Mémoire Master Heugang Steven .pdf



Nom original: Mémoire Master Heugang Steven.pdfTitre: Mémoire Master Heugang StevenAuteur: Martial-CFW

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REPUBLIQUE DU CAMEROUN
************************
UNIVERSITE DE DSCHANG
*******************
ECOLE DOCTORALE
*****************
UDF-SCIENCES FONDAMENTALE
ET TECHNOLOGIQUE
*********************

REPUBLIC OF CAMEROON
*****************
UNIVERSITY OF DSCHANG
*****************
POST GRADUATE COLLEGE
*********************
UFD-FONDAMENTAL SCIENCE
AND TECHNOLOGY
***********************

N° d’ordre……………..

Laboratoire de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques
(L2MSP)

ANALYSE THERMIQUE DE LA CONDUCTION
INSTATIONNAIRE
DANS LES MILIEUX POREUX
Thèse
Présentée en vue de l’obtention du diplôme de

`táàxÜ Éy áv|xÇvx xÇ c{çá|Öâx
Spécialité : Mécanique – Energétique

Par

HEUGANG NDJANDA AUDREY STEVEN
Licence ès Physique
Matricule : 05S101

Sous la direction de
Dr. KAMDEM TAGNE H. T.
Chargé de Cours
Université de Dschang

Année académique 2011-2012

DEDICACES

* A mes Parents NDJANDA Réné et MBAKOP Gisèle
*A mon très cher oncle NWAMEN FIDELE
*A ma très chère et tendre Grand-mère NDJIKI Pauline
*A mes très chères tantes TATCHOUA Louise, NZOUEGOU
Florence, Feue YANKEU Hélène, POKAKEU Pojumé Chantal
Rose, FOWA Yvonne, MBIADOU Jacqueline.
*A mes chers frères, sœurs, cousins et cousines

NDJANDA
HEUGANG NDJAND
A Audrey Steven
Thèse de Master of science, Option physique,, Spécialité Mécanique-Energétique/2012
Laboratoire de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques, Université de Dschang

iv

REMERCIEMENTS
L’occasion nous est ici offerte d’exprimer notre sincère et profonde gratitude à
Dr. KAMDEM TAGNE Hervé Thierry qui a consenti à diriger ce travail. Il a fait naître en
nous l’esprit de recherche et a mis à notre disposition la documentation et le matériel
nécessaire pendant le déroulement du travail. Il a été pour moi un encadreur infatigable
à travers ses multiples remarques, observations, encouragements et sa disponibilité
extraordinaire.
Notre gratitude va également à l’endroit du:
-

Pr FOMETHE Anaclet, Recteur de l’université de Dschang pour le soutien qu’il
accorde au master de physique.

-

Pr TALLA Pierre Kisito, Chef du Département de Physique à l’Université de
Dschang, qui s’est toujours battu pour que nous menions notre formation à
terme.

-

Dr TCHITNGA Robert pour ses conseils et ses encouragements qu’il n’a cessé de
me prodiguer.

-

A tous les enseignants du Département de physique, Pr. LUKONG FAI Cornelius,
Pr. YEMELE David, Pr. PELAP François, Dr. SAMBA Odette, Dr. TCHOFFO Martin,
feue Dr MEFFO L., Dr. NSANGOU Issofa, Pr BOUETOU Thomas, Pr Tchinda Réné,
Pr Fogue Médard, Pr Tchuen Ghislain, pour la formation qu’ils m’ont offerte
depuis mon entrée à l’Université. Que l’Eternel Dieu leur donne la force de la
continuer.

Je remercie de tout cœur :
Les éminents membres du jury qui ont sacrifié de leur temps pour juger la qualité
de ce travail.
Mes parents Mr et Mme NDJANDA pour leur amour, leur instruction, leur patience
et leur soutien tant moral que financier.
Mon oncle Mr Nwamen pour sa rigueur, son exigence de réussite et sa générosité.
Les amis et collègues de mon oncle Mme Kakeu Marie, Mme Fangue Laure, Mr
Tchantchou Salomon, Mr Deffo Simplice, Mr Djeudji Gabin, Mr Kemogné Alain, Mr
Omenguélé Réné pour leur encouragement.
NDJANDA
HEUGANG NDJAND
A Audrey Steven
Thèse de Master of science, Option physique,, Spécialité Mécanique-Energétique/2012
Laboratoire de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques, Université de Dschang

v

Le président de la Fédération Camerounaise de Kung-fu Wushu et disciplines
assimilées, Dr Me Ella Jean Bosco pour son optimisme, sa compréhension et ses
conseils.
Mes cadets et cadettes Stéphanie, Armelle, Ornella, Judicaël et Abdias pour leur
climat de détente.
Mes grands parents feus papa Batchamen Joseph, papa Mbakam Paul, feue maman
Mbokop Delphine et maman Ndjiki Pauline.
Mes oncles Tomi chamberlain, Mbetcha Isidor, Nbagnia Félicien, Yankam Maginot
et mes tantes Tatchoua Louise, Nzouégou Florence, Feue Yankeu Hélène, Pokakeu
Pojumé Chantal Rose, Fowa Yvonne, Mbiadou Jacquéline.
Mes cousins et cousines qui sauront se reconnaitre à travers ces mots mais que
malheureusement je ne peux citer par crainte d’oublier certains, la liste ne pouvant être
exhaustive. Qu’ils trouvent en ce travail l’exemple à suivre.
Mes amis, condisciples, ainés académiques, membres du laboratoire de mécanique
et de modélisation des systèmes physiques de l’Uds et camarades de promotion Tameni
Raoul, Deutcham Théophile, Wadjou Christian, Tchoffo Géral, Djoufack Paulin, Métangou
Hermione, Makamté Kakeu Christelle Rolande, Foé Abessolo Frédéric, Mando Alex,
Patrick Louodop, Mabekou Sandrine, Tiam Pascalin, Houdjeu Christian, Kamdoum
Victor, Mégam Elie, Kengne Romanic, Fozin Théophile, Fouetsa Martial, Diléga Julio,
Tanékou Guy, Wamba Maturin, Wamba Jackson, Makene Laura, Vouefack Aristide pour
leur soutien et les échanges fructueux et sérieux que nous avons eu au sujet de ce
travail.
Mes cadets académiques des niveaux master I, Licence I, II et III des filières Physique,
Chimie et Mathématique pour leur encouragement, l’intérêt que ce travail à suscité chez
certains d’entre eux et qui s’est traduit par des préoccupations qui m’ont permis de faire
attention à certains aspects de ce travail.
Tous ceux qui de près ou de loin ont apporté leur concours à l’élaboration de ce
travail.
MENTION SPÉCIALE AU DIEU TOUT PUISSANT POUR LA GRÂCE, LA SANTÉ ET LE
COURAGE QUI
QUI M’ONT PERMIS DE RÉALISER CETTE THÈSE. QUE TA FIDÉLITÉ,
SEIGNEUR, SOIT SUR NOUS, COMME NOTRE ESPOIR EST EN TOI.
NDJANDA
HEUGANG NDJAND
A Audrey Steven
Thèse de Master of science, Option physique,, Spécialité Mécanique-Energétique/2012
Laboratoire de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques, Université de Dschang

vi

TABLE DES MATIERES
DEDICACES ............................................................................................................................................................ i
REMERCIEMENTS.............................................................................................................................................. ii
LISTE DES FIGURES ......................................................................................................................................... iii
N0MENCLATURE .............................................................................................................................................. iv
ABSTRACT ............................................................................................................................................................ v
RESUME ................................................................................................................................................................ vi
INTRODUCTION .................................................................................................................................................. 1
CHAPITRE ............................................................................................................................................................................... 7
I

TRANSFERT CONDUCTIF INSTATIONNAIRE EN MILIEU POREUX .................................................. 7
I-1.EQUATION DE CONSERVATION DE L’ENERGIE ............................................................................. 7
I-2.PROBLEMATIQUE DE LA MODELISATION DES FLUX CONDUCTIFS .................................. 10
I-2.1-MODELE DE FOURIER ........................................................................................................................ 10
I-2.2-MODELE DE CATTANEO-VERNOTTE(CV) ................................................................................. 12
I-2.3-GENERALISATION DES MODELES NON-FOURIER ................................................................. 12
I-3-DEVELOPPEMENT DE L’EQUATION DE CONSERVATION ....................................................... 14
I-3.1-PROBLEMES DE DIFFUSION THERMIQUE ................................................................................. 15
I-3.2-PROBLEMES DE PROPAGATION DE L’ONDE THERMIQUE ................................................. 15
I.4-CONDITIONS AUX LIMITES .................................................................................................................. 16
I.4-1TEMPERATURES IMPOSEES ............................................................................................................. 17
I.4-2 FLUX IMPOSES ....................................................................................................................................... 17
I.4-2-1 CONVECTION AUX FRONTIERES ............................................................................................... 17
I.4-2-2 FLUX AUX FRONTIERES ............................................................................................................... 18
I.4-3 CONDITIONS MIXTES.......................................................................................................................... 18
I.4-4 CONDITION INITIALES ....................................................................................................................... 18
I-5- PROPRIETES THERMOPHYSIQUES ................................................................................................. 18
I-5.1- MATERIAUX EN FIBRES DE SILICE .............................................................................................. 19
I-5.2 MOUSSE DE POLYSTYRENE EXTRUDE ........................................................................................ 20
I-5.3-FIBRES DE BOIS .................................................................................................................................... 21
I-5.4-DIFFUSIVITE THERMIQUE ............................................................................................................... 22
I-5.5-TEMPS THERMIQUE DE RELAXATION ........................................................................................ 22

NDJANDA
HEUGANG NDJAND
A Audrey Steven
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Laboratoire de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques, Université de Dschang

vii

I-6-PROBLEMES THERMIQUES A PROPRIETES THERMOPHYSIQUES VARIABLES ............. 23
CONCLUSION .................................................................................................................................................... 25
II

