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USTHB-Faculté de Mathématiques
1ère • Aiinêe~Liçe&oi& SM^Sëctâon. A;

10 janvier .2012

Durée J.H30

Examen final de
Partie 1 Algèbre
Exercice 1. (4points)
On définit sur l'ensemble R la relation R, définie, par
(1) Montrer que 72. est une relation d'équivalence.
(2j • Déterminer la classe d'équivalence jdc- x — |
Exercice 2. (6 points)
Dans l'ensemble E =E - {-1} on considereMN

(2) Mbntrer que ialôj
(3) Montrer
Partie 2-Arialyse
Exercice 3.
On considèT'

et (%} données par
2t%

(i) Montrer par récurrence quç ^ - vn.= :U° .'"0;: n €'
(ii) En déduire que.un < vn et '~Bm un -vn.

>

(iii) Montrer que (un) est croissante st que (vj est décroissante. =
(iv) Montrer que les suite (ti,*) et (vn)sônt convergentes et qu'eUës
ont la ttiêmme limite t.
'
: . .
Exercice 4. (4 points)
Soit (a, 6) 6 SI2 et / la fonction définie sur R par :
,siz. < 0

Etudiez, suivant tes vafeiar^de 4 et è là

mtt

USTHB-Faculté de Mathématiques
1ère Année-Licence SM-Section A

Corrigé de l'Examen final de Mathl
"Cerrigé de l'exercice
Soit 7£ la relation définie sur R par

xH-y <=> x - y - je1
(1) Montrons que K est une relation d'équivalence

ce
(a) Puisque Vx 6 R on a 0 = = x — x — x'2 — x- alors
qui montre -que cette relation est reflexive
(b) Si on a xTiy* ce qui vêt dire que x — y — .T- — y2 alors
y — îc = y2 — -x2 ce. qui montre que yTLx et donc que
relation, est symétrique.
(c.) Soient x, y, z € M. tels que
'x"R,y.

et

alors on a
•X -y = -x2 -y2 et g - - - y- En sommant les égalités piécédei

prouvant ainsi que- la ^el
Par conséquent, la
lence;
(2) La classe d'é

aura

transitive,
est une relation d'équiva-

^ est donnée par
/-. \2

i

i2

2

Corrigé de l'exercice 2
On définit sur E —.•. R — { — 1} la loi * donnée par

Va.b E E.

a * 6 = a-|-6 + a-6

(1) Oïi a.
"
.
.
1 + a + b + ab = (1 + a) (1 4- 6)
ceb qui montre que a = a et 3 — b
'
.
(2) De l'égalité précédente, et comme a, 6 ^ —l. ou cire
1 + a + b + ab ^ 0

.

;

et donc a + b + ab .G E. ce qui prouve que a •*/.>€ E et donc *est
interne dans. /'?
l

(à) Un véntie.que Va, à, c 6 E

a * b = b * a et (a * &) * c = à * (6 * <:•)
Ainsi * est commutative et associative.
L'élément neutre e s'il existe vérifie
a * e = e •*• a — a

e = a<? — a

ce qui entraine
Comme a- ^ —l, alors e = 0,
Le symétrique a? de a s'il existe .vérifie

a * a = a' * a = 0
ce qui donne
a 4- a' (14- a) =0

et comme a ^ — 1, alors
// — -~~Ci' -i i
a "l+a^""1
car sinon -a- = -1 - c et donc •-1 j^ûceTjiu- est absurde
Par conséquent, (E, *) est un grouj
Corrigé dé l'exercice 3
Soient (un] et (vn] deux

s donnée par

LA

;,.-{-

«0 < VQ ; tin

5

(1)

ainsi, la propriété est vraie pour n =Q.
On suppose qu'elle est vraie à Tordre n. c'est à dire u n
alors cl l'ordre n 4-1 on a
3un -fr 2u,,
5

3vn -+-"2un

~ VQ

~ Vn =
5"

u,, — /;,,
5

Ainsi, Vn 6 N on a u,, - u,, =

Uf)

~"
5"

(2) Puisque UQ < Vo> alors 0
' 0.

—VQ < 0 et donc un — un = ° ' ° <

. .

De plus on a, comme Uni 57! = 4-oc. alors
lim «7, — vn — 0

; »-î--foo

.

