bac2016 .pdf(1)jMai .pdf



Nom original: bac2016.pdf(1)jMai.pdf
Auteur: micro

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par Microsoft® Office Word 2007, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 13/06/2016 à 01:13, depuis l'adresse IP 105.105.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 325 fois.
Taille du document: 1.3 Mo (15 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)










Aperçu du document


‫الجمهورية الجزائرية الديمقراطية الشّعبية ‪.‬‬
‫الدّيوان الوطني لالمتحانات والمسابقات‬

‫وزارة التّربية الوطنية‬

‫دورة ماي ‪2016‬‬

‫امتحان بكالوريا التّعليم الثانوي‬
‫الشّعبة‪ :‬علوم تجريبية‪.‬‬

‫المدّة ‪03:‬سا و ‪ 30‬د‬

‫اختبار في مادّة الرياضيات‬

‫ّل‬
‫املوضوع األو‬
‫التّمرين األوّل ‪ 04 ( :‬نقاط)‬
‫‪  ‬‬
‫الفضاء منسوب إلي المعلم المتعامد والمتجانس ‪ . o ; i , j , k‬نعتبر المستوين ‪  P ‬و ‪  P  ‬معادلتيهما علي‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫التّرتيب ‪ 2x  y  z  1  0 :‬و ‪. x  2 y  z  2  0‬‬
‫‪ ) 1‬بيّن أنّ المستويين ‪  P ‬و ‪  P  ‬متقاطعان ‪.‬‬

‫‪ ) 2‬عيّن ‪   ‬مجموعة النّقط ‪‬‬

‫‪ M  x ; y ; z‬من الفضاء الّتي تحقّق ‪ d  M ,  P    d  M ,  P    :‬حيث ‪:‬‬

‫‪ d  M ,  P  ‬المسافة بين النّقطة ‪ M‬والمستوي ‪  P ‬؛ ‪ d  M ,  P   ‬المسافة بين ‪ M‬و ‪.  P  ‬‬
‫‪ ) 3‬تحقّق أنّ النّقطة ‪ A 1; 2;0 ‬تنتمي إلي المجموعة ‪.   ‬‬
‫‪ H ) 4‬و ‪ H ‬المسقطان العموديان للنّقطة ‪ A‬علي المستويين ‪  P ‬و ‪  P  ‬علي التّرتيب ‪.‬‬
‫أ ‪ ) -‬جد تمثيال وسيطيا لكلّ من المستقيمين ‪  AH ‬و ‪.  AH  ‬‬
‫ب ‪ ) -‬استنتج إحداثيات كل من النّقطتين ‪ H‬و ‪. H ‬‬

‫‪ ) 5‬عيّن إحداثيات النّقطة ‪ I‬منتصف ‪  HH ‬ثمّ أحسب مساحة المثلّث ‪. AHH ‬‬
‫التّمرين الثّاني ‪ 50 ( :‬نقاط)‬

‫‪ f ) I‬الدّالة العددية المعرّفة علي المجال ‪  0; ‬بـ ‪2x  8 :‬‬

‫‪x  ‬‬

‫‪. f‬‬

‫‪ C ‬تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلي المعلم المتعامد والمتجانس ‪‬‬
‫‪ – ) 1‬أ ) أحسب‬

‫‪x ‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫‪. O ;i , j‬‬

‫‪. lim f‬‬
‫‪x ‬‬

‫ ب ) ادرس إتّجاه تغيّر الدّالة ‪ f‬ثمّ شكّل جدول تغيّراتها ‪.‬‬‫‪ ) 2‬عيّن إحداثيي نقطة تقاطع ‪ C ‬مع المستقيم ‪   ‬الّذي ‪ y  x‬معادلة له ‪.‬‬
‫‪ ) 3‬أرسم ‪ C ‬و ‪.   ‬‬
‫‪ u n  ) II‬المتتالية المعرّفة بـ ‪ u 0  0‬ومن أجل كلّ عدد طبيعي ‪. u n 1  f u n  ، n‬‬
‫‪ ) 1‬مثّل في الشّكل السّابق علي محور الفواصل ‪ ،‬الحدود ‪ u 2 ، u1 ، u 0‬و ‪ ( u 3‬بدون حسابها ) موضّحا خطوط اإلنشاء‪.‬‬
‫‪ – ) - 3‬أ ) برهن بالتّراجع أنّه من أجل كلّ عدد طبيعي ‪. 0  u n  4 ، n‬‬
‫‪ -‬ب ) أدرس إتّجاه تغيّر المتتالية ‪. u n ‬‬

‫‪1‬‬
‫ جـ ) بيّن أنّه من أجل كلّ عدد طبيعي ‪ 4  u n  ، n‬‬‫‪2‬‬

‫‪ 4  u n 1 ‬ثم ‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫استنتج أنّه من أجل كلّ عدد طبيعي ‪ 4  u n  ، n‬‬
‫‪2n‬‬

‫‪. 4 un ‬‬

‫ د ) استنتج ‪. lim u n‬‬‫‪x ‬‬

‫التّمرين الثّالث ‪04,5:‬نقاط)‪.‬‬
‫‪1‬‬

‫المستوي المركّب منسوب إلي المعلم المتعامد والمتجانس‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪. O ;u ,v‬من اجل كلّ نقطة ‪ M‬من المستوي المركّب‬

‫‪z 2‬‬
‫الحقتها العدد المركّب ‪ z‬حيث ‪  z  1‬نرفق النّقطة ‪ M ‬الحقتها العدد المركّب ‪ z ‬حيث ‪:‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪ ) 1‬حلّ في ‪ ‬المعادلة ذات المجهول ‪. z   z : z‬‬

‫‪. z‬‬

‫‪ ) 2‬النّقطتان ‪ A‬و ‪ B‬الحقتاهما علي التّرتيب ‪ z 1‬و ‪ z 2‬حيث ‪ z 1  1  i :‬و ‪. z 2  z 1‬‬

‫‪z2‬‬
‫ أ ) اكتب‬‫‪z1‬‬

‫علي الشّكل األسّي ‪.‬‬

‫ ب ) بيّن أنّ النّقطة ‪ B‬هي صورة للنّقطة ‪ A‬بالدّوران ‪ R‬الّذي مركزه المبدأ ‪، O‬يطلب تعيين زاوية له‪.‬‬‫‪ ) 3‬نضع ‪ . z   z‬نعتبر النّقطتين ‪ C‬و ‪ D‬الحقتيهما ‪ 2‬و‪ 1‬علي التّرتيب ‪.‬‬

