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2P010 cours Analyse Vectorielle .pdf



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2P010


ethodes Mathematiques 1 : Analyse Vectorielle

TABLE DES MATIERES

1. Rappel, d´efinitions : Syst`emes de coordonn´ees (cart´esiennes, sph´eriques, cylindriques, polaires), fonctions scalaires, en 2D et 3D (en 2 et 3 dimensions, dans R2 et
R3 ), fonctions vectorielles, ou champs de vecteurs, en 2D et 3D; exemples des fonctions,
exprim´es en coordonn´ees diff´erents.

2. Bases mobiles dans les coordonn´ees curvilignes.
2.1. Rappel sur la base des coordonn´ees cart´esiennes.
2.2. Bases mobiles des coordonn´ees curvilignes. Les bases mobiles des coordonnees
sph´eriques, cylindriques, polaires. Facteurs g´eom´etriques des coordonn´ees curvilignes.
Volumes d’int´egration exprim´es en facteurs g´eom´etriques, dans le cas des coordonn´ees
curvilignes orthogonalles.
2.3. Exemples des projections (de d´ecomposition) des champs de vecteurs sur des
bases mobiles diff´erentes.
3. Int´egrales dans R2 et R3 . Th´eor`eme de Fubini. Exemples des calculs.
3.1. Int´egrales dans R2 . Exemples de calculs des int´egrales, dans les coordonn´ees
cart´esiennes et polaires.
3.2. Int´egrales dans R3 . Exemples de calculs des int´egrales, dans les coordonnees
cart´esiennes et sph´eriques.
1

4. Gradient d’une fonction scalaire : en cordonn´ees cart´esiennes, en coordonn´ees
curvilignes, op´erateur ’nabla’ dans le cas des coordonn´ees cart´esiennes; exemples-exercies
des calculs du gradient pour plusieurs fonctions scalaires, en coordonn´ees cart´esiennes et
en coordonn´ees sph´eriques.
4.1. D´eriv´ee dans la direction ~n; deux propri´et´e du gradient; exemples des surfaces
de niveau et des gradients pour des fonctions diff´erentes.
4.2. Compl´ement : d´eveloppement limit´e d’une fonction de plusieurs variables. Application pour la d´erivation du potentiel d’un petit dipˆole ‘a partir de deux potentiels de
Coulomb.

5. Divergence d’une fonction vectorielle. Th´eor`eme d’Ostrogradski.
D´efinition d’un flux d’un champ de vecteurs a` travers une surface.
Divergence en coordonn´ees cart´esiennes, divergence en coordonnees curvilignes, leur
d´emostrations g´eom´etriques a` partir de la d´efinition ind´ependante des coordonn´ees.
Exemples-exercices de calculs de la divergence pour des champs de vecteurs diff´erents,
en coordonn´ees cart´esiennes et en coordonn´ees sph´eriques.
Premiere th´eoreme int´egrale : th´eoreme d’Ostrogradski, sa d´emonstration g´eom´etrique.
5.1 Compl´ement : Exemples des calculs des flux en coordonnees cartesiennes; expressions pour les composantes de d~r et d~s en coordonn´ees differentes; exemples des calculs
des flux en coordonnees sph´eriques; calculs sont faits directement, d’apr`es la definition
de flux, et par le th´eoreme d’Ostrogradski dans le cas des surfaces ferm´ees.

6. Rotationnel d’une fonction vectorielle. Circulation. Th´eor`eme de Stokes.
D´efinition de la circulation d’un champ de vecteurs le long d’un chemin.
Rotationnel d’un champ de vecteur en coordonnn´ees cart´esienn´ees et en coordonn´ees
curvilignes, leur d´emonstration g´eommetrique `a partir de la d´efinition du rotationnel
ind´ependante des coordonn´ees.
Deuxieme th´eoreme int´egrale : th´eoreme de Stokes et sa d´emonstration g´eometrique.
2

6.1. Compl´ement : Exemples des calculs des circulations en coordonnees cartesiennes;
rappel des formules pour les composantes du verteur d~r en coordonnees differentes; exemple de calcul en coordonnees cylindriques; Les calculs sont faits directement, d’apr`es la
d´efinition de la circulation, et par le th´eoreme de Stokes, dans le cas des chemins ferm´es.

7. Laplacien, en coordonn´ees cart´esiennes et en coordonn´ees curvilignes; exemples
d”applications : ´equation d’ondes et equation de Poisson en l’electrostatique.
Exemples-exercices des calculs du laplacien pour des fonctions scalaires diff´erentes :
calculs en coordonn´ees cartesiennes, et ensuite, pour les memes fonctions, en coordonn´ees
sph´eriques; les expressions simplifiees pour le laplacien en coordonnees spheriques et
cylindriques dans les cas des sym´etries particuli`eres des fonctions.
~
~
8. Formules diff´erentielles, et leurs d´emonstrations, pour grad(f
· g), div(f · A),
~
~ = 0, div(A
~ ∧ B),
~ rot(f
~ rot
~
~ A
~
~ gradf
~ rot
~ A).
div rot
· A),
= 0, rot(

9. Deux exemples d’applications physiques.
9.1. Premi`ere application physique : un cas simple d’´electrostatique.
9.2. Deuxi`eme application physique : un cas simple de magn´etistatique.
´
10. Equations
diff´erentielles d’ordre 1.
´
10.1. Equations
diff´erentielles d’ordre 1 qui sont solubles par la s´eparation des variables. M´ethode de r´esolution. Rˆole des conditions initiales. Exemples, exercices.
´
10.2. Equations
d’ordre 1 lin´eaires avec des coefficients et second membre variables :
´equations de la forme f 0 (t) + A(t)f (t) = B(t). M´ethodes de leurs r´esolution. Rˆole des
conditions initiales. Exemples, exercices.

11. Equations diff´erentielles d’ordre 2 avec des coefficients constants mais le second
membre variable : ´equations de la forme f 00 (t)+Af 0 (t)+Bf (t) = C(t). M´ethodes de leurs
r´esolution. Cas particuliers avec des seconds membres particuliers. Rˆole des conditions

3

initiales et des conditions aux limites. Exemples, exercices.

12. Annexe 1. Calcul des d´eriv´ees.

13. Annexe 2. Calcul des int´egrales par la primitive.

14. Annexe 3. S´eries de Taylor. D´eleloppement en s´eries enti`eres des fonctions
classiques.

4

1

Rappel, d´
efinitions.

Un point P dans l’espace r´eel R3 , en 3 dimensions spacialles, sera marqu´e par un vecteur
~ , avec des composantes (x, y, z) qui sont les coordonn´ees cart´esiennes de ce point,
~r = OP
Fig.1:




~ ≡ ~r =
OP








x 

y 



(1.1)



z

Dans les coordonn´ees sph´eriques, ce mˆeme point sera pr´esent´e par les param`etres
(r, Θ, φ) o`
u
q

x2 + y 2 + z 2
√ 2
√ 2
x + y2
x + y2
= arcsin √ 2
Θ = arctan
z
x + y2 + z2
y
y
φ = arctan = arcsin √ 2
x
x + y2
r=

(1.2)

– Fig.2.
Dans les coordonn´ees cylindriques, ~r sera pr´esent´e par les param`etres (ρ, φ, z), o`
u
ρ=
φ = arctan

q

x2 + y 2

x
y
= arcsin √ 2
y
x + y2
z=z

(1.3)

– Fig.3.
Dans le cas de l’espace r´eel R2 , en 2 dimensions spacialles, le point P sera marqu´e
par un vecteur ρ~, avec des composantes (x, y) qui sont les coordonn´ees cart´esiennes de
ce point, Fig.4 :




x 
~ = ρ~ = 
OP


y

(1.4)

Dans les coordonn´ees polaires, dans R2 , ce mˆeme point sera pr´esent´e par les param`etres
(ρ, φ), o`
u
ρ=
5

q

x2 + y 2

φ = arctan

x
y
= arcsin √ 2
y
x + y2

(1.5)

– Fiq.5.
Une fonction f (~r) ≡ f (x, y, z), d´efinie dans R3 , est une r`egle particuli`ere qui fait correspondre les points de R3 et les nombres r´eels (ou complexes). Symboliquement:
f (~r) :

R3 → R (ou C)

(1.6)

Exemples.
1)
f (~r) ≡ f (x, y, z) =

1
1
≡√ 2
r
x + y2 + z2

– pontentiel de Coulomb, en ´electrostatique (U (r) =

1 q
),
4π 0 r

(1.7)
produit par la charge

´electrique, ponctuelle, plac´ee a` l’origine (nous mettons 1/4π 0 → 1, pour simplifier les
formules).
2)
g(~r) =

1
1

a2 + r2
a2 + x 2 + y 2 + z 2

(1.8)

a est un param`etre r´eel, une constante.
3)
h(~r) =

p~ · ~r
px x + py y + pz z

r3
(x2 + y 2 + z 2 )3/2

(1.9)

o`
u p~ = (px , py , pz ) est un param`etre vectoriel (l’ensemble de 3 param`etres r´eels que nous
notons comme px , py , pz );
h(~r) est un potentiel ´electrique cr´e´e par un petit dipˆole plac´e `a l’origine; p~ · ~r est un
produit scalaire usuel.
Nous allons appeler ´egalement f (~r) fonction scalaire pour faire la diff´erence avec des
fonctions vectorielles qu’on peut ´egalement d´efinir dans l’espace R3 .
~ r) ≡ A(x,
~ y, z), d´efinie dans
Une fonction vectorielle (ou un champ de vecteurs) A(~
R3 , est une r`egle particuli`ere qui fait correspondre les points de R3 et les points d’un
autre espace R3 , ou du mˆeme espace.

6

Encore, en plus de details:




~ r) ≡ A(x,
~ y, z) ≡
A(~

Ax (x, y, z) 








Ay (x, y, z)
Az (x, y, z)







(1.10)

C’est un dire, une fonction vectorielle est un ensemble de 3 fonctions scalaires, marqu´ees
comme Ax (x, y, z), Ay (x, y, z), Az (x, y, z).
Exemples.
1)
~ r) = ~r
E(~
r3

(1.11)

En plus de d´etails:


~ r) = 1
E(~
r3












x 
y
z









x
r3







 y 
 3 
 r 







x
(x2 +y 2 +z 2 )3/2




 2 2y 2 3/2
 (x +y +z )

z
(x2 +y 2 +z 2 )3/2

z
r3









(1.12)

~ r) est un champ ´electrique
Dans cet exemple Ex (x, y, z) = x/(x2 + y 2 + z 2 )3/2 , etc. . E(~
cr´e´e par la charge ponctuelle, plac´e a` l’origine (toujours 1/4π 0 = 1).
2)
~ r) =
G(~

(a2

2~r
+ r 2 )2

(1.13)

Evidement, que, dans le cas de l’espace bidimensionnel R2 , une fonction vectorielle
sera de la forme:



~ ρ) ≡ B(x,
~
B(~
y) = 



Bx (x, y) 
By (x, y)

(1.14)



– d’un ensemble de 2 fonctions scalaires, dans R2 .
Exemple.






x  
~ ρ) = ρ~ = 1 
B(~

=
2
2
ρ
ρ
y

7

x
ρ2
y
ρ2








=


x
x2 +y 2
y
x2 +y 2





(1.15)

2

Bases mobiles dans les coordonn´
ees curvilignes.

