الطريق إلـــــــى التحليل و الحساب المستوى المتوسط (1) .pdf



Nom original: الطريق إلـــــــى التحليل و الحساب -المستوى المتوسط- (1).pdfAuteur: SWEET

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par Conv2pdf.com, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 14/05/2016 à 17:08, depuis l'adresse IP 41.111.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 794 fois.
Taille du document: 1.4 Mo (27 pages).
Confidentialité: fichier public

Aperçu du document


‫الجمع المكرر و الجداء‬
‫*جمع العدد ‪ 3‬مكررا ‪ 4‬مرات و بالشكل الموجب يكتب على شكل مجموع ‪ ) 3+3+3+3:‬و هو شكل فيه عملية جمع فقط (‬

‫‪..‬أو على شكل جداء ‪ 3x4 :‬أو ‪4x3‬‬

‫) و هو شكل فيه عملية ضرب فقط (‬

‫*جمع العدد ‪ 3‬مكررا ‪ 4‬مرات و بالشكل السالب يكتب على شكل مجموع ‪ -3-3-3-3 :‬أو )‪(-3)+(-3)+(-3)+(-3‬‬

‫‪..‬أو على شكل جداء ‪ (-3)x4:‬أو )‪ 4x(-3‬أو ‪(-4)x3‬‬
‫*جمع العدد ‪ 3‬مرة واحدة و بالشكل الموجب يكتب على شكل مجموع ‪ +3 :‬أو ‪3‬‬
‫‪..‬أو على شكل جداء ‪ 3x1 :‬أو ‪1x3‬‬

‫*جمع العدد ‪ x‬مكررا ‪ 4‬مرات و بالشكل الموجب يكتب على شكل مجموع ‪:‬‬
‫‪..‬أو على شكل جداء ‪:‬‬

‫‪ 4xx‬أو‬

‫*جمع العدد ‪ x‬مكررا ‪ 4‬مرات و بالشكل السالب يكتب على شكل مجموع‬
‫‪..‬أو على شكل جداء ‪:‬‬

‫‪x + x + x +x‬‬

‫باختصار‬

‫‪ 4. x‬أو ‪4x‬‬

‫)‪(- x) + (-x) +(- x) +(-x‬‬
‫أو ‪–x – x – x – x‬‬

‫)‪ 4.(– x‬أو ‪(– 4).x‬‬

‫باختصار‬

‫‪– 4x‬‬

‫*جمع العدد ‪ x‬مرة واحدة و بالشكل الموجب يكتب على شكل مجموع ‪x :‬‬
‫‪..‬أو على شكل جداء ‪ xx1 :‬أو ‪1xx‬‬

‫*جمع العدد ‪ x‬مرة واحدة و بالشكل السالب يكتب على شكل مجموع ‪- x :‬‬
‫‪..‬أو على شكل جداء ‪ (-x)x1 :‬أو ‪ (-1)xx‬أو )‪ 1x(-x‬أو ‪1.x‬‬
‫نتائج ‪:‬‬

‫‪1. x =x‬‬

‫‪(-1). x = - x‬‬

‫;‬

‫تطبيق ‪ :‬حول الجداءات التالية إلى جمع مكرر‬

‫;‬

‫‪0xx =0‬‬

‫‪-2x2 ; -4x ;3x2 ;(-4)x3 ; 3x2 ; 4x5‬‬

‫تطبيق ‪ :‬حول المجاميع التالية إلى جداءات‪:‬‬

‫‪–x3 – x3 – x3 ; x2 +x2 ; 3x +2x ; x+x+x ; – x – x – x ; x+ x ; –5 –5 ; 4 +4‬‬

‫~‪~1‬‬

‫المجموع الجبرى‬
‫كل سلسلة من عمليات جمع أو طرح بين جموع مكررة تسمى مجموع جبرى ‪ .‬وكل جمع مكرر فى السلسلة يسمى حد‬
‫مثال ‪ 9 – 3 x 5 + 4 x 6 + 8 - 7 :‬مجموع جبري ‪ .‬حدوده هي ‪ 9 :‬و ‪ 3 x 5‬و ‪ 4 x 6‬و ‪ 8‬و ‪7‬‬

‫مالحظة ‪ :‬يفصل بين كل حدين عملية الجمع أو الطرح‬
‫‪.......‬مجموع جبري ‪ ،‬حدوده هى ‪ 3x2 :‬و ‪ 5x‬و ‪ 2x‬و ‪ 5x2‬و ‪7‬‬

‫مثال ‪3x2 + 5x +2x – 5x2 – 7 :‬‬

‫الحدان المتشابهان‪:‬‬
‫مثال ‪:‬‬

‫الحدان المتشابهان فى المجموع الجبرى هما حدان لهما نفس القيمة‬
‫كذالك‪:‬‬

‫‪ 5x‬و ‪ 2x‬متشابهان‬

‫كذالك‪:‬‬

‫‪ 6‬و ‪ 7‬متشابهان‬

‫المكررة(يكرران نفس القيمة)‬

‫‪ – 5x2‬و ‪ 3x2‬متشابهان‬

‫مجموع حدين متشابهين ‪ :‬مجمو ع حدين متشابهين يساوى حد يشبههما و تكراره هو مجموع التكرارين‬
‫) أي مجموع المعاملين(‬
‫مثال ‪3x2 + 2x2 = 5x2 :‬‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟗𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫= 𝟐𝒙 ‪𝒙𝟐 +‬‬

‫𝟕‬
‫𝟐‬

‫‪7x3 – 8x3 = - 1x3 = - x3 ; -7x3 – 6x3 = -13x3 ; 3x2 - 2x2 = 1.x2 = x2‬‬

‫;‬

‫) استعمل الحاسبة‪ ( 7 ab/c 2 + 5 ab/c 4= 19/4 ) :‬و إذا لم تظهر النتيجة ننقر على‬
‫‪shift‬‬

‫ثم على ‪ab/c‬‬

‫مالحظة ‪ :‬ال يمكن جمع حدين غير متشابهين ‪.‬‬
‫جداء حدين متشابهين أو غير متشابهين ‪:‬‬

‫جداء حدين متشابهين أو غير متشابهين هو حد تكراره هو جداء التكرارين و قيمته المكررة هي‬
‫جداء القيمتين المكررتين ‪.‬‬
‫; ‪3x2x(-2)x3 =- 6x5‬‬

‫مثال ‪3x2 x 2x2 = 6x4 :‬‬

‫تطبيق ‪ :‬أحسب مايلى ) يمكن استعمال الحاسبة و خاصة في الكسور (‬
‫‪8x3 – 6x3 ; 6x2 – 9x2‬‬
‫‪𝑥 − 6𝑥 ; 4x2 – 5x2‬‬

‫‪6‬‬
‫‪5‬‬

‫‪𝑥 2 + 4𝑥 2‬‬

‫;‬
‫; 𝒙‬

‫𝟔𝟏‬
‫𝟒𝟏‬

‫‪𝒙−‬‬

‫‪6‬‬
‫‪5‬‬

‫;‬

‫𝟖‬
‫𝟕‬

‫~‪~2‬‬

‫𝒙‬

‫𝟏‬
‫𝟑‬

‫‪𝒙−‬‬

‫𝟐‬
‫𝟓‬

‫;‬

‫‪2‬‬

‫𝑥 ‪7x× 4‬‬

‫;‬

‫‪10x × 7𝑥 2 ; 9x × 7‬‬

‫تبسيط مجموع جبرى‬
‫تبسيط مجموع جبرى معناه كتابته بأقل عدد ممكن من الحدود عن طريق جمع الحدود المتشابهة ‪.‬‬
‫مثال ‪ :‬نبسط المجموع الجبرى ‪3x2 – 4x3 + x2 – 7 + 4 :‬‬
‫الحظ أن ‪ 3x2 :‬و ‪ x2‬متشابهان ‪ -7 .‬و‪ 4‬متشابهان ‪ .‬الحد ‪ – 4x3‬ليس له شبيه‪.‬‬
‫إذن ‪:‬‬
‫حيث ‪:‬‬

‫‪3x2 – 4x3 + x2 – 7 + 4 = - 4x3 +4x2 – 3‬‬
‫‪3x2 + x2 =4x2‬‬

‫و‬

‫‪-7 +4 = -3‬‬

‫تطبيق ‪ :‬بسط المجاميع الجبرية التالية‬
‫‪; 9 − 8𝑥 + 𝑥 2‬‬

‫‪; 2x2 – 7x +5 –x‬‬
‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫𝑥‪7 + 𝑥 − 6‬‬
‫‪2‬‬

‫‪6 − 𝑥 2 − 2𝑥 3 + 𝑥 2 − 7‬‬
‫تبسيط مجموع جبرى فيه أقواس‬

‫تبسيط مجموع جبرى فيه أقواس معناه كتابته بدون أقواس و بأقل عدد ممكن من الحدود‬
‫قاعدة حذف )نزع ( األقواس ‪ :‬نزع األقواس معناه كتابة المجموع الجبرى بدون اقواس ‪.‬‬
‫‪ ‬حذف قوسين من مجموع جبرى يؤدى إلى تغيير إشارات الحدود التى كانت بين‬
‫القوسين إذا كانت اإلشارة السالبة تسبق القوسين ) أي الحدود المكررة بالشكل‬
‫الموجب تصبح مكررة بشكل سالب و الحدود المكررة بالشكل السالب تصبح‬
‫مكررة بشكل موجب (‬
‫‪ ‬حذف قوسين من مجموع جبرى يحافظ على إشارات الحدود التى كانت بين‬
‫قوسين إذا كانت اإلشارة الموجبة تسبق القوسين ) أي الحدود المكررة بالشكل‬
‫الموجب تبقى مكررة بالشكل الموجب و الحدود المكررة بالشكل السالب تبقى‬
‫مكررة بالشكل السالب (‬

