( 1−x
2)

Exercice 97.

Annales
Exercice 98.

Montrer que ∀x > 0 on a arctan(x) + arctan( x1 ) =

(Partiel, 2011)

(ii)
(iii)
c. (i)
(ii)
(iii)
(iv)

π
2



1 − x4
.
x
a. Déterminer l'ensemble de dé nition D de f et véri er que f est impaire.
Montrer qu'on peut étendre f par continuité à [−1, 1] : on notera encore f

On considère la fonction f dé nie par la formule f (x) =

1−

Exercice 101.

cette extension.
b. Étudier la dérivabilité de f sur D. On étudiera notamment l'existence de demitangentes en −1 et 1.

c. En multipliant l'expression de f par 1 + 1 − x4 en haut et en bas, montrer
que f est dérivable sur ]−1, 1[. Calculer la dérivée correspondante.
d. Établir le tableau de variations de f et représenter l'allure de son gaphe.



(Examen, Session 2, 2013)



On considère la fonction f dé nie par la formule f (x) = ln(1 + x) +

1
√ .
1+ x

a. Quel est le domaine de dé nition D de f ?
Justi er la continuité de f sur D et déterminer limx→+∞ f (x).
b. (i) Calculer f 0 (x) pour tout x ∈ R∗+ .
(ii) Montrer que pour tout x ∈ R∗+ on a f 0 (x) < 21 .
(iii) En déduire que pour tout x ∈ R∗+ on a f (x) < 1 + x2 . On appliquera le
théorème des accroissements nis entre 0 et x, après avoir soigneusement
véri é les hypothèses.
1
c. (i) Rappeler le développement limité de ln(1 + t) et 1+t
à l'ordre 2 en 0.
0
(ii) Montrer que f est dérivable en 0 et calculer f (0).
d. (i) Donner l'équation de la tangente (T ) au graphe de f au point d'abscisse 0.
(ii) Quelle est la position du graphe de f sur R∗+ par rapport à la droite (T ) ?

(Partiel no 5, 2013)
On dé nit une fonction f sur l'ensemble D = ]−1, +∞[ en posant f (0) = 1 et
Exercice 99.

f (t) =



Pour x ≥ 0, classer dans l'ordre les trois réels 1, e x et e− x .
Déterminer le sens de variation de f sur R∗+ .
Rappeler le développement limité de et à l'ordre 2 en 0.
Montrer que f est dérivable en 0 et calculer f 0 (0).
Donner l'équation de la tangente au graphe de f au point d'abscisse 0.
La fonction f est-elle de classe C 1 sur D ?

ln(1 + t)
.
t

a. Montrer que f est continue en 0.
b. Justi er que f est dérivable sur D et calculer f 0 (t) pour t 6= 0, t ∈ D.
On mettra f 0 (t) sous la forme f 0 (t) = t12 × h(t).
c. Calculer h0 (t) et en déduire le signe de h0 (t) pour t ∈ D.
En déduire que h est négative sur D.
d. En déduire le tableau de variation de f .
e. Étudier les limites aux bornes de f .
Que peut-on en déduire pour le graphe de f ?
f. Montrer que f est dérivable en 0. On précisera la valeur de f 0 (0) ainsi que
l'équation de la tangente en 0.
g. Dessiner l'allure du graphe de f . On fera gurer les éventuelles asymptotes et
la tangente en 0.

4

Intégration

4.1 Sommes de Riemann
Exercice 102.

An =

n−1
X
k=0

Déterminer les limites des suites ci-dessous lorsque n tend vers +∞ :

n
,
2
n + k2

Bn =

n−1
X

k2

k=0

1p
Dn = n (n + 1)(n + 2) · · · (2n),
n

(Examen, Session 1, 2013)


On considère la fonction f dé nie par la formule f (x) = e x + e− x .
a. Quel est le domaine de dé nition D de f ?
Justi er la continuité de f sur D et déterminer limx→+∞ f (x).
b. (i) Calculer f 0 (x) pour tout x ∈ R∗+ .

k
,
+ n2
En =

Cn =

n−1
X

1
nα+1

Exercice 100.

Exercice 103.

kα ,

k=0

Fn =

n−1
1 X 2

k cos
.
n3
n
k=0

À l'aide des sommes de Riemann, calculer les intégales suivantes :
Z
A=

1

Z
tdt, B =

0

31




1
n
n
n
(1 + 2 + 4 + · · · 2n ),
n

0

1

et dt.

Exercice 104.

On pose Vn =

n
n
X
X
k
k
k
k
sin
et
U
=
sin 2 sin .
n
n2
n
n
n

k=1

a. Déterminer les réels a, b, c, d tels que f (x) =

k=1

b. Déterminer les primitives de f sur ]−3, +∞[.

a. Montrer que limn→∞ Vn = sin 1 − cos 1.
b. On rappelle que x − 16 x3 ≤ sin x ≤ x pour tout x ≥ 0.
(i) Trouver une suite (Wn ) de limite nulle telle que Vn − Wn ≤ Un ≤ Vn pour
tout n.
(ii) Déterminer limn→∞ Un .

Exercice 108.

u4
du.
1 + u2
4
En utilisant l'égalité u = u4 − 1 + 1 , calculer I(a).

Rb t t
dt à l'aide d'un changement de variable.
b. Calculer J(b) = 0
1+t

a. On pose I(a) =

4.2 Intégrales, primitives, équations di érentielles
Exercice 105.

Z

2

1

Z
I4 =

Z

dx
,
x(1 + ln x)

I2 =
0

1

0

Z
I7 =

π
2

Z
x cos(2x) dx,

I8 =
π
4

0
1

Z
I10 =
0

x(ln x)2 dx,

1

Z

x

I9 =
0

Z
I11 =
0

1

π
2

(cos x)3 (sin x)3
dx,
1 + (sin x)2

dx
.
4x2 + 9

(partiel, 2008)
Calculer les intégrales suivantes en faisant apparaître le détail des calculs :
Z

Déterminer les primitives des fonctions suivantes :



I=

Z
x cos xdx,

Z
K=
1

e

2 ln x
dx,
x

ln 2π

e3x sin(ex )dx,

J=

π

p
1
x2
1 + ln x
√ , f2 (x) = x2 1 + x3 , f3 (x) =
, f4 (x) =
,
x ln x
2 + x3
1+ x
f5 (x) = (x + 1)ex , f6 (x) = ex sin x, f7 (x) = arctan x, f8 (x) = x cos 2x,

x x
x2
x
√ ,
,
f
(x)
=
f9 (x) = 2
,
f
(x)
=
11
10
(x + 1)2
x3 − 3x + 2
1+ x
x2 − 2x
sin 3x
f12 (x) = (x2 − x + 3) sin x, f13 (x) =
, f14 (x) = √
.
2
(x − 1)
cos x

Z

ln π
e

L=
1

ln(x) − 1
dx.
x(ln(x) + 1)2

Pour J la réponse est 4 − 5π 2 , on pourra commencer par un changement de variable.
u−1
a
b
Pour L on pourra déterminer a et b tels que (u+1)
2 = u+1 + (u+1)2 .
Résoudre les équations di érentielles suivantes.
On donnera également la solution véri ant la condition initiale y(0) = 0.
a. y + 4y = 0,
b. 2y 0 − 3y = 0,
1
c. y 0 + y = 1+e
x,
0
x
d. y + y = e − 1,
e. y 0 + 2y = √1x e−2x ,
Exercice 111.

Soit f la fonction dé nie sur R \ {−3} par la formule
f (x) =

Déterminer des primitives des fonctions suivantes :

Exercice 110.

f1 (x) =

Exercice 107.