2.1. Rappel sur la base des coordonn´
ees cartesiennes.
Dans les coordonn´ees cartesiennes, un vecteur quelconque p~ a` des composantes (px , py , pz )
pourrait ˆetre pr´esent´e soit comme dans le chapitre pr´ec´edant, par une colonne:




p~ =








px 



(2.1)

py 

pz



soit comme une d´ecomposition dans les vecteurs de la base, comme
p~ = px · ~ex + py · ~ey + pz~ez

(2.2)

Les vecteurs ~ex , ~ey , ~ez , montr´es dans la Fig.6, forme une base orthonorm´ee des coordonn´ees cart´esiennes, `a savoir:
|~ex | = |~ey | = |~ez | = 1
~ex · ~ey = ~ey · ~ez = ~ez · ~ex = 0

(2.3)

|~ex | repr´esente le module (ou la norme, ou la longueur) du vecteur ~ex :
2

|~ex | = ~ex · ~ex ,

|~ex | =

q

~ex · ~ex

(2.4)

Tr`es souvant, les vecteurs ~ex , ~ey , ~ez de la base des coordonn´ees cart´esiennes sont not´es
´egalement comme ~i, ~j, ~k. c’est a` dire:
~ex ≡ ~i,

~ey ≡ ~j,

~ez ≡ ~k

(2.5)

La forme (13.1) d’un vecteur p~, pr´esent´e comme une colonne des composante px , py , pz ,
correspond, implicitement, `a la d´ecomposition (13.2) de p~ dans les vecteurs de la base.
2.2 Bases mobiles des coordonn´
ees curvilignes.
Quand la sym´etrie du probl`eme est appropri´ee, il est parfois plus facile a` faire des
calculs dans d’autres coordonn´ees, dont les coordonn´ees sph´eriques et cylindriques sont
8

le plus souvent utilis´ees, dans le cas de l’espace R3 . Dans l’espace R2 , les coordonn´ees
polaires sont utilis´ees tr`es souvant.
Dans la suite nous allons d´efinir des bases orthonorm´ees qui servent pour d´ecomposer
les vecteurs, pour les exprim´es dans ces coordonn´ees. Autrement dit, nous allons d´efinir
des bases qui remplacent la suite des vecteurs (~ex , ~ey , ~ez ) des coordonn´ees cart´esiennes.
Nous nous metterons d’abord dans un cadre plus g´en´eral, des coordon´ees curvilignes
quelconques de l’espace R3 , mais qui sont soumises `a la condition que, localement, ces
coordonn´ees sont orthogonalles. Si (u1 , u2 , u3 ) sont ces nouvelles coordonn´ees, alors
l’orthogonalit´e locale correspond `a la condition que les vecteurs
~e1 =

∂~r
,
∂u1

∂~r
,
∂u2

~e2 =

~e3 =

∂~r
∂u3

(2.6)

sont orthogonaux entre eux. Dans l’´eq.(13.6), ~r est suppos´e d’ˆetre exprim´e en fonction
des nouvelles coordonn´ees: ~r = ~r(u1 , u2 , u3 ) = (x(u1 , u2 , u3 ), y(u1 , u2 , u3 ), z(u1 , u2 , u3 )).
Prenons un exemple simple de l’espace bidimensionnel R2 et des coordonn´ees polaires.
Nous notons ρ~ les vecteurs, qui repr´esentent les points d’espace R2 , au lieu de ~r de R3 .
Alors:









ρ~ = 



=



 x 

y

 ρ · cos φ 

ρ · sin φ

(2.7)

ρ et φ ´etant les coordonn´ees polaires, curvilignes, de l’espace R2 . Les vecteurs ~e1 et ~e2 ,
analogues aux vecteurs ´eq.(13.6), sont d´etermin´es comme suit:


~e1 ≡ ~eρ =





∂~
ρ
∂  ρ · cos φ   cos φ 
=

=

∂ρ
∂ρ ρ · sin φ
sin φ


~e2 ≡ ~eφ =







(2.8)



∂~
ρ
∂  ρ · cos φ   −ρ · sin φ 
=

=

∂φ
∂φ ρ · sin φ
ρ · cos φ

(2.9)

Ces vecteurs sont montr´es dans la Fig.7. Evidement, ils sont orthogonaux entre eux, en
tout point ρ~ d’espace R2 .
Il est ´egalement facile de d´eterminer les vecteurs ~e1 , ~e2 , ~e3 , ´eq.(13.6), pour des coordonn´ees sph´eriques et cylindriques de l’espace R3 .
9

Pour des coordonn´ees sph´eriques, Fig.2 :

 r sin Θ · cos φ
∂~r
∂ 

 r sin Θ · sin φ
~e1 ≡ ~er =
=
∂r
∂r 

r · cos Θ

 r sin Θ · cos φ
∂~r
∂ 

~e2 ≡ ~eθ =
 r sin Θ · sin φ
=
∂Θ
∂Θ 

r · cos Θ

 r sin Θ · cos φ
∂~r
∂ 

~e3 ≡ ~eφ =
 r sin Θ · sin φ
=
∂φ
∂φ 

r cos Θ



















=



















=



















=



sin Θ · cos φ 
sin Θ · sin φ
cos Θ







(2.10)



r cos Θ · cos φ 



r cos Θ · sin φ 


−r · sin Θ

(2.11)




−r sin Θ · sin φ 



r sin Θ · cos φ 


(2.12)



0

Ces vecteurs sont montr´es dans la Fig.8. Il est facile de v´erifier qu’ils sont orthogonaux,
pour tout ~r (tous r, Θ, φ).
Pour des coordonn´ees cylindriques, Fig.3, on trouve:

 ρ · cos φ
∂~r
∂ 

~e1 ≡ ~eρ =
=
 ρ · sin φ
∂ρ
∂ρ 

z

 ρ · cos φ
∂~r
∂ 

~e2 ≡ ~eφ =
=
 ρ · sin φ
∂φ
∂φ 

z



















=



















=


 ρ · cos φ
∂~r
∂ 

~e3 ≡ ~ez =
=
 ρ · sin φ
∂z
∂z 

z



cos φ 


(2.13)

sin φ 




0



−ρ · sin φ 

ρ · cos φ 



0



















=

(2.14)




0 

0 



1

(2.15)



– Fig.9. Ces vecteurs sont orthogonaux entre eux.
Retournons dans le cadre g´en´erale des coordonn´ees curvilignes quelconques u1 , u2 , u3
(localement orthogonales) et les vecteurs ~e1 , ~e2 , ~e3 , ´eq.(13.6). Ces vecteurs forment une
base locale, ou une base mobile, pour un point d’espace donn´e, Fig.10. Elle sert pour
d´ecomposer les vecteurs, pour les exprim´es en ces coordonn´ees. Cette base est suppos´ee
10

d’ˆetre orthogonale, mais elle n’est pas n´ecessairement norm´ee. Autrement dit, en g´en´eral
|~ei | =
6 1, i = 1, 2, 3.
Les ´echelles le long des axes, de cette base locale, sont d´efinies par les modules
(longueurs) des vecteurs {~ei }, que nous allons noter ei ≡ |~ei |, i = 1, 2, 3. Nous introduisons, en plus, les vecteurs norm´es de cette base locale:
~ˆe1 ,

~ˆe2 ,

~ˆe3

(2.16)

|~ˆe1 | = |~ˆe2 | = |~ˆe3 | = 1, de la fa¸con que:
~e1
~ˆe1 = ,
e1
~e1 = e1 · ~ˆe1 ,

~e2
~ˆe2 = ,
e2

~e3
~ˆe3 = ,
e3

~e2 = e2 · ~ˆe2 ,

~e3 = e3 · ~ˆe3

(2.17)

Pour des coordonn´ees sph´eriques, on trouve, a` partir des ´eqs.(13.10)-(13.12), les
facteurs d’´echelle, ou les facteurs g´eom´etriques, suivants:
e1 ≡ er = 1,

e2 ≡ eθ = r,

e3 ≡ eφ = r · sin Θ

(2.18)

Pour des coordonn´ees cylindriques, ´eqs.(13.13)-(13.15), on obtient:
e1 ≡ eρ = 1,

e2 ≡ eφ = ρ,

e3 ≡ ez = 1

(2.19)

Observons par ailleurs que le volume ´el´ementaire (m´esure d’int´egration), dans les
int´egrales dans l’espace R3 , est ´egale au produit des facteurs g´eom´etriques multpli´es
par les diff´erentielles des coordonn´ees. Dans le cas g´en´eral des coordonn´ees curvilignes
orthogonales:
dV ≡ d3 r = e1 e2 e3 du1 du2 du3

(2.20)

Dans les coordonn´ees sph´eriques:
dV ≡ d3 r = er eθ eφ dr dΘ dφ = r2 sin Θ dr dΘ dφ

(2.21)

Dans les coordonn´ees cylindriques:
dV ≡ d3 r = eρ eφ ez dρ dφ dz = ρ dρ dφ dz
11

(2.22)

En effet, on peut re´ecrire les ´equations (13.6), qui d´efinissent les vecteurs {~ei }, de la
mani`ere suivante:
δ~r(1) = ~e1 δu1 ,

δ~r(2) = ~e2 δu2 ,

δ~r(3) = ~e3 δu3

(2.23)

o`
u les petits vecteurs δ~r(i) , i = 1, 2, 3, repr´esentent les petits d´eplacements, `a partir du
point ~r dans R3 , qui correspondent a` des variations des coordonn´ees δui , i = 1, 2, 3.
Les trois vecteurs δ~r(1) , δ~r(2) , δ~r(3) sont orthogonaux entre eux, ´etant proportionnels aux
vecteurs ~e1 , ~e2 , ~e3 de la base locale. Le volume ´el´ementaire (dans des int´egrales) s’obtient
par le produit des longueurs des trois vecteurs {δ~r(i) }, ´eq.(2.23), ce qui nous donne la
mesure d’int´egration dans l’´eq.(13.20).
2.3. Exemples des projections des champs de vecteurs sur des bases mobiles.
Exemple 1.
Soit un champ de vecteur dans R2


~v = 




−y 
ex + x · ~ey
 ≡ −y · ~
x

(2.24)

Il est dessin´e dans la Fig.11. Ses d´ecompositions dans les bases cart´esienne et polaire
sont montr´ees dans les figures 12 et 13.
Exemple 2.
Soit un champ de vecteurs dans R3
w(~
~ r) = z · ~ez

(2.25)

Il est dessin´e dans la Fig.14. Evidement que, dans la base cart´esienne, sa d´ecomposition
est de la forme:



w(~
~ r) = 0 · ~ex + 0 · ~ey + z · ~ez ≡










0 



0 

z

(2.26)



Ses d´ecompositions dans les bases mobiles des coordonn´ees sph´eriques et cylindriques
sont donn´ees dans les figures 15-17.
12

3

Int´
egrales dans R2 et R3.

Th´
eor`
eme de Fubini.

Exemples des calculs.
´
3.1. INTEGRALES
DANS R2 .


x



Soit f (x, y) ≡ f (~
ρ) une fonction de 2 variables (~
ρ =  ).
y
L’int´egrale I sur le domaine D dans le plan bidimensionnel, Fig.18, est d´efinie comme
la limite de la somme de Darboux correspondante :
I=

Z

d2 ρf (~
ρ) = lim

N →∞

D

N
X

dsi · f (~
ρi )

(3.1)

i=1

o`
u
d2 ρ = ds = dxdy

(3.2)

est l’aire d’un ´el´ement dans D, ”l’aire ´el´ementaire”, ou la m´esure d’int´egration dans
l’int´egrale bidimensionnelle, dans les coordonn´ees cart´esiennes, Fig.18.
Th´eor`eme de Fubini.
L’int´egrale sur D (domaine bidimensionnel) de f (x, y), une fonction de deux variables,
est ´egale a` l’int´egrale double, sur y d’abord et sur x apr`es, ou inversement. La valeur de
l’int´egrale ne change pas sous le changement de l’ordre d’int´egration :
Z
D

2

d ρ f (~
ρ) ≡

Z

dx dy f (x, y) =

Z

dx

Z

dy f (x, y) =

Z

dy

Z

dx f (x, y)

(3.3)

D

L’id´ee de la d´emonstration est simple. L’int´egrale double, o`
u on int`egre sur y d’abord
et sur x apr`es, correspond `a la sommation, dans la somme de Darboux (3.1), d’abord sur
des petits rectangles appartenant a` des colonnes et ensuite on somme les colonnes (les
r´esultats des sommations dans les colonnes), Fig.18.
Inversement, on sommes d’abord les petits rectangles appartenant `a des lignes, dans
la Fig.18. Et ensuites on additionne les lignes (les r´esultats de sommation dans les lignes).
Evidement que la somme totale dans (3.1) restera la mˆeme, ind´ependament comment
on organise la sommation.