‫مثال ‪ :‬لنبسط المجموع الجبرى التالى الذى فيه أقواس ‪(3x – 4) – (7x2 – x + 5) :‬‬
‫أي نعيد كتابته بدون أقواس ثم نبسط الناتج ‪.‬‬
‫‪(3x – 4) – (7x2 – x + 5)= 3x – 4 – 7x + x – 5‬‬
‫‪ ...................‬التبسيط‬
‫‪= - 7x + 4x – 9‬‬

‫‪.......‬نزع األقواس ‪.‬‬

‫مالحظة‪ - :‬عندما ال تسبق القوسين أية إشارة معناه هذه اإلشارة موجبة ‪.‬‬
‫ لتبسيط مجموع جبري فيه أقواس نبسط ما بداخل األقواس ثم نحذف األقواس و‬‫نواصل التبسيط أو نحذف األقواس ثم نبسط ‪.‬‬
‫~‪~3‬‬

‫تبسيط مجموع جبرى فيه أقواس مضاعفة( فيه أقواس صغيرة و أقواس كبيرة ) ‪:‬‬
‫لتبسيط مجموع جبرى فيه أقواس مضاعفة نبدأ بحذف األقواس الصغيرة ثم األقواس الكبيرة )‬
‫مثال ‪3X - [2X – (6X +5 ) – 9 ] =3X - [2X -6X -5 -9]:‬‬
‫‪=3X -2X +6X +5 +9‬‬
‫‪=7X +14‬‬
‫مالحظة ‪ :‬يمكن أن نبدأ باألقواس الكبيرة ثم الصغيرة و لكن حذار من الخطأ‬
‫‪3X - [2X – (6X +5 ) – 9 ]=3X – 2X + (6X +5 ) +9‬‬
‫‪=3X – 2X + 6X +5 +9‬‬
‫‪=7X + 14‬‬
‫تطبيق ‪ :‬بسط المجاميع الجبرية التالية‬
‫‪9 – (6X – 7 )+ 5‬‬

‫;‬

‫]) ‪X – [6 – (X + 5 ) – (X – 3‬‬
‫) ‪2X2 – (5 + 4X‬‬

‫;‬

‫~‪~4‬‬

‫] ‪9 – [(6X – 7 ) + 5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬

‫;‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫])‪+ [8 – (6 – 2X‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬

‫]) ‪[(2X – 2 ) – 6] + [3 – (X + 4‬‬

‫القسمة اإلقليدية‬
‫للتعبير عن قسمة ‪ 27‬على ‪ 4‬نكتب القسمة على شكل كسر‬

‫‪27‬‬
‫‪4‬‬

‫أو على شكل ‪27 4‬‬

‫أو على شكل مساوة ‪. 27 = 4 × 6+3 :‬‬
‫حيث ‪ 6 :‬هو حاصل القسمة و ‪ 4‬هو القاسم و ‪ 3‬هو باقى القسمة و العدد ‪ 27‬هو المقسوم ‪.‬‬
‫هذه القسمة تسمى القسمة اإلقليدية ‪.‬‬
‫إلجراء هذه القسمة بالحاسبة ننقر) من اليسار إلى اليمين ( على مايلى ‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫ق‬

‫‪27 ab/c 4 = 6 3‬‬

‫‪.‬‬

‫ب ح‬

‫و الذى يعنى أن قسمة ‪ 27‬على ‪ 4‬يعطى الحاصل ‪ 6‬و الباقي ‪ 3‬و ‪ 4‬هو القاسم ‪.‬‬
‫إذا كان مقام الكسر األخير ليس القاسم الذى اخترناه وجب تحويل هذا الكسر إلى كسر مقامه هو‬
‫القاسم المختار و إال فإن الباقى الذى ظهر خاطىء ‪.‬‬

‫تطبيق ‪ :‬باستعمال الحاسبة قم بالعمليات التالية واكتب المساواة التي تعبر عن كل قسمة ‪.‬‬
‫‪28 4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪45 6‬‬

‫‪76‬‬

‫‪4‬‬

‫‪215‬‬

‫‪213 24‬‬
‫‪8,875‬‬

‫الباقى هو الفرق بين المقسوم و)جداء القاسم فى الجزء الصحيح للحاصل( ‪ ) R =213 – 8 × 24‬الباقي(‬
‫مالحظة‪:‬‬

‫ليس كل مساواة تعبر عن القسمة اإلقليدية ‪:‬‬

‫مثال ‪ 56 = 9 × 5 + 11 :‬مساواة صحيحة و لكنها ال تعبر عن القسمة اإلقليدية ألن قسمة‬
‫‪ 56‬على ‪ 9‬ال يعطى الحاصل ‪ 5‬و ال الباقي ‪ . 11‬و الحظ أن الباقي أكبر من الحاصل و هذا‬
‫مستحيل في القسمة اإلقليدية ‪.‬‬
‫مالحظة ‪ :‬عملية القسمة نحل بها معادالت بسيطة فيها عملية الضرب ‪ [ .‬أى كل معادلة بسيطة فيها‬
‫ضرب حلها يكون بالقسمة ]‬
‫مثال ‪ :‬حل المعادلة ‪:‬‬
‫الجواب هو ‪ . 2‬كيف ؟‬

‫‪. 13 × 𝑥 = 26‬أى ماهو العدد الذى إذا ضرب بالعدد ‪ 13‬نتحصل على ‪ 26‬؟‬

‫ألن حل هذه المعادلة هو ‪= 2 :‬‬

‫‪26‬‬
‫‪13‬‬

‫=𝑥‬

‫~‪~5‬‬

‫مرحلة إيجاد‪x +3 :‬‬

‫حل بعض المعادالت بالمراحل‪:‬‬
‫حل المعادلة ‪ 12× (x+3) = 48‬يمر بمرحلتين‬

‫مرحلة إيجاد ‪ :‬قيمة ‪x‬‬
‫من المعادلة ‪ 12× (x+3) = 48‬نستنتج أن‬

‫‪48‬‬
‫‪12‬‬

‫= ‪x +3‬‬
‫مرحلة أولى‬

‫أي‪:‬‬

‫‪x +3 = 4‬‬

‫ومنه ‪x = 4 – 3‬‬
‫مرحلة ثانية)مرحلة إيجاد الحل(‬
‫أي ‪:‬‬
‫إذن العدد ‪ 1‬هو حل للمعادلة ‪. 12 (x+3) = 48‬‬

‫~‪~6‬‬

‫‪x =1‬‬

‫القسمة التامة و القسمة الغير تامة‬
‫نقول عن قسمة إقليدية أنها تامة إذا كان باقيها معدوما ‪.‬‬
‫مثال ‪ :‬قسمة ‪ 28‬على ‪ 4‬قسمة تامة ألن الباقى معدوم ‪ .‬و فى هذه الحالة نقول ‪:‬‬
‫‪ 28‬يقبل القسمة على ‪ 4‬أو‬
‫‪ 4‬يـقـســم العــد د ‪28‬‬

‫أو‬

‫‪ 28‬مــضــاعــــف ‪4‬‬

‫أو نقول ‪:‬‬

‫‪ 4‬قاسم للعدد ‪28‬‬

‫و المساواة التى تترجم هذه القسمة هى ‪ 28 = 4 × 7:‬و تسمى مساواة تامة‬
‫نتيجة ‪ :‬كل مساواة تامة يمكن أن نستخرج منها قسمتين تامتين‬
‫مثال ‪ 28 = 4 × 7 :‬هى مساواة تامة ‪ .‬يمكن أن نستخرج منها قسمتين تامتين هما ‪:‬‬
‫‪28 4‬‬

‫‪28 7‬‬

‫&‬

‫‪ 4‬قاسم للعدد ‪ 28‬أو ‪ 28‬مضاعف ‪4‬‬
‫أى فى المساواة التامة ‪28 = 4 × 7‬‬

‫لدينا‬
‫‪ 7‬قاسم للعدد ‪ 28‬أو ‪ 28‬مضاعف ‪7‬‬

‫مالحظة ‪ :‬فى حالة القسمة التامة ‪ ،‬الحاسبة ال تعطى النتيجة بالرمز‬
‫كاملة بدون عالمة الكسر ‪.‬‬

‫بل تعطى النتيجة‬

‫تحويل قسمة غير تامة إلى قسمة تامة [أى تحويل مساواة غير تامة إلى مساواة تامة ]‬
‫*‬

‫نعلم أن القسمة اإلقليدية للعدد ‪ 49‬على ‪ 5‬غير تامة ألنها تعطى الباقى ‪ 4‬غير معدوم ‪.‬‬
‫ولكن الفرق بين المقسوم و الباقي ) ‪ (49 – 4‬يعطى قسمة تامة على ‪. 5‬‬

