Fichier PDF

Partage, hébergement, conversion et archivage facile de documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Convertir un fichier Boite à outils PDF Recherche PDF Aide Contact



الطريق إلـــــــى التحليل و الحساب المستوى المتوسط (1) .pdf



Nom original: الطريق إلـــــــى التحليل و الحساب -المستوى المتوسط- (1).pdf
Auteur: SWEET

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par Conv2pdf.com, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 14/05/2016 à 17:08, depuis l'adresse IP 41.111.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 456 fois.
Taille du document: 1.4 Mo (27 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document


‫الجمع المكرر و الجداء‬
‫*جمع العدد ‪ 3‬مكررا ‪ 4‬مرات و بالشكل الموجب يكتب على شكل مجموع ‪ ) 3+3+3+3:‬و هو شكل فيه عملية جمع فقط (‬

‫‪..‬أو على شكل جداء ‪ 3x4 :‬أو ‪4x3‬‬

‫) و هو شكل فيه عملية ضرب فقط (‬

‫*جمع العدد ‪ 3‬مكررا ‪ 4‬مرات و بالشكل السالب يكتب على شكل مجموع ‪ -3-3-3-3 :‬أو )‪(-3)+(-3)+(-3)+(-3‬‬

‫‪..‬أو على شكل جداء ‪ (-3)x4:‬أو )‪ 4x(-3‬أو ‪(-4)x3‬‬
‫*جمع العدد ‪ 3‬مرة واحدة و بالشكل الموجب يكتب على شكل مجموع ‪ +3 :‬أو ‪3‬‬
‫‪..‬أو على شكل جداء ‪ 3x1 :‬أو ‪1x3‬‬

‫*جمع العدد ‪ x‬مكررا ‪ 4‬مرات و بالشكل الموجب يكتب على شكل مجموع ‪:‬‬
‫‪..‬أو على شكل جداء ‪:‬‬

‫‪ 4xx‬أو‬

‫*جمع العدد ‪ x‬مكررا ‪ 4‬مرات و بالشكل السالب يكتب على شكل مجموع‬
‫‪..‬أو على شكل جداء ‪:‬‬

‫‪x + x + x +x‬‬

‫باختصار‬

‫‪ 4. x‬أو ‪4x‬‬

‫)‪(- x) + (-x) +(- x) +(-x‬‬
‫أو ‪–x – x – x – x‬‬

‫)‪ 4.(– x‬أو ‪(– 4).x‬‬

‫باختصار‬

‫‪– 4x‬‬

‫*جمع العدد ‪ x‬مرة واحدة و بالشكل الموجب يكتب على شكل مجموع ‪x :‬‬
‫‪..‬أو على شكل جداء ‪ xx1 :‬أو ‪1xx‬‬

‫*جمع العدد ‪ x‬مرة واحدة و بالشكل السالب يكتب على شكل مجموع ‪- x :‬‬
‫‪..‬أو على شكل جداء ‪ (-x)x1 :‬أو ‪ (-1)xx‬أو )‪ 1x(-x‬أو ‪1.x‬‬
‫نتائج ‪:‬‬

‫‪1. x =x‬‬

‫‪(-1). x = - x‬‬

‫;‬

‫تطبيق ‪ :‬حول الجداءات التالية إلى جمع مكرر‬

‫;‬

‫‪0xx =0‬‬

‫‪-2x2 ; -4x ;3x2 ;(-4)x3 ; 3x2 ; 4x5‬‬

‫تطبيق ‪ :‬حول المجاميع التالية إلى جداءات‪:‬‬

‫‪–x3 – x3 – x3 ; x2 +x2 ; 3x +2x ; x+x+x ; – x – x – x ; x+ x ; –5 –5 ; 4 +4‬‬

‫~‪~1‬‬

‫المجموع الجبرى‬
‫كل سلسلة من عمليات جمع أو طرح بين جموع مكررة تسمى مجموع جبرى ‪ .‬وكل جمع مكرر فى السلسلة يسمى حد‬
‫مثال ‪ 9 – 3 x 5 + 4 x 6 + 8 - 7 :‬مجموع جبري ‪ .‬حدوده هي ‪ 9 :‬و ‪ 3 x 5‬و ‪ 4 x 6‬و ‪ 8‬و ‪7‬‬

‫مالحظة ‪ :‬يفصل بين كل حدين عملية الجمع أو الطرح‬
‫‪.......‬مجموع جبري ‪ ،‬حدوده هى ‪ 3x2 :‬و ‪ 5x‬و ‪ 2x‬و ‪ 5x2‬و ‪7‬‬

‫مثال ‪3x2 + 5x +2x – 5x2 – 7 :‬‬

‫الحدان المتشابهان‪:‬‬
‫مثال ‪:‬‬

‫الحدان المتشابهان فى المجموع الجبرى هما حدان لهما نفس القيمة‬
‫كذالك‪:‬‬

‫‪ 5x‬و ‪ 2x‬متشابهان‬

‫كذالك‪:‬‬

‫‪ 6‬و ‪ 7‬متشابهان‬

‫المكررة(يكرران نفس القيمة)‬

‫‪ – 5x2‬و ‪ 3x2‬متشابهان‬

‫مجموع حدين متشابهين ‪ :‬مجمو ع حدين متشابهين يساوى حد يشبههما و تكراره هو مجموع التكرارين‬
‫) أي مجموع المعاملين(‬
‫مثال ‪3x2 + 2x2 = 5x2 :‬‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟗𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫= 𝟐𝒙 ‪𝒙𝟐 +‬‬

‫𝟕‬
‫𝟐‬

‫‪7x3 – 8x3 = - 1x3 = - x3 ; -7x3 – 6x3 = -13x3 ; 3x2 - 2x2 = 1.x2 = x2‬‬

‫;‬

‫) استعمل الحاسبة‪ ( 7 ab/c 2 + 5 ab/c 4= 19/4 ) :‬و إذا لم تظهر النتيجة ننقر على‬
‫‪shift‬‬

‫ثم على ‪ab/c‬‬

‫مالحظة ‪ :‬ال يمكن جمع حدين غير متشابهين ‪.‬‬
‫جداء حدين متشابهين أو غير متشابهين ‪:‬‬

‫جداء حدين متشابهين أو غير متشابهين هو حد تكراره هو جداء التكرارين و قيمته المكررة هي‬
‫جداء القيمتين المكررتين ‪.‬‬
‫; ‪3x2x(-2)x3 =- 6x5‬‬

‫مثال ‪3x2 x 2x2 = 6x4 :‬‬

‫تطبيق ‪ :‬أحسب مايلى ) يمكن استعمال الحاسبة و خاصة في الكسور (‬
‫‪8x3 – 6x3 ; 6x2 – 9x2‬‬
‫‪𝑥 − 6𝑥 ; 4x2 – 5x2‬‬

‫‪6‬‬
‫‪5‬‬

‫‪𝑥 2 + 4𝑥 2‬‬

‫;‬
‫; 𝒙‬

‫𝟔𝟏‬
‫𝟒𝟏‬

‫‪𝒙−‬‬

‫‪6‬‬
‫‪5‬‬

‫;‬

‫𝟖‬
‫𝟕‬

‫~‪~2‬‬

‫𝒙‬

‫𝟏‬
‫𝟑‬

‫‪𝒙−‬‬

‫𝟐‬
‫𝟓‬

‫;‬

‫‪2‬‬

‫𝑥 ‪7x× 4‬‬

‫;‬

‫‪10x × 7𝑥 2 ; 9x × 7‬‬

‫تبسيط مجموع جبرى‬
‫تبسيط مجموع جبرى معناه كتابته بأقل عدد ممكن من الحدود عن طريق جمع الحدود المتشابهة ‪.‬‬
‫مثال ‪ :‬نبسط المجموع الجبرى ‪3x2 – 4x3 + x2 – 7 + 4 :‬‬
‫الحظ أن ‪ 3x2 :‬و ‪ x2‬متشابهان ‪ -7 .‬و‪ 4‬متشابهان ‪ .‬الحد ‪ – 4x3‬ليس له شبيه‪.‬‬
‫إذن ‪:‬‬
‫حيث ‪:‬‬

‫‪3x2 – 4x3 + x2 – 7 + 4 = - 4x3 +4x2 – 3‬‬
‫‪3x2 + x2 =4x2‬‬

‫و‬

‫‪-7 +4 = -3‬‬

‫تطبيق ‪ :‬بسط المجاميع الجبرية التالية‬
‫‪; 9 − 8𝑥 + 𝑥 2‬‬

‫‪; 2x2 – 7x +5 –x‬‬
‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫𝑥‪7 + 𝑥 − 6‬‬
‫‪2‬‬

