هندسة فضائية 1 ثانوى دروس و تمارين .pdf
À propos / Télécharger Aperçu
Nom original: هندسة فضائية 1 ثانوى دروس و تمارين.pdf
Auteur: SWEET
Ce document au format PDF 1.3 a été généré par http://www.convertapi.com / http://www.convertapi.com , et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 30/06/2016 à 21:12, depuis l'adresse IP 41.109.x.x.
La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1199 fois.
Taille du document: 1.2 Mo (16 pages).
Confidentialité: fichier public
Aperçu du document
العنصر
مدخل :
فى الجبر:
ــــــ االنتماء ـــــــــ االحتواء
المجموعة التى عناصرها متفرقة نضعها بين حاضنتين { } و عناصرها داخل هاتين الحاضنتين مثال :
Aمجموعة األعداد الطبيعية األصغر من 6إذن } A = { 0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5
خاصية المجموعة :كل عنصر يكتب مرة واحدة ( أي دون تكرارها) و ترتيب العناصر غير مهم
3عنصر من المجموعة Aإذن نكتب بالرمز 3∈ A :و نقرأ " :العنصر 3ينتمي إلى المجموعة " Aأو"
المجموعة Aتشمل العنصر "3
الحظ :
و 6ليس عنصرا من Aإذن نكتب 6∈ A
مثال :
}C = {0 ; 1; 5; 6} ; B = {1; 2; 3; 4} ; A = {0 ; 1; 2; 3; 4; 5
الحظ :كل عنصر من المجموعة Bيعتبر فى نفس الوقت عنصرا من المجموعة Aإذن نكتب بالرمز B ⊂ A :و نقرأ
المجموعة Bمحتواة فى المجموعة Aأو أن المجموعة Aتحوى المجموعة B
الحظ :يوجد على األقل عنصر من المجموعة ( Cمثال )6ال ينتمي إلى المجموعة Aإذن نكتب بالرمز C ⊂ A :و
نقرأ المجموعة Cغير محتواة فى المجموعة Aأو أن المجموعة Aالتحوى المجموعة C
مالحظة :كل مجموعة محتواة فى نفسها مثال A ⊂ A :
فى الهندسة :
F
إذا كانت aو bنقطتلن فإن المجموعة Fالتى تضم النقطتين تكتب } 𝑏 ; 𝑎{ = Fو بالمخطط
Ax
أما مجموعة النقاط المحصورة بين aو bو التى تشكل قطعة تكتب على شكل ]𝑏𝑎[ و بالمخطط
خالصة :
élément ∈ ensemble
;
XB
xb
AX
ensemble ⊂ ensemble
1
الهندسة الفضائية
المستوي:المستوي هو كل سطح إذا شمل نقطتين مختلفتين فإنه يحوى مستقيم النقطتين ( اى يشمل كل نقاط هذا المستقيم)
فى المنظور المتساوي القياس نمثل المستوى بـ متوازي أضالع
مثال :سطح السبورة يمثل مستوى ....سطح الكرة ال يمثل مستوى ألنه يمكن إيجاد نقطتين من الكرة بحيث سطح الكرة ال يحوى مستقيم النقطتين
نتيجة :إذا كان مستقيم محتواة فى مستوي فإن كل نقطة من هذا المستقيم تنتمى لهذا المستوي
بديهية :إذا كانت Aو Bنقطتان من مستوي أو من الفضاء فإنه يوجد مستقيم وحيد يشمل النقطتين A
و Bنرمز له بالرمز
) (ABو نكتب مثال A∈(AB) :و نقرأ A :نقطة من(تنتمى إلى) المستقيم ) (ABأو أن :المستقيم ) (ABيشمل النقطة A
XB
XA
XC
إذا كانت Cنقطة من المستقيم ) (ABنكتب )C ∈(AB
الحظ :كل نقطة من القطعة ]𝐵𝐴[ تعتبر نقطة من المستقيم ) (ABإذن نكتب ) [𝐴𝐵] ⊂(ABو نقرأ:
]𝐵𝐴[ قطعة محتواة فى المستقيم )(ABأو نقرا :المستقيم ) (ABيحوى القطعة ]𝐵𝐴[
كذالك:
)[𝐵𝐶] ⊂(CA
طرق برهان:
