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Rapport de bibliographie préliminaire au projet de laboratoire
intitulé "Modélisation implicite"

Béraud Thomas

Haddad Victor

Mercredi 24 février 2016

École Nationale Supérieure de Géologie
Rue du Doyen Roubault BP 40 54501 Vandoeuvre-lès-Nancy
CEDEX Tél : 03 83 59 64 15 Fax : 03 83 59 64 64
accueil@ensg.inpl-nancy.fr
www.ensg.univ-lorraine.fr
1

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Résumé

Mots-clés
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Annexe

Rapport de bibliographie préliminaire au projet de laboratoire intitulé "Modélisation implicite"
Rédaction d'un rapport bibliographique dans le cadre
du module "Projet de laboratoire" du semestre 8 de
l'enseignement de l'Ecole Nationale Supérieure de Géologie
De novembre 2015 à février 2016
24 février 2016
Béraud Thomas, Haddad Victor
M. Antoine MAZUYER
Dans l'optique de travailler sur un projet laboratoire
dans de bonnes conditions, voici une synthèse bibliographique sur le thème de la modélisation implicite.
La modélisation implicite est réalisable grâce à des
données, comme les images satellites ou les coupes géologiques. Ces données peuvent également êtres utilisées
dans des applications mobiles. Ces deux aspects seront
détaillé dans la première partie.
Dans une seconde partie, seront présentés les méthodes de modélisation, le cokrigeage et les équations
linéaires. En concluant sur les limites de ce type de
modélisation.
Modélisation implicite, isosurface, champ scalaire,
failles, géologie, champ de potentiel, système linéaire,
application mobile
10
Aucune

2

Table des matières
Introduction

4

1 Acquisition des données

4

1.1
1.2

Applications à visée géologique existante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Données nécessaires à la modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Modélisation
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5

Modélisation avec prise en compte du cokrigeage
Modélisation par optimisation discrète . . . . . .
Dé nition d'un système linéaire . . . . . . . . . .
Prise en compte des discontinuités et des données
Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
de forage
. . . . . .

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5

5

5
6
6
7
8

Conclusion

9

Références

10

Table des gures
1
2
3
4
5
6

Interface graphique de l'application géotools [WENG, SUN et GRIGSBY 2012].
Données nécessaires à la modélisation implicite. Contacts stratigraphiques, pendages et coupe géologique [CHILES et al. 2004]. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inconnues f1 à f4 aux sommets d'un tétraèdre. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strike vector et Dip vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modèle 3D des Limagnes, illustrant le réseaux de failles du bassin sédimentaire. Modèle obtenu d'après les pro ls sismiques et les observations géologiques
[CALCAGNO et al. 2008]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Image satellite avec surfaces de contacts géologiques pointées à gauche, résultat
de la modélisation implicite à droite. [CAUMON et al. 2013]. . . . . . . . . . .

3

4
5
6
7
8
9

Introduction
Une des modélisations utilisée dans le monde informatique est la modélisation explicite,
elle repose sur la génération d'un grand nombre de triangles formants les di érents horizons du
modèle. La modélisation implicite a été développée initialement pour l'industrie a n d'estimer
les couches géologiques du sous-sol à partir de calculs hiérarchisés sur les données. L'intérêt de
cette méthode est d'être une fonction continue de l'espace, un champ scalaire. De nombreuses
recherches sont aujourd'hui en cours a n de fournir des modèles plus puissants, que ce soit
dans le domaine médical [PALOMBI 2007] ou en géologie.
Les premiers travaux ont mis en évidence la possibilité d'une modélisation géologique reposant sur un champ scalaire, aussi appelé champ de potentiel. Pour réaliser cette modélisation
il est nécessaire d'avoir les interfaces entre les couches géologiques en surface et l'orientation
des pendages ou foliations. La modélisation implicite permet de prendre en compte les réseaux
de failles [CHILES et al. 2004]. L'incertitude du modèle 3D obtenue lors de la prospection est
corrélée à la covariance du champ potentiel choisi [CALCAGNO et al. 2008].
Les travaux récents tendent à contourner le problème d'estimation du co-krigeage, résidant
dans le choix du voisinage nécessaire à l'estimation, mais également à complexi er le modèle
et permettre l'ajout de dômes de sel par exemple [CAUMON et al. 2013].