‫نتيجة ‪ :‬إذا كان لدينا قسمة إقليدية غير تامة فإن الفرق بين المقسوم و الباقي يعطى قسمة تامة‬
‫على نفس القاسم‬
‫مثال ‪ :‬المساواة ‪ 49 = 5 x 9 + 4‬غير تامة ‪ .‬و لكن الفرق بين المقسوم و الباقى يعطى‬
‫‪45 = 5 x 9‬‬
‫قسمة تامة أى ‪ 49 – 4 = 5 x 9 :‬أو‬
‫تطبيق ‪ :‬بعد تحويل كل مساواة إلى مساواة تامة جد قيمة ‪ x‬فى كل حالة ‪:‬‬
‫‪24 = 5 x + 4‬‬

‫;‬

‫‪215 = 3 x + 2‬‬

‫~‪~7‬‬

‫;‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪= 2 x + 10‬‬
‫‪4‬‬

‫قواسم عدد طبيعي‬
‫إليجاد مجموعة قواسم عدد طبيعى نكتب هذا العدد على شكل مساواة تامة بقسمته على ‪ 1‬ثم‬
‫على ‪ 2‬ثم على ‪ 3‬ثم ‪...............‬بحيث كل مساواة تامة تعطى قاسمين نضعهما فى جانبين‬
‫مختلفين داخل المجموعة إلى أن تنغلق المجموعة ‪.‬‬
‫مثال ‪ :‬لنبحث عن قواسم العدد ‪ 8‬أى‬

‫‪( les diviseurs de 8 ) D8‬‬

‫لدينا ??? ×‪8= 1×8 ; 8= 2× 4 ; 8=3‬‬
‫;‬

‫‪4 ; 8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫;‬

‫=‪D8‬‬

‫لنبحث عن قواسم العدد ‪ 36‬أى ‪D36‬‬
‫لدينا‬

‫?×‪36 = 1 × 36 ; 36 = 2× 18 ; 36 =3× 12 ; 36 = 4 × 9 ; 36 =6× 6 ; 36 =7‬‬

‫‪4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36‬‬
‫تطبيق ‪ :‬جـــــــــد ‪D10‬‬

‫;‬

‫‪D6‬‬

‫;‬

‫‪D12‬‬

‫;‬

‫; ‪D36 = 1 ; 2 ; 3‬‬

‫‪D14 ; D9 ; D7 ; D15‬‬

‫; ‪D5‬‬

‫تمارين – كتاب ‪ 4‬متوسط – ص ‪ 17‬رقم ‪ ، 6 ، 1‬ص ‪ 18‬رقم ‪8 ، 2 ، 1 ، 5‬‬

‫ أكمل مايلى باستبدال النقط بإحدى الكلمتين ‪":‬مضاعف " أو "قاسم لـ "‬‫‪550........ 55 ، 76.......1 ، 3.........9 ، 14......3‬‬
‫ انقل و اكمل بصحيح أو خاطئ مايلى ‪ 1:‬يقسم ‪ 3 ،.......0‬يقسم ‪ 0 ،..... 15‬يقسم ‪ 9،...... 15‬قابل القسمة على ‪.....4‬‬‫‪ 12‬قاسم ‪ 27 ،...... 16‬قابل القسمة على ‪ 14 ،..... 9‬يقسم ‪ 17 ،.... 14‬مضاعف ‪ 5،.... 17‬يقسم ‪35،..... 35‬‬
‫مضاعف ‪.......5‬‬
‫ أوجد جميع قواسم كل من األعداد ‪. 24 ، 56 ، 36 :‬استنتج القواسم المشتركة لألعداد ‪ 24‬و ‪ 56‬و‪. 36‬‬‫ يدل النقط بأرقام حتى يقبل كل عدد من االعداد االتية القسمة على ‪ 3‬و على ‪ 5‬فى ان واحد ‪.‬‬‫‪1285 .‬‬

‫‪784 . ،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪31. ، 38.‬‬

‫ ماهو الرقم الذى يكمل العدد ‪ 3 . 0‬حتى يقبل القسمة على ‪ 9‬؟‬‫ ماهو الرقم الذى يكمل العدد ‪ 12 . 7‬حتى يقيل القسمة على ‪ 9‬؟‬‫ ‪ X‬و ‪ y‬عددان طبيعيان بحيث ‪432x =264y :‬‬‫𝑥‬
‫أحسب الكسر‬
‫𝑦‬

‫ أحسب العدد الطبيعى ‪ x‬فى كل حالة ‪:‬‬‫‪12(36 -2x)=144 ; 4(x+2) =48 ; 3(x-1) = 120 ; 3x = 18 ; 84 :14 =x ; 87 : x = 3‬‬

‫~‪~8‬‬

‫البحث عن القاسم المشترك األكبر ‪ pgcd‬لعددين أو لعدة أعداد ‪.‬‬
‫يمكن أن نجد القاسم المشترك األكبر لعددين بعدة طرق ‪:‬‬
‫طريقة القواسم ) تستعمل لألمثلة البسيطة (‬
‫مثال‪ :‬قواسم ‪ 36‬هى ‪1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36‬‬
‫قواسم ‪ 54‬هى ‪1 ;2 ;3 ;6 ;9 ;18 ;27 ;54‬‬
‫القواسم المشتركة للعددين هى‬

‫‪1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18‬‬

‫القاسم المشترك األكبر ‪ pgcd‬للعددين ‪ 36‬و ‪ 54‬هو ‪ 18‬و نكتب‪pgcd (36 ; 54) = 18 :‬‬
‫‪pgcd(a ; a) =a (a≠0) ; pgcd(a ; 1) =1‬‬
‫)‪ b‬مضاعف ‪pgcd(a ; b) = a ( a‬‬

‫نتائج‪:‬‬

‫;‬

‫طريقة القسمةاإللقييدية ) أو خوارزمية القسمة ( ‪:‬‬
‫نقسم العدد الكبير على العدد الصغير‪ .‬إذا كانت القسمة تامة فإن هذا العدد الصغير هو‬
‫القاسم المشترك األكبر و إال فإننا نواصل القسمة بحيث يتحول كل قاســـم إلى مــــقسوم و كل‬
‫بـــاق إلى قــــــا سم في كل عملية موالية‪ .‬وآخر باق غير معدوم هو القاسم المشترك األكبر‪.‬‬

‫لنبحث عن‬

‫) ‪Pgcd ( 216 ; 120‬‬

‫نقسم العدد الكبير على العدد الصغير فنحصل على ‪ 216 120‬أى ‪216 =120 x1 +96‬‬
‫‪1‬‬
‫ونواصل القسمة بحيث‬

‫‪96‬‬

‫يتحول كل قاســـم إلى مــــقسوم و كل بـــاق إلى قــــــا سم في كل عملية موالية‬

‫فنحصل على ‪ 120 96‬أى ‪120 = 96x1 +24‬‬
‫‪1‬‬
‫ونواصل بحيث‬

‫‪24‬‬
‫يتحول كل قاســـم إلى مــــقسوم و كل بـــاق إلى قــــــا سم في كل عملية موالية‬

‫فنحصل على ‪ 96 24‬أى‬
‫‪4‬‬

‫‪96 = 24 x 4 +0‬‬

‫‪0‬‬

‫إذن ‪ pgcd(216 ; 120) =24‬ألن آخر باق غير معدوم هو ‪24‬‬
‫~‪~9‬‬

‫طريقة الطرح ‪ :‬نعتمد على القاعدة ‪:‬‬
‫القاسم المشترك األكبر لعددين يساوى القاسم المشترك األكبر بين العدد الصغير و فرقهما ‪.‬‬
‫أى ‪ pgcd(a ; b ) =pgcd( a ; b – a) :‬حيث ‪ a‬و ‪ b‬عددان طبيعيان و ‪b >a‬‬
‫مثال‪ :‬لنبحث عن ) ‪pgcd(54 ; 36‬‬
‫‪Pgcd(54 ; 36 ) = Pgcd(36 ; 18 )= Pgcd(18 ; 18 ) = 18‬‬
‫مثال‪ :‬لنبحث عن ) ‪pgcd(120 ; 216‬‬
‫) ‪Pgcd (216 ; 120 ) = Pgcd (120 ; 96 ) = Pgcd (96 ; 24 ) = Pgcd (24 ; 72 )= Pgcd (24 ; 48‬‬

‫‪= Pgcd (24 ; 24)=24‬‬

‫~ ‪~ 10‬‬

‫البحث عن القاسم المسترك األكبر بواسطة الحاسبة ‪:‬‬
‫‪B‬‬

‫𝐴‬

‫إليجاد ) ‪ pgcd ( A ; B‬نختزل الكسر𝐵 أو‪ ) A‬أى نحسب الحاصل و نحوله إلى كسر (‬
‫𝑏‬

‫𝑎‬

‫ونتحصل على كسر جديد 𝑏 أو 𝑎 ‪ .‬و القاسم المشترك األكبر للعددين ‪ A‬و ‪ B‬هو حاصل‬
‫قسمة البسط األصلى على البسط الجديد أو هو حاصل قسمة المقام األصلى على المقام الجديد‬
‫مثال ‪:‬لنبحث عن ) ‪PGCD( 216 ; 120‬‬
‫‪216‬‬

