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rapport de stage oscillateur harmonique quantique .pdf



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Méthodes de résolution de l’oscillateur
harmonique quantique
Organisme d’accueil : LAMPS

BOTTIN Gracchus L3 physique

Maître de stage : KALMYKOV Youri

1

Sommaire

Méthodes de résolution de l’oscillateur harmonique
quantique :
-Méthode d’Heisenberg
-Méthode de Schrödinger
-Méthode de Wigner
-Synthèse des trois méthodes
La vie au LAMPS :
-Le cadre de vie
-Le Laboratoire
-Le personnel présent
Appendices
Bibliographie

2

Introduction
Position du problème
L’oscillateur harmonique permet de décrire l’évolution d’un système autour d’une
position d’équilibre stable, c’est-à-dire une position pour laquelle le système admet un
minium d’énergie potentielle.
Beaucoup de système peuvent être localement approximés par l’oscillateur harmonique :
exemple du pendule simple.
E p  mgl 1  cos( ) 
1
mgl ²
 0 2
1
Ec  ml ² ²
2
Em  Ec  E p  K

Ep 

dEm
 ml ²  mgl  0
dt
  02  0

Avec 0 

g
l

Aux petites oscillations, on retrouve l’équation différentielle caractéristique de
l’oscillateur harmonique.
Dans quels cas faire faut-il avoir une approche quantique de l’oscillateur harmonique ?
L’idée est de faire appel à la mécanique quantique quand le système ne peut plus être
traité par les approximations classiques. Une des limites de la mécanique classique est de
considérer que l’énergie est une quantité continue. La mécanique quantique propose le
contraire et affirme que l’énergie s’échange par paquets élémentaires. On peut distinguer

3

un système à traiter de façon quantique quand les énergies qu’il met en œuvre ne sont
plus prépondérantes devant un quantum d’énergie.
Considérons le pendule simple de longueur 1 mètre et de masse 1kilogramme. On se place
dans le cas des petites oscillations, par exemple 𝜃=1° pour l’angle maximal.
Dans ce cas : 𝐸𝐸=𝐸𝐸=𝑚(1−cos(𝜃))≅ 1.5𝑚𝑚
Comparons cette grandeur au quantum d’énergie ℏ𝜔 avec 𝜔=�𝑔𝑙 ℏ𝜔≅3.1×10−34𝐽. Ainsi
pour ce système ℏ𝜔 ≪𝐸𝐸 il est donc inutile de traiter ce système par la mécanique
quantique.
Cependant pour un système microscopique disposant d’une énergie comparable au
quantum d’énergie, on ne peut plus considérer que les échanges d’énergie se font de façon
continue.
Les cristaux sont un bon exemple. Les atomes aux nœuds du réseau cristallin vibrent
autour de leur position d’équilibre et peuvent donc être considérés comme des
oscillateurs. Une approche classique de ce système permet de retrouver la loi de Dulong
et Petit qui affirme que la capacité thermique à volume constant vaut 3R (pour une mole
de cristal). Cette loi est parfaitement vérifiée aux hautes températures, c’est-à-dire quand
le quantum d’énergie est négligeable devant l’énergie du système.
Cependant la loi de Dulong et Petit est en contradiction avec l’expérience pour les basses
températures. En effet pour une température proche de 0 kelvin la capacité thermique à
-1
-1
volume constant s’effondre vers 0 J⋅K ⋅mol . Le modèle d’Einstein consiste à considérer
les atomes aux nœuds du réseau comme des oscillateurs harmoniques quantiques
(vibrant selon la même pulsation dans toutes les directions de l’espace). Ce modèle
permet de retrouver le comportement expérimental de cette grandeur
thermodynamique.

4

Oscillateur harmonique quantique : Résolution
par la méthode de Heisenberg.

Résolution
Résoudre le système revient à résoudre l’équation de Schrödinger indépendante du
temps dans le cas de l’oscillateur harmonique quantique. C’est-à-dire rechercher les éléments
propres E et  de 𝐻 qui est l’Hamiltionien du système c’est-à-dire l’observable
associée à la mesure de l’énergie du système.

H   E  (1.1)

Préliminaires
On considère que l’oscillateur harmonique est à une dimension selon l’axe x. 𝐻 s’écrit sous
la forme.