0

1 + lnx
1
ln(1 + x2 )
f1 (x) =
f2 (x) =
f3 (x) =
x(1 + lnx)
x2
√xlnx


1
x+1−3

f5 (x) =
f6 (x) = t + 1e t+1
f4 (x) =
x+1
(t + 2) t + 1
2
x
f7 (x) = x(lnx)2 f8 (x) = 2
(x + 1)2

e

I6 =

cos x
dx,
(sin x)2

e dx
,
10 − 3ex

Exercice 109.

p
1 − t2 dt,

0

Z

1

π
2

Exercice 106.

I3 =

(ln x)2 dx,

I5 =

1

Z

dx
,
ch x

2

Z

x2 ex dx,

1

Ra

c. A l'aide
par parties, utiliser ce qui précède pour calculer
R 1 d'une intégration

K = 0 xarctan( x)dx.

Calculer les intégrales suivantes :

I1 =

a
b
cx + d
+
+
.
(x + 3)2
x + 3 x2 + 1

2(1 − x2 )
.
(x + 3)2 (x2 + 1)

32

f. y 0 + 2y = 2x−1
x2 ,
On commencera par résoudre les équations sans second membre.
Puis on utilisera la méthode de variation de la constante.

a
b
cu + d
+
+
.
u + 1 u + 2 u2 + 4
1
(ii) Déterminer une primitive de la fonction h : u 7→ 2
sur R+ .
u +4
(iii) En déduire une primitive de g sur R+ .


(iv) Déterminer une primitive sur − π2 , π2 de la fonction

(i) Déterminer les réels a, b, c, d tels que g(u) =

Résoudre les équations di érentielles suivantes :
a. x y − y = 0 sur R∗+ ,
b. (x ln x)y 0 − y = 0 sur ]1, +∞[,
c. y 0 − x1 y = x2 sur R∗+ ,
d. y 0 − x2 y = x2 sur R∗+ ,
e. (x + 1)y 0 + xy = x2 − x + 1 sur ]−1, +∞[,
f. y 0 − 2xy = −(2x − 1)ex ,
g. (1 + x)y 0 + y = 1 + ln(1 + x) sur ]−1, +∞[.
On commencera par résoudre les équations sans second membre en calculant une
primitive. Puis on utilisera la méthode de variation de la constante.
Exercice 112.

2 0

Exercice 113.

f : t 7→

(Examen, Session 1, 2013)
a. À l'aide d'intégrations par parties, déterminer une primitive de la fonction

Exercice 115.

f : R∗+ → R,

1
h(x) = √
,
x(x − 1)

g : R∗+ → R,



x
.
k(x) =
(x − 1)2

Exercice 116.

b. Calculer

Z

c. Calculer

Z

Pour tout n ∈ N on pose In =

1

0

1

Exercice 117.

Pour tout n ∈ N on pose In =

En utilisant l'identité

x arctan(x)dx.
dt

.
t+t
e2t dt
.
1 + et

d. On pose g(u) =

.

Z

n

xn e−nx dx.

a. Étudier la fonction f : x 7→ xe−x sur [0, n].
b. Majorer In et montrer que limn→∞ In = 0.

n
n+x

=1−

x
n+x ,

Exercice 118.

a.
b.
c.
d.

1
pour tout u ∈ R+ .
(u + 1)(u + 2)(u2 + 4)

33

Z

π

n sin x
dx.
n+x

0

déterminer la limite de la suite (In ).

0
4

x

0

(Examen, Session 1, 2010)

a. Calculer



x e−

4.3 Propriétés des intégrales

Annales
1





c. À l'aide d'une intégration par parties, déterminer une primitive de k.
d. À l'aide des questions précédentes, résoudre sur ]1, +∞[ l'équation di érentielle
2x(1−x)y 0 +(1+x)y = x. On commencera par l'équation sans second membre.

Z

x 7→

c. Résoudre l'équation di érentielle 2 x y 0 − y = 0, d'inconnue y : R∗+ → R.

d. Résoudre l'équation di érentielle 2 x y 0 − y = x, d'inconnue y : R∗+ → R.

b
a. Déterminer les réels a, b tels que g(x) = xa + 1−x
pour tout x > 1.
En déduire une primitive de g sur ]1, +∞[.
b. À l'aide d'un changement de variable, déterminer une primitive de h.
1
1
On pourra utiliser l'identité x22−1 = x−1
− x+1
.

Exercice 114.

t 7→ t2 e−t .

b. À l'aide d'un changement de variables, déterminer une primitive de la fonction

Pour x > 1 on pose

1+x
g(x) =
,
x(1 − x)

sin t
.
(1 + cos t)(2 + cos t)(5 − (sin t)2 )

Pour tout n ∈ N on pose In =

Z
1

e

x2 (ln x)n dx.

Justi er l'existence de In pour tout n.
Déterminer le signe de In pour tout n.
Montrer que la suite (In )n est décroissante.
La suite (In )n est-elle convergente ? Justi er.

e. (i) Donner une primitive sur R∗+ de la fonction ϕ : x 7→ (n + 1)(ln x)n /x.
(ii) En utilisant l'identité x (ln x) =
tout n.
(iii) Quelle est la limite de la suite (In )n ?
2

Exercice 119.

x3
n+1 ϕ(x),

n

montrer qu'on a In ≤

e3
n+1

f. Trouver une relation de récurrence entre les In .
g. En déduire la limite de la suite un = nIn .

pour

Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes dé nies sur R∗+ et
calculer leurs dérivées :

Exercice 122.

Pour tout n ∈ N∗ on pose
Z
In =

1





Z

x

2

e−t dt,

f (x) =

1

e t dt.

0

1 − xn dx.

x+x2

Z
g(x) =

x

0

a. Justi er l'existence de In pour tout n ∈ N∗ .
b. Pour a ∈ ]0, 1[ xé, quel est le sens de variation de la suite (an )n∈N∗ ?
Montrer que la suite (In )n est monotone et préciser son sens de variation.

c. Montrer que pour tout n ∈ N∗ et tout x ∈ [0, 1] on a 1 − xn ≤ 1.
En déduire que la suite (In )n converge.
R1
d. Montrer que pour tout n ∈ N∗ on a In ≥ 0 (1 − xn )dx.
En déduire la limite de la suite (In )n .

e.
f.

e.

x

(t − x)f (t)dt.

ϕ(x) =
0

Justi er l'existence de ϕ(x) pour tout x. Étudier la dérivabilité de ϕ et déterminer
ϕ0 le cas échéant.
Exercice 124.

Re

Exercice 125.

1
x→0 x

Soit f une fonction continue sur R. Déterminer lim

Z

1+x

f (t)dt.

1−x

On considère les fonctions f , g : R∗+ → R dé nies par
Z

x

f (x) =
1

ln t
dt,
1 + t2

x

Z
g(x) =

1
x

ln t
dt.
1 + t2

a. Justi er l'existence de f (x) et g(x) pour tout x > 0.
b. Étudier les variations de f .
c. Déterminer g 0 (x) pour tout x > 0, ainsi que g(1).
En déduire une expression de g sans intégrale.
d. En e ectuant le changement de variable t = 1s , retrouver l'expression de g .

On pose pour n ∈ N, ϕn (x) = (1 − x)n e−2x et In = 0 ϕn (x)dx
Justi er l'existence de In
Montrer que ∀n ∈ N, In est positif.
Calculer I0 et I1 .
Montrer que la suite (In ) est monotone (on précisera si la suite est croissante
ou décroissante).
Que peut-on en déduire ?
E ectuer le changement de variable u = 1 − x dans l'intégrale In .
1
En déduire l'encadrement : 0 ≤ In ≤ n+1
Que peut-on en conclure ?

Exercice 121.

a.
b.
c.
d.