RESOLUTION DES EQUATIONS DE DIFFUSION ET DE PROPAGATION THERMIQUE ........... 26
II-1 METHODE DES VOLUMES DE FINIS / CONTROLES.................................................................. 26
II-1.1 DISCRETISATION SPACIALE........................................................................................................... 27
II-1.2 DISCRETISATION TEMPORELLE .................................................................................................. 27
II-2 DISCRETISATION DES EQUATIONS DE CONSERVATION DE L’ENERGIE ........................ 28
II-2.1 EQUATIONS DE DIFFUSION ............................................................................................................ 28
II-2.1.1 NŒUDS INTERNES DU MAILLAGE ........................................................................................... 28
II-2.1.2 NŒUDS SUR LES CONTOURS EXTERNES DU MAILLAGE............................................... 30
II-2.1.2a Températures imposées ............................................................................................................. 30
II-2.1.2b Flux imposés ................................................................................................................................... 30
II-2.1.2c Convection aux frontières .......................................................................................................... 30
II-2.2 DISCRETISATION DES EQUATIONS DE PROPAGATION ...................................................... 35
II-2.2.1 EQUATIONS ALGEBRIQUES AUX NŒUDS INTERNES DU MAILLAGE ........................ 35
II-2.2.2 NŒUDS SUR LES CONTOURS EXTERNES DU MAILLAGE................................................ 37
II-2.2.2a Températures imposées ............................................................................................................. 37
II-2.2.2b Flux imposés ................................................................................................................................... 38
II-2.2.2c Convection aux frontières .......................................................................................................... 39
II-2.3. DISCRETISATION DES CONDITIONS INITIALES.................................................................... 42
II-2.4 DISCRETISATION DES PROPRIETES THERMOPHYSIQUES AUX INTERFACES
DU VOLUME DE CONTROLE ....................................................................................................................... 42
II-2.4a MOYENNE ARITHMETIQUE ........................................................................................................ 43
II-2.4b MOYENNE HARMONIQUE ............................................................................................................ 43
II-2.4c MOYENNE GEOMETRIQUE .......................................................................................................... 43
II-2.5 ALGORITHME DE RESOLUTION DES EQUATIONS DISCRETISEES ................................. 44
CONCLUSION .................................................................................................................................................... 46

III

RESULTATS ET DISCUSSION ...................................................................................................................... 47
III-1.VALIDATION DU CODE DE CALCUL ............................................................................................... 47
III-1.1-RESOLUTION NUMERIQUE DES PROBLEMES DE CONDUCTION THERMIQUE
INSTATIONNAIRE:.......................................................................................................................................... 48

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HEUGANG NDJAND
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viii

III-1.1.1-EN MILIEU HOMOGENE ET ISOTROPE ................................................................................. 48
III-1.1.1.A- PROBLEMES DE DIFFUSION THERMIQUE ..................................................................... 48
III-1.1.1.A.1-TEMPRATURES IMPOSEES ................................................................................................ 48
III-1.1.1.A.2-FLUX IMPOSES ........................................................................................................................ 49
III-1.1.1.A.3-CONVECTION AUX FRONTIERES ..................................................................................... 49
III-1.1.1.A.4-CONDITIONS MIXTES :Tempéraure-Flux ..................................................................... 50
III-1.1.1.A.5-CONDITIONS MIXTES :Tempéraure-Convection ....................................................... 51
III-1.1.1.A.6-CONDITIONS MIXTES :Convection-Flux ....................................................................... 51
III-1.1.1.B- PROBLEMES DE PROPAGATION THERMIQUE ............................................................. 52
III-1.2-EN MILIEU NON - HOMOGENE ET ISOTROPE ....................................................................... 53
III-1.2.1-TEMPRATURES IMPOSEES ........................................................................................................ 53
III-1.2.2-FLUX IMPOSES................................................................................................................................ 54
III-1.1.1.A.5-CONDITIONS MIXTES :Tempéraure-Flux ..................................................................... 55
III-2.ANALYSES DES PROBLEMES DE CONDUCTION D’ENTHALPIE EN MILIEUX
NON-HOMOGENES ET ISOTROPES .......................................................................................................... 56
III-2.1. ANALYSES DE LA DIFFUSION DE L’ENTHALPIE................................................................. 56
III-2.1.1-TEMPRATURES IMPOSEES ........................................................................................................ 56
III-2.1.2-FLUX IMPOSES................................................................................................................................ 57
III-2.1.3-CONDITIONS MIXTES .................................................................................................................. 59
III-2.1.4-CONVECTION AUX FRONTIERES ............................................................................................ 60
III-2.2.RESULTATS NUMERIQUES: APPLICATIONS AUX MILIEUX REELS ............................... 64
CONCLUSION ............................................................................................................................................................. 67
CONCLUSION ET PERSPECTIVES ....................................................................................................................... 68
ANNEXES ..................................................................................................................................................................... 69
I-APPROCHE ANALYTIQUE………………………………………………………………………………………..70
I-1. TRANSFORMATION DE KIRCHHOFF .......................................................................................... 7070
I-2. RESOLUTION DES PROBLEMES LINEARISES DE CONDUCTION THERMIQUE………….72
II-PROPRIETES THERMOPHYSIQUES………………………………………………………………………….75
REFERENCES…………………………………………………………………………………………………………………….77
REFERENCES

NDJANDA
HEUGANG NDJAND
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ix

LISTE DES FIGURES
FIGURE N°

PAGE

Figure 0-1:Principe d’un dispositif de protection incendie………………………………………….2
Figure 0-2:Brique de céramique utilisée comme isolant dans les fours…………………………2
Figure 0-3:Dispositif de fabrication et traitement thermique des matériaux…………………3
Figure 0-4:Exemple de milieux poreux : a)-Echantillon de quartz contenant des bulles,
b)-Milieu en fibre de bois, c) Peau humaine et d) -Coupe transversale d’un
échantillon de céramique de
Zircone…………………………………………………………... ……………………………………………………..4-5
Figure I-1:fibre de silice…………………………………………………………………………………………….19
Figure I-2:Image MEB d’un échantillon de mousse de polystyrène extrudé…………………20
Figure I-3::Examen au MEB de la structure de la fibre de raphia hookeri. (7a) face
externe, (7b) face interne…………………………………………………………………………21
Figure II-1:Délimitation d’un élément de volume de contrôle dans le maillage…………….27
Figure II-2: pas de temps……………………………………………………………………………………….....28
Figure II-3: flux instationnaires aux frontières du domaine………………………………………..30
Figure II-4:Organigramme pour la résolution numérique des équations de conduction
Thermique………………………………………………………………………………………………45
Figure III-1:Diffusion thermique un milieu homogène et isotrope soumis aux
températures imposée aux frontières. Les solutions analytique et numérique
coïncident………………………………………………………………………………………….........48
Figure III-2:courbe de validation du modèle numérique en flux imposés aux
frontières……………………………………………………………………………………………...49
Figure III-3: courbe de validation du modèle numérique en convection aux frontières
………………………………..………..……………………………………………………………..…...50
Figure III-4: courbe de validation du modèle numérique des problèmes de diffusion
avec condition mixtes (température / flux) aux
frontières………………………………………………………………………………………………50
NDJANDA
HEUGANG NDJAND
A Audrey Steven
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Laboratoire de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques, Université de Dschang

x

Figure III-5: courbe de validation du modèle numérique des problèmes de diffusion
avec conditions mixtes (température / convection) aux
frontières.………………………………………………………………………….………………….51
Figure III-6: courbe de validation du modèle numérique des problèmes de diffusion
avec conditions mixtes (convection / flux) aux
frontières………………………………………………….…………………………………………52
Figure III-7: Propagation thermique en milieu homogène et isotrope soumis aux
températures imposée aux frontières. Les solutions analytique et
numérique coïncident………………………………………………...………………………..52
Figure III-8: profil de température du milieu. Modèle de diffusion de la température pour

γ * = 0.3 ……...………………………………………………………………...…………………………………………53
Figure III-9: profil de température du milieu. Modèle de propagation de la température
pour γ * = 0.3 ………………………………….……………………..………………………………54
Figure III-10:profil de température du milieu pour problème de diffusion de la
température flux imposés……………………………………………………………………..54
Figure III-11: profil de température du milieu pour problème de diffusion de la
température conditions mixtes (température et flux imposé)………………..55
Figure III-12: profils de température dans un milieu non-homogène soumis aux
températures imposées........................………...……………………………………………56
Figure III-13: courbe présentant la précision entre les valeurs de la température dans le
milieu obtenues à partir des modèles numériques développés à deux
instants différents……………………………………………………………………………….57
Figure III-14: Profil de température en milieu non-homogène à des instants variés
lorsque le flux est appliqué aux frontières,
pour γ * = 0.15 ……………………………………………………………...................................58
Figure III-15: Profil de température en milieu non-homogène et isotrope à des instants
variés lorsque le flux est appliqué aux frontières, pour γ * = −0.15 ……….58
Figure III-16: courbe présentant les la précision entre les valeurs de la température dans
le milieu, obtenues à partir des modèles numérique développés à des
instants différents, pour γ * = −0.15 ..…………………………………………..……….59
Figure III-17: Profil de température en milieu non- homogène et isotrope à des instants
variés avec la température et flux
………………………………………………………………………………………………..………….59
Figure III-18: courbe présentant la précision entre les valeurs de la température dans le
milieu obtenues à partir des modèles numériques développés à des
instants différents, pour γ * = 0.3 les conditions aux frontières sont mixtes.
……………………………………………………………………...……………………………………60
NDJANDA
HEUGANG NDJAND
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Laboratoire de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques, Université de Dschang

xi

Figure III-19:: Profil de température en milieu non-homogène et isotrope à des instants
variés avec la convection aux frontières……….………………………………………………………….60
Figure III-20: courbe présentant la précision entre les valeurs de la température dans le
milieu obtenues à partir des modèles numérique développés à des instants
différents, pour γ * = −0.15 le milieu est soumis à la convection.
………………………………………………………………...……..…………………………………..61
Figure III-21: profil de température en milieu non-homogène à des instants variés avec
a-)flux imposés, b-) températures imposées, c-) conditions mixtes
(température / flux), d-) convection aux frontières ( γ * = 0.15 ), e-)
convection aux frontières ( γ * = −0.15 )……………………………………………61-63
Figure III-22: Profil de température dans l’isolant réel en zone chaude………………………64
Figure III-23: Profil de température dans l’isolant réel en zone froide…………………………65
Figure A-1:Profil de température pour Fo=0.08, δ = 0.2 en Température imposées
θ 0 = 3.0 θ 1 = 2 .0 ………………………………………………………….…73
Figure A-2:Profil de température pour Fo=0.08, δ = 0.5 en Température imposées
θ 0 = 3.0 θ 1 = 2 .0 ………………….………………………………………….73
Figure A-3: Profil de température pour Fo=0.08, δ = 0.2 en Température imposées

q0* = 0.5 q1* = −0.2
……………………...…………… ………….74
Figure A-4:Profil de température pour Fo=0.08, δ = 0.2 en conditions mixtes

θ 0 = 3.0 q1* = −1.0

………..…………………………………………………….74

Figure A-5:Profil de température pour Fo=0.08, δ = 0.2 en convection aux frontières

θ 0,∞ = 2.0 θ1,∞ = 2.0 …………………………………….…..…………………..75

NDJANDA
HEUGANG NDJAND
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xii

NOMENCLATURE
ABBREVIATIONS
BREVIATIONS
D.E

Diffusion d’Enthalpie

D.T

Diffusion de Température

P.E

Propagation d’Enthalpie

P.T

Propagation de la Température

S.R.P

Simple Retard de Phase

T.D.M.A

Tri Diagonal Matrix Algorithm

EXPOSANT
t

pas de temps présent

t + ∆t

pas de temps suivant

it

itération considérée

n

rang du terme général de la série

m

paramètre caractérisant l’écoulement de l’air ambiant

INDICES
p

à pression constante

t, c, r

total, conductif, radiatif

q, T, L

relatif au flux, à la température, à la longueur

f,o; f,L;

fluide ambiant à gauche; à droite du mur

i; r,i; conv,i

relatif respectivement à la frontière considérée, au rayonnement, à la
convection

m, g, a

relatif aux milieux poreux, au gaz, à l’air respectivement

ini

initiale

réf

référence

NDJANDA
HEUGANG NDJAND
A Audrey Steven
Thèse de Master of science, Option physique,, Spécialité Mécanique-Energétique/2012
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xiii

SYMBOLES GRECS
ρ

Masse volumique

τ

temps thermique de relaxation

α

Diffusivité thermique

δ

Racine carrée du nombre de Veron

Υ

porosité du milieu

χ

Facteur compris entre 0 et 1.

