Fichier PDF

Partage, hébergement, conversion et archivage facile de documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Convertir un fichier Boite à outils PDF Recherche PDF Aide Contact



(maths monde) Site Immediato .pdf



Nom original: (maths monde) Site_Immediato.pdf
Titre: Bienvenue

Ce document au format PDF 1.6 a été généré par Adobe Acrobat 8.1 Combine Files / Adobe Acrobat 8.1, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 01/07/2016 à 04:58, depuis l'adresse IP 105.66.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 2480 fois.
Taille du document: 26.5 Mo (4464 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document


Bienvenue sur le site de Henri Immediato
Enseignement (1e et 2e années de Sciences) : plus de 1000 exercices
entièrement résolus.
Théorie des ensembles : exercices.
Algèbre, structures : exercices.
Arithmétique : exercices.
Algèbre linéaire : exercices.
Analyse : exercices.
Probabilités : exercices.
Statistiques : cours (1e partie, 2e partie), exercices.
Manuscrits : fonctions de variable complexe (27 Mo), distributions (49 Mo)
Cours d'analyse (27 Mo).
Mise à jour : 14 février 2008, nouvel exercice

Maths - Lyon 1
Si le site vous a plu, téléchargez l'ensemble du site (format ZIP, 18,4 Mo).

Théorie des ensembles - Table des matières

Page 1 sur 1

Théorie des ensembles
e-mail

1. Connecteurs, quantificateurs, tables de vérité.
2. Ensembles : réunion, intersection, complémentaire, différence symétrique.
3. Applications : injection, surjection, bijection.
4. Cantor, Bernstein, cardinaux.
5. Relations d'équivalence.
6. Relations d'ordre.
7. Applications d'ensembles finis.
8. Parties d'ensembles finis.
9. Coefficients binomiaux.
10. Entiers naturels, rationnels, réels.

Accueil

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Définitions

Page 1 sur 1

Exercices

Connecteurs, quantificateurs, tables de vérité :
définitions.
1. Relation : NON, OU, ET, IMPLIQUE, EQUIVAUT.
2. Axiomes d'une théorie logique, théorème, démonstration.
3. Quantificateurs universel et existentiel.
4. Table de vérité.
5. Appartenance, théorie des ensembles.

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Définitions

Page 1 sur 1

1. Relation.
Les signes d'une théorie peuvent être des lettres, des signes logiques (connecteurs) : ¬, ∧, ∨..., des
symboles ou signes spécifiques τ, ∈, ⊆, ≤, ∀, ∃, =, ...
Un assemblage est une suite de signes : l'assemblage ∨ ¬ se représente par ⇒.
Un terme est un assemblage qui se réduit à une lettre ou qui commence par un τ (tau de Hilbert) et qui
figure dans une construction formative.
Une relation est un assemblage représentant une assertion ou proposition que l'on peut faire sur ses
objets, et qui figure dans une construction formative.
Une construction formative d'une théorie T est une suite d'assemblages (termes ou relations) telle que,
pour tout assemblage de la suite, l'une des conditions suivantes est vérifiée :
a) A est une lettre ;
b) Il y a dans la suite une relation B précédant A telle que A soit ¬ B ;
c) Il y a dans la suite deux relations B et C (distinctes ou non) précédant A, telle que A soit ∨ B C (noté
aussi B ∨ C) ;
d) Il y a dans la suite une relation B précédant A et une lettre x telle que A soit τ x (B) ;
Intuitivement, l'assemblage τ x (B) représente un objet, choisi une fois pour toutes, vérifiant la
relation B.
Par exemple, l'assemblage τ X ((∀x)(x ∉ X)) est désigné par Ø et appelé l'ensemble vide.
e) Il y a un signe spécifique s de poids n de T, et n termes A 1, A 2, ..., A n, précédant A, tels que A soit s
A 1 A 2 ... A n.
Les conditions a) et d) définissent les termes, les conditions b), c), e), définissent les relations.
Exemples de relations :
Si B est une relation, la relation ¬ B se lit NON B, et s'appelle la négation de B.
Si B et C sont des relations, la relation B ∨ C se lit B OU C et s'appelle la disjonction de B et C.
Si B et C sont des relations, la relation ¬ (¬ B ∨ ¬ C) se note B ∧ C, se lit B ET C et s'appelle la
conjonction de B et C.
Si B et C sont des relations, la relation ¬B ∨ C se note B ⇒ C, se lit B IMPLIQUE C et s'appelle
l'implication de B et C.
Si B et C sont des relations, la relation (B ⇒ C) ∧ (C ⇒ B) se note B ⇔ C, se lit B EQUIVAUT A C et
s'appelle l'équivalence de B et C.

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Définitions

Page 1 sur 1

2. Axiomes d'une théorie logique, théorème, démonstration.
Une théorie logique est une théorie T dans laquelle les schémas S1 à S4 ci-dessous fournissent des
axiomes implicites (un axiome est une assertion évidente ou une hypothèse dont on s'apprête à tirer les
conséquences) :
S1. Si A est une relation de T, (A ou A) ⇒ A est un axiome de T.
S2. Si A et B sont des relations de T, la relation A ⇒ (A ou B) est un axiome de T.
S3. Si A et B sont des relations de T, la relation (A ou B) ⇒ (B ou A) est un axiome de T.
S4. Si A, B et C sont des relations de T, la relation (A ⇒ B) ⇒ ((C ou A) ⇒ (B ou A)) est un
axiome de T.
Par opposition aux axiomes, un théorème d'une théorie T est une relation figurant dans une
démonstration.
Au lieu de théorème, on parle aussi de "relation vraie" dans T.
Un texte démonstratif contient :
1°/ Une construction formative auxiliaire contenant des relations et des termes de T ;
2°/ Une démonstration.
Une démonstration est une suite de relations telles que, pour chaque relation R de la suite, l'une au moins
des conditions suivantes est réalisée :
a) R est un axiome explicite de T. (Exemples d'axiomes explicites : n = 3, E est un ensemble, f est une
application de E dans F, etc.).
b) R résulte de l'application d'un schéma d'axiome à des termes ou relations figurant dans la
construction formative auxiliaire.
c) Il y a dans la suite deux relations S et T, précédant R, telles que T soit S ⇒ R (Règle de modus
ponens).
On peut voir un exemple un peu détaillé d'une telle démonstration dans le Chapitre 2, Exercice 8, 1°.
Dans la réalité, les démonstrations complètes sont trop longues pour être écrites entièrement, il suffit de
savoir qu'on peut les faire, pour pouvoir admettre le résultat des raccourcis.

