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CORRIGé g 51 .pdf



Nom original: CORRIGé g 51.pdf
Auteur: TG PC

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Université Mouloud MAMMERI de Tizi-Ouzou
Faculté des Sciences Economiques, Commerciales et des Sciences de Gestion
Département Tronc Commun LMD
Première année, Section F
Module : Microéconomie II
Chargée de TD : L. SAADA

Interrogation Groupe 52
La fonction de production d’une entreprise est donnée par : Q = L1/3 K1/6
Le prix du facteur travail Pl = 40 DA, celui du facteur capital Pk = 160 DA et le coût total
Ct = 1440.
1. Quelle est la nature des rendements d’échelle de cette fonction de production ?
2. Calculez les productivités moyenne et marginale des deux facteurs de production ?
3. Que signifie l’expression « Taux marginal de substitution technique » ? calculez-le au
point A (2, 6) ?
4. Que représente un isoquant ? tracez les isoquants correspondants aux niveaux de
production Q =2 et Q = 3
5. Déterminez les quantités de facteurs de production (travail et capital) qui permettent à
ce producteur de maximiser sa production ?
6. Calculez cette production ?

Corrigé
1- Pour déterminer la nature des rendements d’échelle, on doit étudier
l’homogénéité de cette fonction
2Définition d’une fonction homogène :
34Soit une fonction à deux variables Z = F (X,Y)
56- d On dit que cette fonction est homogène de degré « k », si en multipliant les
7variables de cette fonction par une constante « a », toute la fonction sera multipliée
89par « ak », c'est-à-dire F (aX, aY) = ak F (X,Y).
1011Ce degré d’homogénéité nous permet de déterminer la nature des
12rendements d’échelle dans une fonction de production :
Si k = 1, les rendements d’échelle sont constants
Si k < 1, les rendements d’échelle sont décroissants
Si k > 1, les rendements d’échelle sont croissants

Q(L,K) = L1/3 K1/6
Q(aL,aK) = (aL)1/3 (aK)1/6
= a1/3 L1/3 a1/6 K1/6
= a3/6 L1/3 K1/6
= a1/2 L1/3 K1/6
Q(aL,aK) = a1/2 Q(L,K)
1

Cette fonction est homogène de degré k = 2.
k< 1, ce qui signifie que les rendements d’échelle sont décroissants.
2- A) calcul des productivités pour le facteur travail (L) :
𝑄
La productivité moyenne : PML = =
L1/3 K1/6
𝐿
L
= L1/3 K1/6 L-1
= L-2/3K1/6
K1/6
PML =
L2/3

La productivité marginale : PmL =

𝜕𝑄
𝜕𝐿

1

= L-2/3 K1/6
3

K1/6
PmL =
3 L2/3

B) calcul des productivités du facteur capital (K) :
La productivité moyenne : PMK =

𝑄
𝐾

=

L1/3 K1/6
K

= L1/3 K1/6 K-1
= L1/3 K-5/6

L1/3
PMK =
K5/6

La productivité marginale : PmK =

𝜕𝑄
𝜕𝐾

1

= L1/3 K-5/6
6

L1/3
PmK =
6 K5/6

3- Définition du taux marginal de substitution technique (TMST) :
Le TMST indique la quantité de l’un des facteurs à laquelle un producteur peut
renoncer s’il veut utiliser une unité supplémentaire de l’autre facteur s’il souhaite maintenir le
même niveau de production.
Il mesure aussi la quantité du facteur capital (K) nécessaire pour compenser la
diminution de la production qui peut être provoquée par la diminution d’une unité du facteur
travail (L).
Géométriquement, le TMST en un point représente la pente de la courbe d’isoquant.

