التجربة العشوائية .pdf



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)‫التجربة العشوائية ( االختبار) هى العمل الذى نجهل نتيجته األكيدة و نعلم نتيجته الممكنة (المحتملة‬
L’expérience aléatoire (l’épreuve) est un travail que nous ignorons son résultat certain mais nous savons son résultat
éventuelle (possible).
Exemple : un voyageur veut aller d’une ville A à la ville C en passant par la ville B. et nous savons qu’il ya 4 routes
séparant les deux villes A et B et 3 routes séparant celle de B et C comme l’indique le schéma :
r1

XB

R1

AX

XC

r3

R3
R4

Cette expérience (cette épreuve) se fera en 2 étapes ; donc on écrit les résultats possibles de ce travail par des
couples ( e1 ; e2) tel que : e1 est un résultat possible du 1er étape et e2 est un résultat possible du 2eme étape. Et
pour présenter tout les ca possibles et les compter (les dénombrer) on utilise soit :



L’ensemble

Ω (ensemble de tous les cas possibles)

(𝑹𝟏 ; 𝒓𝟏); ( 𝑹𝟏 ; 𝒓𝟐); ( 𝑹𝟏 ; 𝒓𝟑); ( 𝑹𝟐 ; 𝒓𝟏); (𝑹𝟐 ; 𝒓𝟐); (𝑹𝟐 ; 𝒓𝟑); (𝑹𝟑 ; 𝒓𝟏);
Ω={
}
(𝑹𝟑: 𝒓𝟐); ( 𝑹𝟑; 𝒓𝟑); (𝑹𝟒 ; 𝒓𝟏); (𝑹𝟒 ; 𝒓𝟐); ( 𝑹𝟒 ; 𝒓𝟑)
 Ou on utilise l’arbre des éventuelles possibles :
R1

R2


épreuve
R3

R4

r1
r2
r3
r1
r2

résultats possibles du 2eme étape si R1 est prise
la première étape

donc il ya : 4 x3 = 12 résultats possibles

r3
r1
r2
r3
r1
r2 résultats possibles du 2eme étape si R4 est prise la
r3
première étape

résultats possibles du 1er étape :
(R1 ou R2 ou R3 ou R4)



Ou pour dénombrer tout les cas possibles ; on résonne comme suit :
-

Chaque résultat possible est de la forme ( ……. ; ..…) ou

-

La première case a 4 choix possibles de se remplir ( soit R1; si non R2 ; si non R3 ; si non R4)

-

Une fois le choix est faite sur la première case ; la 2éme case aura 3choix possible de se remplir
( soit r1 ; si non r2 ; si non r3)

-

-

Donc le travail (voyager de A à C ) a : 4x3 (soit 12) manières pour ce faire .

1

Observation : l’expérience aléatoire aura – après la fin de travail- un seul cas possible parmi les 12 cas possibles.
Le cas possible ( R1 ; r3) veut dire que le voyageur peut (possibilité) prendre la route ( R1) la première étape, ensuite
prendre (r3) la deuxième étape ; mais on sait pas qu’elle est le cas certain qu’il prendra parce que ce le travail est
au hasard .

Evénement : l’événement est un ensemble de cas possibles qui ont une même propriétés
( ces cas possibles ont de propriétés communs)
Exemple : prenons pour l’épreuve précédente (voyager de A à C) l’événement

A:«

le voyageur prendra la route

( R1) première étape et l’un des routes de la deuxième étape ».
Donc

A = {(𝑹𝟏 ; 𝒓𝟏); ( 𝑹𝟏 ; 𝒓𝟐); ( 𝑹𝟏 ; 𝒓𝟑)}

Donc l’événement est une partie de Ω(partie de l’ensemble de tout les cas) C.A.D : l’événement est
un sous- ensemble de Ω
Donc on a : A⊂ Ω



