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MICHAEL

CHAMPAGNE

LA LOTERIE COMME SOURCE DE
FINANCEMENT DE L'ÉDUCATION

M é m o i r e présenté
à la F a c u l t é d e s é t u d e s s u p é r i e u r e s d e l ' U n i v e r s i t é Laval
d a n s le c a d r e d u p r o g r a m m e d e m a î t r i s e en é c o n o m i q u e
p o u r l ' o b t e n t i o n d u g r a d e d e m a î t r e ès arts ( M . A . )

FACULTÉ DES SCIENCES

SOCIALES

UNIVERSITÉ LAVAL
QUÉBEC

2008

©

M i c h a e l , C h a m p a g n e 2008

Table des matières
Résumé

iv

I

Introduction

1

II

R e v u e d e la l i t t é r a t u r e é c o n o m i q u e sur les loteries

4

III L e m o d è l e
A

6

L e s a g e n t s et leurs f o n c t i o n s

6

A.l

6

Le parent

A.2

L'enfant

7

A.3

Le gouvernement

9

B

L a chronologie des événements

9

C

L e s p r é f é r e n c e s d u p a r e n t représentatif

I V C h o i x allocatif des parents

V

A

P r o b l è m e de choix d'investissement d'un parent

B

D é c i s i o n d e p a r t i c i p a t i o n à la loterie

10
14
15
19

Détermination du fonds de bourse

23

A

D é t e r m i n a t i o n d u n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s à la l o t e r i e

23

A.l

C a s 1 : la c o n d i t i o n ( I V . 9 ) est satisfaite

24

A.2

C a s 2 : la c o n d i t i o n ( I V . 10) est satisfaite

27

B

D é t e r m i n a t i o n d u n o m b r e d e travailleurs qualifiés

VI Conclusion

31
33

Bibliographie

35

Annexes

36

Remerciements
V o u s savez, faire u n e t h è s e en é c o n o m i e d e m a n d e é n o r m é m e n t d'efforts. A u d é b u t , j e
ne c r o y a i s pas q u e c e travail puisse ê t r e aussi e x i g e a n t t a n t d u p o i n t d e v u e p h y s i q u e q u e
d u p o i n t d e v u e m e n t a l . C ' e s t p o u r q u o i j e tiens à s o u l i g n e r et à r e m e r c i e r p e r s o n n e l l e m e n t
t o u s les gens d e m o n e n t o u r a g e . P r e m i è r e m e n t , m o n d i r e c t e u r d e t h è s e , M . S y l v a i n D e s s y ,
p r o f e s s e u r a g r é g é d e l ' U n i v e r s i t é Laval, p o u r sa p a t i e n c e , sa c o m p é t e n c e et s o n s o u t i e n à
la r é d a c t i o n d e c e m é m o i r e , s a n s qui il m ' a u r a i t é t é i m p o s s i b l e d e réussir. D e u x i è m e m e n t ,
m e s p a r e n t s et a m i s q u i , p a r leur s u p p o r t m o r a l et leurs e n c o u r a g e m e n t s , m ' o n t a i d é à
p e r s é v é r e r et traverser les différentes é p r e u v e s et e m b û c h e s reliées à la r é d a c t i o n d e c e
m é m o i r e . C e fut un travail d e l o n g u e h a l e i n e , s o n a c c o m p l i s s e m e n t et s a réalisation m e
d o n n e n t u n e fierté p e r s o n n e l l e .

R é s u m é . E s t - c e q u e la l o t e r i e p e u t être u n m o y e n efficace p o u r financer l ' é d u c a t i o n s o u s
f o r m e d e b o u r s e s d ' é t u d e ? D a n s la l i t t é r a t u r e é c o n o m i q u e , l o r s q u e la l o t e r i e est c o m p a r é e
à u n e a u t r e f o r m e d e t a x e s , celle-ci s e m b l e inefficace p u i s q u e la loterie c o m p o r t e d e g r a n d e s
d i s t o r t i o n s d a n s les p r i x . P a r c o n t r e , l o r s q u e celle-ci est c o m p a r é e à u n e a u t r e f o r m e d e
c o n t r i b u t i o n v o l o n t a i r e , la l o t e r i e r a p p o r t e p l u s d e f o n d s . Elle est d o n c p l u s efficace, c a r les
g e n s v o n t t r o u v e r un b é n é f i c e a d d i t i o n n e l à la p a r t i c i p a t i o n , soit la p o s s i b i l i t é d e g a g n e r
u n l o t . D a n s le m o d è l e p r é s e n t é , le g o u v e r n e m e n t p o s s è d e u n f o n d s fixe, q u ' i l d o i t utiliser
pour

financer

d e s b o u r s e s d ' e x c e l l e n c e a u x é t u d e s . A v e c c e f o n d s , le g o u v e r n e m e n t a le

c h o i x d e créer u n e loterie o u d e le d i s t r i b u e r d i r e c t e m e n t en b o u r s e s d ' e x c e l l e n c e . L a s u i t e
d e l ' a n a l y s e s u p p o s e q u e le f o n d s p r o v e n a n t d e la l o t e r i e est p l u s élevé q u e le f o n d s initial,
d o n c q u e la loterie est efficace et c r é é e p a r le g o u v e r n e m e n t . D e c e fait, l ' o b j e c t i f d u travail
est d ' é t u d i e r les d é t e r m i n a n t s d e la p a r t i c i p a t i o n d e la l o t e r i e , soit les frais d e p a r t i c i p a t i o n à
la l o t e r i e et la valeur d ' u n l o t g a g n a n t . P o u r a t t e i n d r e c e t o b j e c t i f , n o u s u t i l i s o n s un m o d è l e
à t r o i s p é r i o d e s o ù c h a q u e m é n a g e est c o m p o s é d ' u n p a r e n t et d ' u n e n f a n t . À la p r e m i è r e
p é r i o d e , le p a r e n t travaille et d o i t choisir s o n n i v e a u d ' i n v e s t i s s e m e n t d a n s l ' é d u c a t i o n d e
son e n f a n t . A c e t t e p é r i o d e , le g o u v e r n e m e n t a n n o n c e la c r é a t i o n d ' u n e loterie, d o n t le f o n d s
r é c o l t é sera r e d i s t r i b u é en b o u r s e s d ' e x c e l l e n c e p o u r les e n f a n t s . A la p é r i o d e 2, le p a r e n t est
à la r e t r a i t e et d o i t d é c i d e r d e sa p a r t i c i p a t i o n o u d e sa n o n - p a r t i c i p a t i o n à la l o t e r i e . A c e t t e
p é r i o d e , si l'enfant g a g n e u n e b o u r s e , il c o n t i n u e ses é t u d e s au n i v e a u tertiaire. S i n o n , il
n ' o b t i e n t p a s d e r e v e n u et p a s s e c e t t e p é r i o d e à la r e c h e r c h e d ' u n e m p l o i . C h a q u e enfant q u i
r e ç o i t u n e b o u r s e d e v i e n d r a u n travailleur qualifié à la t r o i s i è m e p é r i o d e , p u i s q u e la b o u r s e
est p r i m o r d i a l e à l'entrée a u n i v e a u d ' é d u c a t i o n tertiaire. D a n s c e c o n t e x t e , p o u r m a x i m i s e r
le n o m b r e d e b o u r s i e r s ainsi q u e le n o m b r e d e travailleurs qualifiés, le g o u v e r n e m e n t d o i t
miser sur u n e faible valeur d e s l o t s g a g n a n t s , c e qui i m p l i q u e u n e f o r t e p r o b a b i l i t é

de

g a g n e r un lot. Si l'élasticité d u n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s p a r r a p p o r t a u n i v e a u d e s frais d e
p a r t i c i p a t i o n est inférieure à 1, le g o u v e r n e m e n t d o i t a u g m e n t e r les frais d e p a r t i c i p a t i o n
afin d ' a u g m e n t e r le n o m b r e d e b o u r s i e r s e t , par le fait m ê m e , le n o m b r e d e travailleurs
qualifiés d a n s l ' é c o n o m i e . Si c e t t e élasticité est s u p é r i e u r e à 1, il d o i t alors m i s e r sur u n e
d i m i n u t i o n d e s frais d e p a r t i c i p a t i o n .

I. Introduction
L e f i n a n c e m e n t d e b i e n s p u b l i c s c a u s e b e a u c o u p d e p r o b l è m e s d a n s les s o c i é t é s m o d e r n e s . A v e c u n e d i m i n u t i o n d e s t a x e s d e d o u a n e s q u i , d a n s le p a s s é , étaient u n e s o u r c e
d e r e v e n u i m p o r t a n t e p o u r l ' E t a t , le g o u v e r n e m e n t

d o i t m a i n t e n a n t r e c o u r i r a u x t a x e s et

a u x i m p ô t s p o u r financer les p o l i t i q u e s p u b l i q u e s . P a r c o n t r e , le f a r d e a u fiscal est p a r f o i s
très l o u r d et c a u s e b e a u c o u p d ' i n e f f i c a c i t é .

1

D e p l u s , les p r e s s i o n s s o c i a l e s en faveur d ' u n e

baisse d u f a r d e a u fiscal d e v i e n n e n t d e p l u s en p l u s g r a n d e s à m e s u r e q u ' u n p a y s d e v i e n t
plus riche, c e q u i est le c a s d a n s la p l u p a r t d e s p a y s o c c i d e n t a u x . C e s p r o b l è m e s a m è n e n t le
g o u v e r n e m e n t à r e p e n s e r les m o y e n s d e

financement

d e s b i e n s p u b l i c s q u ' i l s o u h a i t e fournir

à la c o l l e c t i v i t é . U n d e s m o y e n s utilisés par c e d e r n i e r , qui n ' e s t c e r t e s p a s n o u v e a u m a i s
qui p r e n d b e a u c o u p d ' a m p l e u r a u j o u r d ' h u i , est la v e n t e d e billets et d e j e u x d e l o t e r i e . B i e n
q u e la l o t e r i e fasse b e a u c o u p parler à c a u s e d e ses c a r a c t é r i s t i q u e s d e t a x e s régressives, il
n ' e n d e m e u r e p a s m o i n s q u ' e l l e est s o u v e n t utilisée c o m m e m o y e n d e f i n a n c e m e n t d e b i e n s
publics.
L a loterie p e u t ê t r e c o m p a r é e à u n e t a x e i m p o s é e p a r l ' E t a t o u à u n e f o r m e d e c o n t r i b u t i o n v o l o n t a i r e d e la p a r t d e s c o n s o m m a t e u r s , c o m m e M o r g a n ( 2 0 0 0 ) l ' a fait d a n s ses
t r a v a u x . L e p r i n c i p e d e la l o t e r i e est s i m p l e . L e s g e n s qui v e u l e n t p a r t i c i p e r p e u v e n t a c h e t e r
des j e u x d e loterie et ainsi c o u r i r la c h a n c e d e g a g n e r d e s l o t s . L e s p a r t i c i p a n t s e s p è r e n t
t o u j o u r s rentabiliser leur i n v e s t i s s e m e n t en g a g n a n t d e s p r i x m a i s le v é r i t a b l e g a g n a n t , c ' e s t
le g o u v e r n e m e n t . C e l u i - c i p e u t tirer profit d ' u n e loterie l o r s q u e les r e c e t t e s d e la loterie s o n t
plus élevés q u e les c o û t s , soit les g r o s l o t s r e m i s a u x g a g n a n t s et les c o û t s d ' a d m i n i s t r a t i o n .
P l u s i e u r s t y p e s d e loteries s o n t m i s sur le m a r c h é p a r le g o u v e r n e m e n t . L e s loteries à
lots variables s o n t celles d o n t le g r o s l o t varie en f o n c t i o n d u n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s . A v e c
c e g e n r e d e l o t e r i e , le g o u v e r n e m e n t ne p r e n d a u c u n risque p u i s q u ' i l s'assure

d'obtenir

les f o n d s nécessaires afin d e r e m e t t r e les l o t s g a g n a n t s . L e risque p r o v i e n t d e l ' i n c e r t i t u d e
d u lot à g a g n e r p o u r le p a r t i c i p a n t . L e s loteries à lots v a r i a b l e s n e font p a s t o u j o u r s d e
g a g n a n t s a u p r e m i e r t o u r . D a n s u n tel c a s , a p p e l é « rollover » , le lot est r e p o r t é au s e c o n d
t o u r et la p r o b a b i l i t é d e g a g n e r est la m ê m e q u ' a u p r e m i e r t o u r . L e meilleur e x e m p l e d e
loterie à l o t s v a r i a b l e s est la L o t t o 6-49, o ù p l u s le n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s est g r a n d , p l u s le
g r o s lot v a être é l e v é . Les loteries à l o t s fixes sont celles d o n t la valeur d e s l o t s est a n n o n c é e
d ' a v a n c e afin d ' a t t i r e r un p l u s g r a n d n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s . C ' e s t c e t y p e d e loterie qui v a
être utilisé d a n s n o t r e m o d è l e . O n i n c l u t d a n s ce t y p e d e loterie t o u s les j e u x d o n t la v a l e u r
^ L E M R O D , Joël, Optimal Taxation and Optimal Tax Systems, 1990, p. 159.

d e s l o t s g a g n é s n'est pas influencée p a r le n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s , c o m m e , p a r e x e m p l e ,
les m a c h i n e s à s o u s et les loteries i n s t a n t a n é e s .
L a p r e m i è r e l o t e r i e m o d e r n e a u x É t a t s - U n i s a é t é i n s t a u r é e en 1964, au N e w H a m p s h i r e ,
alors q u e cet E t a t n'avait p a s le p o u v o i r d ' a u g m e n t e r ses t a x e s sur le r e v e n u c o m m e il le
v o u l a i t . A u C a n a d a et plus p a r t i c u l i è r e m e n t a u Q u é b e c , c ' e s t e n 1969 q u e L o t o - Q u é b e c est
c r é é e à la suite d ' u n e m o d i f i c a t i o n d u c o d e c r i m i n e l p e r m e t t a n t d ' e x p l o i t e r les j e u x d e h a sard et d ' a r g e n t . C e t t e s o c i é t é d ' E t a t v e n d n o n s e u l e m e n t d e s billets d e l o t e r i e m a i s p o s s è d e
aussi t r o i s c a s i n o s a u Q u é b e c . L o t o - Q u é b e c a v e r s é p l u s d e 17 milliards d e d o l l a r s à l ' É t a t
q u é b é c o i s d e p u i s sa c r é a t i o n .

2

Les profits s o n t r e d i s t r i b u é s e n t i è r e m e n t a u g o u v e r n e m e n t

et s o n t e n t r e a u t r e s utilisés p o u r p a y e r les salariés d e la f o n c t i o n p u b l i q u e .
Il y a a u j o u r d ' h u i 38 É t a t s a m é r i c a i n s q u i p o s s è d e n t u n e l o t e r i e afin d e

financer

des

b i e n s p u b l i c s . L ' e x p é r i e n c e n a t u r e l l e d u T e n n e s s e e a inspiré n o t r e r e c h e r c h e . D a n s c e t E t a t
o ù il n ' e x i s t e p a s d ' i m p ô t sur le r e v e n u , la loterie m i s e en p l a c e en 2 0 0 3 sert d e

financement

à l'éducation post-secondaire par l'octroi de bourses de performance. Le montant des lots
g a g n a n t s n e varie p a s en f o n c t i o n d u n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s . A l ' a c h a t d ' u n billet d e
loterie, les g e n s s o n t i n f o r m é s q u e les profits v o n t être r e d i s t r i b u é s s o u s f o r m e d e b o u r s e s
a u x é t u d i a n t s . Seuls les é t u d i a n t s r é p o n d a n t à c e r t a i n s critères a c a d é m i q u e s p e u v e n t a v o i r
a c c è s a u x b o u r s e s . O n p r é v o i t q u e 6 5 % des é t u d i a n t s g r a d u é s d u s e c o n d a i r e v o n t r e c e v o i r
u n e telle b o u r s e .

3

L e T e n n e s s e e n'est pas le p r e m i e r É t a t a m é r i c a i n à se servir d ' u n e loterie p o u r

financer

l ' é d u c a t i o n . L a G é o r g i e , en 1 9 9 3 , a créé le « H O P E s c h o l a r s h i p s p r o g r a m » afin d'utiliser
les r e v e n u s d ' u n e loterie p o u r

financer

des bourses d'excellence aux étudiants. Le H O P E

d o n n e d e s b o u r s e s a u x é t u d i a n t s qui m a i n t i e n n e n t u n e c o t e d e trois p o i n t s sur u n e p o s s i b i lité d e q u a t r e à l ' u n i v e r s i t é et au c o l l è g e p u b l i c . P l u s i e u r s c r i t i q u e n t les critères sur lesquels
le H O P E d o n n e les b o u r s e s
financement

financées

p a r la l o t e r i e . P r e m i è r e m e n t , u n e a u g m e n t a t i o n d u

d e l ' a c c è s à l ' é d u c a t i o n a eu p o u r effet d ' a u g m e n t e r les frais d e s c o l a r i t é , et

ainsi a u g m e n t e r l ' i n i q u i t é p o u r les é t u d i a n t s à f a i b l e r e v e n u . P a r c o n s é q u e n t , il y a u n e
d i m i n u t i o n d e l ' a c c e s s i b i l i t é a u x universités p o u r les é t u d i a n t s m o i n s f o r t u n é s . A v e c d e s
critères différents p o u r l'accessibilité a u x b o u r s e s , le p r o g r a m m e d u T e n n e s s e e t e n t e d ' e n rayer les p r o b l è m e s d u H O P E . M a l g r é le fait q u e le seul critère d e m e u r e les p e r f o r m a n c e s
a c a d é m i q u e s , le p r o g r a m m e d u T e n n e s s e e v i s e d a v a n t a g e les é t u d i a n t s à f a i b l e revenu en
a d o p t a n t d e s critères m o i n s c o n t r a i g n a n t s . P l u s i e u r s définissent c e p r o g r a m m e c o m m e é t a n t
Plan de développement 2004-2007 de Loto-Québec, p. 9.
NESS Eri, Targeted Merit Aid : Tennessee Education Lottery Scholarships, 2004, p.l.

