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Année Scolaire 2015 2016
Classe: TS

LYCEE DE KEUR MASSAR
Cullule Pédagogique Mathématiques

SIMILITUDE DIRECTE : Révision Générale

Exercice



1

1. Donner la nature et les éléments caractéristiques des transformation sui-

(a) z 0 = z + 1 + i ;
(b) z 0 = −2z − i ;

16

(c) z 0 = iz + 1 − 2i ;

(d) z 0 = (1 − i 3)z.

20

2. Dans chacun des cas suivants donner l’écriture complexe de la transformation donnée puis déterminer l’image du point A d’affixe zA = 1 + i

2

(a) Translation de vecteur ~u d’affixe z~u = 1 − 2i

TS

(b) L’homothétie de centre I(1 + 2i) et de rapport −2.
(c) La rotation de centre Ω(−1 + i) d’angle − π2 .
(d) La similitude de centre (1 + i), d’angle − π3 et de rapport 2.


Exercice



2

M

Dans chacun des cas suivants, déterminer l’écriture complexe e la similitude directe
S de rapport k et d’angle α.

1. Ω(5 − 4i), k = 3 et α =

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vantes qui a M (z) associe M 0 (z 0 ) tel que :

2. Ω(−2), k = 2 et α =
3. Ω(3i), k =


2
2

4. Ω( 12 + i), k =


Exercice



et α =



3
2

π
6

π
4

3

et α =

−π
3

3

Dans le plan complexe P , on donne les points A, B et C d’affixes respectives ZA = i
, ZB = 3 + 2i , ZC = −4 + 3i
Soit M un point quelconque de P d’affixe z
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1. Soit S1 la similitude directe associant au point M le point M1 d’affixe z1
tel que z1 = (−1 + i)z + 1 + 2i. Déterminer le centre, le rapport et l’angle de
la similitude S1 .
2. Soit S2 la similitude directe de centre B telle que S2 (C) = A. Soit S3 la
Déterminer S(A) et S(C).

Exercice



4

2. Déterminer l’image par S :

20

1. Déterminer les éléments caractéristiques de S.

16

Soit S la similitude directe d’écriture complexe z 0 = 3iz + 9 + 3i

(a) du cercle de centre I(3 − i) et de rayon 1.
(b) de la droite d’équation y = 2x − 5.

2



5

TS


Exercice

Soient A, B, C, D les points du plan complexe d’affixes respectives 1 + 3i, 4 + 3i, 4 −
2i, 1 − 2i.

1. Montrer qu’il existe une similitude directe plane S telle que S(A) = C et

M

S(B) = D.

2. Déterminer S(C) et S(D).
3. Démontrer que l’isobarycebntre des points A, B, C, D est invariant par S.

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similitude directe de centre C telle que S3 (A) = B. On pose S = S1 ◦ S2 ◦ S3 .

En déduire les éléments caractéristiques de S.


Exercice



6

Soit (Zn ) définie par




z0



=i





zn+1

= (1 + i)zn + 2i

1. Calculer z1 et z2 .
2. On considère la suite (Un ) définie par Un = zn + 2

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(a) Montrer que (Un ) est une suite géométrique de raison 1 + i en déduire
que Un = (2 + i)(1 + i)n
(b) Exprimer Zn en fonction de n.
3. SoitMn+1 , Mn , A et B les points d’affixes respectives :Zn+1 , Zn , i et − 12 − 21 i.

F telle que F (Mn ) = Mn+1 .

−−−→ −−−−→
π
n+1
(b) Démontrer que : AM
BMn = 2 et que :(BMn ; AMn+1 ) = 4 [2π]


16


Exercice

7

M 0 (z 0 = x0 + iy 0 ) par :

20

Soit T la transformation du plan qui au point M (z = x + iy) associe le point


= −x − y 3 + 2 3





4y 0


= −y + x 3 + 10

TS

1. Exprimer z 0 en fonction de z

2





4x0



2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de T .
3. (a) Montrer que z 0 − 2i = 21 e

2iπ
3

(z − 2i)

M

(b) En déduire que si M 0 (z 0 ) décrit un cercle à préciser et à construire.
(c) Montrer que T est la composée d’une rotation R et d’une homothétie
Hà préciser.

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(a) Détermine la nature et les éléments caractéristiques de la transformation

(d) Construire géométriquement M 0 = T (M ) où M est un point quelconque
du plan.

4. Donner l’image par T de la droite (D) : x + 2y + 1 = 0.

Exercice



8

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O;~u;~v ). On prendra
pour unité graphique 2cm. On considère les points A0 , A1 et A2 les points d’affixes
respectives z0 = 5 − 4i ; z1 = −1 − 4i et z2 = −4 − i.