(3) En exprimant un+i ~~ 'tln -et t>n+i — t»n . sachant, que «„ < u,,,
aura
• - . . ; • .
. •

- -un =

5

5

0.

et
-2(vn -«-„)

3-y

.5
5
Ainsi, (un] est croissante tandisque (y,,) est
(4) Les suites (un) et (f n ) sont respectivement c^p5arite et décroissante et vérifient linu/,, — vn =.0, alors ^ffl^pnt adjacentes. Elles
sont donc convergentes et Gonverge]|0^te là. même limite £.
Corrigé de l'exercice 4
Soit la fonction réelle / .don;

si x < 0
six>0..-•••
Sur l'intervalle l^çjNP^ 4a fonction / est la fonction polynôme x i—>•
r'2 + b qui y es^»^pt^et' continue.
Sur l'intervall^@»roo[ la fonction / est une fraction rationnelle continue sur ce domaine
.-,
Par conséquent la fonction / est continue sur R*.
En XQ •- 0, on a

.

lim •/ (x) = lim x'2 + 6 = 6
et

n i lim
- •/f ((a;)\ = lima smcra0,
"

a

et
a = 0. lim / (;r) = lim

=0

Donc
lim /" (x) = a

J.-+0+ '

Ainsi, il v a continuité en 0 si et seulement si a ~ b.

USTHB

Faculté de mathématiques

LMD ST SECTIONS 22/28

2010/2011
Epreuve finale Mathl

Exercice 1 :Soit l'application /: K -* [ 5, +co[ définie par :
Vx E
On définit dans E la relation R par : V xlf x2 e R, x^ x2 & f(xj ~
Vérifier que £ est une relation d'équivalence, calculer Ô et 2,
Exercice 2 : On considère la suite numérique (tfn)neN définie par :

l/Montrer que a<'Un, Vn G M.

j
2/ Montrer que la suite (f/n)n6w e$t décroissante. ^^éoWe qu'elle est convergente.
Calculer sa limite.
Exercice 3 : Soit a un réel strictement p o s i ^ o n s i d è r e fa fonction / définie par :

l/ Déterminer le domairfede shition"de / .

•••••..

2/ Pour quelle valeiA^ la fonction / est-elle continue en x0 = 0 ?
3/ Pour la va l e j trouvée en 2/ montrer qu'il existe au moins un réel c dans l'intervalle
]0, a[ solution déréquation f(x) =0.
Exercice 4 : Soit la fonction /(*) =
1/Donner le D.L de / à l'ordre 3 au voisinage 0.

^!

2/ En déduire l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point XQ = 0, sa
position par rapport à celle-ci et que le point (0,0) est un point d'inflexion,
indication; On donne les développements limités suivants au voisinage de 0:
et

VI - x2 = 1- •

«U E,M& d.

(V
p

uu.

0

w fe- të, / •

(vv\_

/

/ <K.\

2-,

v(]

,,

X! X .
£j .

ir-

v- «

a> -^.

4

T& -

->2jH?-Hovp

u^

~^?-

-«»

< hfl

-^l

<

n
-c ^ ^ v

) \

o

, -~ o

O < •*• ^ -i_.

^u.cl^3uJi^

d

0-

0

y

V

'«s
V
0

1
0
A.

rs
A

i

3

«v'o

m

;*
o.
j:

r

<vo

r
0
R
?

4

4

-F-

§
P
?

3'

— ts

I

1

rv

r

r

I
• Kr l

I

I
3*

F

J

USTHB

Facuïté de Mathématiques

1ère Année Lic.SM Sections
MathsX Année 2010/2011

Examen Final
Exercice 1 ( 6 points)
On considère la suite numérique (ua)n définie par:
;

ne

1) Montrer par récurrence que si UQ * l, alors V/z e M, ua < 2 et
est croissante. Calculer sa limite.
2) Quelle est Ja nature de (ua)n si UQ = 2?
Exercice 2 (8 Points)
On considère te fonction définie sur [-1,3] par:

1) Montrer que /est continue sur [-1,3]
2) Etudier la dérivçbilité aux points *& = -l,
3) /est-elle înjective sur [-1,0[, sur [0,3]?
4) Déterminer l'ensemble image JJO,
Exercice 3 (3 points)
On donne les développements iifô^és suçants au voisinage de 0:
snx = JT- --^c +
o

Sa-.i:

Calculer tes limites s
Exercice 4 (3 points)
Calculer les dérivées des fonctions suivantes:
I) £x) « 1 + Aretg^ + Aretgx ( jre : R* ), 2)
^) » 1

x:e [0,1] )

3)

Bon Courage

u :>

"

V

*-

ar o =.^ foV

'

yAy

x

•p-^-V'x

- l» \y Jv 4- f 1v —

Faculté de Mathématiques
LMD/ST- Section 18

Année 201.0/2011

Epreuve Finale
Mathl
Exercice 1 Soit la suite récurrente définie par :
uo= 1 et
a) Etudier la monotonie de (Un)n6jK.
b) Montrer que 0 < i^ < 1.
c) En déduire la nature de (Un)neiN.
d) Soit A={Un, neIN}. Déterminer SupA, Inf A, ma>
existent.