2

;5

h y b r i d e e n t r e l ' a i d e a u x m o i n s f o r t u n é s et l'aide a u x m é r i t a n t s .

4

L e c a s d u T e n n e s s e e est

p r é s e n t e m e n t a n a l y s é afin d ' ê t r e a p p l i q u é à d ' a u t r e s É t a t s a m é r i c a i n s c o m m e la F l o r i d e ,
la L o u s i a n e et la V i r g i n i e .
L e c a d r e d ' a n a l y s e d e la r e c h e r c h e p o r t e plus p a r t i c u l i è r e m e n t sur la p o s s i b i l i t é d e fin a n c e r d e s b o u r s e s d ' e x c e l l e n c e p a r u n s y s t è m e d e l o t e r i e . S u p p o s o n s q u e le g o u v e r n e m e n t
p o s s è d e un f o n d s fixe p o u r financer l ' é d u c a t i o n . C o m m e n t le g o u v e r n e m e n t p o u r r a i t - i l a u g m e n t e r le f o n d s d i s p o n i b l e p o u r financer d e s b o u r s e s d ' e x c e l l e n c e a u x é t u d i a n t s ? P u i s q u ' i l
est d e v a n t la p o s s i b i l i t é d e financer d i r e c t e m e n t les b o u r s e s , il sera i m p o r t a n t d e r e g a r d e r
u n e d e u x i è m e o p t i o n , soit d'investir d a n s u n e loterie et ainsi e s p é r e r a u g m e n t e r le f o n d s d i s p o n i b l e . E n c o n s i d é r a n t la d e u x i è m e o p t i o n s o u h a i t a b l e , c o m m e n t le g o u v e r n e m e n t p e u t - i l
m a x i m i s e r le n o m b r e d e b o u r s i e r s et ainsi a u g m e n t e r l ' a c c è s à l ' é d u c a t i o n ? S e l o n n o t r e
m o d è l e , le g o u v e r n e m e n t p o s s è d e d e u x i n t r u m e n t s p o u r influencer le n o m b r e d e b o u r s i e r s ,
soit les frais d e p a r t i c i p a t i o n à la loterie et le m o n t a n t d u lot g a g n a n t . E s t - c e q u e le g o u v e r n e m e n t d o i t miser sur u n e v a r i a t i o n d e s frais d e p a r t i c i p a t i o n d e la loterie o u p l u t ô t sur
u n e v a r i a t i o n d e s l o t s g a g n a n t s ? D a n s quelles d i r e c t i o n s ces v a r i a t i o n s seront-elles les p l u s
p r o f i t a b l e s p o u r le g o u v e r n e m e n t ? V o i l à les p r i n c i p a l e s q u e s t i o n s a u x q u e l l e s n o t r e m o d è l e
se p r o p o s e d ' a p p o r t e r d e s r é p o n s e s .

4

Ibid., p.3.

II. R e v u e de la littérature économique sur les loteries
L e s loteries o n t fait l ' o b j e t d e plusieurs é t u d e s e m p i r i q u e s j u s q u ' à p r é s e n t . W a l k e r ( 1 9 9 8 )
a c o m p a r é l'efficacité d e la l o t e r i e a u x a u t r e s f o r m e s d e t a x e s p r é s e n t e s d a n s la s o c i é t é .
S e l o n lui, les i n d i v i d u s j o u e n t à la l o t e r i e p o u r le plaisir et p r o f i t e n t d o n c d ' u n

surplus

d u c o n s o m m a t e u r . Il t r o u v e q u e la l o t e r i e c o m p o r t e u n e g r a n d e d i s t o r t i o n d a n s les p r i x
et est d o n c inefficace. P o u r o b t e n i r c e r é s u l t a t , l ' a u t e u r c a l c u l e la p e r t e d u s u r p l u s d u
c o n s o m m a t e u r qui est d u e a u f i n a n c e m e n t d e c e r t a i n s b i e n s p u b l i c s p a r le profit d e la
l o t e r i e . W a l k e r a é g a l e m e n t é t u d i é l ' i m p a c t d ' u n c h a n g e m e n t d e p r i x sur les d é p e n s e s d e s
m é n a g e s en j e u x et l'effet d ' u n e v a r i a t i o n d e la valeur d e s l o t s g a g n a n t s sur la p a r t i c i p a t i o n .
Il définit le p r i x d e p a r t i c i p e r c o m m e é t a n t le c o û t d ' a c h e t e r u n d o l l a r en valeur e s p é r é e d e
g a i n . À la suite d ' u n e r é g r e s s i o n , W a l k e r t r o u v e q u e les v e n t e s d e j e u x s o n t assez sensibles
a u x p r i x . P a r c o n t r e , il n e p e u t d é t e r m i n e r u n coefficient d ' é l a s t i c i t é très s t a b l e é t a n t d o n n é
la c o m p l e x i t é d e la b a s e d e d o n n é e s . E n utilisant les j e u x d e l o t e r i e a v e c p o s s i b i l i t é d e

«

rollover » , W a l k e r t r o u v e q u e l ' a u g m e n t a t i o n d ' u n lot g a g n a n t d e 1000$ p r o v o q u e u n e
v a r i a t i o n à la h a u s s e d e 4 1 8 $ d e s v e n t e s d e billets. C e résultat est o b t e n u en m a i n t e n a n t
la p r o b a b i l i t é d e g a g n e r u n lot c o n s t a n t e .
N o t r e a n a l y s e diffère d e celle d e W a l k e r c a r les frais d e p a r t i c i p a t i o n d e n o t r e m o d è l e
s o n t d é t e r m i n é s p a r le g o u v e r n e m e n t et n e c o r r e s p o n d e n t p a s n é c e s s a i r e m e n t à l ' a c h a t
d ' u n d o l l a r en valeur e s p é r é e . Les chiffres a v a n c é s p a r W a l k e r c o n c e r n a n t l ' i m p a c t

d'un

c h a n g e m e n t d e la valeur d e s l o t s sur les v e n t e s p r o v i e n n e n t d ' u n c a s d e « r o l l o v e r » , o ù la
p r o b a b i l i t é d e g a g n e r un lot est c o n s t a n t e . N o t r e a n a l y s e est différente d e celle d e l ' a u t e u r
p u i s q u e la loterie à l o t s fixes est utilisée d a n s n o t r e m o d è l e e t , ainsi, l o r s q u e la valeur d ' u n
lot a u g m e n t e , la p r o b a b i l i t é d e g a g n e r d i m i n u e . D a n s c e c a s , u n e a u g m e n t a t i o n d e la valeur
d ' u n l o t n ' i m p l i q u e p a s n é c e s s a i r e m e n t u n e a u g m e n t a t i o n d e la p a r t i c i p a t i o n . Il v a d o n c
être q u e s t i o n d e savoir si les p a r t i c i p a n t s préfèrent d e s l o t s plus élevés a v e c u n e p r o b a b i l i t é
p l u s faible d e g a g n e r o u b i e n d e s l o t s m o i n s élevés et u n e g r a n d e p r o b a b i l i t é d e g a g n e r .
L o r s q u e l ' o n c o m p a r e la loterie à t o u t e a u t r e f o r m e d e c o n t r i b u t i o n v o l o n t a i r e , la p a r t i c i p a t i o n à la l o t e r i e p e u t d é p e n d r e d e l ' a l t r u i s m e d e s i n d i v i d u s . L e s p e r s o n n e s s o u c i e u s e s
d u f i n a n c e m e n t d e s b i e n s p u b l i c s p o u r r a i e n t j o u e r à la loterie p o u r d e s raisons a u t r e s q u e
p o u r leurs p r o p r e s intérêts. A n d r e o n i et Miller ( 2 0 0 2 ) m o n t r e n t q u e l ' a l t r u i s m e est r a t i o n nel a v e c u n e v e r s i o n m o d i f i é e d u j e u d u d i c t a t e u r . Ils c o n c l u e n t q u e les i n d i v i d u s sont très
h é t é r o g è n e s c o n c e r n a n t le d e g r é d ' a l t r u i s m e d e c h a c u n . C e s r é s u l t a t s p e u v e n t en p a r t i e e x pliquer pourquoi certaines personnes font des contributions volontaires à l'État. U n degré
d ' a l t r u i s m e élevé p o u r r a i t é g a l e m e n t e x p l i q u e r u n e p a r t d e la p a r t i c i p a t i o n à d e s loteries

qui financent d e s b i e n s p u b l i c s . D a n s n o t r e m o d è l e , les p r é f é r e n c e s d e s p a r e n t s i n t r o d u i s e n t
d e s a d u l t e s a l t r u i s m e s envers leurs enfants. P a r c o n t r e , é t a n t d o n n é la m é t h o d o l o g i e utilisée
p o u r m o d é l i s e r la p a r t i c i p a t i o n à la l o t e r i e , le d e g r é d ' a l t r u i s m e d u p a r e n t n ' i n f l u e n c e p a s
la p a r t i c i p a t i o n à la loterie.
M o r g a n ( 2 0 0 0 ) a t e n t é d e savoir si la l o t e r i e est un m o y e n efficace d e financer des b i e n s
p u b l i c s si o n la c o m p a r e à t o u t e a u t r e f o r m e d e c o n t r i b u t i o n v o l o n t a i r e . M o r g a n utilise
u n m o d è l e t h é o r i q u e et le s o u m e t à d e s e x p é r i e n c e s en l a b o r a t o i r e . Il t r o u v e q u e la l o t e r i e
est b e a u c o u p p l u s efficace q u e t o u t e a u t r e f o r m e d e c o n t r i b u t i o n v o l o n t a i r e . D a n s s o n
a n a l y s e , M o r g a n c o n c l u t q u e la loterie à l o t s fixes p r o c u r e plus d e f o n d s a u g o u v e r n e m e n t
q u ' u n e f o r m e d e c o n t r i b u t i o n v o l o n t a i r e s i m p l e , p u i s q u e les g e n s v o n t y t r o u v e r u n b é n é f i c e
a d d i t i o n n e l , s o i t la p o s s i b i l i t é d e g a g n e r u n l o t . Les t r a v a u x d e M o r g a n ( 2 0 0 0 ) diffèrent d e
n o t r e a n a l y s e p u i s q u e son m o d è l e a t t e i n t d e s o b j e c t i f s différents. N o t r e m o d è l e n e t e n t e p a s
d e c o m p a r e r la l o t e r i e à u n e a u t r e f o r m e d e c o n t r i b u t i o n v o l o n t a i r e ; il t e n t e p l u t ô t d e savoir,
en c o n s i d é r a n t la c r é a t i o n d e la loterie c o m m e s o u r c e d e f i n a n c e m e n t efficace, c o m m e n t le
g o u v e r n e m e n t p e u t a u g m e n t e r le f o n d s d e b o u r s e d i s p o n i b l e a v e c les i n s t r u m e n t s d o n t il
d i s p o s e . U n e f a i b l e valeur d e s l o t s g a g n a n t s v a p e r m e t t r e d ' a u g m e n t e r le f o n d s d e b o u r s e
et a u g m e n t e r a l ' a c c è s à l ' é d u c a t i o n au n i v e a u tertiaire. D e p l u s , le g o u v e r n e m e n t d e v r a i t
a u g m e n t e r les frais d e p a r t i c i p a t i o n j u s q u ' à c e q u e l'élasticité d u n o m b r e d e p a r t i c i p a t i o n
par r a p p o r t au n i v e a u des frais d e p a r t i c i p a t i o n , soit d e 1. T o u t e s les p r e u v e s d e s résultats
se r e t r o u v e n t en a n n e x e s .

III. Le modèle
N o t r e a n a l y s e n e tient p a s c o m p t e d e l ' é q u i t é d e la l o t e r i e . L e seul f a c t e u r q u i i m p o r t e est
l'efficacité d e la l o t e r i e c o m m e m o y e n d e

financement.

L a l o t e r i e à l o t s fixes est c o n s i d é r é e

d a n s le m o d è l e . C e t t e l o t e r i e p e u t ê t r e définie c o m m e u n e n s e m b l e différent d e j e u x o ù le
p a r e n t a le c h o i x e n t r e p a r t i c i p e r o u n e p a s p a r t i c i p e r à la l o t e r i e . L a l o t e r i e v a servir à
financer

les é t u d e s d e s e n f a n t s qui a t t e i g n e n t le c y c l e tertiaire. N o u s f a i s o n s l ' h y p o t h è s e q u e

les c y c l e s p r i m a i r e et s e c o n d a i r e s o n t g r a t u i t s p o u r l ' e n f a n t . B i e n q u ' e n réalité, c o m p l é t e r ses
é t u d e s s e c o n d a i r e s n ' e s t p a s g r a t u i t , le fait est q u e le c o û t n'est p a s u n o b s t a c l e i m p o r t a n t
p o u r l'enfant qui désire c o m p l é t e r c e c y c l e . Les b o u r s e s n e s o n t p a s r e m i s e s à t o u s les
e n f a n t s . Seul c e u x q u i o n t les meilleures p e r f o r m a n c e s a c a d é m i q u e s v o n t r e c e v o i r c e s b o u r s e s
et c o m p l é t e r leurs é t u d e s p o s t - s e c o n d a i r e .

A . Les agents et leurs fonctions
O n c o n s i d è r e u n e é c o n o m i e p e u p l é e d ' u n e infinité d e m é n a g e s . L a taille t o t a l e d e la
p o p u l a t i o n est n o r m a l i s é e à 1. C h a q u e m é n a g e c o m p r e n d u n p a r e n t ( a g e n t d é c i d e u r ) et s o n
enfant u n i q u e ( q u i n e p r e n d p a s d e d é c i s i o n s ) . Les p a r e n t s se d i s t i n g u e n t les u n s d e s a u t r e s
p a r leur n i v e a u d e r e v e n u UJI G [ç^,ô)], a v e c 0 < u

< û

< o o . Les parents sont répartis

à travers les n i v e a u x d e r e v e n u à l ' a i d e d ' u n e f o n c t i o n c u m u l a t i v e
d e d e n s i t é , (/>(LJ) =

ayant une fonction

(CJ), s t r i c t e m e n t p o s i t i v e le l o n g d e s o n s u p p o r t [ÇJ,CJ]. L e c y c l e d e

v i e d ' u n p a r e n t est d e d e u x p é r i o d e s , alors q u e celui d e l ' e n f a n t est d e q u a t r e p é r i o d e s .
Seules les trois p r e m i è r e s p é r i o d e s d e n o t r e m o d è l e s e r o n t a n a l y s é e s , p u i s q u e c ' e s t d u r a n t
ces p é r i o d e s q u e les d é c i s i o n s i m p o r t a n t e s o n t lieu. F i n a l e m e n t , il e x i s t e u n g o u v e r n e m e n t
r e s p o n s a b l e d e la g e s t i o n d e s f o n d s p u b l i c s .

A.l.