H

Px2 1
 m 2 X 2 (1.2)
2m 2

Où 𝑃𝑥 est l’observable associée à la mesure de l’impulsion le long de l’axe x et 𝑋,
l’observable associée à la mesure de la position le long de l’axe x

On introduit les opérateurs échelle suivants comme intermédiaires de calcul. On pourra
néanmoins leur trouver un sens physique qui sera détaillé par la suite.

5

m
2

a
a† 

i


Px 
X 
m 


m
2

i


Px  (1.3)
X 
m 


N  aa †

On notera que N est hermitien.
On peut établir la relation suivante entre N et H
1

H    N   (1.4)
2


Ainsi à un facteur et une constante additive près, les valeurs propres de N sont celles de
H. De plus on peut montrer que H et N commutent donc leurs vecteurs propres sont les
même.
L’idée est donc chercher les éléments propres de N.

Recherche des valeurs propres de l’Hamiltionien
Soit n vecteur propre normé de N de valeur propre associée n. On peut
commencer par écrire l’équation aux valeurs propres :

N n  n n (1.5)

On en déduit que toute valeur propre de N est positive ou nulle. Sp  N  



(1.6)

L’objectif est de montrer que les valeurs propres de N sont entières, pour cela, on introduit
la quantité n a†k a k n pour tout k entier positif. On montre que cette quantité est telle
que :

n a† k a k n  n(n  1)(n  2)...(n  (k  1)) (1.7)

Pour que cette série s’arrête et donc qu’il existe un niveau fondamental, n doit
nécessairement être entier.

6

On sait donc maintenant que les valeurs propres de N sont les entiers positifs :
Sp( N ) 

En utilisant la relation, on trouve que les énergies accessibles au système sont :
1

En    n   (1.8)
2


On a donc déterminé l’ensemble des valeurs propres de H.

7

Détermination des états propres
Etat fondamental
L’idée est ici de déterminer le comportement de l’oscillateur harmonique quantique dans
son plus bas niveau d’énergie.
Commençons par déterminer l’action de N sur les ket a n et a† n

Na n  (n  1)a n (2.1)

Na† n  (n  1)a† n (2.2)
Avec a n et a† n kets propres de N de valeur propre associée: respectivement (n  1) et
(n  1)
Il est possible de poser :

a n   n 1

(2.3)

Avec n  1 normé, on trouve :   n (2.4)
C’est-à-dire a n  n n  1 (2.5)
De la même façon, on montre que :

a† n  n  1 n  1 (2.6)
C’est ici qu’on peut voir le sens physique des opérateurs échelle. En effet a permet
d’abaisser la valeur propre 𝑛 d’une unité. C’est pourquoi on l’appelle aussi opérateur
d’annihilation car il abaisse le niveau d’énergie d’un rang. Tandis que a † permet
d’élever la valeur propre 𝑛 d’une unité. C’est pourquoi on l’appelle aussi opérateur de
création car il élève rang le niveau d’énergie d’un rang
On remarquera d’après que si n  0 alors a 0  0 (2.7)
Par passage en représentation r  dans (2.7) on obtient :

m 
 
x
 0 ( x)  0 (2.8)
2 
m x 
Equation différentielle dont la résolution donne l’état fondamental de l’oscillateur
harmonique quantique :

8

 0 ( x)  0e



1 m 2
x
2

1

 m  4
Avec 0  
 (2.9)
 

6
5

4
3
2
ℏ𝜔

1
0

ℏ𝜔
2
Modes propres

6
5
4
3
2

ℏ𝜔

1
0

ℏ𝜔
2
Probabilités

9

Oscillateur harmonique quantique : Résolution
dans l’esprit de Schrödinger.

Principe de la démonstration
La démonstration proposée consiste à reconstruire l’équation d’évolution qu’est
l’équation de Schrödinger à partir d’un fragment de la solution. C’est donc une méthode
indirecte qui vise plus à obtenir une preuve mathématique qu’à répondre à un problème
physique.

Point de départ
Le point de départ choisi et la fonction génératrice des polynômes d’Hermite :


g ( x, t )  et ²  2tx   H n  x 
n 0

tn
(1.1)
n!