., s'ils

Exercice 2 Soit la fonction f définie par :
a) Etuiiier la continuité et la dérivabil
sur IR.
b) Peut-on appliquer le théorème
intermédiaires à f sur [-1,1].
ç) Montrer qu'il existe c e
e f ?(cj=7.
4

Exercice 3 Soit E={&t, fifejpïR , x+2y+z=0>
a) Montrer que E ^^^lous espace vectoriel de IR3.
Soit G={(x, y?^pbIR3s x+y=0, z=0} un sous espace de!IR3.
c) Déterminer une base de G
d) A-t-on IR3= E©G ?

r^'
o

î
*

s
11
•^5-

^

*
>

x

c

>- • Ç1

<: -&
^ *i~~
r*

H

S

V

r*

V

y

V
ti

r*

•?

r-

r

y

r

A

1

r—

4-

rt

5
*
\



v

i

C

-jt6f-

p
*

\ J

55?

.-*

s' jjf

fo-

-

<*>

USTHB
:
Faculté de Mathématiques

Module d'Analys.el.lère année MI,Coordination.
03 Février 2010

EPREUVE FINALE D'ANALYSE

I(Durée: IhSOmn)

Exercice 1: [6 pts]
On considère la fonction / définie par :
f(x] — arcsin(
) — 2 arctan x
-1 + a-2 '
l/ Vérifier que / est définie sur M.
2/ / est-elle continue sur R ? Justifier la réponse.
3/ Etudier la dérivabilité de / sur R puis calculer f ' ( x } .
4/ On note / = [1, +ob[. Montrer que /, restreinte J^.. à8feï£t une fonction
réciproque dont on précisera le domaine de définit!
Exercice 2: [3 pts]
Calculer les deux limites suivantes :
if

PROBLEME:
I/ On considère
"*
V&ê*-



lim
-

t%umérique (Un}n définie par :

a

l/ Montrê¥que: 0 < Un < f,' V n € N.
2/Montrer que: \Un+i - 1| < l\Un - 1|, Vn € M.
3/ En déduire que: |C/n - 1| < 5(5)", V n € N
et que la suite (Urt)n converge vers 1.

Il/ l/ Appliquer la formule de Mac-Laurin-Lagrange à la fonction a;
l'ordre n (n * '••-•oi .• '
2/ En déduire que:

e2, à

fc=7l

Y" ~\ 0. Va: € R

lim

^-^

/;;! '

3/ On considère la suite numérique (Vn)n définie par :

a/ Déterminer lim 14.
7i—»-rOO
b/ Montrer que la suite (Vn)n est croissante.
c/ Soit A ~ {Vn, n € N}. Déterminer InfA,SupA,MinA

et

s'ils

4/ Les suites (£/n)n et (Ki)n sont-elles adjacentes?

USTHB
Faculté de Mathématiques

Module d'AïisJyse I.lère année MI,Coordination.
03 Février 2010

CORRIGE DE L'EPREUVE FINALE D'ANALYSE

I

Exercice 1: (l+l + (l-f l)+(i-«-;t)]
<;
l/ La fonction, x M- arctans.' est définie sur R et la' fonction x M- arcsiua; est
définie sur •[— 1, 1], par conséquent on a:
1-r

Or,on vérifie immédiatement quo:
< 1) <* (1 -à;)2 > 0 et (^ > -1) & (l

2/ / est continue sur R comme composée etlb^râne' de fonctions continues.
3/ La fonction x M- arctana; est dérivajajfTl^^ret la fonction x M- arcsin a;
est jdérivable sur j — 1,1[. Par ailleur
= 1) <=> (a? = 1) et (ïlf? = -^^^^a: = -1). Par conséquent,la fonction composée x f-> arcsin(
dérivable en 1 et en — 1. Ailleurs,
elleiest dérivable comme
fonctions dérivables.
Conclusion: / est déri}
-1>1K
,
Pour tout x 6 M - {-j
les régies de dérivation classiques.on
obtient;
.
«, ,
1 2(1 ou encore:

, = f o si *eJ-M[

l î^r si are]-oo ) -lfUjl,-+oo[
lim f(x] = —-/r et /(l) = 0. Comme / est (strictement)
z-H-oo
décroissante sur / alors:
/ est continue sur / et strictement décroissante (puisque f'(x) < 0, Vx 6
]1, +ôo[),£iJors elle admet une fonction réciproque définie sur /(/) =] — TT, 0].