Le parent

L e p a r e n t est a c t i f à la p r e m i è r e p é r i o d e , il travaille et o b t i e n t u n n i v e a u d e r e v e n u

Il

d o i t d é c i d e r d e s o n n i v e a u d e c o n s o m m a t i o n , c j , et d u n i v e a u d ' i n v e s t i s s e m e n t , Xi , q u ' i l fait
p o u r l ' é d u c a t i o n d e s o n e n f a n t . L e s d é p e n s e s , x\ , p e u v e n t p o r t e r sur l ' a c h a t d e m a t é r i e l s
et f o u r n i t u r e s q u i p e r m e t t e n t d e créer u n b o n e n v i r o n n e m e n t d ' é t u d e p o u r l ' e n f a n t

(par

e x e m p l e : un ordinateur, des e n c y c l o p é d i e s , o u l'achat des services d'aide a u x devoirs). L a
c o n t r a i n t e b u d g é t a i r e d u p a r e n t à la p r e m i è r e p é r i o d e est d o n c :

C}+Xi

< (l-T)LJi

(III.l)

V i. À l a d e u x i è m e p é r i o d e , le p a r e n t n e travaille p l u s , il a t t e i n t l ' â g e d e la retraite. Il
recevra une pension d'un montant, À T C J

0

où A >

1, est un f a c t e u r qui tient c o m p t e d e

l'intérêt et d u c a p i t a l a c c u m u l é s e n t r e la p é r i o d e 1 et 2 et r <

1, est le t a u x

d'épargne

i m p o s é p a r la loi. L e t a u x d ' é p a r g n e c o r r e s p o n d à u n e c o t i s a t i o n o b l i g a t o i r e d u p a r e n t à s o n
f o n d s d e p e n s i o n . E n r e t o u r d e c e t t e c o t i s a t i o n , le p a r e n t v a r e c e v o i r A ™

z

p o u r subvenir à

sa r e t r a i t e . R e n d u à c e t t e p é r i o d e , le p a r e n t d o i t d é c i d e r s'il p a r t i c i p e o u p a s à la l o t e r i e .
L e g a i n à la l o t e r i e est u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e , 6, qui p r e n d les valeurs suivantes :

~
6=1

I 0

avec p r o b . u

I 0

a v e c p r o b . 1 — /x

P

(III.2)

f

o ù 6 est le m o n t a n t d u lot g a g n a n t et \i est la p r o b a b i l i t é d e g a g n e r . C e t t e p r o b a b i l i t é sera
d i s c u t é e d a n s les p r o c h a i n e s s e c t i o n s .
L e p a r e n t d o i t d é t e r m i n e r s o n n i v e a u d e c o n s o m m a t i o n à la p é r i o d e 2, soit c]

p

à la l o t e r i e et c^

n

s'il j o u e

s'il n e j o u e p a s . L a c o n t r a i n t e b u d g é t a i r e p o u r t o u t p a r e n t qui p a r t i c i p e

à la loterie à c e t t e p é r i o d e est d o n c :
,2p

<\TLJi-t

+ 0

(III.3)

o ù t G M+ est le p r i x c h a r g é p a r le g o u v e r n e m e n t p o u r j o u e r à la l o t e r i e , alors q u e la
c o n t r a i n t e b u d g é t a i r e p o u r t o u t p a r e n t qui n e p a r t i c i p e p a s à la l o t e r i e est :

c-

A.2.

n

<

XTLJ,.

(III.4)

L'enfant

L ' e n f a n t ne p r e n d a u c u n e d é c i s i o n p e n d a n t t o u t e s les p é r i o d e s d e sa v i e . Il ne p e u t p a s
j o u e r à la loterie. L e s d o n n é e s d i s p o n i b l e s sur les j e u x d e loterie d é m o n t r e n t e n effet q u e p e u
d ' é t u d i a n t s j o u e n t à la l o t e r i e . A u c o u r s d e sa p r e m i è r e p é r i o d e d e v i e , l ' e n f a n t c o m p l è t e
0

u n e s c o l a r i t é d u n i v e a u p r i m a i r e et s e c o n d a i r e ; il n ' a d o n c a u c u n r e v e n u . Il b é n é f i c i e d ' u n
investissement p a r e n t a l , xi , nécessaire p o u r assurer sa réussite s c o l a i r e . O n s u p p o s e q u e
t o u s les enfants t e r m i n e n t t o u j o u r s les n i v e a u x p r i m a i r e et s e c o n d a i r e , c a r l ' a c c è s à c e s
d e u x c y c l e s d ' é d u c a t i o n est universel.
L a d e u x i è m e p é r i o d e c o r r e s p o n d au n i v e a u tertiaire d e l ' é d u c a t i o n d e l ' e n f a n t . A u c o u r s
d e c e t t e p é r i o d e , il a u r a a c c è s à u n e f o r m a t i o n p o s t - s e c o n d a i r e si et s e u l e m e n t s'il b é n é f i c i e
'Clotfelter, Charles T., Philip J. Cook. On the Economies of States Lotteries, p. 112.

d ' u n e b o u r s e d ' e x c e l l e n c e , s i n o n il m e t t r a fin à ses é t u d e s a p r è s le s e c o n d a i r e . L a b o u r s e
est p r i m o r d i a l e p o u r l'entrée a u c y c l e tertiaire d ' é t u d e p o u r l ' e n f a n t . T o u s les enfants s o n t
éligibles à l ' o b t e n t i o n d e la b o u r s e d ' é t u d e . E n investissant Xi , le p a r e n t a u g m e n t e la p r o b a b i l i t é q u e s o n enfant g a g n e la b o u r s e car l'enfant d i s p o s e r a d a v a n t a g e d e ressources p o u r
a u g m e n t e r ses p e r f o r m a n c e s a u x c y c l e s p r i m a i r e et s e c o n d a i r e . L o r s q u e l'enfant n ' a t t e i n t
p a s le c y c l e d ' é t u d e tertiaire, il passe c e t t e p é r i o d e à la r e c h e r c h e d ' u n e m p l o i et n ' a d o n c
a u c u n revenu.
L ' e n f a n c e se t e r m i n e à la fin d e la d e u x i è m e p é r i o d e . A p a r t i r d e la t r o i s i è m e p é r i o d e ,
l'enfant est a d u l t e . L a t r o i s i è m e et la q u a t r i è m e p é r i o d e d e sa v i e c o r r e s p o n d e n t a u x d e u x
p é r i o d e s d u p a r e n t o ù , d a n s un p r e m i e r t e m p s , il travaille e t , d a n s u n d e u x i è m e t e m p s , il
est à la retraite. O n s u p p o s e q u e l'enfant qui c o m p l è t e u n e é d u c a t i o n d u n i v e a u tertiaire
d e v i e n d r a un travailleur qualifié à l ' â g e a d u l t e , alors q u ' u n enfant q u i n ' a c c è d e p a s a u
n i v e a u tertiaire d e v i e n d r a u n travailleur n o n qualifié. U n enfant q u i a t e r m i n é le s e c o n d a i r e
a une probabilité p

%

G [0,1] d ' o b t e n i r la b o u r s e d ' e x c e l l e n c e . Si o n d é s i g n e p a r yf le r e v e n u

d e l'enfant d e v e n u a d u l t e issu d u m é n a g e i , il est clair q u e c e dernier est u n e v a r i a b l e
aléatoire d u p o i n t d e v u e d e la p é r i o d e 1 :
.
Vi = {

^.
_

avec probabilité

1-p*

,
(III.5)

/ T T T

a v e c p r o b a b i l i t é pi

r

V i , o ù çj et ÛJ r e p r é s e n t e n t le n i v e a u d e r e v e n u d ' u n travailleur n o n qualifié et qualifié
r e s p e c t i v e m e n t . L a p r o b a b i l i t é pi v a d é p e n d r e des p e r f o r m a n c e s scolaires d e l'enfant relat i v e m e n t à celles d e s autres enfants ayant c o m p l é t é s le s e c o n d a i r e , ainsi q u e d u n o m b r e d e
b o u r s e s d i s p o n i b l e s , nt G [ 0 , 1 ] . Il ne p e u t y avoir p l u s d ' u n e b o u r s e d ' é t u d e p a r e n f a n t .
O n m e s u r e les p e r f o r m a n c e s relatives d ' u n enfant issu d u m é n a g e i par le r a p p o r t e n t r e
l'investissement fait p a r le p a r e n t i et la s o m m e t o t a l e d e s i n v e s t i s s e m e n t s p a r e n t a u x :

(ni.6)

Ri = -jr-r.Jq %i

(M

/

V i. O n p e u t d o n c c a r a c t é r i s e r la p r o b a b i l i t é q u e l'enfant o b t i e n n e u n e b o u r s e d ' e x c e l l e n c e
par :

I ribRi

si a u t r e m e n t

V i. Celle-ci est d é t e r m i n é e p a r le n o m b r e d e b o u r s e s d i s p o n i b l e s , n ,
b

p e r f o r m a n c e s relatives d e l'enfant d u m é n a g e i,

Ri.

m u l t i p l i é p a r les

A . 3 . Le gouvernement
L e g o u v e r n e m e n t a la r e s p o n s a b i l i t é d e gérer u n n i v e a u d e f o n d s p u b l i c s , F

0

> 0 exo-

g è n e . Il a le c h o i x entre t r a n s f o r m e r d i r e c t e m e n t c e f o n d s en b o u r s e s d ' e x c e l l e n c e , o u d e
l'utiliser p o u r créer u n e l o t e r i e d o n t les r e v e n u s s e r v i r o n t à c o n s t i t u e r u n f o n d s d e b o u r s e .
L e g o u v e r n e m e n t v a choisir la c r é a t i o n d e la loterie si F , le f o n d s d i s p o n i b l e suite à la
L

m i s e en m a r c h é d e la l o t e r i e , est p l u s é l e v é q u e le f o n d initial, FQ. S u p p o s o n s q u e FL > FQ,
alors la loterie est j u g é e c o m m e efficace et r a p p o r t e p l u s d e f o n d s a u g o u v e r n e m e n t . L ' o b j e c t i f d u g o u v e r n e m e n t est d o n c d e m a x i m i s e r le f o n d s d e b o u r s e a v e c les i n s t r u m e n t s q u ' i l
d i s p o s e . L a loterie à la d i s p o s i t i o n d u g o u v e r n e m e n t est u n j e u à l o t s fixes 6, o ù le n o m b r e
d e g a g n a n t s est m e [ 0 , 1 ] . L e f o n d s initial, t r a n s f o r m é e n l o t s p o u r la l o t e r i e , sera :

F

=

0

m0.

L o r s q u e m est p r o c h e d e 0, il y a u r a p e u d e g a g n a n t s a v e c des l o t s é l e v é s . L e f o n d s d i s p o n i b l e
suite à la loterie sera :
F
où y

(III.8)

= yt

L

E [0,1] est le n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s à la l o t e r i e . Il est i m p o r t a n t d e définir ra&

p o u r ainsi avoir u n e i d é e , à savoir d e c o m b i e n la l o t e r i e p e u t a u g m e n t e r l ' a c c è s au n i v e a u
d ' é d u c a t i o n tertiaire. C o n s i d é r a n t l ' o p t i o n d e la loterie efficace, le n o m b r e t o t a l d e b o u r s i e r s ,
rib, est d o n n é c o m m e suit :
n b

=

^

y

T

= J

f

o ù b > 0 d é s i g n e la valeur d ' u n e b o u r s e d ' e x c e l l e n c e nécessaire p o u r q u e l'enfant

/TTT

0

X

( I I L 9 )

accède

au c y c l e tertiaire d ' é t u d e . L e m o n t a n t b est e x o g è n e et ne p e u t servir d ' i n s t r u m e n t

au

g o u v e r n e m e n t p o u r a u g m e n t e r le n o m b r e t o t a l d e b o u r s i e r s . L e s d e u x seuls i n s t r u m e n t s q u e
le g o u v e r n e m e n t p e u t utiliser p o u r m a x i m i s e r le f o n d s d e b o u r s e et le n o m b r e d e b o u r s i e r s
sont les frais d e p a r t i c i p a t i o n , t, et la valeur d e s l o t s g a g n a n t s , 9. P l u s i e u r s é v é n e m e n t s se
p r o d u i s e n t d a n s n o t r e é c o n o m i e fictive. R e g a r d o n s le d é r o u l e m e n t d e s a c t i o n s afin d e b i e n
c o m p r e n d r e les i m p l i c a t i o n s d u m o d è l e .

B . La chronologie des événements
N o t r e é c o n o m i e fictive se d é r o u l e c o m m e suit. A u d é b u t d e la p é r i o d e 1, le g o u v e r n e m e n t
a n n o n c e la c r é a t i o n d ' u n e l o t e r i e qui servira à créer u n f o n d s p u b l i c p o u r le f i n a n c e m e n t
d e b o u r s e s d ' a c c è s a u n i v e a u d ' é t u d e tertiaire. Il s'agit d e b o u r s e s offertes a u x élèves les
plus m é r i t a n t s p a r m i c e u x qui o n t c o m p l é t é le s e c o n d a i r e . L a l o t e r i e sera l a n c é e au d é b u t

d e la p é r i o d e 2, l o r s q u e les p a r e n t s d e v i e n n e n t i n a c t i f s . À l ' a n n o n c e d e c e t t e n o u v e l l e , les
parents décident chacun du montant x

x

q u ' i l s investiront p o u r aider à la réussite s c o l a i r e d e

leur e n f a n t . L ' a c c è s d e l'enfant à u n e b o u r s e d ' e x c e l l e n c e d u c y c l e p o s t - s e c o n d a i r e d é p e n d
du montant
A u d é b u t d e la p é r i o d e 2, la loterie est l a n c é e . L e s p a r e n t s a p p r e n n e n t le n o m b r e m d e
lots g a g n a n t s , ainsi q u e la valeur d e c h a q u e l o t . P a r s o u c i d e s i m p l i c i t é , la p r o b a b i l i t é d e
g a g n e r p l u s d ' u n lot est nulle. A p r è s le l a n c e m e n t d e la l o t e r i e , c h a q u e p a r e n t o b t i e n t s o n
revenu d e r e t r a i t e , \ T U J

1

et d é c i d e d e j o u e r à la l o t e r i e o u n o n a u c o û t d e t. Seul le p a r e n t

p e u t j o u e r à la l o t e r i e et g a g n e r u n m o n t a n t 6. O n s u p p o s e q u ' i l y a t o u j o u r s d e s g a g n a n t s
à c e t t e loterie, d o n c , q u ' i l n ' y a pas d e c a s d e « rollover » . L e s résultats d e s g a g n a n t s d e
la l o t e r i e sont c o n n u s au d é b u t d e la d e u x i è m e p é r i o d e . Il n ' y a d o n c p l u s d ' i n c e r t i t u d e
c o n c e r n a n t le r e v e n u d u p a r e n t et d e l ' e n f a n t à p a r t i r d e c e m o m e n t . L e r e v e n u d u p a r e n t
à la p é r i o d e 2 d e v i e n t d o n c :
s'il ne j o u e p a s à la l o t e r i e
Xrwi - t + Q
\TUJ

1



t

s'il

g a g n e à la loterie

s'il ne g a g n e p a s à la l o t e r i e

V i. E n s u i t e le f o n d s p u b l i c , F , p e u t ê t r e d é t e r m i n é . U n e fois c e m o n t a n t c o n n u et q u e le
L

m o n t a n t d e la b o u r s e , b, est d o n n é , il est p o s s i b l e d e d é d u i r e le n o m b r e t o t a l d e b o u r s i e r s
rit,. Les é v é n e m e n t s , à partir d u d é b u t d e la p r e m i è r e p é r i o d e , se font i n s t a n t a n é m e n t d e
s o r t e q u e le n o m b r e d e b o u r s i e r s est c o n n u d è s le d é b u t d e c e t t e p é r i o d e . Il est aussi p o s s i b l e
d e savoir qui a c c é d e r a a u x é t u d e s tertiaires p a r m i les e n f a n t s . Il est i m p o r t a n t d e savoir
quelles v a r i a b l e s influencent le n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s t o t a l à la loterie, y , p u i s q u e c ' e s t
c e t t e p a r t i c i p a t i o n q u i v a d é t e r m i n e r le f o n d s d e b o u r s e FL, et p a r la s u i t e , le n o m b r e t o t a l
d e b o u r s i e r s . A f i n d e d é t e r m i n e r c e n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s , r e g a r d o n s les p r é f é r e n c e s d e s
parents.

C. Les préférences du parent

représentatif

D a n s n o t r e m o d è l e , les p a r e n t s o n t d e s p r é f é r e n c e s q u i e x h i b e n t u n a l t r u i s m e p a r e n t a l .
U n e a u g m e n t a t i o n d u revenu e s p é r é d e l ' e n f a n t affecte p o s i t i v e m e n t l'utilité d u p a r e n t . L e
parent a u r a d o n c intérêt à investir d a n s l ' é d u c a t i o n d e s o n e n f a n t . Les d e u x a u t r e s c o m p o santes d e la f o n c t i o n d ' u t i l i t é s e r o n t la c o n s o m m a t i o n a u x p é r i o d e s 1 et 2. L ' e s p é r a n c e est
e x p r i m é e à la p é r i o d e 1 p u i s q u e l ' i n c e r t i t u d e se d é v o u e a u d é b u t d e la s e c o n d e p é r i o d e . L a

f o n c t i o n d ' u t i l i t é est d o n c :
Ul=u{c})

+I3E,

( I I I . 10)

(U?)

