sujet maths usthb stu sm st001 rotated.pdf


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(à) Un véntie.que Va, à, c 6 E

a * b = b * a et (a * &) * c = à * (6 * <:•)
Ainsi * est commutative et associative.
L'élément neutre e s'il existe vérifie
a * e = e •*• a — a

e = a<? — a

ce qui entraine
Comme a- ^ —l, alors e = 0,
Le symétrique a? de a s'il existe .vérifie

a * a = a' * a = 0
ce qui donne
a 4- a' (14- a) =0

et comme a ^ — 1, alors
// — -~~Ci' -i i
a "l+a^""1
car sinon -a- = -1 - c et donc •-1 j^ûceTjiu- est absurde
Par conséquent, (E, *) est un grouj
Corrigé dé l'exercice 3
Soient (un] et (vn] deux

s donnée par

LA

;,.-{-

«0 < VQ ; tin

5

(1)

ainsi, la propriété est vraie pour n =Q.
On suppose qu'elle est vraie à Tordre n. c'est à dire u n
alors cl l'ordre n 4-1 on a
3un -fr 2u,,
5

3vn -+-"2un

~ VQ

~ Vn =
5"

u,, — /;,,
5

Ainsi, Vn 6 N on a u,, - u,, =

Uf)

~"
5"