‫‪6 − 𝑥 2 − 2𝑥 3 + 𝑥 2 − 7‬‬
‫تبسيط مجموع جبرى فيه أقواس‬

‫تبسيط مجموع جبرى فيه أقواس معناه كتابته بدون أقواس و بأقل عدد ممكن من الحدود‬
‫قاعدة حذف )نزع ( األقواس ‪ :‬نزع األقواس معناه كتابة المجموع الجبرى بدون اقواس ‪.‬‬
‫‪ ‬حذف قوسين من مجموع جبرى يؤدى إلى تغيير إشارات الحدود التى كانت بين‬
‫القوسين إذا كانت اإلشارة السالبة تسبق القوسين ) أي الحدود المكررة بالشكل‬
‫الموجب تصبح مكررة بشكل سالب و الحدود المكررة بالشكل السالب تصبح‬
‫مكررة بشكل موجب (‬
‫‪ ‬حذف قوسين من مجموع جبرى يحافظ على إشارات الحدود التى كانت بين‬
‫قوسين إذا كانت اإلشارة الموجبة تسبق القوسين ) أي الحدود المكررة بالشكل‬
‫الموجب تبقى مكررة بالشكل الموجب و الحدود المكررة بالشكل السالب تبقى‬
‫مكررة بالشكل السالب (‬

‫مثال ‪ :‬لنبسط المجموع الجبرى التالى الذى فيه أقواس ‪(3x – 4) – (7x2 – x + 5) :‬‬
‫أي نعيد كتابته بدون أقواس ثم نبسط الناتج ‪.‬‬
‫‪(3x – 4) – (7x2 – x + 5)= 3x – 4 – 7x + x – 5‬‬
‫‪ ...................‬التبسيط‬
‫‪= - 7x + 4x – 9‬‬

‫‪.......‬نزع األقواس ‪.‬‬

‫مالحظة‪ - :‬عندما ال تسبق القوسين أية إشارة معناه هذه اإلشارة موجبة ‪.‬‬
‫ لتبسيط مجموع جبري فيه أقواس نبسط ما بداخل األقواس ثم نحذف األقواس و‬‫نواصل التبسيط أو نحذف األقواس ثم نبسط ‪.‬‬
‫~‪~3‬‬

‫تبسيط مجموع جبرى فيه أقواس مضاعفة( فيه أقواس صغيرة و أقواس كبيرة ) ‪:‬‬
‫لتبسيط مجموع جبرى فيه أقواس مضاعفة نبدأ بحذف األقواس الصغيرة ثم األقواس الكبيرة )‬
‫مثال ‪3X - [2X – (6X +5 ) – 9 ] =3X - [2X -6X -5 -9]:‬‬
‫‪=3X -2X +6X +5 +9‬‬
‫‪=7X +14‬‬
‫مالحظة ‪ :‬يمكن أن نبدأ باألقواس الكبيرة ثم الصغيرة و لكن حذار من الخطأ‬
‫‪3X - [2X – (6X +5 ) – 9 ]=3X – 2X + (6X +5 ) +9‬‬
‫‪=3X – 2X + 6X +5 +9‬‬
‫‪=7X + 14‬‬
‫تطبيق ‪ :‬بسط المجاميع الجبرية التالية‬
‫‪9 – (6X – 7 )+ 5‬‬

‫;‬

‫]) ‪X – [6 – (X + 5 ) – (X – 3‬‬
‫) ‪2X2 – (5 + 4X‬‬

‫;‬

‫~‪~4‬‬

‫] ‪9 – [(6X – 7 ) + 5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬

‫;‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫])‪+ [8 – (6 – 2X‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬

‫]) ‪[(2X – 2 ) – 6] + [3 – (X + 4‬‬

‫القسمة اإلقليدية‬
‫للتعبير عن قسمة ‪ 27‬على ‪ 4‬نكتب القسمة على شكل كسر‬

‫‪27‬‬
‫‪4‬‬

‫أو على شكل ‪27 4‬‬

‫أو على شكل مساوة ‪. 27 = 4 × 6+3 :‬‬
‫حيث ‪ 6 :‬هو حاصل القسمة و ‪ 4‬هو القاسم و ‪ 3‬هو باقى القسمة و العدد ‪ 27‬هو المقسوم ‪.‬‬
‫هذه القسمة تسمى القسمة اإلقليدية ‪.‬‬
‫إلجراء هذه القسمة بالحاسبة ننقر) من اليسار إلى اليمين ( على مايلى ‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫ق‬

‫‪27 ab/c 4 = 6 3‬‬

‫‪.‬‬

‫ب ح‬

‫و الذى يعنى أن قسمة ‪ 27‬على ‪ 4‬يعطى الحاصل ‪ 6‬و الباقي ‪ 3‬و ‪ 4‬هو القاسم ‪.‬‬
‫إذا كان مقام الكسر األخير ليس القاسم الذى اخترناه وجب تحويل هذا الكسر إلى كسر مقامه هو‬
‫القاسم المختار و إال فإن الباقى الذى ظهر خاطىء ‪.‬‬

‫تطبيق ‪ :‬باستعمال الحاسبة قم بالعمليات التالية واكتب المساواة التي تعبر عن كل قسمة ‪.‬‬
‫‪28 4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪45 6‬‬

‫‪76‬‬

‫‪4‬‬

‫‪215‬‬

‫‪213 24‬‬
‫‪8,875‬‬

‫الباقى هو الفرق بين المقسوم و)جداء القاسم فى الجزء الصحيح للحاصل( ‪ ) R =213 – 8 × 24‬الباقي(‬
‫مالحظة‪:‬‬

‫ليس كل مساواة تعبر عن القسمة اإلقليدية ‪:‬‬

‫مثال ‪ 56 = 9 × 5 + 11 :‬مساواة صحيحة و لكنها ال تعبر عن القسمة اإلقليدية ألن قسمة‬
‫‪ 56‬على ‪ 9‬ال يعطى الحاصل ‪ 5‬و ال الباقي ‪ . 11‬و الحظ أن الباقي أكبر من الحاصل و هذا‬
‫مستحيل في القسمة اإلقليدية ‪.‬‬
‫مالحظة ‪ :‬عملية القسمة نحل بها معادالت بسيطة فيها عملية الضرب ‪ [ .‬أى كل معادلة بسيطة فيها‬
‫ضرب حلها يكون بالقسمة ]‬
‫مثال ‪ :‬حل المعادلة ‪:‬‬
‫الجواب هو ‪ . 2‬كيف ؟‬

‫‪. 13 × 𝑥 = 26‬أى ماهو العدد الذى إذا ضرب بالعدد ‪ 13‬نتحصل على ‪ 26‬؟‬

‫ألن حل هذه المعادلة هو ‪= 2 :‬‬

‫‪26‬‬
‫‪13‬‬

‫=𝑥‬

‫~‪~5‬‬

‫مرحلة إيجاد‪x +3 :‬‬

‫حل بعض المعادالت بالمراحل‪:‬‬
‫حل المعادلة ‪ 12× (x+3) = 48‬يمر بمرحلتين‬

‫مرحلة إيجاد ‪ :‬قيمة ‪x‬‬
‫من المعادلة ‪ 12× (x+3) = 48‬نستنتج أن‬

‫‪48‬‬
‫‪12‬‬

‫= ‪x +3‬‬
‫مرحلة أولى‬

‫أي‪:‬‬

‫‪x +3 = 4‬‬

‫ومنه ‪x = 4 – 3‬‬
‫مرحلة ثانية)مرحلة إيجاد الحل(‬
‫أي ‪:‬‬
‫إذن العدد ‪ 1‬هو حل للمعادلة ‪. 12 (x+3) = 48‬‬

‫~‪~6‬‬

‫‪x =1‬‬

‫القسمة التامة و القسمة الغير تامة‬
‫نقول عن قسمة إقليدية أنها تامة إذا كان باقيها معدوما ‪.‬‬
‫مثال ‪ :‬قسمة ‪ 28‬على ‪ 4‬قسمة تامة ألن الباقى معدوم ‪ .‬و فى هذه الحالة نقول ‪:‬‬
‫‪ 28‬يقبل القسمة على ‪ 4‬أو‬
‫‪ 4‬يـقـســم العــد د ‪28‬‬

‫أو‬

‫‪ 28‬مــضــاعــــف ‪4‬‬

‫أو نقول ‪:‬‬

‫‪ 4‬قاسم للعدد ‪28‬‬

‫و المساواة التى تترجم هذه القسمة هى ‪ 28 = 4 × 7:‬و تسمى مساواة تامة‬
‫نتيجة ‪ :‬كل مساواة تامة يمكن أن نستخرج منها قسمتين تامتين‬
‫مثال ‪ 28 = 4 × 7 :‬هى مساواة تامة ‪ .‬يمكن أن نستخرج منها قسمتين تامتين هما ‪:‬‬
‫‪28 4‬‬

‫‪28 7‬‬

‫&‬

‫‪ 4‬قاسم للعدد ‪ 28‬أو ‪ 28‬مضاعف ‪4‬‬
‫أى فى المساواة التامة ‪28 = 4 × 7‬‬

‫لدينا‬
‫‪ 7‬قاسم للعدد ‪ 28‬أو ‪ 28‬مضاعف ‪7‬‬

‫مالحظة ‪ :‬فى حالة القسمة التامة ‪ ،‬الحاسبة ال تعطى النتيجة بالرمز‬
‫كاملة بدون عالمة الكسر ‪.‬‬

‫بل تعطى النتيجة‬

‫تحويل قسمة غير تامة إلى قسمة تامة [أى تحويل مساواة غير تامة إلى مساواة تامة ]‬
‫*‬

