EF+corrige Math2 ST 15 16 .pdf



Nom original: EF+corrige Math2 ST 15-16.pdf
Titre: Microsoft Word - EF 2 ST 16 CORRIGE
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Université de Tlemcen

Faculté des Sciences

Mai 2016

Tronc Commun ST

Epreuve Finale – Math2

1H30

L’usage de tout appareil électronique est strictement interdit
Exercice 1: On considère les matrices suivantes:

ce

n)

−3
0 .
2

Ecrire la matrice , matrice transposée de .
Déterminer les matrices B et C définies par: = . = + .
Calculer les produits D.C et C.D.
En déduire que la matrice D est inversible et donner son inverse .

Exercice 2:

1. Préciser le type de l’équation suivante et la résoudre :

′ − 2 = .
2. a. Résoudre l’équation différentielle suivante :
′′ + 9 = 0.
b. Déterminer la solution de l’équation vérifiant les conditions:
!
0 = 1,
= 1.
6
1 − cos
.
#$%&'()*& +% ,)$-&: /. 012 3’5663275 218 9: ℝ∗ ⟶ ℝ, ⟼ 9 =
A
1. Ecrire le développement limité à l’ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction ↦ cos .
En déduire lim →G 9 .
2. Soit f la fonction réelle de deux variables définie par :

Fa
cu
lté

de
s

Sc

ie
nc
es



1 − cos I A + A
A + A
a. Donner le domaine de définition de f.
b. Calculer lim , J → G, G H , .
c. En déduire que f est prolongeable par continuité en 0, 0 et écrire son
prolongement.
B. Une surface de l’espace est donnée par l’équation: K = sin − .

SM

/S

T

(S

2)
~

H , =

Montrer que :

OP

OP

∀ , ∈ ℝA , O + OJ = + K.


re

LM
D

C. Soit Q le domaine du demi-plan ≥ 0, délimité par les courbes d’équations:
= , = − ,
A + A = 2.
1. Représenter graphiquement le domaine Q.
2. Calculer l’intégrale double :

em

S = T + U U .
Q

Pr

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2 0
=
−1 1
−1 0

(U
ni
v.

1.
2.
3.
4.

1 −1 3
0
, =
1 −1 2 ,
1
1 −1 1

Tl
em

1 1
=
0 1

Barème:

Exercice 1: 6 pts

Exercice 2: 6 pts

Questions de Cours: 8pts

Bon Courage

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Mai 2016

Tronc Commun ST

Epreuve Finale – Math2

1H30

Corrigé



0
1 V, W X'
1
1 1 0
0
=
1 2 1 Y X'
1
0 1 1

−1 0

0 6−6
1
1 −3 + 3 =
0
0 −3 + 4
0

ie

4−3
0 3
1 3 =
−2 + 2
−2 + 2
0 2

−3 2
0
2
2
1

Sc

0

de
s

2

3. . =
−1 1

4−3
0
−3
0 =
4 − 1 − 3 1
2−2
0
2

Fa
cu
lté

2 0 3
2 0
. =
2 1 3
−1 1
1 0 2 −1 0

3
3 V, W X'
2

nc
es

1 1 0
1 −1 3
2 0
= + =
1 2 1 +
1 −1 2 =
2 1
0 1 1
1 −1 1
1 0

−6 + 6
1
−6 + 6 =
0
−3 + 4
0

4. On a . = S = . où I est la matrice identité,
la matrice D est donc inversible Y X' et = . Y X'

0 0
1 0 [\V, W X'
0 1

0 0
1 0 []V, W X'
0 1

Exercice 2: 1.
′ − 2 = ^
^ est une équation différentielle linéaire du premier ordre. V, W X'
--Solution générale de l’ESSM: ′ − 2 = 0 … `
U
U
V, W X' 7c dé 33 .
` ⟹
= 2 U ⟹ ln| | = A + ,
= 2 ⟹

U

/S
T

(S

2)
~



D’où = V, W X' , où est une constante réelle qui peut-être nulle
puisque la fonction nulle est solution de ` . Notons par f la solution de l’ESSM.

LM

D

SM



--Solution particulière de l’EASM :
Soit g une solution particulière de ^ . On utilise la méthode de la variation de la

re

constante, on pose g = V, [W X' .


em
Pr

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1 0
1 1
2. = . =
1 1
0 1
0 1

1
=
1
0

Tl
em

1. Matrice transposée de :

(U
ni
v.