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Définitions

Page 1 sur 1

3. Quantificateurs.
Si R est un assemblage et x une lettre, l'assemblage (τ x (R) | x) R, qui se lit τ x (R) remplace x dans R, se
désigne par "Il existe un x tel que R", ou (∃ x) R.
L'assemblage ¬ ((∃ x) (¬ R)) est noté (∀ x) R, ou "Pour tout x, R", ou "Quel que soit x, R".
Les symboles abréviateurs ∃ et ∀ sont appelés les quantificateurs (existentiel et universel,
respectivement).
Si R est une relation, (∃ x) R et (∀ x) R sont des relations.
Les relations (∀ x) R et (τ x (¬ R) | x) R sont équivalentes.
Intuitivement, la relation (∃ x) R signifiequ'il y a un objet possédant la propriété R,
(∀ x) R signifie que tout objet possède la propriété R.
Une théorie quantifiée est une théorie T dans laquelle les schémas S1 à S4 ci-dessus, et le schéma S5 cidessous, fournissent des axiomes implicites.
S5. Si R est une relation de T, T un terme de T, et x une lettre, la relation (T | x) R ⇒ (∃ x) R
est un axiome.

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Définitions

Page 1 sur 1

4. Table de vérité.
Une relation d'une théorie logique peut être vraie ou fausse : on peut lui attribuer une valeur de vérité 0
(fausse) ou 1 (vraie).
La table de vérité d'une relation où figurent des connecteurs logiques s'obtient à partir des tables de
vérité de ces connecteurs :

A∨B A∧B A⇒B A⇔B

A

B

¬A

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

Deux relations équivalentes ont la même table de vérité : A ⇔ B a pour valeur de vérité 1 si, et
seulement si, A et B ont les mêmes valeurs de vérité 0 ou 1, en même temps.
Les théorèmes et les axiomes ont une valeur de vérité 1.

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Définitions

Page 1 sur 1

5. Appartenance, théorie des ensembles.
La relation "x est un élément de l'ensemble E" est notée :
x ∈ E (relation d'appartenance).
Cette relation se lit aussi "x appartient à E".
∈ est un signe de la théorie des ensembles.
La théorie des ensembles est une théorie logique, quantifiée et égalitaire (existence d'un signe relationnel
de poids 2 noté =, qui se lit "égale").
Elle possède donc les schémas d'axiomes S1 à S4 des théories logiques, le schéma S5 des théories
quantifées, et les schémas S6 et S7 des théories égalitaires:
S1. Si A est une relation de T, (A ou A) ⇒ A est un axiome de T.
S2. Si A et B sont des relations de T, la relation A ⇒ (A ou B) est un axiome de T.
S3. Si A et B sont des relations de T, la relation (A ou B) ⇒ (B ou A) est un axiome de T.
S4. Si A, B et C sont des relations de T, la relation (A ⇒ B) ⇒ ((C ou A) ⇒ (B ou A)) est un
axiome de T.
S5. Si R est une relation de T, T un terme de T, et x une lettre, la relation (T | x) R ⇒ (∃ x) R
est un axiome de T.
S6. Soient x une lettre, T et U des termes de T, et R | x| une relation de T ; la relation (T = U)
⇒ (R | T | ⇔ R | U |) est un axiome de T.
S7. Si R et S sont des relations de T et x une lettre, la relation ((∀x)(R ⇔ S) ⇒ (τ x (R) = τ x
(S)) est un axiome de T.

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Enoncés

Page 1 sur 1

Chapitre 1. Connecteurs, quantificateurs, tables de vérité.
Exercice 1. Relations équivalentes.
Exercice 2. Tables de vérité.
Exercice 3. Connecteurs NAND et NOR.
Exercice 4. Langage mathématique.
Exercice 5. Relations.
Exercice 6. Table de vérité d'une relation.
Exercice 7. Equivalence de deux relations.
Exercice 8. Petit problème amusant de logique.

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Enoncés

Exercice 1. Relations équivalentes.
Soit E un ensemble, P (x) et Q (x) des propositions concernant les éléments de E. A-ton les équivalences suivantes :
1°/ (∀x ∈ E)(P (x) et Q (x)) ⇔ ((∀x ∈ E)(P (x)) et (∀x ∈ E)(P (x))).
2°/ (∃x ∈ E)(P (x) et Q (x)) ⇔ ((∃x ∈ E)(P (x)) et (∃x ∈ E)(P (x))).
3°/ (∀x ∈ E)(P (x) ou Q (x)) ⇔ ((∀x ∈ E)(P (x)) ou (∀x ∈ E)(P (x))).
4°/ (∃x ∈ E)(P (x) ou Q (x)) ⇔ ((∃x ∈ E)(P (x)) ou (∃x ∈ E)(P (x))).

Page 1 sur 1

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Enoncés

Exercice 2. Tables de vérité.
Ecrire la table de vérité de ¬ (p ⇒ q) et la table de vérité de p ∨ (¬ q).

Page 1 sur 1

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Enoncés

Exercice 3. Connecteurs NAND et NOR.
Le connecteur NAND (non-et) est défini par ¬ (p ∧ q).
1°/ Donner sa table de vérité.
2°/ Peut-on définir ¬, ∧ et ∨ en fonction uniquement de NAND ?
3°/ Mêmes questions pour le connecteur NOR (non-ou) défini par ¬ (p ∨
q).

Page 1 sur 1

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Enoncés

Exercice 4. Langage mathématique.
Traduire en langage mathématique, en utilisant les quantificateurs adéquats, la
proposition :
"Entre deux réels distincts, on peut trouver un rationnel."

Page 1 sur 1

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Enoncés

Exercice 5. Relations.
Soient P, Q, R, des propositions. Montrer que :
1°/ P ⇒ (Q ⇒ R) équivaut à (P et Q) ⇒ R.
2°/ (P ou Q) ⇒ R équivaut à (P ⇒ R) et (Q ⇒ R).

Page 1 sur 1

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Enoncés

Exercice 6. Table de vérité d'une relation.
Donner la table de vérité de (p → q) ∧ ¬ q.

