‫العنصر‬

‫مدخل ‪:‬‬
‫فى الجبر‪:‬‬

‫ــــــ االنتماء ـــــــــ االحتواء‬

‫المجموعة التى عناصرها متفرقة نضعها بين حاضنتين { } و عناصرها داخل هاتين الحاضنتين مثال ‪:‬‬
‫‪ A‬مجموعة األعداد الطبيعية األصغر من ‪ 6‬إذن } ‪A = { 0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5‬‬

‫خاصية المجموعة ‪ :‬كل عنصر يكتب مرة واحدة ( أي دون تكرارها) و ترتيب العناصر غير مهم‬
‫‪ 3‬عنصر من المجموعة ‪ A‬إذن نكتب بالرمز ‪ 3∈ A :‬و نقرأ‪ " :‬العنصر‪ 3‬ينتمي إلى المجموعة ‪" A‬أو"‬
‫المجموعة ‪ A‬تشمل العنصر ‪"3‬‬

‫الحظ ‪:‬‬

‫و ‪ 6‬ليس عنصرا من ‪ A‬إذن نكتب ‪6∈ A‬‬
‫مثال ‪:‬‬

‫}‪C = {0 ; 1; 5; 6} ; B = {1; 2; 3; 4} ; A = {0 ; 1; 2; 3; 4; 5‬‬

‫الحظ‪ :‬كل عنصر من المجموعة ‪ B‬يعتبر فى نفس الوقت عنصرا من المجموعة ‪ A‬إذن نكتب بالرمز ‪ B ⊂ A :‬و نقرأ‬
‫المجموعة ‪ B‬محتواة فى المجموعة ‪ A‬أو أن المجموعة ‪ A‬تحوى المجموعة ‪B‬‬
‫الحظ‪ :‬يوجد على األقل عنصر من المجموعة ‪ ( C‬مثال ‪)6‬ال ينتمي إلى المجموعة ‪ A‬إذن نكتب بالرمز ‪ C ⊂ A :‬و‬
‫نقرأ المجموعة ‪ C‬غير محتواة فى المجموعة ‪ A‬أو أن المجموعة ‪ A‬التحوى المجموعة ‪C‬‬
‫مالحظة ‪ :‬كل مجموعة محتواة فى نفسها مثال ‪A ⊂ A :‬‬

‫فى الهندسة ‪:‬‬

‫‪F‬‬

‫إذا كانت ‪ a‬و ‪ b‬نقطتلن فإن المجموعة ‪ F‬التى تضم النقطتين تكتب } 𝑏 ; 𝑎{ = ‪ F‬و بالمخطط‬

‫‪Ax‬‬

‫أما مجموعة النقاط المحصورة بين ‪ a‬و ‪ b‬و التى تشكل قطعة تكتب على شكل ]𝑏𝑎[ و بالمخطط‬

‫خالصة ‪:‬‬

‫‪élément ∈ ensemble‬‬

‫;‬

‫‪XB‬‬

‫‪xb‬‬

‫‪AX‬‬

‫‪ensemble ⊂ ensemble‬‬

‫‪1‬‬

‫الهندسة الفضائية‬
‫المستوي‪:‬المستوي هو كل سطح إذا شمل نقطتين مختلفتين فإنه يحوى مستقيم النقطتين ( اى يشمل كل نقاط هذا المستقيم)‬
‫فى المنظور المتساوي القياس نمثل المستوى بـ متوازي أضالع‬
‫مثال ‪ :‬سطح السبورة يمثل مستوى ‪ ....‬سطح الكرة ال يمثل مستوى ألنه يمكن إيجاد نقطتين من الكرة بحيث سطح الكرة ال يحوى مستقيم النقطتين‬

‫نتيجة‪ :‬إذا كان مستقيم محتواة فى مستوي فإن كل نقطة من هذا المستقيم تنتمى لهذا المستوي‬
‫بديهية‪ :‬إذا كانت ‪ A‬و‪ B‬نقطتان من مستوي أو من الفضاء فإنه يوجد مستقيم وحيد يشمل النقطتين ‪A‬‬

‫و‪ B‬نرمز له بالرمز‬

‫)‪ (AB‬و نكتب مثال ‪ A∈(AB) :‬و نقرأ ‪ A :‬نقطة من(تنتمى إلى) المستقيم )‪ (AB‬أو أن ‪ :‬المستقيم )‪ (AB‬يشمل النقطة ‪A‬‬
‫‪XB‬‬
‫‪XA‬‬

‫‪XC‬‬

‫إذا كانت ‪ C‬نقطة من المستقيم )‪ (AB‬نكتب )‪C ∈(AB‬‬
‫الحظ‪ :‬كل نقطة من القطعة ]𝐵𝐴[ تعتبر نقطة من المستقيم )‪ (AB‬إذن نكتب )‪ [𝐴𝐵] ⊂(AB‬و نقرأ‪:‬‬
‫]𝐵𝐴[ قطعة محتواة فى المستقيم )‪(AB‬أو نقرا ‪ :‬المستقيم )‪ (AB‬يحوى القطعة ]𝐵𝐴[‬
‫كذالك‪:‬‬

‫)‪[𝐵𝐶] ⊂(CA‬‬

‫طرق برهان‪:‬‬

‫للبرهان على مستقيم ما أنه محتواة فى مستوي نبحث عن نقطتين من هذا المستقيم و نبرهن أنهما تنتميان‬
‫لهذا المستوي‬