‫نعلم أن القسمة اإلقليدية للعدد ‪ 49‬على ‪ 5‬غير تامة ألنها تعطى الباقى ‪ 4‬غير معدوم ‪.‬‬
‫ولكن الفرق بين المقسوم و الباقي ) ‪ (49 – 4‬يعطى قسمة تامة على ‪. 5‬‬

‫نتيجة ‪ :‬إذا كان لدينا قسمة إقليدية غير تامة فإن الفرق بين المقسوم و الباقي يعطى قسمة تامة‬
‫على نفس القاسم‬
‫مثال ‪ :‬المساواة ‪ 49 = 5 x 9 + 4‬غير تامة ‪ .‬و لكن الفرق بين المقسوم و الباقى يعطى‬
‫‪45 = 5 x 9‬‬
‫قسمة تامة أى ‪ 49 – 4 = 5 x 9 :‬أو‬
‫تطبيق ‪ :‬بعد تحويل كل مساواة إلى مساواة تامة جد قيمة ‪ x‬فى كل حالة ‪:‬‬
‫‪24 = 5 x + 4‬‬

‫;‬

‫‪215 = 3 x + 2‬‬

‫~‪~7‬‬

‫;‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪= 2 x + 10‬‬
‫‪4‬‬

‫قواسم عدد طبيعي‬
‫إليجاد مجموعة قواسم عدد طبيعى نكتب هذا العدد على شكل مساواة تامة بقسمته على ‪ 1‬ثم‬
‫على ‪ 2‬ثم على ‪ 3‬ثم ‪...............‬بحيث كل مساواة تامة تعطى قاسمين نضعهما فى جانبين‬
‫مختلفين داخل المجموعة إلى أن تنغلق المجموعة ‪.‬‬
‫مثال ‪ :‬لنبحث عن قواسم العدد ‪ 8‬أى‬

‫‪( les diviseurs de 8 ) D8‬‬

‫لدينا ??? ×‪8= 1×8 ; 8= 2× 4 ; 8=3‬‬
‫;‬

‫‪4 ; 8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫;‬

‫=‪D8‬‬

‫لنبحث عن قواسم العدد ‪ 36‬أى ‪D36‬‬
‫لدينا‬

‫?×‪36 = 1 × 36 ; 36 = 2× 18 ; 36 =3× 12 ; 36 = 4 × 9 ; 36 =6× 6 ; 36 =7‬‬

‫‪4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36‬‬
‫تطبيق ‪ :‬جـــــــــد ‪D10‬‬

‫;‬

‫‪D6‬‬

‫;‬

‫‪D12‬‬

‫;‬

‫; ‪D36 = 1 ; 2 ; 3‬‬

‫‪D14 ; D9 ; D7 ; D15‬‬

‫; ‪D5‬‬

‫تمارين – كتاب ‪ 4‬متوسط – ص ‪ 17‬رقم ‪ ، 6 ، 1‬ص ‪ 18‬رقم ‪8 ، 2 ، 1 ، 5‬‬

‫ أكمل مايلى باستبدال النقط بإحدى الكلمتين ‪":‬مضاعف " أو "قاسم لـ "‬‫‪550........ 55 ، 76.......1 ، 3.........9 ، 14......3‬‬
‫ انقل و اكمل بصحيح أو خاطئ مايلى ‪ 1:‬يقسم ‪ 3 ،.......0‬يقسم ‪ 0 ،..... 15‬يقسم ‪ 9،...... 15‬قابل القسمة على ‪.....4‬‬‫‪ 12‬قاسم ‪ 27 ،...... 16‬قابل القسمة على ‪ 14 ،..... 9‬يقسم ‪ 17 ،.... 14‬مضاعف ‪ 5،.... 17‬يقسم ‪35،..... 35‬‬
‫مضاعف ‪.......5‬‬
‫ أوجد جميع قواسم كل من األعداد ‪. 24 ، 56 ، 36 :‬استنتج القواسم المشتركة لألعداد ‪ 24‬و ‪ 56‬و‪. 36‬‬‫ يدل النقط بأرقام حتى يقبل كل عدد من االعداد االتية القسمة على ‪ 3‬و على ‪ 5‬فى ان واحد ‪.‬‬‫‪1285 .‬‬

‫‪784 . ،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪31. ، 38.‬‬

‫ ماهو الرقم الذى يكمل العدد ‪ 3 . 0‬حتى يقبل القسمة على ‪ 9‬؟‬‫ ماهو الرقم الذى يكمل العدد ‪ 12 . 7‬حتى يقيل القسمة على ‪ 9‬؟‬‫ ‪ X‬و ‪ y‬عددان طبيعيان بحيث ‪432x =264y :‬‬‫𝑥‬
‫أحسب الكسر‬
‫𝑦‬

‫ أحسب العدد الطبيعى ‪ x‬فى كل حالة ‪:‬‬‫‪12(36 -2x)=144 ; 4(x+2) =48 ; 3(x-1) = 120 ; 3x = 18 ; 84 :14 =x ; 87 : x = 3‬‬

‫~‪~8‬‬

‫البحث عن القاسم المشترك األكبر ‪ pgcd‬لعددين أو لعدة أعداد ‪.‬‬
‫يمكن أن نجد القاسم المشترك األكبر لعددين بعدة طرق ‪:‬‬
‫طريقة القواسم ) تستعمل لألمثلة البسيطة (‬
‫مثال‪ :‬قواسم ‪ 36‬هى ‪1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36‬‬
‫قواسم ‪ 54‬هى ‪1 ;2 ;3 ;6 ;9 ;18 ;27 ;54‬‬
‫القواسم المشتركة للعددين هى‬

‫‪1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18‬‬

‫القاسم المشترك األكبر ‪ pgcd‬للعددين ‪ 36‬و ‪ 54‬هو ‪ 18‬و نكتب‪pgcd (36 ; 54) = 18 :‬‬
‫‪pgcd(a ; a) =a (a≠0) ; pgcd(a ; 1) =1‬‬
‫)‪ b‬مضاعف ‪pgcd(a ; b) = a ( a‬‬

‫نتائج‪:‬‬

‫;‬

‫طريقة القسمةاإللقييدية ) أو خوارزمية القسمة ( ‪:‬‬
‫نقسم العدد الكبير على العدد الصغير‪ .‬إذا كانت القسمة تامة فإن هذا العدد الصغير هو‬
‫القاسم المشترك األكبر و إال فإننا نواصل القسمة بحيث يتحول كل قاســـم إلى مــــقسوم و كل‬
‫بـــاق إلى قــــــا سم في كل عملية موالية‪ .‬وآخر باق غير معدوم هو القاسم المشترك األكبر‪.‬‬

‫لنبحث عن‬

‫) ‪Pgcd ( 216 ; 120‬‬

‫نقسم العدد الكبير على العدد الصغير فنحصل على ‪ 216 120‬أى ‪216 =120 x1 +96‬‬
‫‪1‬‬
‫ونواصل القسمة بحيث‬

‫‪96‬‬

‫يتحول كل قاســـم إلى مــــقسوم و كل بـــاق إلى قــــــا سم في كل عملية موالية‬

‫فنحصل على ‪ 120 96‬أى ‪120 = 96x1 +24‬‬
‫‪1‬‬
‫ونواصل بحيث‬

‫‪24‬‬
‫يتحول كل قاســـم إلى مــــقسوم و كل بـــاق إلى قــــــا سم في كل عملية موالية‬

‫فنحصل على ‪ 96 24‬أى‬
‫‪4‬‬

‫‪96 = 24 x 4 +0‬‬

‫‪0‬‬

‫إذن ‪ pgcd(216 ; 120) =24‬ألن آخر باق غير معدوم هو ‪24‬‬
‫~‪~9‬‬

‫طريقة الطرح ‪ :‬نعتمد على القاعدة ‪:‬‬
‫القاسم المشترك األكبر لعددين يساوى القاسم المشترك األكبر بين العدد الصغير و فرقهما ‪.‬‬
‫أى ‪ pgcd(a ; b ) =pgcd( a ; b – a) :‬حيث ‪ a‬و ‪ b‬عددان طبيعيان و ‪b >a‬‬
‫مثال‪ :‬لنبحث عن ) ‪pgcd(54 ; 36‬‬
‫‪Pgcd(54 ; 36 ) = Pgcd(36 ; 18 )= Pgcd(18 ; 18 ) = 18‬‬
‫مثال‪ :‬لنبحث عن ) ‪pgcd(120 ; 216‬‬
‫) ‪Pgcd (216 ; 120 ) = Pgcd (120 ; 96 ) = Pgcd (96 ; 24 ) = Pgcd (24 ; 72 )= Pgcd (24 ; 48‬‬

‫‪= Pgcd (24 ; 24)=24‬‬

‫~ ‪~ 10‬‬

‫البحث عن القاسم المسترك األكبر بواسطة الحاسبة ‪:‬‬
‫‪B‬‬

‫𝐴‬

‫إليجاد ) ‪ pgcd ( A ; B‬نختزل الكسر𝐵 أو‪ ) A‬أى نحسب الحاصل و نحوله إلى كسر (‬
‫𝑏‬

