EXAMEN2+solutions ECOLE 2015 2016 .pdf



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EPST ANNABA
EXAMEN2 ANALYSE 1ère Année: 2h
2015-2016
EXERCICE 1(10points)
Le but de cet exercice est de calculer l’intégrale I suivante:
Z
x6 + 1
dx
I=
(x 1) (x2 + x + 1)2
a) (1.5points) On considère la fraction rationnelle
R(x) =

(x

x6 + 1
1) (x2 + x + 1)2

Ecrire R(x) sous la forme
R(x) = R1 (x) + H(x)
avec R1 (x) est une fraction rationnelle régulière et H(x) est un polynôme
b)(1.5points) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle
R1 (x)
c) (1.5points) Calculez l’intégrale
Z
2
x + 14
9
9
dx
J2 =
(x2 + x + 1)
d) (2.5points) Calculez l’intégrale
Z
dx
J3 =
(x2 + x + 1)2
e)(1.5points) Calculez l’integrale
Z
2
x 43
3
dx
J4 =
(x2 + x + 1)2
f) (1.5points) Calculez l’intégrale
Z
x6 + 1
I=
dx
(x 1) (x2 + x + 1)2
1

SOLUTION DE L’EXERCICE 1
a) (1.5points)
on a
R(x) =

P (x)
=
Q(x)
(x

x6 + 1
1) (x2 + x + 1)2

On a
deg(P ) = deg(x6 + 1) = 6
2

1) x2 + x + 1 ) = 5

deg(Q) = deg((x

deg(P ) > deg(Q)
Il faut e¤ectuer la division euclidienne de P (x) par Q(x): On a
(x

1) x2 + x + 1

2

= x5 + x4 + x3

x6 + 1
x6 x5 x4 + x3 + x2 + x
x5 x4 + x3 + x2 + x + 1
+x5 + x4 + x3 x2 x 1
2x3
(x6 + 1) = (x5 + x4 + x3

x2

x2

x

1

x5 + x4 + x3 x2
x 1

x

x

1) (x

1

1) + 2x3

Donc
(x

x6 + 1
= (x
1) (x2 + x + 1)2

2x3
(x 1) (x2 + x + 1)2
P1 (x)
= R1 (x) + H(x) =
+ H(x)
Q1 (x)


R1 (x) =

(x

1) +

2x3
; H(x) = (x
1) (x2 + x + 1)2

deg(P1 ) = 3; deg(Q1 ) = 5; H(x) = x

2

1)
1

b)(1.5points) On a donc
Z
Z
Z
x6 + 1
I =
dx = (x 1)dx +
(x 1) (x2 + x + 1)2
(x
Z
3
2
2x
x
x+
dx
2
(x 1) (x2 + x + 1)2

2x3
dx
1) (x2 + x + 1)2

Notons cette dernière intégrale par J1
Z
2x3
J1 =
dx
(x 1) (x2 + x + 1)2
et

x2
I=
2
La fraction rationnelle

P1 (x)
Q1 (x)

calculer J1 , on doit décomposer

(x

x + J1

2x3
est
(x 1)(x2 +x+1)2
3
P1 (x)
= (x 1)(x2x2 +x+1)2
Q1 (x)

=

régulière. Donc pour
en éléments simples.

2x3
C
Dx + E
Fx + G
=
+ 2
+
2
x 1 (x + x + 1) (x2 + x + 1)2
1) (x2 + x + 1)

On multiplie les 2 membres par (x
2x3
= C + (x
(x2 + x + 1)2

1); on obtient

1)

Dx + E
Fx + G
+
2
2
(x + x + 1) (x + x + 1)2

(1)

Cette relation est vraie tout x, donc pour x = 1; on obtient
C=

2
2
=
2
3
9

Remarquons que les racines complexes de x2 + x + 1 sont
p
x1 = 21 12 ip3
x2 = 21 + 12 i 3
2

Multiplions maintenant les 2 membres de (1) par (x2 + x + 1) ; on obtient
2x3 =

2 2
x +x+1
9

2

+ (x

1)

x2 + x + 1 (Dx + E) + (F x + G)
3

(2)

ou encore
2x3 =

2 2
2
x + x + 1 + (x 1) x2 + x + 1 (Dx + E) + (x 1)(F x + G) (3)
9

Soit en mettant x = x2 dans (3), on a
2x31 = (x

(4)

1)(F x1 + G)

ou encore
2(

1 1 p 3
1 1 p
+ i 3) = (
+ i 3
2 2
2 2

1) F:

