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التجربة العشوائية .pdf



Nom original: التجربة العشوائية.pdf

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)‫التجربة العشوائية ( االختبار) هى العمل الذى نجهل نتيجته األكيدة و نعلم نتيجته الممكنة (المحتملة‬
L’expérience aléatoire (l’épreuve) est un travail que nous ignorons son résultat certain mais nous savons son
résultat éventuelle (possible).
Exemple : un voyageur veut aller d’une ville A à la ville C en passant par la ville B. et nous savons qu’il ya 4 routes
séparant les deux villes A et B et 3 routes séparant celle de B et C comme l’indique le schéma :
r1

XB

R1

AX

XC

r3

R3
R4

Cette expérience (cette épreuve) se fera en 2 étapes ; donc on écrit les résultats possibles de ce travail par des
couples ( e1 ; e2) tel que : e1 est un résultat possible du 1er étape et e2 est un résultat possible du 2eme étape. Et
pour présenter tout les ca possibles et les compter (les dénombrer) on utilise soit :



L’ensemble

Ω (ensemble de tous les cas possibles)

(𝑹𝟏 ; 𝒓𝟏); ( 𝑹𝟏 ; 𝒓𝟐); ( 𝑹𝟏 ; 𝒓𝟑); ( 𝑹𝟐 ; 𝒓𝟏); (𝑹𝟐 ; 𝒓𝟐); (𝑹𝟐 ; 𝒓𝟑); (𝑹𝟑 ; 𝒓𝟏);
Ω={
}
(𝑹𝟑: 𝒓𝟐); ( 𝑹𝟑; 𝒓𝟑); (𝑹𝟒 ; 𝒓𝟏); (𝑹𝟒 ; 𝒓𝟐); ( 𝑹𝟒 ; 𝒓𝟑)
 Ou on utilise l’arbre des éventuelles possibles :
R1

r1
r2
r3
r1
r2

R2


épreuve
R3

résultats possibles du 2eme étape si R1 est prise
la première étape

donc il ya : 4 x3 = 12 résultats possibles

r3
r1
r2

R4

r3
r1
r2

résultats possibles du 1er étape :

résultats possibles du 2eme étape si R4 est prise
la première étape

r3

(R1 ou R2 ou R3 ou R4)



Ou pour dénombrer tout les cas possibles ; on résonne comme suit :
- Chaque résultat possible est de la forme ( ……. ; ..…) ou
-

La première case a 4 choix possibles de se remplir ( soit R1; si non R2 ; si non R3 ; si non R4)

-

Une fois le choix est faite sur la première case ; la 2éme case aura 3choix possible de se remplir
( soit r1 ; si non r2 ; si non r3)
Donc le travail (voyager de A à C ) a : 4x3 (soit 12) manières pour ce faire .
1

Observation : l’expérience aléatoire aura – après la fin de travail- un seul cas possible parmi les 12 cas possibles.
Le cas possible ( R1 ; r3) veut dire que le voyageur peut (possibilité) prendre la route ( R1) la première étape,
ensuite prendre (r3) la deuxième étape ; mais on sait pas qu’elle est le cas certain qu’il prendra parce que ce le
travail est au hasard .

Evénement : l’événement est un ensemble de cas possibles qui ont une même propriétés
( ces cas possibles ont de propriétés communs)
Exemple : prenons pour l’épreuve précédente (voyager de A à C) l’événement

A:«

le voyageur prendra la route

( R1) première étape et l’un des routes de la deuxième étape ».
Donc

A = {(𝑹𝟏 ; 𝒓𝟏); ( 𝑹𝟏 ; 𝒓𝟐); ( 𝑹𝟏 ; 𝒓𝟑)}

Donc l’événement est une partie de Ω(partie de l’ensemble de tout les cas) C.A.D : l’événement est un sousensemble de Ω
Donc on a : A⊂ Ω



On dit que l’événement est réalisé quand l’un de ses issues (‫ )مخارج‬possibles devient le résultat certain de
l’épreuve.
- L’événement A peut être réaliser par 3 manières ( 3 cas) parmi les 12 manières totale de l’expérience
3

. donc on écrit P (A ) = 12 et on lit : la probabilité que l’événement A soit réalisé est 3 sur 12
d’où la règle :
Observation :



P(A)=

𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒔𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑨
𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆

0 ≤ P(A) ≤ 1

Evénement particulier :
-

Evénement élémentaire : c’est celui qui possède un seul cas possible ( il ne se réalise qu’avec
une seul manière ) exemple B = {( 𝑅1 ; 𝑟3)}
Evénement impossible : c. ce lui qui ne possède aucun cas possible ; c l’ensemble vide Φ
( il ne se réalise jamais)
Evénement certaine : c celui que se réalise toujours quelque soit le résultat de l’épreuve.
C’est l’ensemble Ω( ensemble de tout les issues possible)
On en déduit que

-

p (Ω) =

1

et

P(Φ) = 0

Evénement contraire : si A est un événement donc 𝐴 est un événement contraire de tel
sorte que : si A s’est réalisé, l’événement 𝐴 ne se réalise pas .