‫عيّن ‪   ‬مجموعة النّقط ‪ M‬حيث ‪M ‬‬

‫تنتمي إلي حامل محور التّراتيب ثم أنشئ ‪  ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ h ) 4‬التّحاكي الّذي مركزه المبدأ ‪ O‬ونسبته ‪. 2‬‬
‫ أ )عيّن طبيعة التّحويل النّقطي ‪ S  h  R‬وعناصره المميّزة ‪.‬‬‫ب) اكتب العبارة المركّبة للتّحويل ‪. S‬‬‫‪-‬جـ ) عيّن ثمّ أنشئ المجموعة ‪  ‬صورة ‪   ‬بالتّحويل ‪. S‬‬

‫التّمرين الرّابع ‪ 06,5 ( :‬نقاط )‬
‫‪ g ) I‬الدّالة العددية المعرّفة علي المجال ‪ 0; ‬بـ ‪. g  x   x 2  1  ln x :‬‬
‫‪ ) 1‬أدرس إتّجاه تغيّر الدّالة ‪. g‬‬

‫‪ 2‬‬

‫‪ g ‬ثمّ بيّن أنّه من أجل كلّ عدد حقيقي ‪ x‬من المجال ‪. g  x   0 ، 0; ‬‬
‫‪ ) 2‬أحسب ‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬

‫‪ln x‬‬
‫‪ f ) II‬الدّالة العددية المعرّفة علي المجال ‪ 0; ‬بـ ‪ x  1 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬‬
‫المستوي المنسوب إلي المعلم المتعامد والمتجانس ‪. O ; i , j‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ) 1‬أحسب‬

‫‪x ‬‬

‫‪f‬‬
‫‪ lim‬و‬
‫‪‬‬
‫‪x 0‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪x  ‬‬

‫‪ f‬و ‪ C ‬تمثيلها البياني في‬

‫‪‬‬

‫‪. lim f‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪ – ) 2‬أ ) بيّن أنّه من أجل كلّ عدد حقيقي ‪ x‬من المجال ‪، 0; ‬‬

‫‪g x ‬‬
‫‪x2‬‬

‫‪. f x  ‬‬

‫ ب ) شكّل جدول تغيّرات الدّالة ‪. f‬‬‫‪ ) 3‬أكتب معادلة المماس ‪ T ‬للمنحني ‪ C ‬في النّقطة الّتي فاصلتها ‪. 1‬‬
‫‪ – ) 4‬أ )بيّن أنّ ‪ C ‬يقبل مستقيما مقاربا مائال ‪   ‬حيث ‪ y  x  1 :‬معادلة له ‪.‬‬
‫ ب ) أدرس الوضع النّسبي لـ ‪ C ‬و ‪.   ‬‬‫‪ T‬و ‪   ‬ثمّ أنشئ ‪. C ‬‬

‫‪ ) 5‬ارسم المستقيمين ‪‬‬
‫‪ m ) 6‬عدد حقيقي ‪ m  .‬‬

‫المستقيم حيث ‪ y  mx  m :‬معادلة له ‪.‬‬

‫ أ ) تحقّق أنّه من أجل كلّ عدد حقيقي ‪ ، m‬النّقطة ‪ A 1;0 ‬تنتمي إلي المستقيم ‪.  m ‬‬‫‪ -‬ب ) ناقش بيانيا وحسب قيم الوسيط الحقيقي ‪ m‬عدد حلول المعادلة ‪:‬‬

‫‪ x   mx  m‬‬

‫‪. f‬‬

‫‪ln x‬‬
‫‪ – ) 7‬أ )جد دالّة أصلية للدّالة‬
‫‪x‬‬
‫ ب ) أحسب ‪ I n‬مساحة الحيّز المستوي المحدّد بالمنحني ‪ ، C ‬المستقيم ‪   ‬والمستقيمين اللّذين معادلتيهما ‪:‬‬‫‪ x ‬علي المجال ‪. 0; ‬‬

‫‪ x  1‬و ‪ x  n‬حيث ‪ n‬عدد طبيعي ‪.  n  1‬‬
‫‪ -‬جـ ) عيّن أصغر عدد طبيعي ‪ n0‬بحيث إذا كان ‪ n  n0‬فإنّ ‪. I n  2 :‬‬

‫‪2‬‬

‫ّل‪.‬‬
‫ّ املفص‬
‫احلل‬
‫التّمرين األوّل‪:‬‬
‫ما ورد فيه ‪:‬‬
‫ الوضع النّسبي لمستويين – مجموعة النّقط من الفضاء المتساوية‬‫المسافتين عن مستوي – المسقط العمودي لنقطة علي مستوي‪.‬‬
‫ التّمثيل الوسيطي لمستقيم‪.‬‬‫‪ ) 1‬نبيّن أنّ المستويين ‪  P ‬و ‪  P  ‬متقاطعان ‪.‬‬

‫‪  P ‬و ‪  P  ‬يتقاطعان وفق مستقيم‬

‫لدينا ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n P   2;1; 1‬شعاع ناظمي للمستوي ‪.  P ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n P  1; 2;1‬شعاع ناظمي للمستوي ‪.  P  ‬‬

‫‪2 1‬‬
‫‪‬‬
‫نالحظ ما يلي ‪:‬‬
‫‪1 2‬‬

‫أي‬

‫‪y n‬‬
‫‪P ‬‬

‫‪y n‬‬
‫‪ P ‬‬

‫‪‬‬

‫‪x n‬‬
‫‪P ‬‬

‫‪x n‬‬

‫معرّف بالجملة ‪:‬‬

‫‪ 2x  y  z  1  0‬‬
‫‪x  2 y  z  2  0‬‬

‫‪. ‬‬

‫الجملة هي جملة معادلتين ديكارتيتين لهذا‬

‫‪ .‬وهذا معناه ‪:‬‬

‫المستقيم‪.‬‬

‫‪ P ‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ال يوجد عدد حقيقي ‪ k‬يحقّق ‪ n P   k .n  P  :‬وبالتّالي ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n  P ‬ليس مرتبط خطّيا مع ‪. n  P ‬‬

‫إذا ‪  P  :‬يقطع ‪ P ‬‬
‫‪ ) 2‬نعيّن المجموعة ‪.   ‬‬
‫‪ M  x ; y ; z     ‬معناه‬

‫( وفق مستقيم ) ‪.‬‬

‫معناه‬

‫‪d  M ,  P    d  M ,  P  ‬‬

‫‪x  2y  z  2‬‬
‫‪6‬‬

‫معناه‬

‫للتّذكير ‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪2x  y  z  1‬‬

‫‪ a‬و ‪ b‬عددان حقيقيان ‪.‬‬
‫‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫القول أنّ ‪ a  b‬معناه‬
‫( ‪ a  b‬أو ‪.) a  b‬‬