13

Exemple 1.
Soit
f (~
ρ) ≡ f (x, y) = x + y

(3.4)

et D est un rectangle :
D : 0 < x < a,

0<y<b

(3.5)

– Fig 19.
Dans le 1er calcul, o`
u on somme sur y d’abord et sur x apr`es, on le poursuit comme
suit :
1)
I=

Z

Z

d2 ρ f (~
ρ) =

D

dx dy f (x, y)

(3.6)

D

par le th´eor`eme de Fubini :
=

Z a

dx

Z b

dy f (x, y) =

Z a

dx

dy (x + y)

(3.7)

0

0

0

0

Z b

dans la premi`ere int´egrale, quand on int`egre sur y, x est consid´er´e comme une constante
:
=

Z a
0

y2 b Z a
b2
dx(xy + )|0 =
dx(xb + )
2
2
0

(3.8)

et ensuite on int`egre sur x, le r´esultat d’int´egration sur y
=

x2 a b2 a a2 b ab2
ab · (a + b)
b|0 + x|0 =
+
=
2
2
2
2
2
I=

ab · (a + b)
2

(3.9)
(3.10)

Dans le 2`eme calcul, on somme d’abord sur x et sur y apr`es :
2)
I=

Z

dx dy f (x, y) =

Z b

D

0

dy

Z a

dx · (x + y)

(3.11)

0

Pendant la 1`ere int´egration, sur x, y est consid´er´e comme une constante :
=

Z b
0

Z b
a2
x2
a
dy( + x · y)|0 =
dy( + ay)
2
2
0

14

(3.12)

Ensuite on int`egre sur y :
y2 b
a2 b ab2
ab(a + b)
a2
b
· y|0 + a |0 =
+
=
2
2
2
2
2

(3.13)

On trouve le mˆeme r´esultat, en accord avec la th´eor`eme de Fubini.
Exemple 2.
f (x, y) = x + y ; D est un triangle, Fig.20.
1)
I=

Z

2

d ρ f (~
ρ) =

Z

D

dx dy f (x, y)

(3.14)

D

par le th´eor`eme de Fubini
=

Z a

dx

0

Z y(x)

dy f (x, y)

(3.15)

0

Dans l’int´egrale a` l’interieur, sur y, avec x fixe quelconque entre 0 et a, on int`egre sur
y de 0 a` y(x) = ab x, une valeur maximale de y qui se trouve sur le bord de D, quand on
traverse le domaine D dans le sens vertical. Cette limite superieur d´epond de x, elle est
diff´erente pour de valeurs de x diff´erentes. C’est a` dire, la limite superieure de y n’est
pas une constante (comme c’´etait le cas dans l’exemple 1). Elle est une fonction de x.
Cette fonction correspond `a l’´equation de la ligne qui d´elimite le domaine D. Dans cet
exemple, cette ligne est une droite, de l’´equation y = ab x, Fig.20.
La suite du calcul dans (3.15), en y mettant les forme explicites de y(x) et de f (x + y)
:
I=

Z a
0

=

Z a
0

dx

Z

b
x
a

dy(x + y) =

Z a
0

0

b
1 b
dx(x · x + ( x)2 ) =
a
2 a
2

b
b
= ( + 2)
a 2a
=

Z a
0

Z a
0

dx(x · y +

y 2 ab x
)|
2 0

b
b2
dx( x2 + 2 x2 )
a
2a

2ab + b2 x3 a
dx x =
· |0
2a2
3
2

2ab + b2 a3
ab · (2a + b)
·
=
2
2a
3
6
ab · (2a + b)
I=
6

(3.16)

2) Il est propos´e, en exercice, de r´efaire le calcul de cette int´egrale en arrangeant les
int´egrations dans l’int´egrale double diff´eremment : en int´egrant sur x d’abord, et sur y
15

apr`es. Le debut du calcul est comme suit :
I=

Z b
0

– Fig.21, x(y) =

a
b

dy

Z a

dx f (x, y)

(3.17)

x(y)

· y. Cette fois ci c’est la limite inferieure de x qui une fonction de y.

En faisant la suite du calcul on doit trouver le mˆeme r´esultat qu’auparavant, (3.16).
Exemple 3.
L’aire d’un disque, Fig.22. Dans ce cas, o`
u on cherche `a d´eterminer l’aire d’un domaine, on doit mettre f (x, y) = 1.
Tout d’abord, due `a la sym´etrie du domaine, Fig.22, il souffit d’int´egrer sur 1/4 du
disque, Fig.23. Evidement, en int´egrant sur le domaine r´eduit, Fig.23, on trouvera 1/4
de l’aire du disque total, Fig.22.
Mˆeme si cette r´eduction du domaine n’est pas indisponsable, les limites d’int´egration,
dans l’int´egrale double, vont ˆetre plus simples pour

1
4

du disque, par rapport au disque

total.
Notons par I l’aire total du disque. Alors
Z y(x)
Z R
I Z
dy
dx
dx dy · 1 =
=
4
0
0
D0
Z √R2 −x2
Z R
Z R
Z R


2
2
dx
=
dx R2 − x2
dx(y)|0 R −x =
dy =
0

(3.18)

0

0

0

Nous avons choisi d’int´egrer, dans l’int´egrale double, sur y d’abord, sur x apr`es, comme
il est indiqu´e dans la Fig.23.
Il est utile de changer la variable d’int´egration, dans (3.18). Mettons
x = R · sin φ

(3.19)

Alors
dx = R · cos φ · dφ


R 2 − x2 =

q

q

R2 − R2 sin2 φ = R 1 − sin2 φ = R · cos φ

16

(3.20)

Pour les limites d’int´egration :
quand x varie de 0 `a R
φ doit varier de 0 `a

π
2

(3.21)

– d’apr`es (3.19) et la courbe de sin φ.
Pour (3.18), avec les substitutions ci-dessus, on trouve:
Z R
Z π

2
2
2
dx R − x =
R cos φ dφ · R cos φ
0

= R2

0
π
2

Z

cos2 φ · dφ = R2

π
2

Z

0

1
(1 + cos 2φ)dφ
2

0

r2 Z

=

2

0

π
2

π
R2 Z 2
dφ +
dφ · cos 2φ
2 0

2

π
R π R2 1
πR2
2
=
· +
· ( sin 2φ)|0 =
2 2
2
2
4

(3.22)

Nous avons trouver que I/4 = πR2 /4. Donc :
I = πR2

(3.23)

– l’aire du disque.
Exemple 3’.
Faisons le calcul de l’aire du disque dans la Fig.22 en utilisant les coordonn´ees polaires.
Cette fois ci, il n’y aura pas des raisons de couper le disque sur 4, les limites d’int´egration,
avec les coordonn´ees polaires, vont ˆetre aussi simples pour le disque total que pour un
quart du disque.
Avec les coordonn´ees polaires, pour le disque entier, Fig.24, le calcul se fait comme
suit (f (~
ρ) est toujours ´egale a` 1) :
I=

Z

d2 ρ · 1 =

Z

ρdρ dφ

(3.24)

D

D

Rappelons que, dans les coordonn´ees polaires d2 ρ = ρdρ dφ. On trouve :
=

Z R
0

ρdρ

Z 2π

ρ2 R
|0 · (φ)|2π
0
2
!

dφ =

0

=

R2
· 2π = πR2
2
I = πR2

17

(3.25)

– en accord avec le r´esultat du calcul en coordonn´ees cartesiennes, Exemple 3, ´eq.(3.23).
Observons que l’utilit´e des coordonn´ees polaires, pour la g´eom´etrie circulaire du domaine D, est dans le fait que les limites d’int´egration, sur ρ et sur φ, sont constantes :
0 → R pour ρ, 0 → 2π pour φ, quand on fait ”scanner” le disque entier en variant ρ et φ,
tandis qu’elles sont variable 0 → y(x), pour y, dans les coordonn´ees cartesiennes, Fig.23.
Par contre, dans les coordonn´ees cartesiennes, les limites d’int´egration sont constantes
dans l’Exemple 1, pour D rectangulaire.
Exercice.
Il est sugger´e, en exercice, de calculer l’aire de l’ellipse, Fig.25, en utilisant les coordonn´ees cartesiennes.
Similaire au calcul pour le disque, il est plus simple de faire le calcul pour 1/4 de
l’ellipse, Fig.26.
Le calcul commence comme suit :
Z a
Z b
I Z
=
dx dy · 1 =
dx
4
0
D0
0

=

Z a

q

2

1− x2
a

s

dx · b 1 −

0

dy
x2
a2

(3.26)

Faudra changer la variable d’int´egration :
x = a · sin φ

(3.27)

et faire la suite du calcul. Finalement, on devera trouver que:
I = πab

(3.28)

Evidement, qu’on devera trouver le mˆeme r´esultat en faisant les integrations avec
l’ordre de x, y echang´e, en int´egrant sur x d’abord et sur y apr`es :
Z b
Z x(y)
I Z
=
dx dy · 1 =
dy
dx
4
D0
0
0

Dans ce cas

(3.29)

s

y2
x2 y 2
+
=
1

x(y)
=
a
1

a2
b2
b2
18

(3.30)

et en faisant le calcul on devera retrouver πab/4.
´
3.2. INTEGRALES
DANS R3 .
Soit f (x, y, z) ≡ f (~r) une fonction de 3 variables,


x











(3.31)


y
~r = 

z
L’int´egrale I sur le domaine D dans l’espace tridimensionnel, Fig.27, est d´efinie comme
la limite de la somme de Darboux correspondante :
I=

Z

d3 r f (~r) = lim

N →∞

D

N
X

dVi f (~ri )

(3.32)

i=1

o`
u
d3 r = dV = dx dy dz

(3.33)

est le volume d’un ´el´ement dans D (petit cubo¨ıde) : ”le volume ´el´ementaire”, ou la m´esure
d’int´egrarion dans l’int´egrale tridimensionnelle, dans les coordonn´ees cart´esiennes.
Le domaine D est suppos´e d’ˆetre coup´e sur N petits cubo¨ıdes, dont un est montr´e
explicitement dans la Fig.27.
Th´eor`eme de Fubini.
L’int´egrale sur D (domaine tridimensionnel) de f (x, y, z), une fonction de trois variables, est ´egale a` l’int´egrale triple, o`
u on int`egre successivement sur z, puis sur y, puis sur
x, ou dans un autre ordre. La valeur de l’int´egrale ne change pas sous les changements
de l’ordre d’int´egration sur les trois variables, dans l’int´egrale triple :
Z

3

d r f (~r) ≡

Z

D

=

Z

dx

Z

dy

Z

dz f (x, y, z) =

dx dy dz f (x, y, z)

D

Z

dy

Z

dz

Z

dx f (x, y, z) = ...