σ est la constante de Boltzmann.
ε i émissivité de la frontière considérée

SCALAIRES ET VECTEURS
Q
T
C
∆y
s0
s
t
r
qc

Energie thermique volumique
la températu re
Capacité Calorifique
Epaisseur du volume de contrôle entourant le nœud P
Célérité du son ordinaire
Célérité de l’onde thermique
Temps
Rayon vecteur
flux thermique de conduction

qr

flux thermique de radiatif

qt
k

flux thermique de total
est la conductivi té thermique du milieu.
Coefficient d’échange par convection

hcon,i (T )

k p est la conductivi té du polymère.

kg représente la conductivi té du gaz
L étant la longueur du milieu
M le nombre de volume de contrôle du maillage

N est le nombre d' intervalle de temps considéré

NDJANDA
HEUGANG NDJAND
A Audrey Steven
Thèse de Master of science, Option physique,, Spécialité Mécanique-Energétique/2012
Laboratoire de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques, Université de Dschang

xiv

ABSTRACT
This thesis is focused on a survey of transient conduction analysis in porous medium.
This research has three objectives: understand and modelize heat transfer within macro,
micro and nano-structure; another objective is to relevant characteristic for a good
thermal insulation. The developpement of equation of energy and the relations of
constitutive heat flux lead to four equations with different complexity: diffusion
equation of temperature, propagation of temperature equation, equation of diffusion of
enthalpy and propagation of enthalpy equation. To solve these equations we have used
finite volume method. And numerical show that both temperature equation of diffusion
and propagation generally used to describing transient conduction present some limits
when thermo physical properties of medium depend on temperature. And then wood
fibbers are more adapted for thermal insulation.
Keys-words: conduction, transient, porous, nonhomogeneous, Isotropic, diffusion,
propagation, enthalpy.

NDJANDA
HEUGANG NDJAND
A Audrey Steven
Thèse de Master of science, Option physique,, Spécialité Mécanique-Energétique/2012
Laboratoire de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques, Université de Dschang

xv

RESUME
Ce travail de thèse porte sur l’analyse thermique de la conduction instationnaire dans
les milieux poreux. Cette recherche s’articule autour de trois objectifs principaux::
Comprendre et modéliser le transfert de chaleur dans les macros, micros et
nanostructures; Prendre en compte le caractère non-linéaire des propriétés
thermophysiques; Rechercher les caractéristiques nécessaires pour une isolation
thermique du bâtiment au Cameroun.
Le couplage de l’équation de conservation de l’énergie aux relations constitutives du
flux de Fourier et de Cattanéo-Vernotte conduit à quatre équations fortement nonlinéaires et de complexité différentes : une équation de diffusion et une équation de
propagation de la température, une équation de diffusion et une équation de
propagation de l’enthalpie. Ces équations sont résolues numériquement par la méthode
des volumes finis en considérant différents types de conditions aux limites :
températures imposées et/où flux aux frontières. Les résultats des expérimentations
numériques montrent que les équations de diffusion et de la température généralement
utilisées pour décrire la conduction instationnaire présentent des limites lorsque les
propriétés thermophysiques du milieu dépendent de la température et qu’il est
préférable d’utiliser les équations de diffusion et de propagation de l’enthalpie. La
comparaison des profils de la température dans trois milieux poreux réels constitués de
mousse de polystyrène, de fibre de silice (verre) ou de bois montrent que les milieux en
fibre de bois sont mieux adaptés que les deux autres pour l’isolation thermique en
climats tropicaux tels qu’au Cameroun.
MotsMots-Clés:
Clés: conduction instationnaire, milieux poreux, mousse de polystyrène, fibre de
silice, fibre de bois, diffusion, propagation, enthalpie, température, flux,
Fourier, non-Fourier, Cattanéo-Vernotte, Temps de relaxation, méthode
numérique, volumes finis.

NDJANDA
HEUGANG NDJAND
A Audrey Steven
Thèse de Master of science, Option physique,, Spécialité Mécanique-Energétique/2012
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xvi

INTRODUCTION
La protection thermique des systèmes physiques et des équipements les plus divers
tout autant que le confort thermique dans les domaines du bâtiment, de l’automobile et de
l’aéronautique; les protections incendies; le conditionnement des cultures et des aliments
dans les domaines respectifs de l’agro-industriel et de l’agro-alimentaire; l’irradiation des
tissus biologiques à l’aide des lasers à rayonnement thermique dans le domaine médical,
l’amélioration et la fabrication des nouveaux matériaux en science des matériaux ou dans le
traitement des pièces en ingénierie des matériaux; la conception des réacteurs nucléaires et
la diminution des pertes d’énergie des processus qui s’y produisent… ont été un souci
constant de l’ingénieur, du chercheur, du politique (Minkowycz et co-auteurs, 1999;
Sacadura, 2011). Ces deux dernières décennies, ces préoccupations se sont accentuées avec
les problèmes :

1. Du confort climatique dans nos pays tropicaux, en voie de développement, où il fait de
plus en plus chaud et où l’urbanisation a suscité un accroissement considérable de la
demande énergétique.

2. De protection de l’environnement et de l’économie de l’énergie. En effet, avec environ
35-40% des énergies consommées dans le bâtiment (Laaly, 1995a; Kaemmerlen et
co-auteurs, 2010), la construction des bâtiments propres : bâtiments avec une balance
environnementale positive, c’est-à-dire les impacts positifs sont plus importants que
les négatifs; est un enjeu considérable. La réduction de la consommation énergétique
dans les bâtiments permet un gain sur les énergies non renouvelables utilisées pour
la climatisation et/ou le chauffage; et par conséquent permet une réduction de la
quantité de polluant rejeté dans l’atmosphère (Laaly, 1995b).

Le développement, l’utilisation et l’intégration des isolants thermiques propres sont par
conséquent des enjeux importants dans l’architecture des bâtiments (Meukam, 2004. NgoheEkam, 2005). Dans ce cadre, un grand nombre de travaux théoriques, expérimentaux et de
conception s’appliquent couramment dans les domaines aussi variés. Ainsi :
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• Dans le domaine de la protection incendie un rideau d’eau sert d’isolant thermique
entre une cible à protéger et une source d’incendie (Torvi et Dale, 1999 ; Collin, 2006).

Figure 00-1: Principe d’un dispositif de protection incendie (Collin, 2006)

• Dans le bâtiment, le confort thermique dans les maisons et bureaux, la conception des
fours et des chambres à combustion, la protection thermique des engins spatiaux nécessitent
une connaissance préalable des isolants thermiques utilisés et des processus thermiques qui
s’y produisent (Doermann, 1995; Goyheneche, 1997; Kaemmerlen, 2009).

Figure 0-2:Brique de céramique utilisée comme isolant dans les fours (BEE, 2005)
• Dans le domaine du développement des matériaux avec par exemple les problèmes
de la cuisson du verre, du revêtement, du perçage et de la coupure des pièces et objets
divers et le domaine de la nanotechnologie, l’analyse thermique permet de décrire les
tensions thermiques et les modifications profondes survenant au niveau même de la
microstructure du matériau. (Brorson et co-auteurs, 1987; Kar et co-auteurs (1992); Tzou,
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1995; Gustavo et Tien, 1999; Vadasz, 2005). Un exemple de dispositif de fabrication de
matériau utilisant l’émission d’un champ d’électron à partir d’une nano-sonde est donné à la
figure suivante.

Figure 00-3: Dispositif de fabrication et traitement thermique des matériaux (Wong et
co-auteurs, 2007).

Les milieux étudiés dans les différents domaines cités plus haut et bien d’autres domaines
encore, sont dans leur grande majorité poreux : matériaux dont la matrice solide comporte
des pores ou cavités à travers lesquelles un fluide peut s’écouler (Langlais et Klarsfeld,
1985). La géométrie des pores est diverse et complexe. C’est ainsi qu’on distingue les grands
groupes de milieux poreux suivants: les isolants granulaires (Figure 4.a), les matériaux en

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fibres de bois (Figure 4.b), la peau humaine (Figure 4.c) et les céramiques (Figure 4.d).

a)-Echantillon de quartz contenant des bulles

c) Peau humaine

b)-Milieu en fibre de bois

d) -Coupe transversale d’un échantillon de
céramique de Zircone

Figure 0-4: Exemple de milieux poreux (Baillis et co-auteurs, 2007; Kaemmerlen, 2009;
Sacadura, 2011; Dombrovski et co-auteurs, 2007)

Au sein de ces milieux poreux les phénomènes de transfert de chaleur sont: La
conduction à travers la matrice solide mais aussi à travers le fluide interstitiel piégé ou
emprisonné dans les pores; la convection thermique naturelle du fait des mouvements du
gaz interstitiel dû aux différences de températures entre les faces chaudes et froides de
l’isolant; le transfert radiatif faisant intervenir l’énergie du champ électromagnétique dans le
domaine des longueurs d’onde du rayonnement thermique (Langlais et Klarsfeld, 1985;
Tong et Tien, 1980). Les principales questions de recherche en transferts thermiques des

milieux poreux concernent alors:

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La modélisation des transferts de chaleur.
La caractérisation thermique des matériaux, par la détermination de leurs
propriétés thermophysiques, requérant un modèle théorique et expérimental
d’identification adéquat et aussi complet que possible.
L’élaboration des matériaux nouveaux et toujours plus performants, nécessitant le
développement d’outils d’analyse et de simulation fiables, performants et précis.
L’élaboration de matériaux poreux nouveaux nécessitant des équipements de laboratoire
lourds et couteux. Il est par conséquent utile de développer des modèles théoriques pour
simuler le comportement thermique du matériau et identifier leurs propriétés thermiques.
C’est dans cette optique que s’inscrit notre travail dont les objectifs sont les suivants:
• La modélisation du transfert de chaleur par conduction instationnaire aux échelles
macroscopique, microscopique et nano-scopique;
• L’analyse des transferts conductifs avec propriétés thermophysiques variant avec la
température;
• La recherche d’un isolant thermique adapté aux climats tropicaux tels qu’au
Cameroun.
Dans ce mémoire, nous examinons les transferts thermiques par conduction en régime
instationnaire, dans les matériaux poreux. Le transport de chaleur sera modélisé soit par la
loi de Fourier traduisant la diffusion de chaleur aux échelles macroscopiques soit par loi de
Cattanéo-Vernotte caractérisant la propagation de l’onde de chaleur au sein des matériaux
micro et nano structurés.
Pour cette étude, nous formulons les hypothèses principales suivantes :
Les conditions de l’équilibre thermodynamique local sont remplies. Ce qui suppose
que la température de la phase solide est la même que celle de la phase fluide
La conduction thermique dans le milieu poreux est examinée; la convection négligée:
le gaz interstitiel est supposé immobile. On néglige également le transfert radiatif: La
porosité est supposée faible ou moyenne (<70%) et le transfert thermique se fait à
température ambiante.
La géométrie du matériau étudié est supposée plane et le transfert thermique est
unidimensionnel.
Les frontières pouvant être soumises aux grands flux ou aux brèves impulsions
lasers.
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Le travail est organisé autour de trois chapitres.
Le premier Chapitre porte sur la formulation mathématique des transferts conductifs
instationnaires dans un milieu poreux. Nous donnons un aperçu des équations à étudier qui
sont de types parabolique et hyperbolique et qui sont en plus non-linéaires du fait que les
propriétés thermophysiques et les conditions aux frontières dépendent de la température.
Le deuxième C
Chapitre
hapitre est consacré à la résolution des équations de diffusion et de
propagation thermique établies au chapitre précédent. Nous envisageons l’approche
numérique. La méthode des volumes de contrôle est utilisée pour discrétiser les équations de
diffusion et de propagation non-linéaires et les conditions aux limites.
Au troisième C
Chapitre
hapitre nous utilisons les théories développées dans les chapitres
précédents pour analyser le comportement thermique des matériaux. L’influence du type de
matériaux sur le transfert thermique est étudiée. Les résultats obtenus sont présentés.

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CHAPITRE I
TRANSFERT
TRANSFERT CONDUCTIF INSTATIONNAIRE EN MILIEU POREUX
Les objectifs de ce chapitre sont de décrire les mécanismes de conduction thermique aux
échelles macroscopiques et microscopiques, et de les modéliser c’est-à-dire de donner la
formulation mathématique du problème de conduction thermique dans les milieux poreux.
Pour ce faire, nous développons :
• L’équation de base qui traduit les mécanismes du transfert de chaleur dans les
matériaux poreux par conduction en régime instationnaire: L’équation de
conservation de l’énergie.
• Les relations constitutives du flux de chaleur.
• Les conditions aux limites associées.

I-1.EQUATION DE CONSERVATION DE L’ENERGIE
Soit un volume élémentaire d’étude V de notre milieu délimité par une surface ∂V . On
suppose que le volume et sa frontière sont indéformables, fixes, continus et semitransparents au cours du transfert thermique. L’accroissement de l’énergie thermique par
échauffement dans ce volume vaut :

∂Q
dV
QdV = ∫

V
V
∂t
∂t

(I.1)

soit

[

]

[

]

∂

∂

= ∫  ρC p (T )T (r , t )  dV = ∫  C (T )T (r , t )  dV
V ∂t
V ∂t







(I-2)

Q est l' énergie thermique volumique, Q = ρC pT

T la températu re
C p la chaleur massique

ρ la masse volumique
C = ρ C p est la capacité calorifiqu e
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Deux situations peuvent provoquer cet accroissement :
1- La présence d’une source (ou d’un puits) dans le milieu. Mais dans cette étude, nous
supposerons qu’il n’y a pas création d’énergie.
2- L’énergie thermique peut être transportée d’un point du milieu vers un autre du même
milieu que nous considérons dans cette étude.
Le transport est alors caractérisé par le vecteur courant thermique total

. Le flux de

chaleur qui traverse l’élément de volume ∂V s’écrit alors :

∫∫

∂V

− qt ds

(I-3)

Le théorème d’Ostrogradski nous permet d’écrire

∫∫

∂V

− q t ds = ∫ − div ( qt ) dV

(I-4)

V

Le premier principe de la thermodynamique sur la conservation de l’énergie qui s’énonce :

L’augmentation de l’énergie interne au cours du temps (à pression constante) dans un
volume de contrôle du milieu donné, doit être égale à la somme algébrique des énergies
générée (s’il existe des sources d’énergie au sein du milieu) et libérée (sortant) par un mode
donné de transfert thermique à travers la surface qui délimite le volume de contrôle.

L’application de ce principe en supposant qu’il n’y a pas création d’énergie, donne :

[

]

∂

C (T )T ( r , t )  dV = ∫ − div ( q t ) dV
V  ∂t
V





(I-5)

soit



V

[

]

∂

 ∂t C (T )T ( r , t ) + div ( q t )  dV = 0

(I-6)

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La conservation étant vérifiée quelque soit le volume de contrôle considéré, on a:


[C (T )T (r , t )] = −div(qt )
∂t
(I-7)

q t = q c + q r , la densité du flux total

q r est la densité du flux radiatif
q c la densité du flux conductif

En remplaçant le flux total par son expression, on obtient:


[C (T )T (r , t )] = −div(qc + q r )
∂t

(I-8)

soit encore
T

∂C (T )
∂T
+ C (T )
= − div ( qc + qr )
∂t
∂t

(I-9)

Etant donné que la capacité calorifique dépend implicitement du temps puisque la
température dépend du temps, l’équation (I-9) s’écrit encore:

T

∂C (T ) ∂T
∂T
= −div(qc + qr )
+ C (T )
∂T ∂t
∂t
(I-10)

soit
 ∂C (T )
 ∂T
+ C (T ) 
= div(q c + q r )
T
∂T

 ∂t

(I-11)
∂C (T )
T
Dans le cas où le premier terme du membre de gauche
∂T de la relation (I-11) est
négligé devant le deuxième terme C (T ) du même membre, l’équation (I-8) s’écrit aussi:

C (T )

∂T (r , t )
= −div(qc + qr )
∂t

(I-12)

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Les équations (I-8) et (I-12) peuvent finalement s’écrire respectivement:


[C (T )T (r , t )] = −div[qc (r , t )] + S (r , t )
∂t

C (T )

(I-13a)

∂T (r , t )
= −div[qc (r , t )] + S (r , t )
∂t
avec

(I-13b)

r
uur r
S ( r , t ) = − div  qr ( r , t )  est le terme source (radiatif) additionnel

Nous nous intéresserons dans cette étude

aux

équations (I-13) de conservation de

l’énergie. La conservation de l’énergie exprimée par l’équation (I-13a) est très répandue
dans la littérature. L’équation (I-13b), n’est par contre, pas très utilisée dans la littérature
(Murthy et Mathur (1998), Yuen et co-auteurs (2003) et Dorcak et co-auteurs (2010)).
Le problème désormais de cette formulation mathématique est d’expliciter le flux de
conduction q c (r , t ) en fonction de la température T ( r , t ) .

I-2.PROBLEMATIQUE DE LA MODELISATION DES FLUX CONDUCTIFS
La relation liant le flux thermique et le gradient de température est appelée relation
constitutive du flux thermique. Cette relation est très importante en conduction thermique et
est donnée par des formules fondamentales (Wang, et co-auteurs2008). Dans ce paragraphe,
nous examinons le problème de la modélisation du flux de conduction.
I-2.1-MODELE DE FOURIER
Pour un matériau homogène et isotrope, la loi qui traduit l’écoulement de la chaleur
est la loi de Fourier :
r r
r
qc (r , t ) = −k ∇T (r , t )

(I-14)

k est la conductivi té thermique du milieu.
La conductivité thermique du matériau est une propriété de l’état thermodynamique

et de ce point de vue k devrait être une fonction de deux propriétés dynamiques intensives
et indépendantes : Température (T ) et la Pression (P ) . Nous considérons que la conductivité
thermique du milieu varie avec la température, la pression étant supposée constante.
k = k (T , P ) = k (T )

(I-15)

La relation de Fourier, équation (I-14) devient par conséquent

r r
r
qc (r , t ) = −k (T )∇T (r , t )

(I-16)

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Ce modèle de Fourier est très adapté pour des systèmes de grandes dimensions de l’ordre
du mètre et dont le comportement thermique est appréhendé sur des temps longs (l’ordre
des secondes). Cependant, deux problèmes ont révélé que ce modèle présentait des limites :
1. Le problème du « second son » étudié pour la première fois par Tisza et par la suite
par Landau (Joseph et Preziosi, 1989). Tisza dans ses travaux sur l’hélium II superfluide,
parvient à obtenir une vitesse finie quoique faible d’une onde thermique. Landau

a

développé dans sa théorie de l’hélium II fluide, deux vitesses. L’une était celle du son
ordinaire et l’autre celle du l’onde thermique qu’il baptisa « second son ». Le problème s’est
alors posé de savoir si une telle onde pouvait exister dans les solides et surtout la manière
de la décrire. Beaucoup de travaux théoriques et expérimentaux ont été mené sur la question
(Glass et co-auteurs, 1986; Joseph et co-auteur, 1990; Ji et co-auteurs, 2000; Rahideh et coauteurs, 2011). On parvint à établir que dans le solide, l’énergie est transportée par deux
mécanismes conductifs différents :
• Les excitations électroniques quantifiés qui sont appelées électrons libres.
• Les quantas de vibrations longitudinales, internes du solide que l’on appelle
« phonons ».
Marvin Chester (1963) se préoccupant de déterminer la fréquence à partir de laquelle cette
onde prenait naissance dans le solide établit que le rapport des carrées des vitesses de
l’onde thermique (s) et du son ordinaire ( s0 ) doit être constant et donné par la relation :

1
s 2 = s02
3

(I-17)

2. L’autre problème qui a remit en cause le modèle de Fourier est celui de la vitesse
infinie de propagation de la chaleur que ce modèle prédit. En effet, la loi de Fourier prévoit
que si une soudaine perturbation de température est appliquée en un point du milieu, c’est
instantanément que cela sera ressenti partout au sein du milieu même à des distances
infiniment éloignées de la source où la perturbation a pris naissance. Faits physiquement
irréalistes et inconcevables car n’intégrant pas les effets de la relaxation thermique ou
encore d’inertie thermique. En effet les quanta de vibrations et les électrons, responsables
du transfert thermique par conduction, à la suite d’une excitation thermique font place à des
nombreuses collisions de nature dissipatives, faisant ainsi croître la résistance thermique du
milieu. Le temps moyen de communication entre ces collisions s’appelle le « temps de

relaxation thermique » du milieu. Ce problème a été soulevé pour la première fois par
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Cattanéo en 1948, examiné par Morse et Feshbach au même moment mais cependant
séparément, en 1953 et puis par Vernotte en 1958 (Joseph et Preziosi, 1989). La résolution
de ces problèmes, a consisté à apporter des corrections à la loi de Fourier.