1 1 p
+ i 3) + G
2 2

(5)

Si on égalise partie réelle et partie imaginaire de (5) on trouve un système
de 2 équations à 2 inconnues F et G dont la solution est
F =

2
; G=
3

4
3

Maintenant on remplace dans (3) F et G et on prend x = i , et on égalise
partie réelle et partie imaginaire, on obtient
D=

14
2
; E=
9
9

Par conséquent

(x

2
2
x + 14
x 43
2x3
2 1
9
9
3
+
+
=
9 x 1 (x2 + x + 1) (x2 + x + 1)2
1) (x2 + x + 1)2

Donc
Z

2x3
dx
(x 1) (x2 + x + 1)2
Z
Z
Z
2
2
x + 14
x 34
2
1
9
9
3
=
dx +
dx
+
dx
9
x 1
(x2 + x + 1)
(x2 + x + 1)2
2
=
log jx 1j + J2 + J4
9

J1 =

avec
J2 =

Z

2
x
9

+ 14
9
dx
(x2 + x + 1)
4

et

Z

2
x
3

4
3

dx
(x2 + x + 1)2
R 2 x+ 149
c) (1.5points)Calcul de J2 = (x29+x+1)
dx
J4 =

Z

J2 =
=
=
Pour calculer
ique

R

Z
1
(2x + 1) + 14
+
+ 14
9
9
9
=
(x2 + x + 1)
(x2 + x + 1)
Z
Z
1
(2x + 1) dx
15
dx
+
2
2
9
(x + x + 1)
9
(x + x + 1)
Z
5
dx
1
log x2 + x + 1 +
2
9
3
(x + x + 1)
2
x
9

dx
,
(x2 +x+1)

x2 + x + 1

1
9

(6)

on doit écrire (x2 + x + 1) sous la forme canon-

=

1
x2 + 2 x + 1
2
2

=

1
x+
2

2

=

1
x+
2

avec

+1
+

1
4

3
= t2 + k 2
4

1
=) dt = dx
2
p
3
k=
2

t=x+
et

Par conséquent
Z
Z
dx
dt
=
2
2
(x + x + 1)
t + k2
1
t
=
arctan
k
k

2
= p arctan
3

p
2
p x+ 3
3

et (6) nous donne la valeur de J2
J2 =

1
10
log x2 + x + 1 + p arctan
9
3 3
5

2
1
p (x + )
2
3

(7)

R
dx
d) (2.5points)Calcul de J3 = (x2 +x+1)
2:
On passe avant à la forme canonique, on obtient
Z
Z
dx
dt
J3 =
2 =
2
2
(x + x + 1)
(t + k 2 )2
t=x+
et

1
2

p

3
2
On procède comme dans l’exercice 2 et 3
k=

Z 2
t + k 2 t2
1
dt
=
dt
(9)
J3 =
k2
(t2 + k 2 )2
(t2 + k 2 )2
Z
Z
t2 + k 2
1
t2
1
dt
dt
= 2
k
k2
(t2 + k 2 )2
(t2 + k 2 )2
Z
Z
1
dt
1
t2
= 2
dt
k
(t2 + k 2 ) k 2
(t2 + k 2 )2
Z
t
1
t2
1
= 3 arctan
dt
k
k
k2
(t2 + k 2 )2
Z
2
1
4
t2
8
= p arctan p (x + )
dt
2
3
3 3
3
(t2 + k 2 )2
4
8
2
1
p arctan p (x + )
J5
(1)
2
3
3 3
3
Z
t2
J5 =
dt
(2)
(t2 + k 2 )2
R
t2
Calculons donc J5 = (t2 +k
2 )2 dt: On procède par intégration par parties
en posant
Z
Z
1
t2
2t
dt =
dt:
J5 =
t
2
2
(t2 + k 2 )
(t2 + k 2 )2
On pose
Z

u(t) = t =) u0 (t) = 1
2t
v 0 (t) =
=) v(t) =
2
(t + k 2 )2
6

(t2

1
+ k2)

Donc

Z

2t
dt =
t
2
(t + k 2 )2
=
=

1
J5 =
2

Z

2t
t
dt =
2
(t + k 2 )2

Z
t
1
+
dt
2
2
2
(t + k )
(t + k 2 )
1
t
t
+ arctan
2
2
(t + k ) k
k
1
x+ 2
2
+ p arctan
2
(x + x + 1)
3