‫نختزل الكسر ‪ 120‬و نجد‬
‫إذن ‪= 24‬‬

‫‪216‬‬
‫‪9‬‬

‫‪9‬‬
‫‪5‬‬

‫بالطريقة‪:‬‬

‫‪5‬‬

‫‪216 ab/c 120 = 9‬‬

‫= ) ‪ pgcd( 216 ; 120‬أو ‪= 24‬‬

‫‪120‬‬
‫‪5‬‬

‫= ) ‪pgcd( 216 ; 120‬‬

‫تطبيق ‪ :‬باستعمال الحاسبة جـــــد ‪:‬‬
‫)‪Pgcd(144 ; 288) ; Pgcd(96 ; 120) ; Pgcd(135 ; 60) ; Pgcd(126 ; 18) ; Pgcd(120 ; 36‬‬

‫الحل ‪ :‬لنحسب الحاصل‬

‫‪120‬‬
‫‪36‬‬

‫بالحاسبة فنجد ‪1 3‬‬

‫‪ shift‬ثم على ‪ ab/c‬فتظهر النتيجة على شكل كسر ‪3‬‬
‫إذن ‪= 12 :‬‬

‫‪36‬‬
‫‪3‬‬

‫= ) ‪ pgcd( 120 ; 36‬أو ‪= 12‬‬

‫~ ‪~ 11‬‬

‫‪ 3‬أى ‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫𝟑‬

‫‪ 10‬أى‬
‫‪120‬‬
‫‪10‬‬

‫‪ 3 +‬ثم ننقر على‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬

‫و منه‬

‫‪10‬‬
‫‪3‬‬

‫=‬

‫=) ‪pgcd( 120 ; 36‬‬

‫‪120‬‬
‫‪3‬‬

‫الضرب المكرر ‪:‬‬
‫*‬

‫تكرار العدد ‪ 5‬ثالثة مرات بالضرب يكتب ‪:‬‬

‫على شكل جداء ‪5x5x5 :‬‬

‫‪ 5‬أساس القوة‬

‫أو على شكل قوة ‪ 53 :‬و يقرأ ‪ 5 :‬أس ‪. 3‬‬
‫‪ 3‬أس القوة‬
‫* تكرار العدد ) ‪ (-5‬ثالثة مرات بالضرب يكتب ‪:‬‬

‫على شكل جداء ‪:‬‬

‫) ‪ (-5‬أساس القوة‬

‫)‪(-5)x(-5)x(-5‬‬

‫أو على شكل قوة ‪ (-5 )3 :‬و يقرأ ‪ -5 :‬أس ‪. 3‬‬
‫‪ 3‬أس القوة‬

‫أى ‪ 53 =5x5x5 :‬و‬

‫)‪(-5)3 = (-5)(-5)(-5‬‬

‫* تكرار العدد ‪ x‬أربعة مرات بالضرب و بالشكل الموجب يكتب ‪:‬‬

‫على شكل جداء ‪xxxxxxx :‬‬

‫أو‬

‫على شكل قوة ‪x4 :‬‬

‫أى‬

‫‪x4= xxxxxxx‬‬

‫* تكرار العدد ‪ x‬أربعة مرات بالضرب و بالشكل السالب يكتب ‪:‬‬
‫على شكل جداء ‪(-x)x(-x)x(-x)x(-x) :‬‬
‫أو على شكل قوة ‪ (-x)4 :‬أى )‪(-x)4= (-x)x(-x)x(-x)x(-x‬‬
‫* تكرار العدد ‪ x‬مرة واحدة بالضرب و بالشكل الموجب يكتب ‪:‬‬
‫على شكل جداء ‪ x :‬أو‬

‫على شكل‬

‫قوة ‪ x1 :‬اى‪x1 = x :‬‬

‫* تكرار العدد ‪ x‬مرة واحدة بالضرب و بالشكل السالب يكتب ‪:‬‬

‫على شكل جداء ‪ -x :‬أو على شكل قوة ‪ (-x)1 :‬اى‪(-x)1 = -x :‬‬

‫مالحظة ‪:‬‬

‫القوة التى أسها غير مكتوب معناه أسها ‪1‬‬

‫تطبيق ‪:‬حول الجداءات التالية إلى قوى ‪(-9)(-9) ; ( 7 ) ( 7 ) ; (-4)(-4)(-4) ; 5x5x5 ; 6x6‬‬
‫‪−5‬‬

‫‪−5‬‬

‫حول القوى التالية إلى جداءات مكررة ‪; (-6)3 ; (-4)2 ; (-3)4 ; 23 ; 22 :‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪( 7 )2 ; (3)4‬‬
‫~ ‪~ 12‬‬

‫حساب القوة ‪:‬‬
‫لحساب القوة نحولها إلى جداء مكرر و نحسب الجداء ‪.‬‬
‫ لحساب القوة بالحاسبة ننقر على العدد ثم على ‪ xy‬و على عدد مرات التكرار ‪ .‬أى‬‫ لحساب القوة بالحاسبة ننقر على األساس ثم على ‪ xy‬ثم على األس ‪.‬‬‫مثال ‪:‬لحساب ‪ (-3)4‬نتبع مايلى ‪ (-3) xy 4 = 81 :‬أى‬

‫‪(-3)4 = 81‬‬

‫مالحظات ‪ * :‬تكرار العدد مرتين بالضرب يعطى نتيجة موجبة دوما ‪.‬‬
‫* تكرار العدد ثالثة مرات بالضرب يعطى نتيجة موجبة أو سالبة حسب األساس‬
‫* تكرار العدد أربعة مرات بالضرب يعطى نتيجة موجبة دوما ‪.‬‬
‫نتيجة ‪ :‬كل قوة أسها زوجي تعطى نتيجة موجبة دوما‬
‫مثال‪ (-3)4 :‬نتيجتها موجبة; ‪ (-3)5‬نتيجتها سالبة ; ‪ (-5)2‬نتيجتها موجبة ; ‪ 35‬نتيجتها موجبة‬
‫‪2‬‬

‫تطبيق ‪ :‬باستعمال الحاسبة أحسب القوى التالية‪(3)3 ; 72 ; (-1)4 ; (-1)3 ; (-1)2 ; (-4)3 :‬‬
‫‪−3‬‬

‫‪( 5 )2‬‬

‫;‬

‫‪6‬‬

‫‪( 9 )2‬‬

‫~ ‪~ 13‬‬

‫جداء قوتين‬
‫يمكن تحويل جداء قوتين إلى قوة واحدة إذا كان لهما نفس األساس أو نفس األس ‪.‬‬
‫تحويل لقوتين لهما نفس األساس ‪:‬‬

‫نحافظ على األساس‬

‫‪(-4)2 x (-4)3 = (-4)5‬‬

‫و‬
‫نجمع األس‬

‫‪(-4)2 x (-4)-5 = (-4)-3‬‬
‫نحافظ عيى األس‬

‫تحويل لقوتين لهما نفس األس‪:‬‬
‫‪(-4)3x53 = [(-4)x5]3=(-20)3‬‬

‫و‬
‫نضرب األساسين‬

‫‪(-4)-3x5-3 = [(-4)x5]-3=(-20)-3‬‬
‫القوة المضاعفة‪ :‬هى القوة المرفوعة إلى أسين‪ .‬ويمكن تحوييها إلى لقوة تحمل نفس األساس‬
‫وأس هو جداء األسين ‪.‬مثال ‪⌊(−5)−2 ⌋3 = (−5)−6‬‬
‫تطبيق ‪ :‬حول مايلى إلى قوة واحدة ‪:‬‬
‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪(5) × (5)2 ; 42x(-7)2 ; (-2)3x(-2)3 ; 52x5-3 ; 4x42‬‬
‫جمع و طرح قوتين‬
‫اليمكن جمع أو طرح قوتين إال إذا كانتا متشابهتان ‪.‬‬
‫مثال ‪:‬‬

‫?? =‬

‫‪x3‬‬

‫??? = ‪x 2 - x3‬‬

‫‪ x 2 +‬ال يمكن الجمع‬
‫ال يمكن الطرح‬

‫‪x3 +‬‬

‫‪= 2 x3‬‬

‫‪x3‬‬

‫‪= -3 x3‬‬

‫‪2x 3 - 5 x3‬‬

‫ممكن ألنهما متشابهان‬
‫ممكن ألنهما متشابهان‬

‫تطبيق ‪ :‬حول مايلى إلى قوة واحدة إن أمكن ‪:‬‬
‫‪3x2 +2x2 ; X2y2 ; X3x X ; X2 + X3 ; X2 x X3‬‬
‫~ ‪~ 14‬‬

‫;‬

‫‪x3xx3 ; 16x2 – x‬‬

‫جداء حدين ‪:‬‬
‫لحساب جداء حدين نضرب معاملي التكرار و القيمتين المكررتين ‪.‬‬
‫مثال ‪(-21)x3x2 =- 6x3 ; 5xx3y =15xy :‬‬
‫نتيجة ‪ :‬جداء حدين مكررين بشكل مختلف هو حد مكرر بشكل سالب ‪.‬‬