On dit que l’événement est réalisé quand l’un de ses issues (‫ )مخارج‬possibles devient le résultat certain de
l’épreuve.
- L’événement A peut être réaliser par 3 manières ( 3 cas) parmi les 12 manières totale de l’expérience .
𝟑

donc on écrit P (A ) = 𝟏𝟐 et on lit : la probabilité que l’événement A soit réalisé est 3 sur 12
d’où la règle :
Observation :



P(A)=

𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒔𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑨
𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆

0 ≤ P(A) ≤ 1

Evénement particulier :
-

Evénement élémentaire : c’est celui qui possède un seul cas possible ( il ne se réalise qu’avec
une seul manière ) exemple B = {( 𝑹𝟏 ; 𝒓𝟑)}
Evénement impossible : c. ce lui qui ne possède aucun cas possible ; c l’ensemble vide Φ
( il ne se réalise jamais)
Evénement certaine : c celui que se réalise toujours quelque soit le résultat de l’épreuve.
C’est l’ensemble Ω( ensemble de tout les issues possible)
On en déduit que

-

p (Ω) =

1

et

P(Φ) = 0

Evénement contraire : si A est un événement donc 𝑨 est un événement contraire de tel
sorte que : si A s’est réalisé, l’événement 𝑨 ne se réalise pas .

-

P( A) +P(𝑨) = P(Ω) = 1

et si 𝑨 s’est réalisé, A ne se réalisera pas. donc :
𝑨



A

2

EXEMPLE : on jette

une fois un dé non truqué de six face numérotés 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8(c’est un travaille aléatoire) . et
on s’intéresse au numéro parut sur la face supérieur . donc on ignore le numéro de la face qui va se produire mais
on sait d’avance que le numéro qui va se produire sera soit : 5 ; si non 3 ; si non 4 ; si non 6 ; si non 7 ; si non 8.

experience

8

l’ensemble de tous les issues possibles est noté Ω

3

Ω = {3 ;4 ;5 ;6 ;7 ;8}

*

4

aleatoire

5
6
7

Arbre des issues possibles
Résumé :

expérience
aléatoire

e1

(a1 ;b1)

{ a1 ;b1 ;c1 ; ……}

e2

(a2 ;b2)

{ a2 ;b2 ; c2 ; ……..}

*

e3
….

expérience *
aléatoire

……

Ici l’expérience aléatoire se fait
en une seule étape et chaque
issue comporte un élément libre.

……
…….

en
Arbre des issues possibles

(a3 ; b3)

(an ; bn)
Arbre des issues possibles
Ici l’expérience aléatoire se fait en
deux étapes consécutives.
(a1 ;b1) est une issue possible tq :
a1 est une issue possible de la 1ere étape

b1 est une issue possible de la2eme
étape.
Chaque issue s’appelle :
* un multiplet ou un p- uplets (ici un
2-uplets)( ‫ ) قائمة‬si (an ; an) peut se
produire .c.a.d une issue en 1ere
étape peut se produire en 2eme
étape(la répétition est possible).

expérience *
aléatoire

{ a3 ;b3 ; c3 ; …….}
{
{

……………..}
…………….}

{an ; bn ; cn ;……..}
Arbre des issues possibles
Ici l’expérience aléatoire se fait en une seule
étape (‫ ( دفعة واحدة‬et chaque issue comporte
plusieurs éléments .

{ an ;bn : cn : ……} est une issue tque : a

n

et bn et cn

.………..sont tous soumis à la fois à un seul travail et
en une seule étape

Chaque issue s’appelle une combinaison (‫)توفيقة‬

*ou s’appelle un arrangement (‫)ترتيبة‬
si (an ; an) ne peut pas se produire(la
répétition est interdite).

3

*Le nombre des issues multiplets (p-uplets) est donnés par la formule :
telque :

np ou par :

n xnxn……..xn

n est le nombre d’individus dont on fait l’expérience sur eux .

P facteurs de n

p est le nombre des étapes (le nombre d’élément que comporte chaque issue) .

et

*Le nombre des issues arrangements est donnés par la formule :

𝒏!

