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Probabilités
Kara-Zaitri Lydia
École préparatoire en sciences et techniques d’Oran
Programme de première année
/

2

Chapitre 7

Transformation d’un couple aléatoire
réel
7.1

Changement de variables de R2 vers R2

Soient (X, Y ) et (U, V ) deux couples aléatoires reéls, tels que :
(U, V ) = φ(X, Y ) = (φ1 (X, Y ) ; φ2 (X, Y ))
où φ, φ1 et φ2 sont des fonctions reélles.
Nous pouvons déterminer la loi de probabilité du couple (U, V ) à partir de la loi de probabilité du
couple (X, Y ) .
1. (X, Y ) discret et (U, V ) discret : La loi de probabilité du couple (U, V ) est donnée par :
∀(u, v) ∈ (U, V )(Ω)

:

X

P(U = u ; V = v) =

(u,v)=φ(x,y)

Exemple. Soit (X, Y ) un c.a.d de loi de probabilité :
Y \

X

0

1

0

3/9

2/9

1

1/9

3/9

Donner la loi du couple (U, V ) tel que :
(

U =X +Y
V =X −Y
3

P(X = x ; Y = y)

7.1. DE R2 VERS R2

CHAPITRE 7. TRANSFORMATION D’UN COUPLE ALÉATOIRE RÉEL

2. (X, Y ) continu et (U, V ) discret : La loi de probabilité du couple (U, V ) est donnée par :
ZZ
∀(u, v) ∈ (U, V )(Ω) : P(U = u ; V = v) =
fX;Y (x ; y)dx dy
(u,v)=φ(x,y)

Exemple. Soit le couple (X, Y ) de densité :


si 0 < x < 1 et 0 < y < 1,

 4xy
fX,Y (x, y) =


 0
sinon.
Donner la loi du couple (U, V ) tel que :


si 0 < x ≤ 1/2

 1
U=


 2
si 1/2 < x < 1

et

V =




 1

si 0 < y ≤ 1/2



 2

si 1/2 < y < 1

3. (X, Y ) continu et (U, V ) continu : Si la fonction φ est bijective , La loi de probabilité du
couple (U, V ) est donnée par :
∀(u, v) ∈ (U, V )(Ω)
où :
Jφ−1

:




=





fU ;V (u; v) = fX;Y φ−1 (u ; v) Jφ−1
d φ−1
1
du

d φ−1
2
du

d φ−1
1
dv

d φ−1
2
dv

Exemple. Soit le couple (X, Y ) de densité :

2 −λ (x+y)


 λ e
fX,Y (x, y) =


 0
Donner la loi du couple (U, V ) tel que :
(





6= 0




si x > 0 et y > 0,
sinon.

U =X +Y
V =X −Y

Remarque. Si la fonction φ n’est pas bijective, et qu’elle admet plusieurs images réciproques :
ψ1 ; ψ2 ; · · · ; ψn , la loi de probabilité du couple (U, V ) est donnée par :
∀(u, v) ∈ (U, V )(Ω)

:

fU ;V (u; v) =

n
X

fX;Y (ψi (u ; v)) | Jψi |

i=1

Exemple. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi normale
centrée et réduite. Donner la loi du couple (U, V ) tel que :
(
U = X2
V = X2 + Y

4

CHAPITRE 7. TRANSFORMATION D’UN COUPLE ALÉATOIRE RÉEL

7.2

7.2. DE R2 VERS R

Changement de variables de R2 vers R

Soit (X, Y ) un couple aléatoire reél, et U une variable aléatoire telle que :
U = φ(X, Y )
où φ est une fonction de R2 vers R.
Nous pouvons déterminer la loi de probabilité de la variable U à partir de la loi de probabilité du
couple (X, Y ) .
1. (X, Y ) continu et (U, V ) continu :
0

On pose une deuxième variable aléatoire V = φ (X ; Y ) et on calcule la loi de probabilité
conjointe du couple (U ; V ) .
La loi de probabilité de la variable U est la loi marginale du couple (U ; V ) .
Exemple. Soit le couple (X, Y ) de densité :



 2−x−y
fX,Y (x, y) =


 0

si 0 < x < 1 et 0 < y < 1,
sinon.

Donner la loi de probabilité de la variable U = X − Y .
2. Loi de probabilité de la somme X + Y : Si X et Y sont deux variables continues et indépendantes,
la loi de probabilité de la variable U = X + Y est donnée par :
Z +∞
∀u ∈ U (Ω) : fU (u) =
fX (x) fY (u − x) dx
−∞

ou :

Z
∀u ∈ U (Ω)

:

+∞

fX (u − y) fY (y) dy

fU (u) =
−∞

5


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