‫‪. 2x  y  z  1  x  2 y  z  2‬‬

‫‪ 2x  y  z  1  x  2 y  z  2‬‬
‫معناه أو ‪ 2x  y  z  1   x  2 y  z  2‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ x  3 y  2z  3  0...(1‬‬
‫أو‬
‫معناه‬
‫)‪3x  y  1  0...(2‬‬
‫‪‬‬
‫كلّ من ‪ 1‬و ‪  2 ‬هي معدلة ديكارتية لمستوي ‪.‬‬

‫بوضع ‪ P1  : x  3y  2z  3  0 :‬‬
‫‪.  P2  : 3x  y  1  0‬‬
‫يأتي ‪     P1    P2  :‬‬
‫أي‪:‬المجموعة ‪   ‬هي إتحاد مستويين ‪ ( .‬متعامدين )‪.‬‬
‫‪ ) 3‬نتحقّق أنّ ‪ A 1; 2;0 ‬تنتمي إلي المجموعة‪.   ‬‬
‫نالحظ ما يلي ‪3x A  y A 1  3  2 1 :‬‬
‫‪. 0‬‬
‫أي ‪ :‬إحداثيات النّقطة ‪ A‬حلّ لمعادلة المستوي ‪.  P2 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ n1 1;3; 2 ‬شعاع ناظمي لـ ‪ P1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n 2  3; 1;0 ‬شعاع ناظمي لـ ‪ P2 ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ ‬‬

‫نالحظ أن ‪ n1.n 2  0‬وهذا معناه‬

‫‪  P1 ‬عمودي علي ‪ P2 ‬‬
‫‪ E‬و ‪ F‬مجموعتان ‪.‬‬
‫القول أنّ ‪ x   E  F ‬معناه‬
‫( ‪ x  E‬أو ‪) x  F‬‬

‫إذا ‪ A   P2  :‬وبالتّالي ‪ A‬هي نقطة من المجموعة ‪.   ‬‬

‫‪ – ) 4‬أ ) إيجاد تمثيل وسبطي لكلّ من المستقيمين‪  AH ‬و ‪ AH ‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ H‬المسقط العمودي لـ ‪ A‬علي‬

‫‪‬‬

‫‪P ‬‬

‫معناه‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ AH‬مرتبط خطّيا مع ‪ n  P ‬أي ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n P   2;1; 1‬شعاع توجيه للمستقيم ‪ .  AH ‬إذا ‪:‬‬

‫‪‬‬
‫المستقيم ‪  AH ‬معرّف بالنّقطة ‪ A 1; 2;0 ‬وبشعاع التّوجيه ‪. n  P ‬‬
‫ومنه ‪:‬‬

‫‪x  1  2t‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  AH  :  y  2  t ; t  ‬‬
‫‪z  t‬‬
‫‪‬‬
‫وبالمثل ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫المستقيم ‪  AH ‬هو مجموعة النّقط‬
‫‪ M  x ; y ; z ‬من الفضاء حيث ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪) * ( ... AM  t .n P  / t  ‬‬
‫ العالقة ( * ) تسمّي التّمثيل الوسيطي‬‫الشّعاعي للمستقيم ‪.  AH ‬‬
‫ من العالقة ( * ) نستنتج جملة التّمثيل‬‫الوسيطي ‪.‬‬

‫المستقيم ‪  AH  ‬معرّف بالنّقطة ‪ A 1; 2;0 ‬وبشعاع التّوجيه‬
‫‪‬‬
‫‪ . n P  1; 2;1‬ومنه ‪:‬‬

‫‪x  1  k‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  AH   :  y  2  2k ;k  ‬‬
‫‪z  k‬‬
‫‪‬‬
‫ ب ) إستنتاج إحداثيات كل من النّقطتين ‪ H‬و ‪. H ‬‬‫‪‬‬

‫إحداثيات ‪. H‬‬

‫‪x H  1  2t‬‬
‫‪‬‬
‫لدينا من جهة ‪ H   AH  :‬معناه ‪ y H  2  t‬‬
‫‪z  t‬‬
‫‪ H‬‬
‫من جهة أخري ‪ H   P  :‬معناه ‪)1( ... 2x H  y H  z H  0‬‬
‫من (‪ )1‬وبالتّعويض يأتي ‪2 1  2t   (2  t )  (t )  1  0 :‬‬
‫أي ‪. 5  6t  0‬‬

‫‪5‬‬
‫أي‬
‫‪6‬‬

‫‪. t ‬‬

‫بالرّجوع إلي الجملة أعاله وبتعويض ‪ t‬بقيمته نجد ‪:‬‬

‫الحظ ما يلي ‪:‬‬
‫‪‬‬

‫‪AH  d  A ,  P  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪AH   d  A ,  P   ‬‬

‫‪ A     ‬معناه ‪AH  AH ‬‬

‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xH  ‬؛ ‪ yH ‬؛‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2 7 5‬‬
‫‪. H  ; ; ‬‬
‫‪ 3 6 6‬‬

‫‪. zH ‬‬

‫‪‬‬

‫إحداثيات ‪. H ‬‬

‫‪x H   1  k‬‬
‫‪‬‬
‫* ‪ H    AH  ‬معناه ‪)2( ...  y H   2  2k‬‬
‫‪z  k‬‬
‫‪ H‬‬
‫معناه‬
‫* ‪H    P ‬‬
‫‪1  k   2  2  2k   k  2  0‬‬
‫معناه‬
‫معناه‬
‫بتعويض ‪ k‬بقيمته في (‪)2‬‬

‫‪6k  5  0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪. k ‬‬
‫‪6‬‬

‫‪ AH ‬‬

‫‪ 11 1 5 ‬‬
‫نجد ‪H   ; ;  :‬‬
‫‪ 6 3 6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ * ) 5‬تعيين إحداثيات النّقطة ‪. I‬‬

‫النّقطة ‪ I‬هي منتصف القطعة ‪  HH ‬وبالتّالي ‪:‬‬

‫‪xH  xH‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x I ‬‬
‫‪x H  12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  yH‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. y H ‬‬
‫‪  y I  H‬بالتّعويض نجد ‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪z H  z H‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪z H  6‬‬
‫‪z I ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 7 3 5‬‬
‫‪. I ; ; ‬‬
‫‪ 12 4 6 ‬‬
‫* حساب مساحة المثلّث ‪. AHH ‬‬
‫المثلّث ‪ AHH ‬مثلّث متساوي السّاقين ( لكون ‪.) A     ، AH  AH ‬‬

‫‪ I‬منتصف ‪  HH ‬أي ‪ I‬هي المسقط العمودي للنّقطة ‪A‬‬

‫علي ‪ HH ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫ومنه ‪ :‬إذا كانت ‪ S‬هي مساحة هذا المثلّث فإنّ ‪AI .IH  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪. S  AI  IH‬‬
‫أي‬
‫‪ 7‬‬
‫‪  5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5 5‬‬
‫لدينا ‪ AI (  1;  2; ) :‬أي ‪. AI   ;  ; ‬إذا ‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 12 4 6 ‬‬
‫‪. S  2‬‬