En dérivant cette fonction génératrice par rapport à chacune de ses variables et en
l’exprimant sous forme de série entière, on aboutit aux relations suivantes :
H n1 ( x)  2 xH n ( x)  2nH n1 ( x) (1.2)
H n ( x)  2nH n1 ( x) (1.3)

10

Une utilisation commune des deux relations précédentes permet d’obtenir l’équation
différentielle dont les polynômes d’Hermite sont solution.
H n ( x)  2 xH n ( x)  2nH n ( x)  0 (1.4)

L’objectif est de transformer cette équation différentielle pour retrouver les
caractéristiques de l’équation de Schrödinger parmi lesquelles :
-

Le caractère auto adjoint

-

Les solutions normalisées pour répondre à la condition de normalisation des
probabilités de présence.

Posons :
A  H n ( x)  2 xH n ( x)  2nH n ( x) (1.5)

On a donc :
A†  H n ( x)  2 xH n ( x)  2nH n ( x) (1.6)

Il est donc manifeste que l’équation différentielle dont les polynômes d’Hermite sont
solutions n’est pas auto-adjointe.
L’idée pour parvenir à cette caractéristique est de pondérer les polynômes d’Hermite par


une gaussienne. C’est-à-dire remplacer H n ( x) par n ( x)  H n ( x)e
Dans ces conditions, l’équation différentielle précédente devient :

x2
2

n ( x)  (2n  1  x2 )n ( x)  0 (1.7)
Etant sans terme de degré 1, cette équation différentielle est nécessairement autoadjointe.
Par combinaison de cette équation indexée en n et de la même indexée en m , on montre
que pour tout couple d’entier (n, m) :

nm  mn  2(m  n)nm (1.8)
Grace à des considérations sur le comportement asymptotique d’une fonction
polynomiale multipliée par une fonction gaussienne et par intégration, on arrive au
résultat suivant :


2(n  m)  n ( x)m ( x)dx  0 (1.9)


11

C’est-à-dire :







H n ( x) H m ( x)e x  k nm (1.10) où k est une constante à déterminer.
2

On vient donc de démontrer ici que la famille des  n était orthogonale. Il reste à
déterminer la constante k.
On y parvient grâce à l’équation différentielle dont les polynômes d’Hermite sont
solutions. Il s’agit d’exprimer l’expression (1.2) en fonction de H n , H n 1 et H n 2 puis de la
multiplier par H n d’une part et d’autre part de reprendre l’expression (1.2) et de la
multiplier par H n 1 puis de réaliser une combinaison des deux expressions.
Ce qui donne après intégration et utilisation de la relation d’orthogonalité :








e x H n2 ( x)dx  2n  e x H n21 ( x)dx (1.11)
2

2



Et donc par récurrence :









e x H n2 ( x)dx  2n n!  e x H 02 ( x)dx  2n n!  (1.12)
2

2



On a donc  n dans sa version normalisée tel que :

n ( x) 

1
2n n ! 

e



x2
2

H n ( x) (1.13)

Point d’arrivé
Commençons par écrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps dans le cas de
l’oscillateur harmonique quantique :



2

d2
1
 ( z )  m 2 z 2 ( z )  E ( z ) (2.1)
2
2m dz
2

Par changement de variable : x  az avec a 2 

On obtient :

m

a
et en posant      ( x)
z

d2
2E
 ( x)  (  x 2 ) ( x) (2.2) avec  
(2.3)
2
dx


On impose une condition sur l’énergie en choisissant :   2n  1 c’est-à-dire
1

En    n   condition qui permet de retrouver l’équation dont  n est solution.
2


12

On retrouve donc la même conclusion que pour la méthode d’Heisenberg :

 n ( x) 

13

1
2 n! 
n

e



x2
2

H n ( x) (2.4)

Oscillateur harmonique quantique : Résolution
par la méthode de Wigner.