‫;‬

‫)‪[𝐴𝐶] ⊂(AB‬‬

‫;‬

‫)‪[𝐴𝐶] ⊂(CB‬‬

‫باعتبار أن ‪(AB)=(AC)=(BC) :‬‬

‫للبرهان على أن مستقيم ما غير محتواة في مستوي نبحث عن نقطة من هذا المستقيم و نبرهن أنها ال‬
‫تنتمي لهذا المستوي‬
‫مالحظة و نتائج‪ :‬إذا لم يكن المستقيم محتواة في المستوي فإن هذا المستقيم يقطع هذا المستوي( يشترك معه في نقطة‬
‫واحدة فقط ال أكثر و ال أقل) أوأن هذا المستقيم منفصل عن هذا المستوي (غير محتواة فيه و ال يقطعه ) أى يوازيه‬
‫‘طرق برهان ‪ :‬للبرهان على مستقيم ما أنه يقطع مستوي نبرهن أن هذا المستقيم غير محتواة فى هذا المستوى و أنه‬
‫توجد نقطة من هذا المستوى يشملها هذا المستقيم‬

‫‪2‬‬

‫تعيين مستوى‪:‬‬

‫كل ثالثة نقاط ليست على استقامة واحدة من الفضاء تعين مستويا‬

‫وحيدا( هذه النقاط تنتمى إليه) [ اى يوجد مستوى وحيد يشمل‬

‫ثالثة نقاط ليست على استقامة واحدة من الفضاء]‬
‫مثال ‪ A ; B ; C :‬نقاط ليست على استقامة واحدة من الفضاء‬
‫إذن فهى تعين مستويا نرمز له بالرمز )‪ (ABC‬حيث ‪:‬‬

‫‪AX‬‬
‫‪XB‬‬

‫)‪]AB]⊂(ABC) ; C ∈(ABC) ; B ∈(ABC) ; A ∈(ABC‬‬

‫‪CX‬‬

‫مالحظة ‪ ABC:‬مثلث يعتبر جزء من المستوى )‪(ABC‬‬
‫كل مستقيم و نقطة ال تنتمى إليه يعينان مستويا وحيدا( هذا المستقيم محتواة فى هذا المستوى و هذه النقطة تنتمي لهذا المستوى)‬
‫[ أى يوجد مستوى وحيد يحوى مستقيما و نقطة ال تنتمى لهذا المستقيم]‬
‫مثال ‪ (AB) :‬مستقيم و ‪ C‬نقطة ليست منه ‪ .‬غذن فهما يعينان مستويا وحيدا نرمز له بـ )‪(ABC‬‬
‫حيث‪C∈(ABC) ; B ∈(ABC) ; A ∈(ABC) :‬‬

‫‪XB‬‬
‫‪AX‬‬

‫‪XC‬‬

‫مالحظة‪ :‬إذا كانت ‪ M‬نقطة من المستقيم )‪ (AB‬فإن )‪M∈(ABC‬‬

‫‪MX‬‬

‫كل مستقيمين متقاطعين يعينان مستويا وحيدا (كل منهما محتواة فى هذا المستوى و كل نقطة من أحدهما تنتمى لهذا المستوى)‬
‫[ أى يوجد مستوى وحيد يحوى مستقيمين متقاطعين]‬
‫كل مستقيمين متوازيين يعينان مستويا وحيدا ( كل منهما محتواة فى هذا المستوى و كل نقطة من أحدهما تنتمي لهذا المستوى)‬
‫[ أى يوجد مستوى وحيد يحوى مستقيمين متوازيين]‬
‫مثال ‪ (AB) :‬و )‪ (CD‬مستقيمان متوازيان ‪ .‬إذن فهما يعينان مستويا وحيدا نرمز له بـ )‪ (ABC‬أو )‪ (ABD‬أو )‪(ABCD‬‬
‫إذا كانت ‪ M‬نقطة من )‪ (DC‬فإن )‪M∈(ABC‬‬

‫‪BX‬‬

‫‪XM‬‬

‫حيث )‪(AB)⊂(ABC) (MD)⊂(ABC) ; (CD)⊂(ABC‬‬

‫‪AX‬‬
‫‪XD‬‬
‫‪XC‬‬

‫طريقة برهان ‪ :‬للبرهان أن أربعة نقاط تنتمي إلى نفس المستوي نبرهن أن المستقيمان المنشئ بهما متقاطعان أو متوازيان‬
‫تطبيق‪ :‬إليك الشكل الذى يمثل متوازى مستطيالت ‪ ABCDEFGH‬حيث‬

‫‪F‬‬

‫]𝐹𝐸[ ∈‪R∈(TL) ; T∈ [𝐷𝐻] ; L∈ [𝐶𝐺] ; K∈ [𝐵𝐹] ; M‬‬
‫‪ )1‬أذكر المستويات التى تشمل النقطة ‪G‬‬
‫‪L ......................................‬‬

‫‪M‬‬
‫‪K‬‬

‫‪E‬‬
‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪NX‬‬
‫‪G‬‬

‫‪R ......................................‬‬
‫‪K .....................................‬‬
‫‪N ......................................‬‬
‫‪T ... ................................‬‬
‫‪ )2‬اذكر المستقيمات التى تحويها كل من المستويات ‪(AMB) ; (BCG) ; (ABC) :‬‬
‫‪ )3‬أذكر األوجه التى تحوى القطعة ]𝐶𝐵[ و األوجه التى تحوى القطعة ]𝐿𝐾[‬

‫‪H‬‬
‫‪TX‬‬

‫‪XL‬‬
‫‪C‬‬

‫‪X‬‬

‫‪R‬‬

‫‪D‬‬

‫التصحيح فى الصفحة‪......‬‬
‫‪3‬‬

‫األوضاع النسبية لمستقيمين‪:‬‬

‫المستقيمان المتقاطعان هما مستقيمان يحويهما نفس المستوى و يشتركان فى نقطة وحيدة‬
‫مالحظة‪ :‬إذا اشترك مستقيمان فى أكثر من نقطة فهما متطابقان‬