‫جداء حدين مكررين بنفس الشكل هو حد مكرر بشكل موجب ‪.‬‬
‫مثال ‪(-5)x.(-7)y = 35 x y ; 2 x.3 y = 6 x y ; - 4 x.3 y = - 12 x y :‬‬
‫حذار ‪ :‬مجموع حدين مكررين بشكل مختلف و لنفس القيمة هو حد معدوم ‪.‬أما الجداء فال يعطى حدا معدوما ‪.‬‬
‫مثال ‪7 x.(-7 x) = - 49 x 2 ; 7 x 2 – 7 x 2 = 0 ; -3 x .3 x = - 9 x 2 ; -3 x +3 x = 0 :‬‬
‫جداء حد فى مجموع جبرى‬
‫لضرب حد في مجموع جبري نضرب هذا الحد في كل حد من حدود المجموع الجبري و نجمع النتائج ‪.‬‬
‫مثال ‪ :‬نضرب الحد ‪ 3x‬فى المجموع الجبرى ‪ 7x - 6 + 2y :‬أى ‪3x(7x – 6 + 2y ) :‬‬
‫‪3x(7x – 6 + 2y ) = 21x2 – 18x + 6xy‬‬
‫‪-2x( 9x – 5 ) = - 18x2 + 10x‬‬

‫كذالك ‪:‬‬

‫جداء مجموع جبرى فى مجموع جبرى‬
‫لضرب مجموع جبرى فى مجموع جبرى نضرب كل حد من أحدهما فى كل من حدود المجموع‬
‫الجبرى االخر و نجمع النتائج ‪.‬‬
‫مثال ‪(3x – 4 )(7x – 6 ) = 3x(7x- 6) – 4(7x-6) = 21x2 – 18x – 28x +24 :‬‬
‫‪(2x2 + 5 )( x – 8 ) = 2x2 (x- 8 )+ 5(x- 8) = 2x3 – 16x2 +5x- 40‬‬
‫‪(9- 2x )(x – 4) = 9( x- 4) -2x(x – 4) = 9x – 36 – 2x2 + 8x = - 2x2 + 17x – 36‬‬
‫‪(- 3 – 4x )(x-5) = -3x +15 – 4x2 +20x = - 4x2 +17x +15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬

‫‪𝑥−‬‬

‫‪37‬‬
‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪( 𝑥 − 5) (𝑥 + ) = 𝑥 (𝑥 + ) − 5 (𝑥 + ) = 𝑥 2 + 𝑥 − 5𝑥 − = 𝑥 2 −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬

‫االنتقال من شكل جداء إلى شكل مجموع جبرى يسمى "النشــــر"‬
‫أنشر ‪ :‬معناه ‪ :‬حول الجداء إلى مجموع جبرى ‪.‬‬
‫~ ‪~ 15‬‬

‫الجداءات الخاصة‬
‫مجموع الحدين ‪ 5x‬و ‪ – 4‬يكتب عيى شكل )‪ 5x +(-4‬او عيى شكل مبسط ‪5x – 4 :‬‬
‫و مربعه يكتب عيى شكل ‪(5x– 4)(5x – 4) :‬‬

‫أو ‪(5x – 4)2‬‬

‫مربع مجموع حدين‪ :‬الجداء المكرر مرتين لمجموع حدين يساوى مربع الحد األول )نكرر الحد األول‬
‫مرتين بالضرب ( ‪ +‬مربع الحد الثانى ) نكرر الحد الثانى مرتين بالضرب( ‪ +‬ضعف جداء الحدين ‪.‬‬
‫مثال‪+ 2(5x)(-4) :‬‬

‫‪+ (-4)2‬‬

‫‪(5x – 4)(5x – 4) =(5x – 4)2 = (5x)2‬‬

‫ضعف جداء الحدين مربع الحد الثانى مربع الحد األول‬

‫‪= 25x2 +16 - 40x‬‬
‫كذاللك ‪ :‬مربع مجموع الحدين ‪ -7x‬و ‪ -3‬يكتب على شكل ‪ (-7x – 3) (-7x -3) :‬أو ‪( -7x – 3 )2‬‬
‫و نشره هو ‪(-7x – 3)2 = (-7x)2 +( - 3)2 + 2( -7x)(- 3) = 49x2 + 9 + 42x :‬‬
‫جداء مجموع وفرق نفس الحدين ) جداء مترافقين (‬
‫لنأخذ الحدين ‪ 5x‬و ‪ 3‬حيث ‪ :‬مجموعهما هو ‪ 5x + 3 :‬و فرقهما هو ‪) 5x – 3‬أى العبارتان‬
‫)‪ (5x + 3‬و) ‪ (5x – 3‬مترافقتان( و جداء مجموعهما و فرقهما يكتب على شكل ‪:‬‬
‫)‪ (5x+3).(5x – 3‬و نشر هذا الجداء هو ‪:‬فرق مربعى الحدين ‪.‬‬
‫‪(5x+ 3)(5x – 3) = (5x)2 – (3)2 = 25x2 – 9‬‬
‫كذالك ‪:‬‬

‫‪(-7x -3)(-7x+3) = (-7x)2 – (3)2 = 49x2 – 9‬‬

‫مالحظة ‪ :‬يمكن أن نستعمل الطريقة العامة في كل الحاالت‪ ،‬حتى في الحاالت الخاصة ‪.‬‬

‫~ ‪~ 16‬‬

‫الجذر التربيعى‬
‫مربع العدد ‪ 3‬يكتب ‪ (3)2‬و قيمته هى ‪ 9‬و نكتب ‪ .32 =9‬وبالقراءة العكسية نقول‪ :‬الجذر التربيعى‬
‫للعدد‪ 9‬هو الجذر التربيعى للعدد ‪ 32‬و قيمته هى ‪ 3 :‬و نكتب بالرمز ‪√32 = 3‬‬

‫=‪√9‬‬

‫نتيجة ‪ √9= 3 :‬معناه ‪9 = 32 :‬‬
‫تطبيق ‪:‬‬
‫ماهو مربع ‪ 1‬؟ مربع‪2‬؟مربع‪3‬؟مربع‪4‬؟مربع‪5‬؟مربع‪6‬؟مربع‪7‬؟مربع‪8‬؟مربع‪9‬؟مربع‪10‬؟مربع‪11‬؟مربع‪12‬؟مربع‪13‬؟‬

‫جد ‪; √𝟏𝟎𝟎 ; √𝟖𝟏 ; √𝟔𝟒 ; √𝟒𝟗 ; √𝟑𝟔 ; √𝟐𝟓 ; √𝟏𝟔 ; √𝟗 ; √𝟒 ; √𝟏 :‬‬
‫𝟏𝟐𝟏√ ; 𝟒𝟒𝟏√ ; 𝟗𝟔𝟏√ ‪.‬‬
‫مالحظة‪:‬‬
‫االعداد ‪..... 169 ، 144 ، 121 ، 100 ، 81 ، 64 ، 49 ، 36 ، 25 ، 16 ، 9 ، 4 ، 1‬تسمى ‪ :‬مربعات كاملة‬
‫نتيجة ‪ :‬كل مربع كامل له جذر تربيعى تام ‪.‬وكل عدد ليس مربعا كامال جذره التربيعى غير تام بل مقرب‬
‫مالحظة ‪ :‬العدد السالب ليس له جذر تربيعى ألنه اليوجد عدد مربعه سالب ‪.‬‬
‫الكتابة ‪ √−𝟗 :‬خاطئة و لكن 𝟗√‪ -‬صحيحة‬
‫مالحظة ‪ :‬الجذر التربيعى نتيجته دائما موجبة ‪ ).‬الجذر التربيعى ال ينتج عددا سالبا و ال يضم عددا سالبا (‬

‫نتيجة ‪ :‬إذا كان 𝒂 عددا موجبا فان 𝒂 = 𝟐𝒂√‬
‫انتبه‬

‫‪ √(−𝟑)𝟐 = √(𝟑)𝟐 = 3‬ألن ‪(−𝟑)𝟐 = (𝟑)𝟐 :‬‬

‫والنكتب ‪√(−𝟑)𝟐 = -3 :‬‬
‫تطبيق ‪ :‬أكتب جدول الضرب للمربعات الكاملة األصغر من ‪ . 14‬مثال جدول الضرب ‪ 16‬هو‬
‫……… ‪16x10=160 ; 16x9=…. ;16x8=… ; 16x7 =…. ; 16x6 = 96 ; 16x5=80 ; 16x4=64‬‬

‫~ ‪~ 17‬‬

‫العمليات بين الجذور التربيعية‬
‫الضرب ‪ :‬الجذر التربيعى لجداء عددين يساوى جداء الجذرين 𝒃√ × 𝒂√ = 𝒃 × 𝒂√‬
‫𝒂√‬