‫‪5‬‬
‫‪25  225  100‬‬
‫‪ AI ‬أي ‪14‬‬
‫‪12‬‬
‫‪144‬‬
‫‪  15 5 ‬‬
‫‪  2 7 7 3 5 5 ‬‬
‫ثمّ ‪ IH    ;  ;   :‬أي ‪ . IH   ; ;0 ‬ومنه ‪:‬‬
‫‪ 12 12 ‬‬
‫‪ 3 12 6 4 6 6 ‬‬
‫‪. AI ‬‬

‫‪5‬‬
‫‪225  25‬‬
‫‪ IH ‬أي ‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪144‬‬

‫‪. IH ‬‬

‫في هذه الحالة وبالتّعويض نجد ‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫‪25 42‬‬
‫‪5‬‬
‫‪. S ‬‬
‫‪ S     12  14‬أي‬
‫‪72‬‬
‫‪ 12 ‬‬
‫التّمرين الثّاني ‪:‬‬
‫ما ورد فيه ‪:‬‬
‫ دراسة تغيّرات دالّة صمّاء ( بسيطة ) ‪ -‬سلوك متتالية تراجعية معرّفة‬‫بعالقة من الشّكل ‪ - u n 1  f u n ‬مبدأ اإلستدالل بالتّراجع ‪.‬‬
‫‪-‬مبرهنة الحصر ‪.‬‬

‫‪ – ) - 1) I‬أ ) حساب ‪ x ‬‬
‫‪;  2x  8   ‬‬

‫‪lim f  x   f  0   2 2‬‬

‫‪. lim f‬‬

‫‪x 0‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ x   ‬‬

‫الدّالة ‪ f‬مستمرّة عند ‪0‬‬

‫‪. lim f‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪ -‬ب ) دراسة إتّجاه تغيّر الدّالة ‪ f‬وتشكيل جدول تغيّراتها ‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫* النّقطة ذات اإلحداثيين ‪ 0; 2 2‬تسمّي‬
‫نقطة توقّف‬

‫‪ f‬دالّة قابلة لإلشتقاق علي مجال تعريفها ولدينا ‪:‬‬

‫‪2‬‬
‫من اجل كلّ ‪ x‬من ‪:  0; ‬‬
‫‪2 2x  8‬‬

‫‪ f   x  ‬أي ‪:‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬
‫من أجل كلّ ‪ x‬من ‪:  0; ‬‬
‫‪2x  8‬‬

‫‪. f x  ‬‬

‫نالحظ أنّه من أجل كلّ ‪ x‬من المجال ‪. f   x   0 :  0; ‬‬
‫الدّالة ‪ f‬متزايدة تماما علي مجال تعريفها ‪.‬‬
‫* جدول تغيّرات الدّالة ‪ f‬يكون كما يلي ‪:‬‬

‫ي نقطة تقاطع ‪ C ‬مع المستقيم ‪.   ‬‬
‫‪ ) 2‬تعيين إحداثيت‬
‫لهذا نحلّ في المجال ‪  0; ‬المعادلة‬

‫‪2x  8  x‬‬

‫( ‪ ) 1‬تكافئ‬
‫تكافئ‬

‫‪2‬‬

‫‪x   x‬‬

‫‪. ) 1 ( ... f‬‬

‫(و ‪) x 0‬‬

‫‪2x  8  x‬‬

‫تكافئ ‪. x 2  2x  8  0‬‬
‫المميز ‪ ‬للمعادلة الناتجة هو ‪.   36‬‬

‫من أجل كلّ عددين حقيقيين موجبين‬
‫‪ a‬و ‪:b‬‬
‫‪‬‬

‫‪a b‬‬

‫‪‬‬

‫‪a b‬‬

‫معناه ‪a  b‬‬
‫معناه ‪a  b 2‬‬

‫يوجد حال ّن في ‪ ‬هما ‪:‬‬

‫‪26‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (  4‬حلّ مقبول ) ‪.‬‬
‫إذا ‪   ‬يقطع ‪ C ‬في النّقطة ذات اإلحداثيين ‪.  4; 4 ‬‬
‫‪x1 ‬‬

‫‪26‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ ( x 2 ‬حلّ مرفوض )‬

‫‪ ) 3‬رسم ‪ C ‬و ‪  ‬‬

‫من اجل كلّ عددين حقيقيين ‪ a‬و ‪: b‬‬

‫‪ a 2  b 2‬معناه ‪a  b‬‬
‫معناه ( ‪ a  b‬أو ‪) a  b‬‬

‫‪ y  x‬معادلة ديكارتية للمستقيم ‪.   ‬‬

‫‪   ‬هو مجموعة النّقط ‪M  x ; x ‬‬

‫‪ ) 1 - ) II‬تمثيل الحدود ‪ u 2 ، u1 ، u 0‬و ‪. u 3‬‬
‫( أنظر الشّكل أعاله )‬
‫ ‪ ) 2‬وضع تخمين حول اتّجاه تغيّر المتتالية ‪ u n ‬وتقاربها‬‫من خالل التّمثيل البياني نالحظ ما يلي ‪:‬‬

‫* ‪u 0  u1  u 2  u 3‬‬
‫‪6‬‬

‫إذا ‪ :‬المتتالية ‪ u n ‬متزايدة تماما في ‪. ‬‬
‫* الحدود ‪ u 3 ، u 2 ، u1 ، u 0‬تقترب من فاصلة نقطة تقاطع ‪ C ‬مع ‪.   ‬‬
‫المتتالية ‪ u n ‬متتالية متقاربة ‪.‬‬
‫‪ – ) - 3‬أ ) بالتّراجع نبرهن أنّه من أجل كلّ ‪ n‬من ‪. 0  u n  4 : ‬‬
‫نضع ‪. P  n  : 0  u n  4 :‬‬
‫* ) نتحقّق من صحّة ‪. P  0 ‬‬

‫المتتالية ‪ u n ‬متتالية محدودة‬

‫لدينا ‪ ( u 0  0 :‬فرضا ) أي ‪. 0  u 0  4‬‬

‫(من األسفل بـ ‪ 0‬ومن األعلى بـ ‪) 4‬‬

‫إذا ‪ P  0  :‬صحيحة ‪.‬‬

‫*) نفرض أنّه عند رتبة معيّنة ‪ P  n ‬صحيحة أي نفرض أنّ ‪0  u n  4 :‬‬
‫ونبيّن صحّة ‪ P  n  1‬أي نبيّن ما يلي ‪. 0  u n 1  4 :‬‬