I - 2.2 - MODELE DE CATTANEOCATTANEO-VERNOTTE(CV)
Pour prendre en compte les limitations de la loi de Fourier, Cattanéo et Vernotte ont
proposé l’écriture du flux conductif suivant la relation:

[

r
∂ qc (r , t )
r
q c (r , t ) + τ (T )
= −k (T ) ∇T (r , t )
∂t

]

(I-18)

avec

τ le temps thermique caractéristique de l’onde de chaleur
encore appelé temps de relaxation thermique du milieu.

Le temps de relaxation caractérise le retard causé par les nombreuses collisions et
interactions (électron-phonon, phonon-phonon) survenues au niveau microscopique, à la
suite des rapides et importantes transitions des états thermodynamiques du milieu,
lesquelles ont freiné la propagation de l’onde de chaleur (Kar et co-auteurs, 1992; Qiu et coauteurs, 1994a ; Antaki, 1997. Herwig et Beckert, 2000. Antaki, 2005. Zeng et co-auteurs,
2010. Haji et co-auteurs, 2011). Telle est bien le sens du concept de l’inertie thermique
rencontrée plus haut qui contraste avec l’idée d’instantanéité avancée par la loi de Fourier.
Cependant, bien que ce modèle permet de prendre en compte les limites du modèle de
Fourier, il n’est pas adapté pour décrire une onde thermique dans les milieux en mouvement
où il faut introduire la dérivée particulaire et s’assurer que le principe de la relativité
galiléenne est respectée (Christov et co-auteur, 2005; Cheng et co-auteurs, 2008).

I - 2.3NON-- FOURIER
2.3 - GENERALISATION DES MODELES NON
En considérant le modèle CV, équation (I-18) on peut remarquer que le membre de
gauche constitue une approximation au premier ordre du développement en série Taylor du
flux conductif. De ce fait, l’équation (I.18) peut s’écrire (Wang et co-auteurs 2008; Ramadan
et co-auteurs 2009; Ordoñez et co-auteur 2010).
r r
r
qc ( r , t + τ q ) = −k (T )∇T ( r , t )

(I-19)

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Ce modèle est dit à Simple Retard de Phase (SRP). La relation (I-19) signifie que le gradient
r
de température établit au point r à l’instant t accroît le flux thermique au même point mais
à l’instant t + τ q plus tard. Ce modèle permet de décrit les effets transitoires rapides (ou
encore les effets du transport thermique à faible échelle dans le temps) mais il ne prend pas
en compte les interactions au niveau de la micro-structure du milieu (ou encore les effets du
transport thermique à faible échelle dans l’espace). En effet, selon le modèle CV, le gradient
de température est toujours la cause tandis que le flux thermique, est la réponse (Brorson et
co-auteurs, 1987; Qiu et co-auteurs, 1994b; Tzou ,1995). Afin de modéliser aussi les cas où
les flux thermiques provoquent les gradients de température avec une réponse du milieu
non-instantanée, dans une même relation constitutive du flux, Tzou introduit en 1992 un
deuxième retard de phase.
r r
r
qc (r , t + τ q ) = −k (T )∇T ( r , t + τ T )

(I-20)

avec
τ q est le retard de phase du flux therm ique

τ T est le retard de phase du gradient de température
Ainsi, dans le cas oùτ q f τ T , le flux thermique (effet) qui s’établit au sein du milieu résulte
de gradient de température (cause). Tandis que pour τ q p τ T , le flux thermique (cause)
induit le gradient de température (effet). La signification physique de la relation (I-20) est
r
alors la suivante : le gradient de température qui se produit au point r du milieu à l’instant

t + τ T correspondant au flux thermique au même point à l’instant t + τ q lorsque la
conservation de l’énergie thermique est réalisée au même point à l’instant t .

Ainsi, en

théorie ondulatoire de la conduction thermique, les mécanismes d’interaction entre les
photons et les électrons d’une part et de diffusion des photons (en milieu diélectrique)
d’autre part, nécessitent un temps fini pour se produire. Ces différents phénomènes à
l’échelle microscopique sont responsables de retards de phase observés à l’échelle
macroscopique (Tzou, 1995). Notons que les temps de relaxation τ q et τ T

sont des

propriétés thermiques intrinsèques au même titre que la conductivité et la diffusivité
thermique. En supposant que τ q ,τ T pp t le développement en série de Taylor de l’équation
(I-20) donne:

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r r
r r
2
τ qn (T ) ∂ n qr (rr , t )
r r
∂q (r , t ) τ q (T ) ∂ 2 q (r , t )
q (r , t ) + τ q (T )
+
+−−−+
∂t
∂t 2
n!
∂t n
2
=
r
r
r
τ Tn (T ) ∂ n [k (T )∇T (r , t )]
r
∂[k (T )∇T (r , t )] τ T2 (T ) ∂ 2 [k (T )∇T (r , t )]
− {k c (T )∇T (r , t ) + τ T (T )
+
+−−−+
}
∂t
n!
2
∂t 2
∂t n
(I-21)

En limitant le développement à l’ordre un. Nous avons la relation constitutive du flux
suivante:

r r
r

r r
r
∂q (r , t )
∂[k (T )∇T (r , t )] 
q (r , t ) + τ q (T )
= − k (T )∇T (r , t ) + τ T (T )

∂t
∂t


22)

(I-

Dans cette étude, nous nous préoccupons des milieux poreux supposés fixes (immobiles).
En posant τ T = 0 et τ q = τ , on retrouve l’équation (I-18) du modèle de CV tandis qu’en
posant τ T = τ q = 0 , on retrouve la loi de Fourier (I-16).

I-3-DEVELOPPEMENT DE L’EQUATION DE CONSERVATION
Reconsidérons l’équation (I-22) et supposons que les temps thermiques de relaxation
ne varient pas considérablement avec la température. En la reportant dans les équations (I13a) et (I-13b) on a donc, respectivement:

τ q (T )
=

∂2
∂[C (T )T (r , t )]
[C (T )T (r , t )] +
2
∂t
∂t

r
∂{∇[k (T )∇T (r , t )]}
∂S (r , t )
∇[k (T )∇T (r , t )] + τ T (T )
+ S (r , t ) + τ q (T )
∂t
∂t
(I-23a)

τ q (T )

∂
∂T (r , t ) 
∂T (r , t )
C (T )
 + C (T )
∂t 
∂t 
∂t

=
∇[k (T )∇T (r , t )] + τ T (T )

{

}

r

∂S (r , t )
∇[k (T )∇T (r , t )] + S (r , t ) + τ q (T )
∂t
∂t
(I-23b)

Ces équations constituent les formes généralisées encore appelées formes unifiées des
transferts thermiques. Ces équations peuvent être du type parabolique c'est-à-dire de
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14

diffusion thermique ou hyperbolique c'est-à-dire de propagation thermique. Nous traitons
dans ce mémoire de ces deux types de problèmes de conduction.

I-3.1-PROBLEMES DE DIFFUSION THERMIQUE
Nous examinons les transferts thermiques dans les milieux de grandes dimensions
pour de temps considérablement long. Dans ce cas, les équations (I-23) paraboliques de
diffusion thermique ou équations de Fourier ( τ q = τ T = 0 ) s’écrivent respectivement alors :


[C (T )T (r , t )] = ∇{k (T )∇[T (r , t )]} + S (r , t )
∂t

C (T )

∂T (r , t )
= ∇{k (T )∇[T (r , t )]} + S (r , t )
∂t

(I-24a)

(I-24b)

Dans le cas d’une géométrie plane les équations (I-24) prennent alors respectivement les
formes:
∀t > 0

,

0< y<L


∂ 
∂T ( y, t ) 
[C (T )T ( y, t )] = k (T )
+ S ( y, t )
∂t
∂y 
∂y 

C (T )

∂T ( y, t ) ∂ 
∂T ( y, t ) 
= k (T )
+ S ( y, t )
∂t
∂y 
∂y 

(I-25a)

(I-25b)

L’équation (I-25a) est l’équation de diffusion de l’enthalpie tandis que (I-25b) est l’équation
de diffusion de la température.

I-3.2-PROBLEMES DE PROPAGATION DE L’ONDE THERMIQUE
Nous examinons également les transferts thermiques dans les milieux de grandes
dimensions pour des temps très courts, les équations convenables dans ce cas sont du type
hyperbolique et traduisent la propagation de l’onde thermique ( τ T = 0 et τ q = τ ). Dans la
suite nous supposons que le temps thermique de relaxation ne varie pas considérablement
avec la température.

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τ (T )

[

] [

] [

]

∂2

∂S (r , t )
C (T )T (r , t ) + C (T )T (r , t ) = ∇ k (T )∇[T (r , t )] + S (r , t ) + τ (T )
2
∂t
∂t
∂t
(I-26a)

τ (T )

[

]

∂
∂T (r , t ) 
∂T (r , t )
∂S (r , t )
= ∇ k (T )∇[T (r , t )] + S (r , t ) + τ (T )
C (T )
 + C (T )
∂t 
∂t 
∂t
∂t

(I-26b)
Dans le cas d’une géométrie plane donc monodimensionnelle les équations (I-26) prennent
alors respectivement les formes:
∀t > 0

τ (T )

,

[

0< y<L

] [

]

∂2

∂ 
∂T ( y, t ) 
∂S ( y, t )
C (T )T (r , t ) + C (T )T (r , t ) = k (T )
+ S ( y, t ) + τ (T )

2
∂t
∂y 
∂y 
∂t
∂t
(I-27a)

τ (T )

∂
∂T ( y, t ) 
∂T ( y, t ) ∂ 
∂T ( y, t ) 
∂S ( y, t )
C
(
T
)
+
C
(
T
)
=
k
(
T
)
+ S ( y, t ) + τ (T )




∂t 
∂t 
∂t
∂y 
∂y 
∂t
(I-27b)

L’équation (I-27a) est l’équation de propagation de l’enthalpie tandis que (I-27b) est
l’équation de propagation de la température. Il est important de noter que l’équation (I-27a)
découle de l’utilisation de l’équation (I-13a) et l’équation (I-18). L’équation (I-27b) quant à
elle, est utilisée pour les cas non-Fourier aux propriétés variant avec la température.
Pakdemirli et Sahin (2005) ont modélisé la conduction hyperbolique à propriétés thermique
variant avec la température à partir de l’équation (I-27b).