1 Acquisition des données
1.1 Applications à visée géologique existante
Dans l'optique d'obtenir plus facilement des résultats précis et rapides, de nombreuses applications disponibles sur Android ou sur IOS ont été développées.
La majorité de ces applications sont payantes et ne permettent pas de visualiser un modèle du sous-sol. Elles
sont encores plus limitées si les données disponibles sont
éparses.
L'application la plus développée est Géotools, elle
permet de mesurer les paramètres d'un plan ou d'un pli
(pendage, orientation). De plus elle permet à partir de
la localisation GPS, d'ajouter des photos et de prendre
des notes (Figure 1). Ces informations sont donc associées à un point géographique. Ces données peuvent
ensuite être générées dans un chier .XML permettant
de sauvegarder les mesures e ectuées avec une localisation spéci que [Weng, Sun et Grigsby 2012].
L'objectif serait de réaliser un premier modèle 3D
du terrain cartographié, grâce aux di érentes données
receuillies dans une application mobile. Pour se faire, il
faut utiliser la modélisation implicite détaillée dans la
suite du rapport.

Figure 1 Interface graphique de
l'application géotools [WENG, SUN
et GRIGSBY 2012].
4

1.2 Données nécessaires à la modélisation
Pour la modélisation implicite, l'utilisation
d'un MNT (Modèle Numérique de Terrain),
d'images satellites et de données de terrain sont
nécessaires. Dans un premier temps, il faut pointer les contacts stratigraphiques sur le MNT et les
images satellites disponibles a n d'obtenir un ensemble de données dense (Figure 2). Les limites
entre les couches géologiques sont nalement reportées sur le MNT a n d'obtenir des traces en 3
dimensions.
Dans un second temps, il faut implémenter
les données de terrain comme les pendages, les
foliations disponibles en surface, ou en profondeur (puits de forages). En n les interprétations
du géologue permettront de mieux contraindre le
modèle, en analysant la géologie structurale de la
zone étudiée. [CHILES et al. 2004] [CALCAGNO
et al. 2008] [CAUMON et al. 2013].

2 Modélisation
L'objectif est de simuler la position des hori- Figure 2 Données nécessaires à la
zons en profondeur, grâce aux données de surface. modélisation implicite. Contacts stratigraLa modélisation, aussi appelée méthode du champ phiques, pendages et coupe géologique
de potentiel, consiste à dé nir un horizon géolo- [CHILES et al. 2004].
gique comme une surface implicite. Cette surface
est une isosurface dé nie dans l'espace 3D d'un champ scalaire. La base ou le toit de la couche
géologique possède donc, dans le modèle, une unique valeur. Le co-krigeage fourni une isosurface qui passe par toutes les données. Le champ scalaire T (x) est dé ni en tous points
x = (x, y, z) de l'espace 3D. Chaque isosurface Ik , avec k = 1, 2... correspond à une surface
d'équipotentielle. Cette surface est trouvée pour T (x) = Ik , ce qui donne l'ensemble des points
(x, y, z) de la surface. Il est donc possible d'a cher une couche en 3 dimensions, grâce aux
coordonnées (x,y,z) dans le volume estimé en profondeur. La formation géologique est comprise
entre deux interfaces successives Ik [CHILES et al. 2004].

2.1 Modélisation avec prise en compte du cokrigeage
Le champ de potentiel est dé ni par des incréments in nitésimaux autour d'un point
d'origine x0 . L'objectif est d'estimer la valeur du champ de potentiel autour du point x0
qui est connu. T (x) − T (x0 ) est krigé sur l'intégralité de l'espace 3D. L'estimateur est un
cokrigeage de la forme [CHILES et al. 2004] :

T (x) − T (x0 ) = T ∗ (x) − T ∗ (x0 ) + erreur du cokrigeage
T ∗ (x) − T ∗ (x0 ) =

PM

α=1 µα (T (xα )

5

− T (x0α )) +

∂(T )
β=1 νβ ( ∂(uβ ) )(xβ )

PN

Où µα et νβ sont les poids du système cokrigé. Ces poids dépendent de x et x0 . Où uβ
représente alternativement les trois axes de coordonnées x, y et z . La dérivée partielle de T par
rapport aux 3 axes x, y et z va donc permettre de tenir compte de l'orientation des couches.
La somme sur les M points va donner une sorte d'écart moyen sur l'ensemble du domaine
krigé, entre la valeur recherchée T (x) et la valeur connue T (x0 ).
Le système cokrigé est résolu une seule fois, ce qui économise du temps de calcul [CHILES
et al. 2004].