𝑨𝑷𝒏 = (𝒏−𝒑)!

ou par :

telque :

𝑨𝑷𝒏 = nx(n-1)x(n-2)x………x1

ou n! = 𝒏 × (𝒏 − 𝟏) × (𝒏 − 𝟐) × … … .× 𝟏 𝒆𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆 𝟒! = 𝟒 × 𝟑 × 𝟐 × 𝟏

n est le nombre d’individus dont on fait l’expérience sur eux

p est le nombre des étapes (le nombre d’élément que comporte chaque issue)

et

observer : si n = p un arrangement s’appelle une permutation et le nombre de permutation est

𝑨𝒏𝒏

𝐏
𝑷 𝐀𝐧
*Le nombre des issues combinatoires est donnés par la formule : 𝑪𝒏 =
𝐏!

𝑪𝑷𝒏 =

OU par :


et

𝐧!
𝐩!(𝐧−𝐩)!

n est le nombre d’individus dont on fait l’expérience sur eux.
p n’est pas le nombre des étapes mais le nombre d’élément que comporte chaque issue.

Résumé :






Un p-uplet est une disposition ordonnée de p éléments parmi n éléments avec possibilité de trouver les
p éléments répétés .(quelque éléments de p peuvent être répétés).
- Exemple (a : b) est un 2-uplet et (a ;b) ≠ (b ; a)
-Possibilité de trouver ( a ; a)
Un arrangement est une disposition ordonné de p éléments distinctes parmi n éléments avec
l’interdiction de trouver les p éléments répétés ( aucun élément de p ne peut être répété)
*on peut dire que les arrangements sont des p-uplets non répétés.
-Exemple (a : b) est un arrangement et (a ;b) ≠ (b ; a)
-interdit de trouver ( a ; a)
Une combinaison est une disposition non ordonné de p élément distinctes parmi n éléments avec
l’interdiction de trouver les p éléments répétés ( aucun élément de p n’est répété)
-Exemple :

{ a1 ; b

; c ; …} est une combinaison et

- Interdit de trouver { a ;
éléments.

b ; a}

ou { b ; c

; b}

{a ;

ou { a ; a

b ; c}

; c}

= { a; c

= {b ;c

; c}

; b}

= {b;a

; c}

= {b ;c

; a}

ou ………(interdit de répéter les

4

Exemple e d’application :
Un sac contient 4 billes notés par les alphabets : A ; B ; C ; D indiscernables au toucher ( ‫(ال نفرق بينها إذا لمسناها‬.
On donne les expériences aléatoires et indépendantes suivantes :
répond au questions et calculer p(E) (probabilité que E soit réalisé) à chaque expérience .
1) On tire au hasard une bille de se sac et on s’intéresse à la lettre parut.
-

Ecrire Ω l’ensemble de tous les issues possibles et représenter la par un arbre ou un diagramme.
Donner le nombre des issues possibles .

- Ecrire E l’événement de « issues possibles ayant la lettre A »
2) On tire au hasard deux billes consécutives (‫) بالتتالي‬de sac avec remise (on tire la premiere et on note sa
lettre ensuite on la remit dans le sac et on tire la deuxième fois et note la deuxième lettre) et on
s’intéresse au deux lettres parut.
-

Ecrire Ω l’ensemble de tous les issues possibles et représenter la par un arbre ou un diagramme.

- Donner le nombre des issues possibles .
- Ecrire E l’événement de « issues possibles ayant la lettre A »
3) On tire au hasard deux billes consécutives (‫) بالتتالي‬de sac sans remise (on tire la première et on note sa
lettre ensuite sans la remettre dans le sac , on tire la deuxième fois et note la deuxième lettre) et on
s’intéresse au deux lettres parut.
-

Ecrire Ω l’ensemble de tous les issues possibles et représenter la par un arbre ou un diagramme.