Page 1 sur 1

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Enoncés

Exercice 7. Equivalence de deux relations.
Sans utiliser de table de vérité, montrer que
(¬ p → q) ∧ r équivaut à (¬ p ∨ ¬ r) → (q ∧ r)

Page 1 sur 1

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Enoncés

Exercice 8. Petit problème amusant de
logique.
L'énigme d'Einstein.
Les faits:
1. Il y a cinq maisons de 5 couleurs différentes.
2. Dans chaque maison vit une personne de nationalité différente.
3. Chacun des 5 propriétaires boit un certain type de boisson,
fume un certain type de cigares et garde un certain animal domestique.
La question:
Qui a le poisson?
Quelques indices:
1. L'Anglais vit dans une maison rouge.
2. Le Suédois a des chiens comme animaux domestiques.
3. Le Danois boit du thé.
4. La maison verte est à gauche de la maison blanche.
5. Le propriétaire de la maison verte boit du café.
6. La personne qui fume des Pall Mall a des oiseaux.
7. Le propriétaire de la maison jaune fume des Dunhill.
8. La personne qui vit dans la maison du centre boit du lait.
9. Le Norvégien habite la première maison.
10. L'homme qui fume les Blend vit à côté de celui qui a des chats.
11. L'homme qui a un cheval est le voisin de celui qui fume des
Dunhill.
12. Le propriétaire qui fume des Blue Master boit de la bière.
13. L'Allemand fume des Prince.
14. Le Norvégien vit juste à côté de la maison bleue.
15. L'homme qui fume des Blend a un voisin qui boit de l'eau.

Page 1 sur 1

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 1

Page 1 sur 3

Chapitre 1. Connecteurs, quantificateurs, tables de vérité.
Enoncés.

Exercice 1. Relations équivalentes.
Soit E un ensemble, P (x) et Q (x) des propositions concernant les éléments de E. A-ton les équivalences suivantes :
1°/ (∀x ∈ E)(P (x) et Q (x)) ⇔ ((∀x ∈ E)(P (x)) et (∀x ∈ E)(Q (x))).
2°/ (∃x ∈ E)(P (x) et Q (x)) ⇔ ((∃x ∈ E)(P (x)) et (∃x ∈ E)(Q (x))).
3°/ (∀x ∈ E)(P (x) ou Q (x)) ⇔ ((∀x ∈ E)(P (x)) ou (∀x ∈ E)(Q (x))).
4°/ (∃x ∈ E)(P (x) ou Q (x)) ⇔ ((∃x ∈ E)(P (x)) ou (∃x ∈ E)(Q (x))).

Solution
1°/ (∀x ∈ E)(P (x) et Q (x)) ⇔ ((∀x ∈ E)(P (x)) et (∀x ∈ E)(P (x))).
Deux relations A et B sont équivalentes si, et seulement si, A ⇒ B et B ⇒ A sont des théorèmes.
Soit T la théorie des ensembles, et T 0 la théorie sans axiomes explicites, qui possède les mêmes signes
que T et les seuls schémas S 1 à S 5.
La théorie T est plus forte que la théorie T 0 : tout théorème de la théorie T 0 est un théorème de la théorie
T.
Il suffit donc de démontrer la propriété 1° dans la théorie T 0 dont x n'est pas une constante pour qu'elle
soit valable dans la théorie des ensembles.
Cela revient à considérer un x quelconque dans E.
Or si la relation (P (x) et Q (x)) est vraie pour un x quelconque de E, alors les relations P (x) et Q (x) sont
vraies toutes les deux, pour un x quelconque de E.
Par suite, les relations (∀x ∈ E)(P (x)) et (∀x ∈ E)(Q (x) sont vraies toutes les deux, donc la relation ((∀x
∈ E)(P (x)) et (∀x ∈ E)(Q (x)) est vraie.
Réciproquement, si la relation ((∀x ∈ E)(P (x)) et (∀x ∈ E)(Q (x)) est vraie, alors les relations (∀x ∈ E)
(P (x)) et (∀x ∈ E)(Q (x) sont vraies toutes les deux, donc les relations P (x) et Q (x) sont vraies pour un x
quelconque de E, la relation (P (x) et Q (x)) est vraie pour un x quelconque de E, donc la relation (∀x ∈
E)(P (x) et Q (x)) est vraie.
Les relations (∀x ∈ E)(P (x) et Q (x)) et ((∀x ∈ E)(P (x)) et (∀x ∈ E)(Q (x))) sont donc équivalentes.
Ce résultat peut se démontrer aussi en utilisant les tables de vérité.
L'assemblage (∃ x) R est, par définition, l'assemblage (τ x (R) | x) R, et l'assemblage (∀ x) R est
l'assemblage ¬ ((∃ x) (¬ R)).

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 1

Page 2 sur 3

Table de vérité des quantificateurs :
(∃ x ∈ E) R
(x)

¬ ((∃ x ∈ E) R
(x))

(∀ x ∈ E) ¬ R
(x)

(∃ x ∈ E) ¬ R
(x)

¬ ((∃ x ∈ E) ¬ R
(x))

(∀ x ∈ E) R
(x)

0

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

On peut construire les tables de vérité suivantes, en utilisant, pour la deuxième, la méthode de
disjonction des cas dans les 3 e et 4 e colonnes.
Lorsqu'une relation écrite ne comporte pas de quantificateur, il est sous-entendu l'expression "pour un x
quelconque de E" (dans la théorie T 0).
(∀x) P (∀x) Q
(x)
(x)

(∀x) P (x) et
(∀x) Q (x)

P Q
(x) (x)

P (x) et
Q (x)

(∀x) (P (x) et (∀x) P (x) et (∀x) Q (x) ⇒(∀x)
Q (x))
(P (x) et Q (x))

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

(∀x) P (x) et
(∀x) Q (x)

(∀x) (P (x) et Q (x)) ⇒ (∀x) P
(x) et (∀x) Q (x)

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

(∀x) (P (x) et
Q (x))

P (x) et
Q (x)

P Q (∀x) P (∀x) Q
(x) (x)
(x)
(x)

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

2°/ (∃x ∈ E)(P (x) et Q (x)) ⇔ ((∃x ∈ E)(P (x)) et (∃x ∈ E)(Q (x))).
Si la relation (∃x ∈ E)(P (x) et Q (x)) est vraie, alors, pour au moins un x de E, le relation (P (x) et Q (x))
est vraie, donc les relations P (x) et Q (x) sont vraies toutes les deux, donc les relations (∃x ∈ E) P (x) et
(∃x ∈ E) Q (x) sont vraies et la relation ((∃x ∈ E) P (x) et (∃x ∈ E) Q (x)) est vraie :
(∃x ∈ E)(P (x) et Q (x)) ⇒ ((∃x ∈ E) P (x) et (∃x ∈ E) Q (x))
Réciproquement, si la relation ((∃x ∈ E) P (x) et (∃x ∈ E) Q (x)) est vraie, rien n'indique qu'il s'agisse du
même x, de sorte que la relation ((∃x ∈ E) P (x) et (∃x ∈ E) Q (x)) n'implique pas la relation (∃x ∈ E)(P
(x) et Q (x)).
Par exemple, la relation "Il existe un entier pair et il existe un entier impair", est vraie, mais la relation "Il

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 1

Page 3 sur 3

existe un entier pair et impair" n'est pas vraie, de sorte que la relation "Il existe un entier pair et il existe
un entier impair" n'implique pas la relation "Il existe un entier pair et impair" .