2.2 Modélisation par optimisation discrète
Le champ scalaire peut être calculé dans un maillage de volume prédé ni. Le champ scalaire
sera calculé sur les tétraèdres du maillage, en chaque sommets. La résolution du modèle obtenu
consistera en la résolution d'une équation linéaire de M inconnues, fM , aux noeuds du maillage.

A.[f1 ...fM ]T = [b1 ...bC ]T = bT (1)
Dans l'équation (1), M est le nombre d'inconnues correspondant aux sommets des tétraèdres, C est le nombre de contraintes linéaires appliquées au système [CAUMON et al. 2013].
En comparaison de la méthode du cokrigeage, cette méthode requiert une dé nition du
maillage 3D pour calculer le champ scalaire. Le temps nécessaire à la résolution dépend du
volume du maillage et du nombre de points de données disponibles. La résolution est contrôlée par le maillage et non plus par les données, qui peuvent être irrégulières en géoscience
[CAUMON et al. 2013].

2.3 Dé nition d'un système linéaire
L'objectif de la résolution est de dé nir la fonction
f (1).
L'idée est de considérer des tétraèdres, dans lesquels
le gradient du champ scalaire f (1) est uniquement
dé ni par les valeurs aux 4 sommets (Figure 3). Les
valeurs des f vont donc être fi avec i = (1, ..., 4). Les coordonnées vont donc dépendre également de i(xi , yi , zi ).
Cette résolution sera itérée sur l'ensemble des tétraèdres qui constituent le maillage [FRANK, TERTOIS
et MALLET 2007].
Dans le modèle implicite, les points qui dé nissent
un horizon stratigraphique doivent tous avoir la même
Figure 3 Inconnues f1 à f4 aux valeur. Cette valeur correspond à l'âge de l'horizon
[CAUMON et al. 2013].
sommets d'un tétraèdre.
−1 



x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1


(∇.f ) =  x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 
x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1

6



f2 − f1


.  f3 − f1 
f4 − f1

Pour imposer au système une valeur connue du champ scalaire au point p = (xp , yp , zp ), il
faut ajouter une condition à l'équation (1) :
P4

i=1 ui .fi

= fp

Les inconnues fi sont les valeurs aux sommets du tétraèdre
qui contient le point p. Les ui sont les coordonnées du barycentre du tétraèdre [CAUMON et al. 2013]. Par dé nition, au
point p, le pendage (dip vector dp ) et la direction (strike vector
sp ) sont orthogonaux au gradient du champ scalaire 1 :
(

∇.f.sp = 0
∇.f.dp = 0

2.4 Prise en compte des discontinuités et des
données de forage

Figure 4 Strike vector et
L'interpolation des failles suit les mêmes méthodes que Dip vector.
l'interpolation des horizons géologiques. Le champ de potentiel utilise les traces des failles et leurs pendages. La géométrie de la faille correspond à l'isosurface extraite du champ de potentiel. Avec un jeu de données assez complet le résultat est
relativement précis (Figure 5).
Les limites de faille, (zones où le déplacement est nul), sont délimitées par un cercle ou
une sphère. L'extension se termine à l'intersection de l'isosurface et de la sphère d'un rayon
déterminé par l'analyse de la faille.
Pour prendre en compte le déplacement induit par les failles, des fonctions discontinues
sont ajoutées au cokrigeage [CALCAGNO et al. 2008].
Pour modéliser les failles, de nombreux champs de potentiels sont utilisés. Une colonne
stratigraphique est nécessaire pour dé nir le nombre de champs potentiels distincts nécessaires.
Un champ de potentiel "érodé" est utilisé pour masquer les zones modélisées qui ont réellement
été érodées.
Lors de la réalisation de forage, seule les données d'intersections sont conservées. Elles
permettent de valider la position de l'intersection en (x, y) par rapport à celle du modèle.
Il est également possible d'utiliser les données issues de campagnes géophysiques a n d'améliorer la précision du modèle (Figure 5). La gravimétrie est comparée à chaque point du
modèle estimé, a n de véri er la viabilité du résultat [CHILES et al. 2004].
La modélisation implicite permet également de prendre en compte des structures complexes, comme des failles ou des dômes de sel. Les discontinuités peuvent être interprétées
en utilisant plusieurs champs scalaires. Ces champs scalaires vont dé nir les unités de roches
dissociées, avec la limite supérieure et inférieure. Le système est ensuite compilé avec des
conditions booléennes entre les champs scalaires. Finalement le volume de roche érodé est
estimé.
Des surfaces implicites peuvent simuler les dômes de sel et les failles. De la même manière
que présenté précédemment, la valeur des données du champ scalaire est xé à 0, des contraintes
locales sont appliquées pour contraindre le système [CAUMON et al. 2013].
1. https ://en.wikipedia.org/wiki/Orientation

7

Figure 5 Modèle 3D des Limagnes, illustrant le réseaux de failles du bassin sédimentaire.