V 2 , à la p é r i o d e 1, et

uf = u ( ; ) + p [u (i - ) + opi]
c

V i , à la p é r i o d e 2, o ù p

t

2

(ni.ii)

Pi

est la p r o b a b i l i t é q u e l'enfant o b t i e n n e la b o u r s e et /3 6 ( 0 , 1 ) est

un p a r a m è t r e d e p r é f é r e n c e p o u r le t e m p s . L e r e v e n u e s p é r é d e l'enfant est e x p r i m é à la
t r o i s i è m e p é r i o d e et a d o n c b e s o i n d ' ê t r e a c t u a l i s é sur d e u x p é r i o d e s . Il est à n o t e r q u e :

2p

2

p o u r t o u t p a r e n t qui p a r t i c i p e à la loterie et

p o u r t o u t p a r e n t qui n e p a r t i c i p e pas à la loterie. L a f o n c t i o n à m a x i m i s e r p o u r le p a r e n t
p a r t i c i p a n t est d o n c :

V(l,Xi)

= u (c])

+ E

1

(u (1 -

[Pu (cf ) +

+ û>pi)]

(IIL12)

et
K ( 0 , Xi) = u (c]) + Pu (c )

+ (3 (u (1 -

2n

2

+ û)
Pi

(111.13)

p o u r le n o n p a r t i c i p a n t .
R e m p l a ç o n s les différentes c o m p o s a n t e s p a r leurs valeurs r e s p e c t i v e s afin d e r é s o u d r e
c e p r o b l è m e . S e l o n ( I I I . 7 ) , ( I I I . 6 ) et ( I I I . 9 ) , la p r o b a b i l i t é pi d ' o b t e n i r la b o u r s e est é g a l e
à :
Pi = n ^
b



(111.14)

a

J = I Xi di.
o

P a r s o u c i d e s i m p l i c i t é , le p a r e n t est m y o p e d a n s sa d é c i s i o n d ' i n v e s t i s s e m e n t . C e t t e m y o p i e
i m p l i q u e q u e le t e r m e J ne d é p e n d pas d e X{. L a v a r i a b l e J est d o n c e x o g è n e d a n s n o t r e m o d è l e . L a m y o p i e d u p a r e n t est j u s t i f i a b l e , c a r l ' i m p a c t d ' u n c h a n g e m e n t d e l ' i n v e s t i s s e m e n t
d ' u n p a r e n t i est n é g l i g e a b l e d a n s la s o m m e t o t a l e d e s i n v e s t i s s e m e n t s .
S e l o n (III. 1 ) , ( I I I . 3 ) , et ( I I I . 4 ) , les c o n t r a i n t e s b u d g é t a i r e s d e v i e n n e n t r e s p e c t i v e m e n t ,

p o u r les p é r i o d e s 1 et 2 :

= (1 -

c]

c

2p

r)u

t

= Xrui-t

-

Xi

+ Ô

p o u r t o u t p a r e n t q u i p a r t i c i p e à la loterie,

c

2n

=

XTU,

p o u r t o u t p a r e n t q u i n e p a r t i c i p e p a s à la loterie. A n o t e r q u e l ' i n c e r t i t u d e p r o v i e n t s e u l e m e n t d e la c o n s o m m a t i o n à la p é r i o d e 2 l o r s q u e le p a r e n t p a r t i c i p e à la l o t e r i e . D e c e fait,
l'opérateur d'espérance peut être remplacé de cette façon :

£i(c

2 p

) = [iu (Xrui - t + 0) + ( l - fi)u {XTUJ - t)
1

(111.15)

o ù f.i est la p r o b a b i l i t é d e g a g n e r à la l o t e r i e . C e t t e p r o b a b i l i t é p e u t ê t r e définie c o m m e
suit :
m
o ù M e [0,1] est la q u a n t i t é d e j e u x d e l o t e r i e en c i r c u l a t i o n . L a q u a n t i t é d e j e u x d i s p o n i b l e s
c o r r e s p o n d e x a c t e m e n t au n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s à la loterie et d o n c :

M =

y.

C e t t e h y p o t h è s e i m p l i q u e q u e t o u s les j e u x d i s p o n i b l e s m i s sur le m a r c h é p a r le g o u r v e r n e m e n t s o n t j o u é s p a r les p a r t i c i p a n t s . E n r e m p l a ç a n t m et M p a r leurs valeurs r e s p e c t i v e s ,
la p r o b a b i l i t é d e g a g n e r u n lot d e v i e n t :

M=4

(IIL16)
yO

P o u r q u ' i l e x i s t e u n e s o l u t i o n intérieure lors d e la m a x i m i s a t i o n , la f o n c t i o n

d'utilité

u : c —> R d o i t satisfaire les q u a t r e s c o n d i t i o n s suivantes :
u' > 0

la f o n c t i o n est s t r i c t e m e n t c r o i s s a n t e ,

u" < 0

la f o n c t i o n est s t r i c t e m e n t c o n c a v e ,

_
(111.17)

/ t t t

n

lim _>o ' ( ) —
u

c

c

0

lirric^oo u' (c) =

0

>

(111.18)

0.

A f i n d e r é s o u d r e le p r o b l è m e , n o u s d o n n o n s la f o r m e s u i v a n t e à l a f o n c t i o n d ' u t i l i t é :

u(c)

= ln c.

(111.19)

Il est p o s s i b l e d e vérifier q u e c e t t e f o r m e d e f o n c t i o n d ' u t i l i t é r e s p e c t e b i e n les c o n d i t i o n s
( I I I . 17) et (III. 1 8 ) . P u i s q u e les p r é f é r e n c e s d e s p a r e n t s o n t é t é définies, il est m a i n t e n a n t
6

p o s s i b l e d e r é s o u d r e le p r o b l è m e d e m a x i m i s a t i o n d u p a r e n t représentatif. L a p r o c h a i n e
s e c t i o n r é s o u t c e p r o b l è m e d e m a x i m i s a t i o n p o u r le p a r e n t participant à la loterie et le
p a r e n t n o n p a r t i c i p a n t à la l o t e r i e .

6

L a fonction u(c) = ln c est strictement croissante et strictement concave puisque |^ = 1 > 0 et
=

dc

z

—4j > 0. De plus, cette fonction respecte les conditions d l n a d a puisque l i m ^ Q ) = 0 0 et
c

c-'

"

l i m ^ o o (1) = 0.

0

I V . C h o i x allocatif des parents
L e v e c t e u r d e c h o i x d ' u n p a r e n t i est (s ,x ).
l

L o r s q u e S{ = 1, le p a r e n t p a r t i c i p e à la

i

l o t e r i e et l a f o n c t i o n à m a x i m i s e r est V(l,Xi).

Lorsque s

l

= 0, le p a r e n t n e p a r t i c i p e p a s et

la f o n c t i o n à m a x i m i s e r d e v i e n t V ( 0 , X i ) . N o u s p o u v o n s d o n c c a r a c t é r i s e r le p r o b l è m e d u
parent c o m m e étant :



lsi

V(l,xî)>V{0,xî),

O s i V(0,x*)>

V(l,xl).

Les fonctions d'utilité sont respectivement :

V(l,Xi)

=

u [(1 - r)Ui

-

x]
{

+15 [fiu (XTUJ - 1 + 9) + (1 - n)u (XruJi 1

(IV.l)

+i3 (ui(l-p )+LJp )
2

l

t)\

l

p o u r le p a r t i c i p a n t et

u [(1 -r)ui

1/(0, x

%

+[3u

-

x^

(XTUi)
(u(l-pi)+ûpi)

+I3

2

(IV.2)

p o u r le n o n p a r t i c i p a n t , o ù

Xi
Pi

=

n—
h

yt
b

J
u(c)

=
=

Inc.

(IV.3)

L a p a r t i c i p a t i o n t o t a l e à la loterie est la m ê m e , p e u i m p o r t e si le p a r e n t i p a r t i c i p e o u p a s
à la l o t e r i e . L e p a r e n t est d o n c m y o p e d a n s sa d é c i s i o n d e p a r t i c i p a t i o n . C e t t e h y p o t h è s e
i m p l i q u e q u e la p r o b a b i l i t é pi d e g a g n e r u n e b o u r s e est la m ê m e , p e u i m p o r t e la d é c i s i o n d u
p a r e n t i c o n c e r n a n t la p a r t i c i p a t i o n à la loterie. L e p r o b l è m e d u p a r e n t se r é s u m e d o n c à
choisir u n i n v e s t i s s e m e n t x± o p t i m a l p o u r s o n enfant et s'il y a p a r t i c i p a t i o n o u n o n à la l o terie. E n p r e m i e r lieu, r e g a r d o n s quel v a ê t r e le c h o i x d u p a r e n t c o n c e r n a n t l ' i n v e s t i s s e m e n t
d a n s l ' é d u c a t i o n d e s o n enfant. Il est i m p o r t a n t d e d é t e r m i n e r l ' i n v e s t i s s e m e n t o p t i m a l d u
p a r e n t représentatif, p u i s q u e c e c h o i x p o u r r a i t influencer la d é c i s i o n d e p a r t i c i p a t i o n à la
loterie, et fera ainsi varier le n o m b r e d e b o u r s i e r s t o t a l d e l ' é c o n o m i e fictive.

A . P r o b l è m e de choix d'investissement d'un

parent

L e p r o b l è m e d u p a r e n t est le suivant :

m a x V (s^ Xi).
(Xi)

(IV.4)

S e l o n les différentes f o n c t i o n s d ' u t i l i t é d e s p a r e n t s ( I V . 1) et ( I V . 2 ) , les valeurs q u e p r e n n e n t
les f o n c t i o n s d ' u t i l i t é des p a r e n t s c h a n g e n t , m a i s p a s les p r é f é r e n c e s d e s i n d i v i d u s .

La

c o n d i t i o n d e p r e m i e r o r d r e p o u r u n e s o l u t i o n intérieure a u p r o b l è m e ( I V . 4 ) est :

+

1

[(1 -TijWi

^

-Xi]

= 0

(IV.5)

J

V 2, OÙ
Ô — (Cû — Çj)
r e p r é s e n t e la p r i m e d e q u a l i f i c a t i o n d ' u n i n d i v i d u é d u q u é . C e t t e p r i m e d e

qualification

r e p r é s e n t e la p l u s g r a n d e différence d e r e v e n u qui p e u t exister d a n s n o t r e é c o n o m i e p u i s q u e

UJ e [w,o].
1

L e m m e 1. L'investissement

optimal,

x*,

du parent

participant

sinon

S(3 n
z

est :

b

V 2.
P r e u v e . L a p r e u v e est d o n n é e d a n s l ' a n n e x e A . l .
L'investissement o p t i m a l d u parent représentatif d é p e n d de son revenu, d u t a u x d'épargne,
d e la s o m m e d e t o u s les i n v e s t i s s e m e n t s , d e la p r i m e d e q u a l i f i c a t i o n et d u n o m b r e t o t a l

d e b o u r s i e r s d a n s l ' é c o n o m i e . P u i s q u e le n o m b r e d e b o u r s i e r s est d é t e r m i n é à la p é r i o d e 2
et q u e le c h o i x d ' i n v e s t i s s e m e n t d u p a r e n t se fait d a n s la p é r i o d e 1, le p a r e n t n e c o n n a î t
p a s e x a c t e m e n t le n o m b r e d e b o u r s i e r s d e l ' é c o n o m i e à la p é r i o d e 1. L e p a r e n t d o i t d o n c
a n t i c i p e r le n o m b r e d ' é t u d i a n t s qui v o n t o b t e n i r u n e b o u r s e à la d e u x i è m e p é r i o d e . P a r
s o u c i d e s i m p l i c i t é , s u p p o s o n s q u e le p a r e n t n ' a p a s d ' i n c e r t i t u d e c o n c e r n a n t le n o m b r e d e
b o u r s i e r s et q u e s o n a n t i c i p a t i o n se révèle e x a c t e . L ' i n v e s t i s s e m e n t d u p a r e n t i est c r o i s s a n t
a v e c sa richesse, uj . L e p a r e n t i n e p e u t influencer la v a r i a b l e J , p u i s q u ' u n e a u g m e n t a t i o n
r

d e s o n i n v e s t i s s e m e n t a u n i m p a c t n é g l i g e a b l e sur la s o m m e t o t a l e d e t o u s les investissem e n t s . Il est p o s s i b l e d e d é t e r m i n e r c e n i v e a u d ' i n v e s t i s s e m e n t t o t a l et ainsi o b t e n i r les
c a r a c t é r i s t i q u e s d e l ' i n v e s t i s s e m e n t o p t i m a l d u p a r e n t i.

L e m m e 2.
fonction

La somme
réelle

Y :

de tous

les investissements

—•> M

+

définie

J peut

être

exprimée

comme

étant

une

par V (n&, <5,U),T) G M+


(IV.6)
et

désigne

le revenu

moyen

des

parents.

P r e u v e . L a p r e u v e est d o n n é e d a n s l ' a n n e x e A . 2 .
L a s o m m e des investissements d é p e n d des m ê m e s paramètres q u e l'investissement
s o i t : le n o m b r e d e b o u r s i e r s , la p r i m e d e q u a l i f i c a t i o n , le r e v e n u m o y e n d e s p a r e n t s et le
t a u x d ' é p a r g n e . O n d o i t avoir
ôp n
2

b

> 0

p o u r o b t e n i r u n e s o m m e d e s i n v e s t i s s e m e n t s n o n nulle. D a n s u n c a s o ù la p r i m e d e qualific a t i o n est nulle, il est clair q u e le p a r e n t n ' a p a s d ' i n c i t a t i f à investir d a n s l ' é d u c a t i o n d e s o n
enfant et la s o m m e d e s i n v e s t i s s e m e n t s sera nulle. L e m ê m e p h é n o m è n e se p r o d u i t l o r s q u ' i l
n ' y a p a s d e b o u r s e sur le m a r c h é , p u i s q u e c ' e s t l ' o b t e n t i o n d e la b o u r s e qui d é t e r m i n e
l ' a c c è s à l ' u n i v e r s i t é . L e L e m m e 2 révèle u n n o m b r e d e faits i m p o r t a n t s .
Fait 1. L a s o m m e d e t o u s les i n v e s t i s s e m e n t s varie p o s i t i v e m e n t avec u n e a u g m e n t a t i o n
du n o m b r e de boursiers.

P r e u v e . L a p r e u v e d e c e fait est d o n n é e d a n s l ' a n n e x e A . 3 .
U n e augmentation du n o m b r e de boursiers incite l'investissement dans l'éducation puisq u ' i l y a u r a p l u s d e c h a n c e d e g a g n e r u n e b o u r s e d ' é t u d e p o u r l ' e n f a n t . Il en résultera u n e
a u g m e n t a t i o n d e la s o m m e t o t a l e d e l ' i n v e s t i s s e m e n t d a n s l ' é c o n o m i e .
Fait 2.

L a s o m m e d e t o u s les i n v e s t i s s e m e n t s varie p o s i t i v e m e n t a v e c u n e a u g m e n t a t i o n

d e la p r i m e d e q u a l i f i c a t i o n .
P r e u v e . L a p r e u v e d e c e fait est d o n n é e d a n s l ' a n n e x e A . 4 .
L e r e v e n u e s p é r é d e l'enfant a u g m e n t e a v e c la p r i m e d e q u a l i f i c a t i o n . Il sera alors p l u s
r e n t a b l e p o u r le p a r e n t d'investir d a n s l ' é d u c a t i o n p u i s q u e si s o n enfant o b t i e n t la b o u r s e ,
il a u r a u n revenu f u t u r p l u s é l e v é . L ' a u g m e n t a t i o n d e la p r i m e p o u s s e le p a r e n t à d o n n e r
plus d e r e s s o u r c e s à s o n enfant p o u r lui d o n n e r u n e m e i l l e u r e c h a n c e d'aller à l ' u n i v e r s i t é .
Fait 3 . L a s o m m e d e t o u s les i n v e s t i s s e m e n t s varie p o s i t i v e m e n t l o r s q u e la richesse m o y e n n e
des parents augmente.
P r e u v e . L a p r e u v e d e c e fait est d o n n é e d a n s l ' a n n e x e A . 5 .
L ' i n v e s t i s s e m e n t d a n s l ' é d u c a t i o n r e p r é s e n t e u n e f o r m e d ' é p a r g n e p o u r le p a r e n t . U n e
plus g r a n d e richesse c o l l e c t i v e a u g m e n t e le revenu d i s p o n i b l e à la p é r i o d e 1 et, p a r le
fait m ê m e , les r e s s o u r c e s d i s p o n i b l e s p o u r l ' i n v e s t i s s e m e n t d a n s l ' é d u c a t i o n . L e p a r e n t n e
v o u d r a p a s c o n s o m m e r t o u t e sa richesse à la p é r i o d e 1. L a s o m m e d e s i n v e s t i s s e m e n t s v a
d o n c a u g m e n t e r en f o n c t i o n d u r e v e n u d i s p o n i b l e d e s p a r e n t s .
Fait 4 . L a s o m m e d e t o u s les i n v e s t i s s e m e n t s d i m i n u e l o r s q u e le t a u x d ' é p a r g n e

imposé

p a r la loi a u g m e n t e .
P r e u v e . L a p r e u v e d e c e fait est d o n n é e d a n s l ' a n n e x e A . 6 .
U n e a u g m e n t a t i o n d u t a u x d ' é p a r g n e d i m i n u e le r e v e n u d i s p o n i b l e d e t o u s les p a r e n t s
à la p é r i o d e 1. L e s p a r e n t s a u r o n t d o n c m o i n s d e r e s s o u r c e s d i s p o n i b l e s p o u r investir d a n s
l ' é d u c a t i o n d e leurs e n f a n t s . P u i s q u e n o u s s a v o n s m a i n t e n a n t c o m m e n t se c o m p o r t e la
s o m m e d e t o u s les i n v e s t i s s e m e n t s , il est p o s s i b l e d e d é t e r m i n e r les c a r a c t é r i s t i q u e s

de

l'investissement o p t i m a l , X{, e n r e m p l a ç a n t la v a r i a b l e J par sa valeur t r o u v é e au L e m m e
précédent.