- Donner le nombre des issues possibles .
- Ecrire E l’événement de « issues possibles ayant la lettre A »
4) On tire au hasard deux billes simultanément de se sac ( ‫ )دفعة واحدة‬et on s’intéresse au deux lettres parut.
-

Ecrire Ω l’ensemble de tous les issues possibles et représenter la par un arbre ou un diagramme.

- Donner le nombre des issues possibles .
- Ecrire E l’évènement de « issues possibles ayant la lettre A »
5) On tire au hasard trois billes consécutives (‫) بالتتالي‬de sac avec remise (on tire la première et on note sa
lettre ensuite on la remit dans le sac et on tire la deuxième fois et on note la deuxième lettre ensuite on la
remit dans le sac et on tire la troisième fois et on note la troisième lettre ) et on s’intéresse au trois lettres
parûtes.
-

Ecrire Ω l’ensemble de tous les issues possibles et représenter la par un arbre ou un diagramme.

- Donner le nombre des issues possibles .
- Ecrire E l’événement de « issues possibles ayant la lettre A »
6) On tire au hasard trois billes consécutives (‫) بالتتالي‬de sac sans remise (on tire la première et on note sa
lettre ensuite sans la remettre dans le sac , on tire la deuxième fois et on note la deuxième lettre ensuite
sans remettre la deuxième dans le sac , on tire la troisième fois et note la troisième lettre ) et on
s’intéresse au trois lettres parûtes.
-

Ecrire Ω l’ensemble de tous les issues possibles et représenter la par un arbre ou un diagramme.

- Donner le nombre des issues possibles.
- Ecrire E l’événement de « issues possibles ayant la lettre A »
7) On tire au hasard trois billes simultanément (‫ ) دفعة واحدة‬de sac et on s’intéresse au trois lettres parûtes.
-

Ecrire Ω l’ensemble de tous les issues possibles et représenter la par un arbre ou un diagramme.

-

Donner le nombre des issues possibles.
Ecrire E l’événement de « issues possibles ayant la lettre A ».

5

Réponse :
1- Tirer une bille de sac est un travail qui donne un élément libre comme
résultat certaine. et les éléments que chacun d’entre eux peut être cette
résultat sont : soit A soit B soit C soit D donc Ω = {𝑨 ; 𝑩 ; 𝑪 ; 𝑫 }

et le nombre des issues possible est 4 issues.
Expérience aléatoire *

A
B
C
D

E « issues possibles ayant la lettre A » ={𝑨 } et P(E) =p ({𝑨 })=

𝟏
𝟒

=0.25

2- Tirer au hasard deux billes consécutive de sac avec remise est un travail qui
donne un élément multiplet (2- uplet) comme résultat certaine sous forme
(élément de la 1er étape

; élément de la 2ime étape).et le mot avec remise signifie que

l’élément de la deuxième étape peut être lui-même de ce lui de la première
étape. Donc
Ω = {(𝐀; 𝐀); (𝐀; 𝐁); (𝐀; 𝐂); (𝐀; 𝐃); (𝐁; 𝐀); (𝐁; 𝐁); (𝐁; 𝐂); (𝐁; 𝐃); (𝐂; 𝐀); (𝐂; 𝐁); (𝐂; 𝐂); (𝐂; 𝐃); (𝑫; 𝑨); (𝑫; 𝑩); (𝑫; 𝑪); (𝑫; 𝑫)}

on lit l’arbre de cette facon :
Le Premier tirage aléatoire peut toucher : soit A soit B soit C soit D.
-

et si le premier tirage a touché A , le dexieme tirage peut toucher soit A(puisque le tirage avec
remise) soit B soit C soit D .

-

Mais si le tirage n’a pas touché A mais B .donc le deuxième tirage peut toucher soit A soit
B(puisque le tirage avec remise) soit C soit D .

-

Mais si le tirage n’a pas touché ni A ni B mais C. donc le deuxième tirage peut toucher soit A
soit B soit C(puisque le tirage avec remise) soit D .