(3.34)

L’id´ee de la d´emonstration correspond a` la g´en´eralisation directe de la d´emonstration
dans le cas bidimensionnel, au debut du chapitre 3.1. Elle s’appuit sur les diff´erentes
fa¸cons `a organiser la sommation dans la somme de Darboux (3.32) sur des petits cubo¨ıdes,
sur lesquels le domaine D, Fig.27, est suppos´e d’ˆetre coup´e.
19

Exemple 1.
D est un cubo¨ıde a × b × c, Fig.28, f (x, y, z) est une fonction quelconque de trois
variables. Dans ce cas, l’int´egrale de f (x, y, z) sur D prendra la forme :
I=

Z

Z

3

d r f (x, y, z) =

D

dx dy dz f (x, y, z)

(3.35)

D

par le th´eor`eme de Fubini :
=

Z a

dx

Z b

0

dy

Z c

0

dz f (x, y, z)

(3.36)

0

o`
u on int`egre f (x, y, z) sur z d’abord, pour x, y fixes ; ensuite, le resultat de la 1`ere
int´egration, qui ne d´epend que de x, y, on l’int`egre sur y, en gardant x fixe ; et finalement
on int`egre sur x, le r´esultat de la 2`eme int´egration.
Observon que, pour la g´eometrie rectangulaire du domaine D et les coordonn´ees
cart´esienues, les limites d’int´egration sur x, y, z dans (3.36) sont constantes.
Observons en plus que, si on prend, dans (3.35), (3.36), f (x, y, z) = 1, dans ce cas on
calcule, par l’int´egrale, le volume du D :
I=

Z a
0

dx

Z b
0

dy

Z c

dz · 1

(3.37)

0

L’integrale se factorise, dans ce cas particulier, sur le produit de 3 int´egrales unidimensionnelles : du fait que le r´esultat d’int´egration sur z ne d´epend pas de x, y, donc
n’intervient pas dans le 2`eme int´egration, sur y, et de mˆeme pour la suite. On trouve :
I = x|a0 x × y|b0 × z|c0 = abc

(3.38)

– le volume du cubo¨ıde dans la Fig.28.
Exemple 2.
D est l’int´erieur de la sph`ere, centr´e en 0 et de rayon R, Fig.29. Nous allons faire le
calcul du volume de D ; par cons´equence nous prenons f (x, y, z) = 1.
Dans les coordonn´ees cartesiennes, il est plus simple de calculer le volume de 1/8 de
l’int´erieur de la sph`ere, du domaine D0 dans la Fig.30. Les limites d’int´egrations vont
ˆetre plus simples.
20

D’apr`es la Fig.30, on trouve :
I=

Z
D0

3

dr=

Z
D0

dx dy dz =

Z R

dx

0

Z y(x)

dy

0

Z z(x,y)

dz

(3.39)

0

G´eom´etriquement, quand on int`egre sur z dans la premi`ere int´egrale dans (3.39), on
fait sommer, dans la somme de Darboux correspondante, ´eq.(3.32), les long des colonnes
verticales, le chemin lz dans la Fig.30.
Ensuite, dans le 2`eme int´egrale de (3.39), on somme les colonnes (les r´esultats de
sommation dans les colonnes) en faisons bouger le pied du colonne lz le long du chemins
ly , dans le plans (x, y).
Le r´esultats de deux sommation, sur z et sur y, on peut les associer avec un plan
(ly , lz ), trac´e dans l’espace a` l’interieur du D0 , par la colonne lz quand on la tire, par son
pied, le long du chemin ly .
Finalement, dans la 3`eme int´egration, sur x, on fait tirer le plan (ly , lz ) (le r´esultat
de sommation dans le plan) dans la direction x, de x = 0 a` x = R.
De cette mani`ere on ´etablit les limites d’int´egration dans l’int´egrale (3.39), sur le
domaine D0 , en consultant la Fig.30.
Mettons les fonction z(x, y), y(x), (d´efinies dans la Fig.30) dans l’integrale (3.39). On
trouve :
I=

Z R

dx

Z √R2 −x2

0


dy

0

Z

R2 −x2 −y 2

dz

(3.40)

R 2 − x2 − y 2

(3.41)

0

Apr`es l’int´egration sur z on obtient :
I=

Z R

dx

0

Z √R2 −x2

dy

q

0

Dans l’int´egrale sur y, x est fixe. Nous changeons la variable d’int´egration :
y=



R2 − x2 · sin φ

(3.42)

Alors
q



q

R2 − x2 · 1 − sin2 φ =

dy = R2 − x2 · cos φ · dφ

R 2 − x2 − y 2 =

21



R2 − x2 · cos φ

(3.43)
(3.44)

Les limites d’int´egrations :
y=


R2 − x2 · sin φ

y : 0→



R 2 − x2
π
2

correspond `a φ : 0 →

(3.45)

Avec ces changements, l’int´egrale (3.41) prend la forme :
I=

Z R

dx

Z

0

π
2



R2 − x2 cos φ · dφ ×



R2 − x2 · cos φ

0

Z R

=

2

2

dx(R − x )

π
2

Z

0

dφ · cos2 φ

(3.46)

0

L’integrale sur φ se fait on observant que cos2 φ = (1 + cos 2φ)/2. On trouve
π
2

Z

dφ · cos2 φ =

0

π
4

(3.47)

Retournos `a l’´eq.(3.46) et la derniere int´egration, sur x :
I=

Z R

π
π
x3
= (R2 x − )|R
4
4
3 0

dx(R2 − x2 ) ×

0

=

π
R3
2πR3
πR3
· (R3 −
)=
=
4
3
12
6

(3.48)

Rappelons que l’int´egrale I, ´eq.(3.39), repr´esente 1/8 du volume de la sph`ere totale (voir
les figures 29, 30). Finalement on trouve :
Volume de l’int´erieur de la sph`ere = 8 ·

πR3
4πR3
=
6
3

(3.49)

exemple 2’.
Nous allons confronter le calcul ci-dessus, quelque peu laborieux, en coordonn´ees
cartesiennes, avec celui en coordonn´ees sph´eriques.
En sph´eriques, le calcul pour la sph`ere enti`ere, Fig.29, est aussi facile que pour 1/8`eme,
Fig.30. Alors pour la sph`ere entiere, Fig.29, on trouve :
Volume =

Z

3

dr=

D

=

Z R
0

Z

r2 sin Θ dr dΘ dφ

D

r2 dr

Z π
0

22

sin Θ dΘ

Z 2π
0



(3.50)

Nous avons utilis´e la m´esure d’int´egration (volume ´el´ementaire) des coordonn´ees sph´eriques
d3 r = r2 sin Θ · dr dΘ dΦ

(3.51)

´eq.(13.21), chapitre 2. En plus, par la d´efinition des coordonn´ees sph´eriques, Fig.2, il
est relativement facile a` voir que, pour visiter chaque point a` l’int´erieur de la sph`ere, de
rayon R, Fig.29, il faut faire varier les variables r, Θ, φ comme suit :
r : 0→R
Θ : 0→π
φ : 0 → 2π

(3.52)

c’est qui explique les limites d’int´egration dans l’int´egrale triple (3.50)
La suite du calcul est simple, car les trois int`egrations dans (3.50) se factorisent. On
trouve:
r3 r
| × (cos Θ)|π0 × φ |2π
0
3 0
!

Volume =

=

R3
4πR3
× 2 × 2π =
3
3

(3.53)

en accord avec (3.49), le r´esultat du calcul, de la mˆeme int´egrale, mais en coordonn´ees
cart´esiennes.
Observons que le calcul ci-dessus, pour la sph`ere, en coordonn´es sph´eriques est aussi
simple, ou presque, que le calcul pour le cubo¨ıde, Fig.28, en coordonn´ees curtesiennes,
exemple 1. On trouve des limites d’int´egration constantes et les int´egrales triples qui
factorisent sur des int´egrations unidimensionnelles.
Exercice.
D´eterminer le volume du domaine D dans la Fig.31, en calculant l’int´egrale
Volume =

Z

d3 r

(3.54)

D

exprim´ee en coordonn´ees sph´eriques. D est d´efimit´e par le cˆone de l’angle de demiouverture α et par un chapeau sph´erique, d’une sph`ere de rayon R.
R´eponse : Volume =

23

2πR3
(1 − cosα)
3

(3.55)

4

Gradient d’une fonction scalaire.

~ (~r), est un
Dans les coordonn´ees cart´esiennes, par d´efinition, le gradient de f (~r), gradf
vecteurs avec des composantes (∂x f, ∂y f, ∂y f ) :


∂x f













~
gradf
= ∂x f · ~ex + ∂y f · ~ey + ∂z f · ~ez =  ∂y f 

(4.1)

∂z f
Nous utilisons les notations suivantes pour les d´eriv´ees partielles : ∂x f ≡

∂f
,
∂x

etc. .

La d´efinition du gradient plus g´en´erale, ind´ependante de syst`eme des coordonn´ees,
est donn´ee par l’expression pour la diff´erentielle de la fonction scalaire f (~r) :
~ f · d~r
df (~r) = grad

(4.2)

~ (~r) · d~r
f (~r + d~r) − f (~r) ' gradf

(4.3)

ou, autrement :

Dans les ´eqs. (14.2), (14.3), leurs parties droites, figure le produit scalaire usuel entre les
~
deux vecteurs, gradf
et d~r.
~ , dans le sens que, quand
L’´eq.(14.2) doit ˆetre vue comme l’´equation qui d´efinie gradf
on ´ecrit la diff´erentielle df , exprim´e en coordonn´ees quelconques, on la r´egarde et on
prend les coefficients, qui figurent pret des composantes de d~r, comme les composantes
du gradient de f .
Avec les coordonn´ees cart´esiennes, pour ~r, f (~r) = f (x, y, z), la differentielle de f est
de la forme usuelle, principale :
df (x, y, z) = ∂x f · dx + ∂y f · dy + ∂z f · dz

(4.4)

Dans les coordonn´ees cart´esiennes, toujours,


dx










d~r = ~ex dx + ~ey dy + ~ez dz =  dy 

(4.5)

dz
En ´ecrivant le produit scalaire dans l’´eq.(14.2) plus explicitement, en composantes :
df = (grad f )x · dx + (grad f )y · dy + (grad f )x · dx
24

(4.6)

(qui est, toujours, juste l’expression qui sert pour introduire, par d´efinition, les composantes du gradient) et en comparant (14.6) avec la forme principale de df , ´eq.(14.4),
on doit conclure que
(grad f )x = ∂x f,

(grad f )y = ∂y f,

(grad f )z = ∂z f

(4.7)

en accord avec (14.1).
En utilisant la d´efinition du gradient par l’´eq.(14.2), il est relativement facile de
~ f dans d’autres coordonn´ees.
trouver la forme du grad
Supposons, comme dans le chapitre 2, que ~r est exprim´e en fonction de nouvelles
coordonn´ees (u1 , u2 , u3 ),
~r = ~r(u1 , u2 , u3 )

(4.8)

Alors la diff´erentielle de ~r, c’est `a dire un petit d´eplacement d~r dans l’espace, qui est
produit par des variations des nouvelles coordonn´ees, sera de la forme:
d~r =

∂~r
∂~r
∂~r
du1 +
du2 +
du3
∂u1
∂u2
∂u3

(4.9)

D’apr`es les d´efinitions (13.6) des vecteurs de la base mobile des coordonn´ees u1 , u2 , u3 ,
l’´eq.(14.9) pourrait ˆetre r´eecrite comme:
d~r = ~e1 · du1 + ~e2 · du2 + ~e3 · du3

(4.10)

Observons que dans cette ´equation sont mis ensembles les trois variations de ~r dans
l’´eq.(2.23)
En introduisant la base norm´ee, faites par des vecteurs dans l’´eq.(13.17), on trouve :
d~r = ~ˆe1 e1 du1 + ~ˆe2 e2 du2 + ~ˆe3 e3 du3

(4.11)

e1 , e2 , e3 , les normes des vecteurs ~e1 , ~e2 , ~e3 , sont les facteurs g´eom´etriques des coordonn´ees
u1 , u2 , u3 .
~ f dans (14.2), ´ecrit dans la nouvelle base (~ˆe1 , ~ˆe2 , ~ˆe3 ), est
Observons ensuite que grad
de la forme g´en´erale suivante :
~ f = (grad f )~ˆe1 + (grad f )2~ˆe2 + (grad f )3 · ~ˆe3
grad
25

(4.12)

o`
u les composantes (grad f )1 , (grad f )2 , (grad f )3 sont `a d´eterminer
En ´ecrivant explicitement, en composantes, le produit scalaire dans (14.2), pour les
vecteurs (4.11) et (4.12), on trouve :
df = (grad f )1 · e1 du1 + (grad f )2 · e2 du2 + (grad f )3 · e3 du3

