TERStatistics of Extremes.pdf


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Contents
Acknowledgement

3

Introduction

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1 Basics and Recalled Results
1.1 Order Statistics . . . . . . . . . .
1.2 Cumulative Distribution Function
1.3 Strong Law of Large Numbers . .
1.4 Central Limit Theorem . . . . . .
1.5 Quantile-Quantile Plot . . . . . .

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2 Basics of the Univariate Extreme Value Theory
2.1 Limit Distribution of the Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Domain of Attraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Max–Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Statistics Inference and Estimation
3.1 Nonparametric Estimators of the Tail Index ξ . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Pickands Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Hill Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Moment Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Parametric Estimation of the GEV Parameters . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Estimation of the Parameters by the Maximum Likelihood (MLE)
3.2.2 Estimation of the Parameters by the Probability Weighted Moment (PWM) Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Extreme Value Methods
4.1 Block Maxima Method . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Peaks-Over-Threshold Method . . . . . . . . . . . .
4.2.1 The Generalized Pareto Distribution (GPD)
4.2.2 Estimation of the Parameters . . . . . . . .
4.2.3 Choice of the Threshold . . . . . . . . . . .

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5 Application
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5.1 Block Maxima Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Peaks-Over-Threshold Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Conclusion

24

Bibliography

25

Annex

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