est continue et strictemeat décroissante.
Exericice 2: [1,5+1,5]
i/ On applique la règle de l'Hopitd en posant.

f ( x ) = cosx — sinx + 1 et g(x) — cosx + sinx — 1.
/ et g sont dérivables sur R et en particulier au voisinage de :',-.
g'(x) — co,?x - sinx = 0 <& i »= f -f &TT, A: e Z.
:
^ '' f -T ^

lim

ï-^r

^-r-r —- 1 =;> lim
Q'(X)
g'(x)

*-»?

ii/ On applique encore la réglo de l'Hôpital en posant œtte fois-ci:
f(x} --= a:2 - 2* et, g(x) - xx - 2 2 .
;
/ dérivable sur M, £r dérivable sur ]0, +oo[.
g'(x)0

lim

2

f(x)
g'(x]

PROBLEME: fl-M+(H-0,5)'+lr-l,5+1+1+2+
I/ l/ On procède par récurrence, on a; 0 < UQ =
Supposons que 0 < Un < 4 ( pour n fixé. Aie
0 < U' <

=> 0 > -

Par encadrement,on obtient: lim |£/n — 11 = 0 et donc lim Un = 1 •
- ^
n-H-oc
II/ l/ Comme la fonction x M- e1 est de classe C°° sur R,on peut écrire:
ii

i -\i

,,2



ii.—y-rvjk^

_.n

= 1+ x +

n!

où 0

(n + 1)!'

2/ En rappelant que lim —- = 0, Va 6 S.on a :
ni
lim

\^-C xk
|ex - y] —| = lim
£=o

In-fl

«ex - 0

3/ a/ En mettant a? = 1 dans la limite précédente.on
' a: - lim
- • - le
' — '> - -—1
£j i = 0
k=n

d'où lim

TI-++OQ

y

— '•= e et par conséquent, lim

•*—' A;!

k~0

n-t-+oo

Vn.= Loge

b/ On a immédiatement:
-Vn=tLog(l + -

d'où la suite (K,)r,-est strictement croissanij
c/(Vn)n est (strictement) croissante

vers .1, alors

n = 1 et

donc .Siip^i =1.
La suite étant strictement croissan^^^cKi ne peut pas exister donc Max A

n'existe pas.
Toujours parce que la suite es^%^sante,/n/T4 = MmVn = V0 = 0.
4/ Deux suites(67n)net(K),
adjacentes si l'une estcroissante, l'autre décroissante
et lim (Un - V^ =3
n-*-f-oo
e a .
(Z/n)n e t(Ki)n conver^^outes les deux vers 1. (^n)n est croissante.il reste
donc à étudier laP^apnotonie de (Un)n.
(Un}n est 4éfi^^^^ f/o = I et Ûn+i = /(Z7n) où / est la fonction se ^-J^
f(x] — |(^^^^^est strictement décroissante sur JQ, +op[ et dans ce cas,la
suite UajLn "
i croissante, ni décroissante puisque des deux suites (U^n)n
st croissante et l'autre décroissante,
Concîu^li: les deux suites (Un)-net(Vn)n ne sont pas adjacentes.

USTHB

Année Universitaire 2006/2007

Faculté de Mathématiques
BMD2
Exercice 01 : Etudier la nature des séries numériques suivantes :


Y] (-l)n — (01,5 pts) ,

, a > 0 et a 6 K (02 pts).

"

Exercice 02 : Soit la série entière :
vi2 i „

n(n+l)(n + 2)
(01 pt)
(03 pts)
(03 pts)

1) Déterminer le rayon de convergence JR .
2) Déterminer les domaines de convergence simpî€ej?ujïrrorme.
3) Calculer la somme S de la série sur son domafffl^gliïjgJvergerice
simple.

Exercice 03 r On considère la suite de fonctions /„

dans [l,e] par:

•n«-(Ino:)n si
x
0

c) Cali
d)En

(01 pt)

b) Calculer L,

(01 pt)

a) Montrer que la s
vers une foncti

(01 Pt)

(01 pt)

fiions (fn)n converge simplement

en fonction de a.
TSSE*'^
^re les valeurs de a pour lesquelles la convergence n'est
sur [1, e].
.
lit / la fonction 2ir—périodique définie sur ]—TT, w] par :

Exercic

m

si x Ç ]—TT, 0]

—1
f(x} =

1 - - si x € JO,
TT

(01 pt)
(02 pt)
(01 pt)
(01 pt)

(01 pt)
^

a) Etudier la parité de /.
b) Tracer sur 3 périodes le graphe de /.
c) Déterminer, la, série de Fourier associée à /.
d) Calculer la somme de la série de Fourier sur
"
.
e) En déduire la somme de la série
-.—-