‫المستقيمان المتوازيان تماما هما مستقيمان يحويهما نفس المستوى و ال يشتركان في أى نقطة(غير متقطعين)‬
‫حالة خاصة ‪ :‬المستقيمان المتطابقان متوازيان‬
‫طريقة برهان ‪ :‬للبرهان على تقاطع مستقيمين نبرهن أنهما من نفس المستوى و أنهما غير متوازيين‬
‫للبرهان على توازىمستقيمين نبرهن أنهما من نفس المستوى و أنهما غير متقطعين‬
‫نتائج‪ * :‬إذاكان مستقيمان يحويهما نفس المستوى فهما إما متوازيان و إما متقاطعان‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫إذا وازى مستقيم أحد المستقيمات المتوازية فى الفضاء فإنه يوازيها كلها ( التوازى فى الفضاء متعد)‬
‫إذا اشترك مستقيمان فى نقطة ووازى نفس المستقيم فهما متطابقان( أى يوجد مستقيم وحيد فى الفضاء يشمل نقطة و بوازى مستقيما اخر)‬

‫المستقيمان المتخالفان في الفضاء هما مستقيمان ال يمكن ان يحويهما نفس المستوى معا‬
‫نتائج ‪ - :‬المستقيمان المتخالفان ال يمكن أن يكونا من نفس المستوى( ليسا من نفس المستوى)‬
‫‬‫‬‫‪-‬‬

‫المستقيمان المتخالفان ال يمكن أن يتقاطعا‬
‫المستقيمان المتخالفان ال يمكن أن يتوازيا‬
‫المستقيمان المنفصالن فى الفضاء هما إما متوازيان تماما و إما متخالفان‬

‫خالصة‪ :‬المستقيمان في الفضاء هما مستقيمان ‪:‬‬
‫‬‫‬‫‪-‬‬

‫إما متقاطعين ( إذا حواهما نفس المستوى)‬
‫إما متوازيين تماما أو بالتطابق( إذا حواهما نفس المستوى)‬
‫إما متخالفان( إذا استحال احتواؤهما بنفس المستوي)‬

‫مالحظة ‪ :‬إذا كان مستقيمان غير متقاطعين و غير متوازيين فهما متخالفان‬
‫مثال ‪:‬في الشكل الموالى )‪ (AB)//(EN)//(GH)//(RM‬و المستقيمان )‪ (AB‬و )‪ (EB‬متقاطعان و المستقيمان )‪ (EB‬و )‪ (RM‬متخالفان‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬
‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫‪E‬‬

‫‪R‬‬

‫‪H‬‬

‫‪G‬‬

‫‪4‬‬

‫التعامد( حالة خاصة)‪:‬‬
‫المستقيمان المتعامدان(‪ ) orthogonaux‬فى الفضاء هما مستقيمان متقاطعان و يحصران زاوية قائمة أو متخالفان‬
‫و منحاهما متعامدان‬
‫مالحظة‪ * :‬المستقيمان القائمان(‪ )perpendiculaires‬هما مستقيمان متقاطعان و يحصران زاوية قائمة‬
‫* نقول عن مستقيمين أن منحاهما متعامدان إذا وجد مستقيم مواز ألحدهما و قائم على المستقيم األخر‬
‫*التعامد حالة خاصة للتقاطع (إذا كان المستقيمان يحويهما نفس المستوى) أو حالة خاصة للتخالف( إذا كان المستقيمان ال يحويهما نفس‬
‫المستوى)‬

‫نتيجة ‪ :‬المستقيمان الموازيين على الترتيب لمستقيمين متعامدين هما مستقيمان متعامدان‬
‫نتيجة‪ :‬إذا عامد مستقيم أحد المستقيمات المتوازية فإنه يعامدها كلها‬

‫طريقة برهان‪ :‬للبرهان على تخالف مستقيمين نبرهن أنهما متعامدان و غير متقاطعين أو‬

‫نبرهن أن أحد المستقيمين يقطع المستوى الذى‬

‫يحوى االخر فى نقطة ليست من المستقيم االخر( ولو كانت نقطة التقاطع من المستقيم االخر ألصبح المستقيمان من نفس المستوى و ليسا‬
‫متخالفان)‬
‫طريقة برهان ‪:‬للبرهان على تعامد مستقيمين نبرهن أنهما موازيان لمستقيمين متعامدين‬

‫تطبيق‪ ABCDEFGH:‬متوازى مستطيالت حيث [‪ M∈ ] EF‬كما فى الشكل‬
‫‪ )1‬اذكر من الشكل المستقيمات التى تحويها كل من المستويات التالية‬
‫مع التعليل‪(DEFC) ;(GHE) ;(MDC) ;(BCG) ;(AMB) ;(ABC) :‬‬

‫‪M‬‬

‫‪F‬‬
‫‪G‬‬

‫‪E‬‬
‫‪H‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ )2‬ماهو وضع كل من المستقيمات ( مع التعليل) فى كل حالة؟‬
‫‬‫‪-‬‬

‫)‪ (BM‬و)‪ (BM) ; (AE‬و)‪ (BM) ; (CG‬و)‪ (BM) ; (AD‬و)‪ (BM) ; (AC‬و)‪ (BE) ; (HC‬و)‪ (AB) ; (HC‬و)‪ (BF) ; (CG‬و)‪(DM‬‬
‫)‪ (CF‬و)‪ (EH) ; (DM‬و)‪(DM‬‬

‫التصحيح فى صفحة ‪......‬‬

‫‪5‬‬

‫األوضاع النسبية لمستقيم و مستوي‪:‬‬
‫نقول عن مستقيم و مستوي أنهما متقاطعان(أي ‪:‬المستقيم يقطع المستوي أو المستوي يقطع المستقيم) إذا كانا يشتركان‬
‫فى نقطة واحدة فقط‪.‬‬
‫مالحظة‪ :‬إذا اشترك مستقيم و مستوي فى أكثر من نقطة فإن هذا المستقيم محتواة فى هذا المستوى‬
‫طريقة برهان‪ :‬للبرهان أن مستقيما يقطع مستوي ‪ ،‬نبرهن أن هذا المستقيم غير محتواة فى هذا المستوي و أنه يقطع مستقيما من هذا المستوي‬