2
1
p (x + )
2
3

x + 21
1
1
+ p arctan
2
2 (x + x + 1)
3

2
1
p (x + )
2
3

et d’après (9)
8
4
2
1
p arctan p (x + )
J5
2
3
3 3
3
x + 12
2
1
2
4
=
+ p arctan p (x + )
2
3 (x + x + 1) 3 3
2
3
2
R
x 43
3
e) (1.5points)Calcul de J4 = (x2 +x+1)
2 dx
On a
Z
Z
1
2
(2x + 1) 43 +
x 43
3
3
=
J4 =
(x2 + x + 1)2
(x2 + x + 1)2
Z
Z
1
dx
(2x + 1) dx
=
2
2
2
3
(x + x + 1)
(x + x + 1)2
Z
1
1
dx
=
2
2
3 (x + x + 1)
(x + x + 1)2
1
1
=
J3
2
3 (x + x + 1)
J3 =

1
3

(8)

(3)

Et …nalement
1
1
J3
2
3 (x + x + 1)
1
1
1 2x + 1
4
=
+ p arctan
2
2
3 (x + x + 1)
3 (x + x + 1) 3 3
2
x
4
2
1
p arctan p (x + )
=
2
3 (x + x + 1) 3 3
2
3

J4 =

7

2
1
p (x + )
2
3

(4)
(5)

Véri…cation
d
2
x
dx
3 (x2 + x + 1)
x+2
2
=
=
3 (x2 + x + 1)2

4
p arctan
3 3
2
x 34
3

2
1
p (x + )
2
3

(x2 + x + 1)2

f) (1.5points)
Si on regroupe toutes les intgrales calculéées, on obtient
Z
x2 2
x6 + 1
dx
=
x
+
+ log jx
I =
2
9
(x 1) (x2 + x + 1)2
1
2
2
1
log x2 + x + 1 + p arctan p x +
9
2
3
3
2
x
+C
2
3x +x+1

1j

EXERCICE 2 (4points)
a) (2points) Calculez l’intégrale suivante
Z
2x + 3
dx
4x + 5
b) (2points) Trouvez la solution générale de l’équation di¤érentielle
d’ordre 1
dy
x + 2y + 1
=
(11)
dx
2x + 4y + 3
SOLUTION EXERCICE 2
a) (2points)
R
Pour calculer 2z+3
dz; il faut e¤ectuer la division euclidienne de 2z + 3
4z+5
par 4z + 5; on a
2z + 3
4z + 5
1
5
2z 2
2
1
2

Donc
(2z + 3) =

1
2

8

(4z + 5) +

1
2

ce qui implique
2z + 3
1
1
= +
4z + 5
2 2(4z + 5)
Par conséquent
Z
ou encore

2z + 3
1
dz =
4z + 5
2
Z

Z

1
dz +
8

Z

1
dz
z + 45

2z + 3
z 1
5
dz = + ln z +
4z + 5
2 8
4

b) (2points) Considérons l’équation (11)
x + 2y + 1
dy
=
dx
2x + 4y + 3
Cherchond d’abord h et k solutions du système linéaire suivant
h + 2k + 1 = 0
2h + 4k + 3 = 0

(12)

Le détérminant de ce système est
det

1 2
2 4

=4

4=0

Donc on ne peut pas appliquer la méthode précédente. Il faut procéder de
façon di¤érente. Dans l’équation (11), remarquons que l’équation peut se
mettre aussi
(x + 2y) + 1
dy
=
(13)
dx
2(x + 2y) + 3
Sous la forme (13), on introduit le nouveau changement de variables:
(14)

z = x + 2y
(14) implique
dz
dy
dy
1 dz
=1+2
=)
=
dx
dx
dx
2 dx

9

1
2

(15)

soit en substituant
1 dz
2 dx

dy
dx

, on obtient

1
z+1
1 dz
z+1
1
=
()
=
+
2
2z + 3
2 dx
2z + 3 2
2(z + 1) + 2z + 3
2z + 2 + 2z + 3
=
=
4z + 6
4z + 6
4z + 5
1 4z + 5
=
=
4z + 6
2 2z + 3

on obtient …nalement l’équation
dz
4z + 5
=
dx
2z + 3

(16)