3°/ (∀x ∈ E)(P (x) ou Q (x)) ⇔ ((∀x ∈ E)(P (x)) ou (∀x ∈ E)(Q (x))).
La relation (∀x ∈ E)(P (x) ou Q (x)) signifie que tout élément x de E vérifie P (x) ou vérifie Q (x) : cette
propriété n'implique pas que tout élément x de E vérifie P (x), ou que tout élément de E vérifie Q (x).
Par exemple, ce n'est pas parce que la relation "Tout entier est pair ou impair" est vraie que la relation
"Tout entier est pair" ou "Tout entier est impair" est vraie, puisqu'il existe des entiers qui ne sont pas pairs
et il existe des entiers qui ne sont pas impairs.
Par contre, la relation (∀x ∈ E)(P (x)) ou (∀x ∈ E)(Q (x)) implique que, pour un x quelconque de E, la
propriété P (x) est vraie, ou bien la propriété Q (x) est vraie, donc la propriété P (x) ou Q (x) est vraie, de
sorte que la relation suivante est vraie :
(∀x ∈ E)(P (x)) ou (∀x ∈ E)(Q (x)) ⇒ (∀x ∈ E)(P (x) ou Q (x))

4°/ (∃x ∈ E)(P (x) ou Q (x)) ⇔ ((∃x ∈ E)(P (x)) ou (∃x ∈ E)(Q (x))).
Dans une théorie logique, si R est une relation et x une lettre, les relations "¬ (∀x) R" et "(∃x) ¬ R"
sont équivalentes.
De même, les relations "¬ (∃x) R" et "(∀x) ¬ R" sont équivalentes.
Les relations R et ¬ (¬ R) sont équivalentes.
Il en résulte que (∃x ∈ E)(P (x) ou Q (x)) est équivalente, successivement, à
(∃x ∈ E)(non(non(P (x) ou Q (x)))),
(∃x ∈ E)(non(non(P (x)) et non(Q (x))))
non((∀x ∈ E)(non(P (x)) et non(Q (x))))
D'après la formule établie en 1° : (∀x ∈ E)(non(P (x)) et non(Q (x))) est équivalente à (∀x ∈ E) non(P
(x)) et (∀x ∈ E) non(Q (x)),
donc non((∀x ∈ E)(non(P (x)) et non(Q (x)))) est équivalente, successivement, à :
non((∀x ∈ E) non(P (x)) et (∀x ∈ E) non(Q (x)))
non(non ((∃x ∈ E) P (x)) et non ((∃x ∈ E) Q (x))),
non(non ((∃x ∈ E) P (x) ou (∃x ∈ E) Q (x))),
(∃x ∈ E) P (x) ou (∃x ∈ E) Q (x)

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 2

Page 1 sur 2

Chapitre 1. Connecteurs, quantificateurs, tables de vérité.
Enoncés.

Exercice 2. Tables de vérité.
Ecrire la table de vérité de ¬ (p ⇒ q) et la table de vérité de p ∨ (¬ q).

Solution
1°/ ¬ (p ⇒ q).
p et q sont supposées être des relations d'une théorie logique.
Elles peuvent être vraies (valeur de vérité 1) ou fausses (valeur de vérité 0).
La table de vérité du connecteur de négation ¬ est :
¬p
1
0

p
0
1
La table de vérité du connecteur de disjonction ∨ est :
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∨q
0
1
1
1

La table de vérité de tous les autres connecteurs s'en déduit :
p

q

¬p

(¬ p) ∨ q = p ⇒ q ¬ (p ⇒ q)

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

Sur cette table, on remarquera que p ⇒ q est vraie si, et seulement si, la valeur de vérité de p est
inférieure ouégale à la valeur de vérité de q.

2°/ p ∨ (¬ q).

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 2

Page 2 sur 2

p ∨ (¬ q) est une relation équivalente à (¬ q) ∨ p = q ⇒ p. Sa table de vérité est donc, d'après la
remarque précédente :
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p ∨ (¬ q) = q ⇒ p
1
0
1
1

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 3

Page 1 sur 3

Chapitre 1. Connecteurs, quantificateurs, tables de vérité.
Enoncés.

Exercice 3. Connecteurs NAND et NOR.
Le connecteur NAND (non-et) est défini par ¬ (p ∧ q).
1°/ Donner sa table de vérité.
2°/ Peut-on définir ¬, ∧ et ∨ en fonction uniquement de NAND ?
3°/ Mêmes questions pour le connecteur NOR (non-ou) défini par ¬ (p ∨
q).

Solution
1°/ ¬ (p ∧ q).
p et q sont supposées être des relations d'une théorie logique.
Elles peuvent être vraies (valeur de vérité 1) ou fausses (valeur de vérité 0).
La table de vérité du connecteur de négation ¬ est :
¬p
1
0

p
0
1
La table de vérité du connecteur de disjonction ∨ est :
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∨q
0
1
1
1

La table de vérité de tous les autres connecteurs s'en déduit : connecteur de conjonction et et sa négation
NAND :
p

q

¬p

¬ q ¬ p ∨ ¬ q p ∧ q = ¬ (¬ p ∨ ¬ q) p NAND q = ¬ (p ∧ q)

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 3

Page 2 sur 3

Sur cette table, on remarquera que p NAND q est vraie si, et seulement si, p et q ne sont pas tous deux
vraies.
Le connecteur NAND est le connecteur de Scheffer des anneaux de Boole (voir Algèbre, Structures,
Chapitre 5).

2°/ Définition des autres connecteurs à partir de NAND.
Il suffit de définir, à partir de NAND la négation et la disjonction, puisque tous les connecteurs peuvent
être définis à partir de ces deux-là.
Or, d'après la table précédente :
p
0
1

p
0
1

¬p
1
0

p NAND p
1
0

p NAND p et ¬ p ont les mêmes valeurs de vérité : ce sont donc des relations équivalentes et ¬ p est
défini par p NAND p.
¬ p = p NAND p
De plus ¬ (p NAND q) = (p NAND q) NAND (p NAND q) a, pour table de vérité :
p NAND q ¬ (p NAND q) p ∧ q

p

q

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

p ∧ q et (p NAND q) NAND (p NAND q) ont les mêmes valeurs de vérité, ce sont donc des relations
équivalentes et p ∧ q est défini par (p NAND q) NAND (p NAND q).
p ∧ q = (p NAND q) NAND (p NAND q).
La disjonction est liée à la conjonction par p ∨ q = ¬ (¬ p ∧ ¬ q). On peut donc aussi la définir à partir de
NAND :
p ∨ q = ¬ (¬ p ∧ ¬ q)
= (¬ p ∧ ¬ q) NAND (¬ p ∧ ¬ q)
= (((¬ p) NAND (¬ q)) NAND ((¬ p) NAND (¬ q))) NAND (((¬ p) NAND (¬ q)) NAND ((¬ p)
NAND (¬ q)))
= (((p NAND p) NAND (q NAND q)) NAND ((p NAND p) NAND (q NAND q))) NAND (((p NAND p)
NAND (q NAND q)) NAND ((p NAND p) NAND (q NAND q))).
Ainsi, tous les connecteurs peuvent être définis à partir du connecteur NAND.