‫لدينا وحسب فرضية التّراجع ‪0  u n  4 :‬‬
‫الدّالة ‪ f‬متزايدة تماما علي المجال ‪  0; ‬فهي إذا تحفظ التّرتيب ومنه ‪:‬‬
‫‪ f  0   f u n   f  4 ‬أي ‪. 2 2  u n 1  4‬‬
‫بما أنّ العدد ‪ 0‬يحقّق ‪ 0  2 2 :‬ينتج ‪. 0  u n 1  4 :‬‬
‫ومنه ‪ P  n  1 :‬صحيحة ‪.‬‬
‫* ) مماّ سبق وحسب مبدأ اإلستدالل بالتّراجع نستنتج ما يلي ‪:‬‬
‫من أجل كلّ عدد طبيعي ‪. 0  u n  4 : n‬‬
‫ ب ) دراسة إتّجاه تغيّر المتتالية‪. u n ‬‬‫لهذا ندرس في ‪ ‬إشارة الفرق ‪. u n 1  u n‬‬

‫‪u n 1  u n  2u n  8  u n‬‬

‫من أجل كلّ ‪ n‬من ‪: ‬‬

‫‪‬‬

‫‪2u n  8  u n‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪2u n  8  u n‬‬

‫‪2u n  8  u n‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪u n2  2u n  8‬‬
‫‪2u n  8  u n‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪. ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫نالحظ أنّ إشارة هذا الفرق من إشارة ‪. u n2  2u n  8‬‬

‫بوضع ‪( u n  x‬حيث ‪ ) 0  x  4‬ندرس إشارة ‪x 2  2x  8‬‬

‫الحظ أن‪:‬‬

‫لكثير الحدود ‪ x 2  2x  8‬جذران في ‪ ‬هما ‪  2 ‬؛ ‪ 4‬وإشارته ممثّلة‬

‫‪ x 2  2x  8   x 2  2x  8‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫في الشّكل اآلتي ‪:‬‬

‫نالحظ أنّه من أجل كلّ ‪ x‬حيث ‪ .  x 2  2x  8  0 : x   0; 4‬وعليه ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫من أجل كلّ ‪ n‬من ‪. u n  2u n  8  0 : ‬‬

‫المتتالية ‪ u n ‬متزايدة تماما في ‪. ‬‬

‫‪1‬‬
‫ جـ ) * ) نبيّن أنّه من أجل كلّ عدد طبيعي‪ 4  u n  : n‬‬‫‪2‬‬

‫‪. 4  u n 1 ‬‬

‫‪7‬‬

‫لدينا ما يلي ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪4  u n 1  4  2u n  8‬‬

‫‪‬‬

‫‪2u n  8 4  2u n  8‬‬

‫‪‬‬

‫‪2u n  8‬‬

‫‪4 ‬‬

‫‪4 ‬‬

‫‪4 un ‬‬
‫‪4  2u n  8‬‬

‫‪4 un ‬‬
‫‪4  u n 1‬‬

‫‪‬‬

‫الدّالة مقلوب متناقصة تماما علي المجال‬
‫‪ 0; ‬أي أنّها ال تحفظ التّرتيب وهذا‬

‫‪ 2‬‬

‫معناه ‪:‬‬

‫من أجل كلّ عددين حقيقين ‪ x 1‬و ‪x 2‬‬

‫‪.  2‬‬

‫من المجال ‪: 0; ‬‬

‫نعلم أنّ ‪ u n 1  0‬ومنه ‪4  u n 1  4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫إذا ‪‬‬
‫‪4  u n 1 4‬‬
‫وبالتّالي وبما أنّ ‪ 4  u n  0‬ينتج ‪:‬‬

‫‪24 un ‬‬

‫‪‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬
‫من أجل كلّ عدد طبيعي ‪ 4  u n  : n‬‬
‫‪2‬‬

‫‪24 un ‬‬
‫‪4  u n 1‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪. 4 un ‬‬

‫لدينا ما يلي وحسب ما سبق ‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ 4  u n 2 ‬‬
‫‪22‬‬

‫‪4 un ‬‬

‫في هذه الحالة يأتي ‪:‬‬

‫‪4 u0 ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2n‬‬

‫‪ 4  u1  ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪n 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫إذا كان ‪ x 1  x 2‬فإنّ‬
‫‪‬‬
‫‪x1 x 2‬‬

‫‪. 4  u n 1 ‬‬

‫‪1‬‬
‫* ) نستنتج أنّه من أجل كلّ عدد طبيعي ‪ 4  u n  : n‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪4  u n  2  4  u n 1 ‬‬
‫‪ ‬ومنه‬
‫‪4  u  1  4  u ‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫إذا كان ‪ x 1  x 2‬فإنّ‬
‫‪‬‬
‫‪x1 x 2‬‬

‫‪ 4  u n 2   ... ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1‬‬
‫إذا ‪ :‬من أجل كلّ عدد طبيعي ‪ 4  u 0  : n‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪ -‬د ) استنتاج ‪. lim u n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 4  u n 1  ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪4 un ‬‬

‫‪. 4 un ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪4  u n  2  4  u n 1 ‬‬
‫‪ ‬ومنه‪:‬‬
‫‪4  u  1  4  u ‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ 4  u n    4  u n  2 ‬ثمّ‪:‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4  u n  2   4  u n 3 ‬ومنه ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪4  u n     4  u n 3 ‬‬
‫‪2 2 2‬‬
‫‪ ....‬وهكذا‬

‫‪x ‬‬

‫إعتمادا علي ما سبق لدينا ومن أجل كلّ عدد طبعي ‪: n‬‬

‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0  4  u n  2n  4  u 0 ‬‬
‫‪. ‬‬
‫)‪ lim 1  4  u   0 ; (2n  ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ x  2n‬‬
‫ومنه وحسب مبرهنة الحصر ‪lim  4  u n   0 :‬‬

‫‪x ‬‬

‫أي ‪ 4  lim u n  0‬؛ وبالتّالي ‪. lim u n  4 :‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫التّمرين الثّالث ‪:‬‬
‫ما ورد فيه ‪:‬‬
‫ معادلة في ‪ ‬يؤول حلّها إلي معادلة من الدّرجة الثّانية‬‫ الشّكل األسّي لعدد مركّب – الدّوران – التّحاكي – التّشابه ‪.‬‬‫‪ -‬صورة شكل هندسي بواسطة تشابه‪.‬‬

‫‪8‬‬

‫‪ ) 1‬نحلّ في ‪ ‬المعادلة ذات المجهول ‪. z  z  : z‬‬
‫لدينا ما يلي ‪:‬‬

‫‪z 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪z ‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪z  1‬‬

‫‪ z   z‬يكافئ‬

‫العدد المركّب ‪ 1  i‬عدد مركّب خاصّ‪.‬‬
‫‪ ‬صورته نقطة من المنصّف األوّل‪.‬‬

‫‪z 2  2z  2  0... 1‬‬
‫‪. ‬‬
‫يكافئ‬
‫‪z  1‬‬

‫‪1 i  2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ -‬نحلّ في ‪ ‬المعادلة ( ‪.) 1‬‬

‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪. 1 i‬‬

‫هو عمدة للعدد المركّب‬

‫‪‬‬

‫المميّز ‪ ‬هو ‪    2   4  2  :‬أي ‪.   4‬‬
‫‪2‬‬

‫‪   0‬هذا يعني أنّ للمعادلة ‪ 1‬حال ّن مترافقان ‪ z 1‬و ‪ z 2‬حيث ‪:‬‬

‫‪2  2i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.  1 i‬‬
‫‪ 1 i‬‬
‫إذا كانت ‪ S‬هي مجموعة الحلول فإنّ ‪. S  1  i ;1  i ‬‬
‫‪z1 ‬‬

‫‪z2‬‬
‫‪ –) 2‬أ ) كتابة‬
‫‪z1‬‬

‫‪z 2  z1‬‬

‫؛‬

‫علي الشّكل األسّي ‪.‬‬

‫‪z 2 1 i‬‬
‫‪‬‬
‫لدينا ‪:‬‬
‫‪z 1 1 i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  i   2; 4 ‬‬
‫‪1 i   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫نعلم أ ّ‬
‫ن‬
‫‪ ‬وبالتّالي ‪ 1;  :‬‬
‫‪1 i  2 ‬‬
‫‪1  i   2;   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪z‬‬
‫إذا ‪ :‬الكتابة األسّية للعدد ‪ 2‬هي ‪ e 2 :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪z1‬‬
‫‪z1‬‬

‫‪ -‬ب ) نبيّن أنّ النّقطة ‪ B‬هي صورة النّقطة ‪ A‬بالدّوران ‪. R‬‬

‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪zB   ‬‬
‫لدينا ‪ 2  B :‬أي ‪ 1; ‬‬
‫‪z1 z A‬‬
‫‪zA  2‬‬

‫للتّذكير ‪:‬‬
‫‪ C ، B ، A‬و ‪ D‬نقط متمايزة مثني –‬
‫مثني من المستوي المركّب المنسوب إلي‬
‫المعلم المتعامد والمتجانس‬

‫‪ ‬‬

‫‪O ; u ,v ‬‬

‫‪ zB‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ zA‬‬
‫إذا ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪arg  z B     2k  / k  ‬‬
‫‪ z  2‬‬
‫‪  A‬‬

‫‪ ‬‬
‫* ‪ OA  z A‬و ‪. arg  z A   u ,OA‬‬

‫‪. zD‬‬

‫وحسب المفهوم الهندسي للطّويلة والعمدة ‪ ،‬ينتج ‪:‬‬

‫* ‪ AB  z B  z A‬و‬

‫لواحقها علي التّرتيب ‪ z C ، z B ، z A :‬و‬

‫‪‬‬

‫‪OB  OA‬‬
‫‪‬‬
‫‪   ‬إذا‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪OA ,OB   2k  / k  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪ B‬صورة ‪ A‬بالدّوران ‪ R‬الّذي مركزه ‪ O‬و‬
‫‪2‬‬
‫‪ * ) 3‬نعيّن‪   ‬مجموعة النّقط ‪ M‬حيث ‪ M ‬نقطة من محور التّراتيب‪.‬‬
‫قيسا لزاويته‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪. arg  z B  z A   u , AB‬‬

‫‪ z  z A   ‬‬
‫‪arg  B‬‬
‫* ‪  CD , AB‬‬
‫‪ z D  zC ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ M ‬نقطة من حامل محور التّراتيب معناه ‪:‬‬
‫‪ z ‬تخيّلي صرف أي‬

‫‪9‬‬

‫)‪ z   0 ...(1‬‬
‫‪‬‬
‫أو‬
‫)‪arg  z      k  / k   ...(2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫** ( ‪ ) 1‬تكافئ ‪ ( z  2‬أي ‪ M‬تنطبق علي ‪.) C‬‬
‫‪ z 2 ‬‬
‫‪arg ‬‬
‫** ( ‪ ) 2‬تكافئ ‪   k  / k  ‬‬
‫‪ z 1  2‬‬
‫‪ z  zC  ‬‬
‫‪arg  M‬‬
‫تكافئ ‪   k  / k  ‬‬
‫‪ zM zD  2‬‬
‫‪  ‬‬
‫تكافئ ‪. DM ,CM   k  / k  ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫تكافئ ( ‪ M‬نقطة من الدّائرة ذات القطر ‪ CD ‬باستثناء ‪ C‬و ‪.) D‬‬

‫** ممّا سبق نستنتج أنّ المجموعة ‪   ‬هي الدّائرة ذات القطر ‪CD ‬‬

‫كيف ؟‬
‫بوضع ‪. z  x  iy‬‬

‫حيث ‪ x  :‬و ‪y  ‬‬
‫نقوم أوّال بكتابة ‪ z ‬علي شكله الجبري ‪.‬‬

‫‪ x  2   iy‬‬
‫‪ x  1  iy‬‬
‫‪ x  2   iy   x  1  iy ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  1  y 2‬‬

‫‪z‬‬

‫‪x  y  3x  2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪y‬‬
‫‪ 1  y 2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪i‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 1  y‬‬
‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪z‬‬

‫‪ M ‬نقطة من حامل محور التّراتيب‬

‫باستثناء النّقطة ‪. D‬‬
‫* ) إنشاء المجموعة ‪.   ‬‬

‫معناه‪. Re  z    0 :‬‬

‫( أنظر الشّكل آخر التّمرين )‪.‬‬
‫‪ – ) - 4‬أ ) نعيّن طبيعة التّحويل ‪ S  h  R‬وعناصره المميّزة‪.‬‬
‫التّحويل ‪ S‬هو مركّب ت لتحاكي موجب ودوران لهما نفس المركز‪.‬‬
‫إذا ‪ S :‬هو تشابه مستوي مباشر عناصره المميّزة‪:‬‬

‫‪ -‬المركز ‪ :‬المبدأ ‪O‬‬

‫)‪ x 2  y 2  3x  2  0...(1‬‬
‫معناه ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬و ‪ x  1y ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪3 9‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫( ‪) 1‬تكافئ ‪ x     y  2  0‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ -‬النّسبة ‪ :‬نسبة التّحاكي أي ‪. 2‬‬

‫‪‬‬
‫ الزّاوية ‪ :‬زاوية الدّوران أي‬‫‪2‬‬

‫يمكن معالجة السّؤال جبريا ‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫تكافئ ‪.  x    y 2   ‬‬
‫‪.‬‬

