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regle en equilibre .pdf


Nom original: regle_en_equilibre.pdf

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Aperçu du document


Règle en équilibre
Présentation du problème.

Une règle de longueur L, de masse m = 0,125kg, est reliée par son extrémité O à un support xe par une liaison
de type rotule supposée parfaite.En un point C de la règle, à la distance roc =0,50m du point O, est suspendue par
un l de masse négligeable une charge de masse W = 0,500kg. L'équilibre est maintenu grâce à l'action de deux ls
inextensibles de masses négligeables :
- un l BA de longueur rba =0,60m tendu entre le point B de la règle et un point xe A de coordonnées :
(80cm,5cm,24cm) ;
- un l dont une extrémité est reliée au point B et l'autre à une charge de masse Wc=0,600kg. La poulie est
supposée parfaite, les coordonnées du point D sont (0,0,100cm). La hauteur et la largeur de la règle sont su samment
faibles devant sa longueur L pour qu'on puisse considérer les points O, C, G (centre de gravité de la règle) et B
comme alignés.

1

La distance OB vaut rob =0,80m.
Il s'agit de déterminer les coordonnées du point B, la longueur L de la règle et la tension du l BA.
Étude statique de la tige.

La tige est en équilibre sous l'action des actions extérieures suivantes :


1° : l'action de la liaison rotule de résultante R inconnue et de moment en O nul (liaison parfaite) ;





2° : l'action de la pesanteur, équivalente à une force P = m · →
g = −m · g · Uy appliquée au centre de gravité G.
−−→
−−→
La longueur L étant inconnue, nous posons : OG = a · OB avec a réel inconnu un peu supérieur à 0,5 puisque le
point B n'est pas tout à fait à l'extrémité de la tige ;





3° : l'action du l soutenant la masse W, équivalente à une force appliquée en C : F1 = W · →
g = −W · g · Uy .
−−→ rOC −−→ 5 −−→
On peut remarquer : OC = rOB · OB = 8 · OB ;
−−→
4° : l'action du l BA équivalente à une force
colinéaire au vecteur BA d'intensité Tiba inconnue. Le vecteur force
h









−→
Tba
(xA − x) Ux + (yA − y) Uy + (zA − z) Uz ;
peut ainsi s'écrire : Tba = Tba · BA
−−→ = rba
kBAk

5° : l'action du l passant sur la poulie ; le vecteur associé à pour norme le poids de la masse Wc et est colinéaire



−−→







−−→ −→
D −x)Ux +(yD −y)Uy +(zD −z)Uz
BD = W c · g · (x√
au vecteur BD : Tbd = W c · g · −
.
−→
2
2
2
kBD k

(xD −x) +(yD −y) +(zD −z)

Nous avons introduit cinq inconnues dans ce problèmes : les trois coordonnées de B, la tension Tba du l BA et
le paramètre a caractérisant la position du point G. Il nous faut donc cinq équations indépendantes pour résoudre
ce problème :
La connaissance des distances OB et BA nous en fournit deux :
2
= 0, 64
x2 + y 2 + z 2 = rOB

;

2

2

2

2
(xA − x) + (yA − y) + (zA − z) = rba
= 0, 36

Le théorème du moment statique appliqué en O va nous fournir une relation vectorielle soit les trois relations
algébriques manquantes. La somme vectorielle des moments des actions extérieures calculés au point O est le vecteur
nul. Le moment en O de l'action de la liaison rotule étant nul, on obtient :



→ −−→ →
− −−→ −
→ −−→
−→ −→
M = OG ∧ P + OC ∧ F1 + OB ∧ Tba + Tbd

Compte tenu de ce qui a été écrit précédemment :


5

→ −−→
−→ −→



M = OB ∧ Tba + Tbd + a · P + · W · →
g
8

Soit, pour alléger les notations :

→ −−→ →

M = OB ∧ F



5


−→ −→

avec F = Tba + Tbd + a · m + · W →
g
8

La suite a été réalisée à l'aide d'un logiciel de calcul : Maple ; j'ai préféré ce logiciel à MATLAB ou SCILAB car
sa lisibilité est meilleure en ce qui concerne les formules. Les unités n'y sont pas précisées : il s'agit toujours des
USI.
Voici le résultat : Feuille de calculs MAPLE
Le résultat du calcul apparaît à la ligne (7). On obtient :
Tba = 6.22N ; a = 0.520 ; x = 42,6cm ; y = -16,3cm ; z = 65,7cm.




Remarque 1 : ces valeurs correspondent à un moment vectoriel nul mais à un vecteur F non nul ; ce vecteur est
donc colinéaire à la tige.


Remarque 2 : La relation fondamentale de la statique permet d'obtenir les composantes du vecteur R (exprimées
en newtons sur le document).

2


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