‫𝒂‬

‫القسمة ‪ :‬الجذر التربيعى لحاصل قسمة عددين يساوى حاصل الجذرين 𝒃√ = 𝒃√‬
‫الجمع و الطرح ‪ :‬الجذر التربيعى لمجموع أو فرق عددين اليساوى مجموع أو فرق الجذرين ‪.‬‬
‫𝒃√‪√𝒂 ∓ 𝒃 ≠ √𝒂 ∓‬‬
‫تطبيق ‪ :‬حول مايلى إلى جذر تربيعى واحد ‪.‬‬
‫𝟓√ × 𝟑√ ; 𝟑√ × 𝟐√ ;‬
‫‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪14‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟐√ × 𝟐√ ; 𝟓√ × 𝟓√ ; 𝟑√ × 𝟗√ ; 𝟐√ × 𝟕√‬

‫; √× √‬

‫√× √‬

‫نتيجة ‪ :‬إذاكان 𝒂 موجبا فان 𝒂 = 𝟐𝒂√ = 𝟐)𝒂√( = 𝒂√ × 𝒂√‬
‫‪√𝟓 × √𝟓=5‬‬

‫مثال‪:‬‬

‫تمارين ص‪ 35‬رقم ‪: 15 ، 14 ، 13‬‬
‫‪√63 × √7 ; √8 × √18‬‬

‫أحسب الجداءات التالية‬
‫‪× √2‬‬

‫‪6‬‬
‫‪11‬‬

‫بسط مايلى‬
‫‪10‬‬
‫‪7‬‬

‫√‬

‫√×‬
‫‪12‬‬
‫‪25‬‬

‫‪√5‬‬
‫×‬
‫‪√14‬‬

‫أحسب مايلى‬

‫‪11‬‬
‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫√‬

‫√ ;‬
‫;‬
‫‪(√5)2‬‬
‫‪√6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫; √ × √ ; ‪6 × √72 × √50‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫√× √ ;‬

‫‪√3× √5‬‬
‫‪√6×√10‬‬

‫;‬

‫‪; 5√2 × 2√2‬‬
‫‪√5‬‬
‫‪3‬‬

‫‪×2‬‬

‫‪√5‬‬
‫‪√6‬‬

‫; ‪; ( )2 ; 3(√2)2‬‬
‫‪(−2√5)2‬‬

‫;‬

‫~ ‪~ 18‬‬

‫‪81‬‬

‫‪1‬‬

‫‪64‬‬

‫‪9‬‬

‫√× ‪;−‬‬

‫‪√18‬‬
‫‪√2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫; √× √‬

‫‪√3‬‬
‫‪√5‬‬

‫‪; −(√7)2‬‬
‫‪√52‬‬
‫‪√62‬‬

‫‪√5‬‬
‫‪(√6)2‬‬

‫; ‪−2(√5)2 ; 3(√6)2‬‬

‫تبسيط الجذر التربيعى‬
‫تبسيط الجذر التربيعى معناه كتابته على شكل 𝒃√𝒂 حيث 𝒂عدد حقيقى ناطق و 𝒃 ليس مربعا كامال‬
‫) 𝑏√ حاف أى ال وجود لجذر تربيعى تام (‬
‫مثال ‪ √8 = √4 × 2= √4 × √2 = 2√2 :‬كتبنا ‪ 8‬على شكل جداء عاملين أحدهما على األقل مربع‬
‫كامل‬
‫‪√45= √9 × 5 = √9 × √5 = 3√5‬‬
‫تطبيق ‪ :‬أكتب األعداد التالية على شكل 𝑏√𝑎 حيث 𝑎 و 𝑏 عددان طبيعيان و 𝑏 أصغر عدد ممكن‬
‫‪√175 :‬‬

‫; ‪; √20‬‬

‫; ‪√18 ; √63‬‬

‫‪2√27‬‬
‫‪3‬‬

‫; ‪√52 × 7 × 22‬‬

‫‪√32 × 10‬‬
‫*(‬

‫‪ a ;b‬عددان حقيقيان موجبان ‪.‬بسط مايلى‬
‫𝑏 ‪; √2𝑎2‬‬

‫𝑏 ‪; √4𝑎2‬‬

‫‪; √52 (𝑎 + 𝑏)2‬‬

‫*( بسط العبارات التالية ‪; A = 3√3 + 4√3 + 5√3:‬‬

‫‪√36𝑎𝑏 2‬‬
‫‪B =−6√2 − 7√2‬‬

‫‪D =√54 − √6 + √24 ; C=9√2 − 14√7 − 4√2 + 21√7‬‬
‫‪√8‬‬

‫‪+ 15‬‬

‫‪8‬‬

‫‪18‬‬

‫‪√75‬‬
‫‪6‬‬

‫‪√3‬‬

‫‪E =3√20 + 4√80 − 3√5 ; F = 5 −‬‬

‫‪72‬‬

‫‪H =6√ 9 + 15√25 − 14√49‬‬

‫~ ‪~ 19‬‬

‫;‬

‫‪G =5√12 − 4√12 − √12‬‬

‫كتابة كسر بمقام ناطق‬
‫كتابة الكسر بمقام ناطق معناه تحويله إلى كسر مقامه خال من الجذر التربيعى ‪.‬‬
‫مرافق عدد حقيقى ‪ :‬مرافق العدد ‪ 1 + √5‬هو ‪ . 1 − √5‬مرافق العدد ‪ −2 + √5‬هو ‪−2 − √5‬‬
‫مرافق العدد ‪ 9 − √2‬هو ‪ . 9 + √2‬مرافق العدد ‪ √5‬هو ‪√5‬‬
‫لتحويل كسر مقامه فيه جذر تربيعى إلى كسر مقامه خال من الجذر التربيعى نضرب البسط و المقام فى‬
‫مرافق المقام ‪.‬‬
‫مثال ‪ :‬نكتب‬
‫نكتب‬

‫‪3‬‬
‫‪√7‬‬

‫‪4‬‬
‫‪2+√7‬‬

‫‪3‬‬

‫بمقام ناطق ‪= √7‬‬
‫‪7‬‬

‫‪3√7‬‬
‫‪7‬‬

‫=‬

‫‪3×√7‬‬
‫‪√7×√7‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬
‫‪√7‬‬

‫بمقام ناطق ‪.‬‬
‫‪8 − 4√7 8 − 4√7‬‬
‫=‬
‫‪4−7‬‬
‫‪−3‬‬

‫=‬

‫)‪4(2 − √7‬‬
‫)‪(2 + √7)(2 − √7‬‬

‫=‬

‫‪4‬‬
‫‪2 + √7‬‬

‫حيث ‪(2 + √7)(2 − √7) = 2(2 − √7) + √7(2 − √7) = 4 − 2√7 + 2√7 − 7 = 4 − 7 :‬‬

‫نكتب‬

‫‪3+√2‬‬
‫‪−4+√2‬‬

‫بمقام ناطق ‪.‬‬

‫‪−14−7√2 −14−7√2‬‬
‫=‬
‫‪16−2‬‬
‫‪14‬‬

‫=‬

‫‪−12−3√2−4√2−2‬‬
‫‪16+4√2−4√2−2‬‬

‫~ ‪~ 20‬‬

‫=‬

‫)‪(3+√2)(−4−√2‬‬
‫)‪(−4+√2)(−4−√2‬‬

‫=‬

‫‪3+√2‬‬
‫‪−4+√2‬‬

‫العبارة الجبرية‬
‫تذكير ‪:‬األولوية فى الحساب تكون لــــ‪ :‬ما بداخل األقواس ثم القوى ثم للضرب أو القسمة حسب التسلسل‬
‫ثم أخيرا للجمع أو الطرح حسب التسلسل‬
‫العبارة الجبرية هى كل سلسلة من العمليات بين أعداد معلومة أو مجهولة ‪.‬‬
‫مثال ‪:‬‬

‫‪3X(5 -7) +4‬‬

‫عبارة جبرية‬

‫‪2 x – (3 x 2 – 1 )X5 – 6‬‬

‫عبارة جبرية‬

‫حساب عبارة جبرية ‪ :‬لحساب عبارة جبرية نطبق األولوية فى الحساب ‪.‬‬
‫ فى حالة عبارة ذات قيم معلومة ‪:‬‬‫‪3X(5 -7) +4 = 3X(-2) +4 =(- 6) + 4 = -2‬‬
‫ فى حالة عبارة ذات قيم مجهولة ‪ :‬نرمز للعبارة ‪ 2 x – (3 x 2 – 1 )X5 – 6‬بالرمز ‪ A‬أى ‪:‬‬‫‪ A =2 x – (3 x 2 – 1)X5 – 6‬ثم يمكن أن نحسب ‪ A‬من أجل أية قيمة للعدد ‪x‬‬
‫مثال ‪ :‬لنحسب ‪ A‬من أجل ‪x = - 4‬‬
‫‪A =2X(-4) - [ 3X(-4)2 – 1 ]X5 – 6 = 2X(-4) - [3X16 – 1 ]X5 – 6 =2X(-4) – (48 – 1 )X5 – 6 =2X(-4) – 47X5 – 6 =(-8) – 235 – 6‬‬
‫)‪= (-8) +(-235)+(-6‬‬
‫‪= -249‬‬

‫تطبيق‬

‫‪ :‬أحسب العبارات الجبرية التالية‬

‫‪; A =(-4 -9 )x3 -6x5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪; C = (3 - ).( + ) ;B = - 4x + 3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪D = 10 – ( + )X6‬‬

