S2 cours1 (espace vectoriel réel) .pdf



Nom original: S2-cours1 (espace vectoriel réel).pdfAuteur: Salma DASSER

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Tasdawit mupamd V- Rba E
‫جامعة محمد الخامس – الرباط‬
Tasviwant n tmusniwin
‫كلية العلوم القانونية واالقتصادية‬
izrfanin,
‫واالجتماعية‬
agdal
‫اكدال‬
Université Mohammed V- Rabat Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales - Agdal

Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre
Module

:
:

S2
M 13 (Algèbre)

C
CH
HA
AP
PIIT
TR
RE
E 11 :: E
ESSP
PA
AC
CE
EV
VE
EC
CT
TO
OR
RIIE
EL
LR

ÉE
EL
L
I- Structure d’espace vectoriel réel ...................................................................................... 2

I-1 L’espace vectoriel IRn .............................................................................................................................. 2
I-2 Espace vectoriel réel ................................................................................................................................ 2
I-3 Propriétés ................................................................................................................................................. 3

II- Sous espaces vectoriels ................................................................................................... 3
II-1 Définition et propriétés ........................................................................................................................... 3
II-1-1 Définition ......................................................................................................................................... 3
II-1-2 Propriétés : ....................................................................................................................................... 3
II-2 Intersection de sous espaces vectoriels................................................................................................... 3

III- Combinaison linéaire - système générateur ................................................................. 4
III-1 Combinaison linéaire ............................................................................................................................ 4
III-2 Système générateur ................................................................................................................................ 4

IV- Système libre - système lié ............................................................................................. 5
V- Ordre et rang d’un système de vecteurs.......................................................................... 5
VI- Base et dimension d’un espace vectoriel....................................................................... 6

Professeure Salma DASSER

1

Session printemps-été

[S2, Module M13, Algèbre]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel

II-- SSttrruuccttuurree dd’’eessppaaccee vveeccttoorriieell rrééeell
I-1 L’espace vectoriel IRn
Définition :
 Les éléments de

sont des n-uplets de n termes réels :

Définition :
 On peut définir sur

une loi de composition interne, l'addition, notée + par :

Propriétés de l'addition :
 Elle est associative :
 Elle est commutative :
 Elle a un élément neutre :
 Tout élément X a un opposé noté
Définition :
 On peut aussi définir sur
ou parfois sans signe, par :

une loi de composition externe, multiplication par un réel, noté "."

Propriétés de la multiplication par un réel :




L'ensemble

, muni de ces deux lois est un espace vectoriel sur . On le note (

,+,.).

I-2 Espace vectoriel réel
Définition :
 Un ensemble E, muni d'une loi de composition interne "+" (qui a deux éléments de E fait
correspondre un élément de E) et d'une loi de composition externe "." (qui à un élément de et à
un élément de E fait correspondre un élément de E) ayant les huit propriétés énoncées
précédemment est appelé espace vectoriel réel.
 Ses éléments sont appelés vecteurs. On le note (E,+,.).
Exemple :

( IR3 ,,.) est un e.v.r., où les lois "  " et " . " sont définies dans IR3 par :

x  ( x1 , x2 x3 ), y  ( y1 , y2 , y3 )  IR3 ,   IR :
 x  y  x1 , x2 x3 )  ( y1 , y2 , y3 )  ( x1  y1 , x2  y2 , x3  y3 )
 .x   .( x , x , x )  (x , x , x )

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2
3
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Session printemps-été

[S2, Module M13, Algèbre]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel

I-3 Propriétés
 Soit l’espace vectoriel réel ( IRn ,,.) , alors  ,   IR, x, y  IRn , on a :
1)  .0IR n  0IR n
2) 0IR.x  0IR n
3)  .x  0IR n    0 ou

x  0IR n

4) ( ). x  (. x)
5) (   ). x  (. x)  (  . x)
6) .( x  y )  (. x)  (. y )

IIII-- SSoouuss eessppaacceess vveeccttoorriieellss
II-1 Définition et propriétés
II-1-1 Définition
Définition :
Un sous ensemble F de IR n est dit sous espace vectoriel (s.e.v.) de IR n ssi :
1) F  
2) F est stable pour "  " : (x, y  F
x  y  F)
3) F est stable pour " . " :
(( , x)  IR  F
. x  F )
ssi :
1) F  
2) ( x, y )  F 2 , ( ,  )  IR 2 . x   . y  F
Exemple :

( IR  0,,.) et (0 IR,,.) sont des s.e.v. de ( IR 2 ,,.) .

II-1-2 Propriétés :
1) Tout sous espace vectoriel de IR n est un espace vectoriel.
2) ( 0IR n ,,.) est un sous espace vectoriel de IR n .

 

3) 0 E appartient à tous les sous espaces vectoriels de IR n .

II-2 Intersection de sous espaces vectoriels
Théorème :
L'intersection de deux ou plusieurs sous-espaces vectoriels de IR n est un sous espace vectoriel de IR n .
Remarque : La réunion de deux sous espaces vectoriels n'est en général pas un sous espace vectoriel.

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Session printemps-été

[S2, Module M13, Algèbre]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel

IIIIII-- C
Coom
mbbiinnaaiissoonn lliinnééaaiirree -- ssyyssttèèm
mee ggéénnéérraatteeuurr
III-1 Combinaison linéaire
Définition :
Dans un espace vectoriel E , on appelle une combinaison linéaire de n vecteurs u1 ,, un , tout
vecteur u de E qui peut s’écrire sous la forme :
n

u  1u1     nun  i ui ,

avec (1,, n )  IR n

i 1

Théorème :
L’ensemble des combinaisons linéaires de n vecteurs d’un espace vectoriel E est un sous
espace vectoriel de E .

