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May 22, 2016
f(x) =
1
1
a+h − a

h

=
=
=
=
=

1
x

(le taux d’accroissement, on remplace x par a+h et par a )

a+h
a
− a(a+h)
a(a+h)

h
a−(a+h)
a(a+h)

(on regroupe les fractions sous le mˆeme d´enominateur)

h
a−a−h
a(a+h)

h
−h
a(a+h)

h

(on met au mˆeme d´enominateur)

(on enl`eve la parenth`ese)
(oui, on a le droit de faire a-a=0, ¸ca t’´etonne ? :hap: )

−h
ha(a+h)

(*)

EXPLICATION de la derni`
ere manipulation:
a

Ici on a une franction de la forme cb , et on apprend en classe de 4eme que
diviser par une fraction revient `a multiplier par son inverse. C’est-`a-dire qu’ici,
on a la fraction ab , et on divise toute cette fraction par c. Or, c= 1c , et l’inverse
de c c’est 1c . Donc quand on divise ab , en r´ealit´e, c’est strictement la mˆ
eme
a
chose que faire ab × 1c = bc
. Si tu prends a=-h , b=a(a+h), c=h (oui on a le droit
de faire ¸ca, car ce sont tous des nombres, et encore une fois, je le r´ep`ete, quand
on a un truc vrai avec des nombres, on peut les remplacer par ce qu’on veut,
peu importe que ce soit des chiffres, des lettres, des polynˆomes, des matrices,
des espaces vectoriels, des espaces hilbertiens, des s´eries convergentes ou mˆeme
des ´el´ements vectoriels complexes. Quand une chose est vraie, elle est tout le
temps vraie, donc oui on a le droit de faire c¸a), on obtient bien l’´egalit´e que j’ai
appel´e (*), il suffit de remplacer
=

−1
a(a+h)

(on a simplifi´e par h)

Alors maintenant, on fait tendre h vers 0. Quand h tend vers, tu devrais
ˆetre d’accord que a+h tend vers a+0=a, non ? J’esp`ere que oui. :hap: . Si oui,

1

−1
−1
alors maintenant on a que notre truc l`a tend vers a×(a+0)
= a×a
= −1
a2 .
0
Maintenant, nous on voulait f (2), ce qui nous donne, quand on remplace a
−1
par 2: f 0 (2) = −1
22 = 4

Et voil`
a ! Et il est clair que −1
egatif, c¸a se
4 < 0 (on est d’accord hein, c’est n´
voit ? :hap: ) La fonction f(x) = x1 est d´ecroissante en x=2. C’est uniquement
pour x=2, on ne l’a pas d´emontr´e pour les autres x ! Juste pour x=2 !

2


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