-

P( A) +P(𝑨) = P(Ω) = 1

et si 𝐴 s’est réalisé, A ne se réalisera pas. donc :
𝑨



A

2

EXEMPLE : on jette une fois un dé non truqué de six face numérotés 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8(c’est un travaille aléatoire) .
et on s’intéresse au numéro parut sur la face supérieur . donc on ignore le numéro de la face qui va se produire
mais on sait d’avance que le numéro qui va se produire sera soit : 5 ; si non 3 ; si non 4 ; si non 6 ; si non 7 ; si non
8.

experience

8

l’ensemble de tous les issues possibles est noté Ω

3

Ω = {3 ;4 ;5 ;6 ;7 ;8}

*

4

aleatoire

5
6
7

Arbre des issues possibles

Résumé :

expérience
aléatoire

*

e1

(a1 ;b1)

{ a1 ;b1 ;c1 ; ……}

e2

(a2 ;b2)

{ a2 ;b2 ; c2 ; ……..}

e3

expérience *

….

aléatoire

……

Ici l’expérience aléatoire se fait
en une seule étape et chaque
issue comporte un élément libre.

……
…….

en
Arbre des issues possibles

(a3 ; b3)

(an ; bn)
Arbre des issues possibles
Ici l’expérience aléatoire se fait en
deux étapes consécutives.
(a1 ;b1) est une issue possible tq :

expérience *
aléatoire

{ a3 ;b3 ; c3 ; …….}
{

……………..}

{

…………….}

{an ; bn ; cn ;……..}
Arbre des issues possibles
Ici l’expérience aléatoire se fait en une seule
étape(‫ ( دفعة واحدة‬et chaque issue comporte
plusieurs éléments .

a1 est une issue possible de la 1ere étape

{ an ;bn : cn : ……} est une issue tque : a

b1 est une issue possible de la2eme

.………..sont tous soumis à la fois à un seul travail et
en une seule étape

étape.

n

et bn et cn

Chaque issue s’appelle :

* un multiplet ou un p- uplets (ici un
2-uplets)( ‫ ) قائمة‬si (an ; an) peut se
produire .c.a.d une issue en 1ere
étape peut se produire en 2eme
étape(la répétition est possible).

Chaque issue s’appelle une combinaison (‫)توفيقة‬

*ou s’appelle un arrangement (‫)ترتيبة‬
si (an ; an) ne peut pas se produire(la
répétition est interdite).

3

*Le nombre des issues multiplits (p-uplets) est donnés par la formule :
telque :
et

n xnxn……..xn

n est le nombre d’individus dont on fait l’expérience sur eux .

P facteurs de n

p est le nombre des étapes (le nombre d’élément que comporte chaque issue) .
𝑨𝑷𝒏 = nx(n-1)x(n-2)x………x1

*Le nombre des issues arrangements est donnés par la formule :

𝒏!

𝑨𝑷𝒏 = (𝒏−𝒑)!

ou par :

telque :
et

np ou par :

n est le nombre d’individus dont on fait l’expérience sur eux

p est le nombre des étapes (le nombre d’élément que comporte chaque issue)

observer : si n = p un arrangement s’appelle une permutation et le nombre de permutation est

𝑨𝒏𝒏

𝐏
𝑷 𝐀𝐧
*Le nombre des issues combinatoires est donnés par la formule : 𝑪𝒏 =
𝐏!