‫نقول عن مستقيم و مستوي أنهما متوازيان إذا كان هذا المستقيم مواز لمستقيم من هذا المستوي‬
‫[أي ‪:‬لكي يتوازي مستقيم و مستوي يكفى أن يحوى هذا المستوى مستقيما مواز لذالك المستقيم‪].‬‬
‫مستقيم يقطع مستوي‬

‫مالخظة‪ * :‬إذا كان مستقيم محتواة فى المستوى فإنهما متوازيان‬
‫*إذا وازى مستقيم مستويا و اشترك معه فى نقطة فإنه محتواة فيه‬
‫بديهية‪ :‬يوجد عدد غير منته من المستقيمات التى تشمل نقطة معلومة و توازى مستويا معلوما‬

‫‪X‬‬

‫بديهية‪ :‬يوجد عدد غير منته من المستويات التى تشمل نقطة معلومة و توازى مستقيما معلوما‬
‫نظرية‪ :‬إذا وازى مستقيم )∆( مستويا )‪ ( P‬و كانت ‪ A‬نقطة من )‪ (P‬فإن المستقيم الذى يشمل ‪ A‬و يوازي )∆( محتواة في المستوي )‪(P‬‬

‫حالة خاصة ‪ :‬نقول عن مستقيم انه يعامد مستويا إذا كان هذا المستقيم عمودي على مستقيمين متقاطعين من هذا المستوى‬
‫نظرية ‪ :‬إذا عامد مستقيم مستويا فإنه بعامد كل مستقيم من هذا المستوى‬
‫نتائج‪* :‬إذا عامدت المستقيمات نفس المستوي فهى متوازية‬
‫*إذا عامد مستوى أحد المستقيمات المتوازية فإنه يعامدها كلها‬
‫طريقة برهان‪ :‬للبرهان على توازى مستقيمين نبرهن أنهما عموديان على نفس المستوي‬
‫طريقة برهان ‪ :‬للبرهان على تعامد مستقيمين نبرهن أن أحدهما عمودى على مستوي االخر‬

‫خالصة ‪ :‬المستقيم و المستوي في الفضاءهما ‪:‬‬
‫ إما متوازيان(تماما أو باالحتواء) وإما متقاطعان(فى الحالة العامة أ و فى حالة التعامد)‬‫تطبيق‪ ABCDEFGH :‬متوازى مستطيالت كما فى الشكل‬
‫‪)1‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪)5‬‬

‫‪H‬‬

‫‪G‬‬

‫مانوع الرباعى ‪ABGH‬؟‬
‫مانوع المجسم ‪ GABFE‬؟ أذكر أوجهه‪ .‬ماهو ارتفاعه؟‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫أذكر مع التعليل وضعية كل من المستقيمات‬
‫)‪ (EF‬و)‪ (EG) ; (AB‬و)‪ (GB) ; (AB‬و)‪ (EF) ; (AB‬و)‪ (BG) ; (BG‬و)‪ (DC) ; (AH‬و)‪ (BG) ; (AH‬و)‪(BC‬‬
‫أذكر وضعية كل من المستقيمات و المستويات فى كل حالة‬
‫)‪ (AB‬و)‪ (AB) ; (BCF‬و)‪ (AB) ; (ABD‬و)‪ (AG) ; (AG) (GHF‬و)‪ (AG) ; (BCF‬و)‪(ABGH‬‬
‫مانوع كل من المثلثات التالية‪BHC ; ABH ; BEH ; ADE ; EHF :‬‬
‫‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫التصحيح فى ص‪......‬‬
‫‪6‬‬

‫األوضاع النسبية لمستويين‪ :‬نقول عن مستويين متمايزيين أنهما متقاطعان إذا كانت لهما نقطة مشتركة‬
‫طريقة برهان‪ :‬للبرهان ان مستويين متقاطعان نبرهن انهما مختلفان اى متمايزيان( بوجود نقطة من احدهما ليست فى االخر ) و أن‬
‫لهما نقطة مشتركة‬
‫طريقة برهان ‪ :‬للبرهان أن مستويين لهما نقطة مشتركة نبحث عن مستقيمين منهما على الترتيب و نبرهن أنهما متقاطعان فى نقطة‬
‫فتصبح هذه النقطة مشتركة بين المستويين‬

‫نتائج‪* :‬إذا اشترك مستويان متمايزان في نقطة ‪A‬فإن تقطعهما هو المستقيم الذى يشمل ‪A‬‬
‫*إذا اشترك مستويان متمايزان ف نقطتين مختلفتين ‪ A‬و‪ B‬فإن تقاطعهما هو المستقيم )‪(AB‬‬
‫* إذا اشترك مستويان متمايزان فى ثالثة نقاط مختلفة ليست على استقامة واحدة فهما متطابقان‬
‫طريقة برهان‪ :‬للبرهان أن ثالثة نقاط على استقامة واحدة نبرهن أنها تنتمى إلى نفس مستقيم التقاطع بين مستويين‬

‫نقول عن مستويين أنهما متوازيان إذا احتوى أحدهما على مستقيمين متقاطعين و موازيين للمستوي االخر‬
‫مالحظة‪ :‬المستويان المتطابقان متوازيان‬
‫نتائج‪ * :‬إذا وازى مستقيمان متقاطعان نفس المستوي )‪ (P‬فإنهما يعينان مستويا مواز لـ )‪(P‬‬
‫*إذا كان )‪ (P‬مستوى يحوى مستقيمين متقاطعين )‪ (∆1‬و)‪ (∆2‬فإن كل مستقيمين متقاطعين و موازيين بالترتيب‬
‫لهذين المستقيمين يعينان مستويا مواز )‪(P‬‬
‫* إذا كان )‪ (P‬و)‪ (L‬مستويان متوازيان و كانت ‪ A‬نقطة من )‪ (P‬فإن كل مستقيم يشمل ‪ A‬و يوازي)‪ (L‬محتواة فى )‪(P‬‬
‫* إذا توازى مستويان فإن كل مستقيم من أحدهما يوازى المستوى األخر‬
‫*إذا قطع مستوي أحد المستويات المتوازية فإنه يقطعها كلها وفق مستقيمات متوازية‬
‫* التوازى فى الفضاء بين المستقيمات متعد أي‪ :‬إذا وازى مستوي احد المستويات المتوازية فإنه يوازيها كلها‬
‫* فى الفضاء يوجد مستوى وحيد يشمل نقطة معلومة و يوازي مستويا معلوما أي‪":‬إذا وجد مستويين متقاطعين و‬
‫موازيين لنفس المستوي فهما متطابقان"‬
‫تطبيق‪ ABCD :‬رباعى وجوه (هرم قاعدته مثلث) منتظم (أضالعه متقايسة كلها) طول حرفه ‪6cm‬‬
‫‪ K ; J : i‬هى منتصفات ]𝑩𝑨[ و]𝑪𝑨[ و]𝑫𝑨[ على الترتيب‬
‫‪ )1‬بين أن المستوى )‪ (ijk‬يوازى المستوى )‪(BCD‬‬
‫‪ )2‬احسب محيط المثلث ‪IJK‬‬