Introduction
La méthode de Wigner introduite par Eugène Wigner en 1932 et achevée en 1949 par José
Enrique Moyal est une méthode qui vise à connaître pour un système quantique la
distribution de probabilité des états dans l’espace des phases. Il s’agit avant tout d’une
méthode physique statistique même si dans le cas présent elle sera restreinte au système
simple de l’oscillateur harmonique. Le but est d’établir un lien entre la fonction d’onde du
système et une distribution des états du système dans l’espace des phases. Elle est
particulièrement adaptée à résoudre des problèmes de spin pour un grand nombre de
particules car elle permet d’éviter un formalisme matriciel.
Le problème peut être traité selon plusieurs méthodes. On en présentera une et l’on
évoquera une seconde. La première mettra en œuvre la matrice densité du système et l’on
verra que le problème se réduit à la résolution de l’équation de Liouville. La seconde
consiste à appliquer la transformation de Wigner-Ville à l’équation de Schrödinger et à
résoudre cette traduction dans l’espace des phases de l’équation de Schrödinger
La difficulté mathématique étant réelle, certain résultats seront admis tandis que d’autres
seront démontrés.

14

Méthode 1 : Par la définition de la fonction de Wigner
La fonction de Wigner qui est la distribution des états du système dans l’espace des phases
est définie par Eugène Wigner de la façon suivante :

W ( x, p , t ) 

1
2



 d e

 ip /



1
1
x   ˆ (t ) x  
2
2

Il s’agit de la transformée de Wigner-Ville de la matrice densité.

Matrice densité
La matrice densité joue un rôle équivalent au ket qui décrit l’état d’un système. Cependant
la ket ne permet pas toujours de décrire le système dans toutes les situations. Prenons
l’exemple d’un oscillateur harmonique à deux dimensions oscillant à la pulsation ω selon
ses deux directions. Si l’on mesure 2  , quel est l’état du système immédiatement après
cette mesure ? Il n’y a pas de réponse unique à cette question, en effet, toute combinaison
linéaire de nx  1, ny  0 et nx  0, ny  1 est solution.
Le rôle de la matrice densité est de palier à ce genre de situations ambiguës.
Formulation de la matrice densité :
-pour un état pur : ˆ   
-pour un mélange statistique : ˆ   Pi  i  i dans le cas pur tous les Pi sont
i

nuls sauf un qui vaut 1

Résolution
A la suite de plusieurs opérations parmi lesquelles la réécriture de la matrice densité à
l’aide de l’opérateur évolution, de l’introduction dans la fonction de Wigner d’une relation
de fermeture pour généraliser la distribution de Wigner, on admet que les des relations
suivantes issues de la définition de la fonction de Wigner sont vraies.
n
2n

 p²
1  / 2  d 2 nU  2 n 

² ²
U 


 WE ( x, p)  EWE ( x, p) (1.1)
8m x² n 1
(2n)!
dx 2 n p 2 n 
 2m
n
2n

 p  dU 
1  / 2  d 2 n 1U  2 n 1 




 WE ( x, p)  0 (1.2)
(2n)!
dx 2 n1 p 2 n1 
 m x dx p n1

15

On remarquera que l’équation (1.2) est l’équation Liouville dans le cas de la mécanique
quantique.
Ici, U est le potentiel dans lequel le potentiel dans lequel est plongé le système. Dans le
cas de l’oscillateur harmonique, ce potentiel est explicité par :
U ( x) 

1
m ² x ²
2

On peut donc réécrire (1.1) et (1.2) sous la forme :

 p² 1
² ²
² m ²  ² 
 2m  2 m ² x²  8m x²  8 dp ²  WE ( x, p)  EWE ( x, p) (1.3)


p 

 m x  m ² x p  WE ( x, p)  0 (1.4)


Encore une fois, on remarquera que l’équation (1.4) est l’équation de Liouville statique
exprimée dans le cas classique.

E
 m 
En posant les changements de variable :   
puis en introduisant les
 et  



p
grandeurs spatiales adimensionnées    x ,  
et enfin en considérant y   ²   ² ,

on montre que :
1

Encore une fois : En    n  
2

(1)n  p2  m2 2 x2  /( m  )  2  p ²  m² ² x²  
Wn ( x, p) 
e
Ln 


m 


1/2

Où Ln est le n ième polynôme de Laguerre.
Il existe certains couples  x, p  tels que Wn ( x, p) puisse prendre des valeurs négatives.
Les dimensions des domaines de négativité sont toujours proches numériquement de .