I.4I.4 - CONDITIONS AUX LIMITES
Pour fermer les problèmes de diffusion et propagation thermiques, il reste d’écrire les
conditions aux limites spatiale et temporelle. Nous considérons un mur d’épaisseur L
soumises soit aux températures imposées, soit aux flux imposés, soit enfin à la convection.
Nous envisageons dans tous ces cas, la possibilité pour les conditions aux frontières de
varier avec le temps sous forme d’impulsions thermiques ou non.

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I.4I.4 - 1 TEMPERATURES IMPOSEES
Nous étudierons les problèmes de conduction lorsque les températures sont imposées
aux frontières du mur: ce sont les conditions de Dirichlet. Cette condition correspond à celle
de la méthode expérimentale des plaques chaudes gardées, très utilisées dans la littérature du
fait de sa simplicité.

T ( y = 0, t ) = T0 (t )

(I-28a)

T ( y = L , t ) = T L (t )

(I-28b)

I.4I.4 - 2 FLUX IMPOSES
En fait, l’hypothèse des températures Imposées présente un inconvénient car la
détermination des températures de surface est délicate et peu précise et parfois même
impossible à réaliser. Les conditions de Dirichlet sont alors souvent remplacées par les
conditions de flux, qui nécessitent la connaissance de lois simulant le comportement
thermique du milieu extérieur au système thermique étudié. Le problème de conduction que
l’on désire traiter ici, est celui d’un matériau plan soumis à deux types de conditions de flux:

I.4CONVECTION
I.4 - 2 - 1 CONVECT
ION AUX FRONTIERES
Aux frontières du mur, le flux total q ( y , t ) est la somme de deux flux: le flux de
convection et le flux de rayonnement. Ce qui s’exprime à travers les formules suivantes :

q( y = 0, t ) = h0 (T0 )(T f ,o (t ) − T0 )

(I-29a)
(I-29b)

q ( y = L , t ) = h L (T L )(T L − T f , L (t ))

avec hi (T ) le coefficient global d’échange convectif incluant à la fois la
convection proprement dite et le rayonnement thermique.
h i = hconv ,i + hr ,i

(I-30)


h conv,i

est le coefficient d’échange par convection

hr ,i (T ) est le coefficient d’échange radiatif donné par la relation

suivante :
hr ,i (T ) = σε i (T + T f ,i )(T 2 + T f2,i )

σ est la constante de Boltzmann.
ε i émissivité de la frontière considérée
i désigne la frontière considérée
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La convection aux frontières est très adaptée à l’isolation thermique des bâtiments,
des murs d’un four ou des chambres à combustion où les deux faces du matériau y = 0 et
y = L sont en contact avec des ambiances de températures respective T f ,o et T f , L .

Les

échanges surfaciques entre paroi et ambiance sont caractérisés par des coefficients
d’échange global convectif variant avec la température h0 (T ) et hL (T ) .

I.4-- 2 - 2 FLUX AUX FRONTIERES
I.4

q( y = 0, t ) = q0 (t )
q( y = L, t ) = q L (t )

(I-31a)
(I-31b)

Ce type permet de modéliser à la fois le régime permanent aux frontières
(les flux de conduction sont constants), l’isolation thermique des frontières, on
parle également de frontières adiabatiques (flux nuls) et les impulsions laser
(pulses) dans le traitement des matériaux.

I.4I.4 - 3 CONDITIONS MIXTES
Elles s’obtiennent en combinant deux quelconques des types de conditions présentés
aux paragraphes I.4-1 – I.4-2.

I.4INITIALES
I.4 - 4 CONDITION IN
ITIALES
Les conditions initiales des problèmes sont données par :

t =0

0< y<L

T ( y, t ) = Ti
∂T ( y , t )
=0
∂t

(I-32a)
(I-32b)

Dans le cas du problème de diffusion, seule la condition initiale (I-32a) est considérée.

I-5- PROPRIETES THERMOPHYSIQUES
Afin de résoudre les équations de conduction, les propriétés du matériau doivent être
connues. Il n’est donc pas superflu de présenter quelques unes de ces propriétés. Par
exemples la conductivité thermique, la capacité calorifique, la diffusivité thermique et le
temps de relaxation thermique. En effet, la connaissance de la conductivité thermique encore
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appelée conductivité phonique complète la connaissance du flux conductif. Elle est
généralement donnée par des lois empiriques moyennant: la conductivité thermique de la
matrice solide et de la conductivité thermique du gaz. Elle dépend aussi de la porosité et de la
masse volumique des différentes phases. La capacité calorifique ( C ) quant à elle est une
donnée nécessaire à la modélisation du transfert thermique en régime transitoire. Nous
donnons dans les paragraphes qui suivent les propriétés des grands groupes de matériaux
poreux que nous examinerons.
I-5.1- MATERIAUX EN FIBRES DE SILICE
Les milieux fibreux de verre ont des fibres orientées soit dans l’espace soit suivant une
direction.

Figure II-1: fibre de silice (Asllanaj, 2001)

CONDUCTIVITE THERMIQUE

Dans le cas d’un milieu de fibre de verre répartie aléatoire dans l’espace, Houston et Korpela
évaluent la conductivité thermique phonique par la relation:
k = 4 .98 × 10 −3 + 7 × 10 −5 T + 8 .55 × 10 −5 ρ m



(I-33)

ρ m est la masse volumique du milieu fibreux.

Dans la relation précédente, la conductivité de l’air est donnée par une relation linéaire et
représentée par les deux premiers termes, le troisième étant la conductivité de la phase
solide. Banner et co-auteurs (Asllanaj, 2001; Kamdem, 2008), proposent la formule suivante
pour la conductivité thermique dans les milieux fibreux de verre:
k = ( 0 .2572 × T 0.81 + 0 .0527 × ρ m (1 + 0 .13 × 10 −2 × T ))10 −3

W.m -1 .K -1

(I-34)

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CAPACITE CALORIFIQUE

Nous nous intéressons aux propriétés de la fibre de silice (Asllanaj, 2001).
La masse volumique des fibres de silice pure est:

ρ m = 2200 Kg / m 3

La capacité calorifique du matériau est supposée constante et donnée par: C p = 670 J / Kg .K

I-5.2 MOUSSE DE POLYSTYRENE EXTRUDE

Figure I-2:Image MEB d’un échantillon de mousse de polystyrène extrudé (Kaemmerlen,
2009)
CONDUCTIVITE THERMIQUE

Nous prenons dans ce cas l’exemple d’un matériau dont la conductivité dépend de celle des
phases solides et gazeuses. Nous considérons alors la relation de Leach (Kaemmerlen, 2009).

2
k = γk g + k p (1 − γ ) χ
3


(I-35)

χ est un facteur compris entre 0 et 1.
γ est la porosité définie par la relation
ρ
γ = 1− m
ρ0

(I-36)

ρ m est la densité volumique apparente de la mousse ou du solide
ρ 0 est la densité du polystyrène dense
k p est la conductivi té du polymère.

kg représente la conductivi té du gaz

kg (T) = aT3 + bT 2 + cT + d
,

(W.m -1.K -1 )

(I-37)

,

,

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Dans le cas d’un milieu poreux constitué de fibre de verre repartie dans l’air, Hass et coauteurs (1997) montrent que la conduction à travers les gaz est de l’ordre de 30-80% tandis
que la conduction solide est de l’ordre de moins de 10% à température ambiante. Dans le
cadre de notre étude, nous supposons que les conductivités des mousses sont du même
ordre de grandeur. La conduction du polymère est alors négligeable devant celle des gaz. Ce
qui justifie que nous prendrons χ = 0 .
CAPACITE CALORIFIQUE

La masse volumique de la mousse de polystyrène dense est donnée par ρ 0 = 1050kg / m 3
Tandis que sa chaleur massique à pression constante est donnée par la loi affine suivante:

C P (T ) = 4 ×10 −3 T + 1,216( J / kg.K )

(I-38)

I-5.3-FIBRES DE BOIS

(7a)

(7b)

Figure I-3:Examen au MEB de la structure de la fibre de raphia hookeri. (7a) face externe, (7b)
face interne (Elenga et co-auteurs, 2006).



CONDUCTIVITE THERMIQUE

Nous allons nous intéresser également dans ce travail aux fibres de raphia de Hookeri essence
de bois encore mal connue du point de vue de caractérisation thermique (Elenga et coauteurs, 2006). Nous allons simuler le comportement thermique de ce matériau à partir
d’une autre essence de la même famille: le hiba étudié par Toshiro (1998), dont la
conductivité thermique est donnée à l’air ambiant par la formule:
k = 0.00249 + 0.000145 ρ + 0.000361T

(W.m -1.K -1 )

(I-39)

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CAPACITE CALORIFIQUE

Nous utilisons comme au paragraphe I-5.1-3, la formule de Toshiro (1998) de la
capacité calorifique du hiba donnée par la relation à l’air ambiant:
C p = 1200 + 2,45 × T ( J / Kg .K )

(I-40)

I-5.4-DIFFUSIVITE THERMIQUE
La diffusion thermique caractérise la vitesse avec laquelle la chaleur diffuse dans un
système donné. Elle est définie par la formule suivante:

α (T ) =

k
( m2 / s )
ρC p

(I-41)

avec
k est la conductivité thermique du milieu poreux définie plus haut
C est sa capacité calorifiqu e

Cependant la diffusivité thermique α est presque toujours supposée constante dans la
littérature (Kar et coauteurs, 1992. Toshiro, 1998. Pakdemirli et co-auteur, 2005. Amar et
co-auteurs, 2008).

I-5.5-TEMPS THERMIQUE DE RELAXATION
Dans le modèle à Un Seul Retard de Phase (SRP) où modèle amélioré de CV, les
phénomènes de transfert thermiques sont extrêmement sensibles non seulement aux
grandeurs de chaque paramètre temporel (les deux temps de relaxation) mais aussi à la
grandeur relative des deux à la fois. Par conséquent, la détermination des temps de retard
devient impérative pour décrire les transferts thermiques par conduction dans les milieux
poreux (Ordônez et co-auteurs, 2010). Mais en modélisant la conduction par les équations
de diffusion thermique et de propagation de l’onde thermique, seul τ (T ) nous intéressera.
Le temps de relaxation thermique τ est défini par la relation (Wang et co-auteurs 2008):

τ (T ) =

α

( seconde)
s2
avec
α est la diffusivit é thermique du milieu donnée en m 2 s
s est la célérité de l' onde thermique dans le milieu m s .

