Math site geometrie dans l espace Resume du cours 2015 .pdf



Nom original: Math-site-geometrie-dans-l-espace-Resume-du-cours-2015.pdfTitre: CH : Nombres ComplexesAuteur: aroua

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Maths site

Résumé du cours

Géométrie dans l’espace
On désigne par E l’ensemble des points de l’espace et par w l’ensemble





 

des vecteurs de l’espace . E est muni d un repère orthonormal o, i, j , k est Wmuni de la base B  i, j , k .
Produit scalaires dans l’espace :
Définition :Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls
Propriétés :* pour tous vecteurs

uet v

uet v est

le nombre réel : u  v

 u  v cos(u , v )

et tous réel et
2

2

Si u = 0 ou v = 0 alors

u = u

uv  0

 (u  v )   u   v

u v  vu

(   )u   u   u

 (  u )  ( )u

x
 
* E est muni d un repère orthonormal u  y  et
z
 

 x' 
 
v y '  sont deux vecteurs de W
 z' 
 

2

1.
2.
3.

u u

= u = x²  y ²  z ²

u  v  xx ' yy ' zz'

uv

2

2

2

 u  v  2u  v

4. | u . v |≤ u  v (inégalité de Cauchy Scharz)
5.

u  v  u  v (inégalité de Minkowski)

 

 

Déterminant de trois Vecteurs : Soit B = i, j , k une base deW et u , v, w un triplet de vecteurs de W tel que

 x" 
 
et w y"  alors :
 z" 
 
x x' x"
y ' y"
x' x"
x' x"
y
z
det u , v, w = y y ' y"  x
= x (y’ z’’ - z’ y ‘’) – y (x’z’’- z’x’’) + z (x’y’’- y’x’’)
z ' z"
z ' z"
y ' y"
z z ' z"
x
 
u y 
z
 

 x' 
 
v y ' 
 z' 
 

 

Théorème : soit A ,B,Cet D quatre points de E .Le triplet





AB, AC, ADest une base de W si et seulement si

n est pas liée si et seulement si det AB, AC, AD ≠ 0 si et seulement si AB, AC et AD ne sont pas
coplanaires si et seulement si A ,B,Cet D ne sont pas coplanaires
Vecteurs colinéaires :
 deux vecteurs de l’espace sont dits colinéaires Si l’un est produit de l’autre par un réel
 x' 
x
 
 
 u  y  et v y '  sont deux vecteurs de W ,
u et v sont deux vecteurs colinéaires si et seulement si
 z' 
z
 
 
AB, AC et AD

x x'
y y'
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-1-

y y'
z z'



x x'
z z'

0
Géométrie dans l’espace

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Droite :

Résumé du cours

Etant donnés un point A et un vecteur non nul u :
* La droite passant par A et de vecteur directeur u (notée D (A, u )) est l’ensemble des points M tels que AM et u
sont colinéaires.
* Etant donnés deux points A et B on (A B) = D (A, AB ).

a
 
* Equations paramétriques d une droite de l’espace
Si u  b  , A x , y , z etM  x, y, z 
0 0 0
c 
 
Ce système est une représentation
 x  a  x
paramétriques de la droite D dans
0

l’espace

M  D (A, u ) équivaut à Il existe un réel  tel que AM   u équivaut à  y  b  y 0

 z  c  z 0
* Equations cartésienne d une droite dans le plan
* Le plan est muni d un repère o, u, v l’ensemble des points M tel que a x + b y + c =0 avec (a,b)≠(0,0) est





 

 b
une droite D de vecteur directeur u   ou de vecteur normal
a 

a

b 

n

* Etant donnés deux points A, Met u un vecteur non nul
a
Si u , Ax 0 , y 0 etM x, y  ,
b 
det (

AM , u

)=

x  x0 a

=b(x-x0 )-a(y-y0) fournit une équation Cartésienne de la droite D (A, u )

y  y0 b

Plan :
Equations paramétriques d un plan de l’espace
Etant donnés un point A , uet v deux vecteurs non colinéaires
 a   a' 
Si u  b  ,v  b'  A x , y , z etM  x , y, z  ,M  P (A, u, v )
   
0 0 0
 c   c' 
   





 x  a   a '  x
0

si et seulement si Il existe un unique couple réels (  ,  ) tel que AM   u   v équivaut à  y  b  b ' y
0

z


c


c
'

z


0

Ce système est une représentation paramétrique du plan P
Equations cartésienne d un plan de l’espace : Tous plan de l’espace admet une équation de la forme
a x + b y + c z + d = 0 ou a,b et c sont des réel non tous nuls
Réciproquement : Si un plan P à pour équation a x + b y + c z + d = 0 alors

* Etant donnés un point
AM  n  0 est

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A x 0 , y 0 , z etM x, y , z
0

 et

a
 
n b  est un vecteur normal à P
c 
 

a
 
n b  un vecteur normal au plan P alors pour tous point M  P
c 
 

une équation cartésienne du plan passant par A et de vecteur normal n

-2-

Géométrie dans l’espace

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Résumé du cours

* Etant donnés un point A  P (A,
a

 a' 