-

Mais si le tirage n’a pas touché ni A ni B ni C mais D. donc le deuxième tirage peut toucher
soit A soit B soit C soit D (puisque le tirage avec remise).

6

On peut organiser les résultats possibles de ce tirage avec remise par un tableau :
A
B
C
D

A

B

C

D

( A ;A)
(B ;A)
(C ; A)
(D ; A)

( A ;B)
(B ;B)
(C ; B)
(D ; B)

( A ;C)
(B ;C)
(C ; C)
(D ; C)

( A ;D)
(B ;D)
(C ; D)
(D ; D)

Le nombre totale des issues possibles c’est le
nombre des 2-uplets soit : np = 42 =4×4=16

E « issues possibles ayant la lettre A ». donc :
E = {( 𝐀 ; 𝐀); ( 𝐀 ; 𝐁); ( 𝐀 ; 𝐂) ; ( 𝐀 ; 𝐃); (𝐁 ; 𝐀); (𝐂 ; 𝐀); (𝐃 ; 𝐀)}

-

Et la probabilité que E Soit réalisé est P(E) =

𝟕
𝟏𝟔

3- Tirer au hasard deux billes consécutive de sac avec remise est un travail qui
donne un élément multiplet (2- uplet) comme résultat certaine sous forme
(élément de la 1er étape

; élément de la 2ime étape).et le mot avec remise signifie que

l’élément de la deuxième étape peut être lui-même de ce lui de la première
étape. Donc
Ω = {(𝐀; 𝐀); (𝐀; 𝐁); (𝐀; 𝐂); (𝐀; 𝐃); (𝐁; 𝐀); (𝐁; 𝐁); (𝐁; 𝐂); (𝐁; 𝐃); (𝐂; 𝐀); (𝐂; 𝐁); (𝐂; 𝐂); (𝐂; 𝐃); (𝑫; 𝑨); (𝑫; 𝑩); (𝑫; 𝑪); (𝑫; 𝑫)}

on lit l’arbre de cette facon :
Le Premier tirage aléatoire peut toucher : soit A soit B soit C soit D.
-

et si le premier tirage a touché A , le dexieme tirage ne peutpas toucher A(puisque le
tiragesans remise)mais peut toucher soit B soit C soit D .

-

Mais si le tirage n’a pas touché A mais B .donc le deuxième tirage peut toucher soit A soit C
soit D et non B(puisque le tirage sans remise).

-

Mais si le tirage n’a pas touché ni A ni B mais C. donc le deuxième tirage peut toucher soit A
soit B soit D et non C(puisque le tirage sans remise) .

-

Mais si le tirage n’a pas touché ni A ni B ni C mais D. donc le deuxième tirage peut toucher
soit A soit B soit C et non D (puisque le tirage sans remise).

7

On peut organiser les résultats possibles de tirage avec remise par un tableau :
A
A
B

(B ;A)
(C ; A)
(D ; A)

C
D

B

C

D

( A ;B)

( A ;C)
(B ;C)

( A ;D)
(B ;D)
(C ; D)

(C ; B)
(D ; B)

(D ; C)

Le nombre totale des issues possibles c’est le
nombre des arrangements (parce que la réplétion
est interdit ici a cause de mot « sans remise ») soit :
𝒏!
𝟒!
𝟒×𝟑×𝟐!
𝑨𝑷𝒏 = (𝒏−𝒑)! = (𝟒−𝟐)! = 𝟐! =

𝟏𝟐 𝒄𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔
E « issues possibles ayant la lettre A » donc :
E = {( 𝐀 ; 𝐁); ( 𝐀 ; 𝐂) ; ( 𝐀 ; 𝐃); (𝐁 ; 𝐀); (𝐂 ; 𝐀); (𝐃 ; 𝐀)}
Et la probabilité que E soit réalisé est P(E) =