(4.13)

Cette expression pour df est `a comparer avec la forme principale de df , la diff´erentielle
de f (u1 , u2 , u3 ), une fonction de ses trois variables :
df =

∂f
∂f
∂f
· du1 +
· du2 +
· du3
∂u1
∂u2
∂u3

(4.14)

En comparant (4.13) et(4.14), on d´etermine les composantes du gradient de f :
(grad)1 e1 =

∂f
1 ∂f
→ (grad f )1 =
∂u1
e1 ∂u1

(grad)2 e2 =

∂f
1 ∂f
→ (grad f )2 =
∂u2
e2 ∂u2

(grad)3 e3 =

1 ∂f
∂f
→ (grad f )3 =
∂u3
e3 ∂u3

(4.15)

[Dans (4.13), (4.14), les coefficients prˆet des du1 , du2 , du3 , qui sont des variations petites
mais arbitraires, ces coefficients doivent ˆetre ´egales].
En r´esumant, on trouve que, dans les coordonn´ees u1 , u2 , u3 , le gradient de f est de
la forme :
~ f = ~ˆe1 · 1 ∂f + ~ˆe2 · 1 ∂f + ~ˆe3 · 1 ∂f
grad
e1 ∂u1
e2 ∂u2
e3 ∂u3
=

 1 ∂f
e ∂u
 1 1
 1 ∂f
 e ∂u
 2 2
1 ∂f
e3 ∂u3







(4.16)

Dans les coordonn´ees sph´eriques, avec e1 = er = 1, e2 = eΘ = r, e3 = eΦ = r · sin Θ,
´eqs.(13.18), on trouve :
~ f = ~ˆer · ∂f + ~ˆeΘ · 1 · ∂f + ~ˆeφ · 1 ∂f
grad
∂r
r ∂Θ
r sin Θ ∂φ


∂f
∂r







1 ∂f
r ∂Θ






=

26

1
r sin Θ

·

∂f
∂φ

(4.17)

Dans les coordonn´ees cylindriques (e1 = eρ = 1, e2 = eφ = ρ, e3 = ez = 1), le gradient
prendra la forme :
~ f = ~ˆeρ · ∂f + ~ˆeφ · 1 · ∂f + ~ˆez · ∂f
grad
∂ρ
ρ ∂φ
∂z

=

 ∂f
∂ρ

 1 ∂f
 ρ ∂φ

∂f
∂z







(4.18)

Dans les coordonn´ees polaires, dans l’espace bidimensionnel, e1 = eρ = 1, e2 = eφ = ρ,
le gradient est un vecteur `a deux composantes :
~ f (ρ, φ) = ~ˆeρ · ∂f + ~ˆeφ · 1 · ∂f
grad
∂ρ
ρ ∂φ
=

 ∂f 
 ∂ρ 
1 ∂f
ρ ∂Φ

(4.19)

Remarque.
Dans le cas des coordonn´ees cart´esiennes (et seulement pour ces coordonn´ees) on
utilise souvant la notation suivante pour le gradient :
~ f = ∇f
~
grad

(4.20)

~ qui figure dans (4.20), est un vecteur avec les como`
u l’op´erateur diff´erentiel nabla ∇,
posantes :


∂x












~ =

 ∂y  ≡

∂z

 ∂
∂x

 ∂
 ∂y


∂z







(4.21)

de telle fa¸con que :


∂x

∂x f


























~ =
∇f
 ∂y  f =  ∂y f 

∂z

(4.22)

∂z f

– comp. l’´eq.(14.1).
~ simplifie souvant les ´equations. Mais il ne faut pas lui
L’utilisation de l’op´erateur ∇
~ est limite a` des coordonn´ees cartesiennes.
g´en´eraliser trop, la d´efinition de l’op´erateur ∇
27

Exercices.
En faisant les calculs dans les coordonn´ees cartesiennes, d´emontrer les r´esultats suivants :
1)
~ = ~r
∇r
r

(4.23)

~ 1 = ~r
−∇
r
r3

(4.24)

1
2~r
= 2
2
+r
(a + r2 )2

(4.25)

2)

3)
~
−∇

a2

4)
3(~p · ~r)~r − r2 p~
(~p · ~r)
~
−∇ 3 =
r
r5

(4.26)

~ r) cr´e´e, respectivement,
Les r´esultats dans 2) et 4) correspondent `a un champ ´electrique E(~
par une charge q = 4π plac´ee a` l’origine et par un petit dipˆole ´electrique p~, plac´e ´egalement
a` l’origine (`a cˆote de l’origine, plus pr´ecisement, voir l’exercice 6 plus loin).
5) Retrouver les r´esultat dans (4.23) – (4.26) en faisant les calcul dans les coordonn´ees
sph´eriques. C’est a` dire, d´emontrer que:
~ r = ~r
grad
r

(4.27)

~ 1 = ~r
−grad
r
r3
1
2~r
~
−grad
= 2
2
2
a +r
(a + r2 )2
2
~ (~p · ~r) = 3(~p · ~r)~r − r p~
−grad
r3
r5
~ f dans les coordonn´ees sph´eriques, ´eq.(4.17).
en utilisant l’expression pour grad

(4.28)
(4.29)
(4.30)

6) Pour justifier la formule (1.9) pour le potentiel ´electrique d’un dipˆole, d´emontrer
le d´eveloppement limit´e suivant :
2 !

q
q q(~a · ~r)
1 a
= ∓
+O
~a
3
r
2r
r r
|~r ± 2 |
28

(4.31)

qui est utile dans la limite |~a| |~r|.
Avec le r´esultat dans (4.31), on trouve :
q
q(~a · ~r)
q
q

=
+O
~a
~a
3
r
r
|~r − 2 | |~r + 2 |

2 !

a
r

(4.32)

et alors, dans la limite de |~a| ≡ a tout petit par rapport a` |~r| ≡ r, on retrouve le potentiel
(1.9) avec
p~ = q · ~a

(4.33)

4.1. D´
eriv´
ee dans la direction ~n.
D´efinition. La d´eriv´ee de f (~r) dans la direction ~n, o`
u ~n est un vecteur unitaire (|~n| = 1)
quelconque, est d´efinie comme suit :
∂~n f (~r) = lim+
→0

f (~r + ~n) − f (~r)


(4.34)

– Fig.32.
Alors, nous avons le r´esultat suivant :
Propri´et´e 1 du gradient.
~ f (~r) avec un vecteur unitaire ~n quelconque est ´egale a` la
Le produit scalaire de grad
d´eriv´ee de f (~r) dans la direction ~n :
~ f ) = ∂~n f (~r)
(~n · grad

(4.35)

o`
u ∂~n f est d´efinie par l’´eq.(4.34) ci-dessus.
D´emonstration.
f (~r + ~n), qui figure dans la partie droite de l’´eq.(4.34), se d´eveloppe comme suit (par
la d´efinition du gradient, ´eq.(4.2), (4.3) ) :
~ f
f (~r + ~n) ' f (~r) + ~n · grad

(4.36)

– pour petit. Alors, pour la limite dans (4.35) on trouve :
lim+

→0

f (~r + ~n) − f (~r)
~ f
= ~n · grad

29

(4.37)

~ f.
qui signifie que ∂~n f = ~n · grad
Sur cette propri´et´e est bas´ee la deuxi`eme propri´et´e du gradient :
Propri´et´e 2 du gradient.
~ f (~r), consid´er´e comme un vecteur qui est attach´e a` au point ~r, est
Le gradient grad
orthogonal a` la surface S~r des valeurs constantes de f (~r), surface de niveau de f (~r), qui
passe par ce mˆeme point ~r, Fig.33.
D´emonstration. Supposons que m(~
~ r) est un vecteur qui est ´egalement attach´e au
~ f (~r), et qui est tangent `a la surface de niveau S~r , Fig.33.
point ~r, tout comme grad
Alors, comme f (~r) ne varie pas le long de cette surface, on doit avoir:
∂m
r) = 0
~ f (~

(4.38)

Mais alors, par l’´eq.(4.35), 1`ere propri´et´e du gradient,
~ f (~r)) = 0
(m
~ · grad

(4.39)

Car m
~ est un vecteur arbitraire, qui est tangent a` la surface S~r au point ~r, Fig.33,
~ f (~r) est orthogonale a` S~r .
l’´equation (4.39) signifie que grad
Remarque 1. La surface de niveau S~r de f (~r) est appel´ee ´egalement surface ´equipotentielle,
dans le cas o`
u f (~r) est un potentiel ´electrique, f (~r) = U (~r).
Remarque 2, exemples.
~ f (~r) `a la surface
On pourrait facilement v´erifier/constanter l’orthogonalit´e du grad
des valeurs constantes de f (~r), la surface S~r , sur des exemples des fonctions et de leurs
gradients dans les exercices 1) - 3), ´eqs.(4.23) - (4.25). Mais il sera moins facile de la
v´erifier directement dans le cas du potentiel d’un dipˆole, exercice 4), ´eq.(4.26).

30

4.2. COMPLEMENT. D´
eveloppement limit´
e des fonctions de plusieurs
variables.
1. Rappel. Fonction d’une variable.

f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )f 0 (x0 ) +

(x − x0 )2 00
(x − x0 )3 000
f (x0 ) +
f (x0 ) + ...
2
3!

(4.40)

— s´erie de Taylor.
Une autre forme de ce mˆeme d´eveloppement :
f (x) = f (x0 + (x − x0 )) = {x − x0 = b} = f (x0 + b)

(4.41)

Alors (4.40) pourrait ˆetre re´ecrit comme suit :
f (x0 + b) = f (x0 ) + bf 0 (x0 ) +

b3
b2 00
f (x0 ) + f 000 (x0 ) + ...
2
3!

(4.42)

On peut finalement remplacer x0 → x dans (4.42) :
f (x + b) = f (x) + bf 0 (x) +

b2 00
b3
f (x) + f 000 (x) + ...
2
3!

(4.43)

Remarque - pr´ecision : dans (1) on d´eveloppe autour de x0 , en puissance de (x−x0 ). Dans
(4.43) on d´eveloppe autour de x, en puissance de b, d´eplacement de x dans f (x+b). Sinon
(4.40) et (4.43) sont ´equivalants.
Liste de base de d´eveloppements des fonctions classiques.
1)
ex = 1 + x +


X
x2 x3
xn
+
+ ... =
2
3!
n=0 n!

(4.44)

2)
x3 x5
sin x = x −
+
+ ...
3!
5!

(4.45)

cos x = 1 −

x2 x 4
+
− ...
2
4!

(4.46)

sinh x = x +

x3 x5
+
+ ...
3!
5!

(4.47)

3)

4)

31

5)
cosh x = 1 +

x2 x4
+
+ ...
2
4!

(4.48)

6)

n
X
x2 x3 x4
n−1 x
+

+ ... =
(−1)
log(1 + x) = x −
2
3
4
n
n=1

(4.49)

7)
(1 + x)γ = 1 + γ · x +

γ(γ − 1) 2 γ(γ − 1)(γ − 2) 3
x +
x + ...
2
3!

(4.50)

8)
1
= 1 − x + x2 − x3 + x4 − ...
1+x

(4.51)

Dans 1) - 8) les fonctions sont d´evelopp´ee autour de x0 = 0.
` titre d’exercice, retrouver les d´eveloppements 1) - 8), en faisant les calculs par la
A
s´erie de Taylor (4.40).
Exemple d’application directe de la liste 1) - 8).