   

Si u b , v b'  A x 0 , y 0 , z
0
 c   c' 
   





etM x , y , z

u, v )

et

uet v

deux vecteurs non colinéaires du plan P

 ,alors pour tous point M  P (A,

u, v )

det

AM , u, v= 0

est une équation

cartésienne du P
Orthogonalité dans l’espace :
*

uet v sont

orthogonaux si et seulement si

u  v  0 et

on note

u  v

* Soit deux droites D et D’ de vecteurs directeurs respectives uet v
On a alors : D  D’ équivaut à
uv  0
* Un vecteur normal à une droite est un vecteur orthogonal au vecteur directeur de la droite .
* Un vecteur non nul

n

est normal au plan P (o, v, w ) si et seulement si

* Soit une droite D de vecteur directeur

u

n  v  0 et n  w  0

et P (o, v, w ) un plan

u  v  0 et u  w  0
D  P si et seulement si
* Deux vecteurs non nuls net n ' sont normaux à un même plan si et seulement si ils sont colinéaires.

* Soit deux plan P et P ’ de vecteurs normaux respectives
n  n'  0
On a alors : P  P ‘ si et seulement si

net n '

P // P ‘ si et seulement si net n ' sont colinéaires
* Soit deux plans P : ax+by+c z+d = 0 et P ’ a’x+b’y+c’ z+d’ =0
Avec a’,b’ et c’ trois réels non nuls ona : P // P ‘ si et seulement si

a
a'



b



b'

c
c'

Produit vectoriel dans l’espace :
Soient

et

v

sont deux vecteurs de W et A ,B et C trois points de E tel que

vectoriel de

u

et v le vecteur w

noté

u

u  v

= w * Si

u

et

v

sont colinéaires alors

* Si non
1.

Propriétés : Soient u , v et
On a : *

u  v

*

w  (u

*

(

w

est l unique vecteur tel que

w est

normal au plan (ABC)

u, v, w est une base directe de W

3.

u v

w

=u 

 w

(u ) 
+

v

.



=

u 

(v ) = ( u 

sin( u ,v )

un réel.
v)

v  w

+ v) =w  u +w 

u  v)

 u  v

sont trois vecteurs de W
w

on appelle produit

w= 0

2.

=v u ;

* (u + v ) 

w

AB  u , AC  v

w =( v  w ). u

v

=( w  u ).

v=

det

 
u , v, w

x
 
Expression analytique du produit vectoriel : Dans une base orthonormée directe i, j , k deW, si u  y  et
z
 
y y ' x x'
x x'
i

j

k = (y z’ - z y ‘) i – (xz’- zx’) j + (xy’- yx’) k
u
v

deux vecteurs de W alors
=
z z'
z z'
y y'

 

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-3-

Géométrie dans l’espace

 x' 
 
v y '  sont
 z' 
 

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Résumé du cours

Sinus et cosinus de l’ angle de deux vecteurs : Si
|sin(  )| =

uv

u

et

sont deux vecteurs non nuls de W

v

et cos= u  v

u  v

u  v



E est muni d un repère orthonormé o, i, j , k
Distance d un point à un plan :






* E est muni d un repère orthonormé o, i, j , k Soit le plans P : ax+by+cz+d = 0 ,



A xA, yA, z
A

 un point de l’espace

est H le projeté orthogonale de A sur P ,la distance du point A au plan P est :
d(A , P )=AH=

ax  by  cz  d
A
A
A
a²  b²  c²

* Soit D une droite de vecteur directeur

u

et B un point de D
AB  u

La distance d’un point A de l’espace à la droite D (B , u ) est le réel

d(A , D) =
u

L’aire d un triangle : soit A, B et C trois points non alignés de E
L’aire d un triangle ABC est égale à A = 1 AB  AC
2

L’aire d un parallélogramme
Soit ABCD un parallélogramme. L’aire du parallélogramme ABCD est égale à A =

AB  AD

Volume d’un parallélépipède
Le volume d’un parallélépipède ABCDEFGH est égale à





V = |det AB, AD, AE |= | ( AB  AD ). AE |=B.h
B : l’aire de la base et h : hauteur
Volume d’un tétraèdre Le Volume d’un tétraèdre ABCD est égale à :
V =

1

| det

6



AB, AC, AD

| =

1

| ( AB 

AC ). AD |=

6

1

Bh.