‫𝑎‬

‫ونتحصل على كسر جديد 𝑏 أو 𝑎 ‪ .‬و القاسم المشترك األكبر للعددين ‪ A‬و ‪ B‬هو حاصل‬
‫قسمة البسط األصلى على البسط الجديد أو هو حاصل قسمة المقام األصلى على المقام الجديد‬
‫مثال ‪:‬لنبحث عن ) ‪PGCD( 216 ; 120‬‬
‫‪216‬‬

‫نختزل الكسر ‪ 120‬و نجد‬
‫إذن ‪= 24‬‬

‫‪216‬‬
‫‪9‬‬

‫‪9‬‬
‫‪5‬‬

‫بالطريقة‪:‬‬

‫‪5‬‬

‫‪216 ab/c 120 = 9‬‬

‫= ) ‪ pgcd( 216 ; 120‬أو ‪= 24‬‬

‫‪120‬‬
‫‪5‬‬

‫= ) ‪pgcd( 216 ; 120‬‬

‫تطبيق ‪ :‬باستعمال الحاسبة جـــــد ‪:‬‬
‫)‪Pgcd(144 ; 288) ; Pgcd(96 ; 120) ; Pgcd(135 ; 60) ; Pgcd(126 ; 18) ; Pgcd(120 ; 36‬‬

‫الحل ‪ :‬لنحسب الحاصل‬

‫‪120‬‬
‫‪36‬‬

‫بالحاسبة فنجد ‪1 3‬‬

‫‪ shift‬ثم على ‪ ab/c‬فتظهر النتيجة على شكل كسر ‪3‬‬
‫إذن ‪= 12 :‬‬

‫‪36‬‬
‫‪3‬‬

‫= ) ‪ pgcd( 120 ; 36‬أو ‪= 12‬‬

‫~ ‪~ 11‬‬

‫‪ 3‬أى ‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫𝟑‬

‫‪ 10‬أى‬
‫‪120‬‬
‫‪10‬‬

‫‪ 3 +‬ثم ننقر على‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬

‫و منه‬

‫‪10‬‬
‫‪3‬‬

‫=‬

‫=) ‪pgcd( 120 ; 36‬‬

‫‪120‬‬
‫‪3‬‬

‫الضرب المكرر ‪:‬‬
‫*‬

‫تكرار العدد ‪ 5‬ثالثة مرات بالضرب يكتب ‪:‬‬

‫على شكل جداء ‪5x5x5 :‬‬

‫‪ 5‬أساس القوة‬

‫أو على شكل قوة ‪ 53 :‬و يقرأ ‪ 5 :‬أس ‪. 3‬‬
‫‪ 3‬أس القوة‬
‫* تكرار العدد ) ‪ (-5‬ثالثة مرات بالضرب يكتب ‪:‬‬

‫على شكل جداء ‪:‬‬

‫) ‪ (-5‬أساس القوة‬

‫)‪(-5)x(-5)x(-5‬‬

‫أو على شكل قوة ‪ (-5 )3 :‬و يقرأ ‪ -5 :‬أس ‪. 3‬‬
‫‪ 3‬أس القوة‬

‫أى ‪ 53 =5x5x5 :‬و‬

‫)‪(-5)3 = (-5)(-5)(-5‬‬

‫* تكرار العدد ‪ x‬أربعة مرات بالضرب و بالشكل الموجب يكتب ‪:‬‬

‫على شكل جداء ‪xxxxxxx :‬‬

‫أو‬

‫على شكل قوة ‪x4 :‬‬

‫أى‬

‫‪x4= xxxxxxx‬‬

‫* تكرار العدد ‪ x‬أربعة مرات بالضرب و بالشكل السالب يكتب ‪:‬‬
‫على شكل جداء ‪(-x)x(-x)x(-x)x(-x) :‬‬
‫أو على شكل قوة ‪ (-x)4 :‬أى )‪(-x)4= (-x)x(-x)x(-x)x(-x‬‬
‫* تكرار العدد ‪ x‬مرة واحدة بالضرب و بالشكل الموجب يكتب ‪:‬‬
‫على شكل جداء ‪ x :‬أو‬

‫على شكل‬

‫قوة ‪ x1 :‬اى‪x1 = x :‬‬

‫* تكرار العدد ‪ x‬مرة واحدة بالضرب و بالشكل السالب يكتب ‪:‬‬

‫على شكل جداء ‪ -x :‬أو على شكل قوة ‪ (-x)1 :‬اى‪(-x)1 = -x :‬‬

‫مالحظة ‪:‬‬

‫القوة التى أسها غير مكتوب معناه أسها ‪1‬‬

‫تطبيق ‪:‬حول الجداءات التالية إلى قوى ‪(-9)(-9) ; ( 7 ) ( 7 ) ; (-4)(-4)(-4) ; 5x5x5 ; 6x6‬‬
‫‪−5‬‬

‫‪−5‬‬

‫حول القوى التالية إلى جداءات مكررة ‪; (-6)3 ; (-4)2 ; (-3)4 ; 23 ; 22 :‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪( 7 )2 ; (3)4‬‬
‫~ ‪~ 12‬‬

‫حساب القوة ‪:‬‬
‫لحساب القوة نحولها إلى جداء مكرر و نحسب الجداء ‪.‬‬
‫ لحساب القوة بالحاسبة ننقر على العدد ثم على ‪ xy‬و على عدد مرات التكرار ‪ .‬أى‬‫ لحساب القوة بالحاسبة ننقر على األساس ثم على ‪ xy‬ثم على األس ‪.‬‬‫مثال ‪:‬لحساب ‪ (-3)4‬نتبع مايلى ‪ (-3) xy 4 = 81 :‬أى‬

‫‪(-3)4 = 81‬‬

‫مالحظات ‪ * :‬تكرار العدد مرتين بالضرب يعطى نتيجة موجبة دوما ‪.‬‬
‫* تكرار العدد ثالثة مرات بالضرب يعطى نتيجة موجبة أو سالبة حسب األساس‬
‫* تكرار العدد أربعة مرات بالضرب يعطى نتيجة موجبة دوما ‪.‬‬
‫نتيجة ‪ :‬كل قوة أسها زوجي تعطى نتيجة موجبة دوما‬
‫مثال‪ (-3)4 :‬نتيجتها موجبة; ‪ (-3)5‬نتيجتها سالبة ; ‪ (-5)2‬نتيجتها موجبة ; ‪ 35‬نتيجتها موجبة‬
‫‪2‬‬

‫تطبيق ‪ :‬باستعمال الحاسبة أحسب القوى التالية‪(3)3 ; 72 ; (-1)4 ; (-1)3 ; (-1)2 ; (-4)3 :‬‬
‫‪−3‬‬

‫‪( 5 )2‬‬

‫;‬

‫‪6‬‬

‫‪( 9 )2‬‬

‫~ ‪~ 13‬‬

‫جداء قوتين‬
‫يمكن تحويل جداء قوتين إلى قوة واحدة إذا كان لهما نفس األساس أو نفس األس ‪.‬‬
‫تحويل لقوتين لهما نفس األساس ‪:‬‬

‫نحافظ على األساس‬

‫‪(-4)2 x (-4)3 = (-4)5‬‬

‫و‬
‫نجمع األس‬

‫‪(-4)2 x (-4)-5 = (-4)-3‬‬
‫نحافظ عيى األس‬

‫تحويل لقوتين لهما نفس األس‪:‬‬
‫‪(-4)3x53 = [(-4)x5]3=(-20)3‬‬

‫و‬
‫نضرب األساسين‬

‫‪(-4)-3x5-3 = [(-4)x5]-3=(-20)-3‬‬
‫القوة المضاعفة‪ :‬هى القوة المرفوعة إلى أسين‪ .‬ويمكن تحوييها إلى لقوة تحمل نفس األساس‬
‫وأس هو جداء األسين ‪.‬مثال ‪⌊(−5)−2 ⌋3 = (−5)−6‬‬
‫تطبيق ‪ :‬حول مايلى إلى قوة واحدة ‪:‬‬
‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪(5) × (5)2 ; 42x(-7)2 ; (-2)3x(-2)3 ; 52x5-3 ; 4x42‬‬
‫جمع و طرح قوتين‬
‫اليمكن جمع أو طرح قوتين إال إذا كانتا متشابهتان ‪.‬‬
‫مثال ‪:‬‬

‫?? =‬

‫‪x3‬‬

‫??? = ‪x 2 - x3‬‬

‫‪ x 2 +‬ال يمكن الجمع‬
‫ال يمكن الطرح‬

‫‪x3 +‬‬

‫‪= 2 x3‬‬

‫‪x3‬‬

‫‪= -3 x3‬‬

‫‪2x 3 - 5 x3‬‬

‫ممكن ألنهما متشابهان‬
‫ممكن ألنهما متشابهان‬

‫تطبيق ‪ :‬حول مايلى إلى قوة واحدة إن أمكن ‪:‬‬
‫‪3x2 +2x2 ; X2y2 ; X3x X ; X2 + X3 ; X2 x X3‬‬
‫~ ‪~ 14‬‬