للبرهان على مستقيم ما أنه محتواة فى مستوي نبحث عن نقطتين من هذا المستقيم و نبرهن أنهما تنتميان
لهذا المستوي
;
)[𝐴𝐶] ⊂(AB
;
)[𝐴𝐶] ⊂(CB
باعتبار أن (AB)=(AC)=(BC) :
للبرهان على أن مستقيم ما غير محتواة في مستوي نبحث عن نقطة من هذا المستقيم و نبرهن أنها ال
تنتمي لهذا المستوي
مالحظة و نتائج :إذا لم يكن المستقيم محتواة في المستوي فإن هذا المستقيم يقطع هذا المستوي( يشترك معه في نقطة
واحدة فقط ال أكثر و ال أقل) أوأن هذا المستقيم منفصل عن هذا المستوي (غير محتواة فيه و ال يقطعه ) أى يوازيه
‘طرق برهان :للبرهان على مستقيم ما أنه يقطع مستوي نبرهن أن هذا المستقيم غير محتواة فى هذا المستوى و أنه
توجد نقطة من هذا المستوى يشملها هذا المستقيم
2
تعيين مستوى:
كل ثالثة نقاط ليست على استقامة واحدة من الفضاء تعين مستويا
وحيدا( هذه النقاط تنتمى إليه) [ اى يوجد مستوى وحيد يشمل
ثالثة نقاط ليست على استقامة واحدة من الفضاء]
مثال A ; B ; C :نقاط ليست على استقامة واحدة من الفضاء
إذن فهى تعين مستويا نرمز له بالرمز ) (ABCحيث :
AX
XB
)]AB]⊂(ABC) ; C ∈(ABC) ; B ∈(ABC) ; A ∈(ABC
CX
مالحظة ABC:مثلث يعتبر جزء من المستوى )(ABC
كل مستقيم و نقطة ال تنتمى إليه يعينان مستويا وحيدا( هذا المستقيم محتواة فى هذا المستوى و هذه النقطة تنتمي لهذا المستوى)
[ أى يوجد مستوى وحيد يحوى مستقيما و نقطة ال تنتمى لهذا المستقيم]
مثال (AB) :مستقيم و Cنقطة ليست منه .غذن فهما يعينان مستويا وحيدا نرمز له بـ )(ABC
حيثC∈(ABC) ; B ∈(ABC) ; A ∈(ABC) :
XB
AX
XC
مالحظة :إذا كانت Mنقطة من المستقيم ) (ABفإن )M∈(ABC
MX
كل مستقيمين متقاطعين يعينان مستويا وحيدا (كل منهما محتواة فى هذا المستوى و كل نقطة من أحدهما تنتمى لهذا المستوى)
[ أى يوجد مستوى وحيد يحوى مستقيمين متقاطعين]
كل مستقيمين متوازيين يعينان مستويا وحيدا ( كل منهما محتواة فى هذا المستوى و كل نقطة من أحدهما تنتمي لهذا المستوى)
[ أى يوجد مستوى وحيد يحوى مستقيمين متوازيين]
مثال (AB) :و ) (CDمستقيمان متوازيان .إذن فهما يعينان مستويا وحيدا نرمز له بـ ) (ABCأو ) (ABDأو )(ABCD
إذا كانت Mنقطة من ) (DCفإن )M∈(ABC
BX
XM
حيث )(AB)⊂(ABC) (MD)⊂(ABC) ; (CD)⊂(ABC
AX
XD
XC
طريقة برهان :للبرهان أن أربعة نقاط تنتمي إلى نفس المستوي نبرهن أن المستقيمان المنشئ بهما متقاطعان أو متوازيان
تطبيق :إليك الشكل الذى يمثل متوازى مستطيالت ABCDEFGHحيث
F
]𝐹𝐸[ ∈R∈(TL) ; T∈ [𝐷𝐻] ; L∈ [𝐶𝐺] ; K∈ [𝐵𝐹] ; M
)1أذكر المستويات التى تشمل النقطة G
L ......................................
M
K
E
A
B
NX
G
R ......................................
K .....................................
N ......................................
T ... ................................
)2اذكر المستقيمات التى تحويها كل من المستويات (AMB) ; (BCG) ; (ABC) :
)3أذكر األوجه التى تحوى القطعة ]𝐶𝐵[ و األوجه التى تحوى القطعة ]𝐿𝐾[
H
TX
XL
C
X
R
D
التصحيح فى الصفحة......
