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Corrigé de 2 .pdf



Nom original: Corrigé de 2.pdf
Auteur: TG PC

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Université Mouloud MAMMERI de Tizi-Ouzou
Faculté des Sciences Economiques, Commerciales et des Sciences de Gestion
Département Tronc Commun LMD
Première année, Section F
Module : Microéconomie II
Chargée de TD : L. SAADA

Interrogation du groupe 48
Exercice 01
0,2

0,5

Soit la fonction de production Q = K L
Le prix du facteur travail Pl = 5 DA, celui du facteur capital Pk = 10 DA et le coût total de
production Ct = 280 DA
1. Déterminez l’équation de l’isocoût ?
2. Tracez cet isocoût ?
3. Déterminez les quantités de facteurs de production qui permettent à ce producteur de
maximiser sa production ?
4. Calculez cette production ?

Exercice 02
Quelle est la nature des rendements d’échelle de ces fonctions de production ?
 F(L,K) = 10 K.L2 – (K.L)3/2
 F(L ,K) = 2 K2.L+ L3
 F(L,K) = ½ L + K

Corrigé de l’examen TD du groupe 48
Exercice 1
Q = K0,2 L0,5
Pl= 5 DA, Pk = 10 DA, Ct = 280 DA
L= quantité du facteur travail
K= quantité du facteur capital
Pl= prix du facteur travail
Pk= prix du facteur capital
Ct = coût total
1. Déterminer l’équation de l’isocoût :
Ct = PL .L + Pk. K
Equation de l’isocoût : K= K= K= -

5
10
1
2

L+

280
10

L + 28

2. Tracer l’isocoût
On pose L = 0
K= -

1
2

(0) + 28

K = 28
On pose K = 0
-

1
2
1
2

L + 28 = 0
L = -28

L = 56

𝑃𝑙

𝑃𝑘

L+

𝐶𝑡
𝑃𝑘

30

ligne de l'isocoût

KK

25
20
15

ligne de l'isocoût

10
5
0
0

10

20

30

40

50

60

L
L

3. Pour déterminer les quantités de facteurs de production qui permettent au
producteur de maximiser sa production, compte tenu d’un budget limité à 280
DA et des prix fixés Pl à 5 DA et Pk à 10 DA, on doit résoudre le programme
d’optimisation sous contrainte suivant :
Maximiser Q = K0,2 L0,5
Sous contrainte que : 5 L + 10 K = 280
Pour résoudre ce programme, utilisons la méthode de LAGRANGE
a- Former la fonction auxiliaire F(L, K, λ)
F(L, K, λ) = Q + λ (5L + 10K = 280)
F(L, K, λ) = K0,2 L0,5 + λ (280 – 5L – 10K)
b- Calculer les dérivées partielles de 1er ordre et les annuler



𝜕F(L,K,λ)
𝜕𝐿

= 0 <=> 0,5 L-0,5 K0,2 - 5 λ
<=> 0,5 K0,2 = 5
L0,5

=0

λ …………………..(1)



𝜕F(L,K,λ)
𝜕𝐾

= 0 <=> 0,2 L0,5 K-0,8 - 10 λ
0,2 L0,5
K0,8

<=>



𝜕F(L,K,λ)
𝜕λ

=0

= 10 λ …………………..(2)

= 0 <=> 280 – 5L – 10K = 0 ……………………..…...(3)

0,2 L0,5
K0,8

(2)

10 λ

<=>

=
0,2

(1)



0,5 K
L0,5

0,2 L0 ,5
<=>

.
0 ,8

K

<=>

L0,5

0,2 𝐿
0,5 𝐾

=2
0,2

0,5 K

=2

<=> K = 0,2 L
On remplace K par sa valeur dans (3)
280 – 5L – 10 (0,2 L) = 0
280 = 5L + 2L
280 = 7L
L=

280
7

L = 40
K = 0,2 L
K = 0,2 (40)
K= 8
La combinaison de facteurs de production qui permet à ce producteur de
maximiser sa production est M (40, 8).

4. Calcul de la production :
Q = K0,2 L0,5
Q = (8)0,2 (40)0,5
Q = (1,51). (6,32)
Q = 9,55

Exercice 2
Pour déterminer la nature des rendements d’échelle, on doit étudier l’homogénéité
de ces fonctions

Définition d’une fonction homogène :
Soit une fonction à deux variables Z = F (X,Y)
On dit que cette fonction est homogène de degré « k », si en multipliant les
variables de cette fonction par une constante « a », toute la fonction sera multipliée
d

par « ak », c'est-à-dire F (aX, aY) = ak F (X,Y).
Ce degré d’homogénéité nous permet de déterminer la nature des
rendements d’échelle dans une fonction de production :
Si k = 1, les rendements d’échelle sont constants
Si k < 1, les rendements d’échelle sont décroissants
Si k > 1, les rendements d’échelle sont croissants



F(L, K) = 10 KL2 – (KL)3/2

F(aL, aK) = 10 (aK).(aL)2 – (aK.aL)3/2
= 10 aK .a2 L2 – a3/2K3/2 .a3/2L3/2
= 10 a 3 KL2 – a3 (KL)3/2
= a 3 (10 KL2 – (KL)3/2)
= a3 F(L, K)
Cette fonction est homogène de degré k = 3.
k> 1, ce qui signifie que les rendements d’échelle sont croissants.



F(L ,K) = 2 K2.L+ L3

F(aL ,aK) = 2 (aK)2.aL+ (aL)3
= 2 a2K2 .aL + a3L3
= a3 2 K2 L + a3L3
= a3 (2 K2.L+ L3)
= a3 F(L ,K)
Cette fonction est homogène de degré k = 3.
k> 1, ce qui signifie que les rendements d’échelle sont croissants.


F(L,K) = ½ L + K

F(aL,aK) = ½ aL + aK
= a (½ L + K)
= a F(L,K)
Cette fonction est homogène de degré k =1.
K= 1, ce qui signifie que les rendements d’échelle sont constants.


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