3°/ ¬ (p ∨ q).

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 3

Page 3 sur 3

p ∨ q p NOR q = ¬ (p ∨ q)

p

q

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

p
0
1

p
0
1

p NOR p
1
0

¬p
1
0

p NOR p et ¬ p ont les mêmes valeurs de vérité : ce sont donc des relations équivalentes et ¬ p est défini
par p NOR p.
¬ p = p NOR p
p NOR q = ¬ (p ∨ q)
p ∨ q = ¬ (¬ (p ∨ q)) = ¬ (p NOR q) = (p NOR q) NOR (p NOR q)
p ∨ q = (p NOR q) NOR (p NOR q)
Ainsi, on peut définir la négation et la conjonction à partir de NOR : on peut donc définir tous les
connecteurs logiques à partir de NOR.
On remarquera la symétrie de NAND et de NOR : on passe de l'un à l'autre en échangeant ∨ et ∧.
Par exemple la conjonction est définie à partir de NOR par :
p ∧ q = ¬ (¬ p ∨ ¬ q)
= (((p NOR p) NOR (q NOR q)) NOR ((p NOR p) NOR (q NOR q))) NOR (((p NOR p) NOR (q NOR
q)) NOR ((p NOR p) NOR (q NOR q))).
Cette formule se déduit de celle de p ∨ q, obtenue dans la question 2°, en remplaçant NAND par NOR.
Le connecteur NOR est le connecteur de Peirce, ou NI, des anneaux de Boole (voir Algèbre, Structures,
Chapitre 5).

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 4

Page 1 sur 1

Chapitre 1. Connecteurs, quantificateurs, tables de vérité.
Enoncés.

Exercice 4. Langage mathématique.
Traduire en langage mathématique, en utilisant les quantificateurs adéquats, la
proposition :
"Entre deux réels distincts, on peut trouver un rationnel."

Solution
Si l'on voulait traduire une telle propriété par un assemblage unique, il faudrait un nombre absolument
colossal de signes dans lequel tout un chacun serait perdu.
On utilise donc des abréviations :
– R désigne l'ensemble des nombres réels (corps archimédien complet, tous les corps archimédiens
complets sont isomorphes) ;
– Complet est une abréviation pour dire que toute suite de Cauchy est convergente, ou que R vérifie
l'axiome des intervalles emboîtés : toute suite décroissante d'intervalles fermés a une intersection non
vide.
– Q désigne l'ensemble des nombres rationnels, plus petit corps contenant l'anneau des entiers relatifs Z,
considéré comme un sous-corps de R et qui est lui-même un corps archimédien, Z étant, quant à lui, le
plus petit groupe additif contenant l'ensemble des entiers naturels N.
– Notons, pour abréger, x < y, la relation x y et x ≠ y.
– Pour une relation quelconque R, on note (∀ x ∈ R) R, la relation (∀ x) (x ∈ R et R).
La propriété "Entre deux réels distincts, on peut trouver un rationnel" signifie que, quels que soient les
nombres réels x et y, s'ils sont différents, il existe un nombre rationnel q strictement compris entre x et y.
A cause de la symétrie d'une telle propriété, on peut toujours supposer que x est plus petit que y, car
l'ordre des nombres réels est total (on peut toujours comparer deux nombres réels).
La propriété énoncée prend alors la forme :
(∀ x ∈ R) (∀ y ∈ R) (x < y ⇒ (∃ q ∈ Q) (x < q et q < y))
Cette propriété des nombres réels et des nombres rationnels est équivalente à l'axiome d'Archimède :
Si a et b sont des nombres réels vérifiant 0 < a < b, il existe un entier naturel p tel que b < p a.
(∀ a ∈ R) (∀ b ∈ R) (0 < a et a < b ⇒ (∃ n ∈ N) (b < p a))

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 5

Page 1 sur 2

Chapitre 1. Connecteurs, quantificateurs, tables de vérité.
Enoncés.

Exercice 5. Relations.
Soient P, Q, R, des propositions. Montrer que :
1°/ P ⇒ (Q ⇒ R) équivaut à (P et Q) ⇒ R.
2°/ (P ou Q) ⇒ R équivaut à (P ⇒ R) et (Q ⇒ R).

Solution
1°/ P ⇒ (Q ⇒ R) équivaut à (P et Q) ⇒ R.
P ⇒ (Q ⇒ R) est l'assemblage (¬ P) ∨ ((¬ Q) ∨ R ), par définition de l'implication.
Or la disjonction est associative, car, si A, B, C, sont des relations, nous avons pour table de vérité :
A
0
0
0
0
1
1
1
1

B
0
0
1
1
0
0
1
1

C
0
1
0
1
0
1
0
1

A ∨ B (A ∨ B) ∨ C B ∨ C A ∨ (B ∨ C)
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

Sur cette table, nous voyons que les relations (A ∨ B) ∨ C et A ∨ (B ∨ C) ont les mêmes valeurs de vérité,
donc elles sont équivalentes, ce qu'on traduit en disant que la disjonction est associative.
La relation (¬ P) ∨ ((¬ Q) ∨ R ) est donc équivalente à ((¬ P) ∨ (¬ Q)) ∨ R .
Or (¬ P) ∨ (¬ Q) est équivalente à ¬ (P ∧ Q), donc ((¬ P) ∨ (¬ Q)) ∨ R est équivalente à (¬ (P ∧ Q)) ∨
R.
Par définition de l'implication, (¬ (P ∧ Q)) ∨ R est la relation (P ∧ Q) ⇒ R.
En définitive :
La relation P ⇒ (Q ⇒ R) est équivalente à la relation (P ∧ Q) ⇒ R.