3
األوضاع النسبية لمستقيمين:
المستقيمان المتقاطعان هما مستقيمان يحويهما نفس المستوى و يشتركان فى نقطة وحيدة
مالحظة :إذا اشترك مستقيمان فى أكثر من نقطة فهما متطابقان
المستقيمان المتوازيان تماما هما مستقيمان يحويهما نفس المستوى و ال يشتركان في أى نقطة(غير متقطعين)
حالة خاصة :المستقيمان المتطابقان متوازيان
طريقة برهان :للبرهان على تقاطع مستقيمين نبرهن أنهما من نفس المستوى و أنهما غير متوازيين
للبرهان على توازىمستقيمين نبرهن أنهما من نفس المستوى و أنهما غير متقطعين
نتائج * :إذاكان مستقيمان يحويهما نفس المستوى فهما إما متوازيان و إما متقاطعان
إذا وازى مستقيم أحد المستقيمات المتوازية فى الفضاء فإنه يوازيها كلها ( التوازى فى الفضاء متعد)
إذا اشترك مستقيمان فى نقطة ووازى نفس المستقيم فهما متطابقان( أى يوجد مستقيم وحيد فى الفضاء يشمل نقطة و بوازى مستقيما اخر)
المستقيمان المتخالفان في الفضاء هما مستقيمان ال يمكن ان يحويهما نفس المستوى معا
نتائج - :المستقيمان المتخالفان ال يمكن أن يكونا من نفس المستوى( ليسا من نفس المستوى)
-
المستقيمان المتخالفان ال يمكن أن يتقاطعا
المستقيمان المتخالفان ال يمكن أن يتوازيا
المستقيمان المنفصالن فى الفضاء هما إما متوازيان تماما و إما متخالفان
خالصة :المستقيمان في الفضاء هما مستقيمان :
-
إما متقاطعين ( إذا حواهما نفس المستوى)
إما متوازيين تماما أو بالتطابق( إذا حواهما نفس المستوى)
إما متخالفان( إذا استحال احتواؤهما بنفس المستوي)
مالحظة :إذا كان مستقيمان غير متقاطعين و غير متوازيين فهما متخالفان
مثال :في الشكل الموالى ) (AB)//(EN)//(GH)//(RMو المستقيمان ) (ABو ) (EBمتقاطعان و المستقيمان ) (EBو ) (RMمتخالفان
A
B
N
M
E
R
H
G
4
التعامد( حالة خاصة):
المستقيمان المتعامدان( ) orthogonauxفى الفضاء هما مستقيمان متقاطعان و يحصران زاوية قائمة أو متخالفان
و منحاهما متعامدان
مالحظة * :المستقيمان القائمان( )perpendiculairesهما مستقيمان متقاطعان و يحصران زاوية قائمة
* نقول عن مستقيمين أن منحاهما متعامدان إذا وجد مستقيم مواز ألحدهما و قائم على المستقيم األخر
*التعامد حالة خاصة للتقاطع (إذا كان المستقيمان يحويهما نفس المستوى) أو حالة خاصة للتخالف( إذا كان المستقيمان ال يحويهما نفس
المستوى)
نتيجة :المستقيمان الموازيين على الترتيب لمستقيمين متعامدين هما مستقيمان متعامدان
نتيجة :إذا عامد مستقيم أحد المستقيمات المتوازية فإنه يعامدها كلها
طريقة برهان :للبرهان على تخالف مستقيمين نبرهن أنهما متعامدان و غير متقاطعين أو
نبرهن أن أحد المستقيمين يقطع المستوى الذى
يحوى االخر فى نقطة ليست من المستقيم االخر( ولو كانت نقطة التقاطع من المستقيم االخر ألصبح المستقيمان من نفس المستوى و ليسا
متخالفان)
طريقة برهان :للبرهان على تعامد مستقيمين نبرهن أنهما موازيان لمستقيمين متعامدين
تطبيق ABCDEFGH:متوازى مستطيالت حيث [ M∈ ] EFكما فى الشكل
)1اذكر من الشكل المستقيمات التى تحويها كل من المستويات التالية
مع التعليل(DEFC) ;(GHE) ;(MDC) ;(BCG) ;(AMB) ;(ABC) :
M
F
G
E
H
B
A
C
D
)2ماهو وضع كل من المستقيمات ( مع التعليل) فى كل حالة؟
-
) (BMو) (BM) ; (AEو) (BM) ; (CGو) (BM) ; (ADو) (BM) ; (ACو) (BE) ; (HCو) (AB) ; (HCو) (BF) ; (CGو)(DM
) (CFو) (EH) ; (DMو)(DM
التصحيح فى صفحة ......
5
األوضاع النسبية لمستقيم و مستوي:
نقول عن مستقيم و مستوي أنهما متقاطعان(أي :المستقيم يقطع المستوي أو المستوي يقطع المستقيم) إذا كانا يشتركان
فى نقطة واحدة فقط.