16

Représentation

En haut à gauche n=0
En haut à droite n=1
En bas à gauche n=2
En bas à droite n =3

17

Méthode 2 : Par la traduction de l’équation de Schrödinger
dans l’espace des phases.
Cette méthode est mal considérée, en effet, elle fait directement appel à l’équation de
Schrödinger ce qui est contraire à la raison pour laquelle Wigner l’a créée. Et pour cause,
la méthode de Wigner vise à se passer des formalismes de Heisenberg et de Schrödinger.
Il y a peu de différence entre le fait d’appliquer la transformation de Wigner à la fonction
d’onde une fois obtenue par l’une des deux méthodes précédemment citées et le fait
d’appliquer la transformation de Wigner directement à l’équation de Schrödinger.
H ( x, p)



W ( x, p)  EW ( x, p) (2.1)

Le symbole ★ désigne le produit étoile ou autrement appelé le produit de Moyal. Si la
transformation de Wigner semble proche de la transformation de Fourrier, la similitude
ne s’arrête pas là. En effet le produit étoile joue pour la relation de composition un rôle
équivalent au produit de fonction pour la relation de convolution.
On peut expliciter ce produit étoile mais on se contentera de donner son rôle dans
l’équation (2.1) quand elle est écrite dans le cas de l’oscillateur harmonique :
2
2


i
i
 

x



p



p
x   2 E  W ( x, p )  0

2  
2 



La séparation en partie réelle et partie imaginaire de cette équation permet encore une
fois de retrouver les modes propres dans l’espace des phases et les niveaux d’énergie.

18

La vie au laboratoire de mathématique et
physique (LAMPS) de l’université de Perpignan

Le cadre de vie.
Le campus
Avant même de rentrer dans l’université, on apprécie le caractère non-invasif de
l’établissement dans la ville. En, l’université s’intègre bien en choisissant de placer les
bâtiments peu imposants à l’entrée tandis que les plus grands amphis se situent plus loin
sur le campus.
Une fois les portes de la faculté franchies et les bâtiments administratifs dépassés, on
arrive dans une pinède autour de laquelle s’organise la plupart des locaux de l’université.
L’arrivant trouve à sa droite les bâtiments dédiés aux langues, en face de lui une boutique
qui vend des produits réalisés par les élèves souhaitant financer leur année à l’étranger
ainsi que la cafeteria. Sur la gauche, on trouvera encore des bâtiments administratifs ainsi
que les laboratoires affiliés à l’université de Perpignan parmi lesquels le LAMPS.
Le cadre de vie est agréable, très aéré, les tables et les bancs sont nombreux et les
étudiants les mettent à profit soit pour se détendre soit réviser.

19

Le laboratoire
Pour accéder au laboratoire, l’arrivant se dirige vers le fond de la pinède et pénètre un
long bâtiment de deux étages. Le rez-de-chaussée accueille une partie administrative. Le
1er étage est réservé aux DALI. L’objet d’étude des chercheurs de ce laboratoire est le
calcul à hautes performances et la précisions des calculs. Enfin, on arrive au deuxième
étage où le LAMPS a ses quartiers.
La première chose qui m’est frappée en rentrant est la banalité du lieu. Un seul long
couloir de part et d’autre duquel les chercheurs ont leur bureau respectif. Pas de grands
espaces ultra-modernes dans lesquelles les chercheurs en blouse blanche s’agitent dans
un laboratoire en pleine effervescence.
C’est même plutôt le contraire, le couloir est assez terne et les chercheurs sur place sont
tout à fait détendus et portent leurs habits de tous les jours.
Le laboratoire est dirigé par le docteur Mircea Sophonea cependant ce dernier est
rarement présent car souvent dans les laboratoires étrangers.
La partie physique du laboratoire compte une dizaine de membres de même pour la partie
mathématique.