‫‪7‬‬

‫حالة خاصة( التعامد)‪:‬‬
‫نقول عن مستويين أنهما متعامدان إذا احتوى أحدهما على مستقيم يعامد المستوي االخر‬
‫نتائج‪*:‬إذا كان)‪ (P‬و)‪ (L‬مستويان متعامدان و كانت ‪ A‬نقطة من )‪ (P‬فإن كل مستقيم يشمل‪ A‬وبعامد)‪ (L‬محتواة في )‪(P‬‬
‫* إذا كان)‪ (P‬و)‪ (L‬مستويان متعامدان فإن كل مستقيم محتواة فى احدهما و عمودي على مستقيم التقاطع يكون‬
‫عموديا على المستوي االخر‬

‫نظرية‪ :‬إذا عامد مستويان متقاطعان نفس المستوى )‪ (P‬فإن مستقيم تقاطعهما يعامد )‪(P‬‬

‫أى‬

‫مستقيم التقاطع‬

‫إذا عامد مستوي مستويين متقاطعين فإنه يعامد مستقيم تقاطعهما‬
‫)‪(p‬‬

‫مالحظة‪ :‬المستويان العموديان على نفس المستوي ليسا بالضرورة متوازيان‬

‫نظرية‪ :‬إذا عامد مستوي أحد المستويات المتوازية فإنه يعامدها كلها ووفق مستقيمات متوازية‬
‫خالصة‪ :‬المستويان فى القضاء هما ‪:‬‬
‫ إما متوازيان (تماما أو بالتطابق)‬‫‪ -‬و إما متقاطعان( فى الحالة العامة أو فى حالة التعامد)‬

‫تطبيق‪ ABCDEFGH :‬مكعب‪ L .‬نقطة من ]𝐵𝐴[ و )∆( مستقيم يشمل النقطة ‪ D‬وعمودى على )‪(LC‬‬
‫‪ )1‬بين ان )∆( عمودى على المستوي )‪(LCG‬‬
‫‪ )2‬عين المستقيم )∆( وعين المستوي )‪ (LCG‬فى كل من الحالتين‪:‬‬
‫ ‪ L‬نقطة تنطبق على ‪A‬‬‫ ‪ L‬تنطبق على ‪B‬‬‫‪ -‬التصحيح فى ص‪......‬‬

‫‪E‬‬

‫‪F‬‬
‫‪B‬‬

‫‪A L‬‬
‫‪H‬‬

‫‪G‬‬
‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫)∆(‬

‫‪8‬‬

‫نتائج مهمة حول المستقيمات و المستويات فى حالة التوازى و التقاطع‬
‫قاعد السقف‪ :‬إذا توازى مستقيمان و حواهما مستويان متقاطعان فإن مستقيم تقاطع المستويين يوازى هذين المستقيمين‬
‫مالحظة‪ :‬يمكن ان نشبه قاعدة السقف بوضعية فتح كتاب إلى نصفين‬
‫مستقيم التقاطع‬

‫صيغة أخرى لقاعدة‬

‫السقف‪:‬‬

‫إذا وازى مستقيم مستويين متقاطعين فإنه يوازي مستقيم تقاطعهما‬

‫مستقيمان متوازيان‬

‫نظرية‪ :‬إذا وازى مستقيم )∆( مستويا )‪ (P‬فإن كل مستوى يحوى)∆( و يقطع )‪ (P‬يقطعه وفق مستقيم مواز لـ )∆(‬

‫أو‬
‫إذا وازى مستقيم )∆( مستويا )‪ (P‬فإن كل مستوى يحوى)∆( ويشترك مع )‪ (P‬فى نقطة ‪ M‬يقطع )‪ (P‬فى مستقيم‬
‫يشمل ‪ M‬ويوازي )∆(‬

‫تطبيق‪ SABC :‬رباعى وجوه حيث )‪ (SA‬عمودى على مستوى الوجه )‪ (ABC‬و المثلث ‪ ABC‬قائم فى ‪. B‬انظر الشكل‬
‫‪ )1‬بين أن المستقيمين )‪ (BC‬و )‪ (SA‬متعامدان‬
‫‪ )2‬بين أ ن المثلث ‪ SBC‬قائم فى ‪B‬‬
‫‪ H )3‬نقطة من الحرف ]𝐵𝐴[ ‪ .‬المستوي )‪ (P‬الذى يشمل ‪ H‬و العمودى على )‪ (AB‬يقطع )‪ (AC‬و )‪ (SC‬و )‪ (SB‬فى‬
‫‪S‬‬

‫النقط ‪ K ; J ; I‬على الترتيب‪.‬‬
‫الهدف من األسئلة هو إنشاء ‪K ; J ; I‬‬‫أ) بين أن المستقيمين )‪ (HI‬و )‪ (BC‬متوازيان‬