‫;‬

‫‪x3xx3 ; 16x2 – x‬‬

‫جداء حدين ‪:‬‬
‫لحساب جداء حدين نضرب معاملي التكرار و القيمتين المكررتين ‪.‬‬
‫مثال ‪(-21)x3x2 =- 6x3 ; 5xx3y =15xy :‬‬
‫نتيجة ‪ :‬جداء حدين مكررين بشكل مختلف هو حد مكرر بشكل سالب ‪.‬‬

‫جداء حدين مكررين بنفس الشكل هو حد مكرر بشكل موجب ‪.‬‬
‫مثال ‪(-5)x.(-7)y = 35 x y ; 2 x.3 y = 6 x y ; - 4 x.3 y = - 12 x y :‬‬
‫حذار ‪ :‬مجموع حدين مكررين بشكل مختلف و لنفس القيمة هو حد معدوم ‪.‬أما الجداء فال يعطى حدا معدوما ‪.‬‬
‫مثال ‪7 x.(-7 x) = - 49 x 2 ; 7 x 2 – 7 x 2 = 0 ; -3 x .3 x = - 9 x 2 ; -3 x +3 x = 0 :‬‬
‫جداء حد فى مجموع جبرى‬
‫لضرب حد في مجموع جبري نضرب هذا الحد في كل حد من حدود المجموع الجبري و نجمع النتائج ‪.‬‬
‫مثال ‪ :‬نضرب الحد ‪ 3x‬فى المجموع الجبرى ‪ 7x - 6 + 2y :‬أى ‪3x(7x – 6 + 2y ) :‬‬
‫‪3x(7x – 6 + 2y ) = 21x2 – 18x + 6xy‬‬
‫‪-2x( 9x – 5 ) = - 18x2 + 10x‬‬

‫كذالك ‪:‬‬

‫جداء مجموع جبرى فى مجموع جبرى‬
‫لضرب مجموع جبرى فى مجموع جبرى نضرب كل حد من أحدهما فى كل من حدود المجموع‬
‫الجبرى االخر و نجمع النتائج ‪.‬‬
‫مثال ‪(3x – 4 )(7x – 6 ) = 3x(7x- 6) – 4(7x-6) = 21x2 – 18x – 28x +24 :‬‬
‫‪(2x2 + 5 )( x – 8 ) = 2x2 (x- 8 )+ 5(x- 8) = 2x3 – 16x2 +5x- 40‬‬
‫‪(9- 2x )(x – 4) = 9( x- 4) -2x(x – 4) = 9x – 36 – 2x2 + 8x = - 2x2 + 17x – 36‬‬
‫‪(- 3 – 4x )(x-5) = -3x +15 – 4x2 +20x = - 4x2 +17x +15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬

‫‪𝑥−‬‬

‫‪37‬‬
‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪( 𝑥 − 5) (𝑥 + ) = 𝑥 (𝑥 + ) − 5 (𝑥 + ) = 𝑥 2 + 𝑥 − 5𝑥 − = 𝑥 2 −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬

‫االنتقال من شكل جداء إلى شكل مجموع جبرى يسمى "النشــــر"‬
‫أنشر ‪ :‬معناه ‪ :‬حول الجداء إلى مجموع جبرى ‪.‬‬
‫~ ‪~ 15‬‬

‫الجداءات الخاصة‬
‫مجموع الحدين ‪ 5x‬و ‪ – 4‬يكتب عيى شكل )‪ 5x +(-4‬او عيى شكل مبسط ‪5x – 4 :‬‬
‫و مربعه يكتب عيى شكل ‪(5x– 4)(5x – 4) :‬‬

‫أو ‪(5x – 4)2‬‬

‫مربع مجموع حدين‪ :‬الجداء المكرر مرتين لمجموع حدين يساوى مربع الحد األول )نكرر الحد األول‬
‫مرتين بالضرب ( ‪ +‬مربع الحد الثانى ) نكرر الحد الثانى مرتين بالضرب( ‪ +‬ضعف جداء الحدين ‪.‬‬
‫مثال‪+ 2(5x)(-4) :‬‬

‫‪+ (-4)2‬‬

‫‪(5x – 4)(5x – 4) =(5x – 4)2 = (5x)2‬‬

‫ضعف جداء الحدين مربع الحد الثانى مربع الحد األول‬

‫‪= 25x2 +16 - 40x‬‬
‫كذاللك ‪ :‬مربع مجموع الحدين ‪ -7x‬و ‪ -3‬يكتب على شكل ‪ (-7x – 3) (-7x -3) :‬أو ‪( -7x – 3 )2‬‬
‫و نشره هو ‪(-7x – 3)2 = (-7x)2 +( - 3)2 + 2( -7x)(- 3) = 49x2 + 9 + 42x :‬‬
‫جداء مجموع وفرق نفس الحدين ) جداء مترافقين (‬
‫لنأخذ الحدين ‪ 5x‬و ‪ 3‬حيث ‪ :‬مجموعهما هو ‪ 5x + 3 :‬و فرقهما هو ‪) 5x – 3‬أى العبارتان‬
‫)‪ (5x + 3‬و) ‪ (5x – 3‬مترافقتان( و جداء مجموعهما و فرقهما يكتب على شكل ‪:‬‬
‫)‪ (5x+3).(5x – 3‬و نشر هذا الجداء هو ‪:‬فرق مربعى الحدين ‪.‬‬
‫‪(5x+ 3)(5x – 3) = (5x)2 – (3)2 = 25x2 – 9‬‬
‫كذالك ‪:‬‬

‫‪(-7x -3)(-7x+3) = (-7x)2 – (3)2 = 49x2 – 9‬‬

‫مالحظة ‪ :‬يمكن أن نستعمل الطريقة العامة في كل الحاالت‪ ،‬حتى في الحاالت الخاصة ‪.‬‬

‫~ ‪~ 16‬‬

‫الجذر التربيعى‬
‫مربع العدد ‪ 3‬يكتب ‪ (3)2‬و قيمته هى ‪ 9‬و نكتب ‪ .32 =9‬وبالقراءة العكسية نقول‪ :‬الجذر التربيعى‬
‫للعدد‪ 9‬هو الجذر التربيعى للعدد ‪ 32‬و قيمته هى ‪ 3 :‬و نكتب بالرمز ‪√32 = 3‬‬

‫=‪√9‬‬

‫نتيجة ‪ √9= 3 :‬معناه ‪9 = 32 :‬‬
‫تطبيق ‪:‬‬
‫ماهو مربع ‪ 1‬؟ مربع‪2‬؟مربع‪3‬؟مربع‪4‬؟مربع‪5‬؟مربع‪6‬؟مربع‪7‬؟مربع‪8‬؟مربع‪9‬؟مربع‪10‬؟مربع‪11‬؟مربع‪12‬؟مربع‪13‬؟‬

‫جد ‪; √𝟏𝟎𝟎 ; √𝟖𝟏 ; √𝟔𝟒 ; √𝟒𝟗 ; √𝟑𝟔 ; √𝟐𝟓 ; √𝟏𝟔 ; √𝟗 ; √𝟒 ; √𝟏 :‬‬
‫𝟏𝟐𝟏√ ; 𝟒𝟒𝟏√ ; 𝟗𝟔𝟏√ ‪.‬‬
‫مالحظة‪:‬‬
‫االعداد ‪..... 169 ، 144 ، 121 ، 100 ، 81 ، 64 ، 49 ، 36 ، 25 ، 16 ، 9 ، 4 ، 1‬تسمى ‪ :‬مربعات كاملة‬
‫نتيجة ‪ :‬كل مربع كامل له جذر تربيعى تام ‪.‬وكل عدد ليس مربعا كامال جذره التربيعى غير تام بل مقرب‬
‫مالحظة ‪ :‬العدد السالب ليس له جذر تربيعى ألنه اليوجد عدد مربعه سالب ‪.‬‬
‫الكتابة ‪ √−𝟗 :‬خاطئة و لكن 𝟗√‪ -‬صحيحة‬
‫مالحظة ‪ :‬الجذر التربيعى نتيجته دائما موجبة ‪ ).‬الجذر التربيعى ال ينتج عددا سالبا و ال يضم عددا سالبا (‬

‫نتيجة ‪ :‬إذا كان 𝒂 عددا موجبا فان 𝒂 = 𝟐𝒂√‬
‫انتبه‬

‫‪ √(−𝟑)𝟐 = √(𝟑)𝟐 = 3‬ألن ‪(−𝟑)𝟐 = (𝟑)𝟐 :‬‬

‫والنكتب ‪√(−𝟑)𝟐 = -3 :‬‬
‫تطبيق ‪ :‬أكتب جدول الضرب للمربعات الكاملة األصغر من ‪ . 14‬مثال جدول الضرب ‪ 16‬هو‬
‫……… ‪16x10=160 ; 16x9=…. ;16x8=… ; 16x7 =…. ; 16x6 = 96 ; 16x5=80 ; 16x4=64‬‬

‫~ ‪~ 17‬‬

‫العمليات بين الجذور التربيعية‬
‫الضرب ‪ :‬الجذر التربيعى لجداء عددين يساوى جداء الجذرين 𝒃√ × 𝒂√ = 𝒃 × 𝒂√‬
‫𝒂√‬