Re

Soit f une fonction continue sur R. Pour tout x ∈ R on pose
Z

On pose pour n ∈ N, In = 1 x(lnx)n dx et I0 = 1 xdx
Justi er l'existence de In
Montrer que ∀n ∈ N, In est positif.
Calculer I0 et I1 .
Montrer que la suite (In ) est monotone (on précisera si la suite est croissante
ou décroissante).
Que peut-on en déduire ?
Trouver une relation de récurrence entre 2les In .
e
En déduire que pour tout n ∈ N, In ≤ n+1
En déduire la limite de la suite In .

Exercice 120.

a.
b.
c.
d.

Exercice 123.

R1

Exercice 126.

Pour tout x ∈ R∗+ on pose ϕ(x) =

2x

Z

x

et
dt.
t

a. Déterminer la limite de ϕ en 0. On pourra utiliser l'encadrement 1 ≤ et ≤ 1+2t
valable pour t ∈ [0, 1].
b. Déterminer la limite de ϕ en +∞.
c. Étudier les variations de ϕ.
Exercice 127.

Pour tout u ∈

R∗+

on pose I(u) =

Z

2u

u

34

sin x
et K(u) =
x2

Z

2u

u

dx
.
x

a. Calculer K(u) pour tout u.
b. Montrer qu'on a x −

x3
6

2

≤ sin x ≤ x pour tout x ∈ R+ .

c. En déduire que |K(u) − I(u)| ≤
d. Montrer que limu→0 I(u) = ln 2.
Exercice 128.

(iii) Montrer qu'on a 0 ≤ 1 − cos t ≤ t2 pour tout t ≥ 0.
(iv) En déduire que |f (x) − ln 2| ≤ 34 x2 pour tout x ≥ 0.
(v) Montrer que f est continue sur [0, +∞[.
d. Montrer que f est dérivable sur R∗+ et calculer f 0 (x) pour tout x > 0.
e. Étudier la dérivabilitté de f en 0 et déterminer f 0 (0) s'il existe.
Que peut-on en déduire pour la tangente au graphe de f au point d'abscisse
0?
R 2x t
f. (i) Montrer qu'on a f (x) = sin2x2x − sinx x + x sin
t2 dt pour tout x > 0.
(On pourra utiliser une intégration par parties.)

u2
4

pour tout u > 0.

Soit f : R → R la fonction dé nie par f (t) = e−t . On pose
2

Z

2x

F (x) =

f (t)dt pour tout x ∈ R.

x

t
(ii) Montrer que g(x) = x sin
t2 tend vers 0 en +∞.
(iii) En déduire la limite en +∞ de la fonction f .
g. Étudier les variations de f sur l'intervalle [0, 2π].
(On rappelle que cos(2x) = 2(cos x)2 − 1.)
En déduire l'allure de la courbe représentative de f sur [0, 2π] puis sur R.

R 2x

a. Montrer que f est paire, dérivable, et étudier ses variations sur R.
b. Justi er l'existence de F (x) pour tout x et montrer que F est continue, dérivable sur R et impaire.
c. Déterminer F 0 (x) pour tout x et les variations de F .
d. Montrer qu'on a F (x) ≤ xe−x pour tout x ≥ 0.
En déduire la limite de F en +∞.
e. Représenter l'allure du graphe de F en précisant la tangente en 0.
2

(Examen, Session 1, 2013)
Pour tout n ∈ N∗ on pose
Exercice 131.

Annales

Z
In =

Exercice 129.

(Examen, Session 1, 2011)

a.
b.
c.
d.
e.

Justi er l'existence de In pour tout n ∈ N∗ .
Tracer l'allure de la courbe d'équation y = 1 − cos x pour x ∈ [0, π].
Déterminer le signe de In pour tout n. Montrer que la suite (In )n est monotone.
La suite (In )n converge-t-elle ? Justi er.
Montrer qu'on a 1 − cos x ≤ x pour tout x ≥ 0.
On appliquera le théorème des accroissements nis entre 0 et x.
1
pour tout n.
f. À l'aide de la question précédente, montrer qu'on a In ≤ n+1
En déduire la limite de la suite (In )n .

1

b. Calculer I1 et I0 + I1 . En déduire la valeur de I0
c. Montrer que la suite (In )n est positive et monotone.
d. Montrer qu'on a 2 ≤ ex + 1 ≤ e + 1 pour tout x ∈ [0, 1].
En déduire un encadrement de In .
e. Déterminer les limites limn→∞ In , limn→∞ e−n In .
Exercice 130.

(Examen,
Session 1, 2011)
Z

Exercice 132.

On pose, pour n ∈ N∗ , In =

cos t
dt pour x 6= 0, et f (0) = ln 2.
On pose f (x) =
t
x
a. Justi er l'existence de f (x) pour tout x.

x

1−cos t
dt
t

1

b. Que peut-on dire du signe de In et Jn ?
c. Étudier la monotonie des suites (In )n∈N∗ et (Jn )n∈N∗ .
Ces suites convergent-elles ? On justi era la réponse.

b. À l'aide d'un changement de variable, montrer que f est paire.
R 2x
c. (i) Calculer x dtt .
R 2x

(Examen, Session
2, 2013)
Z

Z 1
tn
dt
et
J
=
tn ln(1 + t2 )dt.
n
2
1
+
t
0
0
a. Justi er l'existence de In et Jn pour tout n ∈ N∗ .

2x

(ii) Montrer que f (x) = ln 2 −

(1 − cos x)n dx.

0

enx dx
pour tout n ∈ N.
x
0 1+e
a. Justi er l'existence de In pour tout n.

On pose In =

Z

1

pour tout x 6= 0.
35

1
d. Montrer qu'on a 0 ≤ In ≤ n+1
pour tout n ∈ N∗ .
En déduire la limite de In lorsque n tend vers +∞.
2
ln 2
− n+1
In+2 . On pourra utiliser une intégration par
e. Montrer que Jn = n+1
parties.
f. En déduire que les suites (Jn )n et (nJn )n convergent et déterminer leurs limites.
Exercice 133.



a. On dé nit la fonction ϕ par ϕ(t) =

b. Calculer I1 en posant t = s2 .
c. Montrer que la suite (In )n∈N est monotone et positive. On précisera le sens de
variation.

d. Comparer t et t pour t ∈ [0, 1]. En déduire une majoration de In , puis montrer
que la suite (In )n∈N converge vers 0.
e. Montrer que la borne inférieure Inf {In | n ∈ N} existe, et déterminer sa valeur.
Calculs de primitives.
a. Déterminer une primitive de la fonction f : ]−1, +∞[ → R dé nie par f (t) =

1 + t2 − 1
si t 6= 0 et ϕ(0) = 0.
t

Exercice 136.

(i) Montrer que ϕ est une fonction impaire.
(ii) Montrer que ϕ est continue et dérivable sur R∗ .
Calculer ϕ0 (x) pour x 6= 0.
(iii) Montrer que ϕ est continue en 0.
Montrer que ϕ est dérivable en 0 et déterminer ϕ0 (0).
(iv) Dresser le tableau de variations de ϕ en précisant les limites aux bornes.
Tracer l'allure du graphe de la fonction ϕ sur R.
b. On pose f (x) =

Z

2x

t2
.
1+t

On pourra utiliser l'identité remarquable t2 − 1 = (t − 1)(t + 1).
b. Déterminer
une primitive de la fonction g : ]0, +∞[ → R dé nie par g(s) =

ln(1 + s).
On pourra procéder à un changement de variable, puis à une intégration par
parties.

ϕ(t)dt.

Exercice 137.

x

(i) Montrer que la fonction f est dé nie sur R.
(ii) À l'aide d'un changement de variable, montrer que la fonction f est paire.
(iii) Montrer que la fonction f est dérivable sur R∗ et calculer f 0 (x) pour x 6= 0.
Déterminer le signe de f 0 (x) pour x ≥ 0.
(iv) A l'aide d'une minoration, déterminer la limite de f en +∞.