𝟔

𝟏

= 𝟐= 0.5
𝟏𝟐

4- Tirer deux billes simultanément de se sac est un travail qui se fait en une
seul fois mais qui comporte deux éléments. Donc chaque issue est une
combinaison. ici le résultat {𝑨 ; 𝑩}est le même que {𝑩 ; 𝑨} parce que A et B
sont soumis à un même travail et Chaque résultat est un sous ensemble de
l’ensemble des éléments de sac. Don

Ω = {{𝑨 ; 𝑩}; {𝑨 ; 𝑪}; {𝑨 ; 𝑫} ; {𝑩 ; 𝑪} ; {𝑩 ; 𝑫} ; {𝑫 ; 𝑪}

}

On peut organiser les résultats possibles de tirage avec remise par un tableau :
A
A

B

C

D

{𝑨 ; 𝑩} {𝑨 ; 𝑪} {𝑨 ; 𝑫}
{𝑩 ; 𝑪} {𝑩 ; 𝑫}
{𝑪 ; 𝑫}

B
C
D

Le nombre totale des issues possibles c’est le nombre des combinaisons soit :
𝟒!
(𝟒−𝟐)!×𝟐!

-

=

𝟒×𝟑×𝟐!
𝟐!×𝟐!

𝒏!

𝑪𝑷𝒏 = (𝒏−𝒑)!×𝑷! =

= 𝟔 𝒄𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔

E « issues possibles ayant la lettre A » donc :

E = {{𝑨 ; 𝑩}; {𝑨 ; 𝑪} ; {𝑨 ; 𝑫}}

Et la probabilité que E soit réalisé est P(E) =

𝟑
𝟔

=

𝟏
𝟐

= 𝟎. 𝟓

8

5- Tirer au hasard trois billes consécutive de sac avec remise est un travail qui
donne un élément multiplets (3- uplet) comme résultat certaine sous forme :
(élément de la 1er étape

; élément de la 2ime étape ; élément de la 3ieme étape ).et le mot avec

remise signifie que l’élément de la troisième étape peut être lui-même de ce
lui de la deuxième étape et peut être lui-même de ce lui de la première
étape. Donc

{

Ω= (A ;A ;A) ;(A ;A ;B) ;(A ;A ;C);(A;A;D);(A;B;A);(A;B;B);(A;B;C);(A;B;D);(A;C;A);(A;C;B);(A;C;C)
;(A;C;D);(A;D;A);(A;D;B);(A;D;C);(A;D;D);(B;A;A);(B;A;B);(B;A;C);(B;A;D);(B;B;A);(B;B;B);(B;B;C);
(B;B;D);(B;C;A);(B;C;B);(B;C;C);(B;C;D);(B;D;A);(B;D;B);(B;D;C);(B;D;D);(C;A;A);(C ;A ;B) ;(C ;A ;C)
;(C ;A ;D) ;(C ;B ;A) ;(C ;B ;B) ;(C ;B ;C) ;(C ;B ;D) ;(C ;C ;A) ;(C ;C ;B) ;(C ;C ;C) ;(C ;C ;D) ;(C ;D ;A) ;
(C ;D ;B) ;(C ;D ;C) ;(C ;D ;D) ;(D ;A ;A) ;(D ;A ;B) ;(D ;A ;C) ;(D ;A ;D) ;(D ;B ;A) ;(D ;B ;B) ;(D ;B ;C)
;(D ;B ;D) ;(D ;C ;A) ;(D ;C ;B) ;(D ;C ;C) ;(D ;C ;D) ;(D ;D ;A) ;(D ;D ;B) ;(D ;D ;C) ;(D ;D ;D)

}

et le diagrame qui represente ces issues est comme suit :

;