‫𝒂‬

‫القسمة ‪ :‬الجذر التربيعى لحاصل قسمة عددين يساوى حاصل الجذرين 𝒃√ = 𝒃√‬
‫الجمع و الطرح ‪ :‬الجذر التربيعى لمجموع أو فرق عددين اليساوى مجموع أو فرق الجذرين ‪.‬‬
‫𝒃√‪√𝒂 ∓ 𝒃 ≠ √𝒂 ∓‬‬
‫تطبيق ‪ :‬حول مايلى إلى جذر تربيعى واحد ‪.‬‬
‫𝟓√ × 𝟑√ ; 𝟑√ × 𝟐√ ;‬
‫‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪14‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟐√ × 𝟐√ ; 𝟓√ × 𝟓√ ; 𝟑√ × 𝟗√ ; 𝟐√ × 𝟕√‬

‫; √× √‬

‫√× √‬

‫نتيجة ‪ :‬إذاكان 𝒂 موجبا فان 𝒂 = 𝟐𝒂√ = 𝟐)𝒂√( = 𝒂√ × 𝒂√‬
‫‪√𝟓 × √𝟓=5‬‬

‫مثال‪:‬‬

‫تمارين ص‪ 35‬رقم ‪: 15 ، 14 ، 13‬‬
‫‪√63 × √7 ; √8 × √18‬‬

‫أحسب الجداءات التالية‬
‫‪× √2‬‬

‫‪6‬‬
‫‪11‬‬

‫بسط مايلى‬
‫‪10‬‬
‫‪7‬‬

‫√‬

‫√×‬
‫‪12‬‬
‫‪25‬‬

‫‪√5‬‬
‫×‬
‫‪√14‬‬

‫أحسب مايلى‬

‫‪11‬‬
‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫√‬

‫√ ;‬
‫;‬
‫‪(√5)2‬‬
‫‪√6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫; √ × √ ; ‪6 × √72 × √50‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫√× √ ;‬

‫‪√3× √5‬‬
‫‪√6×√10‬‬

‫;‬

‫‪; 5√2 × 2√2‬‬
‫‪√5‬‬
‫‪3‬‬

‫‪×2‬‬

‫‪√5‬‬
‫‪√6‬‬

‫; ‪; ( )2 ; 3(√2)2‬‬
‫‪(−2√5)2‬‬

‫;‬

‫~ ‪~ 18‬‬

‫‪81‬‬

‫‪1‬‬

‫‪64‬‬

‫‪9‬‬

‫√× ‪;−‬‬

‫‪√18‬‬
‫‪√2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫; √× √‬

‫‪√3‬‬
‫‪√5‬‬

‫‪; −(√7)2‬‬
‫‪√52‬‬
‫‪√62‬‬

‫‪√5‬‬
‫‪(√6)2‬‬

‫; ‪−2(√5)2 ; 3(√6)2‬‬

‫تبسيط الجذر التربيعى‬
‫تبسيط الجذر التربيعى معناه كتابته على شكل 𝒃√𝒂 حيث 𝒂عدد حقيقى ناطق و 𝒃 ليس مربعا كامال‬
‫) 𝑏√ حاف أى ال وجود لجذر تربيعى تام (‬
‫مثال ‪ √8 = √4 × 2= √4 × √2 = 2√2 :‬كتبنا ‪ 8‬على شكل جداء عاملين أحدهما على األقل مربع‬
‫كامل‬
‫‪√45= √9 × 5 = √9 × √5 = 3√5‬‬
‫تطبيق ‪ :‬أكتب األعداد التالية على شكل 𝑏√𝑎 حيث 𝑎 و 𝑏 عددان طبيعيان و 𝑏 أصغر عدد ممكن‬
‫‪√175 :‬‬

‫; ‪; √20‬‬

‫; ‪√18 ; √63‬‬

‫‪2√27‬‬
‫‪3‬‬

‫; ‪√52 × 7 × 22‬‬

‫‪√32 × 10‬‬
‫*(‬

‫‪ a ;b‬عددان حقيقيان موجبان ‪.‬بسط مايلى‬
‫𝑏 ‪; √2𝑎2‬‬

‫𝑏 ‪; √4𝑎2‬‬

‫‪; √52 (𝑎 + 𝑏)2‬‬

‫*( بسط العبارات التالية ‪; A = 3√3 + 4√3 + 5√3:‬‬

‫‪√36𝑎𝑏 2‬‬
‫‪B =−6√2 − 7√2‬‬

‫‪D =√54 − √6 + √24 ; C=9√2 − 14√7 − 4√2 + 21√7‬‬
‫‪√8‬‬

‫‪+ 15‬‬

‫‪8‬‬

‫‪18‬‬

‫‪√75‬‬
‫‪6‬‬

‫‪√3‬‬

‫‪E =3√20 + 4√80 − 3√5 ; F = 5 −‬‬

‫‪72‬‬

‫‪H =6√ 9 + 15√25 − 14√49‬‬

‫~ ‪~ 19‬‬

‫;‬

‫‪G =5√12 − 4√12 − √12‬‬

‫كتابة كسر بمقام ناطق‬
‫كتابة الكسر بمقام ناطق معناه تحويله إلى كسر مقامه خال من الجذر التربيعى ‪.‬‬
‫مرافق عدد حقيقى ‪ :‬مرافق العدد ‪ 1 + √5‬هو ‪ . 1 − √5‬مرافق العدد ‪ −2 + √5‬هو ‪−2 − √5‬‬
‫مرافق العدد ‪ 9 − √2‬هو ‪ . 9 + √2‬مرافق العدد ‪ √5‬هو ‪√5‬‬
‫لتحويل كسر مقامه فيه جذر تربيعى إلى كسر مقامه خال من الجذر التربيعى نضرب البسط و المقام فى‬
‫مرافق المقام ‪.‬‬
‫مثال ‪ :‬نكتب‬
‫نكتب‬

‫‪3‬‬
‫‪√7‬‬

‫‪4‬‬
‫‪2+√7‬‬

‫‪3‬‬

‫بمقام ناطق ‪= √7‬‬
‫‪7‬‬

‫‪3√7‬‬
‫‪7‬‬

‫=‬

‫‪3×√7‬‬
‫‪√7×√7‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬
‫‪√7‬‬

‫بمقام ناطق ‪.‬‬
‫‪8 − 4√7 8 − 4√7‬‬
‫=‬
‫‪4−7‬‬
‫‪−3‬‬

‫=‬

‫)‪4(2 − √7‬‬
‫)‪(2 + √7)(2 − √7‬‬

‫=‬

‫‪4‬‬
‫‪2 + √7‬‬

‫حيث ‪(2 + √7)(2 − √7) = 2(2 − √7) + √7(2 − √7) = 4 − 2√7 + 2√7 − 7 = 4 − 7 :‬‬

‫نكتب‬

‫‪3+√2‬‬
‫‪−4+√2‬‬

‫بمقام ناطق ‪.‬‬

‫‪−14−7√2 −14−7√2‬‬
‫=‬
‫‪16−2‬‬
‫‪14‬‬

‫=‬

‫‪−12−3√2−4√2−2‬‬
‫‪16+4√2−4√2−2‬‬

‫~ ‪~ 20‬‬

‫=‬

‫)‪(3+√2)(−4−√2‬‬
‫)‪(−4+√2)(−4−√2‬‬

‫=‬

‫‪3+√2‬‬
‫‪−4+√2‬‬

‫العبارة الجبرية‬
‫تذكير ‪:‬األولوية فى الحساب تكون لــــ‪ :‬ما بداخل األقواس ثم القوى ثم للضرب أو القسمة حسب التسلسل‬
‫ثم أخيرا للجمع أو الطرح حسب التسلسل‬
‫العبارة الجبرية هى كل سلسلة من العمليات بين أعداد معلومة أو مجهولة ‪.‬‬
‫مثال ‪:‬‬

‫‪3X(5 -7) +4‬‬

‫عبارة جبرية‬

‫‪2 x – (3 x 2 – 1 )X5 – 6‬‬

‫عبارة جبرية‬

‫حساب عبارة جبرية ‪ :‬لحساب عبارة جبرية نطبق األولوية فى الحساب ‪.‬‬
‫ فى حالة عبارة ذات قيم معلومة ‪:‬‬‫‪3X(5 -7) +4 = 3X(-2) +4 =(- 6) + 4 = -2‬‬
‫ فى حالة عبارة ذات قيم مجهولة ‪ :‬نرمز للعبارة ‪ 2 x – (3 x 2 – 1 )X5 – 6‬بالرمز ‪ A‬أى ‪:‬‬‫‪ A =2 x – (3 x 2 – 1)X5 – 6‬ثم يمكن أن نحسب ‪ A‬من أجل أية قيمة للعدد ‪x‬‬
‫مثال ‪ :‬لنحسب ‪ A‬من أجل ‪x = - 4‬‬
‫‪A =2X(-4) - [ 3X(-4)2 – 1 ]X5 – 6 = 2X(-4) - [3X16 – 1 ]X5 – 6 =2X(-4) – (48 – 1 )X5 – 6 =2X(-4) – 47X5 – 6 =(-8) – 235 – 6‬‬
‫)‪= (-8) +(-235)+(-6‬‬
‫‪= -249‬‬