2°/ (P ou Q) ⇒ R équivaut à (P ⇒ R) et (Q ⇒ R).
(P ou Q) ⇒ R est l'assemblage (¬ (P ∨ Q)) ∨ R, par définition de l'implication.
Comme la relation ¬ (P ∨ Q) est équivalente à la relation (¬ P) ∧ (¬ Q), la relation (¬ (P ∨ Q)) ∨ R est

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 5

Page 2 sur 2

équivalente à la relation ((¬ P) ∧ (¬ Q)) ∨ R.
Or la disjonction est distributive par rapport à la conjonction, car, si A, B, C, sont des relations, nous
avons pour table de vérité :
A ∧ B (A ∧ B) ∨ C A ∨ C B ∨ C (A ∨ C) ∧ (B ∨ C)

A

B

C

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Les relations (A ∧ B) ∨ C et (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) ont les mêmes valeurs de vérité, donc elles sont
équivalentes, ce qu'on traduit en disant que la disjonction est distributive par rapport à la conjonction.
Donc la relation ((¬ P) ∧ (¬ Q)) ∨ R est équivalente à la relation ((¬ P) ∨ R) ∧ ((¬ Q) ∨ R).
Or (¬ P) ∨ R est l'assemblage P ⇒ R, et (¬ Q) ∨ R est l'assemblage Q ⇒ R.
Donc la relation ((¬ P) ∨ R) ∧ ((¬ Q) ∨ R) est l'assemblage (P ⇒ R) ∧ (Q ⇒ R).
En définitive :
La relation (P ∨ Q) ⇒ R est équivalente à la relation (P ⇒ R) ∧ (Q ⇒ R).
La démonstration de cette équivalence pourrait se faire aussi par la méthode de disjonction des cas :
a) Si P est vraie, alors P ou Q est vraie, donc si (P ∨ Q) ⇒ R est vraie, R est vraie, par modus ponens,
donc P ⇒ R.
b) Si Q est vraie, alors P ou Q est vraie, donc si (P ∨ Q) ⇒ R est vraie, R est vraie, par modus ponens,
donc Q ⇒ R.
c) De a) et b), résulte déjà que la relation (P ∨ Q) ⇒ R implique la relation (P ⇒ R) ∧ (Q ⇒ R).
d) Réciproquement, si la relation la relation (P ⇒ R) ∧ (Q ⇒ R) est vraie, alors les deux relations P ⇒ R
et Q ⇒ R sont vraies.
e) Dans ce cas, si P ∨ Q est vraie, alors P est vraie ou Q est vraie, et, dans les deux cas, par transitivité, R
est vraie.
f) De d) et e), résulte que la relation (P ⇒ R) ∧ (Q ⇒ R) implique la relation (P ∨ Q) ⇒ R.
g) De c) et f) résulte que, des deux relations (P ⇒ R) ∧ (Q ⇒ R) et (P ∨ Q) ⇒ R, chacune implique
l'autre, donc elles sont équivalentes.

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 6

Page 1 sur 1

Chapitre 1. Connecteurs, quantificateurs, tables de vérité.
Enoncés.

Exercice 6. Table de vérité d'une relation.
Donner la table de vérité de (p → q) ∧ ¬ q.

Solution
p→q=¬p∨q
Connecteur ¬ (non): la valeur de vérité de ¬ p est 0 si celle de p est 1, 1 si celle de p est 0
Connecteur ∧ (et): la valeur de vérité de p ∧ q est 1 si, et seulement si, celles de p et de q sont 1.
Connecteur ∨ (ou): la valeur de vérité de p ∨ q est 1 si celle de p ou celle de q est 1.
Nous obtenons pour table de vérité de (p → q) ∧ ¬ q :
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

¬p
1
1
0
0

¬q
1
0
1
0

p → q (p → q) ∧ ¬ q
1
1
1
0
0
0
1
0

La relation (p → q) ∧ ¬ q est vraie si et seulement si p et q sont fausses : c'est la relation ¬ p ∧ ¬ q.

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 7

Page 1 sur 1

Chapitre 1. Connecteurs, quantificateurs, tables de vérité.
Enoncés.

Exercice 7. Equivalence de deux relations.
Sans utiliser de table de vérité, montrer que
(¬ p → q) ∧ r équivaut à (¬ p ∨ ¬ r) → (q ∧ r)

Solution
Notons "=" la locution "équivaut à".
¬ p → q = ¬ (¬ p) ∨ q = p ∨ q.
(¬ p → q) ∧ r = (p ∨ q) ∧ r
(¬ p ∨ ¬ r) → (q ∧ r) = ¬ (¬ p ∨ ¬ r) ∨ (q ∧ r)
= (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
= (p ∨ q) ∧ r
Les deux relations (¬ p → q) ∧ r et (¬ p ∨ ¬ r) → (q ∧ r) sont toutes les deux équivalentes à une même
troisième, elles sont donc équivalentes entre elles.

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 8

Page 1 sur 5

Chapitre 1. Connecteurs, quantificateurs, tables de vérité.
Enoncés.

Exercice 8. Petit problème amusant de logique.
L'énigme d'Einstein.
Les faits:
1. Il y a cinq maisons de 5 couleurs différentes.
2. Dans chaque maison vit une personne de nationalité différente.
3. Chacun des 5 propriétaires boit un certain type de boisson,
fume un certain type de cigares et garde un certain animal domestique.
La question:
Qui a le poisson?
Quelques indices:
1. L'Anglais vit dans une maison rouge.
2. Le Suédois a des chiens comme animaux domestiques.
3. Le Danois boit du thé.
4. La maison verte est à gauche de la maison blanche.
5. Le propriétaire de la maison verte boit du café.
6. La personne qui fume des Pall Mall a des oiseaux.
7. Le propriétaire de la maison jaune fume des Dunhill.
8. La personne qui vit dans la maison du centre boit du lait.
9. Le Norvégien habite la première maison.
10. L'homme qui fume les Blend vit à côté de celui qui a des chats.
11. L'homme qui a un cheval est le voisin de celui qui fume des
Dunhill.
12. Le propriétaire qui fume des Blue Master boit de la bière.
13. L'Allemand fume des Prince.
14. Le Norvégien vit juste à côté de la maison bleue.
15. L'homme qui fume des Blend a un voisin qui boit de l'eau.

Solution
1°/ Certaines positions absolues sont imposées par le texte.