(− 21 )(− 32 ) 2
1
x 3
1
1
= (1 + x)− 2 = 1 − x +
x + ... = 1 − + x2 + ...
2
2
2 8
1+x

(4.52)

On peut se servir de la liste 1) - 8) ´egalement pour d´evelopper d’autres fonctions.
Exemple.
1
= 1 − x2 + x4 − ...
2
1+x

(4.53)

Dans ce d´eveloppement x2 a ´et´e pris comme une nouvelle variable, u = x2 . Ensuite la
fonction 1/(1 + u) a ´et´e d´evelopp´ee par l’´eq. 8), dans la liste 1) - 8), et finalement u,
dans la s´erie, a ´et´e remplac´e par x2 .
Le plus souvant, dans les calculs actuels, on manipule par d’une expression particuli`ere
de x comme par une nouvelle variable, sans explicitement la mentionner, sans la noter
explicitement. – Comme nous avons le fait dans le d´eveloppement ci-dessus.
On peut se servir de la liste 1) - 8) pour d´evelopper autour d’un autre point que 0.
32

Exemples
1)
f (x) =

1
,
1+x

(4.54)

a` d´evelopper autour de x0 = 1, c’est `a dire, en puissance de x − x0 = x − 1.
1
1
1
1
1
1
=
= ·
·
x−1 =
1+x
2 + (x − 1)
2 1+ 2
2 1+u
1
x−1
x−1 2
1
+(
) + ...)
= (1 − u + u2 − ...) = (1 −
2
2
2
2
1
x − 1 (x − 1)2
1 1
1
= (1 −
+
+ ...) = − (x − 1) + (x − 1)2 + ...
2
2
4
2 4
8

(4.55)

2)
ex ,

x0 = 2

(4.56)

ex = e2+(x−2) = e2 · ex−2 = e2 (1 + (x − 2) +

(x − 2)2
+ ...)
2

(4.57)

3)
log(1 + x),

x0 = 3

log(1 + x) = log(4 + (x − 3)) = log(4 · (1 +
x−3 1 x−3
= log 4 +

4
2
4


2

(4.58)

x−3
x−3
)) = log 4 + log(1 +
)
4
4

1
1
+ ... = log 4 + (x − 3) − (x − 3)2 + ... (4.59)
4
32

2. Fouction de 3 variables, f (x, y, z).
La s´erie de Taylor (4.40) se g´en´eralise comme suit :
f (x, y, z) = f (x0 , y0 , z0 )
+(x − x0 )∂x f (x0 , y0 , z0 ) + (y − y0 )∂y f (x0 , y0 , z0 ) + (z − z0 )∂z f (x0 , y0 , z0 )
+

(x − x0 )2 2
(y − y0 )2 2
(z − z0 )2 2
∂x f (...) +
∂y f (...) +
∂z f (...)
2
2
2
+(x − x0 )(y − y0 )∂x ∂y f (...) + (y − y0 )(z − z0 )∂y ∂z f (...)
+(x − x0 )(z − z0 )∂x ∂z f (...) + ...
33

(4.60)

Le d´eveloppement en s´erie de Taylor dans la forme (4.43) se g´en´eralise comme suit :
f (x + bx , y + by , z + bz ) = f (x, y, z) + bx ∂x f (x, y, z) + by ∂y f (x, y, z) + bz ∂z f (x, y, z)
+

(by )2 2
(bz )2 2
(bx )2 2
∂x f (...) +
∂y f (...) +
∂ f (...)
2
2
2 z

+bx by ∂x ∂y f (...) + by bz ∂y ∂z f (...) + bx bz ∂x ∂z f (...) + ...
(4.61)
Dans la forme plus compacte le d´eveloppement (4.61) s’´ecrit comme suit :
f (~r + ~b) = f (~r) +

3
X

bi ∂i f (~r) +

i=1

3 X
3
1 X
bi bj ∂i ∂j f (~r) + ...
2! i=1 j=1

(4.62)

Ci-dessus, b1 = bx , b2 = by , b3 = bz , ∂1 f = ∂x f, ∂2 f = ∂y f, ∂3 f = ∂z f .
Si on se limite, dans (4.62), que par la premi`ere correction, alors on trouve:
~ (~r)
f (~r + ~b) ' f (~r) + ~b · gradf




~b =





 bx 




 by  ,





~
gradf
=

bz








(4.63)

∂x f 



∂y f 

∂z f

(4.64)



Application. Potentiel d’un petit dipˆole.
Utilisons le d´eveloppement (4.63) pour
1
f (~r) = ,
r

r = |~r| =

q

x2 + y 2 + z 2

(4.65)

1 ~ ~ 1
+ b · grad
|~r|
r

(4.66)

On trouve :
f (~r + ~b) =

1
|~r + ~b|

'

~ 1 = − ~r3 , l’un des exercices du chapitre sur le gradient.
Rappel : grad
r
r
1
|r + ~b|

'

1 ~
~r
1
~r
+ b · (− 3 ) = − ~b · 3
r
r
r
r
1

1 ~ ~r
−b· 3
r
r

(4.68)

1
1 ~a · ~r
' − 3
~a
r
2r
|~r + 2 |

(4.69)

|~r + ~b|
Mettons ~b =

~a
2

(4.67)

'

:

34

Mettons ensuite b = − ~a2 :

1
1 ~a · ~r
' + 3
~a
r
2r
|~r − 2 |

(4.70)

Alors pour le potentiel U (~r), cr´e´ees par des charges q et −q, mises a` la distanee ~a, on
trouve :
U (~r) =

q
1
1
~a · ~r
q

= q(

)'q· 3
~a
~a
~a
~a
r
|~r − 2 | |~r + 2 |
|~r − 2 | |~r + 2 |

(4.71)

p~ · ~r
,
r3

(4.72)

U (~r) '
o`
u

p~ = q · ~a

(4.73)

R´emarque, une m´ethode de d´eveloppement en plus.
Parfois, pour d´evelopper une fonction de plusieurs variables, il souffit, a` nouveau,
d’utiliser la liste 1) - 8), pour des fonctions d’une seule variable.
Exemple.
f (x, y) = ex(1−y) , a` d´evelopper, `a l’ordre 2, autour de (0,0), c’est `a dire a` d´evelopper
en puissances de x, y, jusque l’ordre 2. Il s’agit d’un exercice dans les sujets de TD, partie
C.
Pr´ecisons que l’ordre 1 correspond aux termes ∼ x, ∼ y, dans le d´eveloppement
autour de (0, 0). Que l’ordre 2 correspond aux termes ∼ x2 , ∼ y 2 , ∼ xy. Et etc. pour
des ordres plus ´elev´es.
Au lieu de passer par la s´erie de Taylor, pour f (x, y), fonction de deux variables :
f (x, y) = f (x0 , y0 ) + (x − x0 )∂x f (x0 , y0 ) + (y − y0 )∂y f (x0 , y0 )
+

(x − x0 )2 2
(y − y0 )2 2
∂x f (x0 , y0 ) +
∂y f (x0 , y0 ) + (x − x0 )(y − y0 )∂x ∂y f (x0 , y0 ) + ...(4.74)
2
2

qui est toujours possible, il est plus simple d’utiliser le d´eveloppement de l’exponentielle
dans 1), de la liste 1) - 8), pour la variable u = x(1 − y). On trouve :
f (x, y) = ex(1−y) = eu = 1 + u +

u2
1
+ ... = 1 + x(1 − y) + (x(1 − y))2 + ...
2
2
1
= 1 + x − xy + x2 + ...
2
35

(4.75)

Observons que les termes d’ordres plus ´elev´es (ordres 3 et 4) ont ´et´e supprim´es en passant
d’avant derni`eres au derni`eres expression dans (36).
On peut v´erifier qu’on trouve le mˆeme dev´eloppement en faisant le calcul par la s´erie
de Taylor (4.74), pour x0 = y0 = 0.

36

5

Divergence d’une fonction vectorielle. Th´
eor`
eme
d’Ostrogradski.

~ r) une fonction vectorielle, ou un champ de vecteurs, dans la terminologie d’un
Soit A(~
~ r), est d´efinie par
physicien. Dans les coordonn´ees cart´esiennes, sa divergence, divA(~
l’expression :
~ r) =d´ef ∇
~ · A(~
~ r) = ∂x Ax (~r) + ∂y Ay (~r) + ∂z Az (~r)
divA(~

(5.1)

Observons que l’expression `a droite de cette ´equation rassemble un produit scalaire
~ et le champ des vecteurs A(~
~ r).
entre l’op´erateur nabla ∇
La signification physique de la divergence est li´ee `a la notion d’un flux d’un champ
des vecteurs `a travers une surface :
~ =
FS [A]

Z

~ r))
(d~s · A(~

(5.2)

S

– Fig.34. Dans cette expression d~s est un vecteur orient´e dans la direction orthogonale
a` S et avec son module |d~s| ´egale a` l’aire d’un petite ´el´ement de surface qui est montr´e
dans la figure. Dans cette figure est expos´e un seul ´el´ement de la surface S, mais il
faut imaginer que toute la surface est bris´ee en petits ´el´ements similaires et, en calculant
l’int´egrale dans (5.2), on fait sommer sur l’ensemble de ces petits ´el´ements, dans la limite
o`
u leur nombre tend vers l’infini (le surface S ´etant bris´ee en ´el´ements de plus en plus
petits). C’est a` dire :
FS [A] =

Z
S

N
X
~ r) =d´ef lim
~ ri )
d~s · A(~
d~si · A(~
N →∞

(5.3)

i=1

La partie droite de cette ´equation est la somme de Darboux qui d´efinit l’int´egrale sur une
surface S, l’int´egrale a` gauche dans (5.3). La Fig. 35 donne la d´efinition g´eom´etrique
plus d´etaill´ee de l’int´egrale de surface dans (5.2), (5.3). Pour se familiariser avec des
int´egrales de surface, dans le COMPLEMENT de ce chapitre sont trait´es des calculs des
flux `a travers des surfaces, dans des 6 g´eometries simples.
Il n’est pas trop compliqu´e a` d´emontrer que la divergence d’un champ A(~r) en un
~ a` travers une petite surface ferm´ee qui
point ~r est proportionnelle a` un flux du champ A
37

entoure le point ~r, dans la limite o`
u la taille de cette surface (et le volume de l’espace
qu’elle entoure) tend vers zero, Fig.36. Le coefficient de proportionalit´e est le petit volume
dV entour´e par la surface :
~ · dV
dFS ' divA

(5.4)

Nous avons not´e ce flux comme dFS , au lieu de FS , pour souligner qu’il est tout petit,
comme le volume dV . Sinon, dFS se calcule par la mˆeme formule, celle dans l’´eq.(5.2).
L’´egalit´e approch´ee dans l’´eq.(5.4) devient l’´egalit´e dans la limite de dV → 0. Par
cons´equence dFS → 0 ´egalement, mais leur rapport dFS /dV reste fini et devient ´egale a`
~ r).
la divergence, divA(~
~ a` partir de l’´eq.(5.2)
La d´emonstration de l’´eq.(5.4), c’est a` dire l’emergence de divA
pour S ferm´ee et toute petite, cette d´emonstration pourrait se faire de la mani`ere plus
simple en choisissant pour S, la surface qui entoure le point ~r, Fig.36, la forme d’un
cubo¨ıde, Fig.37. Avec quelques arguments suppl´ementaires on pourrait se convaincre
que le r´esultat de la limite (quand la taille de S tend vers zero) ne d´epend pas de la
forme particuli`ere de S. D’autre part, avec S de la forme d’un cubo¨ıde, la d´emonstration
est plus rapide.
Dans la limite o`
u le cubo¨ıde devient tout petit, l’int´egrale sur la surface dans l’´eq.(5.2)
pourrait ˆetre remplac´ee par la somme des flux approximatifs a` travers des 6 cˆot´es du
~ r) ´etant choisi, pour sa valeur, au millieu de chaque cˆot´e, multipli´e par l’aire
cubo¨ıde, A(~
de la facette Fig.37 (multiplier par le vecteur d~s, plus pr´ecisement).
~ est orient´e vers l’interieur du cubo¨ıde,
Une remarque supplementaire est que, si A
pour un cˆot´e particulier, alors sa contribution aura un signe n´egatif, comme r´esultat du
~ dans l’´eq.(5.2): la convention habituelle ´etant, pour une surface
produit scalaire (d~s · A)
ferm´ee, que d~s est orient´e vers l’exterieur.
Avec ces observations on trouve l’expression suivante, Fig.37:
dx
dx
~ex )dydz − Ax (~r − ~ex )dydz
2
2
dy
dy
+Ay (~r + ~ey )dxdz − Ay (~r − ~ey )dxdz
2
2

dFS ' Ax (~r +

38

+Az (~r +

dz
dz
~ez )dxdy − Az (~r − ~ez )dxdy
2
2

(5.5)