مالحظة :إذا اشترك مستقيم و مستوي فى أكثر من نقطة فإن هذا المستقيم محتواة فى هذا المستوى
طريقة برهان :للبرهان أن مستقيما يقطع مستوي ،نبرهن أن هذا المستقيم غير محتواة فى هذا المستوي و أنه يقطع مستقيما من هذا المستوي
نقول عن مستقيم و مستوي أنهما متوازيان إذا كان هذا المستقيم مواز لمستقيم من هذا المستوي
[أي :لكي يتوازي مستقيم و مستوي يكفى أن يحوى هذا المستوى مستقيما مواز لذالك المستقيم].
مستقيم يقطع مستوي
مالخظة * :إذا كان مستقيم محتواة فى المستوى فإنهما متوازيان
*إذا وازى مستقيم مستويا و اشترك معه فى نقطة فإنه محتواة فيه
بديهية :يوجد عدد غير منته من المستقيمات التى تشمل نقطة معلومة و توازى مستويا معلوما
X
بديهية :يوجد عدد غير منته من المستويات التى تشمل نقطة معلومة و توازى مستقيما معلوما
نظرية :إذا وازى مستقيم )∆( مستويا ) ( Pو كانت Aنقطة من ) (Pفإن المستقيم الذى يشمل Aو يوازي )∆( محتواة في المستوي )(P
حالة خاصة :نقول عن مستقيم انه يعامد مستويا إذا كان هذا المستقيم عمودي على مستقيمين متقاطعين من هذا المستوى
نظرية :إذا عامد مستقيم مستويا فإنه بعامد كل مستقيم من هذا المستوى
نتائج* :إذا عامدت المستقيمات نفس المستوي فهى متوازية
*إذا عامد مستوى أحد المستقيمات المتوازية فإنه يعامدها كلها
طريقة برهان :للبرهان على توازى مستقيمين نبرهن أنهما عموديان على نفس المستوي
طريقة برهان :للبرهان على تعامد مستقيمين نبرهن أن أحدهما عمودى على مستوي االخر
خالصة :المستقيم و المستوي في الفضاءهما :
إما متوازيان(تماما أو باالحتواء) وإما متقاطعان(فى الحالة العامة أ و فى حالة التعامد)تطبيق ABCDEFGH :متوازى مستطيالت كما فى الشكل
)1
)2
)3
)4
)5
H
G
مانوع الرباعى ABGH؟
مانوع المجسم GABFE؟ أذكر أوجهه .ماهو ارتفاعه؟
A
B
أذكر مع التعليل وضعية كل من المستقيمات
) (EFو) (EG) ; (ABو) (GB) ; (ABو) (EF) ; (ABو) (BG) ; (BGو) (DC) ; (AHو) (BG) ; (AHو)(BC
أذكر وضعية كل من المستقيمات و المستويات فى كل حالة
) (ABو) (AB) ; (BCFو) (AB) ; (ABDو) (AG) ; (AG) (GHFو) (AG) ; (BCFو)(ABGH
مانوع كل من المثلثات التاليةBHC ; ABH ; BEH ; ADE ; EHF :
F
C
E
D
التصحيح فى ص......
6
األوضاع النسبية لمستويين :نقول عن مستويين متمايزيين أنهما متقاطعان إذا كانت لهما نقطة مشتركة
طريقة برهان :للبرهان ان مستويين متقاطعان نبرهن انهما مختلفان اى متمايزيان( بوجود نقطة من احدهما ليست فى االخر ) و أن
لهما نقطة مشتركة
طريقة برهان :للبرهان أن مستويين لهما نقطة مشتركة نبحث عن مستقيمين منهما على الترتيب و نبرهن أنهما متقاطعان فى نقطة
فتصبح هذه النقطة مشتركة بين المستويين
نتائج* :إذا اشترك مستويان متمايزان في نقطة Aفإن تقطعهما هو المستقيم الذى يشمل A
*إذا اشترك مستويان متمايزان ف نقطتين مختلفتين Aو Bفإن تقاطعهما هو المستقيم )(AB
* إذا اشترك مستويان متمايزان فى ثالثة نقاط مختلفة ليست على استقامة واحدة فهما متطابقان
طريقة برهان :للبرهان أن ثالثة نقاط على استقامة واحدة نبرهن أنها تنتمى إلى نفس مستقيم التقاطع بين مستويين
نقول عن مستويين أنهما متوازيان إذا احتوى أحدهما على مستقيمين متقاطعين و موازيين للمستوي االخر
مالحظة :المستويان المتطابقان متوازيان