B : l’aire de la base et h : hauteur

3

Equations cartésienne d’une sphère :





* Soit I(a,b,c) un point de l’espace rapporté a un repère orthonormé o, i, j , k est R un réel positif .
Une équation cartésienne de la sphère S (I ,R) de centre I et de rayon R est :
(x – a)²+(y – b)²+(z – c)²= R²
* Soit S une sphère de centre I et de rayon R et P un plan de l’espace on désigne par H la projeté orthogonale
du point I sur le plan P et on pose d=IH
- Si d < R alors P  S est le cercle du plan P de centre H et de rayon
R’= R ²  d ² et on dit que P et S sont sécants suivant ce cercle
-Si d=R alors P  S ={ H} et on dit que P et S sont tangents en H
- Si d > R P  S =  et on dit que P et S sont disjoint

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-4-

Géométrie dans l’espace

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Réflexes à avoir

Les réflexes à avoir
 Ne pas oublier que vous travailler dans l’espace et que tout point est définie dans un repère par son
triplet de coordonnées.


Le produit scalaire permet de démontrer que des droites sont orthogonales de calculer des angles
géométriques , de trouver des équations de cercles ou de sphère et de trouver des équation cartésienne du plan .
 Un produit scalaire peut se calculer a l’ aide de quatre formules
 x

 x' 

z 
 

 z' 
 

1) u  y  et v  y'  sont deux vecteurs de W
 
 
soient A, B, et C trois points de E tel que u = AB et v = AC
. u . v  AB . AC  AB . AH ou le point H est le projeté Orthogonale du point C sur (AB)
2) u  v  u  v cos( u,v )
3) u  v  xx'  yy'  zz'
2

2

2

4) 2u  v  u  v  u  v
En général vous choisirez des quatre formules selon l’énoncé de l’exercice
*La représentation paramétriques d une droite D de l’espace sous la forme

 x   k  x0

 y   k  y0
z   k  z

0

avec k 





 

Permet d’affirmer que le point A x , y ,z est un point de la droite et que le vecteur u    est un vecteur
0 0 0
 
 
 

directeur de la droite
a



Penser que si un plan P à pour équation ax+by+c z+d = 0 alors le vecteur n  b  est normal a P
 
c 
 

 



Soit P : ax+by+c z+d = 0 un plan de l’espace E et soit u   
 
 
 



Un vecteur de l’espace. u est un vecteur du plan P si et seulement si a  +b  +c   0
soient A, B, Cet D quatre points de E tel que A,B,C ne sont pas alignés . Alor ABCD est un parallélogramme
si et seulement si AB  DC si et seulement si AB  AD  AC



Etant donnés un point A x , y ,z et n  b  un vecteur normal au plan P alors pour tous point
0 0 0
 



M  x, y,z   P



a
c 
 

AM  n  0 est une équation cartésienne du plan passant par A et de vecteur normal

n

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-5-

Géométrie dans l’espace

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Réflexes à avoir

Soient u,v et w sont trois vecteurs de W. { u,v , w } est liée si et seulement si det( u,v,w )  0 si et seulement
si u,v et w ne sont pas coplanaires



Etant donnés un point A  P (A, u , v ) et u et v deux vecteurs non colinéaires du plan P

a

 a' 

c 
 

 c' 
 



Si u  b  ,v  b'  , A x , y , z
   
0 0 0

M  P (A, u,v ) det



et M  x , y , z  alors pour tous point

x  x0 a a'

 AM , u, v   y  y0 b b' = 0 sig
z  z0 c c'

x  x0 a a'

det

 AM , u, v   y  y0 b b'  ( x  x0 ) bc c'b'  ( y  y0 ) ac c'a'  ( z  z0 ) ab b'a' =0
z  z0 c c'

est une équation cartésienne du plan P (A, u,v )
 a   a' 
   

u  b  ,v  b'  A x , y , z etM  x , y, z   P (A,
0 0 0
 c   c' 
   





u, v )

 x  a   a '  x
0

La représentation paramétrique du plan P (A, u,v ) de l’espace sous la forme  y  b  b ' y ( (  ,  )  IR² )
0

 z  c   c '  z 0



il ne faut pas penser que deux plans perpendiculaires a un même plan sont parallèle (ils peuvent l’être mais
en générale, ils ne le sont pas)



Dans l’espace si deux droites ne sont pas parallèles alors elles ne sont pas nécessairement sécantes (elles
peuvent être non coplanaire)
Sécants selon une droite



Deux plans peuvent

strictement
Parallèles
confondus



Soient A et B deux points de E

 L’ensemble  1 des points M tel que : AM=BM est donc le plan médiateur du segment


L’ensemble  2 des points M tel que :

 AB 

AM=R avec R>0est donc la sphère S de centre A est de rayon R

 L’ensemble  3 des points M de l’espace tel que

MA  MB  0 est la sphère de diamètre [AB]

 L’ensemble  4 des points M de l’espace tel que

MA  MB  0 est la droite (AB)

 L’ensemble  5 des points M de l’espace tel que
par A

AM  AB  0 est Le plan orthogonal a AB passant

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-6-

Géométrie dans l’espace

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Réflexes à avoir

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Géométrie dans l’espace

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Réflexes à

avoir

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-8-

Géométrie dans l’espace


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