Exercice 1:

ce
n)

1 −1 3
2 0 −3
1 1 0
=
, =
1 −1 2 , =
−1 1 0 .
0 1 1
1 −1 1
−1 0 2

On a:



gh = h + 2




En portant dans l’EASM, on trouve: h + 2 − 2 = ,
D’où h = 1 V, [W X' , ce qui donne = V, [W X' .






Et par suite g = V, [W X' .


--Solution générale de l’EASM : i = f + g = + V, W X' .






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Epreuve Finale – Math2

1H30

Y X'

ni
v.

La solution générale de l’équation est : = cos 3 + A sin 3
( et A sont des constantes réelles arbitraires).

Tl
em

Equation caractéristique de : d A + 9 = 0 V, W X' d’où d = ±32. V, W X'

ce
n)

Exercice 2 (suite) :
2. a. Soit l’équation: ′′ + 9 = 0.
C’est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. sans
second membre.

k

es

nc

ie

= cos 3 + sin 3 . V, W X'

Sc

1 − cos
.
A
. V, W X'

→G

→G

1 − cos
= lim
→G
A

+ 1 A

de

A

A
1 − q1 − 2 + 1 A r

lté

lim 9 = lim



cu

1. Au voisinage de 0 : cos = 1 −

s

#$%&'()*& +% ,)$-&: /. 9: ℝ∗ ⟶ ℝ, ⟼ 9 =

A


+ 1 A
1
1
2
. V, W X'
+
1 1
=
=
lim
= lim
→G 2
→G
2
A

)~

Fa

A

(S
2

2. La fonction f est définie par :


re

LM

D

SM

/S

T

1 − cos I A + A
H , =
A + A
a. Domaine de définition de f : s = ℝA \u 0, 0 v. V, W X'
b. Calculons lim , J → G, G H , .
Le calcul direct donne une forme indéterminée. On utilise les cordonnées
polaires: = d cos w, = d sin w , A + A = d A V, [W X'

lim

, J → G, G

em

1 − cos d
. V, W X'
x⟶G
dA

H , = lim

Et d’après la première question :

Pr

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(U

b. Déterminons la solution de l’équation vérifiant : 0 = 1 l = 1.
0 = 1
cos 0 + A sin 0 = 1
m ⟹ p = 1 m []V, [W X'
m !
!
!
n⟹o
A = 1.
cos + A sin = 1
= 1
2
2
6
La solution de l’équation vérifiant les conditions imposées est :

1 − cos d 1
= . V, [W X'
, J → G, G
x⟶G
2
dA
c. La limite de H , 8 0, 0 existe en et est finie V, W X' donc f admet
un prolongement par continuité en 0, 0 . Il est défini par : V, W X'
1
1 − cos I A + A
c2 , ≠ 0,0 , Hy 0,0 = .
Hy , =
A
A
2
+
lim

H , = lim

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Tronc Commun ST

Epreuve Finale – Math2

1H30

Questions de Cours (suite) :
B. On a: K = sin − .
OP
OP
Montrons que : ∀ , ∈ ℝA , O + OJ = + K.

= sin − + cos − V, W X'

)

OP

O

ce
n

On a :

OP

(U
ni
v.

OJ

/S

T

(S
2

)~

Fa
c

ul



de

s

Sc

ie

nc

es

C. 1. le domaine Q du demi-plan ≥ 0, est délimité par les droites
d’équations: = , = − , et le cercle de centre (0,0) et de rayon √2 .
( 1pt pour la représentation du domaine)

SM

3. Calculer l’intégrale double :

D

S = T + U U .
Q

LM

En cordonnées polaires : Q = } d, w ; 0 ≤ d ≤ √2 , −!/4 ≤ w ≤ !/4  V, [W X'

em



re

Et par suite S = ∬Q + U U = ∬Q d cos w + sin w dUdUw V, [W X'

Pr

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O

Tl
em

= sin − − cos − V, W X'
et
OJ
{K {K
= sin − + sin − = + sin − V, [W X'
+
{ {
OP
OP
et donc, + = + sin − = + K. V, [W X'

S=ƒ

!/4

√2

„d ‡ /3…√G 2 Y X'
cos w + sin w Uw ƒ d A Ud = „sin w − cos w…!/4
−!/4 ×

−!/4

Et finalement

G

S = √2 ×

2√2 4
= . V, W X'
3
3


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