نتائج * :إذا وازى مستقيمان متقاطعان نفس المستوي ) (Pفإنهما يعينان مستويا مواز لـ )(P
*إذا كان ) (Pمستوى يحوى مستقيمين متقاطعين ) (∆1و) (∆2فإن كل مستقيمين متقاطعين و موازيين بالترتيب
لهذين المستقيمين يعينان مستويا مواز )(P
* إذا كان ) (Pو) (Lمستويان متوازيان و كانت Aنقطة من ) (Pفإن كل مستقيم يشمل Aو يوازي) (Lمحتواة فى )(P
* إذا توازى مستويان فإن كل مستقيم من أحدهما يوازى المستوى األخر
*إذا قطع مستوي أحد المستويات المتوازية فإنه يقطعها كلها وفق مستقيمات متوازية
* التوازى فى الفضاء بين المستقيمات متعد أي :إذا وازى مستوي احد المستويات المتوازية فإنه يوازيها كلها
* فى الفضاء يوجد مستوى وحيد يشمل نقطة معلومة و يوازي مستويا معلوما أي":إذا وجد مستويين متقاطعين و
موازيين لنفس المستوي فهما متطابقان"
تطبيق ABCD :رباعى وجوه (هرم قاعدته مثلث) منتظم (أضالعه متقايسة كلها) طول حرفه 6cm
K ; J : iهى منتصفات ]𝑩𝑨[ و]𝑪𝑨[ و]𝑫𝑨[ على الترتيب
)1بين أن المستوى ) (ijkيوازى المستوى )(BCD
)2احسب محيط المثلث IJK
7
حالة خاصة( التعامد):
نقول عن مستويين أنهما متعامدان إذا احتوى أحدهما على مستقيم يعامد المستوي االخر
نتائج*:إذا كان) (Pو) (Lمستويان متعامدان و كانت Aنقطة من ) (Pفإن كل مستقيم يشمل Aوبعامد) (Lمحتواة في )(P
* إذا كان) (Pو) (Lمستويان متعامدان فإن كل مستقيم محتواة فى احدهما و عمودي على مستقيم التقاطع يكون
عموديا على المستوي االخر
نظرية :إذا عامد مستويان متقاطعان نفس المستوى ) (Pفإن مستقيم تقاطعهما يعامد )(P
أى
مستقيم التقاطع
إذا عامد مستوي مستويين متقاطعين فإنه يعامد مستقيم تقاطعهما
)(p
مالحظة :المستويان العموديان على نفس المستوي ليسا بالضرورة متوازيان
نظرية :إذا عامد مستوي أحد المستويات المتوازية فإنه يعامدها كلها ووفق مستقيمات متوازية
خالصة :المستويان فى القضاء هما :
إما متوازيان (تماما أو بالتطابق) -و إما متقاطعان( فى الحالة العامة أو فى حالة التعامد)
تطبيق ABCDEFGH :مكعب L .نقطة من ]𝐵𝐴[ و )∆( مستقيم يشمل النقطة Dوعمودى على )(LC
)1بين ان )∆( عمودى على المستوي )(LCG
)2عين المستقيم )∆( وعين المستوي ) (LCGفى كل من الحالتين:
Lنقطة تنطبق على A Lتنطبق على B -التصحيح فى ص......
E
F
B
A L
H
G
C
D
)∆(
8
نتائج مهمة حول المستقيمات و المستويات فى حالة التوازى و التقاطع
قاعد السقف :إذا توازى مستقيمان و حواهما مستويان متقاطعان فإن مستقيم تقاطع المستويين يوازى هذين المستقيمين
مالحظة :يمكن ان نشبه قاعدة السقف بوضعية فتح كتاب إلى نصفين
مستقيم التقاطع
صيغة أخرى لقاعدة
السقف:
إذا وازى مستقيم مستويين متقاطعين فإنه يوازي مستقيم تقاطعهما
مستقيمان متوازيان
نظرية :إذا وازى مستقيم )∆( مستويا ) (Pفإن كل مستوى يحوى)∆( و يقطع ) (Pيقطعه وفق مستقيم مواز لـ )∆(
أو
إذا وازى مستقيم )∆( مستويا ) (Pفإن كل مستوى يحوى)∆( ويشترك مع ) (Pفى نقطة Mيقطع ) (Pفى مستقيم
يشمل Mويوازي )∆(
تطبيق SABC :رباعى وجوه حيث ) (SAعمودى على مستوى الوجه ) (ABCو المثلث ABCقائم فى . Bانظر الشكل
)1بين أن المستقيمين ) (BCو ) (SAمتعامدان
)2بين أ ن المثلث SBCقائم فى B
H )3نقطة من الحرف ]𝐵𝐴[ .المستوي ) (Pالذى يشمل Hو العمودى على ) (ABيقطع ) (ACو ) (SCو ) (SBفى
S
النقط K ; J ; Iعلى الترتيب.