On pose pour n ∈ N, In =

0

Calculs de primitives.
a. Déterminer une primitive de la fonction f : ]−1, +∞[ → R dé nie par f (t) =
t2
.
1+t

On pourra utiliser l'identité remarquable t2 − 1 = (t − 1)(t + 1).
b. Déterminer
une primitive de la fonction g : ]0, +∞[ → R dé nie par g(s) =

ln(1 + s).
On pourra procéder à un changement de variable, puis à une intégration par
parties.

Z
0

1

1

dt
√ .
(1 + t)n

Exercice 138.

a. On dé nit la fonction ϕ par ϕ(t) =



1 + t2 − 1
si t 6= 0 et ϕ(0) = 0.
t

(i) Montrer que ϕ est une fonction impaire.
(ii) Montrer que ϕ est continue et dérivable sur R∗ .
Calculer ϕ0 (x) pour x 6= 0.
(iii) Montrer que ϕ est continue en 0.
Montrer que ϕ est dérivable en 0 et déterminer ϕ0 (0).
(iv) Dresser le tableau de variations de ϕ en précisant les limites aux bornes.
Tracer l'allure du graphe de la fonction ϕ sur R.

Une suite d'intégrales.

On pose pour n ∈ N, In =

Z

a. Justi er l'existence de In pour tout entier naturel n. Calculer I0 .
b. Calculer I1 en posant t = s2 .
c. Montrer que la suite (In )n∈N est monotone et positive. On précisera le sens de
variation.

d. Comparer t et t pour t ∈ [0, 1]. En déduire une majoration de In , puis montrer
que la suite (In )n∈N converge vers 0.
e. Montrer que la borne inférieure Inf {In | n ∈ N} existe, et déterminer sa valeur.

Exercice 134.

Exercice 135.

Une suite d'intégrales.

dt
√ .
(1 + t)n

a. Justi er l'existence de In pour tout entier naturel n. Calculer I0 .
36

b. On pose f (x) =

Z

2x

ϕ(t)dt.

x

(i) Montrer que la fonction f est dé nie sur R.
(ii) À l'aide d'un changement de variable, montrer que la fonction f est paire.
(iii) Montrer que la fonction f est dérivable sur R∗ et calculer f 0 (x) pour x 6= 0.
Déterminer le signe de f 0 (x) pour x ≥ 0.
(iv) A l'aide d'une minoration, déterminer la limite de f en +∞.

37

Troisième partie

Annales
1

Exercice 3.

On considère les sous-ensembles suivants de E = R3 :
F = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + 3y − 4z = 0},
G = {(a − 2b, 3a + b, 2a − b) | a, b réels}.

Annales 2013/2014

On admet que F , G, et donc F ∩ G, sont des sous-espaces vectoriels de E .
a. Soit u = (a − 2b, 3a + b, 2a − b) un vecteur de G. À quelle condition sur a et b
a-t-on u ∈ F ?
b. Déterminer un vecteur v tel que F ∩ G = Vect(v).

1.1 Devoir1
Questions de cours.

Rappeler la dé nition :
a. des sous-espaces vectoriels F d'un espace vectoriel E ,
b. de la borne supérieure M d'un sous-ensemble A ⊂ R.

1.2 Devoir2

Exercice 1.

On considère le sous-ensemble A ⊂ R dé ni comme suit :

A=

Exercice 4.



p2 + 3q + 1
p,
q

N
.
p2 + q + 1

a. Une suite de nombres réels décroissante et majorée est-elle convergente en
général ? (Justier la réponse)
Que peut-on dire d'une suite de nombres réels croissante et majorée ?
b. Posons u0 = 12 et et pour n ∈ N, un+1 = un − (un )2 :
(i) Montrer par récurrence sur n que 0 ≤ un ≤ 1 pour tout n ∈ N.
(ii) Montrer que (un ) est décroisssante.
(iii) Montrer que (un ) est convergente et calculer sa limite.

a. Montrer que 3 est un majorant de A, et trouver un minorant de A.
b. Justi er que A admet des bornes inférieure et supérieure.
c. Montrer que pour tout n ∈ N∗ on a 3 − n2 ∈ A.
On pourra admettre le résultat de cette question et passer à la suivante.
d. Déterminer la borne supérieure de A.
e. L'ensemble A admet-il un plus grand élément ?
f. Montrer que A admet un plus petit élément.

Exercice 5.

a. Soient (u1 , . . . , un ), n vecteurs d'un R-espace vectoriel E ;
Qu'appelle-t-on rang de la famille u1 , . . . , un ?
b. Soient u1 = (1, 1, 0, 0) , u2 = (0, 1, 1, 0), u3 = (0, 0, 1, 1) et u4 = (1, 0, −2, −1)
quatre vecteurs dans R4 :
(i) La famille (u1 , u2 , u3 , u4 ) est-elle libre ?
(ii) Quel est le rang de la famille (u1 , u2 , u3 , u4 ) ?
c. (i) Soit F = {(x, y, z) ∈ R3 , x − 3y = 0}, Montrer que F est un sous R-espace
vectoriel de R3 .
(ii) Soient u = (3, 1, 0) et v = (0, 0, 1) : Montrer que (u, v) est une famille libre.
(iii) Montrer que (u, v) est une base de F . Quelle est la dimension de F ?
(iv) Soit w = (6, 2, −3) : Déterminer les coordonnées de w dans la base (u, v)
de F .

Exercice 2.

a. (i) Représenter, sur 3 dessins séparés, les sous-ensembles suivants de R2 :
F = {(−1, 3)},

G = {(x, y) ∈ R2 | 3x + y = 0},

H = {(a, −2a) | a ∈ R}.

(ii) Les sous-ensembles F , G, H sont-ils des sous-espaces vectoriels de R2 ?
Justi er.
b. On note E l'espace vectoriel de toutes les fonctions de√R dans R.
Montrer que le sous-ensemble C = {f ∈ E | f (1) = f ( 2)} est un sous-espace
vectoriel de E

38

1.3 Devoir3

1.4 Devoir4

Exercice 6.

Exercice 12.

Donner(sans justi cation) les développements limités à l'ordre 3 en 0 des fonctions
suivantes :f (x) = ln(1 + x) , g(x) = sin(x) , h(x) = cos(x), l(x) = (1 + x)α ,
k(x) = ex .
Exercice 7.

Déterminer la limite en 0 de la fonction suivante : f (x) =

Exercice 8.

Donner un développement limité à l'ordre 3 en 0 de la fonction f (u) =



1 + u.

Déterminer la limite en 0 de la fonction suivante : g(x) =

1
x3 (



Soit f : R → R la fonction dé nie par f (0) = 1 et
f (x) =

2 − 2 cos x
(1 − ex )2

pour x 6= 0 .

a. Donner les développements limités à l'ordre 2 en 0 des fonctions g(x) = ex et
h(x) = (1 − ex )2 .
b. Déterminer la limite en 0 de la fonction f .
c. La fonction f est-elle continue en 0 ?
d. Calculer, si elle existe, la limite suivante :

ln(1+x)−sinx
x


1 + 2x− 1 − 2x−2x)

f (x) − f (0)
x→0
x
lim

Déterminer le réel a pour que la limite en 1 de la fonction suivante :
1
h(x) =
− a(x−1)
existe et est nie. Dans ce cas, on donnera la valeur de cette
limite .(indication : on pourra se ramener en 0).

e. La fonction f est-elle dérivable en 0 ?