L e m m e 3 . L'investissement

optimal,

x* peut

être

défini

comme

étant

une fonction

réelle



(IV.7)
P r e u v e . L a p r e u v e d e c e L e m m e est d o n n é e d a n s l ' a n n e x e A . 7 .
L'investissement optimal d u parent i d é p e n d d u n o m b r e d e boursiers dans l'économie,
d e la p r i m e d e q u a l i f i c a t i o n , d u r e v e n u d u p a r e n t i, d u revenu m o y e n d e t o u s les p a r e n t s
et d u t a u x d ' é p a r g n e . C e L e m m e révèle u n n o m b r e d e faits i m p o r t a n t s .
Fait 5 . U n e a u g m e n t a t i o n d u n o m b r e d e b o u r s i e r s a un effet p o s i t i f sur l ' i n v e s t i s s e m e n t à
l'optimum.
P r e u v e . L a p r e u v e d e c e fait est d o n n é e d a n s l ' a n n e x e A . 8 .
P u i s q u ' u n e a u g m e n t a t i o n d u n o m b r e d e b o u r s i e r s a u g m e n t e les c h a n c e s d e l'enfant d e
g a g n e r u n e b o u r s e , l ' i n v e s t i s s e m e n t d u p a r e n t d a n s l ' é d u c a t i o n d e v i e n d r a plus r e n t a b l e .
E n effet, u n e a u g m e n t a t i o n d e n o m b r e d e b o u r s i e r s p e r m e t a u p a r e n t d ' a v o i r u n meilleur
i m p a c t sur le r e v e n u f u t u r d e l ' e n f a n t .
Fait 6 . U n e a u g m e n t a t i o n d e la p r i m e d e q u a l i f i c a t i o n a u r a u n effet p o s i t i f sur l'investissement à l'optimum.
P r e u v e . L a p r e u v e d e c e fait est d o n n é e d a n s l ' a n n e x e A . 9 .
P l u s la p r i m e d e q u a l i f i c a t i o n est g r a n d e , plus le p a r e n t a u r a intérêt à c e q u e l'enfant
g a g n e u n e b o u r s e et puisse avoir a c c è s à c e t t e p r i m e .
Fait 7. U n e a u g m e n t a t i o n d u revenu a u n effet p o s i t i f sur l ' i n v e s t i s s e m e n t d u p a r e n t à
l'optimum
P r e u v e . L a p r e u v e d e c e fait est d o n n é e d a n s l ' a n n e x e A . 10.
C o m m e l'investissement dans l'éducation de l'enfant peut être v u c o m m e une forme
d ' é p a r g n e p o u r le p a r e n t , l o r s q u e le r e v e n u d u p a r e n t a u g m e n t e , il lisse sa c o n s o m m a t i o n à
travers le t e m p s en a u g m e n t a n t s o n i n v e s t i s s e m e n t à l ' é q u i l i b r e . L e p a r e n t n e c o n s o m m e r a
p a s t o u t e son a u g m e n t a t i o n d e richesse à la p é r i o d e 1 p u i s q u ' i l é p a r g n e u n m o n t a n t r p o u r
sa c o n s o m m a t i o n à la p é r i o d e 2.

Fait 8. U n e a u g m e n t a t i o n d u r e v e n u m o y e n a u n i m p a c t n é g a t i f sur l ' i n v e s t i s s e m e n t d u
parent dans l'éducation de son enfant.
P r e u v e . L a p r e u v e d e c e fait est d o n n é e d a n s l ' a n n e x e A . l l .
L o r s q u e le r e v e n u m o y e n a u g m e n t e et q u e le r e v e n u d u p a r e n t i reste c o n s t a n t , le p a r e n t
se r e t r o u v e r e l a t i v e m e n t m o i n s riche. P u i s q u e la s o m m e d e s i n v e s t i s s e m e n t s v a a u g m e n t e r ,
l'enfant d u p a r e n t i aura m o i n s d e c h a n c e d e g a g n e r u n e b o u r s e d ' é t u d e . Il sera alors
m o i n s r e n t a b l e d'investir d a n s l ' é d u c a t i o n p o u r les p a r e n t s qui d e v i e n n e n t r e l a t i v e m e n t
p l u s p a u v r e s p a r r a p p o r t a u reste d e s m é n a g e s .
Fait 9. U n e a u g m e n t a t i o n d u t a u x d ' é p a r g n e i m p o s é p a r la loi a u n i m p a c t n é g a t i f sur
l ' i n v e s t i s s e m e n t à l ' o p t i m u m l o r s q u e c e t investissement est positif.
P r e u v e . L a p r e u v e d e c e fait est d o n n é e d a n s l ' a n n e x e 12.
P u i s q u e le t a u x d ' é p a r g n e d i m i n u e le revenu d i s p o n i b l e à la p é r i o d e 1, il y a u r a d o n c
u n e d i m i n u t i o n d e l ' i n v e s t i s s e m e n t d a n s l ' é d u c a t i o n . N o u s s a v o n s m a i n t e n a n t c o m m e n t se
c o m p o r t e le c h o i x d ' i n v e s t i s s e m e n t d u p a r e n t d a n s l ' é d u c a t i o n d e s o n enfant.

B . D é c i s i o n d e p a r t i c i p a t i o n à la l o t e r i e
L e p a r e n t d o i t p r e n d r e u n e d e u x i è m e d é c i s i o n a u c o u r s d e sa v i e , soit la d é c i s i o n d e
p a r t i c i p e r o u n e p a s p a r t i c i p e r à la loterie q u e le g o u v e r n e m e n t m e t en p l a c e . C e t t e d é c i s i o n
sera très i m p o r t a n t e afin d e d é t e r m i n e r le f o n d s d e b o u r s e et le n o m b r e d e b o u r s i e r s d a n s
l'économie.

L e m m e 4 . La fonction

d : W\_ —> R

+

est définie

par V (Ld,6,t,y)

G R+,

^>^=^n^^) K^J
+

-

(IV 8)


â =
représente

le gain net de la

V(l,x*)-V(0,x*)

loterie.

P r e u v e . L a p r e u v e d e c e L e m m e est d o n n é e d a n s l ' a n n e x e 13.
L ' e x p r e s s i o n ( I V . 8 ) r e p r é s e n t e le g a i n n e t à p a r t i c i p e r à la l o t e r i e p o u r u n p a r e n t a y a n t
un n i v e a u d e r e v e n u , u. C e g a i n net d é p e n d d e s o n r e v e n u , u , d e s c a r a c t é r i s t i q u e s

(6,t),

d e la l o t e r i e , ainsi q u e d u n o m b r e t o t a l d e p a r t i c i p a n t s , y. L a p a r t i c i p a t i o n t o t a l e influence

le g a i n n e t d e l a l o t e r i e p u i s q u e plus il y a d ' i n d i v i d u s q u i p a r t i c i p e n t , m o i n s il y a u r a d e
c h a n c e d e g a g n e r u n l o t . A i n s i , u n e p l u s g r a n d e p a r t i c i p a t i o n affecte n é g a t i v e m e n t le g a i n
n e t d e l a loterie. L e g a i n n e t d e la l o t e r i e n e d é p e n d p a s d e l ' i n v e s t i s s e m e n t d u p a r e n t d a n s
l ' é d u c a t i o n d e l ' e n f a n t p u i s q u e n o u s a v o n s fait l ' h y p o t h è s e q u e le p a r e n t est m y o p e d a n s
sa d é c i s i o n d e p a r t i c i p a t i o n . D e c e t t e h y p o t h è s e , le p a r e n t q u i p a r t i c i p e n ' o b t i e n t

aucun

g a i n p r o v e n a n t d e s a p r o p r e p a r t i c i p a t i o n . P o u r lui, le fait d e p a r t i c i p e r n ' a u g m e n t e p a s
le n o m b r e d e b o u r s i e r s , et d o n c , n ' a u g m e n t e p a s la p r o b a b i l i t é d e l'enfant d e g a g n e r u n e
b o u r s e d ' é t u d e . L e p a r e n t p a r t i c i p e à l a l o t e r i e p o u r u n e s i m p l e et u n i q u e r a i s o n , l ' a p p â t d u
gain d e la l o t e r i e . L ' u t i l i t é q u e le p a r e n t retire d e l ' i n v e s t i s s e m e n t d a n s l ' é d u c a t i o n d e s o n
enfant est l a m ê m e , q u ' i l p a r t i c i p e o u p a s à la loterie. D e c e fait, investir d a n s l ' é d u c a t i o n
d e l'enfant n e c h a n g e e n rien la d é c i s i o n d e p a r t i c i p a t i o n d e la l o t e r i e d u p a r e n t . C e L e m m e
p e r m e t u n e r e f o r m u l a t i o n d u critère d e d é c i s i o n d e c h a q u e p a r e n t c o m m e suit :
1) P a r t i c i p e r à la loterie (s^ = 1) si et s e u l e m e n t si, é t a n t d o n n é le triplet (0,t,y),

on a

u n n i v e a u d e r e v e n u , OJ, q u i satisfait

â(u>,0,t,y)>Q.
2)

N e p a s p a r t i c i p e r (s{ = 0 ) si et s e u l e m e n t si, é t a n t d o n n é le triplet (0,t,y),

on a un

n i v e a u d e r e v e n u , LJ, q u i satisfait

&(u> e,t,y)<o.
u

3) Ê t r e indifférent entre les d e u x o p t i o n s p r é c é d e n t e s si et s e u l e m e n t si, é t a n t d o n n é le
triplet (0,t,y),

o n a u n n i v e a u d e r e v e n u , LJ, qui satisfait

#(oji,e,t,y)

= 0.

Sur la b a s e d u c r i t è r e d e d é c i s i o n c i - d e s s u s , il est i m p o r t a n t d e s'interroger sur le n o m b r e
t o t a l d e p a r e n t s q u i o p t e n t d e p a r t i c i p e r à la loterie c a r a c t é r i s é e p a r le c o u p l e

L e m m e 5 . Supposons

que, quel que soit

(0,t),

doJi

y G (y, 1] où y > 0.

(0,t).

Alors,

< 0

si
(IV.9)

gg

6 t

(ui,0,t,y)
duji

> 0

si
> XTÛ [ — + 1 ) +t.

(IV.10)

.1?

P r e u v e . L a p r e u v e de ces résultats est d o n n é e d a n s l ' a n n e x e 14.
L a p a r t i c i p a t i o n t o t a l e , y, d o i t d o n c être c o m p r i s e entre 0 e t 1, o ù y = 1, représente le
cas o ù t o u s les p a r e n t s p a r t i c i p e n t à la loterie. L o r s q u e y = y, la p a r t i c i p a t i o n est à s o n
m i n i m u m . L ' h y p o t h è s e s e l o n laquelle y > 0, p o u r t o u t c o u p l e ( # , £ ) signifie q u e la l o t e r i e
est t o u j o u r s u n p h é n o m è n e a t t r a y a n t d a n s c e t e n v i r o n n e m e n t . L o r s q u e d^(t^A*,y) < 0, le
g a i n net d e la loterie varie n é g a t i v e m e n t a v e c u n e a u g m e n t a t i o n d u r e v e n u et la loterie
p r e n d u n e f o r m e d e t a x e p r o g r e s s i v e o ù les plus p a u v r e s v o n t p a r t i c i p e r p u i s q u ' i l s a u r o n t
u n g a i n n e t plus élevé. E n fait, l o r s q u e la c o n d i t i o n ( I V . 9 ) est satisfaite, la p r o b a b i l i t é d e
g a g n e r est plus g r a n d e p u i s q u ' i l y a p l u s d e lots g a g n a n t s , et les p a u v r e s préfèrent u n e
loterie a v e c u n e g r a n d e p r o b a b i l i t é d e g a i n , p a r c e q u ' i l s o n t u n e c o n t r a i n t e d e b u d g e t p l u s
serrée q u e celle d e s riches. Il est p l u s c o û t e u x p o u r les p a u v r e s d e j o u e r à la loterie ; ils
v o u d r o n t d o n c ê t r e r é c o m p e n s é s p l u s s o u v e n t p o u r leur p a r t i c i p a t i o n . D e la m ê m e m a n i è r e ,
le g a i n n e t d e la loterie a u g m e n t e avec le r e v e n u l o r s q u e la c o n d i t i o n ( I V . 10) est satisfaite.
S o u s le r e s p e c t d e c e t t e c o n d i t i o n , les plus riches v o n t p a r t i c i p e r à la loterie p u i s q u e q u ' i l s
v o n t préférer des l o t s plus élevés et u n e p r o b a b i l i t é d e g a g n e r p l u s faible é t a n t d o n n é leur
c o n t r a i n t e d e b u d g e t m o i n s serrée q u e les p a u v r e s . P u i s q u e les riches o n t m o i n s à p e r d r e
q u e les p a u v r e s , ils v o n t p r e n d r e le risque d e p a r t i c i p e r à u n e loterie avec u n m o i n s g r a n d
n o m b r e d e l o t s , m a i s à valeur p l u s élevée. Soit u n e f o n c t i o n réelle W

par V (9,t,y) e R%, UJ* = W(9,t,y)

:

—» R

+

définie



0(w (M,y).,M,y).s'Q.
r

L e m m e 6 . La fonction

ii)
Par

W

existe.

^fMl<0;

contre,si

la condition

d) ^ f M >

0 ;

De plus,

(ii)

(IV.10)

^

si la condition

|

^

<

0

est satisfaite,

(ii) ^ | M 1

;

(IV.9)

(ni)

est satisfaite,

^

É

.

alors

< .
0

alors

>0;

m

^Ml

> 0

.

P r e u v e . L e s p r e u v e s s o n t o b t e n u e s p a r le t h é o r è m e des f o n c t i o n s i m p l i c i t e s . Les résult a t s s o n t d é m o n t r é s d a n s l ' a n n e x e 15.
L a f o n c t i o n d e revenu W d u p a r e n t est c a r a c t é r i s é e p a r la valeur d ' u n lot g a g n a n t , les
frais d e p a r t i c i p a t i o n et le n i v e a u t o t a l d e p a r t i c i p a t i o n à la loterie. C e t t e f o n c t i o n est utile
p o u r d é t e r m i n e r le t e r m e UJ* = W(9,t,y),

représentant le n i v e a u d e revenu d ' u n p a r e n t

p o u r lequel le g a i n net à j o u e r à la loterie est nul. D a n s c e c a s , le p a r e n t sera indifférent entre
j o u e r o u n e p a s j o u e r à la l o t e r i e . L o r s q u e la c o n d i t i o n ( I V . 9 ) est satisfaite, il est o p t i m a l d e
p a r t i c i p e r à la l o t e r i e p o u r t o u s les p a r e n t s d o n t le n i v e a u d e revenu est inférieur a u seuil
UJ*. L o r s q u e la c o n d i t i o n ( I V . 9 ) est satisfaite, les p r o p r i é t é s ( i ) , ( i i ) et (iii) d é m o n t r e n t q u e
l ' a u g m e n t a t i o n d e s frais d e p a r t i c i p a t i o n , d e la participation totale et de la valeur d e s lots
a p o u r effet d e d i m i n u e r le n i v e a u d e r e v e n u d u p a r e n t p o u r lequel le g a i n d e la loterie est
nul. P a r c o n t r e , l o r s q u e la c o n d i t i o n ( I V . 10) est satisfaite, l ' a u g m e n t a t i o n d ' u n e des trois
c o m p o s a n t e s d u triplet (6,t,y)

v a a u g m e n t e r ce n i v e a u d e r e v e n u .

V . D é t e r m i n a t i o n d u fonds de bourse
D a n s c e t t e s e c t i o n , il est q u e s t i o n d e savoir quels sont les d é t e r m i n a n t s d u f o n d s d e
b o u r s e r e m i s a u x e n f a n t s . C e t t e q u e s t i o n p e u t se r é p o n d r e en d e u x é t a p e s . Il faut t o u t
d ' a b o r d d é t e r m i n e r le n o m b r e t o t a l d e p a r t i c i p a n t s à la loterie, ainsi q u e les f a c t e u r s q u i
influencent s o n n i v e a u . E n s u i t e , il sera p o s s i b l e d e t r o u v e r le f o n d s d e b o u r s e , FL =

ty,

é t a n t d o n n é les frais d e p a r t i c i p a t i o n t. P a r c e q u e FL et y sont d e s a g r é g a t s é c o n o m i q u e s ,
leur n i v e a u r e s p e c t i f est d é t e r m i n é p a r u n e x e r c i c e d ' é q u i l i b r e g é n é r a l . E n d ' a u t r e s t e r m e s ,
l ' é q u i l i b r e général est la d é t e r m i n a t i o n d u n i v e a u d e s a g r é g a t s é c o n o m i q u e s tels q u e r é sultant d e l ' i n t e r a c t i o n e n t r e les c h o i x d e s a g e n t s q u i c o m p o s e n t l ' é c o n o m i e . D a n s n o t r e
m o d è l e , les a g e n t s c o n s i d é r é s s o n t les parents, p u i s q u e l'enfant n e p r e n d a u c u n e d é c i s i o n
au c o u r s d e sa p é r i o d e d e v i e .

A . D é t e r m i n a t i o n d u n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s à la l o t e r i e
L a p a r t i c i p a t i o n à la loterie est d é t e r m i n é e p a r le n i v e a u d e revenu d e s p a r e n t s . L e s
d é t e r m i n a n t s d e c e n i v e a u d e revenu o n t été traités d a n s le L e m m e 6. Il e x i s t e d e u x c a s
p o s s i b l e s d e p a r t i c i p a t i o n d a n s n o t r e é c o n o m i e : soit q u e la p a r t i c i p a t i o n est biaisée en
faveur d e s plus p a u v r e s ; soit q u ' e l l e est biaisée en faveur des p l u s riches. C ' e s t le n i v e a u
d e r e v e n u p o u r lequel le g a i n net d e la l o t e r i e est nul q u i d é t e r m i n e la frontière entre les
p a r t i c i p a n t s et les n o n - p a r t i c i p a n t s . L e s d e u x cas présentés s e r o n t traités s é p a r é m e n t d a n s
les p r o c h a i n e s s e c t i o n s .

