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Alg`
ebre: Serie #1
Due on Monday, January 1, 2012

Elmahdi

Erraji Elmahdi

1

Erraji Elmahdi

Alg`ebre (Elmahdi ): Serie #1

Exercice 1 Soient les quatre assertions suivantes:
(a)∃x ∈ R ∀y ∈ R x + y > 0 ; (b)∀x ∈ R ∃y ∈ R x + y > 0
(a)∀x ∈ R; ∀y ∈ R; x + y > 0 ; (b)∃x ∈ R ∀y ∈ R x + y > 0
1. Les assertions a, b, c, d sont-elles vraies ou fausse?
2. Donner leur n´egation.
Exercice 2 Dans R2 , on d´efinit les ensembles F1 = {(x, y) ∈ R2 , y ≤ 0} et F2 = {(x, y) ∈ R2 , x ≥ 0}. On
note M1 M2 la distance entre M1 et M2 de R2 . ´evaluer les proposition suivantes:
1. ∀ ∈]0, +∞[ ∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2 M1 M2 <
2. ∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2 ∀ ∈]0, +∞[ M1 M2 <
3. ∃ ∈]0, +∞[ ∀M1 ∈ F1 ∀M2 ∈ F2 M1 M2 <
4. ∀M1 ∈ F1 ∀M2 ∈ F2 ∃ ∈]0, +∞[ M1 M2 <
Quand elles sont fausses, donner leur n´egation.
Exercice 3 Nier la proposition : tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au
loto et prendront leur retraite avant 50 ans.
Exercice 4 Nier les assertions suivantes :
1. tout triangle rectangle poss`ede un angle droit ;
2. dans toutes les ´ecuries, tous les chevaux sont noirs ;
3. pour tout entier x, il existe un entier y tel que, pour tout entier z, la relation z < x implique le relation
z <x+1 ;
4. ∀ > 0 ∃α > 0(|x − 57 |) < α ⇒ |5x − 7| <
Exercice 5 Soit f une application de R dans R. Nier, de la mani`ere la plus pr´ecise possible, les ´enonc´es
qui suivant :
1. Pour tout x ∈ R f (x) ≤ 1.
2. L’application f est croissante.
3. L’application f est croissante et positive.
4. Il existe x ∈ R+ tel que f (x) ≤ 0.
5. Il existe x ∈ R tel que quelque soit y ∈ R, si x < y alors f (x) > f (y). On ne demande pas de d´emontrer
quoi que ce soit, juste d´ecrire le contraire dun ´enonc´e.
Exercice 6 Montrer:
Pn
n(n+1)
∀n ∈ N∗.
1.
k=1 k =
2
Pn
n(n+1)(2n+1)
2.
∀n ∈ N∗.
k=1 k =
6
Exercice 7 Soit A, B deux ensembles, montrer (A ∪ B)c = Ac ∩ B c et (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .
Exercice 8 Montrer par contraposition les assertions suivantes, E ´etant un ensemble :
• ∀A, B ∈ P(E) (A ∩ B = A ∪ B) ⇒ A = B.
• ∀A, B, C ∈ P(E)(A ∩ B = A ∩ C et A ∪ B = A ∪ C) ⇒ B = C

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