III-2 Système générateur
Définition :
 Dans un espace vectoriel E , on dit qu’un système de n vecteurs u1,, un  est un système
générateur de E (ou que les vecteurs u1 ,, un sont des vecteurs générateurs de E ) si tout
vecteur u de E peut s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs u1 ,, un :
n

(u  E ) (1 ,, n  IR) / u  1u1     n un  i ui
i 1





Le système u1,, un  s’appelle aussi partie ou famille génératrice de E .
On dit aussi que le système u1,, un  engendre E ou que E est engendré par le système
u1,, un .
On note E  u1,, un  ou E  Vect u1 ,, un 

Remarque :


Le sous espace vectoriel des combinaisons linéaires des vecteurs u1 ,, un est engendré par les vecteurs
u1 ,, un :

n

En  i ui , i  IR, ui  E   u1 ,, un 
 i 1


Exemple :
 IR  0  u1 , u2  , avec u1  (1,0) et u2  ( 1,0) :
( x,0)  IR  0,  ,   IR /( x,0)  .(1,0)   .(1,0)  (   ,0)
il suffit de prendre par exemple   x et   0

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Session printemps-été

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Chapitre 1 : espace vectoriel réel

IIV
V-- SSyyssttèèm
mee lliibbrree -- ssyyssttèèm
mee lliiéé
Définition :
n vecteurs u1 ,, un d’un espace vectoriel E sont :
 linéairement indépendants ( u1,, un  est un système libre) si
1u1    nun  0E  1    n  0
 linéairement dépendants ( u1,, un  est un système lié) s’ils ne sont pas linéairement
indépendants :
(1 ,,n )  (0,,0) / 1u1    nun  0E
Exemples :
 Les vecteurs u1  (1,0,1) , u2  ( 1,1,1) et u3  (0,1,0) de IR 3 sont linéairement indépendants.
 Les vecteurs u1  (1,0,1) , u2  ( 1,1,1) et u3  (0,1,2) de IR 3 sont linéairement dépendants.
Théorème :
 Un système de vecteurs est lié ssi un des vecteurs du système est combinaison linéaire des autres
vecteurs du système.
 Si un des vecteurs d’un système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système alors
tout vecteur de ce système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système.
Propriétés :
1)
2)
3)
4)

Le vecteur 0 E n’appartient à aucun système libre de E .
u  E / u  0E , le système u est libre.
Tout système de vecteurs extrait d’un système libre est libre.
Tout système de vecteurs contenant un système lié est lié.

V
V-- O
Orrddrree eett rraanngg dd’’uunn ssyyssttèèm
mee ddee vveecctteeuurrss
Définition :
 L’ordre d’un système est le nombre de vecteurs du système.
 Le rang d’un système est égal au plus grand nombre de vecteurs linéairement indépendants que
l’on peut extraire de ce système.

S1  (2,1), (1,1), (0,1)
Exemples :
(L’ordre de S1 est égal à 3 .)
 Le rang de S1 est égal à 2 car :
o Les vecteurs (2,1), (1,1) et (0,1) sont linéairement dépendants ((2,1)  2.(1,1)  (0,1)) , ce qui implique
que rang( S1 )  3 .
o Les vecteurs (2,1) et (1,1) sont linéairement indépendants, ce qui implique que rang( S1 )  2 .
Propriétés :
1) Un système de vecteurs est libre ssi son rang est égal à son ordre.
2) Dans un système lié de rang r , les vecteurs libres extraits en nombre r sont dits vecteurs
principaux, les autres sont dits non principaux et sont combinaison linéaire des premiers.
3) Le rang d’un système de vecteurs est égal à la dimension de l’espace engendré par ces vecteurs.
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Session printemps-été

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Chapitre 1 : espace vectoriel réel

V
VII-- B
Baassee eett ddiim
meennssiioonn dd’’uunn eessppaaccee vveeccttoorriieell
Définition :
Une base d’un espace vectoriel E c’est tout système libre de vecteurs générateurs de E .
Exemples :
1)
2)
3)
4)

(1,0), (0,1) est une base de IR 2
1,0), (0,1), (1,1) n’est pas une base de IR 2 .
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) est une base de IR 3 : on l'appelle la base canonique de IR 3 .
En général, (1,0,0),, (0,,1,,0),, (0,,0,1) est la base canonique de IR n .

Théorème :
Un système de vecteurs u1,, un  est une base de E ssi tout vecteur de E s’écrit de manière
unique comme combinaison linéaire des vecteurs u1 ,, un :
n

(u  E ) (!1 ,, n  IR) / u  1u1     n un  i ui
i 1

Définition :
 Un espace vectoriel réel est dit de dimension finie s’il admet une base constituée d’un nombre
fini n de vecteurs.
 Ce nombre n s’appelle la dimension de l’espace. On note dim E  n .
Exemple :

IR n est un espace vectoriel réel de dimension n .

Propriétés :

Si E est un espace vectoriel réel de dimension n , alors :

1)
2)
3)
4)
5)

Toutes les bases de E ont le même ordre égal à n .
L’ordre de tout système générateur de E est supérieur à n .
L’ordre de tout système libre de E est inférieur à n .
Si l’ordre d’un système libre ou générateur de E est égal à n , alors ce système est une base de E .
Si F est un sous espace vectoriel de E , alors F est un espace vectoriel réel de dimension fini m ,
avec m  n . Si de plus m  n , alors F  E .

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