Propriétés du TMST :
-

-



Le TMST est négatif, parce que toute augmentation dans l’utilisation de l’un des facteurs doit
s’accompagner de la diminution dans l’utilisation de l’autre facteur si l’entreprise souhaite
garder le même niveau de production.
Le TMST est décroissant en valeur absolue en descendant le long d’un isoquant parce qu’au
fur et à mesure que l’on descend, l’entreprise possède plus de (L) et moins de (K), il lui faut
de plus en plus d’unités de (L) pour remplacer une unité de (K) pour se maintenir sur la
même courbe d’isoquant.

Calcul du TMST(2,6)
K1/6

TMST = -

𝑃𝑚𝐿
𝑃𝑚𝐾

3 L2/3

=L1/3
6 K5/6

K1/6
TMST = -

.
2/3

3L
=-

L1/3

6𝐾
3𝐿

TMST = -

TMST(2,6) = -

6K5/6

2𝐾
𝐿

2(6)
2

TMST(2,6) = - 6

4- Un isoquant représente l’ensemble des combinaisons de facteurs de production (L,K)
qui permettent à l’entreprise d’obtenir le même niveau de production.
On peut aussi le définir comme étant la représentation graphique des différentes
combinaisons de facteurs de production permettant d’obtenir la même quantité
d’outputs.
 Tracer les isoquants pour Q= 2 et pour Q =3
Pour tracer les isoquants correspondants à ces niveaux de production, on doit d’abord
déterminer leurs équations :
Pour Q = 2 <=> L1/3 K1/6 = 2
2
1/6

<=> K

=
L1/3

(2)6
1/6 6

(K ) =
(L1/3)6

64
K=

équation de l’isoquant (1)
2

L

Pour Q =3 <=> L1/3 K1/6 = 3
3
1/6

<=> K

=
L1/3

(3)6
(K1/6)6 =
(L1/3)6

729
K=

équation de l’isoquant (2)
L2

Q=2

Q=3

L
1
2
3
4
5
6

K
64
16
7,11
4
2,56
1,77

L
3
4
5
6
7
8

K
81
45,56
29,16
20,25
14,88
11,39

90 K
80
70
60
50

Q1

40

Q2

30
20
10

L

0
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5- pour déterminer les quantités de facteurs de production qui permettent à cette
entreprise de maximiser sa production, on doit résoudre le programme d’optimisation
sous contrainte suivant :
Maximiser Q = L1/3 K1/6
Sous contrainte que 1440 = 40L + 160 K
On résoudra ce programme en utilisant la méthode de LAGRANGE
A- former la fonction auxiliaire F(L, K, λ)
F(L, K, λ) = L1/3 K1/6 + λ (40L + 160K = 1440)
F(L, K, λ) = L1/3 K1/6 + λ (1440 - 40L - 160K =0)
B- calculer les dérivées partielles de 1er ordre et les annuler :


𝜕𝐹

𝜕𝐿

1

= 0 <=> 3 L-2/3 K1/6 – 40 λ = 0
K1/6
= 40 λ …………………………………(1)

<=>
2/3

3L


𝜕𝐹

𝜕𝐾

1

= 0 <=> 6 L1/3 K-5/6 – 160 λ = 0

L1/3
= 160 λ …………………………………(2)

<=>
5/6

6K


(2)
(1)

𝜕𝐹
𝜕λ

= 0 <=> 1440 – 40L – 160K = 0………………………………(3)
L1/3
6 K5/6

<=>

=

160 λ
40 λ

K1/6
3 L2/3
L1/3

3 L2/3

<=>

.
5/6

6K

=4
1/6

K

L
<=>

=4
2K

<=> L = 8K
On remplace L par sa valeur dans (3)
1440 – 40L – 160K = 0
1440 – 40 (8K) – 160K = 0
1440 – 320K – 160K = 0
1440 – 480 K = 0
K=

1440
480

K=3
L = 8K
L = 8(3)
L = 24
La combinaison de facteurs de production qui permet à ce producteur de maximiser sa
production est M (24, 3)
6- Calcul de la production
Q = L1/3 K1/6
Q = (24)1/3 . (3)1/6
Q = (2,85). (1,2)
Q = 3,42


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