𝑪𝑷𝒏 =

OU par :


et

𝐧!
𝐩!(𝐧−𝐩)!

n est le nombre d’individus dont on fait l’expérience sur eux.

p n’est pas le nombre des étapes mais le nombre d’élément que comporte chaque issue.
Résumé :






Un p-uplet est une disposition ordonnée de p éléments parmi n éléments avec possibilité de trouver les p
éléments répétés .(quelque éléments de p peuvent être répétés).
- Exemple (a : b) est un 2-uplet et (a ;b) ≠ (b ; a)
-Possibilité de trouver ( a ; a)
Un arrangement est une disposition ordonné de p éléments distinctes parmi n éléments avec
l’interdiction de trouver les p éléments répétés ( aucun élément de p peut être répété)
*on peut dire que les arrangements sont des p-uplets non répétés.
-Exemple (a : b) est un arrangement et (a ;b) ≠ (b ; a)
-interdit de trouver ( a ; a)
Une combinaison est une disposition non ordonné de p élément distinctes parmi n éléments avec
l’interdiction de trouver les p éléments répétés ( aucun élément de p n’est répété)
-Exemple :

{ a1 ; b

; c ; …} est une combinaison et

- Interdit de trouver { a ;
éléments.

b ; a}

ou { b ; c

; b}

{a ;

ou { a ; a

b ; c}

; c}

= { a; c

= {b ;c

; c}ou

; b}

= {b;a

; c}

= {b ;c

; a}

………(interdit de répéter les

4

Exemple e d’application :
Un sac contient 4 billes notés par les alphabets : A ; B ; C ; D indiscernables au toucher ( ‫(ال نفرق بينها إذا لمسناها‬.
On donne les expériences aléatoires et indépendantes suivantes :
répond au questions et calculer p(E) (probabilité que A soit realisé)à chaque expérience .
1) On tire au hasard une bille de se sac et on s’intéresse à la lettre parut.
-

Ecrire Ω l’ensemble de tous les issues possibles et représenter la par un arbre ou un diagramme.
Donner le nombre des issues possibles .

- Ecrire E l’événement de « issues possibles ayant la lettre A »
2) On tire au hasard deux billes consécutives (‫) بالتتالي‬de sac avec remise (on tire la premiere et on note sa
lettre ensuite on la remit dans le sac et on tire la deuxième fois et note la deuxième lettre) et on
s’intéresse au deux lettres parut.
-

Ecrire Ω l’ensemble de tous les issues possibles et représenter la par un arbre ou un diagramme.

- Donner le nombre des issues possibles .
- Ecrire E l’evenement de « issues possibles ayant la lettre A »
3) On tire au hasard deux billes consécutives (‫) بالتتالى‬de sac sans remise (on tire la premiere et on note sa
lettre ensuite sans la remetre dans le sac , on tire la deuxième fois et note la deuxième lettre) et on
s’intéresse au deux lettres parut.
-

Ecrire Ω l’ensemble de tous les issues possibles et représenter la par un arbre ou un diagramme.

- Donner le nombre des issues possibles .
- Ecrire E l’evenement de « issues possibles ayant la lettre A »
4) On tire au hasard deux billes simultanement de se sac ( ‫ )دفعة واحدة‬et on s’intéresse au deux lettres parut.
-

Ecrire Ω l’ensemble de tous les issues possibles et représenter la par un arbre ou un diagramme.

- Donner le nombre des issues possibles .
- Ecrire E l’evenement de « issues possibles ayant la lettre A »
5) On tire au hasard trois billes consécutives (‫) بالتتالى‬de sac avec remise (on tire la premiere et on note sa
lettre ensuite on la remit dans le sac et on tire la deuxième fois et on note la deuxième lettre ensuite on
la remit dans le sac et on tire la troixieme fois et note la troixieme lettre ) et on s’intéresse au trois lettres
parûtes.
-

Ecrire Ω l’ensemble de tous les issues possibles et représenter la par un arbre ou un diagramme.

- Donner le nombre des issues possibles .
- Ecrire E l’événement de « issues possibles ayant la lettre A »
6) On tire au hasard trois billes consécutives (‫) بالتتالى‬de sac sans remise (on tire la premiere et on note sa
lettre ensuite sans la remetre dans le sac et on tire la deuxième fois et on note la deuxième lettre ensuite
sans la remetre la deuxieme dans le sac , on tire la troixieme fois et note la troixieme lettre ) et on
s’intéresse au trois lettres parûtes.
-

Ecrire Ω l’ensemble de tous les issues possibles et représenter la par un arbre ou un diagramme.

- Donner le nombre des issues possibles .
- Ecrire E l’événement de « issues possibles ayant la lettre A »
7) On tire au hasard trois billes simultanément (‫) دفعة واحدة‬de sac et on s’intéresse au trois lettres
parûtes.
-

Ecrire Ω l’ensemble de tous les issues possibles et représenter la par un arbre ou un diagramme.

-

Donner le nombre des issues possibles .
Ecrire E l’événement de « issues possibles ayant la lettre A ».
5


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