‫‪C‬‬

‫ب) باستعمال قاعدة السقف استنتج أن المستقيمين )‪ (HI‬و )‪ (KJ‬متوازيان‬
‫ح) استنتج أن الرباعى ‪ KHIJ‬مستطيل‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫ه) اكمل الرسم‬

‫‪9‬‬

‫خالصة عامة حول البراهين‬

‫كيف تبرهن؟‬

‫كيف تبرهن على تقاطع مستقيمين؟‬
‫‪-‬‬

‫نبرهن أنهما من نفس المستوي و أنهما غير متوازيين [ نقول عن مستقيمين أنهما متقاطعان إذا حواهما نفس المستوي و كانا‬
‫غير متوازيين]‬

‫كيف تبرهن على توازى مستقيمين؟‬
‫‪-‬‬

‫نبرهن أنهما من نفس المستوى و أنهما غير متقاطعين [ نقول عن مستقيمين أنهما متوازيان إذا حواهما نفس المستوى وكانا‬
‫غير متقاطعين]‬
‫نبرهن انهما موازيين لمستقيم اخر( التوازى متعد بين المستقيمات)‬

‫‪-‬‬

‫نبرهن أنهما يعامدان نفس المستوى[المستقيمان العموديان على نفس المستوي متوازيان]‬

‫‪-‬‬

‫حذار‪ :‬المستويان العموديان على نفس المستوى ليسا بالضرورة متوازيان‬
‫حذار‪ :‬المستقيمان العموديان على نفس المستقيم ليسا بالضرورة متوازيان‬
‫أما‪ :‬المستويان العموديان على نفس المستقيم فهما متوازيان‬
‫‬‫‪-‬‬

‫نبين أنهما ناتجان من تقاطع مستويين متوازيين و مستوي قاطع(أو عامد) لهما [إذا قطع(عامد) مستوي أحد المستويات‬
‫المتوازية فإنه يقطعها(يعامدها) كلها ووفق مستقيمات متوازية]‬
‫نستعمل قاعدة السقف‬

‫كيف تبرهن على تعامد مستقيمين؟‬
‫‪-‬‬

‫نبرهن أنهما موازيين على الترتيب لمستقيمين متعامدين [نقول عن مستقيمين أنهما متعامدان إذا وازا على الترتيب مستقيمين‬
‫متعامدين]‬
‫نبرهن أن أحدهما يعامد أحد المستقيمات الموازية لالخر[إذا عامد مستقيم أحد المستقيمات المتوازية فإنه يعامدها كلها]‬

‫‪-‬‬

‫نبرهن أن احدهما يعامد المستوي الذى يحوي االخر[ إذا عامد مستقيم مستويا فإنه يعامد كل مستقيمات هذا المستو]‬

‫‪-‬‬

‫كيف تبرهن على تخالف مستقيمين؟‬
‫‬‫‪-‬‬

‫نبرهن أنهما غير متوازيين و غير متقاطعين[نقول عن مستقيمين أنهما متخالفان إذا استحال ان يحويهما نفس المستوي]‬
‫نبرهن أن أحدهما يقطع مستوى االخر فى نقطة ال تنتمى إلى المستقيم االخر‬

‫‪10‬‬

‫كيف تبرهن على تقاطع مستقيم و مستوى؟‬
‫‪-‬‬

‫نبرهن أن هذا المستقيم غير محتواة فى هذا المستوي( بوجود نقطة من هذا المستقيم ال تنتمى لهذا المستوى) و أنه‬
‫يشترك معه فى نقطة(أي يوجد مستقيم فى هذا المستوي يقطع هذا المستقيم)‬

‫‪-‬‬

‫نبرهن أن هذا المستقيم يقطع أحد المستويات الموازية لهذا المستوي[إذا قطع مستقيم احد المستقيمات المتوازية فإنه يقطعها‬
‫كلها]‬

‫كيف تبرهن على تعامد مستقيم و مستوي؟‬
‫نبرهن ان هذا المستقيم يعامد مستقيمين متقاطعين من هذا المستوي [نقول عن مستقيم أنه يعامد مستويا إذا عامد هذا‬‫المستقيم مستقيمين متقاطعين من هذا المستوي]‬
‫ نبرهن أن هذا المستقيم يعامد أحد المستويات الموازية لهذا المستوي[ إذا عامد مستقيم أحد المستويات المتوازية فإنه‬‫يعامدها كلها ]‬
‫ نبرهن أن هذا المستقيم هو تقاطع لمستويين عموديين على هذا المستوي[إذا تقاطع مستويان و عامدا نفس المستوى فإن‬‫مستقيم تقاطعهمايعامد هذا المستوى]‬

‫كيف تبرهن على توازى مستقيم و مستوي؟‬
‫نبرهن أن هذا المستقيم يوازي مستقيما من هذالمستوي [يتوازى مستقيم و مستوي إذا وازى هذا المستقيم مستقيما من هذا‬‫المستوى]‬
‫ نبرهن أن هذا المستقيم محتواة فى مستو مواز لهذا المستوي [ إذا توازا مستويان فإن كل مستقيم من أحدهما يوازي‬‫المستوي االخر]‬
‫كيف تبرهن على تقاطع مستويين؟‬
‫‪-‬‬

‫نبرهن أنهما متمايزان (مختلفان) ( بوجود نقطة من أحدهما ليست فى االخر) وأنهما يشتركان فى نقطة‬

‫‪-‬‬

‫نبرهن أن أحدهما قاطع ألحد المستويات الموازية للمستوى االخر[إذا قطع مستوي أحد المستويات المتوازية فإنه‬
‫يقطعها كلها]‬

‫كيف تبرهن على توازى مستويين ؟‬
‫‪-‬‬

‫نبرهن ان أحدهما يحوي مستقيمين متقاطعين و موازييين للمستوي االخر[يتوازى مستويان إذا احتوى أحدهما على‬
‫مستقيمين متقاطعين و موازيين للمستوى االخر]‬