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1. (a) Justifierqu’il existe une unique similitude directe S telle que : S(A0 ) = A1
etS(A1 ) = A2
(b) Montrer que l’écriture complexe de S est : z 0 =

−3+i
1−i
2 z+ 2

(c) Préciser les éléments caractéristiques de S.

d’affixe z 0 . Vérifier que (ω − z 0 ) = i(z 0 − z). En déduire la nature du
triangle ΩM M 0 .

An+1 = S(An ). On note zn , l’affixe de An

16

On considère la suite de points (An ) telle que pour tout entier naturel n,


Exercice

20

−−→ −−−−−→
(a) i. Déterminer en fonction de n, les affixes des vecteurs ΩAn et An+1 An


9

TS

2

1. Soit P (z) = z 3 + 3z 2 − 3z − 5 − 20i

(a) Démontrer que 2 + i est une racine de P (z)
(b) En déduire les autres solutions

2. Dans le plan rapporté au repère orthonormé direct (O;~u;~v ) d’unité 1cm, on

M

considère les points A, Bet C d’affixes respectives 2 + i, −1 − 2i et −4 + i.
(a) Placer les points A, B et C puis calculer les distancesAB et BC.
−→ −−→
C −ZB
(b) Démontrer quearg( Z
ZA −ZB ) = (BA, BC)[2π]
−→ −−→
(c) En déduire une mesure en radian de l’angle (BA, BC).

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(d) On considère le point M d’affixe z non nul et son image M 0 = S(M )

(d) Déduire deTout ce qui précéde la nature du triangle ABC

3. Soit r la rotation qui laisse invariant le point B et qui transforme Aen C.
(a) Montrer que l’application f associée à r est définie par :f (z) = iz − 3 − i
(b) Préciser les éléments géométriques caractéristiques de r.
4. Soit T définie par T (M ) = M 0 avec z 0 = iα2 z + α α est un nombre complexe.

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(a) Déterminer les valeurs de α pour lesquelles T est une homothétie de
rapport 2.
(b) Déterminer les éléments caractéristiques de T pour le nombre complexeα
vérifiant |α| et arg α = − π4
suit que :α = 1 − i.

(b) Donner les éléments caractéristiques de g

Exercice



10

16

(a) Montrer que l’application h associée à g est définie par : h(z) = 2iz − 2.

d’angle

π
2



2
2 .

et de rapport k =

20

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O, e~1 , e~2 ). S une similitude directe
Soit M un point d’affixe z et M 0 d’affixe z 0 avec

1. Exprimer z 0 en fonction de z.

2

M 0 = S(M )

TS

2. On définit la suite des points (Mn ) de la façon suivante : M0 d’affixe z0 =
1 + i et Mn = S(Mn−1 ) pour n > 1.

(a) Déterminer les affixes des points M1 ; M2 ; M3

M

(b) En déduire que zn = (i


2 n
2 ) z0

(c) Exprimer zn en fonction de zn−1

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5. On considère la transformation g = r ◦ T . On suppose dans ce cas ce qui

(d) Soitan = |zn |, montrer que an est le terme général d’une suite géométrique dont on précisera la raison.

(e) Etudier la convergence de la suite (an ).


Exercice



11

On considère l’équation (E) d’inconnue z telle :
(E) : iz 2 + (1 − 5i)z + 6i − 2 = 0
1. Montrer que cette équation admet une solution réelle z1 . Déterminer l’autre
solution z2 .

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2. On note M1 d’affixe z1 et M2 d’affixe z2 . Déterminer l’affixe du point C de
l’axe (O; e~1 ) équidistant de M1 et M2 .
3. Soit la rotation R1 de centre C telle que R1 (M1 ) = M2 .
(a) Déterminer une mesure de l’angle de la rotation R1 .

4. Soit la rotation R2 de centre O et d’angle orienté θ tel que mesθ =f
racπ2rad.

16

(a) Quelle est la nature de la composée R2 ◦ R1 ? Justifier votre réponse.
(b) Soit B d’affixe 3i. Déterminer l’image du cercle circonscrit au triangle

20

BOC par R2 ◦ R1 . Justifier votre réponse.

Exercice



12

2

−→ −→
−→ −−→
On considère lescarrées OABC et OCDE tels que (OA, OC) = (OC, OE) = π2 .

On désigne par I le milieu du segment [CD], par J le milieu du segment [OC] et

TS

par H le point d’intersection entre les segments [AD] et [IE]
1. Faire une figure en prenant OA = 4cm.

2. Justifier l’existence d’une similitude directe S transformant A en I et D en

M

E. Déterminer le rapport et l’angle de S
3. Déterminer l’image de B par S. Déterminer et placer l’image de C par S.

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(b) Déterminer l’affixe du point O0 image de O par R1 .

4. (a) Soit Ω le centre de la similitude s. Montrer que Ω appartient au cercle
de diametre [AI] et à celui de diamétre [DE].

(b) Montrer que Ω ne peut être le point H. Construire Ω.

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