Le personnel sur place.
La première personne que j’ai rencontrée est Sylvia Munoz, l’une des deux secrétaires.
Mon maître de stage, Youri Kalmykov n’étant pas encore arrivé, elle me fait patienté dans
une salle plus vaste que les autres où l’on semble pouvoir boire son café imprimer des
documents et projeter ses travaux.
Peu de temps après mon maître de stage arrive au laboratoire, il est assez impressionnant
et parle avec un fort accent russe. Il me propose tout de suite de me mettre au travail. Il
commence par me rappeler ses attentes c’est-à-dire caractériser l’oscillateur harmonique
quantique par plusieurs méthodes et finir par aboutir par la méthode de Wigner.
J’avais l’intention de commencer sans attendre mais avant même d’ouvrir une page, mon
maître de stage commence par me poser la question de pourquoi résoudre le problème
sous forme quantique. A partir de là, la journée entière fut consacrée à des ordres de
grandeurs divers (vitesse de rotation d’une molécule, amplitude maximale de l’oscillation
du pendule telle que l’oscillation de l’oscillateur harmonique puisse être faite etc…)
La méthode d’Heisenberg ayant été vue en cours avec Pierre-Emmanuel Durand, cette
partie fut la plus rapide à traiter, cependant les autres méthodes étaient une découverte
pour moi. Ce fut l’occasion pour mon maître de stage de m’inonder de toute une littérature
qu’il estimait utile pour mener à bien mon travail. Ce fut donc dans ces circonstances que
je me mis pour la première fois à la lecture des ouvrages et publications en anglais.
Contrairement à ce que je pensais, l’anglais scientifique est tout à fait accessible et je n’ai
pratiquement jamais eu besoin de faire appel à un traducteur automatique pour
comprendre les notions présentées.
Ce travail en anglais a porté ses fruits car c’est principalement dans le livre d’Arfken et
Weber que j’ai pu trouver la méthode analytique de résolution de l’oscillateur
harmonique quantique.
En dehors de Youri Kalmykov, de nombreux chercheurs étaient présents sur place, parmi
lesquels Pierre Desjardins qui a suivi mon travail en parallèle de Youri.

20

Si Pierre et Youri enseignent à l’université de Perpignan, ce n’est pas le cas de la plupart
des chercheurs rencontrés au LAMPS. Certains sont uniquement chercheurs comme Paul
Blaise dont le travail porte principalement sur la chimie quantique et d’autre sont
doctorants ou post-doctorants.
Parmi les doctorants, se trouvaient deux doctorantes, l’une en calcul hautes performances
et l’autre en mathématiques appliquées à la mécanique. Toutes deux ont pu m’apporter
leur aide notamment quant à certaines difficultés mathématiques que j’ai pu rencontrer.
Un fait m’a frappé une fois que j’avais un aperçu du personnel du laboratoire. Il existe une
vraie séparation des classes d’âge. En effet, les personnes présentes étaient soit très
jeunes soit proches de la retraites et beaucoup avaient même dépassé cet âge. A côté de
cela, la proportion de trentenaires, quarantenaires est très faible. Ceci s’explique par le
grand nombre de jeunes diplômés et le faible nombre de places disponibles en tant que
titulaire.
Par ailleurs, la vie des chercheurs au LAMPS suit certains rituelles. Le plus marquant pour
moi fut la pause de 16h où pratiquement toute l’activité dans la partie physique du
laboratoire cessait. Tous les chercheurs, doctorants, post-doctorants et stagiaires se
réunissent dans la salle principale et prennent un café agrémenté de gâteaux faits-maison.
Contrairement à ce que l’on pourrait imaginer, la discussion ne porte pas sur les
recherches de chacun mais plutôt sur les affaires courantes du laboratoire telle que la
préparation de l’arrivée et l’accueille d’une délégation de chercheurs étrangers. Mais la
discussion peut être plus intime et les gens parlent de leur famille.

Difficultés rencontrées.
Outre la difficulté des notions abordées, le plus difficile pour moi, fut de faire le tri entre
les mathématiques et la physique. En effet, j’ai passé l’intégralité du stage à me poser la
question de savoir si tel point était pertinent à démontrer à tel point que Pierre et Youri
m’ont par deux fois reproché de perdre mon temps en détails mathématiques là où je
pouvais me contenter d’admettre les résultats.

21

Appendice méthode Heisenberg
(1.4)
N  aa† 

m 
i
i


Px  X 
Px 
X 
2 
m 
m 

P2
1 m
i
i
i
i
i
1
X²
XPx  Px X  x Or
XPx 
Px X   XPx   
2
2
2
2 m²
2
2
2
2
2
P
1