Exercice 9.

cos(x−1)
ln(x)

Exercice 13.

a. Rappeler l'énoncé du théorème des valeurs intermédiaires.
b. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, montrer que l'équation suivante admet au moins une solution dans l'intervalle [2 , 5] :

Exercice 10.

a. Soit E et F deux R-espaces vectoriels et f une application de E dans F . Quand
peut-on dire que f est une application linéaire ?
b. Montrer que les applications suivantes lesquelles sont linéaires ?
f dé nie de R2 dans R2 par f (x, y) = (2x − y, x + y)
g dé nie de R3 [X](ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 3)
dans R par g(P ) = P (0)

(E) :

3
2
5
+
+
= 0.
x+1 x−1 x−7

c. Montrer que l'équation (E) de la question précédente admet aussi une solution
dans ] − 1, 1[.
Exercice 14.

a. Rappeler l'énoncé du théorème du rang.
b. Soit f : R3 → R2 une application linéaire. Montrer que f n'est pas injective.

Exercice 11.

Soit f l'application linéaire (on admettra que f est linéaire) dé nie de R4 dans R4
par
f (x, y, z, t) = (x + y − z − t, x + y + z + t, −x − y + z + t, x − y + z − t).
Soit (e1 , e2 , e3 , e4 ) la base canonique de R4
a. On pose ui = f (ei ) . Calculer u1 , u2 , u3 , u4 .
b. Calculerf (u4 )
c. Est-ce que f est injective ?
d. Rappeler la dé nition de Kerf puis déterminer Kerf . On donnera une base
de Kerf .
e. Montrer que le vecteur w = (1, 0, 1, 0) ne possède pas d'antécédent par f ?
Est-ce que f est surjective ?
f. Déterminer le rang de la famille (u1 , u2 , u3 , u4 ).
g. Donner une base de Imf

Exercice 15.

par

Soit f : R3 → R3 l'application (on admettra que f est linéaire) dé nie

f (x, y, z) =

x − y −x + y
,
,z
2
2


.

On pose u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, −1, 0) et u3 = (1, −1, 1).
a. Montrer que la famille {u1 , u2 , u3 } est une base de R3 .
b. Calculer f (u1 ), f (u2 ), f (u3 ). En déduire que f ◦ f = f .
c. On pose F = Ker(f ) et G = Im(f ). Déterminer dim(F ) et dim(G). On pourra
utiliser le théorème du rang, et dans tous les cas on précisera la méthode utilisée.
d. Montrer que F ⊕ G = R3 .
e. Montrer que pour tout w ∈ G, f (w) = w.
f. Soit p : R3 → R3 la projection sur F parallèlement à G. Soit v un vecteur
quelconque de R3 . Exprimer p(v) en fonction de v et f (v).
39

1.5 Devoir5

1.6 Examen session1

Exercice 16.

Exercice 18.

a. Donner l'énoncé du Théorème des accroissements nis.
b. Soit f une fonction dérivable de R dans R. Soient a, b, c ∈ R, a < c < b tels
que f (a) < 0, f (b) < 0 et f (c) > 0.
(i) Montrer qu'il existe d ∈]a, c[ et e ∈]c, b[ tels que f (d) = f (e) = 0.
(ii) Montrer qu'il existe x ∈]d, e[ tel que f 0 (x) = 0.
c. Soit g(x) = cos(x)−1−sin(x)
:
x
(i) Déterminer Dg le domaine de dé nition de g : la fonction g est-elle continue
sur Dg ?
(ii) La fonction g est-elle dérivable sur Dg ? Si la réponse est a rmative, donner
sa dérivée.
(iii) Posons g(0) = −1 : montrer que g est continue en 0.
(iv) g est-elle dérivable en 0 ?

Z
(donc I0

A=

1
2

1
2

1
2





C=






1

1
, B=
2
−1
0
1
1
4
5

0
1
1


0
1
3

1
A =  −4
0

(i)
(ii)
(iii)
(iv)

1

Z
1 − tdt, I1 =


tn 1 − t dt

0


t 1 − tdt, , I2 =

0

1

Z


t2 1 − tdt, ...)

0

1
. En déduire la limite de la suite (In )n∈N .
n+1
2n
f. Montrer qu'on a pour tout n ≥ 1 : In =
In−1 .
2n + 3
g. Calculer I1 , I2 .
3x + 7

, et on considère la suite dé nie par : u0 =
On pose f (x) =
x+3
2, un+1 = f (un ).

Exercice 19.


1
1 
1

a. Trouver le domaine de dé nition de f , montrer que f est dérivable sur Df ,
calculer l'expression de f 0 (x).
b. Donner le tableau de variation de f .
c. Montrer que f ([2, 3]) ⊆ [2, 3].

0 −7
2 3 

1 1 

0 1 

1 1 
6 7

0
−1
0



1

e. Montrer que : ∀n, 0 ≤ In ≤

d. Montrer que : ∀x ∈ [2, 3], |f 0 (x)| ≤

2
.
25

2
|x − y|.
25
f. Montrer, en le calculant, qu'il existe un unique α ∈ [2, 3] tel que : f (α) = α.
n
2
g. Montrer que : ∀n ∈ N, |un − α| ≤
.
25
1
h. Montrer que (un )n converge vers α, et donner un rang N tel que |uN −α| ≤ 3 .
10

e. Prouver que : ∀x, y ∈ [2, 3], |f (x) − f (y)| ≤

c. On considère la matrice suivante de M3 (R) :


1

Z

a. Expliquer pourquoi In est bien dé nie pour tout n.
b. Montrer que (In )n∈N est décroissante et donner le signe de In . Peut-on, sans
plus de calcul, a rmer une conclusion sur la convergence de la suite (In )n∈N ?
Justi er soigneusement.

c. Calculer I0√
. Montrer qu'une primitive de t 7→ 1 − t est proportionnelle à
t 7→ (t − 1) 1 − t.

d. Prouver que : ∀t ∈ [0, 1], 0 ≤ 1 − t ≤ 1.

a. Donner la dé nition du rang d'une matrice .
b. Déterminer le rang des matrices suivantes :


=
0

Exercice 17.



On pose pour tout entier n ∈ N, In =


−1
−1 
2

Calculer A2 et A3 .
) Calculer A3 − 2A2 − A.
Montrer que la matrice A est inversible et donner son inverse.
Soit AT la transposée de A : AT est-elle inversible ?

On justi era son estimation.

Exercice 20.

a. Donner des réels a, b, c tels que : ∀x ∈ R+ ,
40

3(1 − x)
a
bx + c
=
+ 2
.
3
1+x
x+1 x −x+1

b. Calculer une primitive de :
c. Calculer :

Z
0

1

2x − 1
.
x2 − x + 1

Exercice 23.



−1
 0
A=
 0
1

3(1 − x)
dx.
1 + x3

On se place dans l'espace usuel E = R3 rapporté à sa base canonique
Bcan = (e1 , e2 , e3 ).
Exercice 21.

f (e1 ) = −2e1 + e2 + e3 , f (e2 ) = 2e1 − e2 − e3 , f (e3 ) = 0

Trouver une base du sous-espace F = im(f ) et une base de ker(f ).


1
b. Soit g : E → E l'application linéaire de matrice Mg =  1
0
Trouver une base du sous-espace G = im(g) et une base de


0 1
1 2 .
1 1
ker(g).

:

On pose D =] − 1, +∞[
Soit f : D → R la fonction dé nie par la formule f (x) = ln(x+1)−x
pour x 6= 0, et
x2
f (0) = − 21 .
a. Montrer que f est continue et dérivable sur D∗ = D − {0}.
b. Montrer que f est continue en 0.
c. Montrer que f est dérivable en 0. On précisera la valeur de f 0 (0).
d. Donner l'équation de la tangente en 0 à la courbe représentative de f .
e. Déterminer les limites de f en −1 et en +∞.
f. Calculer f 0 (x) pour x ∈ D∗ .
x
− 2ln(x + 1). Véri er que f 0 (x) = x13 h(x).
g. On pose h(x) = x + 1+x
0
En étudiant h (x) montrer que h est croissante sur D.
En déduire le tableau de variation de f .
h. Tracer l'allure de la courbe représentative de f .