‫‪-‬‬

‫نبرهن انهما موازيين لمستو ثالث( التوازى متعد بين المستويات)[إذا وازى مستوي أحد المستويات المتوازية فإنه‬
‫يوازيها كلها ] ‪ .‬حذار‪ :‬التوازى بين مستقيمات و مستويات معا غير متعد‬

‫كيف تبرهن على تعامد مستويين؟‬
‫‪-‬‬

‫نبرهن أن أحدهما يحوى مستقيما عمودى عل المستوي االخر[يتعامد مستويان إذا حوى أحدهما مستقيما يعامد‬
‫المستوي االخر]‬

‫‪-‬‬

‫نبرهن أن أحدهما يعامد أحد المستويات الموازية للمستوي االخر[إذا عامد مستوي أحد المستويات المتوازية فإنه‬
‫يعامدها كلها]‬
‫‪11‬‬

‫أمثلة عن البراهين‪ :‬كيف تبرهن على تعامد مستقيمين بواسطة المستويات؟‬
‫طريقة ‪ :1‬نعتمد على النظرية‪[ :‬إذا عامد مستقيم مستويا فإنه يعامد كل مستقيم من هذا المستوي]‬
‫مثال‪:‬إذا عامد مسثقيم )∆( مستويا يحوي مستقيما )‪ (D‬فإن )∆( يعامد )‪(D‬‬
‫كيف نستعمل هذه الطريقة للبرهان ان )∆( يعامد )‪ (D‬؟‬
‫الحل‪ :‬نبحث عن مستقيمين متقاطعين يعينان مستويا يحوي أحدهما[ )‪ (D‬أو)∆(] و يعامدهما المستقيم االخر‬
‫أى‪:‬‬
‫نبحث عن مستقيمين متقاطعين يعينان مستويا يحوي )‪ (D‬بحيث )∆( يعامد هذين المستقيمين (اي )∆( يعامد المستوي المعين‬
‫بهذين المستقيمين) و بالتالي )∆( يعامد )‪(D‬‬

‫*أو*‬
‫نبحث عن مستقيمين متقاطعين يعينان مستويا يحوي )∆( بحيث )‪ (D‬يعامد هذين المستقيمين ( أي )‪ (D‬يعامد المستوي‬
‫المعين بهذين المستقيمين المتقاطعين) وبالتالي )‪ (D‬يعامد )∆(‬
‫بتعبيراخر‪ :‬نبحث عن المستقيمات التى يعامدها )‪(D‬‬

‫بتعبيراخر‪ :‬نبحث عن المستقيمات التى يعامدها )∆(‬

‫?‬
‫?{⊥ )‪(D‬‬
‫?‬
‫ثم من بين المستقيمات ؟ ؟ ؟ ‪...‬ماهما ‪:‬‬
‫المستقيمان اللذان يعينان مستويا يحوي )∆(‬
‫لكي يصبح )‪ (D‬يعامد مستواهما و بالتالي)‪ (D‬يعامد )∆(‬

‫?‬
‫?{ ⊥ )∆(‬
‫?‬
‫ثم من بين المستقيمات ؟ ؟ ؟ ‪...‬ماهما ‪:‬‬
‫المستقيمان اللذان يعينان مستويا يحوي )𝑫(‬
‫لكي يصبح )∆( يعامد مستواهما و بالتالي)∆( يعامد )‪(D‬‬

‫طريقة ‪ :2‬نعتمد على‪[ :‬إذا تقاطع مستويان و عامدا نفس المستوي )‪ (P‬فإن تقاطعهما يعامد )‪] (P‬‬
‫إذا اعتمدنا هذه الطريقة للبرهان أن مستقيمين )∆( و )‪ (D‬متعامدان ‪:‬‬
‫نبحث عن مستويين يتقاطعان فى أحدهما و يعامدان نفس المستوي الذى يحوي المستقيم )‪ (D‬فينتج مستقيم التقاطع )∆(‬
‫عمودي على المستوي الذي يحوي )‪ (D‬و بالتالي )∆( عمودي على )‪(D‬‬

‫‪12‬‬

‫أمثلة عن البراهين‪ :‬كيف نعين مستقيم تقاطع مستويين باستعمال المستقيمات؟‬
‫مثال ‪ :‬الشكل التالي متوازي مستطيالت ماهى وضعية المستويين )‪ (ABC‬و )‪ . (MDG‬حدد مستقيم تقاطعهما إن وجد‬
‫‪M‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫)‪(L‬‬

‫‪G‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪R‬‬
‫الحل‪ :‬لدينا ‪ (MG) :‬يوازي )‪[ (ABC‬ألن )‪ (MG‬مستقيم فى مستوي مواز لـ )‪] (ABC‬‬
‫و المستوي )‪ (MDG‬يحوي المستقيم )‪ (MG‬و يشترك مع المستوي )‪ (ABC‬فى النقطة ‪D‬‬
‫إذن فإن المستوي )‪ (MGD‬يقطع )‪ (ABC‬وفق مستقيم )‪ (L‬يشمل ‪ D‬و يوازي )‪ ( (MG‬حسب النظرية)‬
‫النظرية‪ :‬إذا وازى مستقيم )∆( مستويا )‪ (P‬فإن كل مستوي يحوي )∆( و يقطع )‪ (P‬فى نقطة ‪ A‬يقطعه وفق مستقيم يشمل ‪A‬‬
‫و يوازي )∆(‬
‫هذا المستقيم )‪ (L‬يقطع )‪[ (BC‬النهما من نفس المستوي )‪ (ABC‬و غير متوازيين(و إال لكان )‪ ]) (L) = (AB‬فى نقطة و لتكن ‪R‬‬
‫و منه )‪ (MGD‬يقطع المستوي )‪ (ABC‬وفق المستقيم )‪(DR‬‬

‫‪13‬‬

‫تطبيقات مختلفة‬
‫تطبيق‪ :1‬إليك الشكل ‪ ABCDEFGH‬متوازى مستطيالت حيث ]𝐹𝐸[ ∈‪M‬‬
‫‪)1‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪)4‬‬