>o 2k +• l

^

Faculté de Mathématiques
USTHB

Section A (ST)
2006-2007

Epreuve de Rattrapage
deMATH2
Problème (14pte) :
Soit / l'application linéaire de 9î3 dans 9Î3 définie par :
f(x,y, z) «B (3jc + 2y - 2z,4x + y- 2z,8x + 4y- 5z)
* •'v

••?, X

'*• -i

l/Déterminer la matrice M de / relativement à la base canonique B =(e
2/ Montrer que / est bijective.
3/ On pose B' = { V^l ,-2,0),; V^=<0,1,1), V3=^l ,1,2) }
Montrer que B' est une base de 9î â .
4/Donner la matrice de passage P de la base canoniqjp%joB» 9l à la base B',
puis calculer son inverse P" '
baseB'
/ 5/ a/Donner alors la matrice D de / relatij
•-*•'• U Galculer D2v
? isr.
=. c/ En déduire D tt , n € N*, puis,
6/ Montrer que M est inversibïlÉt dé^mùner son inverse M"1
*
res :

gf Soit le système d'éqi

-Montrer que ce système est de Cramer
-Le résoudre.

Exercice (6pts) :

:

Résoudre :
l/ L'équation différentielle homogène :
2l L'équation différentielle linéaire :

cosx

.,y

•).'

o
A
•j.

•J.
V

9

y

,

s

Q
0

M

X.
j

f

i
t:

'U.S.

Faculté de Maths

Epreuve de Rattrapage
Maths I

ANNfcfe/
Section S filière SÏT.

EXERCICE N°l \(Q6 points)
477

So»t la suite

1 °) Montrer que :V«^e M <0,
2Q) Etudier la monotonie de là sù'if e- (£7
) „,
V «/neN
3°) €n 'déduire ^ue lasaite (fJn\^ ^ 'convergehte* et- trouver ^
•4°) On poSe A a {f/A,« eW}; l5étermiWef5MpA/ ïnfX

'yz <+( $4 points)

l9) Donner
2°) Etudîer la continuité de la f on
EXERCICE N°3 »

menttelte les-nom&resjcompteXes
2Ô) fiésoudre do^^les équation^-1. Z* =C7 , Z 4 =F
EXgRCICE N°4 :(Ô5points)

On pose O = M— {2} et on définit la lof ©par:-'<
Vr,jy eG,x O'y =x,.y—2(x +y.) + 6
1. Montrer que ((?,O)'est un groupe commutatif.
2. Montrer que Q2,+oo£,-0jest un sous-groupe de (iS,0)>

N-.B. II sera tenu compte dé la présentation et -toute réponse non. justifiée sera considérée nulle.

et?

,£2

/

Exercise 3 (g

Soit / (a?) = - r — 4- coss,
-

2

3

L Qna-^^ï
(œ3) et cos#-= 1


•''i&'^:'.''•/
'Donc

~ .Hh o
2 .

.,

?

3

1je'-point (0,2) est t*a poiiit d'infleadon

a; =• —. rc —»• 4-OO

+QO d'équation y « -a; - 1

Donc la fbïictioii^^^^piiiei-.a^p
et:ï/ià Courbe de f^lftÉsm^aai d

'HB

TH 1 Licl sections 5 et 6

2011/2012
•07/J01712
EPREUVE FIWA.LE

BRCICE1 C6 points');
int a et b deux réels vérifiant 0 < a < b. On considère les suites •nu.rriéfcCqufes ( u ) et ( v
nies p a r :

"

"

-

-

.

,

'

.

.

f?'
,

»Vn

démontrer par récurrence que : V«, « > 0,

MM > 0 et vu > 0

Montrer que la suite produit( w . v ) est constante.

n n

établir que : V», n > 0» tt/r < VH .
'ro'uver que les suites ( u M ) et ( v~n)
Jéduire des résultats précédents que les spit^^^4^ ( >f J:É0nvejsgejritvers une limite7 que
^

f^*%

.m- • - : " . • • : • . • , . .

-

,

-':•:••,-.•

srmiiiera en fonction de a et de i.
ËRCICE 2Ç& pointsi:
/ lafonctionréelle dé
(étèrrniner le domaine de«di€fînftion dé la

a fonction /est-elle contmu&au poirit 2 ? Si t^iT,./^s;t^lte projl^
ui, étudier la dérivabifee de la fonction prolonge ^e/au p-oirit 2,

2?