الهدف من األسئلة هو إنشاء K ; J ; Iأ) بين أن المستقيمين ) (HIو ) (BCمتوازيان
C
ب) باستعمال قاعدة السقف استنتج أن المستقيمين ) (HIو ) (KJمتوازيان
ح) استنتج أن الرباعى KHIJمستطيل
B
A
ه) اكمل الرسم
9
خالصة عامة حول البراهين
كيف تبرهن؟
كيف تبرهن على تقاطع مستقيمين؟
-
نبرهن أنهما من نفس المستوي و أنهما غير متوازيين [ نقول عن مستقيمين أنهما متقاطعان إذا حواهما نفس المستوي و كانا
غير متوازيين]
كيف تبرهن على توازى مستقيمين؟
-
نبرهن أنهما من نفس المستوى و أنهما غير متقاطعين [ نقول عن مستقيمين أنهما متوازيان إذا حواهما نفس المستوى وكانا
غير متقاطعين]
نبرهن انهما موازيين لمستقيم اخر( التوازى متعد بين المستقيمات)
-
نبرهن أنهما يعامدان نفس المستوى[المستقيمان العموديان على نفس المستوي متوازيان]
-
حذار :المستويان العموديان على نفس المستوى ليسا بالضرورة متوازيان
حذار :المستقيمان العموديان على نفس المستقيم ليسا بالضرورة متوازيان
أما :المستويان العموديان على نفس المستقيم فهما متوازيان
-
نبين أنهما ناتجان من تقاطع مستويين متوازيين و مستوي قاطع(أو عامد) لهما [إذا قطع(عامد) مستوي أحد المستويات
المتوازية فإنه يقطعها(يعامدها) كلها ووفق مستقيمات متوازية]
نستعمل قاعدة السقف
كيف تبرهن على تعامد مستقيمين؟
-
نبرهن أنهما موازيين على الترتيب لمستقيمين متعامدين [نقول عن مستقيمين أنهما متعامدان إذا وازا على الترتيب مستقيمين
متعامدين]
نبرهن أن أحدهما يعامد أحد المستقيمات الموازية لالخر[إذا عامد مستقيم أحد المستقيمات المتوازية فإنه يعامدها كلها]
-
نبرهن أن احدهما يعامد المستوي الذى يحوي االخر[ إذا عامد مستقيم مستويا فإنه يعامد كل مستقيمات هذا المستو]
-
كيف تبرهن على تخالف مستقيمين؟
-
نبرهن أنهما غير متوازيين و غير متقاطعين[نقول عن مستقيمين أنهما متخالفان إذا استحال ان يحويهما نفس المستوي]
نبرهن أن أحدهما يقطع مستوى االخر فى نقطة ال تنتمى إلى المستقيم االخر
10
كيف تبرهن على تقاطع مستقيم و مستوى؟
-
نبرهن أن هذا المستقيم غير محتواة فى هذا المستوي( بوجود نقطة من هذا المستقيم ال تنتمى لهذا المستوى) و أنه
يشترك معه فى نقطة(أي يوجد مستقيم فى هذا المستوي يقطع هذا المستقيم)
-
نبرهن أن هذا المستقيم يقطع أحد المستويات الموازية لهذا المستوي[إذا قطع مستقيم احد المستقيمات المتوازية فإنه يقطعها
كلها]
كيف تبرهن على تعامد مستقيم و مستوي؟
نبرهن ان هذا المستقيم يعامد مستقيمين متقاطعين من هذا المستوي [نقول عن مستقيم أنه يعامد مستويا إذا عامد هذاالمستقيم مستقيمين متقاطعين من هذا المستوي]
نبرهن أن هذا المستقيم يعامد أحد المستويات الموازية لهذا المستوي[ إذا عامد مستقيم أحد المستويات المتوازية فإنهيعامدها كلها ]
نبرهن أن هذا المستقيم هو تقاطع لمستويين عموديين على هذا المستوي[إذا تقاطع مستويان و عامدا نفس المستوى فإنمستقيم تقاطعهمايعامد هذا المستوى]
كيف تبرهن على توازى مستقيم و مستوي؟
نبرهن أن هذا المستقيم يوازي مستقيما من هذالمستوي [يتوازى مستقيم و مستوي إذا وازى هذا المستقيم مستقيما من هذاالمستوى]