‫‪M‬‬

‫‪F‬‬

‫أذكر من الشكل مستويا يحوى المستقيم )‪ (BM‬و يقطع المستوى )‪(ABC‬‬
‫‪G‬‬
‫أذكر من الشكل مستويا يحوى المستقيم )‪ (MG‬و يقطع المستوى )‪(ABC‬‬
‫أذكر من الشكل مستويا يقطع المستوى)‪ (ABC‬فى مستقيم مواز لـلمستقيم )‪(MG‬‬
‫‪C‬‬
‫أذكر وضعية المستويات التالية و عين مستقيم تقاطعها إن وجد‬
‫)‪ (ABF‬و)‪ (ABC) ; (DCH‬و)‪ (ABC) ; (AMB‬و)‪ (ABC) ; (BGF‬و)‪ (ABC) ; (DCM‬و)‪(MDG‬‬

‫‪E‬‬
‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪H‬‬
‫‪D‬‬

‫تطبيق‪ ABCD :2‬مربع مركزه ‪ S . O‬نقطة من الفضاء ال تنتمى إلى المستوي )‪(ABC‬‬
‫إذا كان )‪ (SO‬عمودي على سطح المربع ‪:‬‬
‫‪ )1‬فما هو نوع المجسم‬

‫‪ SABC‬؟‬

‫‪ )2‬بين أن )‪ (SO‬عمودي على كل من ‪(AC) ; (DC) ; (AB) ; (AD) ; (BC) :‬‬
‫تطبيق‪ ABCD :3‬رباعى وجوه (هرم قاعدته مثلث) حيث ‪ (AB) :‬عمودى على المستقيمين )‪ (BC‬و )‪ (BD‬و المثلث ‪BCD‬‬
‫قائم فى النقطة ‪C‬‬
‫‪ )1‬بين أن المستقيم )‪ (AB‬يعامد المستقيم )‪(DC‬‬
‫‪ )2‬بين أن المستقيم )‪ (DC‬يعامد المستوي )‪(ABC‬‬
‫تطبيق‪ ABCDEFGH :4‬مكعب طول حرفه ‪6cm‬‬
‫‪ )1‬مانوع كل من المثلثات التالية‪DEC ; ADC ; ABC ; ABE ; ADE :‬‬
‫‪ )2‬أحسب مساحة الهرم ‪ ABCDE‬و حجمه‬
‫‪ K )3‬منتصف ]𝐵𝐸[ و ‪ L‬منتصف ]𝐸𝐷[ ‪ .‬بين أن )‪ (KL)// (BD‬و استنتج طول ]𝐿𝐾[‬
‫تطبيق‪ ABCDEFGH :5‬مكعب‬
‫‪ )1‬بين أن المستقيمين )‪ (FC‬و )‪ (AG‬متعامدان ‪ .‬استنتج و ضعية المستويين )‪ (BCG‬و )‪(ABG‬‬
‫‪ )2‬عين تقاطع المستوي )‪ (ABG‬مع كل وجه من وجوه المكعب‬
‫‪ )3‬استنتج مقطع المستوي )‪ (ABG‬مع المكعب‬
‫تطبيق‪ ABCDEFGH :6‬متوازي مستطيالت‬
‫‪ )1‬بين أن القطعتين ]𝐶𝐸[ و ]𝐹𝐷[ تقعان فى نفس المستوي و أنهما متناصفتان‬
‫‪ )2‬حدد الوضع النسبي ( مع التعليل) فى كل حالة ‪:‬‬
‫)‪ (AB‬و )‪ (DC) ; (DCF‬و )‪ (AD) ; (DCF‬و )‪ (DCF) ; (DCF‬و )‪(DE‬‬
‫‪ )3‬عين مستقيمات التقاطع للمستوى )‪ (DFC‬مع كل مستوي وجوه المتوازى المستطيالت‬
‫‪14‬‬

‫تطبيق‪:7‬إليك الشكل الذى يمثل مكعب حيث ‪AJ = AI = x‬‬

‫‪E‬‬

‫برهن أن المثلث ‪ IJK‬متقايس األضالع‬

‫‪H‬‬
‫‪I‬‬

‫‪F‬‬

‫‪X‬‬

‫‪A‬‬

‫‪K‬‬

‫‪D‬‬

‫‪J‬‬
‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫تطبيق‪ :8‬إليك الشكل التالى الذى يمثل متوازى مستطيالت بطول ‪ 8cm‬و الوجه ‪ ABCD‬مربع طول ضلعه ‪4cm‬‬
‫‪ )1‬برهن أن )‪ (EO‬يعامد )‪(BD‬‬

‫‪F‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ )2‬مثل المجسم ‪ EABD‬بالمنظور المتساوى القياس ثم اعط تصميما له‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪4cm‬‬

‫‪D‬‬

‫تطبيق‪:9‬‬

‫‪8cm‬‬

‫‪H‬‬

‫‪ SABC‬رباعى وجوه بحيث )‪ (SA‬عمودى على )‪ (ABC‬و المثلث ‪ ABC‬قائم فى ‪B‬‬
‫‪ H‬نقطة من ]𝐵𝐴[ و )‪ (P‬مستوى يشمل ‪ H‬و يعامد )‪ (AB‬و يقطع )‪ (AC‬و )‪ (CS‬و )‪ (BS‬فى ‪ K ; J ; I‬على الترتيب‬

‫‪ )1‬بين أن )‪(P) ⊥(SAB) ; (P) ⊥(ABC) ; (SAC) ⊥(ABC) ; (SAB) ⊥(ABC‬‬
‫‪ )2‬بين أن )‪ (BC) //(HI‬و أن )‪(KJ) //(BC‬‬

‫تطبيق‪ ABCDEFGH :10‬مكعب ‪ .‬بين ان المستقيم )‪ (AG‬عمودى غلى المستوى )‪(CFH‬‬

‫التصحيح فى ص ‪........‬‬

‫‪15‬‬

16