~ex , ~ey , ~ez (|~ex | = |~ey | = |~ez | = 1) sont les vecteurs de la base, Fig.37. En d´eveloppant
Ax (~r +

dx
~e )
2 x

dans

dx
,
2

etc., on trouve:
dFS ' (

∂Ax (~r) ∂Ay (~r) ∂Az (~r)
+
+
)dxdydz
∂x
∂y
dz

(5.6)

– en accord avec l’´eq.(5.4).
~ r, t), qui d´epend en plus du temps dans cet exemple,
Exemple. Considerons le cas o`
u A(~
est la densit´e d’un courant des particules: des molecules d’un gaz en mouvement ou des
particules charg´ees qui constituent un courant ´electrique. On trouve dans ce cas:
~ ~r) = ρ(t, ~r) · ~v (t, ~r)
A(t,

(5.7)

o`
u ρ(t, ~r) est la densit´e des particules (en un point ~r et au moment t) et ~v (t, ~r) est leur
~ dans cet exemple correspond a` la diff´erence d’un
vitesse moyenne. La divergence de A
nombre des particules qui sortent et qui rentrent dans le petit volume dans la Fig.36, par
~ r, t) est positif, alors le nombre de particules
l’unit´e du temps. Si, par exemple, divA(~
qui sortent sera superieure au nombre des particules qui rentrent et, en cons´equence, la
densit´e des particules (en un point ~r, au moment t) va diminuer. On aura l’´equation:
∂ρ(t, ~r)
~ ~r)
= −divA(t,
∂t

(5.8)

qui d´ecrit le bilan local des particules en mouvement. Il faut ajouter que
l’´equation de bilan dans la forme (5.8) correspond au cas o`
u le nombre des particules est
conserv´e : il n’y a pas de sources de production des nouvelles particules dans un milieu
et, ´egalement, il n’y a pas de disparition des particules.
Exercices.
Calculer la divergence des champs de verteurs suivants
~ r) = ~r
1) A(~
~ r) = ~r ,
2) A(~
r3
39

en ~r 6= 0

(5.9)
(5.10)

~ r) =
3) A(~

a2

~r
+ r2

(5.11)

R´eponses:
~ · ~r) = 3
1) div~r ≡ (∇

(5.12)

~r
~ · ~r ) = (∇
~ · ~r) 1 − 3 (~r · ∇r)
~ =0
≡ (∇
3
3
r
r
r3 r4
3a2 + r2
~r
~r
~ ·
)
=
...
=
3) div 2

(

a + r2
(a2 + r2 )
(a2 + r2 )2
2) div

(5.13)
(5.14)

~ r) dans les coordonn´
Divergence d’un champ A(~
ees curvilignes.
~ ind´ependante des syst`emes des coorLa d´efinition g´en´erale de la divergence, divA,
donn´ees, est donn´ee par l’´eq.(5.4), de la mani`ere un peu analogue `a l’´equation (14.2)
~ (~r).
donnant la d´efinition g´en´eral du gradient, gradf
Tout comme dans l’utilisation de l’´eq.(14.2) dans le chapitre 4, il nous faudra pr´eciser/exprimer
les diff´erents ´el´ements qui rentrent dans l’´eq.(5.4), les exprimer en coordonn´ees curvilignes
quelconques, u1 , u2 , u3 .
Imagions que le point ~r = ~r(u1 , u2 , u3 ) est entour´e, de nouveau, par un petit cubo¨ıde,
mais avec ses cˆot´es, cette fois-ci, parallels `a des plans (1.2), (13.3), (3.1) de la base mobile
des coordonn´ees u1 , u2 , u3 , au point ~r, Fig.38.
Ensuite, le calcul se fait de la mˆeme mani`ere comme dans le cas des coordonn´ees
cart´esiennes. La diff´erence est que, avec des coordonn´ees curvilignes, les composantes
~ sont accompagn´ees par les facteurs g´eom´etriques, qui sont, `egalement, les
du champ A
fonctions des coordonn´ees u1 , u2 , u3 . Par exemple, pour les 2 termes qui sont expos´es
dans la Fig.38, il faudra d´evelopper pas seulement les composantes A1 (u1 +
A1 (u1 −

du1
, u2 , u3 ),
2

du1
, u2 , u3 ),
2

mais ´egalement les facteurs e2 , e3 qui leurs accompagnent.

Plus concr´etement:
A1 (u1 +

du1
du1
du1
, u2 u3 )e2 (u1 +
, u2 , u3 )e3 (u1 +
, u2 , u3 )
2
2
2
' A1 (u1 , u2 , u3 )e2 (u1 , u2 , u3 )e3 (u1 , u2 , u3 )

+

du1 ∂
·
(A1 (u1 , u2 , u3 )e2 (u1 , u2 , u3 )e3 (u1 , u2 , u3 ))
2 ∂u1
40

(5.15)

A1 (u1 −

du1
du1
du1
, u2 u3 )e2 (u1 −
, u2 , u3 )e3 (u1 −
, u2 , u3 )
2
2
2
' A1 (u1 , u2 , u3 )e2 (u1 , u2 , u3 )e3 (u1 , u2 , u3 )



du1 ∂
·
(A1 (u1 , u2 , u3 )e2 (u1 , u2 , u3 )e3 (u1 , u2 , u3 ))
2 ∂u1

(5.16)

En ajoutant (en soustrant plutˆot, Fig.38) ces deux termes, qui sont, en plus, multipli´es
par du2 du3 , on trouve :

(A1 e2 e3 ) · du1 du2 du3
∂u1

(5.17)

En ajoutant les contributions de 4 autres faces du cubo¨ıde dans la Fig.38, on trouve que
le flux total, a` travers les 6 cˆot´es du cube, est donn´e par l’expression :
dFS ' (




(A1 e2 e3 ) +
(A2 e1 e3 ) +
(A3 e1 e2 ))du1 du2 du3
∂u1
∂u2
∂u3

(5.18)

Dans l’´equation (5.4), l’autre facteur a` exprimer en coordonn´ees curvilignes est dV .
Ce facteur est beaucoup plus simple. Par la Fig.38 :
dV = e1 e2 e3 du1 du2 du3

(5.19)

(comp., ´egalement, l’´eq.(13.20)).
~ est a` d´etermin´e.
Le facteur qui reste dans l’´eq.(5.4), divA,
De cette mani`ere, `a partir de l’´eq,(5.4), avec dFS dans (5.18) et dV donn´e par
~ en coordonn´ee curvilignes
l’´eq.(5.19), on trouve l’expression pour la divergence du champ A,
quelconques, u1 , u2 , u3 :
~ 1 , u2 , u3 ) =
divA(u

1



[
(e2 e3 A1 ) +
(e1 e3 A2 ) +
(e1 e2 A3 )]
e1 e2 e3 ∂u1
∂u2
∂u3

(5.20)

En coordonn´ees sph´eriques, u1 = r, u2 = Θ, u3 = φ, e1 = er = 1, e2 = eΘ = r, e3 =
eφ = r · sin Θ, on trouve :
~ Θ, φ) =
divA(r,

r2

1



[ (r2 sin Θ · Ar ) +
(r · sin Θ · AΘ ) +
(r · Aφ )]
sin Θ ∂r
∂Θ
∂φ

(5.21)

En coordonn´ees cylindriques, u1 = ρ, u2 = φ, u3 = z, e1 = eρ = 1, e2 = eΦ = ρ,
e3 = ez = 1 :
~ φ, z) = 1 [ ∂ (ρAρ ) + ∂ (Aφ ) + ∂ (ρAz )]
divA(ρ,
ρ ∂ρ
∂φ
∂z
41

(5.22)

En coordonn´ees polaires, en deux dimensions (u1 = ρ, u2 = Φ, e1 = eρ = 1, e2 =
eΦ = ρ), on trouvera, avec des m´ethodes analogues, l’expression suivante :
~=
divA

1


[
(e2 A1 ) +
(e1 A2 )]
e1 e2 ∂u1
∂u2
1 ∂

= [ (ρAρ ) +
(AΦ )]
ρ ∂ρ
∂Φ

(5.23)

Exercices
4) Recalculer les divergences des champs de vecteurs dans (5.9) - (5.11) en utilisant
~ en coordonn´ees sph´eriques, ´eq.(5.21). Faudra d´eterminer d’abord
l’expression pour divA
les composantes sph´eriques, Ar , AΘ , AΦ , des champs des vecteurs dans (5.9) - (5.11).
V´erifier que les r´esultats s’accordent avec les r´eponses (5.12) - (5.14), obtenues auparavant en faisant les calculs en coordonn´ees cartesiennes.

Premier th´
eor`
eme int´
egrale : th´
eor`
eme d’Ostrogradski.
La formule locale (5.4), additionn´ee, produit la formule int´egrale suivante :
I
S

~ r) =
d~s · A(~

Z

~ r)
d3 r divA(~

(5.24)

DS

Dans cette ´equation, DS est un domaine, dans l’espace R3 , entour´e par la surface S,
Fig.39.
~ int´egr´ee sur un domaine
L’´equation (5.24), ´egalit´e entre la divergence d’un champ A,
DS , et le flux de ce champ `a travers la surface qui entoure le domaine DS , cette ´egalit´e
est appel´ee le th´eor`eme d’Ostrogradski, ou le th´eor`eme de divergence.
Au lieu d’une d´emonstration detaill´ee, nous allons donner quelques arguments pour
montrer que cette formule est bien naturelle est transparente.
Imaginons que nous avons coup´e le domaine DS en petits cubo¨ıdes, qui peuvent ˆetre
quelque peu d´eform´es, de la fa¸con que l’ensemble de ces cubo¨ıdes remplit parfaitement
le domaine DS . Dans la Fig.40 sont montr´es deux cubo¨ıdes de cet ensemble.
Ensuite, l’int´egrale `a droite dans l’´eq.(5.24) pourrait ˆetre remplac´ee par la somme
de Darboux correspondante, sur cet ensemble : la contribution de chaque petit cubo¨ıde,
42

dans la somme, ´etant de la forme:
~ · dV
divA

(5.25)

~ est d´etermin´e, pour sa valeur, au centre
o`
u dV est un petit volume du cubo¨ıde et divA
de ce petit cubo¨ıde.
Nous pouvons maintenant utiliser l’´eq.(5.4), lue dans le sens opos´e, pour remplacer
~
~ a` travers les cˆot´es d’un petit cubo¨ıde. Rappelons que
divA·dV
par le flux dF du champ A
ce flux se calcule par l’int´egrale dans l’´eq.(5.2) avec d~s orient´e vers l’exterieur du cubo¨ıde
en question. Maintenant, si on a fait ce type de transformation pour tous les petits
cubo¨ıdes qui partionnent le domaine DS et on a additionn´e les r´esultats, on observe
que le flux a` travers chaque petit cˆot´e d’un cubo¨ıde donn´e, qui se trouve a` l’interieur
de DS , rentre deux fois dans la somme, car chaque cˆot´e appartient a` deux cubo¨ıdes
voisins, Fig.40. En plus, ces contributions sont de signes oppos´es `a cause de l’orientation
oppos´ee de d~s dans l’´eq.(5.2) : orientations exterieure - interieure sont oppos´ees pour les
deux cubo¨ıdes dans la Fig.40 qui partagent le mˆeme cˆot´e rectangulaire. Comme r´esultat
final, les flux a` travers tous les cˆot´es des cubo¨ıdes qui se trouvent `a l’interieur de DS
se compensent, les uns contre les autres. Il restera les flux a` travers les petits cˆot´es des
cubo¨ıdes qui se trouvent sur le bord de DS . Cet ensemble des petits flux, additionn´es,
correspond `a l’int´egrale sur le bord de D dans l’´eq.(5.24) a` gauche.