‫تطبيق‬

‫‪ :‬أحسب العبارات الجبرية التالية‬

‫‪; A =(-4 -9 )x3 -6x5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪; C = (3 - ).( + ) ;B = - 4x + 3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪D = 10 – ( + )X6‬‬

‫تطبيق ‪ :‬أحسب العبارات الجبرية التالية من أجل ‪x = 2‬‬
‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪D = ( X - ).( + X) ; C = 10X – ( + X)X6 ; B = ( - 4 – 9X )X13 – 6X ; A = X- 4X + 3X‬‬
‫‪+ X ) X6‬‬

‫‪4‬‬
‫‪7‬‬

‫( – ‪G = 10X‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫; )‪H = ( X - 5).( 4 +2X‬‬

‫~ ‪~ 21‬‬

‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫; ‪E = (X – 9 )X3 -6X ; F = 2X2 6X + 3‬‬

‫عبارة المجموع الجبرى و عبارة الجداء‬

‫‪:‬‬

‫نتعرف على عبارة أنها مجموع جبرى إذا كان آخر عملية حسابية فيها قبل كتابة النتيجة هى الجمع أو الطرح ‪.‬‬
‫نتعرف على عبارة أنها جداء إذا كان آخر حساب فيها قبل كتابة النتيجة هي الضرب ‪.‬‬
‫مثال ‪13X5 - 9X6 :‬‬
‫) ‪3X(5 – 7‬‬
‫‪3X5 – 7‬‬

‫مجموع جبرى بتكون من حدين هما )‪ (13X5‬و )‪(9X6‬‬

‫جداء يتكون من عاملين هما ‪ 3 :‬و )‪(5-7‬‬
‫مجموع جبرى يتكون من حدين هما ‪ 3X5‬و ‪7‬‬

‫‪ 3X.( X – 1 ) +5 X2‬مجموع جبرى يتكون من حدين هما ‪ 3X.( X – 1 ) :‬و ‪5 X2‬‬
‫مالحظة ‪ :‬يفصل بين كل حدين عملية الجمع أو الطرح ــــــــــــــــــــــ يفصل بين كل عاملين عملية الضرب‬
‫أى ‪ :‬المجموع الجبرى هو سلسلة من عمليات جمع أو طرح ــــــــــــــ الجداء هو سلسلة من عمليات الضرب‬
‫تطبيق ‪ :‬أذكر العبارات التي لها شكل مجموع جبري و التي لها شكل جداء ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪16x(7 – 5) ; 16x7 – 5 ; (3 – 5x).(7 – x2 ) ; 3 – 5x .(7 – x2 ) ; 7.( 9 - 𝑥) ; 7 – (9 - 𝑥) ; 6 – 4.(5 + 9) ; 3.(5 – x) – 7‬‬
‫تطبيق ‪ :‬أذكرفى كل حالة شكل العبارة الجبرية و احسبها من أجل ‪X = -2‬‬

‫)‪F= (x -1).x2 -5 ; E= x – (x2 – 5) ; D = (x-1 ).( x2 – 5) ; C = (5 -3x) + 7 ; B = (5 -3x)x4 ; A = 5 – (3x -4‬‬

‫~ ‪~ 22‬‬

‫التحليل‬
‫التحليل هوتحويل جمع مكرر إلى جداء ‪ :‬أى هو تحويل مجموع جبرى إلى جداء‪.‬‬

‫قاعدة ‪ :‬لتحليل مجموع جبرى نستخرج القيمة المكررة المشتركة بين الحدود و نكتبها خارج القوسين من‬
‫اليمين أو اليسار مضروبة فيما تبقى من الحدود ‪.‬‬
‫مثال ‪3 + 3 + 3 + 3=4x3 :‬‬
‫جداء‬

‫;‬

‫جمع مكرر‬

‫‪7x3 -5x3 + 2x3 = (7 -5 +2)x3 = 4x3‬‬
‫جداء‬

‫جداء مبسط‬

‫مجموع جبرى‬

‫مالحظة ‪ :‬تبسيط جداء معناه تبسيط عوامله مع الحفاظ على شكل الجداء ‪.‬‬
‫مثال ‪ :‬الحظ المجموع الجبرى ‪ 2x4 – 5x4 – 7x 4‬الذى فيه ثالثة حدود ‪.‬وكل حد يكرر القيمة ‪. 4‬أى هذه الحدود‬
‫متشابهة ومنه‪:‬‬
‫)‪ 2x4 – 5x4 -7x4 =4x(2-5-7)=4x(-10‬أو ‪2x4 – 5x4 -7x4 = (2-5-7)x4= (-10)x4‬‬
‫جداء‬

‫جداء مبسط‬

‫جداء مبسط‬

‫مجموع جبرى‬

‫جداء‬

‫مجموع جبرى‬

‫مثال ‪ :‬لنأخذ القيمة ‪ x‬و نكررها ‪ 4‬مرات جمعا و بالشكل الموجب و ‪ 5‬مرات بالشكل السالب و‪ 7‬مرات بالشكل‬
‫الموجب فنحصل على ‪ :‬مجموع جبرى ‪ 4x -5x +7x‬أو على جداء ‪ (4 -5 +7 )×x‬أو ) ‪x ×(4 – 5 +7‬‬
‫أى ‪:‬‬

‫‪4x -5x +7x = (4 -5 +7 )×x = 6x‬‬
‫جداء مبسط‬

‫مجموع جبرى‬

‫جداء‬

‫مثال ‪ : :‬لنأخذ القيمة )‪ ( x–3‬و نكررها ‪ 4‬مرات جمعا و بالشكل الموجب و ‪ 5‬مرات بالشكل السالب و‪ 7‬مرات بالشكل‬
‫الموجب فنحصل على ‪ :‬مجموع جبرى )‪ 4(x–3) – 5(x–3) +7.(x–3‬أو على جداء )‪(4 - 5 +7 )×(x-3‬‬
‫أو ) ‪(x-3) ×(4 – 5 +7‬‬
‫أى ‪4(x-3) – 5(x-3) +7.(x-3) = (4 - 5 +7)×(x- 3)= 6.(x - 3) :‬‬
‫جداء مبسط‬

‫مجموع جبرى‬

‫جداء‬

‫مثال ‪ :‬لنأخذ القيمة )‪ ( x-3‬و نكررها بالجمع ‪ 2 x‬مرة و بالشكل الموجب و ‪ 4‬مرات بالشكل السالب فنحصل على ‪:‬‬
‫مجموع جبرى )‪ 2x.(x-3) – 4(x-3‬أو على جداء )‪ (2x - 4)×(x-3‬أو )‪(x-3) ×(2x – 4‬‬
‫أى ‪2x.(x-3) - 4(x-3) =(x-3) ×(2x – 4) :‬‬
‫جداء مبسط‬

‫مجموع جبرى‬
‫~ ‪~ 23‬‬

‫مثال ‪ :‬حلل‪ :‬معناه حول مجموع جبرى إلى جداء‬
‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫] ) ‪3x.(x - ) – ( 7 +x )( x - ) – ( x - )2 = ( x - ).[ 3x – ( 7 +x ) – ( x -‬‬
‫استخراج العامل المشترك‬
‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪=( x - ).( 3x –7 - x –x +‬‬
‫نزع األقواس الداخلية‬
‫تبسيط الجداء‬

‫‪13‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫‪=( x - ).( x -‬‬

‫مالحظة ‪ :‬إذا كانت القيمة المكررة المشتركة خفية أى غير ظاهرة ‪ ،‬علينا إظهارها‬
‫مثال‪15 – 21 +18 = 3x5 -3x7 +3x6 = 3x(5 -7 +6) = 3x4 :‬‬
‫جداء مبسط استخراج العامل المشترك‬

‫إظهار العامل المشترك‬

‫المجموع الجبرى‬

‫مثال ‪15x 21x +18xy = 3x5x.x – 3x7x + 3x6xy = 3x.(5x – 7 + 6y) :‬‬
‫استخراج العامل المشترك‬

‫إظهار العامل المشترك‬

‫المجموع الجبرى‬

‫مثال ‪(12x – 4) – (x + 5)(3x -1) = 4.(3x – 1) – (x +5)(3x – 1) :‬‬
‫])‪= (3x -1).[4 – (x+5‬‬
‫)‪=(3x - 1)(4 – x - 5‬‬
‫)‪=(3x - 1)( -1 – x‬‬
‫تطبيق ‪ :‬حلل المجاميع التالية‬
‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪5.(x - ) – (3x - 2)(x - ) ; 6x2 – 24xy ; (2x -1)2 – 7.(2x – 1) ; 5.(3x -7) – (3x -7‬‬
‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫)‪x(x – 1) – (x – 1) ; (6x + 1) – (6x +1)2 ; x2 – 5x2 ; (x – 2)(x + 3) - (x +3‬‬