SRCICE 3(8 pointe):

r' :' ^,

v

considère les nombres complexes z = x + / v et Z—z^l-z),
alcu 1er la partie imaginaire de Z en fonction de jcel. y.
)éterminer l'ensemble des points M d'affixe Z où Z est réel,
3n désigne par r le module de z et par B un argument de z. Quels : sont alors les modules et les
ments de 1/z^etde \lz ?


xprimer 1/Z en fonction de r et de<9 . En déduire l'ensemble des points M d'affixe 1/Z. où 1/Z est
Bon courage

fl .wra tc.nu comote de la nrésenlation

USTHB
Faculté des Mathématiques

lère Année ST,
Année universitaire

Epreuve finale (Math2)
Durée: Ih et 30min
Attention!
1) Tout résultat non justifié sera considéré comme étant faux
2) La clarté de la rédaction et l'écriture sans ratures de la solution seront prises en considération
3) L'utilisation de la calculatrice et du stylo rouge est interdite
4) II est souhaitable d'utiliser deux copies d'examen au plus!

Exercice 1 ( 5 points).

1. Montrer que :
Vz

2. En déduire que :
a?) .

Exercice 2 (5 points).
1. Déterminer le développement limi^a^]j$isinage de 0 à l'ordre 4 de la fonctions f définie su
par:
/ (or) = sin2 x

2. En utilisant le développ^n^^ limité au voisinage de 0, calculer la limite suivante:
1
r
hm —
sur x
Exercice 3 (4.5
Calculer les i
/

ites;
dx

f arcsina: ,

X(x2_1y

J

jï^SdXt

dx

I

Exercice 4 (5.5 points). Soit le système

x+y+z=2
x + 3y + 2z = -3
2x + y + z = 2
1. Ecrire la forme matricielle AX = B du système (S)
2. Résoudre le système (S) en utilisant la méthode de Cramer.
3. Déterminer A'1 la matrice inverse de A puis retrouver les solutions du système (S) en utilisan
A

.





4. Retrouver les solutions dû système (S) en utilisant la méthode d'échelonnement.

USTHB
Faculté des Mathématiques

1èr0 Année S.T, Section: H
Aimée universitaire: 2006/2007

Epreuve de Rattrapage (Math2)
Durée: Ih e t 3 0 min
Attention!

~

~

~

*

1) Tout résultat non justifié sera considéré comme étant faux
'
2) La clarté de la rédaction et l'écriture sans ratures de la solution seront prises en considération
3) L'utilisation de la calculatrice et du stylo rouge est interdite
\) II est souhaitable d'utiliser deux copies d'exame

Exercice 1 (7 points).
1

7T

arctan x + arctan — = —
1. Montrer que: Vx > 0;
x
2
En déduire le développement limité au voisinage de +00 de

>n: f ( x ) — arctan a:.

2. Développer à l'ordre 4 au voisinage de 0 les fonctions: si
lira

x->0

en déduire:

sin(ln(l 4- rc)) - 1;
(cos :

Exercice 2 (5,5 points).
Soit

1. Décomposer f (x) en
2. Calculer: l f (x) dx,

J

dx.

*

Exercice 3 (7,5
On considère le

suivant:

-3x -3y-5z = 2
1. Ecrire la matrice A associée à (S) , puis exprimer (3) sous forme matricielle.
2. Calculer A2 et A3
3. En déduire l'inverse A~l de A. A l'aide de A~l résoudre le système (S) .
4. Vérifier les solutions obtenues en (2) en utilisant la méthode de Cramer.
5. Retrouver lés solutions du système (S) en utilisant la méthode d'échelonnement
On donne les développements limités suivants

(-ir^+0(x^)
ÊtrctcLu jû — x

~n~

= l - f + , . . + (-!)'

sin x = x — =~

2n+l

; +

.ère année LIC ST
section 11
'010-2011

. -Fa.cnlté de mathématiques
Durée 1H30
Analyse 1

Exercice 01. (5 points)

.lépondre par vrai pu faux. (Justifier dans'le cas où c'est faux).
1. Toute suite convergente est bornée.
2. Si O/JwiN est croissante-èt vérifiant, V n 6 N, Un <Vn telle que la suite (rJweN est <D
convergente alors (^)rteN est convergente, , .
^
• 3. Toute fonction admettant uneJjrnite en un peint aest continue en av
4. Une fonction dérivable sur; [a>b] et sur [&,c]^st çlérivablfe sur[a> c].
5. Si une fonction'bije'ctive-est dérivabîe en'un |>bint, sa fonction r^i^^ùFrest aussi.
Exercice 02. (10 points)

Soit (Un)n^ la suite définie par :
1 . Montrer que (?/„ ^ est strictement ,cjrai
2. Montrer que \fa Z l , «fn ^ Un ^
3. Montrer que (U