N   m ² X ²  x 
2
2m 2
Px2
1 1

  N    m ² X ² 
H
2 2
2m


N

(1.6)
N n n n
n a† a n  n n n
2

an

n

(1.7)
n a† k a k n  n a† k 1 Na k 1 n





n a† k a k n  n a† k 1 a k 1 N   Na k 1  n

n a† k a k n  n a† k 1  a k 1 N n   k  1 a k 1 n

na a n  na

† k 1 k 1

na a n  na

† k 1 k 1

na a n  na

† k 2

†k

k

†k

k

†k

k

a
a



 n   k 1 n
n  n   k  1  Puis de la même façon :
n  n   k  2   n   k  1 

a k 2



n a† k a k n  n  n  1 ...  n   k  1 

(2.2) et (2.1)

Na n  a†aa n  (aa†  a† , a  a n  a  N n  n   a  n n  n    n  1 a n





Na† n  a†aa† n  a† N  a† , a  n  a†  N n  n   a†  n n  n    n  1 a † n

(2.4)
an
an
an

22

2

 n a†a n

2

 n N n

2

 nnn

an
an
an
an

2

n

2

  n 1

2



2

  n

2

2

n 1

2

2

(2.6)
a† n

2

 n aa† n

a† n

2

 n a†a  I H s n

a† n

2

 n N n  n n  n 1

a† n

2





2



n 1

2

  n 1
2

(2.9)
m 
 
x
 0 ( x)  0
m x 

 0
m
( x) 
x 0 ( x)  0
x
1 m
m

xdx

 ( x)   e 
 ( x)   e 2
0

0

0

0





( x) dx  1
2

0



0


2

e



m



dx  1




 m 
 1 A la phase près : 0  

m
 

1/4

0

23

2

(2.10)
a† 0  1 1
a †2 0  1a † 1  1 2 2
a †3 0  2a † 2
a †3 0  2 3 3
...
a† n 0  n! n
n 

1 †n
a 0
n!

(2.11)
 m 
 n ( x) 


2n n !   

1/4

1

Posons X 

m

n

 m 
d    12 m x ²
x



  e
m

dx




x

d   X2²
 m  
 n ( x) 
X


 
 e
dX 
2n n !    
1

1/4

n

e

X ²
2 H

n(X

)

Ensemble des commutateurs utilisés
m 
i
i
i
i

 


 a † , a  
Px  X 
Px    X 
Px  X 
Px  
 X 
2 
m 
m  
m 
m  
i
i
 a † , a    XPx  Px X    X , Px   -I H s

 N , a   a†aa  aa†a  a† , a  a  a
 N , a †   a † aa †  a † a † a  a †  a, a †   a †
n 1

n 1

m0

m0

 N , a n    a m  N , a  a n 1 m   a m aa n 1 m  na n
n 1

n 1

m0

m0

 N , a † n    a † m  N , a †  a † n 1 m   a † m a † a † n 1 m  na † n

24

Appendice méthode Schrödinger
(1.2)




t n1
tn
t n 1
g ( x, t )  2 H n ( x)
 2 x H n ( x)   nH n ( x)
t
n!
n ! n 0
n!
n 0
n 0




tn
tn
tn
2 H n1 ( x)
 2 x H n ( x)   (n  1) H n 1 ( x)
(n  1)!
n ! n1
(n  1)!
n 1
n 0


2 H n1 ( x)
n 1



tn
tn
tn
 2 x H n ( x)   H n 1 ( x)
(n  1)!
n ! n1
n!
n 0

On considère que le -1 nième terme n’existe pas




tn
tn
tn
2 nH n1 ( x)  2 x H n ( x)   H n1 ( x)
n!
n ! n 0
n!
n 0
n 0

Egalité de séries entières également indexées, on peut identifier.
H n1 ( x)  2 xH n ( x)  2nH n1 ( x)

(1.3)


t n1 
tn

g ( x, t )  2 H n ( x)
  H n ( x)
x
n ! n 0
n!
n 0




tn
tn
tn
 2 nH n1 ( x)   H n ( x)
n!
n ! n 0
n!
n 1
n 0
H n ( x)  2nH n1 ( x)

2 nH n1 ( x)

(1.4)
D’après (1.2) :
H n1 ( x)  2(n  1) H n ( x)
H n1 ( x)  2(n  1) H n ( x)  4n(n  1) H n1 ( x)

Par substitution dans (1.3) :

H n1 ( x) H n1 ( x)

(n  1) 2(n  1)
Par changement d’indice :
H n ( x)  2 xH n ( x)  2nH n ( x)  0
H n 1 ( x)  x