‫تطبيق ‪ :‬أحسب العبارات الجبرية التالية من أجل ‪x = 2‬‬
‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪D = ( X - ).( + X) ; C = 10X – ( + X)X6 ; B = ( - 4 – 9X )X13 – 6X ; A = X- 4X + 3X‬‬
‫‪+ X ) X6‬‬

‫‪4‬‬
‫‪7‬‬

‫( – ‪G = 10X‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫; )‪H = ( X - 5).( 4 +2X‬‬

‫~ ‪~ 21‬‬

‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫; ‪E = (X – 9 )X3 -6X ; F = 2X2 6X + 3‬‬

‫عبارة المجموع الجبرى و عبارة الجداء‬

‫‪:‬‬

‫نتعرف على عبارة أنها مجموع جبرى إذا كان آخر عملية حسابية فيها قبل كتابة النتيجة هى الجمع أو الطرح ‪.‬‬
‫نتعرف على عبارة أنها جداء إذا كان آخر حساب فيها قبل كتابة النتيجة هي الضرب ‪.‬‬
‫مثال ‪13X5 - 9X6 :‬‬
‫) ‪3X(5 – 7‬‬
‫‪3X5 – 7‬‬

‫مجموع جبرى بتكون من حدين هما )‪ (13X5‬و )‪(9X6‬‬

‫جداء يتكون من عاملين هما ‪ 3 :‬و )‪(5-7‬‬
‫مجموع جبرى يتكون من حدين هما ‪ 3X5‬و ‪7‬‬

‫‪ 3X.( X – 1 ) +5 X2‬مجموع جبرى يتكون من حدين هما ‪ 3X.( X – 1 ) :‬و ‪5 X2‬‬
‫مالحظة ‪ :‬يفصل بين كل حدين عملية الجمع أو الطرح ــــــــــــــــــــــ يفصل بين كل عاملين عملية الضرب‬
‫أى ‪ :‬المجموع الجبرى هو سلسلة من عمليات جمع أو طرح ــــــــــــــ الجداء هو سلسلة من عمليات الضرب‬
‫تطبيق ‪ :‬أذكر العبارات التي لها شكل مجموع جبري و التي لها شكل جداء ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪16x(7 – 5) ; 16x7 – 5 ; (3 – 5x).(7 – x2 ) ; 3 – 5x .(7 – x2 ) ; 7.( 9 - 𝑥) ; 7 – (9 - 𝑥) ; 6 – 4.(5 + 9) ; 3.(5 – x) – 7‬‬
‫تطبيق ‪ :‬أذكرفى كل حالة شكل العبارة الجبرية و احسبها من أجل ‪X = -2‬‬

‫)‪F= (x -1).x2 -5 ; E= x – (x2 – 5) ; D = (x-1 ).( x2 – 5) ; C = (5 -3x) + 7 ; B = (5 -3x)x4 ; A = 5 – (3x -4‬‬

‫~ ‪~ 22‬‬

‫التحليل‬
‫التحليل هوتحويل جمع مكرر إلى جداء ‪ :‬أى هو تحويل مجموع جبرى إلى جداء‪.‬‬

‫قاعدة ‪ :‬لتحليل مجموع جبرى نستخرج القيمة المكررة المشتركة بين الحدود و نكتبها خارج القوسين من‬
‫اليمين أو اليسار مضروبة فيما تبقى من الحدود ‪.‬‬
‫مثال ‪3 + 3 + 3 + 3=4x3 :‬‬
‫جداء‬

‫;‬

‫جمع مكرر‬

‫‪7x3 -5x3 + 2x3 = (7 -5 +2)x3 = 4x3‬‬
‫جداء‬

‫جداء مبسط‬

‫مجموع جبرى‬

‫مالحظة ‪ :‬تبسيط جداء معناه تبسيط عوامله مع الحفاظ على شكل الجداء ‪.‬‬
‫مثال ‪ :‬الحظ المجموع الجبرى ‪ 2x4 – 5x4 – 7x 4‬الذى فيه ثالثة حدود ‪.‬وكل حد يكرر القيمة ‪. 4‬أى هذه الحدود‬
‫متشابهة ومنه‪:‬‬
‫)‪ 2x4 – 5x4 -7x4 =4x(2-5-7)=4x(-10‬أو ‪2x4 – 5x4 -7x4 = (2-5-7)x4= (-10)x4‬‬
‫جداء‬

‫جداء مبسط‬

‫جداء مبسط‬

‫مجموع جبرى‬

‫جداء‬

‫مجموع جبرى‬

‫مثال ‪ :‬لنأخذ القيمة ‪ x‬و نكررها ‪ 4‬مرات جمعا و بالشكل الموجب و ‪ 5‬مرات بالشكل السالب و‪ 7‬مرات بالشكل‬
‫الموجب فنحصل على ‪ :‬مجموع جبرى ‪ 4x -5x +7x‬أو على جداء ‪ (4 -5 +7 )×x‬أو ) ‪x ×(4 – 5 +7‬‬
‫أى ‪:‬‬

‫‪4x -5x +7x = (4 -5 +7 )×x = 6x‬‬
‫جداء مبسط‬

‫مجموع جبرى‬

‫جداء‬

‫مثال ‪ : :‬لنأخذ القيمة )‪ ( x–3‬و نكررها ‪ 4‬مرات جمعا و بالشكل الموجب و ‪ 5‬مرات بالشكل السالب و‪ 7‬مرات بالشكل‬
‫الموجب فنحصل على ‪ :‬مجموع جبرى )‪ 4(x–3) – 5(x–3) +7.(x–3‬أو على جداء )‪(4 - 5 +7 )×(x-3‬‬
‫أو ) ‪(x-3) ×(4 – 5 +7‬‬
‫أى ‪4(x-3) – 5(x-3) +7.(x-3) = (4 - 5 +7)×(x- 3)= 6.(x - 3) :‬‬
‫جداء مبسط‬

‫مجموع جبرى‬

‫جداء‬

‫مثال ‪ :‬لنأخذ القيمة )‪ ( x-3‬و نكررها بالجمع ‪ 2 x‬مرة و بالشكل الموجب و ‪ 4‬مرات بالشكل السالب فنحصل على ‪:‬‬
‫مجموع جبرى )‪ 2x.(x-3) – 4(x-3‬أو على جداء )‪ (2x - 4)×(x-3‬أو )‪(x-3) ×(2x – 4‬‬
‫أى ‪2x.(x-3) - 4(x-3) =(x-3) ×(2x – 4) :‬‬
‫جداء مبسط‬

‫مجموع جبرى‬
‫~ ‪~ 23‬‬

‫مثال ‪ :‬حلل‪ :‬معناه حول مجموع جبرى إلى جداء‬
‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫] ) ‪3x.(x - ) – ( 7 +x )( x - ) – ( x - )2 = ( x - ).[ 3x – ( 7 +x ) – ( x -‬‬
‫استخراج العامل المشترك‬
‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪=( x - ).( 3x –7 - x –x +‬‬
‫نزع األقواس الداخلية‬
‫تبسيط الجداء‬

‫‪13‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫‪=( x - ).( x -‬‬

‫مالحظة ‪ :‬إذا كانت القيمة المكررة المشتركة خفية أى غير ظاهرة ‪ ،‬علينا إظهارها‬
‫مثال‪15 – 21 +18 = 3x5 -3x7 +3x6 = 3x(5 -7 +6) = 3x4 :‬‬
‫جداء مبسط استخراج العامل المشترك‬

‫إظهار العامل المشترك‬

‫المجموع الجبرى‬

‫مثال ‪15x 21x +18xy = 3x5x.x – 3x7x + 3x6xy = 3x.(5x – 7 + 6y) :‬‬
‫استخراج العامل المشترك‬

‫إظهار العامل المشترك‬

‫المجموع الجبرى‬

‫مثال ‪(12x – 4) – (x + 5)(3x -1) = 4.(3x – 1) – (x +5)(3x – 1) :‬‬
‫])‪= (3x -1).[4 – (x+5‬‬
‫)‪=(3x - 1)(4 – x - 5‬‬
‫)‪=(3x - 1)( -1 – x‬‬
‫تطبيق ‪ :‬حلل المجاميع التالية‬
‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪5.(x - ) – (3x - 2)(x - ) ; 6x2 – 24xy ; (2x -1)2 – 7.(2x – 1) ; 5.(3x -7) – (3x -7‬‬
‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫)‪x(x – 1) – (x – 1) ; (6x + 1) – (6x +1)2 ; x2 – 5x2 ; (x – 2)(x + 3) - (x +3‬‬

‫~ ‪~ 24‬‬

‫تحليل المجاميع الجبرية الخاصة ‪:‬‬
‫المجاميع الجبرية الخاصة هى مجاميع ناتجة من نشر الجداءات الشهيرة أى من نشر الجداءات الخاصة ‪.‬‬
‫و الجداءات الخاصة أنواع ‪:‬مربع مجموع ‪ -‬مربع فرق ‪ -‬جداء مرافقين ‪ .‬و منه المجاميع الحبرية الخاصة أنواع ‪:‬‬
‫مجموع جبرى ناتج من مربع مجموع ‪ :‬و نتعرف عليه باحتوائه على ثالثة حدود ‪ ،‬منها حدان على شكل‬
‫مربع كامل و الحد الثالث هو ضعف جداء جذرى المربعين الكاملين و بشكل موجب ‪.‬‬
‫مثال ‪ x2 +8x + 16 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه ثالثة حدود و هى ‪:‬‬
‫‪ X2‬ناتج من مربع ‪x‬‬
‫‪ 16‬ناتج من مربع ‪4‬‬
‫‪ 8x‬هو ضعف الجداء ‪ 4x‬و بشكل موجب‬
‫إذن ‪ x2 +8x + 16‬ناتج من مربع المجموع )‪ (x +4‬أى ‪x2 +8x + 16 = (x +4)2 :‬‬
‫مثال ‪ 9x2 +24x + 16 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه ثالثة حدود و هى ‪:‬‬
‫مربع كامل‬