Modèle obtenu d'après les pro ls sismiques et les observations géologiques [CALCAGNO et
al. 2008].

2.5 Limites
L'utilisation de modèles incluant une covariance permet une meilleur précision par rapport
à un modèle conventionnel. Il faut cependant faire attention à ce que la covariance soit juste et
corresponde bien à l'incertitude des données de terrain [CHILES et al. 2004]. Si la covariance
est mal estimée, alors les isosurfaces seront faussées et le modèle sera inutilisable.
Les données sont sensibles à la di érence de résolution entre les supports. Si la résolution
du MNT et de l'image satellite sont di érentes, les coordonnées relevées seront faussées. La
précision dépends donc de la qualité des données et du pointage sur le MNT.
La saisie de données est aujourd'hui l'étape la plus longue de la méthode de modélisation
[CAUMON et al. 2013]. Cette étape longue et répétitive pourrait être améliorée grâce à une
application pointant automatiquement ces données.

8

Conclusion
La modélisation implicite permet une mise à jour du maillage plus simple que dans le
cas d'une modélisation explicite. L'ajout de nouveaux points ou lignes permets de modi er
la géométrie d'une surface implicite. Pour ce faire il faut ajouter les nouvelles conditions
au système (1) et résoudre le système à nouveau. Cependant la modi cation des failles est
plus compliquée, ces dernières étant représentées par des fonctions discontinues di ciles à
interpoler. Pour des changements plus importants le modèle devra être entièrement reconstruit
[CAUMON et al. 2013].
Si l'on considère un système simple avec un faible nombre de noeuds et de mailles. La résolution du système linéaire (1) prend moins d'une minute sur un ordinateur portable classique,
la création du maillage prend quant à elle environ 5 minutes (Pour un modèle comprenant des
dômes de sel). Cette méthode est donc relativement puissante et donne de très bons résultats
(Figure 6) [CAUMON et al. 2013].
Avec la mise en place d'une application mobile dédiée à la géologie de terrain [WENG, SUN
et GRIGSBY 2012], il est raisonnable de penser que le développement d'un modeleur basique
sur téléphone portable est possible. Si la structure géologique est basique, la résolution devrait
être rapide et permettre une première visualisation des structures présentes en profondeurs.

Figure 6 Image satellite avec surfaces de contacts géologiques pointées à gauche, résultat
de la modélisation implicite à droite. [CAUMON et al. 2013].

9

Références
[CALCAGNO et al. 2008] Calcagno P., Chilès J. P., Courrioux G. et Guillen A. - Geological
modelling from eld data and geological knowledge : Part I. Modelling method coupling 3D
potential- eld interpolation and geological rules, Physics of the Earth and Planetary Interiors
[En ligne], 171, 14 : 147 157.
[CAUMON et al. 2013] Caumon G., Gray G., Antoine C. et Titeux M. - Three-Dimensional
Implicit Stratigraphic Model Building From Remote Sensing Data on Tetrahedral Meshes :
Theory and Application to a Regional Model of La Popa Basin, NE Mexico, IEEE TRANSACTIONS ON GEOSCIENCE AND REMOTE SENSING, 51, 3 : 1613 1621.
[CHILÈS et al. 2004] Chilès J. P., Aug C., Guillen A. et Lees T. - Modelling the Geometry
of Geological Units and its Uncertainty in 3D From Structural Data : The Potential-Field Method, in : , Centre (BRC), University of Queensland, Brisbane (http ://www.minmet.uq.edu.au,
[s.n.], [s.l.] , p. 2224.
[FRANK, TERTOIS et MALLET 2007] Frank T., Tertois A. L. et Mallet J. L. - 3Dreconstruction of complex geological interfaces from irregularly distributed and noisy point
data, COMPUTERS AND GEOSCIENCES, 33, 7 : 932 943.
[PALOMBI 2007] Palombi O. - Modélisation anatomique par surfaces implicites à squelettes [En ligne], Grenoble, INPG, [s.l.].
[WENG, SUN et GRIGSBY 2012] Weng Y., Sun F. et Grigsby J. - GeoTools : An android
phone application in geology, COMPUTERS & GEOSCIENCES, 44 : 24 30.

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