(I-42)

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I-6-PROBLEMES THERMIQUES A PROPRIETES THERMOPHYSIQUES VARIABLES
En science ou en ingénierie des matériaux, les lasers sont de plus en plus utilisés pour
réaliser des essais thermiques des matériaux. Ceci, en raison du fait qu’avec cet outil, il est
possible de chauffer le matériau de manière très localisée aussi bien dans l’espace que dans
le temps avec une meilleur précision comparée à celle des dispositifs d’autre fois (Tzou et
Chiu, 2001). Les importants gradients de températures générés au sein du milieu poreux
par ces sources intensives (lasers), modifient de manière significative ses propriétés
électriques, mécaniques et thermiques. Pour comprendre en particulier le comportement
thermique d’un milieu, il faut considérer ses propriétés thermiques (la conductivité
thermique, la capacité calorifique, la diffusivité thermique et le temps de relaxation
thermique) comme des fonctions de la température et même dans certains cas comme des
fonctions du temps et de la position. Mais ces propriétés thermophysiques ne sont pas toutes
à la fois sensibles aux variations de la température. On peut donc envisager les combinaisons
des problèmes suivants de conduction thermique à propriétés variables:
a) Toutes les propriétés sont variables.
* k = k (T )

C = C (T )

τ = τ (T )

(I-43a)

b) Une des propriétés est constante

* k = k (T )

C = C (T )

τ = τ ref

* k = k (T )

C = C ref

τ = τ (T )

* k = k ref

C = C (T )

τ = τ (T )

(I-43b)
(I-43c)
(I-43d)

c) Deux des propriétés sont constantes
* k = k (T )

C = C ref

τ = τ ref

* k = k ref

C = C ref

τ = τ (T )

* k = k ref

C = C (T )

(I-43e)
(I-43f)

τ = τ ref

(I-43g)

τ = τ ref

(I-43h)

d) Toutes les propriétés sont constantes.
* k = k ref

C = C ref

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Les problèmes de conduction thermique de type a) ne sont presque pas étudiée dans la
littérature, tandis que ceux à combinaison de type b) et c) le sont de plus en plus, surtout
numériquement. Le type d), de propriétés constantes est intensément étudié aussi bien
analytiquement que numériquement.

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CONCLUSION
Nous avons présenté l’équation de conservation de la chaleur, dans les matériaux
poreux en régime instationnaire. Nous avons aussi discuté de la modélisation du flux
conductif. Il en découle que dans les modèles macroscopiques, l’utilisation de la loi de
Fourier est l’approche adéquate tandis qu’à des échelles microscopiques, les modèles nonFourier tel que le modèle CV semblent adaptés. La combinaison de l’équation de Fourier (I18) et de l’équation de conservation conduit à deux équations distinctes traduisant
respectivement la diffusion de l’enthalpie et de la température. De même l’introduction de
l’équation de Cattanéo-Vernotte permet d’obtenir deux équations d’onde de chaleur. La
première (I-27a) fortement non-linéaire et caractérise la propagation de l’enthalpie. La
deuxième (I-27b) traduit la propagation de la température. Une hypothèse de géométrie
plane a été introduite dans notre travail afin d’obtenir les équations simplifiées. La
résolution de ces équations, constituent l’objet du chapitre suivant.

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CHAPITRE II
RESOLUTION DES EQUATIONS DE DIFFUSION
ET DE PROPAGATION THERMIQUE
Les équations de diffusion et de propagation établies au chapitre précédent sont des
équations non-linéaires à cause du fait que les propriétés thermophysiques: la capacité
calorifique C , la conductivité thermique k et le temps de relaxation thermique τ , varient avec
la température. Pour pouvoir résoudre ces équations, nous envisageons une approche
numérique qui permettra de modéliser les problèmes de conduction thermique non-linéaires
au sein d’un milieu fini. Nous pourrons ainsi voir les différences entre les formes discrétisées
des équations de diffusion de l’enthalpie et de la température d’une part et des équations de
propagation de l’enthalpie et de la température d’autre part. Nous procédons ici par la
méthode des volumes de contrôle pour discrétiser les équations

de diffusion et de

propagation non-linéaires, obtenant ainsi un système algébrique susceptible d’être résolu par
une méthode itérative.
Les objectifs du chapitre sont alors les suivants :
• Discrétiser les équations de diffusion et de propagation non-linéaires.
• Discrétiser les conditions aux limites du problème.
• Discrétiser les propriétés aux interfaces du volume de contrôle.
• Développer l’algorithme de résolution des problèmes de conduction thermique. Nous
traitons dans la suite des problèmes de conduction sans terme source.

IIII-1 METHODE DES VOLUMES DE FINIS / CONTROLES
La méthode des volumes de contrôle a pour objectif d’obtenir un système discrétisé,
gardant sous sa forme discrétisée la propriété de conservation de l’énergie. Le principe de
cette méthode est de subdiviser le domaine de calcul en un ensemble de petits volumes finis
« juxtaposés ». Le centre de chaque élément représente un « nœud ». Le maillage est tel que
deux volumes distincts n’ont en commun qu’une seule face. Les équations de conduction (de
type parabolique et hyperbolique) sont alors intégrées à l’intérieur de ces volumes. Cette
méthode est expliquée dans la littérature (Patankar (1980); Beckermann et Smith (1993);

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Doermann (1995)). Nous présentons dans ce paragraphe quelques unes de ses principales
articulations.

IIII-1.1 DISCRETISATION SPACIALE
Pour le problème de géométrie plane monodimensionnelle, nous avons supposé que les
épaisseurs du volume dans les directions x et z sont unitaires. Ainsi le volume de contrôle a
un volume :

∆v = 1×1× ∆y
avec

∆y =

L
M

(II-1)
L étant la longueur du milieu
M le nombre de volume de contrôle du maillage
Nous avons considéré un maillage régulier. Dans ce cas, les faces des volumes de contrôle se
trouveront à mi-distance entre les deux nœuds voisins, alors qu’elles ne le sont pas dans le
cas d’un maillage irrégulier. On utilisera des nœuds sur les contours extérieurs de notre
domaine (plan et monodimensionnel). Ces nœuds coïncident avec des faces des volumes
adjacents. Il s’agit de volume de contrôle de dimension nulle sur les frontières. Les nœuds E
(East) et W (West), sont les nœuds voisins du nœud P. Les faces e et w délimitant le volume
de contrôle centré en P sont situées entre ces nœuds comme le montre la Figure II-1

δy w
δ yw



δy w

W

δy e
δyw



∆y

w

δy e +

δye−

P

e

E

Figure IId’un élément de volume de contrôle dans le maillage
II-1:Délimitation
1:

IIII-1.2 DISCRETISATION TEMPORELLE
Le temps transitoire du déroulement du transfert thermique par conduction est
subdivisé en un nombre finis d’intervalle de temps égaux et constant, selon le schéma cidessous.

∆t =

TEMPS
N

∆t est le pas de temps

(II-2)

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N est le nombre d' intervalle de temps considéré
TEMPS est le temps transitoire du déroulement du transfert thermique
Le maillage temporel peut être représenté par la figure ci-dessous

t − 2∆t

t − ∆t

t + ∆t

t

t + 2∆t

Figure IIII-2: pas de temps
Il existe plusieurs formules de discrétisation dont les principales sont: le schéma explicite, le
schéma implicite et schéma combiné de Crank-Nicolson. Toutes pouvant être déduites à
partir de la formule générale suivante:
t + ∆t

∫ T{

dt = fT{Wt +,∆Pt , E } + (1 − f )T{Wt , P , E }

W ,P,E}

t

(II-3)

f ∈ [0,1]
Losrque

f = 0, le schéma est explicite
f = 0.5, le schéma est celui de Crank - Nicolson
f = 1, le schéma est implicite

Dans cette étude nous utilisons le schéma implicite, inconditionnellement plus stable et
permettant d’éliminer les oscillations observées, des solutions numériques, pour des grands
pas de temps (Patankar (1980), Donovan (2010)).

II-2 DISCRETISATION DES EQUATIONS DE CONSERVATION DE L’ENERGIE
II-2.1 EQUATIONS DE DIFFUSION
Les équations de diffusion s’écrivent :
∀t > 0

,

0< y<L

∂[C (T )T ( y, t )] ∂
∂T ( y, t )
= [k (T )
]
∂t
∂y
∂y
C (T )

∂T ( y, t ) ∂
∂T ( y, t )
= [k (T )
]
∂t
∂y
∂y

(II-4a)

(II-4b)

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II-2.1.1 NŒUDS INTERNES DU MAILLAGE
En intégrant le premier membre de (II-4a) dans le volume de contrôle, on a :
e t + ∆t

∫∫

w t

 ∂[C (T )T ] 
t + ∆t t + ∆t
t t

dtdy = C TP − C TP ∆y

t



[

]

(II-5a)

L’intégration du premier membre de (II-4b) donne :
e

∫∫

t + ∆t

w t

e

∫∫

t + ∆t

w t

t + ∆t
e 
t + ∆t
∂T 
∂T 
∂C (T ) 

dt  − ∫ T
dt  dy
 C(T) dtdy = ∫w  C (T ) ∫
t
∂t 
∂t  t
∂t




[

]

∂T 

t + ∆t
t
 C(T) dtdy = C (TP − TP ) ∆y
∂t 


(II-5b)

{

}

La capacité calorifique C peut s’écrire suivant la relation C = C (TPt + ∆t ), C (TPt )

ou peut

encore être évaluée à partir d’une moyenne (arithmétique, harmonique ou géométrique)
comme on le verra au paragraphe II-2.4
Le second membre de (II-4a) et (II-4b) s’écrit lorsqu’on l’intègre dans le volume de
contrôle :



t + ∆t

t

 TEt + ∆t − TPt + ∆t
 ∂ 
TPt + ∆t − TWt + ∆t 
∂T  


k
(
T
)
dtdy
=
k

k
 e
w
 ∆t
∫w  ∂y  ∂t  
δy e
δy w


e

(II-6)

Donc (II-4a) et (II-4b) deviennent respectivement après discrétisation et arrangement des
termes:


k  k
k
∆y k e
∆y t t
TPt + ∆t C t + ∆t
+
+ w  = e TEt +∆t + w TWt + ∆t +
C TP
∆t δy e δy w  δy e
δy w
∆t


(II-7a)

 ∆y k e
k  k
k
∆y
TPt + ∆t C
+
+ w  = e TEt + ∆t + w TWt + ∆t +
CTPt

t
δ
y
δ
y
δ
y
δ
y

t
e
w
e
w


(II-7b)

Les équations (II-7a) et (II-7b) étant sous la forme:
a P TPt + ∆t = a E T Et + ∆ t + aW TWt + ∆ t + b

(II-8)

on détermine alors par identification les coefficients a E , a P , aW et b dans les cas (II-4a) et (II4b) respectivement:

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29

a P = C t + ∆t
aE =
aW =

k
k
∆y
+ e + w
∆ t δy e δy w

aP = C

k
k
∆y
+ e + w
∆ t δy e δy w

ke

ke

aE =

kw
δy w

aW =

kw
δy w

b=C

∆y t
TP
∆t

δye

b = Ct

∆y t
TP
∆t

(II-9a)

δy e

(II-9b)

II-2.1.2 NŒUDS SUR LES CONTOURS EXTERNES DU MAILLAGE
II-2.1.2a Températures imposées
Les Températures aux frontières dans ce cas sont connues et données par les équations (I27) du chapitre précédent. En les mettant sous la forme (II-8), les coefficients aussi bien en
x=0 (j=1) qu’en x=L (j=M) s’écrivent respectivement:

a1 = 1

aM = 1

a2 = 0

a M +1 = 0

a −1 = 0

a M −1 = 0

t + ∆t
1

b =T

b = TMt + ∆t (II-10b)

(II-10a)

II-2.1.2b Flux imposés
Dans le cas du flux imposés les températures ne sont pas connues il faut donc les
déterminer. Pour cela, deux possibilités théoriquement équivalentes sont envisageables. La
première consiste à discrétiser les équations de conservation de l’énergie aux frontières, la
deuxième quant à elle consiste à discrétiser la relation constitutive du flux aux frontières. On
se propose d’examiner en procédant selon les deux possibilités. Nous commençons par
développer les équations de conservation. Par la suite, nous étudierons les relations
constitutives du flux thermique aux frontières de notre système.