L e m m e 7. Si la condition
est donné

(IV.9)

est satisfaite,

alors le nombre

de participants

à la

loterie

par :
y =

$\W{d,t,y)\


$>[W(8,t,y)}=PH

Par contre,
donné

si la condition

(IV. 10) est satisfaite,

<

W(9,t,y)}.

le nombre

de participants

à la loterie

est

par :
y=l-$[W(6,t,y)}.

L o r s q u e les p l u s p a u v r e s p a r t i c i p e n t à la l o t e r i e , le n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s est r e p r é s e n t é
par u n e f o n c t i o n c u m u l a t i v e q u i varie s e l o n le r e v e n u d u p a r e n t . P l u s le p a r e n t est p a u v r e ,

p l u s il a d e s c h a n c e s d e p a r t i c i p e r à la l o t e r i e . D a n s le c a s inverse, ce s o n t les riches q u i
v o n t p a r t i c i p e r à la loterie et la p a r t i c i p a t i o n sera l'inverse d e la f o n c t i o n c u m u l a t i v e , soit
1 — <ï> [W (0, t, y)].

L ' a n a l y s e c o m p o r t e d e u x c a s différents p u i s q u e les t y p e s d e p a r t i c i p a n t s

ne s e r o n t p a s les m ê m e s d ' u n c a s à l ' a u t r e . P u i s q u e les p a r t i c i p a n t s riches et les p a r t i c i p a n t s
p a u v r e s p e u v e n t avoir un c o m p o r t e m e n t différent, il est i m p o r t a n t d e différencier les d e u x
cas dans notre analyse.

A . l . C a s 1 : la c o n d i t i o n ( I V . 9 ) e s t s a t i s f a i t e
D a n s c e c a s , seuls les p a r e n t s qui o n t u n r e v e n u inférieur au n i v e a u UJ* = W (Q,t,y)

vont

p a r t i c i p e r à la l o t e r i e . P a r c o n s é q u e n t , o n p e u t définir l ' é q u i l i b r e général d e c e t t e é c o n o m i e
c o m m e suit :

D é f i n i t i o n . L'équilibre
loterie,

le fonds

(i) étant

général
de bourse
(0>t),

donné

pour

cette

d'éducation

y est solution

économie

FL, et le nombre
à

étant

donné

t et

et, étant

donné

total de boursiers,

à la

n&, tel que :

(V.l)

y,
FL

(iii)

y de participants

l'équation

y = $[W(0,t,y)}\

(ii)

est le nombre

b, et

= ty;

(V.2)

FL,
(V.3)

L a c o n d i t i o n d ' é q u i l i b r e (i) d é m o n t r e q u e le g o u v e r n e m e n t p o s s è d e d e u x i n s t r u m e n t s
p o u r influencer le n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s , soit les frais d e p a r t i c i p a t i o n , t, et le m o n t a n t
d u g a i n 9. C e s d e u x i n s t r u m e n t s o n t p o u r effet d e faire varier le n i v e a u d e r e v e n u p o u r
lequel le g a i n n e t est nul. C ' e s t e n s u i t e la v a r i a t i o n d e c e n i v e a u d e revenu qui influence
le n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s à la loterie d a n s l ' é c o n o m i e . L a c o n d i t i o n (ii) p e r m e t d e t r o u v e r
le f o n d s d e b o u r s e à l ' é q u i l i b r e . C e f o n d s est d é t e r m i n é p a r les frais d e p a r t i c i p a t i o n et le
n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s à la l o t e r i e . S e l o n la c o n d i t i o n ( i i i ) , le f o n d s d e b o u r s e d é t e r m i n e le
n o m b r e d e b o u r s i e r s p u i s q u e le p a r a m è t r e 6, le m o n t a n t d e la b o u r s e d ' é t u d e , est e x o g è n e
dans notre modèle.

Si la condition

T h é o r è m e 1.

(IV.9)

est satisfaite,

alors

Véquilibre

existe

et est

unique.

P r e u v e . L a p r e u v e d e c e résultat utilise le t h é o r è m e d e B r o u w e r . Il s'agit essentiel7

l e m e n t d e m o n t r e r q u e l ' é q u a t i o n ( V . l ) a d m e t u n e s o l u t i o n u n i q u e , y. C a r u n e fois y
d é t e r m i n é , o n p e u t alors d é t e r m i n e r r e s p e c t i v e m e n t F

L

et n .
b

S e l o n c e t h é o r è m e , il v a exister u n e s o l u t i o n u n i q u e y, p o u r d e s frais d e p a r t i c i p a t i o n , £,
et la valeur d ' u n l o t , 9, d o n n é . Il est m a i n t e n a n t q u e s t i o n d e savoir c o m m e n t c e t é q u i l i b r e
v a varier e n f o n c t i o n d e c e s différents p a r a m è t r e s . Soit u n e f o n c t i o n réelle Y

p

définie p a r V (6,t)

G R + , y = Y (9,t)

Si l a condition

priétés

:

suivantes

(,)

2

+

—> R +

o ù y est s o l u t i o n à l ' é q u a t i o n ( V . l ) .

P

P r o p o s i t i o n 1.

: M.

(IV. 10) est satisfaite,

*ïf«<0;

(,,)

la fonction

Y (9,t)
p

admet

les

pro-

^ < 0 .

P r e u v e . L a p r e u v e d e c e s résultats se t r o u v e d a n s l ' a n n e x e A . 16.
L ' a n a l y s e d e la p a r t i c i p a t i o n à la l o t e r i e est d ' u n e g r a n d e i m p o r t a n c e , p u i s q u e c ' e s t le
n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s q u i v a d é t e r m i n e r le f o n d s d e b o u r s e ainsi q u e le n o m b r e d e b o u r s i e r s
d a n s l ' é c o n o m i e . S e l o n la p r o p r i é t é ( i ) , le n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s varie n é g a t i v e m e n t a v e c
les frais d e p a r t i c i p a t i o n . P l u s il est c o û t e u x d e j o u e r à la l o t e r i e , m o i n s il v a y avoir
d e p a r t i c i p a n t s . L a d e m a n d e p o u r la l o t e r i e varie n é g a t i v e m e n t avec s o n p r i x . Selon l a
p r o p r i é t é ( i i ) , u n e a u g m e n t a t i o n d e la valeur des lots g a g n a n t s a u n i m p a c t n é g a t i f sur la
p a r t i c i p a t i o n . L o r s q u e la valeur d e s lots a u g m e n t e , la p r o b a b i l i t é d e g a g n e r u n l o t d i m i n u e .
C e t t e p r o p r i é t é n o u s d i t q u e l o r s q u e c e s o n t les plus p a u v r e s q u i p a r t i c i p e n t à la l o t e r i e , ils
v o n t préférer o b t e n i r u n e p l u s g r a n d e c h a n c e d e g a g n e r q u e d ' o b t e n i r u n l o t g a g n a n t p l u s
élevé. C e résultat s ' e x p l i q u e p a r le fait q u e les p a u v r e s sont p l u s sensibles à la p r o b a b i l i t é
d e g a i n r e l a t i v e m e n t a u m o n t a n t d ' u n l o t , p u i s q u e c e u x - c i v o n t v o u l o i r être r é c o m p e n s é s
s o u v e n t p o u r leur p a r t i c i p a t i o n . M ê m e si u n e plus g r a n d e p r o b a b i l i t é d e g a g n e r n e s ' o b t i e n t
q u ' à partir d ' u n e d i m i n u t i o n d e la valeur d u g a i n , c e gain d e m e u r e a t t r a y a n t p o u r les
p a r t i c i p a n t s p a u v r e s . Soit u n e f o n c t i o n réelle F

p

F

= F (t,y)

L

p

:

—> R

+

définie p a r V (t,y)

G R+,


F (t,y)
p

=

tY (9,t).
p

Selon le théorème du point fixe de Brouwer, toute application continue de la boule fermée dans E'
dans elle-même admet un point fixe.
7

1

P r o p o s i t i o n 2.
suivante

De

Si la condition

(IV.9)

est satisfaite,

F (t, y) admet

la

propriété

:

plus
il) -

si s t
y

<5Ï

la fonction

> 1 ; alors

(a)

dF (t,y)

p

< 0

que

£y£ < 1, OÙ

désigne
tion,

l'élasticité

du nombre

de participants

par rapport

au niveau

des frais

de

participa-

t.

P r e u v e . L a p r e u v e d e c e s r é s u l t a t s se t r o u v e d a n s l ' a n n e x e 17.
S e l o n la p r o p r i é t é ( i ) , u n e a u g m e n t a t i o n d e la valeur des l o t s g a g n a n t s a u n i m p a c t
n é g a t i f sur le f o n d s d e b o u r s e . C e résultat s ' e x p l i q u e p a r le fait q u e la p a r t i c i p a t i o n d i m i n u e
a v e c u n e v a r i a t i o n p o s i t i v e d e s l o t s . P u i s q u e le f o n d s d e b o u r s e d é p e n d d u n o m b r e d e
p a r t i c i p a n t s , c e l u i - c i v a é g a l e m e n t d i m i n u e r a v e c u n e a u g m e n t a t i o n d e la v a l e u r des l o t s .
S e l o n la p r o p r i é t é ( i i ) - ( a ) , u n e a u g m e n t a t i o n d e s frais d e p a r t i c i p a t i o n v a d i m i n u e r le f o n d s
d e b o u r s e , si l ' é l a s t i c i t é d u n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s p a r r a p p o r t au n i v e a u d e s frais d e
p a r t i c i p a t i o n est s u p é r i e u r e à 1. C e t t e c o n d i t i o n e x i s t e p u i s q u e la v a r i a t i o n d e s frais d e
p a r t i c i p a t i o n a d e u x effets qui v o n t d a n s d e s d i r e c t i o n s inverses. U n e a u g m e n t a t i o n d e t
d i m i n u e le n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s , m a i s a u g m e n t e le profit r é c o l t é p a r u n i t é d e loterie
v e n d u e . P u i s q u e c h a q u e a u g m e n t a t i o n d e 1% d e s frais d e p a r t i c i p a t i o n a u g m e n t e le profit
r é c o l t é p a r u n i t é v e n d u e d e 1%, si la d i m i n u t i o n d e la p a r t i c i p a t i o n est s u p é r i e u r e à 1%, il
y a u r a u n e d i m i n u t i o n d u f o n d s d e b o u r s e . P a r c o n t r e , si la d i m i n u t i o n d e la p a r t i c i p a t i o n
est inférieure à 1%, a l o r s , l ' a u g m e n t a t i o n d e t a u g m e n t e r a le f o n d s d e b o u r s e d i s p o n i b l e .
Soit u n e f o n c t i o n réelle N

p

: R

P r o p o s i t i o n 3 . Si la condition
suivante

:

+

—» R

(IV.9)

+

définie p a r V (6,t)

est satisfaite,

G R + , fit = N

la fonction

p

(0,t)

N (6, t) admet



la

propriété

De

plus
(ii)

si s t
y

si s

y t

> 1 ; alors

-

(a)

(ii) -

(b)

dN (6,t)
p

< 0

dt

que
dN (6,t)
p

> 0

dt

< 1.

P r e u v e . L a p r e u v e d e c e s résultats se t r o u v e d a n s l ' a n n e x e A . 18.
S e l o n la p r o p r i é t é ( i ) , le n o m b r e d e b o u r s i e r s varie n é g a t i v e m e n t a v e c u n e a u g m e n t a t i o n d e la valeur d e s l o t s . D e p l u s , l ' a u g m e n t a t i o n d e s frais d e p a r t i c i p a t i o n a un i m p a c t
n é g a t i f sur le n o m b r e d e b o u r s i e r s si s

y t

> 1. C e s d e u x résultats s ' e x p l i q u e n t p a r le fait q u e

le n o m b r e d e b o u r s i e r s est d é t e r m i n é p a r le f o n d s d e b o u r s e et u n p a r a m è t r e e x o g è n e a u
m o d è l e . D o n c , le n o m b r e d e b o u r s i e r s s u b i t les m ê m e s v a r i a t i o n s q u e le f o n d s d e b o u r s e e n
c e q u i c o n c e r n e les d e u x i n s t r u m e n t s d u g o u v e r n e m e n t . A p a r t i r d u m ê m e r a i s o n n e m e n t ,
l o r s q u e l'élasticité d u n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s par r a p p o r t au n i v e a u des frais d e p a r t i c i p a t i o n est f o r t e , soit s u p é r i e u r e à 1, l ' i m p a c t d ' u n c h a n g e m e n t d e s frais d e p a r t i c i p a t i o n sur
le n o m b r e d e b o u r s i e r s sera négatif. E x a m i n o n s m a i n t e n a n t le s e c o n d c a s d u m o d è l e .

A.2.

C a s 2 : l a c o n d i t i o n (IV.10) e s t s a t i s f a i t e

D a n s le cas s u i v a n t , seuls les p a r e n t s q u i o n t un r e v e n u s u p é r i e u r a u n i v e a u UJ* —
W(0,t,y)

v o n t p a r t i c i p e r à la loterie. P a r c o n s é q u e n t , o n p e u t définir l ' é q u i l i b r e g é n é r a l

d e c e t t e é c o n o m i e c o m m e suit :

D é f i n i t i o n . L'équilibre
loterie,

le fonds

(i) étant

donné

général
de bourse
(0,t),

pour

cette

d'éducation

y est solution

économie

est le nombre

FL, et le nombre
à

y de participants

total de boursiers,

à la

ht,, tel que :

l'équation

(VA)



*(6,t,y)

(ii)

étant

donné

t et

= y +

$[W(ê,t,y)}-l;

y,
FL

=

ty;

(iii)

et, étant

donné

b, et

FL,
(V.6)

L e c a s 2 diffère d u cas 1 p u i s q u e m a i n t e n a n t c e s o n t les riches q u i v o n t p a r t i c i p e r à la
loterie. L e s d e u x m ê m e s i n s t r u m e n t s q u e le c a s 1 p e u v e n t être utilisés p a r le g o u v e r n e m e n t
p o u r influencer la p a r t i c i p a t i o n , soit les frais d e p a r t i c i p a t i o n et le m o n t a n t d u g a i n à
la l o t e r i e . C e s d e u x i n s t r u m e n t s v o n t e n s u i t e d é t e r m i n e r le n i v e a u d e r e v e n u p o u r lequel
le g a i n net est nul. U n e fois c e n i v e a u c o n n u , il sera p o s s i b l e d e t r o u v e r le n o m b r e d e
p a r t i c i p a n t s riches à la l o t e r i e . A i n s i , c o m m e d a n s le c a s p r é c é d e n t , il en d é c o u l e r a le f o n d s
d i s p o n i b l e p o u r les b o u r s e s e t le n o m b r e d e b o u r s i e r s t o t a l .

T h é o r è m e 2.

Si la condition

(IV.10)

est satisfaite,

alors Véquilibre

existe

et est

unique.

P r e u v e . L a p r e u v e est essentiellement la m ê m e q u e p o u r le t h é o r è m e 1. A v e c l ' a i d e
d u t h é o r è m e d e B r o u w e r , il est p o s s i b l e d e m o n t r e r q u e la r é s o l u t i o n d e l ' é q u a t i o n ( V . 4 )
a d m e t u n e s o l u t i o n u n i q u e , y, qui par la suite d é t e r m i n e FL et ht r e s p e c t i v e m e n t .
S e l o n c e t h é o r è m e , il v a exister u n e s o l u t i o n u n i q u e y , p o u r d e s frais d e p a r t i c i p a t i o n ,
t, et la valeur d ' u n l o t , 9, d o n n é e . Il est m a i n t e n a n t q u e s t i o n d e savoir c o m m e n t c e n o u v e l
é q u i l i b r e v a varier en f o n c t i o n d e ces différents p a r a m è t r e s . S o i t u n e f o n c t i o n réelle Y

R

R

2

+

-> R

+

définie p a r V (9,t)

G M+, y = Y

P r o p o s i t i o n 4 . Si la condition
priétés

suivantes

R

(9,t)

:

o ù y est s o l u t i o n à l ' é q u a t i o n ( V . 4 ) .

(IV. 10) est satisfaite,

la fonction

YR(9,Ï)

admet

les

pro-

:

(i)

^fil<0;

(«) ^ ) < 0 .

