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CORRIGE G52 .pdf



Nom original: CORRIGE G52.pdf
Auteur: TG PC

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Université Mouloud MAMMERI de Tizi-Ouzou
Faculté des Sciences Economiques, Commerciales et des Sciences de Gestion
Département Tronc Commun LMD
Première année, Section F
Module : Microéconomie II
Chargée de TD : L. SAADA

Interrogation Groupe 52
La fonction de production d’une entreprise est donnée par : Q = L2 K2
Le prix du facteur travail Pl = 40 DA, celui du facteur capital Pk = 160 DA et le produit total
Q = 256 Unités.
1. Que signifie l’expression « rendements d’échelle » ? Quelle est leur nature pour cette
fonction de production ?
2. Calculez les productivités moyenne et marginale des deux facteurs de production ?
3. Que signifie l’expression « Taux marginal de substitution technique » ? calculez-le au
point A (3, 1) ?
4. Tracez les isoquants correspondants aux niveaux de production Q =4 et Q = 9
5. Déterminez les quantités de facteurs de production (travail et capital) qui permettent à
ce producteur de minimiser son coût de production ?
6. Quel est le coût minimal?
Corrigé
1- Les rendements d’échelle (rendements de taille ou rendements de dimension)
expriment la proportion d’augmentation de l’Output (de la production), si les facteurs
de production augmentent dans la même proportion.
Nous avons trois types de rendements d’échelle :
 Les rendements d’échelle constants : signifie que si l’on augmente les facteurs de
production dans une même proportion, la production augmentera exactement de la
même proportion.
 Les rendements d’échelle croissants : si les facteurs de production augmentent dans
une proportion donnée, la production augmente dans une proportion supérieure à celle
de l’augmentation des facteurs de production.
 Les rendements d’échelle décroissants : si les facteurs de production augmentent dans
une proportion donnée, la production augmente dans une proportion moindre.

Pour déterminer la nature des rendements d’échelle, on doit étudier l’homogénéité de
cette fonction

Définition d’une fonction homogène :

Soit une fonction à deux variables Z = F (X,Y)
On dit que cette fonction est homogène de degré « k », si en multipliant les
variables de cette fonction par une constante « a », toute la fonction sera multipliée
par « ak », c'est-à-dire F (aX, aY) = ak F (X,Y).
Ce degré d’homogénéité nous permet de déterminer la nature des
rendements d’échelle dans une fonction de production :
Si k = 1, les rendements d’échelle sont constants
Si k < 1, les rendements d’échelle sont décroissants
Si k > 1, les rendements d’échelle sont croissants

Q(L,K) = L2 K2
Q(aL,aK) = (aL)2 (aK)2
= a2 L2 a2 K2
= a4 L2 K2
Q(aL,aK) = a4 Q(L,K)
Cette fonction est homogène de degré k = 4
k> 1, ce qui signifie que les rendements d’échelle sont croissants.
2- A) calcul des productivités pour le facteur travail (L) :
𝑄
La productivité moyenne : PML = =
L2 K2
𝐿
L
2
PML = L K

La productivité marginale : PmL =

𝜕𝑄
𝜕𝐿

= 2L K2

B) calcul des productivités du facteur capital (K) :
La productivité moyenne : PMK =

𝑄
𝐾

=

L2 K2
K

PMK = L2 K

La productivité marginale : PmK =

𝜕𝑄
𝜕𝐾

= 2 L2 K

3- Définition du taux marginal de substitution technique (TMST) :
Le TMST indique la quantité de l’un des facteurs à laquelle un producteur peut
renoncer s’il veut utiliser une unité supplémentaire de l’autre facteur s’il souhaite maintenir le
même niveau de production.
Il mesure aussi la quantité du facteur capital (K) nécessaire pour compenser la
diminution de la production qui peut être provoquée par la diminution d’une unité du facteur
travail (L).
Géométriquement, le TMST en un point représente la pente de la courbe d’isoquant.

Propriétés du TMST :
-

-



Le TMST est négatif, parce que toute augmentation dans l’utilisation de l’un des facteurs doit
s’accompagner de la diminution dans l’utilisation de l’autre facteur si l’entreprise souhaite
garder le même niveau de production.
Le TMST est décroissant en valeur absolue en descendant le long d’un isoquant parce qu’au
fur et à mesure que l’on descend, l’entreprise possède plus de (L) et moins de (K), il lui faut
de plus en plus d’unités de (L) pour remplacer une unité de (K) pour se maintenir sur la
même courbe d’isoquant.

Calcul du TMST
TMST = -

𝑃𝑚𝐿
𝑃𝑚𝐾

2L K2
=2 L2 K

𝐾

TMST = -

𝐿

TMST(3,1) = -

1
3

4- Tracer les isoquants pour Q= 4 et pour Q =9
Pour tracer les isoquants correspondants à ces niveaux de production, on doit d’abord
déterminer leurs équations :
Pour Q = 4 <=> L2 K2 = 4
4
2

<=> K =
L2
K=

2
𝐿

équation de l’isoquant (1)

Pour Q =9 <=> L2 K2 = 9
9
2

<=> K =
L2
K=

3
𝐿

équation de l’isoquant (2)

Q=4
L
1
2
3
4
5
6

Q=9
K
2
1
0,66
0,5
0,4
0,33

L
1
2
3
4
5
6

K
3
1,5
1
0,75
0,6
0,5

3,5

K

3
2,5
2
Q= 4
1,5

Q= 9

1
0,5

L

0
0

1

2

3

4

5

6

7

5- pour déterminer les quantités de facteurs de production qui permettent à ce producteur
de minimiser son coût de production, on doit résoudre le programme de minimisation
sous contrainte suivant :
Minimiser Ct = 40L + 160 K
Sous contrainte que 256 = L2 K2
On résoudra ce programme en utilisant la méthode de LAGRANGE
A- former la fonction auxiliaire V(L, K, λ)
V(L, K, λ) = 40L + 160 K + λ (256 = L2 K2)
V(L, K, λ) = 40L + 160 K + λ (256 - L2 K2=0)
B- calculer les dérivées partielles de 1er ordre et les annuler :


𝜕𝑉

𝜕𝐿

= 0 <=> 40 – 2L K2 λ = 0
<=> 40 = 2L K2 λ
<=> L K2 λ = 20……………………………….(1)



𝜕𝑉

𝜕𝐾

= 0 <=> 160 – 2L2K λ = 0
<=> 160 = 2L2K λ
<=> L2K λ = 80………………………………….(2)


(2)
(1)

𝜕𝑉
𝜕λ

= 0 <=> 256 - L2 K2= 0………………………………(3)
L2 K λ

<=>

=
2

80
20

LK λ
<=>

𝐿

𝐾
<=> L = 4 K

=4

On remplace L par sa valeur dans (3)
256 - L2 K2= 0
256 – (4K)2 K2= 0
256 – 16K4 = 0
256
K4 =
16
4
K = 16
K=2
L = 4K
L = 4(2)
L=8
La combinaison de facteurs de production qui permet à ce producteur de minimiser son coût
de production est M (8, 2)
6- Calcul du coût minimal
Ct = 40L + 160 K
Ct = 40(8) + 160(2)
Ct = 320 + 320
Ct = 640


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