L’équation (16) est à variables séparées. En e¤et, on a en séparant les
variables
2z + 3
dz = dx
(17)
4z + 5
soit en intégrant
Z
2z + 3
dz = x + C
(18)
4z + 5
Donc on a

z 1
5
+ ln z +
=x+C
2 8
4

Remplaçons z par
z = x + 2y
on obtient

5
x + 2y 1
+ ln x + 2y +
=x+C
2
8
4

(19)

ou encore

1
5
ln x + 2y +
= 2x + C
4
4
Remarquons qu’on peut mettre
x + 2y +

(20)

ln(4)

(21)

1
5
ln 4(x + 2y + ) = C1
4
4

(34)

C = C1
(20) et (21) donnent
x + 2y +

10

Soit en e¤ectuant les calculs, on obtient en multipliant par 4 et en posant
C2 = 4C1
log(4x + 8y + 5) + 8y

4x = C2

EXERCICE 3 (4points)
Considérons la fonction de 2 variables f : R2 ! R dé…nie par
f (x; y) =

6x2 y
x2 + y 2

(1)

a)(1.5points) Montrez que
6x2 y
x2 + y 2

6 jyj

b)(2.5points) Montrez en utilisant la dé…nition que
lim

(x;y)!(0;0)

f (x; y) = 0

SOLUTION EXERCICE3
a)(1.5points)
On a
x2

x2
1
x2 + y 2
6x2
= 2
jyj 6 jyj
x + y2

x2 + y 2 =)
6x2 y
x2 + y 2

=)
b) (2.5points)

lim

(x;y)!(0;0)

f (x; y) = 0

Il faut prouver que
8" > 0; 9 > 0 : si
ou en remplaçant

p

(x

0)2 + (y

8" > 0; 9 > 0 : 8(x; y) :

0)2 <

p
x2 + y 2 <
11

: alors jf (x; y)

=)

0j < "

6x2 y
<"
x2 + y 2

(4)

On a On a
6x2 y
x2 + y 2
" > 0 donné. Choisissons
p

x2 + y 2 <

=

p
6 x2 + y 2 :

p
6 jyj = 6 y 2

(3)

= 6" : Avec ce choix et (3) on a

"
6x2 y
=) 2
6
x + y2

p
6 x2 + y 2

"
6 = ":
6

EXERCICE 4 (4points)
Trouvez la solution générale de l’équation non homogène
y " + 4y = cos 2x:

(24)

SOLUTION EXERCICE 4: (4points)
L’équation caractéristique associée est
k2 + 4 = 0
Les racines de l’équation caractéristique sont
k1 =

+ i = 0 + 2i; k2 =

i=0

2i:

La solution générale de l’équation homogène est donc
y = e0x [C1 cos 2x + C2 sin 2x]
= C1 cos 2x + C2 sin 2x
Le second membre de l’équation non homogène est cos(2x); s’écrit sous
la forme:
e x [Pn (x) cos( x) + Hm (x) sin( x)]
= 0; = 2; n = 0; P0 (x) = 1; m = 0; H0 (x) = 0

(25)
(6)

+ i = 2i est solution de l’équation caractéristique k 2 + 4 = 0 dont les
solutions sont 2i et
2i. On cherche y sous la forme
y

= e0x x [R0 (x) cos( x) + S0 (x) sin( x)]
= x (A cos 2x + B sin 2x)
12

(26)

On dérive une fois et deux fois y et on remplace les expressions obtenues
dans l’équation non homogéne. On a
0

y = 2x ( A sin 2x + B cos 2x) + (A cos 2x + B sin 2x) ;
y

00

=

4x (A cos 2x + B sin 2x) + 2 ( A sin 2x + B cos 2x)
+ ( 2A sin 2x + 2B cos 2x)

ou
y

"

=

4x ( A cos 2x

B sin 2x) + 4 ( A sin 2x + B cos 2x) :

Substituons ces expressions des dérivées dans l’équation proposée et égalons les coe¢ cients de cos 2x et de sin 2x; on obtient un système d’équations
pour la détermination de A et B :
cos 2x = 4x (A cos 2x + B sin 2x)
+4 ( A sin 2x + B cos 2x)
+4x (A cos 2x + B sin 2x)
ou encore
cos 2x =

4xA cos 2x 4xB sin 2x
4A sin 2x + 4B cos 2x
+4xA cos 2x + 4xB sin 2x

ou en éliminant les termes égaux
cos 2x (4B) + sin 2x ( 4A) = cos 2x
Ce qui donne
4B = 1;

4A = 0;

d’où A = 0; B = 41 : La solution générale de l’équation donnée est donc
1
y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + x sin 2x:
4

13



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