P r e u v e . L a p r e u v e d e ces résultats est f o u r n i e d a n s l ' a n n e x e A . 19.
L a p a r t i c i p a t i o n d e s plus riches réagit d e la m ê m e m a n i è r e q u e la p a r t i c i p a t i o n des p l u s
p a u v r e s r e p r é s e n t é e d a n s le cas 1. S e l o n la p r o p r i é t é ( i ) , m ê m e p o u r les p a r t i c i p a n t s riches,
u n e a u g m e n t a t i o n d u c o û t d e j o u e r v a d é c o u r a g e r la p a r t i c i p a t i o n à la l o t e r i e . S e l o n la
p r o p r i é t é ( i i ) , u n e a u g m e n t a t i o n d e la valeur d ' u n l o t g a g n a n t v a d i m i n u e r la p a r t i c i p a t i o n .
P o u r q u e c e t t e p r o p r i é t é soit v a l i d e , le m o n t a n t d u g a i n d o i t ê t r e assez é l e v é , car il d o i t
r e s p e c t e r la c o n d i t i o n ( I V . 1 0 ) . A v e c d e s lots assez élevés, le riche a le m ê m e c o m p o r t e m e n t

q u e le p a u v r e et v a préférer u n e plus g r a n d e p r o b a b i l i t é d e g a g n e r q u ' u n e valeur p l u s
élevée p a r l o t . C e résultat s ' e x p l i q u e p a r le fait q u e l o r s q u e le lot g a g n é est s u p é r i e u r à u n
c e r t a i n seuil, le p a r e n t retirera p e u d ' u t i l i t é d ' u n e n o u v e l l e a u g m e n t a t i o n d u m o n t a n t d u
g a i n r e l a t i v e m e n t à la p r o b a b i l i t é d e g a g n e r . C e résultat p r o v i e n t d u fait q u e l'utilité d u
p a r e n t est d é c r o i s s a n t e avec s o n r e v e n u . Soit u n e f o n c t i o n réelle F

R

V(t,y)eR ,F
2

+

= F (t,y)

L

R

:

—•> M

+

définie p a r


=

F (t,y)
R

P r o p o s i t i o n 5 . Si la condition

tY (e,t).
R

(IV. 10) est satisfaite,

la fonction

F (t,y)
R

admet

la

pro-

suivante :

priété

dF (t,y)
R

De

plus
(n)

si Syt > 1 ; alors

si

Syt

<

-

(a)

R

< 0

que

1, où
£

désigne

dF (t,y)


l'élasticité

participation,

du nombre

« -

de participants

dty
riches

par

rapport

au niveau

des frais

de

t.

P r e u v e . L a p r e u v e d e ces r é s u l t a t s se t r o u v e d a n s l ' a n n e x e 2 0 .
L e f o n d s d e l o t e r i e c r é é p a r la p a r t i c i p a t i o n d e s riches est c a r a c t é r i s é p a r le c o u p l e (t,

y),

soit les frais d e p a r t i c i p a t i o n et le n o m b r e ' d e p a r t i c i p a n t s . P u i s q u e le c o m p o r t e m e n t d e s
riches est i d e n t i q u e à celui d e s p a u v r e s , c e n o u v e a u f o n d s d e b o u r s e v a réagir d e la m ê m e
f a ç o n q u e le f o n d s d e b o u r s e c r é é par la p a r t i c i p a t i o n d e s p a u v r e s . U n e a u g m e n t a t i o n d e s
m o n t a n t s g a g n é s v a d i m i n u e r le f o n d s d e b o u r s e . L o r s q u e l ' é l a s t i c i t é d u n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s p a r r a p p o r t a u n i v e a u d e s frais d e p a r t i c i p a t i o n est f o r t e , u n e a u g m e n t a t i o n d e s frais
a u n i m p a c t n é g a t i f sur c e f o n d s , alors q u e l o r s q u e l'élasticité est f a i b l e , l ' i m p a c t est positif.
L ' i n t u i t i o n est la m ê m e q u e p o u r le cas 1. U n e faible élasticité i m p l i q u e q u e la p a r t i c i p a t i o n
sera p e u affectée p a r u n e h a u s s e d u c o û t d e p a r t i c i p a t i o n . A i n s i , le g o u v e r n e m e n t r é c o l t e r a

d a v a n t a g e d e f o n d s . Soit u n e f o n c t i o n réelle N

R

n

6

= N (0,t)
R

De

+

+

définie p a r V {0,1)

G

R



P r o p o s i t i o n 6 . Si la condition
priété

—» R

: M?

suivante

(IV. 10) est satisfaite,

la fonction

N (9,t)
R

admet

la

pro-

:

plus

H - w
si e t

> 1 ; alors

SI Syt

< 1-

y

—Qj.—

<

0

que

P r e u v e . L a p r e u v e d e c e s résultats se t r o u v e d a n s l ' a n n e x e A . 2 1 .
P u i s q u e le n o m b r e d e b o u r s i e r s d é p e n d d u f o n d s d e b o u r s e et q u e c e l u i - c i se c o m p o r t e
c o m m e p o u r le c a s 1, le n o m b r e d e b o u r s i e r s v a avoir les m ê m e s c a r a c t é r i s t i q u e s , q u e c e
soit les riches o u les p a u v r e s q u i p a r t i c i p e n t à la loterie. S e l o n la p r o p r i é t é ( i ) , c e n o m b r e
varie n é g a t i v e m e n t a v e c u n e a u g m e n t a t i o n d e la valeur des l o t s . S e l o n les p r o p r i é t é s ( i i ) ( a ) et ( i i ) - ( a ) , l'élasticité d u n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s p a r r a p p o r t au n i v e a u d e s frais d e
p a r t i c i p a t i o n d é t e r m i n e d a n s quelle d i r e c t i o n v a varier le n o m b r e d e b o u r s i e r s lors d ' u n e
v a r i a t i o n des frais d e p a r t i c i p a t i o n . U n e f o r t e élasticité i m p l i q u e u n e v a r i a t i o n

positive

e n t r e les frais d e p a r t i c i p a t i o n et le n o m b r e d e b o u r s i e r s .
Les c a s l e t 2 présentés c i - d e s s u s d é m o n t r e n t q u e les p a u v r e s et les riches o n t e x a c t e m e n t
le m ê m e c o m p o r t e m e n t l o r s q u ' i l s p a r t i c i p e n t à la l o t e r i e . U n e a u g m e n t a t i o n d e la valeur d e s
l o t s g a g n a n t s v a d i m i n u e r la p a r t i c i p a t i o n . U n e a u g m e n t a t i o n d e s frais d e p a r t i c i p a t i o n v a
é g a l e m e n t d i m i n u e r la p a r t i c i p a t i o n . C e s résultats s ' e x p l i q u e n t p a r le fait q u e les p a u v r e s
et les riches n e j o u e n t p a s à la loterie s o u s les m ê m e s c o n d i t i o n s . P o u r q u e les p a u v r e s
j o u e n t à la l o t e r i e , il faut q u e la valeur d ' u n lot g a g n a n t ne s o i t p a s t r o p élevée. E n f a i t ,
c ' e s t la valeur d ' u n lot qui v a d é t e r m i n e r q u i d e s riches o u les p a u v r e s , v o n t p a r t i c i p e r à la
l o t e r i e . M ê m e si u n e a u g m e n t a t i o n d e la v a l e u r d ' u n l o t g a g n a n t d i m i n u e la p a r t i c i p a t i o n
d a n s les d e u x c a s , les riches v o n t exiger u n l o t assez élevé p o u r s t i m u l e r leur p a r t i c i p a t i o n
à la l o t e r i e alors q u e les p a u v r e s v o n t p a r t i c i p e r s e u l e m e n t si la valeur d ' u n lot n'est p a s

très é l e v é e . C ' e s t p a r c e critère d e d é c i s i o n q u e les riches et les p a u v r e s se d i s t i n g u e n t . E n
c e qui c o n c e r n e les frais d e p a r t i c i p a t i o n , il est assez intuitif q u e , d a n s les d e u x c a s , u n e
a u g m e n t a t i o n d e s frais v a d i m i n u e r la p a r t i c i p a t i o n . C e résultat s ' e x p l i q u e p a r le fait q u e
la d e m a n d e d ' u n b i e n n o r m a l d i m i n u e a v e c u n e a u g m e n t a t i o n d e s o n p r i x .

B . D é t e r m i n a t i o n d u n o m b r e d e t r a v a i l l e u r s qualifiés
L e g o u v e r n e m e n t a p o u r o b j e c t i f d e m a x i m i s e r le n o m b r e d e travailleurs qualifiés d a n s
l ' é c o n o m i e p a r la r e m i s e d e b o u r s e s d ' é t u d e . Il est d o n c i m p o r t a n t d e définir la p r o p o r t i o n
d e travailleurs qualifiés d a n s l ' é c o n o m i e .

D é f i n i t i o n . Le nombre

de travailleurs

qualifiés

n

dans Véconomie,

=

q

n,
q

est égal à :

n

b

D a n s n o t r e m o d è l e , t o u s les enfants d e la p o p u l a t i o n p e u v e n t r e c e v o i r u n e

bourse

d ' é t u d e et d e v e n i r d e s travailleurs qualifiés. D e p l u s , t o u t e s les b o u r s e s d i s p o n i b l e s v o n t
être r e m i s e s a u x e n f a n t s p o u r ainsi g a r a n t i r le m a x i m u m d e travailleurs qualifiés d a n s l ' é c o n o m i e . A i n s i , le n o m b r e d e travailleurs qualifiés est égal au n o m b r e d e b o u r s i e r s . Soit u n e
f o n c t i o n réelle N

q

: R

2

+

-» R

P r o p o s i t i o n 7. L a fonction

+

définie p a r V (9,t)

N

q

(9,t)

(0
De

admet

G R+, n

la propriété

dN (0,t)
q

q

suivante

(9,t).

:

< o.

de

plus
dN (0,t)
q

dt
si Syt > 1 ; alors

Syt

<

< 0

que
(ii) -

si

= N

q

(b)

dN (6,t)
q

dt

> 0

1.

P r e u v e . L a p r e u v e d e c e s résultats se t r o u v e d a n s l ' a n n e x e A . 2 2 .

P u i s q u e les c a r a c t é r i s t i q u e s d e la p r o p o r t i o n d u n o m b r e d e b o u r s i e r s s o n t les m ê m e s
p o u r le c a s 1 et p o u r le c a s 2, le n o m b r e d e travailleurs qualifiés d a n s l ' é c o n o m i e a u r a les
m ê m e s c a r a c t é r i s t i q u e s , p e u i m p o r t e si c ' e s t la c o n d i t i o n ( I V . 9 ) o u la c o n d i t i o n ( I V . 10)
q u i est satisfaite. U n e a u g m e n t a t i o n d e la valeur d ' u n lot g a g n a n t a u r a u n i m p a c t n é g a t i f
sur la p r o p o r t i o n d e travailleurs qualifiés d a n s l ' é c o n o m i e . Si l'élasticité d u n o m b r e

de

p a r t i c i p a n t s riches p a r r a p p o r t au n i v e a u d e s frais d e p a r t i c i p a t i o n est p l u s g r a n d e q u e 1,
alors u n e a u g m e n t a t i o n d e s frais d e p a r t i c i p a t i o n a u r a un i m p a c t n é g a t i f sur le n o m b r e
d e travailleurs qualifiés, alors q u e si c e t t e élasticité est plus faible q u e 1, c e t i m p a c t sera
positif.

V I . Conclusion
L e m o d è l e p r é s e n t é a p o u r b u t d ' a n a l y s e r l ' i m p a c t d e s différents i n s t r u m e n t s q u e le
g o u v e r n e m e n t p o s s è d e sur le n o m b r e d e travailleurs qualifiés d a n s l ' é c o n o m i e . P o u r

ce

faire, n o u s a v o n s utilisé u n m o d è l e o ù il e x i s t e u n p a r e n t qui p r e n d u n e d é c i s i o n c o n c e r n a n t
l ' i n v e s t i s s e m e n t d a n s l ' é d u c a t i o n d e s o n e n f a n t , et u n e d é c i s i o n c o n c e r n a n t la p a r t i c i p a t i o n
à la l o t e r i e . L ' i n v e s t i s s e m e n t d u p a r e n t a u g m e n t e les c h a n c e s d e s o n e n f a n t d ' o b t e n i r u n e
b o u r s e d ' é t u d e et d e d e v e n i r u n travailleur qualifié. P a r la p a r t i c i p a t i o n d e s p a r e n t s à la
l o t e r i e , le g o u v e r n e m e n t v a créer un f o n d s d e b o u r s e qui va servir à a u g m e n t e r l ' a c c è s à
l ' é d u c a t i o n tertiaire. L ' o b j e c t i f d u g o u v e r n e m e n t est d e m a x i m i s e r le n o m b r e d e b o u r s i e r s ,
p o u r ainsi g a r a n t i r un a c c è s é l e v é à l'éducation au niveau tertiaire e t , p a r c o n s é q u e n t ,
u n n o m b r e m a x i m u m d e travailleurs qualifiés. D e u x o p t i o n s s'offrent a u g o u v e r n e m e n t ,
soit : la d i s t r i b u t i o n d u f o n d s fixe d i r e c t e m e n t en b o u r s e , o u la c r é a t i o n d ' u n e loterie afin
d ' a u g m e n t e r le f o n d s fixe d e s t i n é a u x b o u r s e s . L e g o u v e r n e m e n t v a m e t t r e en p l a c e la
loterie si et s e u l e m e n t si le f o n d s d e b o u r s e p r o v e n a n t d e la c r é a t i o n d e la l o t e r i e est p l u s
élevé q u e le f o n d s initial.
N o u s a v o n s s u p p o s é q u e la l o t e r i e est r e n t a b l e . D a n s c e c a s , le g o u v e r n e m e n t p o s s è d e
d e u x i n s t r u m e n t s p o u r a u g m e n t e r le n o m b r e d e travailleurs qualifiés, soit les frais d e p a r t i c i p a t i o n et la valeur d e s l o t s g a g n a n t s . L e g o u v e r n e m e n t d e v r a m i s e r sur u n e h a u s s e d e s
frais d e p a r t i c i p a t i o n si l ' é l a s t i c i t é d u n o m b r e d e p a r t i c i p a n t s p a r r a p p o r t a u n i v e a u d e s
frais d e p a r t i c i p a t i o n est p l u s f a i b l e q u e 1. Il d e v r a i t d o n c a u g m e n t e r ses frais d e p a r t i c i p a t i o n j u s q u ' à c e q u e c e t t e é l a s t i c i t é soit d e 1, et c e , p e u i m p o r t e si c e s o n t les riches o u les
p a u v r e s q u i p a r t i c i p e n t à la l o t e r i e . E n c e q u i c o n c e r n e les l o t s g a g n a n t s , u n e d i m i n u t i o n
d e la valeur d e c e s l o t s v a a u g m e n t e r la p a r t i c i p a t i o n , et d o n c , le n o m b r e d e travailleurs
qualifiés d a n s l ' é c o n o m i e . L e g o u v e r n e m e n t d e v r a d o n c miser sur u n e faible valeur d e s l o t s
g a g n é s , c e qui i m p l i q u e u n e p l u s g r a n d e p r o b a b i l i t é d e g a g n e r . D a n s n o t r e m o d è l e , les
a g e n t s d é c i d e u r s v o n t préférer u n e p l u s g r a n d e p r o b a b i l i t é d e g a g n e r q u ' u n e valeur m o n é t a i r e p l u s élevée p a r l o t . L e g o u v e r n e m e n t d e v r a i t miser sur u n e valeur assez élevée s'il
v e u t q u e les riches p a r t i c i p e n t à la loterie et ainsi f i n a n c e n t les b o u r s e s d ' é t u d e remises a u x
é t u d i a n t s . C e t t e valeur est d é c r i t e p a r la c o n d i t i o n ( I V . 1 0 ) . U n e fois c e t t e valeur a t t e i n t e ,
le g o u v e r n e m e n t n e d e v r a i t p a s a u g m e n t e r c e t t e valeur d a v a n t a g e p u i s q u e q u ' u n e a u g m e n t a t i o n d e la valeur d ' u n lot g a g n a n t d i m i n u e la p a r t i c i p a t i o n d e s riches. L a valeur d ' u n l o t
qui m a x i m i s e la p a r t i c i p a t i o n d e s riches est la valeur m i n i m u m requise p o u r assurer leur
participation.
D a n s n o t r e m o d è l e , le c h o i x d ' i n v e s t i s s e m e n t d u p a r e n t d a n s l ' é d u c a t i o n d e s o n enfant

n ' a p a s d ' i m p a c t sur la p a r t i c i p a t i o n à la loterie. C e résultat s ' e x p l i q u e p a r le fait q u e
l'utilité q u e retire u n p a r e n t en investissant p o u r s o n enfant est la m ê m e , p e u i m p o r t e s'il
p a r t i c i p e o u p a s à la l o t e r i e . E n fait, le g a i n n e t à p a r t i c i p e r à la l o t e r i e n'est p a s affecté p a r
l ' i n v e s t i s s e m e n t d u p a r e n t p u i s q u ' i l est égal à la différence e n t r e la valeur d e la f o n c t i o n
d ' u t i l i t é d ' u n i n d i v i d u qui p a r t i c i p e à la loterie, et la valeur d e la f o n c t i o n d ' u t i l i t é d e
c e m ê m e i n d i v i d u qui ne p a r t i c i p e p a s à la loterie. P o u r q u e l ' i n v e s t i s s e m e n t influence la
p a r t i c i p a t i o n , il f a u d r a i t q u e l'utilité o b t e n u e par le p a r e n t en investissant d a n s l ' é d u c a t i o n
d e s o n e n f a n t , n e s o i t p a s la m ê m e d a n s le cas d e la p a r t i c i p a t i o n et d a n s le c a s d e l a
n o n - p a r t i c i p a t i o n . A i n s i , d a n s un a u t r e m o d è l e , il serait intéressant d ' a n a l y s e r le c a s o ù
l ' i n v e s t i s s e m e n t d u p a r e n t affecte le g a i n n e t d e la l o t e r i e . P a r e x e m p l e , si la p r o b a b i l i t é
d ' o b t e n i r u n e b o u r s e d ' é t u d e , p o u r l ' e n f a n t issu d u p a r e n t i é t a i t plus g r a n d e l o r s q u e le
p a r e n t i p a r t i c i p e à la l o t e r i e , alors c e p a r e n t o b t i e n d r a i t u n e p l u s g r a n d e u t i l i t é a v e c s o n
i n v e s t i s s e m e n t . A i n s i , il investirait d a v a n t a g e d a n s l ' é d u c a t i o n d e s o n e n f a n t p a r r a p p o r t
à u n p a r e n t q u i n e p a r t i c i p e p a s à la l o t e r i e . D a n s u n e g r a n d e p o p u l a t i o n , l ' i m p a c t

de

la p a r t i c i p a t i o n d ' u n p a r e n t sur le f o n d s d e b o u r s e est très m a r g i n a l . P u i s q u e le p a r e n t
n e p e u t a u g m e n t e r d e b e a u c o u p le f o n d s d e b o u r s e , il a u r a p e u d ' i m p a c t sur les c h a n c e s
d e s o n enfant d ' o b t e n i r u n e b o u r s e . D o n c , c e t t e n o u v e l l e a p p r o c h e e x i g e u n e p l u s g r a n d e
c o m p l e x i t é d a n s l ' a n a l y s e d e la p a r t i c i p a t i o n à la l o t e r i e , sans t o u t e f o i s g a r a n t i r d e s résultats
différents.