R3
(−8x − 2y + 16z, −3x − y + 6z, −5x − y + 10z)

a.
b.
c.
d.

Ecrire la matrice A de f dans la base canonique Bcan = (e1 , e2 , e3 ) de E = R3 .
Calculer le sous-espace F = ker(f ) en en donnant une base.
Déduire le rang de A des questions précédentes.
On pose u = 3e1 + e2 + 2e3 , v = 2e1 + e2 + e3 . Calculer f (u) et f (v). En déduire
que u, v ∈ im(f ).
e. Calculer le sous-espace im(f ).


3

2

2

2

1

1


1
0 

0 
−2

Exercice 24.

On considère l'application linéaire :

R3
−→
(x, y, z) 7−→

−7
1
2
4

1.7 Examen session2

c. Trouver la matrice de f +g , puis une base de im(f +g) et une base de ker(f +g).
d. Trouver une base de F + G. Quel est l'espace F ∩ G ? A-t-on : im(f ) + im(g) =
im(f + g) ?

f

−2
1
0
−7

a. Calculer det(A), et en déduire le rang de la matrice A.
b. Calculer det(A−I4 ). Que peut-on en déduire sur le rang de la matrice (A−I4 ) ?
c. Calculer le rang de la matrice A − I4 .

a. On considère l'application f : E → E , linéaire telle que :

Exercice 22.

On considère la matrice suivante de M4 (R) :

On travaille sur R+∗
a. Déterminer les réels a et b tels que

Exercice 25.



2
t(t+2)

=

a
t

+

b
t+2

pour tout t ∈ R+∗ .

b. En déduire une primitive F , sur R+∗ de la fonction f dé nie par f (t) =

f. On pose P =  1 1 0 . Prouver que P est inversible et calculer P −1 .

2
t(t+2) .

c. À l'aide d'intégrations par parties, déterminer une primitive G sur R+∗ de la
fonction g dé nie par g(t) = 2 ln(2+t)
.
t2
d. À l'aide d'un changement
de variables, déterminer une primitive H de la foncx
)
tion h(x) = 2 ln(2+e
ex

g. Question de cours : Donner une base B0 telle que P soit la matrice de passage
de Bcan à B0 . Quelle est la matrice de passage de B0 à Bcan ? Si B est la matrice
de f dans B0 , rappeler la relation reliant les 4 matrices dé nies dans l'exercice.
h. Calculer B . On pourra chercher à le faire avec le moins de calculs possible.
i. Donner la valeur de la matrice An , en fonction de l'entier n ∈ N.

Exercice 26.

41

Pour tout n ∈ N∗ on pose In =

R1
0

xn e1−x dx et I0 =

R1
0

e1−x dx

a. Justi er l'existence de In pour tout n ∈ N. Déterminer le signe de In pour tout
n.
b. Montrer que la suite (In )n est monotone.
c. La suite (In )n converge-t-elle ? (on justi era).
d. Calculer I0 . En déduire I1 à l'aide d'une intégration par parties.
e. A l'aide d'une intégration par parties dans le calcul de In+1 déterminer une
relation de récurrence entre In+1 et In .
e
f. En déduire que l'on a In ≤ n+1
pour tout n.
Que vaut la limite de la suite (In )n ?
g. Exprimer nIn en fonction de In et In+1 et en déduire la limite de la suite

(ii) Calculer f (u1 ) et f (u2 ). Dites pourquoi u1 ∈ Imf et u2 ∈ Imf . En déduire
que (u1 , u2 ) est une base de Imf .
(iii) Déterminer la matrice B de f dans la base U .
e. Soit P la matrice de passage de la base E à la base U .
(i) Écrire la matrice P et calculer P −1 .
(ii) Quelle relation lie les matrices A , B , P et P −1 ?
(iii) En déduire comment calculer la matrice An (vous poserez le calcul mais il
n'est pas demandé de le faire).
Exercice 29.

1
A= 2
1

(nIn )n
Exercice 27.

E = R4 :

On considère les matrices suivantes :



On considère les sous-ensembles suivants de l'espace vectoriel réel
F = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x − y + z − t = 0},
G = {(x + y, x − y, 2x + y, x + 2y) avec (x, y) ∈ R2 }.

a.
b.
c.
d.

2

On pose E = R . Soit f l'application linéaire de E dans E dont la
matrice dans la base canonique E est
3



3
A =  −1
1

a.
b.
c.
d.

1
1
1



m−2
2
=
2m

2
m
2(m + 1)

−2
0
3
3
1
2 

−4 −1 −1 
−3
0
4


−1
2 ,
m+1

a. Calculer det(A). Que peut-on en déduire pour le rang de la matrice A ?
b. Calculer det(C). Que peut-on en déduire pour le rang de la matrice C ?
c. Pour quelles valeurs de m la matrice Bm est-elle inversible ? On expliquera la
méthode suivie.

Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E .
Déterminer une base BF de F et en déduire la dimension de F .
Déterminer une base BG de G et en déduire la dimension de G.
Rappeler la formule permettant de calculer dim(F ∩ G) en fonction des dimensions de F , G et F + G. Sans déterminer F + G ni F ∩ G, en déduire que
dim(F ∩ G) ≥ 1.

Exercice 28.


−1
3
2 −1  , Bm
−5 10

1
 −1
C=
 2
3

Annales 2014/2015

2.1 Devoir1

Partie I


−3
1 .
−1

Questions de cours.

a. Donner la dé nition d'un minorant et celle de la borne inférieure d'un sousensemble A ⊂ R.
b. A quelle condition un sous-ensemble F d'un espace vectoriel E est-il un sousespace vectoriel ?

Soit w le vecteur de coordonnées (x, y, z) dans la base E . Calculer f (w).
Calculer rg(A). Que peut-on en déduire pour f ?
Déterminer Ker f . On donnera une base de Ker f .
On pose u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, −1, 0) et u3 = (1, 0, 1).
(i) Montrer que la famille U = (u1 , u2 , u3 ) est une base de E . On expliquera la
méthode choisie pour cette démonstration.

Exercice 30.

On considère le sous-ensemble A ⊂ R dé ni comme suit :

A=

42



2n + 1
n

N
.
3n + 2

a.
b.
c.
d.

Montrer que l'ensemble A est majoré et minoré.
Justi er que A admet des bornes inférieure et supérieure.
2
1
Montrer que pour tout n ∈ N on a 2n+1
3n+2 = 3 − 3(3n+2)
Déterminer la borne supérieure de A. L'ensemble A admet-il un plus grand
élément ?
e. Montrer que A admet un plus petit élément.

a. (i) Donner un développement limité de la fonction qui à x associe ln(1 + x) à
l'ordre 4 en 0.
(ii) Donner un développement limité de la fonction qui à x associe sinx à l'ordre
4 en 0.
(iii) En déduire un développement limité de la fonction qui à x associe ln(1+x)
sinx
à l'ordre 3 en 0.
b. Calculer le développement
limité à l'ordre 4 au voisinage de 1 de la fonction

qui à x associe xln(x).

Exercice 31.

Soient A et B deux sous-ensembles non vides de R tels que A ⊂ B avec B majoré.
a. Montrer que A est majoré et justi er l'existence de sup(A) et sup(B).
b. Montrer que sup(A) ≤ sup(B)

On considère la suite (un) dé nie par :un+1 = 13 un +4 pour tout n ∈ N
et u0 = a. On pose alors : vn = un − 6 pour tout n ∈ N.
a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la
raison et le premier terme.
b. Exprimer vn en fonction de n. Etudier la limite de (vn ).
c. En déduire la limite de (un ).