Nationalité
Maison

1
Norvégien (9)

2
Bleue (14)

3

4 5

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 8

Page 2 sur 5

Boisson
Cigares
Animal

Lait (8)

2°/ La configuration :
Maison Verte (4) Blanche (4)
Boisson Café (5)
ne peut être placée que dans les colonnes 4 et 5 :
1
2
3
4
5
Nationalité Norvégien (9)
Maison
Bleue (14)
Verte (4) Blanche (4)
Boisson
Lait (8) Café (5)
Cigares
Animal
3°/ La configuration :
Nationalité Anglais (1)
Maison
Rouge (1)
ne peut être placée que dans la colonne 3 :
1
Norvégien
Nationalité
(9)

2

Bleue
(14)

Maison
Boisson
Cigares
Animal

3
Anglais
(1)
Rouge (1)
Lait (8)

4

5

Verte
Blanche
(4)
(4)
Café (5)

4°/ La configuration :
Maison Jaune (7)
Boisson
Cigares Dunhill (7)
ne peut être placée que dans la colonne 1 :
1
Norvégien
Nationalité
(9)
Maison
Boisson
Cigares

Jaune (7)

2

Bleue
(14)

3
Anglais
(1)
Rouge (1)
Lait (8)

Dunhill (7)

4

5

Verte
Blanche
(4)
(4)
Café (5)

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 8

Page 3 sur 5

Animal
5°/ Il en résulte que le cheval est dans la colonne 2 (11) :
1
2
3
4
5
Nationalité Norvégien (9)
Anglais (1)
Maison
Jaune (7)
Bleue (14) Rouge (1) Verte (4) Blanche (4)
Boisson
Lait (8)
Café (5)
Cigares
Dunhill (7)
Animal
Cheval (11)
6°/ La configuration :
Boisson Bière (12)
Cigares Blue Master (12)
peut entrer dans la colonne 2, mais dans ce cas, le danois boit du thé (3) dans la maison 5, le norvégien
boit de l'eau dans la maison 1 et la condition (15) ne peut pas être satisfaite.
Donc il faut mettre Bière et Blue Master dans la colonne 5 :
1
2
3
4
5
Nationalité Norvégien (9)
Anglais (1)
Maison
Jaune (7)
Bleue (14) Rouge (1) Verte (4) Blanche (4)
Boisson
Lait (8)
Café (5) Bière (12)
Cigares
Dunhill (7)
Blue Master (12)
Animal
Cheval (11)
7°/ La configuration :
Nationalité Danois (3)
Maison
Boisson Thé (3)
ne peut entrer que dans la colonne 2 :
1
2
3
4
5
Nationalité Norvégien (9) Danois (3) Anglais (1)
Maison
Jaune (7)
Bleue (14) Rouge (1) Verte (4) Blanche (4)
Boisson
Thé (3)
Lait (8)
Café (5) Bière (12)
Cigares
Dunhill (7)
Blue Master (12)
Animal
Cheval (11)
8°/ Le Norvégien boit donc de l'eau, et il en résulte que le Danois fume des Blend (15) :
1
2
Nationalité Norvégien (9) Danois (3)
Maison
Jaune (7)
Bleue (14)
Boisson Eau (15)
Thé (3)

3
4
5
Anglais (1)
Rouge (1) Verte (4) Blanche (4)
Lait (8)
Café (5) Bière (12)

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 8

Cigares
Animal

Dunhill (7)

Blend(15)
Cheval (11)

Page 4 sur 5

Blue Master (12)

9°/ La configuration :
Nationalité Allemand (13)
Maison
Boisson
Cigares
Prince (13)
ne peut entrer que dans la colonne 4 :
1
2
3
4
5
Nationalité Norvégien (9) Danois (3) Anglais (1) Allemand (13)
Maison
Jaune (7)
Bleue (14) Rouge (1) Verte (4)
Blanche (4)
Boisson Eau (15)
Thé (3)
Lait (8)
Café (5)
Bière (12)
Cigares
Dunhill (7) Blend(15)
Prince (13)
Blue Master (12)
Animal
Cheval (11)
10°/ La configuration :
Cigares Pall Mall (6)
Animal Oiseaux (6)
ne peut entrer que dans la colonne 3 :
1
2
3
4
5
Nationalité Norvégien (9) Danois (3) Anglais (1) Allemand (13)
Maison
Jaune (7)
Bleue (14) Rouge (1) Verte (4)
Blanche (4)
Boisson Eau (15)
Thé (3)
Lait (8)
Café (5)
Bière (12)
Cigares
Dunhill (7) Blend(15) Pall Mall (6) Prince (13)
Blue Master (12)
Animal
Cheval (11) Oiseaux (6)
11°/ Il en résulte que le Norvégien héberge des chats (10) :
1
2
3
4
5
Nationalité Norvégien (9) Danois (3) Anglais (1) Allemand (13)
Maison
Jaune (7)
Bleue (14) Rouge (1) Verte (4)
Blanche (4)
Boisson Eau (15)
Thé (3)
Lait (8)
Café (5)
Bière (12)
Cigares
Dunhill (7) Blend(15) Pall Mall (6) Prince (13)
Blue Master (12)
Animal
Chats (10)
Cheval (11) Oiseaux (6)
12°/ La configuration :
Nationalité Suédois (2)
Maison
Boisson
Cigares
Animal
Chiens (2)

Théorie des ensembles - Chapitre 1 - Exercice 8

Page 5 sur 5

ne peut entrer que dans la colonne 5 :
1
2
3
4
5
Nationalité Norvégien (9) Danois (3) Anglais (1) Allemand (13) Suédois (2)
Maison
Jaune (7)
Bleue (14) Rouge (1) Verte (4)
Blanche (4)
Boisson Eau (15)
Thé (3)
Lait (8)
Café (5)
Bière (12)
Cigares
Dunhill (7) Blend(15) Pall Mall (6) Prince (13)
Blue Master (12)
Animal
Chats (10)
Cheval (11) Oiseaux (6)
Chiens (2)
13°/ Il reste une seule case libre pour le poisson : la maison verte de l'Allemand dans la 4e colonne.
Position
1
2
3
4
5
Nationalité Norvégien Danois Anglais Allemand Suédois
Maison
Jaune
Bleue Rouge Verte
Blanche
Boisson Eau
Thé
Lait
Café
Bière
Cigares
Dunhill Blend Pall Mall Prince
Blue Master
Animal
Chat
Cheval Oiseaux Poisson Chiens

Théorie des ensembles - Chapitre 2 - Définitions

Chapitre 2. Ensembles : définitions et résultats.
Exercices
1. Ensemble.
2. Appartenance.
3. Inclusion.
4. Partie pleine.
5. Ensemble vide.
6. Ensemble réduit à un élément.
7. Complémentaire.
8. Famille.
9. Réunion.
10. Intersection.
11. Produit.
12. Somme, différence symétrique.

Page 1 sur 1

Théorie des ensembles - Chapitre 2 - Définitions

Page 1 sur 1

1. Ensemble.
Un ensemble est une collection d'éléments susceptibles de posséder certaines propriétés et d'avoir entre
eux, ou avec des éléments d'autres ensembles, certaines relations.

Théorie des ensembles - Chapitre 2 - Définitions

2. Appartenance.
La relation "x est un élément de l'ensemble E" est notée :
x ∈ E (relation d'appartenance).
Cette relation se lit aussi "x appartient à E".