Bibliographie
Références
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Analysis

of

Lotteries,

Annexes
A.L Preuve du Lemme 1.
C e L e m m e c o m p o r t e 2 résultats.
Résultat

1.
l - r

Xi

'

P ôn
2

b

P o u r o b t e n i r c e résultat, il suffit d'isoler X{ d e l ' e x p r e s s i o n ( I V . 5

[(1 - Ti) Ui -

J

Xi]

J
( 1 - T i) Ui — Xi = —~
X{ =

Résultat

(1

— Ti)iO

7TZ

l

2.

.

J

(l-r)
P o u r o b t e n i r c e r é s u l t a t , il faut t r o u v e r u n e c o n d i t i o n p o u r laquelle l ' i n v e s t i s s e m e n t est
nul. Il f a u t q u e x* = 0 l o r s q u e sa valeur r e s p e c t i v e est inférieure o u égale à 0. D o n c ,

(1 -Ti)0Ji

< 0,

-

P ôn

b

E n isolant p o u r n ,
b

on obtient
J

2

n.

>

Ô—

(1 - r ) 6(3 uj

b

~

t

A.2. Preuve de la définition
C e t t e p r e u v e c o m p o r t e 1 résultat.
Résultat

1.
r

{1-T)uô(3 n
2

=

b

1 + Sf3 n
2

b

P o u r o b t e n i r c e résultat, il suffit d ' a p p l i q u e r u n e intégrale à la valeur d e x* d é c r i t e p a r
l'expression ( ? ? ) .

f

1

J

1

Xidi

=

(1

— r)

/

Uidi



Sp n
2

b

Il s ' e n suit q u e
J=(1-T)Ù

J

ô/3 n
2

b

Si o n isole J d e c e t t e e x p r e s s i o n , o n o b t i e n t

r

(l-r)Cjô(3 n
2

=

1 +

b

S{3 n
2

b

A.3. Preuve du fait 1.
Il suffit d e p r e n d r e la d é r i v é e d e p r e m i è r e o r d r e d e la f o n c t i o n T p a r r a p p o r t a u n o m b r e
de boursiers.

dT ( n

6 î

W(1 - r ) 60*CJ + û (1 - r ) £ / 3 n - ô ) ( 1

r)

2

4

6

;2 /O4.
4

- r) ^/3 n

6

(l + ^ n ) '
2

û) (1 - r ) ô/3 ù

6

2

(l +

> 0.

6(3 n )
2

2

b

A.4. Preuve du fait 2.
Il suffit d e p r e n d r e la d é r i v é e d e p r e m i è r e o r d r e d e la f o n c t i o n T p a r r a p p o r t à la p r i m e
de qualification.

dT(n ,6 Q,T)
b

9

_

ù (1 - r ) f3 n ù
2

b

+ ù (1 - r ) £ / 3 n - ô) (1 - r ) £fi r?
4

06

'1
ô) (1 — r )
(1 + £/3

f3 n ùj
2

b

V

+ ^ V )

2

4

2

> 0

A. 5. Preuve du fait 3.
Il suffit d e p r e n d r e la d é r i v é e d e p r e m i è r e o r d r e d e la f o n c t i o n T p a r r a p p o r t au salaire
m o y e n des parents.
3r(n

fc>

*,<D,T)


A.6. Preuve du fait 4.

=

( l - r ) ^
1+

2

n

6

ô/3 n
2

b

^

Q

Il suffit d e p r e n d r e la d é r i v é e d e p r e m i è r e o r d r e d e la f o n c t i o n F p a r r a p p o r t au frais
de participation.
dT (n ,
b

-Ùj5/3 n

S,LJ,T)

2

b

< 0.

1 + S[3 n

c)r

2

b

A. 7. Preuve du Lemme 3
C e L e m m e c o m p o r t e 1 résultat.
Résultat

1.
X(n ,
b

J,CJI,CJ,r) =

UJ

u,

1 +

l - r

S3 n \
2

b

P o u r o b t e n i r c e résultat, il faut r e m p l a c e r l ' e x p r e s s i o n ( I V . 6 ) d a n s ( ? ? ]
Ù{l-T)58 n
l+6/3 N
2

b

2

*Î = ( i - T H

B

5(3 n
2

b

Il s ' e n suit q u e
OJi —

UJ

1 +

(l-r)

8B n
À

h

A.8. Preuve du fait 5.
Il suffit d e p r e n d r e la d é r i v é e d e p r e m i è r e o r d r e d e la f o n c t i o n X p a r r a p p o r t a u n o m b r e
de boursiers.

dm

> 0.
(l + ÔS3 n )
2

b

2

A. 9. Preuve du fait 6.
Il suffit d e p r e n d r e la d é r i v é e d e p r e m i è r e o r d r e d e l a f o n c t i o n X p a r r a p p o r t à la p r i m e
de qualification.
dX(n ,ô,u û,T)
h

u



ÙJ(1

-r)/3 n
2

(1 + Sf32„n\2
2

b

> 0.

b

A. 10. Preuve du fait 7.
Il suffit d e p r e n d r e la d é r i v é e d e p r e m i è r e o r d r e d e l a f o n c t i o n X p a r r a p p o r t au salaire
d u p a r e n t i.

dX(n ,ô,u uj,T)
b

u

= (1 — T) > 0

du

A. 11. Preuve du fait 8.
Il suffit d e p r e n d r e la d é r i v é e d e p r e m i è r e o r d r e d e la f o n c t i o n X p a r r a p p o r t au salaire
m o y e n des parents.
dX(n ,ô,Ui,û,T)
b

(1 ~

=

1+



r)
5[3 n
2

b

A. 12. Preuve du fait 9.
Il suffit d e p r e n d r e la d é r i v é e d e p r e m i è r e o r d r e d e la f o n c t i o n X

par rapport au t a u x

d'épargne.
dX(n ,5,u)i,u,T)

u

b

^

dr

-

:

-

1 + ùP'n }

< 0

2

b

lorsque
u
Ui

>

1 +

Sf3 n
2

b

C e t t e c o n d i t i o n r e p r é s e n t e le c a s o ù l ' i n v e s t i s s e m e n t o p t i m a l est positif, soit
J
n

b

>
(l-r)

S/Tui

A. 13. Preuve du Lemme 4.
C e L e m m e c o m p o r t e 1 résultat.
Résultat

1.

P o u r o b t e n i r c e r é s u l t a t , il suffit d e p r e n d r e la différence e n t r e la f o n c t i o n d ' u t i l i t é d e s
p a r e n t s p a r t i c i p a n t s et la f o n c t i o n d ' u t i l i t é d e s p a r e n t s n o n p a r t i c i p a n t s . Si l ' o n r e m p l a c e
V ( l , x * ) et 1/(0, x * ) p a r leurs valeurs r e s p e c t i v e s s e l o n ( I V . 1) et ( I V . 2 ) , o n o b t i e n t

V ( 1 , x*) -

V(0,

x*) = p [fin (Xruji - t + 0) -h (1 - fj)u (Xru,

- t)} - u (XTU,)

.

P u i s q u e la f o n c t i o n d ' u t i l i t é u est l o g a r i t h m i q u e , et q u e

o n o b t i e n t le g a i n n e t d e la loterie.

A. 14. Preuve du Lemme 5.
C e L e m m e c o m p o r t e 2 résultats.
Résultat 1

dâ(ui,e,t,y)

< 0

du.
SI
<

4-1 1 + 1 .

l ^

XTU

P o u r o b t e n i r c e r é s u l t a t , il suffit d e p r e n d r e la d é r i v é e d e p r e m i è r e o r d r e d u g a i n n e t d e la
loterie p a r r a p p o r t a u salaire d u p a r e n t i.
dâ(u ,$,y)
t

3

duii

_Fo\

F XT
0

\y0

(\TLVi

\T

l

—t

+ 9)

y9

J

XTU,

—t

Ldi

S u p p o s o n s 6 > t, p o u r o b t e n i r

dê(u e, )
u

<0,

y

du,

o n d o i t avoir
0

y6

(XTU,

Xr

Fn\

F XT

— t + 6)

\

yO J

XTU,

XT

—t

XTU,

ce qui implique q u e
(3XT

Xrui

—t + ô

+

yO - F

yO

0

XTU, — t

XTU,

< 0.

E n p o s a n t le t e r m e d e d r o i t e sur le m ê m e d é n o m i n a t e u r , o n o b t i e n t

+ tyXru,

FQXTU,

-

yt

2

+ ytô

Si o n isole p o u r 0, o n o b t i e n t

<

Ara;, (

+ 1 ) + t

< 0.

< 0

Si l ' o n s u p p o s e y e (y, 1], alors c e t t e e x p r e s s i o n d e v i e n t

+ 1 ) + t.

0 < \TLJi

Résultat

2.

doji
(F

S l

\

f y + 1J

9 > XTU

+ t.

C e résultat s ' o b t i e n t d e la m ê m e m a n i è r e q u e le r é s u l t a t 1. Il suffit d e p r e n d r e la d é r i v é e
d e p r e m i è r e o r d r e d e la f o n c t i o n d u g a i n n e t d e la l o t e r i e . D e c e t t e f a ç o n , o n o b t i e n t
gg

M y )

duji

=

Ô

P

(

F XT

(

0

\y0 (Xrui - t + 6)

_

F±\

\

yO )

Xr
XTLJ,

_

- t

J_\

u

t

>

J

si et s e u l e m e n t si
e>

XTUJ,

+

+

*•

Si l ' o n s u p p o s e y G (y, 1], alors c e t t e e x p r e s s i o n d e v i e n t

>

I ^ + 1 1 +t.

XTÛ

A. 15. Preuve du Lemme 6.
S é p a r o n s la p r e u v e en 2 p a r t i e s . D a n s u n p r e m i e r t e m p s , s u p p o s o n s q u e la c o n d i t i o n
(IV.9)

est satisfaite. O n o b t i e n t alors 3 r é s u l t a t s .

Résultat

1.

dw et,y)
dt
(

Résultat

2.

in)
Résultat

3.

<0

^ dyM

.

< 0

dW(0,t,y)
(M)

^
<

(

I

C e s résultats s ' o b t i e n n e n t t o u s d e la m ê m e m a n i è r e . Il suffit d ' a p p l i q u e r le t h é o r è m e d e s

f o n c t i o n s i m p l i c i t e s à l a f o n c t i o n W p o u r t, y et 6. S e l o n le t h é o r è m e d e s f o n c t i o n s i m p l i c i t e s ,

dw(9,t,y)

dd/dj
dd/du

dj
o ù j = 0, t, y. D o n c ,

dti/dt
dt

d^/du
dd/dy

dW(6,t,y)
dy

ddjdu

de

dd/du

dd/dO



dui
selon la c o n d i t i o n ( I V . 9 ) . P u i s q u e le g a i n n e t d e la l o t e r i e est

â( ,e,t,y)

=P

Ui

F
- j j ln {XTU,

9)

t +

-

F

+ (1 -

ln ( A ™ ,

-

/?ln À r c j j ,

D ' a p r è s le t h é o r è m e d e s f o n c t i o n s c o m p o s é e s

,«,»)

dd(u 0
it

dt
dâ(u 6
it

2)

dy

-/3

yO (\T0Ji

A,

,*,»)

dâ(u B
it

3)

,*,w)

=

ae

XrUi

+ (1

+

6)

yO

—t + i

Aru; — t +

Arcjj — t

1)

<o

dt
puisque
'

v

yO'XTu -t_
l

2)
92/
car



XTUi — t +

2

y6 (XrcJi - t + 9)

XTUI

ATLJ, — £
ln

ye

-t

Aru^ — i +
ATCJ, — i

< 0

> 0.

t\

et ainsi,
/ XTUJ, - t

+

ô

> 0.

XTUJ-I — t

V

3) U t i l i s o n s l ' e x p a n s i o n T a y l o r i e n n e p o u r réduire l ' e x p r e s s i o n s u i v a n t e

yO

ln

0

XruJi — t +
ATL;

2

Si

— i

z

ATLJ — t

/

?

+

/ ATU^ — t +
\

—t

XTU,

au v o i s i n n a g e d e 0 = 0, o n a q u e

XruJi — t
Par voie de substitution, on obtient que
d6(w ,e,t,y)

0

(3F

0

t

dO

yO

XruJi — t

XTLJ, — t +

< 0.

Si la c o n d i t i o n ( I V . 9 ) est satisfaite, alors

< 0.

duJi
ce qui implique que

dW(0,t,y)
Ôt
dW(0,t,y)
dy
dW(0,t,y)
de

<

0;

<

0;

<

0.

D a n s un d e u x i è m e t e m p s , s u p p o s o n s q u e la c o n d i t i o n ( I V . 10) est satisfaite. O n o b t i e n t
alors 3 résultats :
Résultat 4.
dt
R é s u l t a t 5.
II

dW(9,t,y)

dy

> 0.

dW(0,t,v)

(m)

^

^

n

>0-

C e s résultats s ' o b t i e n n e n t d e la m ê m e m a n i è r e q u e les résultats 1,2 e t 3. E n a p p l i q u a n t le
t h é o r è m e d e s f o n c t i o n s i m p l i c i t e s à la f o n c t i o n W p o u r t,y

dW(6,t,y)

et

on obtient

diï/dt

dt,

~

de/du

dW(0,t,y)

dd/dy

dy

d'à/du

dW (0,t,y)

dd/dO

30

~~

~'d'à/du


&ô(uMy)

>

Q

l o r s q u e la c o n d i t i o n ( I V . 10) est satisfaite. P u i s q u e

dâ(u) e,t,y)
it



<

(LJi,9,t,y)
dy

dfi.(u>i,0,t,y)

de

Q

<

0

<

0.

o n o b t i e n t alors les résultats 4,5 et 6.

À. 16. Preuve de la proposition 1.
C e t t e p r o p o s i t i o n c o m p o r t e 2 résultats.
R é s u l t a t 1.

,„

. ,,

P o u r o b t e n i r c e résultat, il suffit d e p r e n d r e la d é r i v é e d e p r e m i è r e o r d r e d e la f o n c t i o n Y

p

p a r r a p p o r t à t. P u i s q u e y est s o l u t i o n à l ' é q u a t i o n ( V . l ) , alors

dV{0,t)
dt

d*\W(0,t,y)]
dt

=

S e l o n la d é r i v a t i o n e n c h a î n e , n o u s a v o n s q u e


4,[W(0,t,y)}=P[u

=

i

P u i s q u e <p [W {0, t,y)]

est u n e f o n c t i o n d e d e n s i t é , elle est c o m p r i s e e n t r e 0 et 1. et q u e
dW(0,t,

y)

at
on obtient

Résultat

W(Ô,t,y)}-

dY(0,t)
dt

<o,

< 0.

2.

06
P o u r o b t e n i r c e r é s u l t a t , il suffit d e p r e n d r e la d é r i v é e d e p r e m i è r e o r d r e d e la f o n c t i o n

Y

p

p a r r a p p o r t à 0. P u i s q u e

ay(M)
de

d*[w(0,t, )]
de

=

y

et q u e

on obtient

dY(0,t)

de
car

dw(0,t,y)
de

<o
< o.

A. 17. Preuve de la proposition 2.
C e t t e proposition c o m p o r t e 2 résultats.
Résultat

1.

P o u r o b t e n i r c e r é s u l t a t , il suffit d e p r e n d r e la d é r i v é e d e p r e m i è r e o r d r e d e la f o n c t i o n
p a r r a p p o r t à 0. O n t r o u v e d i r e c t e m e n t q u e
dF

P

de
et d o n c q u e

dv

de

F

p


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