δy M −1 2 = ∆y

δy1 2 = ∆y

q L (t )

q0 (t )
12

1

2

M −1

M −1 2

M

∆y 2

∆y
2

Figure IIII-3 : flux instationnaires aux frontières du domaine

HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science, Option physique,, Spécialité Mécanique-Energétique/2012
Laboratoire de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques, Université de Dschang
30

CAS DES EQUATIONS DE CONSERVATION
Nous reprenons quelques unes des étapes développées plus haut pour les nœuds
internes. En effet, à l’extrémité gauche du maillage, on a, en intégrant le premier membre de
(II-4a) dans le demi-volume de contrôle (Fig. II-3).
 ∂ (C (T )T ) 
t + ∆t t + ∆t
t t ∆y

dtdy = C T1 − C T1
∂t
2



[

1 2 t + ∆t

∫ ∫
1

t

]

(II-11a)

Tandis que le premier membre de (II-4b) donne :
12

∫ ∫
1

[

]

∂T 
∆y

t + ∆t
t
 C(T) dtdy = C (T1 − T1 )
∂t 
2


t + ∆t

t

(II-11b)

Le second membre de (II-4a) et (II-4b) s’écrit lorsqu’on l’intègre dans les demi-volumes de
contrôle aux extrémités gauche et droite respectivement:

t + ∆t 1 2

∫ ∫
t



t + ∆t

t

1

 T t + ∆t − T t + ∆t  ∂T  t + ∆t 
 ∂ 
∂T  
1
 k (T )  dtdy = k1 2 2
  ∆t
−  k
δ

y

t
y


 
 ∂y 1 
12

 ∂T  t + ∆t
∂ 
TMt + ∆t − TMt +−∆1t 
∂T  




k
(
T
)
dtdy
=
k

k

 ∆t
M −1 2
∫M-1 2  ∂y  ∂t  


δy M −1 2 
 ∂y  M

(II-12)

M

(II-13)

or


∂T 

q0 (t ) = − k (T )
∂y  y =0


∂T 

q L (t ) = − k (T )
∂y  y = L

Substituant ces équations dans (II-12) et (II-13), on obtient:
t + ∆t 1 2

∫ ∫
t



t + ∆t

t

1

 T t + ∆t − T1t + ∆t

∂ 
∂T  
 k (T )  dtdy = k1 2 2
+ q1t + ∆t  ∆t
∂t  
δy1 2


 ∂y 

 t + ∆t
∂ 
TMt + ∆t − TMt +−∆1t 
∂T  
∫M −1 2  ∂y k (T ) ∂t  dtdy = − qM − k M −1 2 δy M −1 2  ∆t



(II-14a)

M

(II-14b)

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Laboratoire de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques, Université de Dschang
31

Donc (II-4a) et (II-4b) deviennent respectivement après discrétisation et arrangement des
termes aux deux frontières du maillage:


k1 2  k1 2 t + ∆t
∆y
∆y t t
T1t +∆t C t +∆t
+
T2 + q1t + ∆t +
C T1
=
2∆t δy1 2  δy1 2
2∆t


pour j=1


k M −1 2  k M −1 2 t + ∆t
∆y
∆y t t
TMt + ∆t C t + ∆t
+
TM −1 − q Mt +∆t +
C TM
=
2∆t δy M −1 2  δy M −1 2
2∆t


pour j=M

(II-15a)

(II-15b)

 ∆y
k1 2  k1 2 t + ∆t
∆y
T1t + ∆t C
+
T2 + q1t + ∆t +
CT1t
=
2∆t
 2∆t δy1 2  δy1 2

pour j=1

(II-16a)

 ∆y
k M −1 2  k M −1 2 t + ∆t
∆y
TMt + ∆t C
+
TM −1 − q Mt + ∆t +
CTMt
=
2∆t
 2∆t δy M −1 2  δy M −1 2

pour j=M

(II-16b)

Les équations (II-15a) et (II-15b) sont de forme (II-8):
a P TPt + ∆t = a E T Et + ∆ t + aW TWt + ∆ t + b ,

a1 = C t +∆t
a2 =

k1 2
∆y
+
2∆t δ y1 2

k1 2

δ y1 2

a−1 = 0
∆y t
T1 + q1t +∆t
(II-18a)
2 ∆t

b = Ct

(II-17)

aM = C t +∆t

k M −1 2
∆y
+
2∆t δ yM −1 2

aM +1 = 0
aM −1 =

kM −1 2

δ yM −1 2
∆y t
TM − qMt +∆t
2∆t

b = Ct

(II-18b)

Tandis que dans le cas où il s’agit de la diffusion de température caractérisée par (II-4b), on
a plutôt :

a1 = C
a2 =

k1 2
∆y
+
2∆t δ y1 2

k1 2

δ y1 2

a−1 = 0
b=C

∆y t
T1 + q1t +∆t
(II-19a)
2∆t

aM = C

k M −1 2
∆y
+
2∆t δ yM −1 2

aM +1 = 0
aM −1 =
b=C

k M −1 2

δ yM −1 2

∆y t
TM − qMt +∆t
2∆t

(II-19b)

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Thèse de Master of science, Option physique,, Spécialité Mécanique-Energétique/2012
Laboratoire de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques, Université de Dschang
32

II-2.1.2c Convection aux frontières
Dans le cas où la diffusion est modélisée par (II-4a), on a :
 T t + ∆t − T t + ∆t  ∂T  t + ∆t 
t + ∆t 1 2  ∂ 
∂T  
∫t ∫1  ∂y k (T ) ∂t  dtdy = k1 2 2 δy1 2 1 −  k ∂y  ∆t
1





(II-20)

 ∂T  t + ∆t
∂ 
TMt + ∆t − TMt +−∆1t 
∂T  




k
(
T
)
dtdy
=
k

k

 ∆t
M −1 2
∫M-1 2  ∂y  ∂t  


δy M −1 2 
 ∂y  M

t + ∆t

M

t

(II-21)

les flux sont donnés par:


∂T 
 = h0 (T )(T f ,0 (t ) − T (0, t ))
−  k (T )
∂y  y =0


∂T 
 = hL (T )(T ( L, t ) − T f , L (t ))
−  k (T )
∂y  y = L

d’où
t + ∆t 1 2

∫ ∫
t

1



t + ∆t

t

 T t + ∆t − T1t + ∆t

∂ 
∂T  
 k (T )  dtdy = k1 2 2
+ h1t + ∆t T ft +,1∆t − T1t + ∆t  ∆t
∂t  
δy1 2

 ∂y 


)


∂ 
TMt +−∆1t − TMt + ∆t
∂T  


k
(
T
)
dtdy
=
k
+ hMt + ∆t T ft +, M∆t − TMt + ∆t
 M −1 2
∫M −1 2  ∂y  ∂t  
δy M −1 2


(

M

a1 = C t +∆t
a2 =

(

k1 2
∆y
+
+ h1t +∆t
2∆t δ y1 2

aM = C t +∆t

δ y1 2

aM −1 =

a−1 = 0
∆y t
t
T1 + h1t +∆tT ft +∆
,1
2∆t



)∆t

(II-23)



k M −1 2
∆y
+
+ hM t +∆t
2∆t δ yM −1 2

aM +1 = 0

k1 2

b = Ct

(II-22)

(II-24a)

b = Ct

k M −1 2

δ yM −1 2
∆y t
t
TM + hM t +∆tT ft +∆
,M
2∆t

(II-24b)

Tandis que dans le cas où elle modélisée par (II-4b), on a plutôt :

a1 = C
a2 =

k1 2
∆y
+
+ h1t +∆t
2∆t δ y1 2

k1 2

δ y1 2

a−1 = 0
b=C

∆y t
t
T1 + h1t +∆tT ft +∆
,1
(II-25a)
2∆t

aM = C

kM −1 2
∆y
+
+ hM t +∆t
2∆t δ yM −1 2

aM +1 = 0
aM −1 =
b=C

k M −1 2

δ yM −1 2

∆y t
t
TM + hM t +∆tT ft +∆
,M
2∆t

(II-25b)

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CAS DES RELATIONS CONSTITUTIVES DES FLUX
Lorsqu’il s’agit des problèmes de diffusion avec flux imposés aux frontières, exprimée par la

relation constitutive (Loi de Fourier) donnée par:


∂T 

q0 (t ) = − k (T )
∂y  y =0


∂T 

q L (t ) = − k (T )
∂y  y = L

Les équations discrétisées se réécrivent respectivement en (y=0) et (y=1) quelle que soit la
forme considérée des problèmes de diffusion (II-4a), (II-4b):
k1 2 t + ∆t
(T − T1t +∆t )
q1t + ∆t = −
δy1 2 2
q Mt + ∆t = −

k M −1 2

δy M −1 2

(T

t + ∆t
M

− TMt +−∆1t

)

soient

T1t + ∆t

k1 2

δy1 2

=

k1 2

δy1 2

T2t + ∆t + q1t + ∆t

(II-26a)
k M −1 2
k M −1 2 t + ∆t
TMt +∆t
=
TM −1 − q Mt + ∆t
δy M −1 2 δy M −1 2

(II-26b)
Les coefficients des systèmes algébriques sont alors donnés respectivement en (y=0) et
(y=L) par :
a1 =
a2 =

aM =

k1 2

δ y1 2

δy M −1 2

a M +1 = 0

k1 2

δ y1 2

a M −1 =

a −1 = 0
b = q1t + ∆ t

k M −1 2

(II-27a)

b = −q

k M −1 2

δy M −1 2
t + ∆t
M

(II-27b)

Lorsqu’aux frontières on a la convection, exprimée par les équations suivantes :

∂T 
 = h0 (T )(T f ,0 (t ) − T (0, t ))
−  k (T )
∂y  y =0


∂T 
 = hL (T )(T ( L, t ) − T f , L (t ))
−  k (T )
∂y  y = L

alors les équations discrétisées prennent la forme suivante:
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