نبرهن أن هذا المستقيم محتواة فى مستو مواز لهذا المستوي [ إذا توازا مستويان فإن كل مستقيم من أحدهما يوازيالمستوي االخر]
كيف تبرهن على تقاطع مستويين؟
-
نبرهن أنهما متمايزان (مختلفان) ( بوجود نقطة من أحدهما ليست فى االخر) وأنهما يشتركان فى نقطة
-
نبرهن أن أحدهما قاطع ألحد المستويات الموازية للمستوى االخر[إذا قطع مستوي أحد المستويات المتوازية فإنه
يقطعها كلها]
كيف تبرهن على توازى مستويين ؟
-
نبرهن ان أحدهما يحوي مستقيمين متقاطعين و موازييين للمستوي االخر[يتوازى مستويان إذا احتوى أحدهما على
مستقيمين متقاطعين و موازيين للمستوى االخر]
-
نبرهن انهما موازيين لمستو ثالث( التوازى متعد بين المستويات)[إذا وازى مستوي أحد المستويات المتوازية فإنه
يوازيها كلها ] .حذار :التوازى بين مستقيمات و مستويات معا غير متعد
كيف تبرهن على تعامد مستويين؟
-
نبرهن أن أحدهما يحوى مستقيما عمودى عل المستوي االخر[يتعامد مستويان إذا حوى أحدهما مستقيما يعامد
المستوي االخر]
-
نبرهن أن أحدهما يعامد أحد المستويات الموازية للمستوي االخر[إذا عامد مستوي أحد المستويات المتوازية فإنه
يعامدها كلها]
11
أمثلة عن البراهين :كيف تبرهن على تعامد مستقيمين بواسطة المستويات؟
طريقة :1نعتمد على النظرية[ :إذا عامد مستقيم مستويا فإنه يعامد كل مستقيم من هذا المستوي]
مثال:إذا عامد مسثقيم )∆( مستويا يحوي مستقيما ) (Dفإن )∆( يعامد )(D
كيف نستعمل هذه الطريقة للبرهان ان )∆( يعامد ) (D؟
الحل :نبحث عن مستقيمين متقاطعين يعينان مستويا يحوي أحدهما[ ) (Dأو)∆(] و يعامدهما المستقيم االخر
أى:
نبحث عن مستقيمين متقاطعين يعينان مستويا يحوي ) (Dبحيث )∆( يعامد هذين المستقيمين (اي )∆( يعامد المستوي المعين
بهذين المستقيمين) و بالتالي )∆( يعامد )(D
*أو*
نبحث عن مستقيمين متقاطعين يعينان مستويا يحوي )∆( بحيث ) (Dيعامد هذين المستقيمين ( أي ) (Dيعامد المستوي
المعين بهذين المستقيمين المتقاطعين) وبالتالي ) (Dيعامد )∆(
بتعبيراخر :نبحث عن المستقيمات التى يعامدها )(D
بتعبيراخر :نبحث عن المستقيمات التى يعامدها )∆(
?
?{⊥ )(D
?
ثم من بين المستقيمات ؟ ؟ ؟ ...ماهما :
المستقيمان اللذان يعينان مستويا يحوي )∆(
لكي يصبح ) (Dيعامد مستواهما و بالتالي) (Dيعامد )∆(
?
?{ ⊥ )∆(
?
ثم من بين المستقيمات ؟ ؟ ؟ ...ماهما :
المستقيمان اللذان يعينان مستويا يحوي )𝑫(
لكي يصبح )∆( يعامد مستواهما و بالتالي)∆( يعامد )(D
طريقة :2نعتمد على[ :إذا تقاطع مستويان و عامدا نفس المستوي ) (Pفإن تقاطعهما يعامد )] (P
إذا اعتمدنا هذه الطريقة للبرهان أن مستقيمين )∆( و ) (Dمتعامدان :
نبحث عن مستويين يتقاطعان فى أحدهما و يعامدان نفس المستوي الذى يحوي المستقيم ) (Dفينتج مستقيم التقاطع )∆(
عمودي على المستوي الذي يحوي ) (Dو بالتالي )∆( عمودي على )(D
12
أمثلة عن البراهين :كيف نعين مستقيم تقاطع مستويين باستعمال المستقيمات؟
مثال :الشكل التالي متوازي مستطيالت ماهى وضعية المستويين ) (ABCو ) . (MDGحدد مستقيم تقاطعهما إن وجد
M
F
E
A
B
)(L
G
C
D
R
الحل :لدينا (MG) :يوازي )[ (ABCألن ) (MGمستقيم فى مستوي مواز لـ )] (ABC