‫وبالتّالي ‪    :‬هي الدّائرة الّتي مركزها‬

‫ ب ) كتابة العبارة المركّبة للتّحويل ‪. S‬‬‫العبارة المركّبة للتّشابه ‪ S‬من الشّكل ‪. z   az  b‬‬
‫لدينا ‪:‬‬
‫من جهة ‪ b  0 :‬لكون مبدأ اإلحداثيات هو الرّأس أو المركز ‪.‬‬

‫‪1‬‬
‫‪3 ‬‬
‫النّقطة ‪ I  ;0 ‬ونصف قطرها‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬

‫باستثناء النّقطة ‪D 1;0 ‬‬

‫‪ ‬‬
‫من جهة أخري ‪a   2,  :‬‬
‫‪ 2‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2  cos  i sin ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬

‫أي ‪. a  2i‬‬
‫‪‬‬

‫‪i‬‬

‫إذا ‪ :‬العبارة المركّبة لـ ‪ S‬هي ‪z   2iz :‬‬
‫ جـ ) تعيين ثمّ إنشاء المجموعة ‪  ‬حيث ‪.     S   ‬‬‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪. z   2e‬‬

‫صورة الدّائرة ‪   ‬ذات القطر ‪ CD ‬باستثناء النّقطة ‪ C‬هي الدّائرة ذات‬
‫القطر ‪ C D ‬باستثناء النّقطة ‪ D ‬حيث ‪:‬‬

‫‪C   S C ‬‬
‫‪D   S  D ‬‬

‫‪ ‬لنعيّن إذا ‪ z C ‬و ‪. z D ‬‬

‫بالرّجوع إلي العبارة المركّبة للتّشابه ‪ S‬يأتي ‪:‬‬

‫* ‪z C   2iz C‬‬

‫و‬

‫‪z D   2iz D‬‬

‫‪ 2i‬‬
‫‪ 4i‬‬
‫‪  ‬هي الدّائرة ذات القطر ‪ C D ‬باستثناء النّقطة ‪. D ‬‬
‫‪10‬‬

‫التّمرين الرّابع ‪:‬‬
‫ما ورد فيه ‪:‬‬
‫ دالّة اللّوغاريتم النيبيري – دراسة دالة مساعدة‬‫ معادلة المماس – المستقيم المقارب المائل‬‫‪ -‬المناقشة البيانية لمعادلة من الشّكل ‪:‬‬

‫‪ x   mx  m‬‬

‫‪. f‬‬

‫ مساحة حيّز مستوي ( الدّوال األصلية لدالة )‬‫‪ ) 1- ) I‬دراسة إتّجاه تغيّر الدّالة ‪. g‬‬
‫الدّالة ‪ g‬قابلة لإلشتقاق علي المجال ‪ 0; ‬ولدينا ‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫من أجل كلّ ‪ x‬من ‪: 0; ‬‬
‫‪x‬‬

‫‪. g   x   2x ‬‬

‫‪2x 2  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫إشارة ‪ g   x ‬علي المجال ‪ 0; ‬من إشارة ‪. 2x 2  1‬‬
‫هذه اإلشارة ممثّلة في الشّكل اآلتي ‪:‬‬

‫‪2‬‬
‫* ‪ g‬متناقصة تماما علي المجال ‪‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪  0,‬ومتزايدة تماما علي المجال‬

‫‪‬‬

‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪,  ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬

‫‪. ‬‬

‫‪ 2‬‬
‫‪g ‬‬
‫‪ * ) - 2‬حساب ‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ 2 3‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ 2  2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪g ‬‬
‫‪   ln ‬‬
‫‪ g ‬أي ‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪  1  ln ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2  2‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 2   2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬

‫‪ 2‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪  ln 2  ln 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ln 2  ln 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  ln 2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪11‬‬

‫إذا ‪:‬‬

‫‪ 2 1‬‬
‫‪ 2   2  3  ln 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪. g‬‬

‫* نبيّن أنّه من اجل كلّ عدد ‪ x‬حقيقي من ‪. g  x   0 : 0, ‬‬

‫‪ 2‬‬
‫إعتمادا علي دراسة إتّجاه تغيّر الدّالة ‪ ، g‬نالحظ أنّ القيمة ‪ 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪ g ‬هي‬

‫قيمة حدّية صغري لهذه الدّالة علب المجال ‪ . 0, ‬وهذا معناه ‪:‬‬

‫‪ 2‬‬
‫من أجل كلّ ‪ x‬من المجال ‪ : 0, ‬‬
‫‪ 2 ‬‬

‫‪. g x   g ‬‬
‫‪‬‬

‫‪ 2 1‬‬
‫وبما أنّ ‪   3  ln 2   0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬

‫‪ ، g ‬ينتج ‪:‬‬
‫‪‬‬

‫من أجل كلّ ‪ x‬من المجال ‪. g  x   0 : 0, ‬‬

‫‪ – ) II‬أ ) حساب ‪ lim f  x ‬و ‪lim f  x ‬‬
‫‪x 0‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ln x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫;‪ln x  ‬‬
‫‪x‬‬
‫*‬
‫‪lim f  x    ; ‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪ x  1  1‬‬
‫‪‬‬
‫*‬

‫‪ ln x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim f  x    ;  x‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪ x  1  ‬‬
‫‪‬‬

‫‪ – ) 2 -‬أ ) نبيّن أنّه من أجل كلّ ‪ x‬من المجال ‪: 0; ‬‬

‫‪g x ‬‬
‫‪x2‬‬

‫‪f x  ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ x  1 ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f x  ‬‬
‫من أجل كلّ ‪ x‬من ‪ 1 : 0; ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1  ln x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x 2  1  ln x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪g x ‬‬
‫‪. f x  ‬‬
‫إذا ‪ :‬من أجل كلّ ‪ x‬من ‪: 0; ‬‬
‫‪x2‬‬
‫ ب ) تشكيل جدول تغيّرات الدّالة ‪. f‬‬‫‪ f‬دالّة متزايدة تماما علي مجال تعريفها ( ‪.) f   x   0‬‬
‫‪‬‬

‫‪ ) 3 -‬كتابة معادلة المماس ‪ T ‬في النّقطة الّتي فاصلتها ‪. 1‬‬

‫معادلة ‪‬‬

‫‪ T‬معطاة بالعالقة ‪. y  f  1 x  1  f 1 :‬‬

‫لدينا ‪ . f  1  2 ، f 1  0 :‬بالتّعويض نجد ‪:‬‬

‫‪12‬‬

‫‪ . y  2  x  1  0‬أي ‪ 2x  2 :‬‬

‫‪T  : y‬‬

‫‪- )- 4‬أ) نبيّن أنّ ‪ C ‬يقبل مستقيما مقاربا مائال ‪   ‬معادلته ‪y  x  1 :‬‬

‫لهذا نبيّن أنّ ‪ x    x  1  0‬‬

‫‪. lim f‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪ln x‬‬
‫‪lim f  x    x  1   lim‬‬
‫لدينا ‪:‬‬
‫‪x  x‬‬
‫‪. 0‬‬

