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12 cours statistique estimation.pdf


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1. INTERVALLE DE FLUCTUATION

1.3 Intervalle de fluctuation asymptotique
Théorème 1 : Si la variable aléatoire Xn suit une loi binomiale B (n, p) alors
pour tout réel α de ]0 ;1[, on a :
lim P

n→+∞



Xn
∈ In
n



= 1 − α où

"

In = p − uα

p

p (1 − p )

; p + uα
n

p

p (1 − p )

n

#

uα étant le nombre tel que P(−uα 6 Zn 6 uα ) = 1 − α lorsque Zn suit une loi
normale centrée réduite.
Xn
On appelle variable fréquence, la variable aléatoire Fn =
qui à tout échann
tillon de taille n associe la fréquence f obtenue.
Remarque : Le mot asymptotique vient du passage à la limite de l’intervalle In , la
loi binomiale B (n, p) peut alors être assimilé à la loi normale N (np, np(1 − p)).
ROC

Xn − np
. On pourra utiliser cet intervalle
Démonstration : On pose Zn = p
np(1 − p)
de fluctuation dans les conditions de l’approximation normale de la loi binomiale
(n > 30, np > 5 et n( p − 1) > 5)
D’après le théorème Moivre-Laplace :

lim P(−uα 6 Zn 6 uα ) =

n→+∞

c’est à dire que Zn suit une loi normale centrée réduite.

Z uα

−uα

t2
1
√ e− 2 dt


On sait d’après les propriétés de la loi normale centrée réduite que pour tout α de
]0 ;1[, il existe un unique réel strictement positif uα tel que :
P(−uα 6 Zn 6 uα ) = 1 − α

De plus :

− u α 6Z n 6 u α
q

q
np(1 − p) 6 Xn − np 6 uα np(1 − p)
q
q
np − uα np(1 − p) 6Xn 6 np + uα np(1 − p)
p
p
p ( 1 − p ) Xn
p (1 − p )


6 p + uα
6
p − uα
n
n
n


Xn
∈ In = 1 − α
Donc lim P
n→+∞
n

−uα

Propriété : Il faut connaître l’intervalle In de fluctuation au seuil de 95% correspondant à α = 0, 05 et qui donne (voir chapitre précédent p 12) uα = 1, 96
"

In = p − 1, 96
PAUL M ILAN

p

p (1 − p )

; p + 1, 96
n
3

p

p (1 − p )

n

#
T ERMINALE S