و المستوي ) (MDGيحوي المستقيم ) (MGو يشترك مع المستوي ) (ABCفى النقطة D
إذن فإن المستوي ) (MGDيقطع ) (ABCوفق مستقيم ) (Lيشمل Dو يوازي ) ( (MGحسب النظرية)
النظرية :إذا وازى مستقيم )∆( مستويا ) (Pفإن كل مستوي يحوي )∆( و يقطع ) (Pفى نقطة Aيقطعه وفق مستقيم يشمل A
و يوازي )∆(
هذا المستقيم ) (Lيقطع )[ (BCالنهما من نفس المستوي ) (ABCو غير متوازيين(و إال لكان ) ]) (L) = (ABفى نقطة و لتكن R
و منه ) (MGDيقطع المستوي ) (ABCوفق المستقيم )(DR
13
تطبيقات مختلفة
تطبيق :1إليك الشكل ABCDEFGHمتوازى مستطيالت حيث ]𝐹𝐸[ ∈M
)1
)2
)3
)4
M
F
أذكر من الشكل مستويا يحوى المستقيم ) (BMو يقطع المستوى )(ABC
G
أذكر من الشكل مستويا يحوى المستقيم ) (MGو يقطع المستوى )(ABC
أذكر من الشكل مستويا يقطع المستوى) (ABCفى مستقيم مواز لـلمستقيم )(MG
C
أذكر وضعية المستويات التالية و عين مستقيم تقاطعها إن وجد
) (ABFو) (ABC) ; (DCHو) (ABC) ; (AMBو) (ABC) ; (BGFو) (ABC) ; (DCMو)(MDG
E
A
B
H
D
تطبيق ABCD :2مربع مركزه S . Oنقطة من الفضاء ال تنتمى إلى المستوي )(ABC
إذا كان ) (SOعمودي على سطح المربع :
)1فما هو نوع المجسم
SABC؟
)2بين أن ) (SOعمودي على كل من (AC) ; (DC) ; (AB) ; (AD) ; (BC) :
تطبيق ABCD :3رباعى وجوه (هرم قاعدته مثلث) حيث (AB) :عمودى على المستقيمين ) (BCو ) (BDو المثلث BCD
قائم فى النقطة C
)1بين أن المستقيم ) (ABيعامد المستقيم )(DC
)2بين أن المستقيم ) (DCيعامد المستوي )(ABC
تطبيق ABCDEFGH :4مكعب طول حرفه 6cm
)1مانوع كل من المثلثات التاليةDEC ; ADC ; ABC ; ABE ; ADE :
)2أحسب مساحة الهرم ABCDEو حجمه
K )3منتصف ]𝐵𝐸[ و Lمنتصف ]𝐸𝐷[ .بين أن ) (KL)// (BDو استنتج طول ]𝐿𝐾[
تطبيق ABCDEFGH :5مكعب
)1بين أن المستقيمين ) (FCو ) (AGمتعامدان .استنتج و ضعية المستويين ) (BCGو )(ABG
)2عين تقاطع المستوي ) (ABGمع كل وجه من وجوه المكعب
)3استنتج مقطع المستوي ) (ABGمع المكعب
تطبيق ABCDEFGH :6متوازي مستطيالت
)1بين أن القطعتين ]𝐶𝐸[ و ]𝐹𝐷[ تقعان فى نفس المستوي و أنهما متناصفتان
)2حدد الوضع النسبي ( مع التعليل) فى كل حالة :
) (ABو ) (DC) ; (DCFو ) (AD) ; (DCFو ) (DCF) ; (DCFو )(DE
)3عين مستقيمات التقاطع للمستوى ) (DFCمع كل مستوي وجوه المتوازى المستطيالت
14
تطبيق:7إليك الشكل الذى يمثل مكعب حيث AJ = AI = x
E
برهن أن المثلث IJKمتقايس األضالع
H
I
F
X
A
K
D
J
C
B
تطبيق :8إليك الشكل التالى الذى يمثل متوازى مستطيالت بطول 8cmو الوجه ABCDمربع طول ضلعه 4cm
)1برهن أن ) (EOيعامد )(BD
F
B
)2مثل المجسم EABDبالمنظور المتساوى القياس ثم اعط تصميما له
E
A
O
C
4cm
D
تطبيق:9
8cm
H
SABCرباعى وجوه بحيث ) (SAعمودى على ) (ABCو المثلث ABCقائم فى B
Hنقطة من ]𝐵𝐴[ و ) (Pمستوى يشمل Hو يعامد ) (ABو يقطع ) (ACو ) (CSو ) (BSفى K ; J ; Iعلى الترتيب
)1بين أن )(P) ⊥(SAB) ; (P) ⊥(ABC) ; (SAC) ⊥(ABC) ; (SAB) ⊥(ABC
)2بين أن ) (BC) //(HIو أن )(KJ) //(BC
تطبيق ABCDEFGH :10مكعب .بين ان المستقيم ) (AGعمودى غلى المستوى )(CFH
التصحيح فى ص ........
15
16