4. La suite (Un)n^
On définit deux suites
l, Vn =2^~
Montrer que
Montrer que
Montrer que
Montrer que
4.
',5.
6.
7.

8. En déduire lim

est min

et R ^ ^ sont adjacentes,
l, VH<KWn où !-&
et

Exercice 03. (5 pointj?) -

Soit / une fonction réelle définie par :

1. Donner le domaine de définition de /
2. Peut-on prolonger /par continuité

-v

3. Etudier la continuité de /en 0.
4. Etudier la déiïvabilité de /en 0.

(T) !y

CORRECTION

XERCICE N°l i {06 pointe)
ait la suite (Un )
déf inie-par &0i 0,

p) Montrons que ;V#,« eN G<£/ K:l .On maître par/ réçurj?ence ce résultât,.
our n -0-eile est yrafe^car '0<Ç/ q <î {#„ - û], -On suppose au'^H^est vraie à l'ordre n
t on montre-'qu'elle 'est vraie à" l'ordre n+1 c'^esW^diréjfeÇ/^j <ï . Qn montre
aalemenf que p <l/M+1 . Montrons ^ue C7M+l ^ 1 , on a par^hyp^f fièse que #y < 1 ,
'-"

%

*

'

*

*

*

*

5-f

6) Etudions la-monotonie- de-la suite,
-1-3
)n considère la fonction/définie par/ (x}^~-^ qui est une f c
x '+'6 „
i
f

éfînie,

ontinue et croissante sur f intervalle [Ojî] corsa déHvée /
omme Ê/^t/j donc la suite,(Un
•°) Déduisons-que la suite "(27n )

limite^-.
ï à^owc^eile est "convergente

a suite (Un )weR est une su

t sa limite ^ est donnée par l'équatta
? = 1 ou t=-3, €ômme la suit* f
canyengehlé dorrcSupÀ ~£ = 1 ,
pas»

\(M points}
joit la fonction / définie- par :
-2
-1-

'.j/* = 2 '

2

-2
-6
(x - 2)sin I
'-si "x > 2
{
J
-2
°) Donnons le domaine.de définition de la fonction^ . Si x <2 f est définie si :
-x + 6 > 0 , x -2^0<^>[-co,2[u]2,6] / donc f est bien définie sur ]-oo,2[.

2

-,.4-co

n

6 :

-{2}, donc f estfcfejixiefïnfèsur']2,-f-oo[;



Si -Y =2 elle vaut — qwi est bien définie, "D'où Z), =R .

2
,
2°) Etudions la continuité de la fonction f au poirit xû=2r
-1
est continue au point x 0 =2sï ' Ijm/ (3? ) = Jim/ (* ) =/ (2) = —- . Calculons les
~

'

'

2

'

'

imites suivantes1 Hm/ {x ); Km/ (^ ) .
*

"

.

-2) lim

- f(2), Donc /* est continue appoint XQ - 2.

. y*-»r

2 .

:XERCTCE.M03 :(O5points)

oient U '='—^.Mettons sous la forme exponentielle les nombres complexes U et

n
i—

®

(


*

2°) Résolvons dans C les &juatîmwr * 26 ±= C/ , Z 4 =F * Oppose Z =* p£e

om> ^ solutions sont

^— \Jj « „ * J *^ »

EXERCIC6 ^^4 i
-On pose Cr^lR*

"

i Montrons que
^ ^ r o a p c commutattf, "
Montrons que 0 est^^». fl suffit de njontrer ^tie : V^,^ eG,* 0^ ç<5 , on
remarque que x (i^^^'m r&àrQ& ies lois V et "x" §ont"i^mes dans l'ensemble
des nombre^ ré^ls if 'fes-fe ^ntortfrer^sëùlemeht ^ue x <$y & 2'f on a"pûr hypothèse

et \ +y

,y

.

loi O est interne.
.,
'
Montrons, que © est commiitotive c'est-à-dire :Vx,V €<L?.;C
""..

I

• - ^"^

'





.

,

_

>





i

...

'

. . .

.

.

'^

'•



•*

ù!a

'. Qn a :

!