‫مربع كامل‬

‫‪ 9x2‬ناتج من مربع ‪3x‬‬
‫‪ 16‬ناتج من مربع ‪4‬‬
‫‪ 24x‬هو ضعف الجداء )‪ (3x)(4‬و بشكل موجب‬
‫إذن ‪ 9x2 +24x + 16‬ناتج من مربع المجموع )‪ (3x +4‬أى ‪9x2 +24x + 16 = (3x + 4)2 :‬‬
‫مثال ‪:‬‬
‫‪16 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬
‫‪9‬‬

‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x+‬‬

‫‪4‬‬

‫ناتج من مربع ‪x‬‬

‫‪5‬‬

‫ناتج من مربع‬

‫‪4‬‬

‫‪+‬‬

‫‪16 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬

‫هو مجموع جبرى خاص ألن فيه ثالثة حدود و هى ‪:‬‬

‫‪3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫هو ضعف الجداء ) ()‪ ( x‬بشكل موجب‬
‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪16 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫ناتج من مربع المجموع ) ‪ ( x+‬أى‬

‫~ ‪~ 25‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x + = ( x+ )2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪16 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬

‫مجموع جبرى ناتج من مربع فرق ‪ :‬و نتعرف عليه باحتوائه على ثالثة حدود ‪ ،‬منها حدان على شكل مربع‬
‫كامل و الحد الثالث هو ضعف جداء جذرى المربعين الكاملين و بشكل سالب ‪.‬‬
‫مثال ‪ x2 - 8x + 16 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه ثالثة حدود و هى ‪:‬‬
‫‪ X2‬ناتج من مربع ‪x‬‬
‫‪ 16‬ناتج من مربع ‪4‬‬
‫‪ -8x‬هو ضعف الجداء ‪ 4x‬و بشكل سالب‬
‫‪x2 - 8x + 16 = (x - 4)2‬‬

‫إذن ‪ x2 - 8x + 16‬ناتج من مربع الفرق )‪ (x - 4‬أى‬

‫مثال ‪ 9x2 - 24x + 16 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه ثالثة حدود و هى ‪:‬‬
‫مربع كامل‬

‫مربع كامل‬

‫‪ 9x2‬ناتج من مربع ‪3x‬‬
‫‪ 16‬ناتج من مربع ‪4‬‬
‫‪ - 24x‬هو ضعف الجداء )‪ (3x)(4‬و بشكل سالب‬
‫إذن ‪ 9x2 - 24x + 16‬ناتج من مربع الفرق )‪ (3x - 4‬أى ‪9 x2 - 24x + 16 = (3x - 4)2 :‬‬
‫مثال ‪:‬‬
‫‪16 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬
‫‪9‬‬

‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x+‬‬

‫‪4‬‬

‫ناتج من مربع ‪x‬‬

‫‪5‬‬

‫ناتج من مربع‬

‫‪4‬‬

‫‪-‬‬

‫‪16 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬

‫هو مجموع جبرى خاص ألن فيه ثالثة حدود و هى ‪:‬‬

‫‪3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫ هو ضعف الجداء ) ()‪ ( x‬بشكل سالب‬‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪16 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫ناتج من مربع الفرق ) ‪ ( x-‬أى‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x + = ( x- )2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪16 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬

‫مثال ‪ 2x2 - 6√2x + 9 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه ثالثة حدود و هى ‪:‬‬
‫‪ 2x2‬ناتج من مربع ‪ 9 ; √2x‬ناتج من مربع ‪ -6√2x ; 3‬هو ضعف الجداء )‪ (√2x)(3‬و بشكل سالب‬
‫إذن ‪ 2x2 - 6√2x + 9 :‬ناتج من مربع الفرق )‪ (√2 x – 3‬أو مربع الفرق )‪(3 - √2x‬‬
‫أى ‪ 2x2 - 6√2x + 9 =(3 - √2x)2 :‬أو ‪2x2 - 6√2x + 9 =(√2 x – 3)2‬‬

‫~ ‪~ 26‬‬

‫مجموع جبرى ناتج من جداء مرافقين‬

‫‪ :‬ونتعرف عليه باحتوائه على حدين فقط وكل منهما مربع كامل ‪.‬‬

‫مثال ‪ x2 - 16 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه حدين فقط و هما ‪:‬‬
‫مربع كامل‬

‫مربع كامل‬

‫‪ X2‬ناتج من مربع ‪x‬‬

‫; ‪ 16‬ناتج من ملربع ‪4‬‬

‫إذن ‪ x2 - 16‬ناتج من جداء المرافقين )‪ (x -4‬و )‪ (x +4‬أى )‪x2 - 16 = (x – 4)(x +4‬‬
‫مثال ‪ 9x2 - 16 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه حدين فقط و هما ‪:‬‬
‫مربع كامل‬

‫مربع كامل‬

‫‪ 9X2‬ناتج من مربع ‪3x‬‬

‫; ‪ 16‬ناتج من ملربع ‪4‬‬

‫إذن ‪ 9x2 - 16‬ناتج من جداء المرافقين )‪ (3x -4‬و )‪ (3x +4‬أى )‪9x2 - 16 = (3x – 4)(3x +4‬‬
‫مثال ‪ 9x2 - 3 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه حدين فقط و هما‬
‫مربع كامل‬

‫مربع كامل‬

‫‪ 9X2‬ناتج من مربع ‪3x‬‬

‫; ‪ 3‬ناتج من مربع ‪√3‬‬

‫إذن ‪ 9x2 - 3‬ناتج من جداء المرافقين )‪ (3x -√3‬و )‪ (3x +√3‬أى )‪9x2 - 3 = (3x – √3)(3x +√3‬‬
‫مثال ‪ (3x -5)2 - 16 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه حدين فقط و هما ‪:‬‬
‫مربع كامل‬

‫مربع كامل‬

‫; ‪ 16‬ناتج من مربع ‪4‬‬

‫‪ (3x -5)2‬ناتج من مربع )‪(3x- 5‬‬

‫إذن ‪ (3x -5)2 - 16‬ناتج من جداء المرافقين ]‪ ] (3x -5)+ 4‬و ]‪] (3x -5)- 4‬‬
‫أى‬

‫)‪(3x -5)2 -16 = [(3x- 5) -4]× [(3x – 5) +4]= (3x- 5 - 4) (3x- 5 + 4‬‬
‫)‪= (3x – 9)(3x – 1‬‬

‫جداء مبسط‬

‫‪2‬‬

‫مثال ‪ (3x – 5)2 – ( x +4)2 :‬هو مجموع جبرى خاص ألن فيه حدين و هما مربعين كاملين‬
‫‪5‬‬

‫‪ (3x – 5)2‬ناتج من مربع )‪(3x – 5‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ ( x +4)2‬ناتج من مربع )‪( x +4‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫إذن ‪ (3x – 5)2 – ( x +4)2 :‬ناتج من جداء المرافقين ] )‪ [ (3x – 5) – ( x +4‬و ])‪[ (3x – 5) + ( x +4‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫] )‪(3x – 5)2 – ( x +4)2 = [ (3x – 5) – ( x +4) ]× [ (3x – 5) + ( x +4‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫)‪= (3x – 5 – x - 4) × (3x – 5 + x +4‬‬
‫‪17‬‬

‫‪13‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪=( x – 9)( x – 1‬‬
‫~ ‪~ 27‬‬

‫نزع األقواس الداخلية‬
‫جداء مبسط‬


الطريق    إلـــــــى التحليل و الحساب -المستوى المتوسط- (1).pdf - page 1/27
 
الطريق    إلـــــــى التحليل و الحساب -المستوى المتوسط- (1).pdf - page 2/27
الطريق    إلـــــــى التحليل و الحساب -المستوى المتوسط- (1).pdf - page 3/27
الطريق    إلـــــــى التحليل و الحساب -المستوى المتوسط- (1).pdf - page 4/27
الطريق    إلـــــــى التحليل و الحساب -المستوى المتوسط- (1).pdf - page 5/27
الطريق    إلـــــــى التحليل و الحساب -المستوى المتوسط- (1).pdf - page 6/27
 




Télécharger le fichier (PDF)

الطريق إلـــــــى التحليل و الحساب -المستوى المتوسط- (1).pdf (PDF, 1.4 Mo)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP



Documents similaires


cours puissances
bsq fr
tpe annexes pdf
correction exercice 2 multiples et diviseurs
exercices arithmetique et affirmations maths troisieme 954
kilyn cv

Sur le même sujet..