- Le nombre totale des issues possibles est le nombre des 3-uplets qui est

np = 43=64 cas possibles

- E « issues possibles ayant la lettre A » donc :
9

{

E= (A ;A ;A) ;(A ;A ;B) ;(A ;A ;C);(A;A;D);(A;B;A);(A;B;B);(A;B;C);(A;B;D);(A;C;A);(A;C;B);(A;C;C);(A;C;D);(A;
D;A);(A;D;B);(A;D;C);(A;D;D);(B;A;A);(B;A;B);(B;A;C);(B;A;D);(B;B;A);(B;C;A);(B;D;A);(C;A;A);(C ;A ;B) ;
(C ;A ;C) ;(C ;A ;D) ;(C ;B ;A) ;(C ;C ;A) ;(C ;D ;A) ;(D ;A ;A) ;(D ;A ;B) ;(D ;A ;C) ;(D ;A ;D) ;(D ;B ;A) ) ;(D ;C ;A) ;
(D ;D ;A)

}
𝟑𝟕

- Et la probabilité que E soit réalisé est P(E) = 𝟔𝟒
-6- Tirer au hasard trois billes consécutive de sac sans remise est un travail qui donne un
élément arrangement comme résultat certaine sous forme (élément de la 1er étape ; élément de la

.et le mot sans remise signifie que l’élément de la

troisième
étape ne peut pas être lui-même de ce lui de la deuxième étape ou lui-même de ce lui de
la première étape. Donc
2ime étape ; élément de la 3ieme étape )

{

Ω = (A ;B ;C) ;(A ;B ;D) ;(A ;C ;B);(A;C;D);(A;D;B);(A;D;C);
(B ;A ;C) ;(B ;A ;D) ;(B ;C ;A);(B;C;D);(B;D;A);(B;D;C);(C ;A ;B);(C;A;D);
(C ;B ;A) ;(C ;B ;D) ; (C;D;A);(C;D;B); (D ;A ;B);(C;A;D); (D ;B ;A) ;(C ;B ;D) ;

}

(D;C;A);(D;C;B)

-le diagramme qui représente ses issues est comme suit :

le nombre d’arrangements (nombre des issues possibles) est
𝟒!
(𝟒−𝟑)!

𝒏!

𝑨𝑷𝒏 = (𝒏−𝒑)! = 𝑨𝟑𝟒 =

=𝟒 × 𝟑 × 𝟐 =24 cas possibles

- E « issues possibles ayant la lettre A » donc :

10

{

E= (A ;B ;C) ;(A ;B ;D) ;(A ;C ;B);(A;C;D);(A;D;B);(A;D;C);(B ;A ;C) ;(B ;A ;D) ;(B ;C ;A);(B;D;A);

}

(C ;A ;B);(C;A;D); (C ;B ;A) ; (C;D;A); (D ;A ;B);(C;A;D); (D ;B ;A) ; (D;C;A)

Et la probabilité que E soit réalisé est P(E) =

𝟏𝟖 𝟑

= = 0,75

𝟐𝟒 𝟒

7- Tirer trois billes simultanément de se sac est un travail qui se fait en une seul fois mais
qui comporte trois éléments. Donc chaque issue est une combinaison. ici le résultat
{𝑨 ; 𝑩; 𝑪}est le même que {𝑩 ; 𝑨; 𝑪} OU {𝑩 ; 𝑪; 𝑨} OU{𝑨 ; 𝑪; 𝑩} parce que A et B et C
sont soumis à un même travail et Chaque résultat est un sous ensemble de l’ensemble
des éléments de sac. Donc :
Ω = {{𝑨 ; 𝑩; 𝑪}; {𝑨 ; 𝑩; 𝑫}; {𝑨 ; 𝑪; 𝑫} ; {𝑩 ; 𝑪; 𝑫}

}

- Le nombre des issues possibles (nombre des combinaisons possibles)est donné
par la formule :

𝑪𝑷𝒏 =

𝐧!
𝐩!(𝐧−𝐩)!

=

𝟒!
𝟑!(𝟒−𝟑)!

= 4 cas possibles

- E « issues possibles ayant la lettre A » donc : E = {{𝑨 ; 𝑩; 𝑪}; {𝑨 ; 𝑩; 𝑫}; {𝑨 ; 𝑪; 𝑫}
- Et la probabilité que E soit réalisé est P(E) =

𝟑
𝟒

}

= 0,75

11


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