Exercice 36.

Partie II

Exercice 32. Pour chacun des ensembles suivants, dire s'il s'agit ou non d'un sousespace vectoriel (avec démonstration) :
a. F = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x − y − z = 2} .
b. G = {P ∈ E | P (0) = P (1) = 0} où E désigne l'espace vectoriel des polynômes
à coe cients réels c'est à dire R[X] .

SoientE = {(x, y, z) ∈ R3 tel que x + y − 2z = 0 et 2x − y − z = 0} et
F = {(x, y, z) ∈ R3 tel que x + y − z = 0} deux sous-ensembles de R3 . On admettra
que F est un sous-espace vectoriel de R3 .
Soient a = (1, 1, 1), b = (1, 0, 1) et c = (0, 1, 1).
a. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R3 .
b. Déterminer une famille génératrice de E et montrer que cette famille est une
base.
c. Montrer que {b, c} est une base de F . En déduire la dimension de F .
d. Montrer que {a, b, c} est une famille libre de R3 .
e. A-t-on E ⊕ F = R3 ? Justi er.
f. Soit u = (x, y, z), exprimer u dans la base {a, b, c}.

Exercice 37.

Exercice 33.

On considère les sous-ensembles suivants de E = R3 :
F = {(x, y, z) ∈ R3 | x − 3y + 2z = 0},
G = {(a − b, a + b, 2a − b) | a, b réels}.

a. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de E .
b. Justi er que F ∩ G est un sous-espace vectoriel de E (sans déterminer cet
ensemble).
c. Déterminer F ∩ G. On déterminera un vecteur v tel que F ∩ G = {α.v , α ∈ R}.

2.3 Devoir3

2.2 Devoir2

Exercice 38.

a. Rappeler l'énoncé du théorème des valeurs intermédiaires.
b. Montrer que l'équation suivante admet au moins une solution dans l'intervalle
[0 , 1] :

Exercice 34.

a. Donner la dé nition d'une famille libre d'un espace vectoriel avec un exemple
et contre-exemple dans R2 .
b. Donner la dé nition de la dimension d'un espace vectoriel.

2x − 3x = 0 .

Exercice 35.

43

c. Soit f : R∗ → R la fonction
x 7−→ f (x) =

a. Déterminer la dimension de F et le rang de la famille {u, v}.
Soit f : R3 → R2 l'application dé nie par

2
.
x

f (x, y, z) = (2x − y + 3z, y + z) .

Cette fonction prend-elle toute valeur intermédiaire entre f (−1) et f (1) ? Justi er.

On admettra que f est linéaire et on pose G = Ker(f ).
b. Donner un vecteur w ∈ R3 tel que G = Vect(w).
c. Soient a, b ∈ R. Calculer f (au + bv) en fonction de a et b. En déduire que
F ∩ G = {0}.
d. Montrer que F ⊕ G = R3 .
e. Soit p : R3 → R3 la projection sur F parallèlement à G.
a. Que vaut p(u) ?
b. Soit e1 = (1, 0, 0). Montrer qu'il existe un réel λ tel que e1 − λu − v ∈ G =
Ker(f ).
c. En déduire p(e1 ).

Exercice 39.

a. Donner (sans justi cation) les développements limités à l'ordre 2 en 0 des
fonctions ex et cos(x).
Soit a ∈ R. On considère la fonction f : R → R dé nie par
f (x) =

ex − cos(x)
x

si x 6= 0 ,

et f (0) = a .

b. Déterminer la limite en 0 de la fonction f .
c. Pour quelle valeur de a la fonction f est-elle continue en 0 ?
d. On suppose que f est continue en 0.

2.4 Devoir4

a. Calculer, si elle existe, la limite suivante :

Soit f : R3 → R3 l'application linéaire dont la matrice dans la base
canonique de R3 est



f (x) − f (0)
x→0
x

Exercice 42.

lim

1 1
A =  −1 3
−2 2

(0)
(On pourra écrire f (x)−f
sous la forme g(x)
x
x2 avec g(x) une fonction conve∗
nable sur R et utiliser un DL à l'ordre 2.)
b. La fonction f est-elle dérivable en 0 ?

On désigne par I ∈ M3 (R) la matrice identité.
Les questions c, d et e sont indépendantes.
a. Donner l'expression de f (x, y, z) et une famille génératrice de Im(f ).
b. Déterminer le rang de A et une base de Im(f ). Quelle est la dimension de
Ker(f ) ?
c. Écrire la matrice B = A − 3 I et calculer son inverse.
d. i) Calculer A2 , puis C 2 avec C = 21 A. Qu'en déduit-on pour l'application
linéaire p dé nie par p(x) = 12 f (x) ?
ii) On pose D = A − I . Calculer D2 (on pourra faire un calcul direct, ou
utiliser la question précédente). En déduire sans nouveau calcul que D est
inversible, et préciser son inverse.
e. On considère les vecteurs u1 = (1, −1, −2), u2 = (1, 3, 2), et u3 = (1, 1, 2). On
admet que u1 , u2 , u3 forment une base B de R3 .
Déterminer f (u1 ), f (u2 ), f (u3 ), et écrire la matrice de f dans la base B.

Exercice 40.

a. On dé nit g : R −→ R3 par
x 7−→ g(x) = (x , 0, x2 ) .

L'application g est-elle linéaire ? Justi er.
b. Soit f une application linéaire de R2 dans R4 . On suppose que f est injective.
a. Que peut-on dire de son noyau Ker(f ) ?
b. Déterminer la dimension de Im(f ). L'application f est-elle surjective ? (On
pourra utiliser le théorème du rang.)
Exercice 41.

−1
−1  .
0

On considère dans R3 :
u = (2, 1, 0) , v = (1, 0, 1) et F = Vect(u, v) .

Exercice 43.

a. Énoncer le théorème des accroissements nis.

44

b. Soit f : R → R une fonction dérivable. On suppose que l'on a 1 ≤ f 0 (x) ≤ 2
pour tout x ∈ R, et que f (3) = 4. Par quelles valeurs peut-on majorer et
minorer f (5) ?
Exercice 44.

Les questions f et g sont indépendantes des précédentes.
a. Montrer que In est positif pour tout n.
b. (i) Montrer que l'on a xn e2x−1 ≤ e2x−1 pour tout x ∈ [0, 1].

On considère la fonction

(ii) Calculer I0 =



1+x
1
f (x) = ln
− .
1−x
x

0

Montrer que le domaine de dé nition de f est D = ] − 1, 0 [ ∪ ] 0, 1[.
Calculer f (−x) et montrer que f est impaire : f (−x) = −f (x) pour tout x ∈ D.
Déterminer les limites de f (x) quand x tend vers 0+ et 1− .
Calculer f 0 (x) et montrer que l'on a f 0 (x) > 0 pour tout x ∈ D.
Montrer qu'il existe un unique x0 ∈ [ 21 , 23 ] tel que f (x0 ) = 0. (On pourra
utiliser ln 3 ∼ 1, 10 et ln 5 ∼ 1, 61)
f. Tracer le graphe de f .

Exercice 45.

Calculer

π
2

1

e2x−1 dx et en déduire que In ≤ 12 (e − 1e ).

c. Montrer que la suite In est décroissante. Que peut-on déduire ?
d. (i) Montrer que l'on a e2x−1 ≤ e pour tout x ∈ [0, 1].

a.
b.
c.
d.
e.

Z

Z

e
. En déduire la limite de la suite In .
n+1
e. Soit I = {In | n ∈ N}. Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de
I . L'ensemble I a-t-il un plus grand élément ? un plus petit élément ?