‫~ ‪~ 24‬‬

‫تحليل المجاميع الجبرية الخاصة ‪:‬‬
‫المجاميع الجبرية الخاصة هى مجاميع ناتجة من نشر الجداءات الشهيرة أى من نشر الجداءات الخاصة ‪.‬‬
‫و الجداءات الخاصة أنواع ‪:‬مربع مجموع ‪ -‬مربع فرق ‪ -‬جداء مرافقين ‪ .‬و منه المجاميع الحبرية الخاصة أنواع ‪:‬‬
‫مجموع جبرى ناتج من مربع مجموع ‪ :‬و نتعرف عليه باحتوائه على ثالثة حدود ‪ ،‬منها حدان على شكل‬
‫مربع كامل و الحد الثالث هو ضعف جداء جذرى المربعين الكاملين و بشكل موجب ‪.‬‬
‫مثال ‪ x2 +8x + 16 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه ثالثة حدود و هى ‪:‬‬
‫‪ X2‬ناتج من مربع ‪x‬‬
‫‪ 16‬ناتج من مربع ‪4‬‬
‫‪ 8x‬هو ضعف الجداء ‪ 4x‬و بشكل موجب‬
‫إذن ‪ x2 +8x + 16‬ناتج من مربع المجموع )‪ (x +4‬أى ‪x2 +8x + 16 = (x +4)2 :‬‬
‫مثال ‪ 9x2 +24x + 16 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه ثالثة حدود و هى ‪:‬‬
‫مربع كامل‬

‫مربع كامل‬

‫‪ 9x2‬ناتج من مربع ‪3x‬‬
‫‪ 16‬ناتج من مربع ‪4‬‬
‫‪ 24x‬هو ضعف الجداء )‪ (3x)(4‬و بشكل موجب‬
‫إذن ‪ 9x2 +24x + 16‬ناتج من مربع المجموع )‪ (3x +4‬أى ‪9x2 +24x + 16 = (3x + 4)2 :‬‬
‫مثال ‪:‬‬
‫‪16 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬
‫‪9‬‬

‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x+‬‬

‫‪4‬‬

‫ناتج من مربع ‪x‬‬

‫‪5‬‬

‫ناتج من مربع‬

‫‪4‬‬

‫‪+‬‬

‫‪16 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬

‫هو مجموع جبرى خاص ألن فيه ثالثة حدود و هى ‪:‬‬

‫‪3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫هو ضعف الجداء ) ()‪ ( x‬بشكل موجب‬
‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪16 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫ناتج من مربع المجموع ) ‪ ( x+‬أى‬

‫~ ‪~ 25‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x + = ( x+ )2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪16 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬

‫مجموع جبرى ناتج من مربع فرق ‪ :‬و نتعرف عليه باحتوائه على ثالثة حدود ‪ ،‬منها حدان على شكل مربع‬
‫كامل و الحد الثالث هو ضعف جداء جذرى المربعين الكاملين و بشكل سالب ‪.‬‬
‫مثال ‪ x2 - 8x + 16 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه ثالثة حدود و هى ‪:‬‬
‫‪ X2‬ناتج من مربع ‪x‬‬
‫‪ 16‬ناتج من مربع ‪4‬‬
‫‪ -8x‬هو ضعف الجداء ‪ 4x‬و بشكل سالب‬
‫‪x2 - 8x + 16 = (x - 4)2‬‬

‫إذن ‪ x2 - 8x + 16‬ناتج من مربع الفرق )‪ (x - 4‬أى‬

‫مثال ‪ 9x2 - 24x + 16 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه ثالثة حدود و هى ‪:‬‬
‫مربع كامل‬

‫مربع كامل‬

‫‪ 9x2‬ناتج من مربع ‪3x‬‬
‫‪ 16‬ناتج من مربع ‪4‬‬
‫‪ - 24x‬هو ضعف الجداء )‪ (3x)(4‬و بشكل سالب‬
‫إذن ‪ 9x2 - 24x + 16‬ناتج من مربع الفرق )‪ (3x - 4‬أى ‪9 x2 - 24x + 16 = (3x - 4)2 :‬‬
‫مثال ‪:‬‬
‫‪16 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬
‫‪9‬‬

‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x+‬‬

‫‪4‬‬

‫ناتج من مربع ‪x‬‬

‫‪5‬‬

‫ناتج من مربع‬

‫‪4‬‬

‫‪-‬‬

‫‪16 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬

‫هو مجموع جبرى خاص ألن فيه ثالثة حدود و هى ‪:‬‬

‫‪3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫ هو ضعف الجداء ) ()‪ ( x‬بشكل سالب‬‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪16 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫ناتج من مربع الفرق ) ‪ ( x-‬أى‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x + = ( x- )2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪16 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬

‫مثال ‪ 2x2 - 6√2x + 9 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه ثالثة حدود و هى ‪:‬‬
‫‪ 2x2‬ناتج من مربع ‪ 9 ; √2x‬ناتج من مربع ‪ -6√2x ; 3‬هو ضعف الجداء )‪ (√2x)(3‬و بشكل سالب‬
‫إذن ‪ 2x2 - 6√2x + 9 :‬ناتج من مربع الفرق )‪ (√2 x – 3‬أو مربع الفرق )‪(3 - √2x‬‬
‫أى ‪ 2x2 - 6√2x + 9 =(3 - √2x)2 :‬أو ‪2x2 - 6√2x + 9 =(√2 x – 3)2‬‬

‫~ ‪~ 26‬‬

‫مجموع جبرى ناتج من جداء مرافقين‬

‫‪ :‬ونتعرف عليه باحتوائه على حدين فقط وكل منهما مربع كامل ‪.‬‬

‫مثال ‪ x2 - 16 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه حدين فقط و هما ‪:‬‬
‫مربع كامل‬

‫مربع كامل‬

‫‪ X2‬ناتج من مربع ‪x‬‬

‫; ‪ 16‬ناتج من ملربع ‪4‬‬

‫إذن ‪ x2 - 16‬ناتج من جداء المرافقين )‪ (x -4‬و )‪ (x +4‬أى )‪x2 - 16 = (x – 4)(x +4‬‬
‫مثال ‪ 9x2 - 16 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه حدين فقط و هما ‪:‬‬
‫مربع كامل‬

‫مربع كامل‬

‫‪ 9X2‬ناتج من مربع ‪3x‬‬

‫; ‪ 16‬ناتج من ملربع ‪4‬‬

‫إذن ‪ 9x2 - 16‬ناتج من جداء المرافقين )‪ (3x -4‬و )‪ (3x +4‬أى )‪9x2 - 16 = (3x – 4)(3x +4‬‬
‫مثال ‪ 9x2 - 3 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه حدين فقط و هما‬
‫مربع كامل‬

‫مربع كامل‬

‫‪ 9X2‬ناتج من مربع ‪3x‬‬

‫; ‪ 3‬ناتج من مربع ‪√3‬‬

‫إذن ‪ 9x2 - 3‬ناتج من جداء المرافقين )‪ (3x -√3‬و )‪ (3x +√3‬أى )‪9x2 - 3 = (3x – √3)(3x +√3‬‬
‫مثال ‪ (3x -5)2 - 16 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه حدين فقط و هما ‪:‬‬
‫مربع كامل‬

‫مربع كامل‬

‫; ‪ 16‬ناتج من مربع ‪4‬‬

‫‪ (3x -5)2‬ناتج من مربع )‪(3x- 5‬‬

‫إذن ‪ (3x -5)2 - 16‬ناتج من جداء المرافقين ]‪ ] (3x -5)+ 4‬و ]‪] (3x -5)- 4‬‬
‫أى‬

‫)‪(3x -5)2 -16 = [(3x- 5) -4]× [(3x – 5) +4]= (3x- 5 - 4) (3x- 5 + 4‬‬
‫)‪= (3x – 9)(3x – 1‬‬

‫جداء مبسط‬

‫‪2‬‬

‫مثال ‪ (3x – 5)2 – ( x +4)2 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه حدين و هما مربعين كاملين‬
‫‪5‬‬

‫‪ (3x – 5)2‬ناتج من مربع )‪(3x – 5‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ ( x +4)2‬ناتج من مربع )‪( x +4‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫إذن ‪ (3x – 5)2 – ( x +4)2 :‬ناتج من جداء المرافقين ] )‪ [ (3x – 5) – ( x +4‬و ])‪[ (3x – 5) + ( x +4‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫] )‪(3x – 5)2 – ( x +4)2 = [ (3x – 5) – ( x +4) ]× [ (3x – 5) + ( x +4‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫)‪= (3x – 5 – x - 4) × (3x – 5 + x +4‬‬
‫‪17‬‬

‫‪13‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪=( x – 9)( x – 1‬‬
‫~ ‪~ 27‬‬

‫نزع األقواس الداخلية‬
‫جداء مبسط‬


Documents similaires


Fichier PDF exercices des entiers amicaux maths seconde 1007
Fichier PDF exercices diviseurs en commun maths troisieme 955
Fichier PDF ent pgcd
Fichier PDF exercices arithmetique et affirmations maths troisieme 954
Fichier PDF exo maths
Fichier PDF fiesta short shift guide


Sur le même sujet..