Page 1 sur 1

Théorie des ensembles - Chapitre 2 - Définitions

3. Inclusion.
La relation "tous les éléments de l'ensemble X sont des éléments de l'ensemble E" est notée :
X ⊆ E (relation d'inclusion).
Cette relation se lit aussi "X est une partie de E", ou encore "X est contenu dans E".

Page 1 sur 1

Théorie des ensembles - Chapitre 2 - Définitions

Page 1 sur 1

4. Partie pleine.
Certaines propriétés, telles x = x, sont vraies pour tout élément d'un ensemble E.
Deux quelconques de ces propriétés sont équivalentes (l'une entraîne l'autre et réciproquement, ce qui se
traduit par le fait qu'elles ont les mêmes valeurs de vérité).
La partie de E qu'elles définissent est l'ensemble E lui-même, ou partie pleine de E.

Théorie des ensembles - Chapitre 2 - Définitions

Page 1 sur 1

5. Ensemble vide.
Certaines propriétés, telles x ≠ x, ne sont vraies pour aucun objet (resp. aucun élément d'un ensemble E).
Deux quelconques de ces propriétés sont équivalentes.
L'ensemble qu'elles définissent est appelé l'ensemble vide (resp. partie vide de E) et noté ∅.

Théorie des ensembles - Chapitre 2 - Définitions

Page 1 sur 1

6. Ensemble réduit à un élément.
Etant donné un élément a d'un ensemble E, certaines propriétés des éléments de E, telles x = a, ne sont
vraies que pour l'élément a.
Deux quelconques de ces propriétés sont équivalentes.
La partie de E qu'elles définissent est appelée la partie réduite à a, et notée { a }.
Exemple : l'ensemble des parties de l'ensemble vide est réduit à un élément, {Ø}.

Théorie des ensembles - Chapitre 2 - Définitions

Page 1 sur 1

7. Complémentaire.
Etant donnée une partie X d'un ensemble E, l'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à X,
s'appelle le complémentaire de X et se note X, ou .
= X = { x | x ∈ E et x ∉ X }

Théorie des ensembles - Chapitre 2 - Définitions

Page 1 sur 1

8. Famille d'ensembles.
Etant donné un ensemble I, la donnée, pour chaque élément i ∈ I, d'un ensemble X i, constitue ce qu'on
appelle une famille d'ensembles indexée par I. Une telle famille est notée (X i) i ∈ I et I est appelé
l'ensemble d'indices de la famille.
Remarque : lorsque l'ensemble I est vide, on dit que la famille (X i) i ∈ I est la famille vide.

Théorie des ensembles - Chapitre 2 - Définitions

Page 1 sur 1

9. Réunion.
Etant donnée une famille d'ensembles (X i) i ∈ I, l'ensemble des éléments x qui possèdent la propriété "(∃ i
∈ I )(x ∈ X i)" s'appelle la réunion de la famille (X i) i ∈ I et se note

X i.

X i = { x | (∃ i ∈ I )(x ∈ X i)}
Remarque : lorsque l'ensemble I est vide, la réunion de la famille (X i) i ∈ I est l'ensemble vide Ø.

Théorie des ensembles - Chapitre 2 - Définitions

Page 1 sur 1

10. Intersection.
Etant donnée une famille d'ensembles (X i) i ∈ I, indexée par un ensemble non vide I, l'ensemble des objets
x qui possèdent la propriété "(∀ i ∈ I )(x ∈ X i)" s'appelle l'intersection de la famille (X i) i ∈ I et se note
X i.
X i = { x | (∀ i ∈ I )(x ∈ X i)}
Remarque : il n'est pas possible de définir l'intersection d'une famille vide.

Théorie des ensembles - Chapitre 2 - Définitions

Page 1 sur 1

11. Produit.
Etant donnée une famille d'ensembles (X i) i ∈ I, la donnée, pour chaque indice i ∈ I, d'un élément x i ∈ X i,
constitue de qu'on appelle une famille d'éléments (x i) i ∈ I.
L'ensemble des familles d'éléments (x i) i ∈ I s'appelle l'ensemble produit de la famille d'ensembles (X i) i ∈ I.
X i = { x | (∀ i ∈ I )(∃ x i ∈ X i) et x = (x i) i ∈ I }
Remarques :
1. Pour deux ensemble X et Y, le produit X × Y est l'ensemble des couples (x, y) avec x ∈ X et y ∈ Y.
2. Le produit d'une famille vide est l'ensemble vide.

Théorie des ensembles - Chapitre 2 - Définitions

Page 1 sur 1

12. Somme.
L'ensemble des familles de couples ((x i, i) i ∈ I s'appelle l'ensemble somme de la famille d'ensembles (X i) i
.
∈I
X i = { x | (∀ i ∈ I )(∃ x i ∈ X i) et x = ((x i, i)) i ∈ I }
Remarques :
Pour une famille de parties (X i) i ∈ I d'un ensemble E, la somme de la famille s'identifie à l'ensemble des
éléments de X qui appartiennent à un X i et à un seul. Par exemple, la somme de deux parties X et Y d'un
ensemble E, s'appelle la différence symétrique de X et Y (Exercice 4).
Si la somme de la famille de parties (X i) i ∈ I d'un ensemble E est égale à E et si aucune des parties X i n'est
vide, alors E est la réunion de la famille (X i) i ∈ I, les X i sont deux à deux sans point commun : la famille
(X i) i ∈ I constitue de qu'on appelle une partition de E.

Théorie des ensembles - Chapitre 2 - Enoncés

Chapitre 2. Ensembles : exercices.
Définitions et résutats
Exercice 1. Appartenance et inclusion.
Exercice 2. Appartenance, inclusion, réunion.
Exercice 3. Diagrammes de Venn.
Exercice 4. Réunion, intersection et complémentaire.
Exercice 5. Différence.
Exercice 6. Distributivité de l'intersection par rapport à la différence.
Exercice 7. Propriété du complémentaire.
Exercice 8. Ensemble produit.
Exercice 9. Propriétés élémentaires pour une partie.
Exercice 10. Propriétés élémentaires pour deux parties.
Exercice 11. Propriétés élémentaires pour trois parties.
Exercice 12. Différence symétrique de deux parties.
Exercice 13. Différence symétrique de plusieurs parties.
Exercice 14. Formule d'inclusion-exclusion de Möbius.
Exercice 15. Propriété de la différence symétrique.

Page 1 sur 1


Documents similaires


maths monde site immediato
cours mpsi mathematiques 1
zineb
relations binaires et applications
analyse reelle cours et exercices corriges premiere annee maths et informatique
mode le relationnel


Sur le même sujet..