5.1. COMPLEMENT. Exemples des calculs des flux, en coordonn´
ees cartesiennes et en coordonn´
ees sph´
eriques.

Calculs en coordonn´
ees cartesiennes.
Exemple 1.
Le flux d’un champ de vecteurs


x












A(~r) = ~r = 
y

(5.26)

z
a` travers la surface S dans Fig.41 : un carr´e, parallel au plan (x, y), soulev´e a` la hauteur
43

a le long de l’axe z :
S : −a < x < a,

−a < y < a,

z=a

(5.27)

On trouve :
Z

~ =
FS [A]

Z

~=
d~s · A

S

Z

=

S

S

dx dy Az =

~
dx dy ~ez · A
Z

dx dy · z

(5.28)

S

On observe que, sur la surface S, z est constant, z = a,
=

Z

dx dy · a = a ·

Z +a

dx

Z +a

−a

S

dy = a · 2a · 2a = 4a3

(5.29)

−a

Nous avons utilis´e le th´eor`eme de Fubini pour remplace l’int´egrale bidimensionnalle
R
S

dx dy par l’int´egrale double

Ra

−a

dx

Ra

−a

dy.

~ = 4a3
FS [A]

(5.30)

Exemple 2.
Le flux du champ


y












~ r) = 
B(~
z

(5.31)

x
a` travers la mˆeme surface, ´eq.(5.27), Fig.41.
Dans le cas on trouve :
Z

~ =
d~s · B

Z
S

S

~z
dx dy ~ez · B

(5.32)

Bz = x, ´eq.(5.31),
=

Z

dx dy · x =

Z a

dx · x ·

−a

S

=

Z a

dy

−a

x2 a
|−a × y|a−a = 0 × 2a = 0
2
~ =0
FS [B]
44

(5.33)
(5.34)

Exemple 3.
~ r), eq.(5.26) a` travers la surface S :
Le flux du champ A(~
−a < x < a,

−a < z < a,

y=a

(5.35)

– Fig.42.
On trouve dans ce cas :
Z

~ =
FS [A]
=

Z
S

S

dx dz · Ay =

=a·

Z a

Z

~=
d~s · A

dx ·

−a

S

Z

~
dx dz · ~ey · A

dx dz · y =

S

Z a

Z

dx dz · a

S

dy = a · 2a · 2a = 4a3

(5.36)

−a

FS [A] = 4a3

(5.37)

Exemple 4.
~ r), ´eq.(5.26), a` travers la surface d’un cube, Fig.43, du taille
Le flux du champ A(~
2a × 2a × 2a :
−a < x < a,

−a < y < a,

−a < z < a

(5.38)

Cette fois-ci, il s’agit d’une surface ferm´ee.
La surface totale, S, est faite de 6 cˆot´es du cube, Si , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. L’int´egrale sur
S sera ´egale a` la somme des int´egrales sur les 6 cˆot´es :
~ =
FS [A]

I

~=
d~s · A

Z

S

S1

+

Z
S4

~+
d~s1 · A

Z

~+
ds4 · A

Z

S2

S5

~+
d~s2 · A

Z

~+
d~s5 · A

Z

S3

S6

~
d~s3 · A
~
ds6 · A

(5.39)

Dans les exemples 1 et 3 nous avons d´ej`a calcul´e les int´egrales sur les cˆot´es S1 et
~ r) = ~r (A(~
~ r) est isotrope) et de la
S2 , Figs.41, 42. A cause des sym´etries du champ A(~
surface S, Fig.43, il est facile a` r´ealiser que les calculs des flux a` travers les cˆot´es S1 , ..., S6
donneront, tous, le mˆeme r´esultat, c’est-ce que nous avons v´erifi´e d´ej`a avec des calculs
pour S1 et S2 . Finalement nous trouvons, pour le flux total dans (5.39) :
~ =
FS [A]

I

~ = 6 × 4a3 = 24a3
d~s · A

S

45

(5.40)

Observons maintenant que ce mˆeme r´esultat, pour le flux total, nous pouvons le
retrouver autrement. Du fait que la surface S, dans le cas actuel, est ferm´ee, nous permet d’appliquer le th´eor`eme d’Ostrogradski, ´eq.(5.24). Par ce th´eor`eme, nous pouvons
~ (pour S ferm´ee) par le calcul de l’int´egrale tridimenremplacer le calcule du flux FS [A]
~ divA,
~ et de
sionnel sur le domane D, born´e par S. Il faudra calculer la divergence de A,
l’int´egrer sur D.
~ r) = ~r, ´eq.(5.26), et avec la d´efinition de divA
~ dans (5.1) (en coordonn´ees
Pour A(~
cartesiennes), on trouve immediatement
~=3
divA

(5.41)

Ensuite :
~ =
FS [A]
=3×

Z a
−a

dx ×

Z a
−a

dy ×

Z a

Z

~=
d rdivA
3

D

Z

dx dy dz · 3

D

dz = 3 × 2a × 2a × 2a = 24a3

(5.42)

−a

– en accord avec le r´esultat de nos calculs directs de FS [A], ´eq.(5.40).
Soulignons encore que cette deuxieme m´ethode du calcul du flux a` travers nue surface
s’applique, uniquement, `a des surfaces ferm´ees.
Dans le cas des surfaces ouvertes, avec des bords, comme dans les figures 34, 35,41,42,
le seule m´ethode du calcul de flux et la m´ethode directe. Il n’y a pas des th´eor`emes, du
type de th´eor`eme d’Ostrogradski, pour des surface ouvertes.
~ r), ´eq.(5.31), exemple 2,
Observons encore que pour le champ B(~
~ =0
divB

(5.43)

~ `a travers le surface totale du cube,
Par le th´eor`eme d’Ostrogradski, le flux total FS [B],
sera ´egal a` 0.
~ pas seulement le flux total
Dans l’exemple 2, nous avons vu que, pour le champ B,
s’annule mais ´egalement sont ´egales `a 0 les flux partiels du cube. Dans l’exemple 2 nous
~ r) et
avons fait le calcul pour le cˆot´e S1 . Encore une fois, par la symetrie du champ B9~
46

les symetries du cube, on trouvera le mˆeme annulation du flux pour d’autres cˆot´es du
cube,S2 , ..., S6 .
De nouveau, nous trouvons l’accord avec le calcul du flux total par le th´eor`eme
d’Ostrogradski :

Quelques formules utiles.
Nous vouderions r´esumer sur les calculs pr´ecedents et donner quelques formules utiles
pour la suite.
Observons qu’en coordonn´ees cart´esiennes le vecteur-petit d´eplacement dans l’espace
est de la forme :



dx












d~r = dx~ex + dy~ey + dz~ez = 
 dy 

(5.44)

dz
Le vecteur-petit surface (dans les int´egrales sur des surfaces, en calculant les flux) est
comme suit :



dy dz












d~s = dy dz · ~ex + dz dx · ~ey + dx dy · ~ez = 
 dz dx 

(5.45)

dx dy
Nous avons vu l’apparition de diff´erentes composantes de d~s leur des calcul des flux `a
travers les differents cˆot´es du cube, Fig.41, 42, 43. C’est l’orientation de surface, sur
laquelle on int`egre, qui choisit telle ou telle composante du vecteur d~s dans (5.45).
Nous allons maintenant g´en´eraliser les formules (5.44), (5.45) vers des coordonn´ees
curvilignes.
Pour le vecteur-petit deplacement dans l’espace nous avons l’expression suivante :


e1 du1













d~r = e1 du1 · ~ˆe1 + e2 du2 · ~ˆe2 + e3 du3 · ~ˆe3 =  e2 du2 

(5.46)

e3 du3
– comp. l’´eq.(4.11).
Pour le vecteur-petite surface (surface ´el´ementaire dans les int´egrales), d~s et de la
47

forme :
d~s = e2 e3 du2 du3 · ~ˆe1 + e3 e1 du3 du1 · ~ˆe2 + e1 e2 du1 du2 · ~ˆe3


e2 e3 du2 du3












 e3 e1 du3 du1 
=

(5.47)

e1 e2 du1 du2
Egalement, les diff´erentes composantes du vecteur d~s dans (5.47) sont apparu d´ej`a dans
nos calculs pr´ecedants : voir la Fig.38 qui explique, en soi-mˆeme, la forme des differentes
composantes de d~s.
Rappelons que des facettes du petit cubo¨ıde dans la Fig.38 sont d´ej`a des tailles
´el´ementaires : dl2 × dl3 = e2 e3 du2 du3 , etc. .
Nous auront besoin des diff´erentes composantes des vecteurs d~r, (5.46), et de d~s,
(5.47), dans des calculs qui vont suivre, en coordonn´ees curvilignes.
Nous donnons finalement les formes explicites des vecteurs d~r et d~s dans les coordonn´ees sph´eriques et cylindriques.
En coordonn´ees sph´eriques (e1 = er = 1, e2 = eΘ = r, e3 = eφ = r · sin φ) :
d~r = dr · ~ˆer + r · dΘ · ~ˆeΘ + r · sin Θ · dφ · ~ˆeφ


dr







rdΘ






=



dr










=  drΘ 

(5.48)

drφ

r sin Θ dφ

d~s = r2 sin Θ dΘ dφ · ~ˆer + r sin Θ dφ dr · ~ˆeΘ + r dr dΘ · ~ˆeφ

=

 2

r sin Θ dΘ dφ




 r sin Θ dφ dr 



r dr dΘ



dsr












=
 dsΘ 

(5.49)

dsφ

En coordonn´ees cylindriques (e1 = eρ = 1, e2 = eφ = ρ, e3 = ez = 1):
d~r = dρ~ˆeρ + ρdφ · ~ˆeφ + dz~ˆez




















drρ






=  ρdφ  =  drφ 
dz

drz
48

(5.50)

d~s = ρ dφ dz · ~ˆeρ + dz dρ ~ˆeφ + ρ dρ dφ · ~ˆez


ρ dφ dz

















dsρ






=  dz dρ  =  dsφ 

(5.51)

dsz

ρ dρ dφ

Calculs en coordonn´
ees curvilignes.
Exemple 5.
Le flux d’un champ
~ r) = ~r
A(~
r2

(5.52)

a` trouvers la surface d’une sph`ere de rayon R, centr´ee a` l’origine, Fig.44. Calcul en
coordonn´ees sph´eriques.
Le champ (5.52) se d´ecompose comme suit, par rapport `a la base mobile des coordonn´ees sph´eriques :
~ r) = 1 ~ˆer
A(~
r
Sinon:



Ar












~ r) = 
A(~
 AΘ  =

(5.53)
1
r
 
 
o
 



(5.54)

0

Le flux se calcule par l’int´egrale :
~ =
FS [A]

I

~
d~s · A

(5.55)

S

Observons que, pour la surface de la sph`ere, Fig.44,
d~s = dsr · ~ˆer = r2 sin Θ dΘ · dφ

(5.56)

Nous avons utilis´e la forme de la composante dsr donn´ee dans l’´eq.(5.49). Ensuite :
I
S

~=
d~s · A

1 Z
dsr · Ar = r sin Θ · dΘ · dφ · = r sin Θ · dΘ · dφ
r
S
S
S

Z

Z

2

(5.57)

Sur le surface S, r est fixe, r = R, Θ et φ varient, doivent ˆetre int´egres,
=

Z
S

R sin Θ·dΘ dφ = R

Z 2π
0



Z π
0

sin Θ·dΘ = R·rπ·(− cos Θ)|π0 = 2πR·2 = 4πR (5.58)
49


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