(1.7)
Trivial par dérivations successives de n ( x)  H n ( x)e

25



x2
2

(1.8, 1.9, 1.10)

n( x)  (2n  1  x 2 )n ( x)  0
m ( x)  (2m  1  x 2 )m ( x)  0
m ( x)n( x)  (2n  1  x 2 )m ( x)n ( x)  0

n ( x)m ( x)  (2m  1  x 2 )n ( x)m ( x)  0
n( x)m ( x)  m ( x)n ( x)  2(m  n)m ( x)n ( x)  0
d
n ( x)m ( x)  m ( x)n ( x)   n( x)m ( x)  m ( x)n ( x)
dx

d

Donc   n ( x)m ( x)  m ( x)n ( x)   2(m  n)m ( x)n ( x) dx  0
dx

 

Or



lim n ( x)m ( x)  m ( x)n ( x)   lim n ( x)m ( x)  m ( x)n ( x)   2(n  m)  m ( x)n ( x)dx  0

x 

x 



0







H n ( x) H m ( x)e x  0 pour n  m
2

(1.11, 1.12)
D’après (1.2) :
H n ( x)  2 xH n1 ( x)  2(n 1) H n2 ( x)
H n2 ( x)  2 xH n1 ( x) H n ( x)  2(n 1) H n2 ( x) H n ( x) (1)

De même H n1 ( x) H n1 ( x)  2 xH n ( x) H n1 ( x)  2nH n21 ( x) (2)

H n2 ( x)  2  n  1 H n2 ( x) H n ( x)  H n1 ( x) H n1 ( x)  2nH n21 ( x)  0

e x  H n2 ( x)  2  n  1 H n2 ( x) H n ( x)  H n1 ( x) H n1 ( x)  2nH n21 ( x)   0
2

On intègre sur tout l’espace physique :
Or d’après la relation d’orthogonalité :




x
x
 e H n2 ( x) H n ( x)dx   e H n1 ( x) H n1 ( x)dx  0
2

2





Donc

e




x




2

H n2 ( x)dx 2n  e x H n21 ( x)dx
2





x
2
x
2
 e H n ( x)dx 2  2n(n  1)  e H n2 ( x)dx
2




2





x
2
x
2
 e H n ( x)dx 2  2  2n(n 1)(n  2)  e H n3 ( x)dx
2





26

2







x
2
n
x
2
 e H n ( x)dx 2 n!  e H 0 ( x)dx or H0 ( x)  1
2




2



e

x

2

H n2 ( x)dx 2n n ! 



(1.13)
D’après (1.12) : n

2

 2n n ! 

Donc dans la version normalisée : n ( x) 

1
2 n! 
n

e



x2
2

H n ( x)

(2.4)
2

d2
1
 ( z )  m 2 z 2 ( z )  E ( z )
2
2m dz
2
m
Posons x  az avec a 2 





2

2

2m

a2

d2
x 1
x
x
x
 ( )  m 2    ( )  E ( )
2
dx
a 2
a
a
a

m d 2
x 1
x
x
x
 ( )  m 2
   ( )  E ( )
2
2m
dx
a 2
m  a 
a
a
2

2

 d2



a
x 2 ( x)  E ( x) avec      ( x)
2 dx
2
z
2
d
2E
 ( x)  (  x 2 ) ( x) avec  
2
dx

2E
1

Si  
et   2n  1 par identification avec (1.7) alors En    n   et on retrouve

2

bien une équation différentielle dont  n est solution.



27

2

 ( x) 

Bibliographie
G.G ARFKEN et H.J WEBER, Mathematical Methods for Physicists, Seventh Edition,
ELSEVIER, 2012
ABRAMOWITZ et STEGUN, Handbook of Mathematical Functions, National Institute of
Standards and Technology, 1964
T.L CURTRIGHT, D.B FAIRLIE et C.K ZACHOS, A Concise Treatise on Quantum Mechanics
in Phase Space, World Scientific, Imperial College Press, 2014
T.L CURTRIGHT, D.B FAIRLIE et C.K ZACHOS, QUANTUM MECHANICS IN PHASE SPACE
P BLAISE et O HENRI-ROUSSEAU, Quantum Oscillators, Wiley, 2011
W.P SCHLEICH, Quantum Optics in Phase Space, Wiley-VCH, 2015

28


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