‫‪x ‬‬

‫وعليه ‪ :‬في جوار ‪ ‬المستقيم ‪   ‬المعرّف بالمعادلة ‪ y  x  1‬هو‬
‫مستقيم مقارب لـ ‪. C ‬‬

‫يمكن مالحظة ما يلي ‪:‬‬

‫‪ln x‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  x   x   x  1‬‬
‫‪ ‬ومنه ‪:‬‬
‫‪ lim ln x  0‬‬
‫‪ x  x‬‬
‫المستقيم الّذي معادلته ‪y  x  1‬‬
‫مستقيم مقارب في جوار ‪. ‬‬

‫‪ -‬ب ) ندرس الوضع النّسبي لـ ‪ C ‬و ‪.   ‬‬

‫لهذا ندرس في المجال ‪ 0; ‬إشارة الفرق ‪f  x    x  1‬‬
‫إشارة الفرق من إشارة ‪ . ln x‬وهي كما يلي ‪:‬‬

‫الوضع النّسبي لـ ‪ C ‬و ‪   ‬يكون كما يلي ‪:‬‬
‫* ) ‪ C ‬يقع أسفل ‪   ‬علي المجال ‪. 0;1‬‬
‫* ) ‪ C ‬و ‪   ‬يتقاطعان في النّقطة ‪. A 1;0 ‬‬
‫* ) ‪ C ‬يقع أعلي ‪   ‬علي المجال ‪. 1;‬‬
‫‪ ) - 5‬رسم المستقيمين ‪ T ‬و ‪   ‬ثمّ المنحني ‪. C ‬‬
‫‪ T‬يمسّ ‪ C ‬في النّقطة ‪ A‬ويمرّ بالنّقطة ذات اإلحداثيين ‪.  0; 2 ‬‬

‫‪‬‬‫‪    -‬يشمل النّقطة‬

‫‪ A‬ويمرّ بالنقطة ذات اإلحداثيين ‪.  0; 1‬‬

‫‪13‬‬

‫‪ – ) - 6‬أ ) نتحقّق أنّه من أجل كلّ عدد حقيقي ‪ ، m‬النّقطة ‪ A 1;0 ‬تنتمي‬
‫إلي المستقيم ‪.  m ‬‬

‫‪)1‬‬

‫من أجل ‪ x  1‬نجد ‪ y  0‬أي ‪:‬‬
‫إحداثيات النّقطة ‪ A‬حلّ لمعادلة المستقيم ‪  m ‬وبالتّالي ‪. A    m  :‬‬
‫‪ -‬ب ) نناقش بيانيا حسب قيم الوسيط ‪ m‬عدد حلول المعادلة ‪:‬‬

‫‪ x   mx  m‬‬

‫‪. f‬‬

‫بيانيا حلول هذه المعادلة هي فواصل نقط تقاطع ‪ C ‬مع ‪.  m ‬‬
‫معامل توجيه المستقيم ‪  m ‬ليس ثابتا وبالتالي فإنّ هذا المستقيم ال‬

‫‪)2‬‬

‫يحتفظ بمنحي ثابت لكنّه يدور حول النّقطة الثّابتة ‪. A 1;0 ‬‬
‫يوجد مستقيمان آخران كلّ منهما يشمل ‪: A‬‬

‫‪ ‬و ‪‬‬

‫‪. T‬‬

‫‪  m  -‬ينطبق علي ‪   ‬لمّا ‪. m  1‬‬

‫‪  m  -‬ينطبق علي ‪‬‬

‫‪ T‬لمّا ‪. m  2‬‬

‫المناقشة تكون إذا كما يلي ‪:‬‬
‫‪ ) 1‬لمّا ‪  m  : m  ;1‬و ‪ C ‬يشتركان في النّقطة ‪ A 1;0 ‬أي ‪:‬‬

‫‪)4‬‬

‫يوجد حلّ وحيد وهو ‪. 1‬‬

‫‪ ) 2‬لمّا ‪  m  : m  1; 2‬و ‪ C ‬يشتركان في نقطتين أي ‪:‬‬
‫يوجد حال ّن ‪.‬‬

‫‪ ) 3‬لمّا ‪m  2‬‬

‫‪  m  :‬ينطبق علي المماس ‪‬‬

‫‪ T‬أي ‪:‬‬

‫يوجد حلّ واحد وهو ‪. 1‬‬

‫‪ ) 4‬لمّا ‪  m  : m  2; ‬يقطع ‪ C ‬في نقطتين أي ‪:‬‬

‫للمعادلة ‪ x   mx  m‬‬

‫‪ f‬حال ّن‪.‬‬

‫‪ln x‬‬
‫‪ – ) - 7‬أ ) إيجاد دالّة أصلية للدّالة‬
‫‪x‬‬
‫‪ln x 1‬‬
‫نالحظ ما يلي ‪  ln x :‬‬
‫وهذا معناه ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ x ‬من الشّكل ‪ u   u‬حيث ‪ u  x   ln x‬وبالتّالي ‪:‬الدّالة‬
‫الدّالة‬
‫‪x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪ x   ln x ‬هي دالّة أصلية علي المجال ‪ 0; ‬لـلدّالة‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x ‬علي المجال ‪. 0; ‬‬

‫‪ -‬ب ) حساب ‪I n‬‬

‫مساحة الحيّز المستوي المحدّد بـ ‪   ، C ‬‬

‫والمستقيمين اللّذين معادلتيهما‪ x  1‬و ‪.) n  1 ( x  n‬‬
‫علي المجال ‪ 1; n ‬؛ ‪ C ‬أعلي ‪ .   ‬ومنه ‪:‬‬

‫‪  f x   x 1 dx u .a‬‬
‫‪n‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ln x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬

‫‪n‬‬

‫‪In ‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ln 2 x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫‪14‬‬

‫إذا وبالتّعويض نجد ‪:‬‬

‫‪ln 2  n ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪. In ‬‬

‫‪ -‬جـ ) تعيين أصغر عدد طبيعي ‪ n0‬بحيث إذا كان‪ n  n0‬فإنّ ‪. I n  2‬‬

‫‪ I n  2‬معناه ‪ 4‬‬
‫معناه ‪ 4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ln  n  ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ ln  n  ‬‬

‫معناه ‪ln  n   2‬‬
‫معناه ‪. n  e 2‬‬
‫وبما أنّ ‪ e 2  7‬نأخذ ‪. n 0  8‬‬

‫‪15‬‬



Documents similaires


3 cours options x
book 2012 boris moncel jv
m2 systematique bv
m2 biol fonc et moleculaire
m2 ecologie
notice fr v1 2


Sur le même sujet..