Montrons que 0 est associative c'est-à-dire Vx,y,z &G,x G

^ .,

*uy,

.y - 2(x
\ !+ y }j + 6 \z L— 2l
- x .v \- 2(x + y

- x .y .1 - 2xz - 2xy - 2yz + 4x + 4y + 4z - 6

Déterminons l'élément neutre de la lof 0. Soit e l'élément neutre de cette loi xjone >'

Déterminons l'élément symétrique x' dex pourla-loi <•)„ SI x' est l'élénient symétrique
de x alors : x'Qx '~3 <^># je *-2(x +x ')^6^3^x €& <3> x je '.... 2AT-3

- ' ,

~.carx

2. Montrons que (]2,*oo[,0)«sr «n souf-gnôupe 4e (ê;<D>.
*

*

Comme l'é|ément feutre è
x,

—2 y
ceci est ycat car ';t - 2 > P et .y ,

USTHB .
Sheultéde
1ère année Lie ST; section J

Exercice 1 (7 pis)

3)l?app.&»tion./: E -» fc telle
4) L'appjcatjon /.- JR
5} L'équation a?4 4te* -2-s= 0 admet
6) Si / (*) = arctan x + &i:d;an(-), alors
7) Vx e R*, arctana; + aretau(-) = J

13oit la suîte.d^e. par
l^Montrer
2) Démoutrer que la j
3)

< 1)0
déduire la naître do
2) Galcuitr lnn(

• '

'convergente

• • •,,;'

;

'

-:'• ï;î-.':v»:"'

itë éef &l^prqfce ^
.





cosa? — 2)./a?8 lorsque # ~> 0,
n

<- Exercdce 4 (4 pts)
y Soit /(«) = rc arctan y. Montrer que la fonction / admet une asymptote
oblique au voifidnage de +bo et donner son équation. Préciser la position dft
/a courbe par rapport à l'asymptote.

Déterminons l'élément neutre de la loi 0. Soft e l'éîément neutre de cette loi;done :

6.=-G
Déterminons l'élément symétrique x' de x pour 1a-loî 0, Sî x1 ^st^ l'élément
de x alors : x 0 x ' = 3 Ô # je '-2(x + x1)#6**3,V.x, && <3>xj '-^2 C°rX *
3, Montrons que (]2;-too[,G))^st.tffi sous^-prtôupe <Je (£;
Comme'l'élément.neutre ^ Bâcé|^-H
Soit x
e<? , mwtr'gns que -x <& Ae(? & '

ceci est .vc<îi cor 'x- ~ 2 > 9 et, 3^ -^ >D

v*

=
T

^

^

f-n-s---- - -~

'

û

n—? <

VI

4
Cff,

-/Ccfoô

î' ce'} j.

tt&t-

ï^^^

••mA -^^Mfe^^^
/'•/)•'* "•''•'••','•••-' -v1--"'" ' >? : '' r -• •."*••'/^...
' •,. :•;(• :^:;:,^;;^w,^

USTHB
Faculté de Mathématiques
CORRIGE StJOGENT DE E'EXAM EN FINAL' DE MATH 1 (25/01/10)
Exercice 1 ( 7 pts) .

. . .

Pour chacun des énortcés-suivants, répondre par Vrai ou Faux et justifier votre réponse.
1. (N, -f ) est un groupe. Eaux : 1 n*a pas de symétrique danâ N (-1 £ H),

(l
3.' L'application / :*#^«R telle qfitf'fïij^

• \. (Z, -1-,.) est un corps. E

sWèstlnjèetivé: Skux : / (0) * / (vr) « 0.

4; L'açplittat^ài $(¥& 7* X -teH^ que / (ai-)^ e* est ëUijectîv^ 'Eat

fte Jgj^^aJ^îJa, .le^ptigni
J"<:"Ô; fThéorëme'âes we®

ju'^uftt;^ ^$7^^.^3^gg^^m^^
définie par /-(a?) = aj4-f-ea: ~;2Îii cott^ûe sur jp,lf-e^
intermédiaires)

6. Si f(x) = arctano; + arctaa^), al^rs /,

7, Vfc.Ç.)HL% arctana; + arçfetn(

€ M*^, Faux : f (x) = -——j +
JL * 1 ' *C

" 1
TT'
;. "Fkux ; /^V«= arqtaa^ -f orotan(--') «"— si a: > 0 et

Exercice 2 (4 p
Soit la suite défirlflar . UQ « 0 et

VneH.

1. Pour n = Q, on a bien 0 < uo <"2, car UQ = 0'. On suppose' 0 < itn < 2, alors 2 < ^ -f- 2 < 4,
d'où \/2 < V2V«» < 2, donc 0 < «n+1 < 2.

2. On a
^ « - «« - .2 < 0
virai d'après 1). Donc la suite est' croissante.

< Q,:ee qui

3. La suite est croissante et majorée par 2, donc elle est convergente, p'a limite t vérifie V2~+l:=
l, d'où (£ - 2) (t + 1) = 0. La valeur i = -1 est rejetée car 0 < un < 2 entraîne 0 '< 't < 2,
donc ï = 2.'


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