(ii) Montrer In ≤

f. Pour n ≥ 1, exprimer In en fonction de n et In−1 .
g. A l'aide du changement de variable u = e , montrer In
x

pour des réels a et b que l'on déterminera.

cos x (sin x)2 dx. (On pourra poser u = sin x)

1
=
e

Z

b

u(ln u)n du

a

0

Soit E = R3 . Soit f l'application linéaire de E dans E dont la matrice
dans la base canonique E de E est

Exercice 48.

2.5 Examen session1


− 2
A=
0
1


Exercice 46.

ln(1 + x2 )
si x 6= 0 et f (0) = 0.
x
a. Montrer que f est continue et dérivable sur R∗ = R \ {0}. Montrer que f est

On dé nit une fonction f : R → R par f (x) =

a.
b.
c.
d.

impaire.
b. Montrer que f est continue en 0.
c. Montrer que f est dérivable en 0. Écrire l'équation de la tangente au graphe
de f au point d'abscisse 0.
d. On pose h(x) =
e.
f.
g.
h.

2x2
1
− ln(1 + x2 ). Montrer que f 0 (x) = 2 h(x) pour x 6= 0.
2
1+x
x

n

In =

o

(i) Sans déterminer F , montrer que F est un sous-espace vectoriel de E .
(ii) Montrer que F ⊂ Imf .


(iii) On pose v2 = (2 − 2 , 2 + 2 , 2). Calculer f (v2 ), en déduire que v2 ∈ F .


f. On pose v3 = (−2 − 2, −2 + 2 , 2). Montrer que f (v3 ) = −2v3 . En déduire
que v3 ∈ Imf .
g. Montrer que V = (v1 , v2 , v3 ) est une base de E, et que (v2 , v3 ) est une base
de Imf . Écrire la matrice B de f dans la base V (sans utiliser la formule de
changement de base).
h. Écrire la matrice de passage P de la base E à la base V , et rappeler la formule
reliant A, B, P, P −1 . (On ne demande pas de calculer P −1 ).

Pour n entier positif ou nul on pose
Z

Soit v le vecteur de E de coordonnées (x, y, z) dans la base E . Calculer f (v).
Calculer det A. L'endomorphisme f est-il bijectif ?
Déterminer le rang de A.

On pose v1 = (1, −1, 2). Calculer f (v1 ) et déterminer une base de Kerf .

e. Soit F = v ∈ E | f (v) = 2v .

Montrer que f 0 est continue en 0.
Calculer h(1) et déterminer limx→+∞ h(x).
Calculer h0 (x) et établir le tableau de variations de h sur [0, +∞[.
Montrer qu'il existe un nombre α ∈ [1, +∞[ tel que f est croissante sur [0, α]
et décroissante sur [α, +∞[.

Exercice 47.


0
1

2 1 .
1 0

1

xn e2x−1 dx.

0

45

c. À l'aide d'intégrations par parties, déterminer une primitive de la fonction

Exercice 49.

n

o

a. Soit G = (x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0 . Montrer que G est un sous-espace
vectoriel denR3 . En déterminer une base.
o
b. Soit F = (2x + y, −x + 2y, −x − 3y) | x, y ∈ R . Montrer que F est un
sous-espace vectoriel de R3 et en donner une base.
c. Montrer F ⊂ G puis F = G.
L
d. Soit u = (1, 1, −1). On pose H = V ect(u). Montrer que R3 = G H .
e. On note p : R3 −→ R3 la projection sur G parallèlement à H , et v = (x, y, z).
Calculer p(v) (on pourra chercher λ ∈ R tel que v − λu ∈ G).
f. Écrire la matrice A de p dans la base canonique de R3 . A quoi est égal A2 ?

g : R∗+ → R,

h : R → R,

a.
b.
c.

Questions de cours
Ecrire le développement
limité à l'ordre 3 de la fonction ex en 0 ainsi que de

la fonction 1 + x.
Enoncer le théorème des accroissements nis.
Soit f une application linéaire d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel
F . Enoncer le théorème du rang.
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E . Rappeler
la formule permettant de calculer dim(F ∩ G) en fonction des dimensions de
F , G et F + G.

d.

d.
e.
f.

x 7→

xex
.
(1 + ex )2

On pose pour n ∈ N, In = 0 xn e−x dx et I0 = 0 e−x dx
Calculer I0 et I1 .
Montrer que ∀n ∈ N, In est positif.
Montrer que la suite (In ) est monotone (on précisera si la suite est croissante
ou décroissante).
Que peut-on en déduire ?
1
. Que peut-on en déduire ?
Montrer que In ≤ n+1
Trouver une relation de récurrence entre les In .
Que vaut I2 ?
En déduire la limite de la suite nIn .

Exercice 53.

Exercice 50.

b.
c.

ln(t)
.
(1 + t)2

d. À l'aide d'un changement de variables, déterminer une primitive de la fonction

2.6 Examen session2
a.

t 7→

Exercice 54.

E = R4 :

R1

R1

On considère les sous-ensembles suivants de l'espace vectoriel réel
F = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − 2y + z − t = 0},

Exercice 51.

Soit f la fonction dé nie par f (0) =

1
2

et si x 6= 0, f (x) =

G = {(a − 2b, a + b, 2a + b, b) avec (a, b) ∈ R2 }.

ex − 1 − x
.
x2

a.
b.
c.
d.
e.

a. Montrer que f est continue sur R.
b. Montrer que f est dérivable sur R. On précisera la valeur de f 0 (0).
Ecrire l'équation de la tangente en 0.

Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E .
Déterminer une base BF de F et en déduire la dimension de F .
Déterminer une base BG de G et en déduire la dimension de G.
Sans déterminer F + G ni F ∩ G, en déduire que dim(F ∩ G) ≥ 1.
Déterminer F ∩ G. On déterminera u tel que F ∩ G = V ect(u)

Exercice 52.

1
b
a. Déterminer deux réels a, b tels que t(1+t)
= at + (1+t)
pour tout t ∈ R∗+ .
1
En déduire une primitive de la fonction f : R∗+ → R, t 7→ t(1+t)
.

Exercice 55.

Soit E l'espace vectoriel réel R4 . On considère la fonction de E dans

E dé nie par :
f (x, y, z, t) = (x + z + t, x + y + t, −z − t, x − t)

1
b. Calculer pour t > 0 la dérivée de la fonction f1 : R∗+ → R, t 7→ 1+t
.
1

En déduire les primitives de la fonction f2 : R+ → R, t 7→ (1+t)2 .

a. Déterminer la matrice de f dans la base canonique de R4 .
46

b. Montrer que f est une application bijective. Plusieurs méthodes sont possibles.
On expliquera la méthode choisie.
Soit E = R3 . Soit f l'application linéaire de E dans E dont la matrice
dans la base canonique E de E est

Exercice 56.



5
A =  −1
2

a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.


−1 2
5 2 .
2 2

Soit v le vecteur de E de coordonnées (x, y, z) dans la base E . Calculer f (v).
Calculer det A. L'endomorphisme f est-il bijectif ?
Déterminer le rang de A.
On pose u1 = (1, 1, −2), u2 = (1, 1, 1), u3 = (2, 0, 1).
Montrer que la famille U = (u1 , u2 , u3 ) est une base de E .
Calculer f (u1 ), f (u2 ) et f (u3 ).
Déterminer une base de Kerf .
Montrer que (u2 , u3 ) forment une base de Imf
Écrire la matrice B de f dans la base U (sans utiliser la formule de changement
de base).
Écrire la matrice de passage P de la base E à la base U , et rappeler la formule
reliant A, B, P, P −1 .
Déterminer P −1 .
Que vaut B n pour n ∈ N ?
Expliquer comment calculer An pour n ∈ N

47


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