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Nom original: Soutenance_david.pdf
Titre: Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact.
Auteur: Soutenance de thèse[3mm] David Danan[3mm] Co-encadrant : Stéphane Abide Directeurs : Mikaël Barboteu et Mircea Sofonea

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact

Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques
problèmes de contact.

Soutenance de thèse

David Danan
Co-encadrant : Stéphane Abide
Directeurs : Mikaël Barboteu et Mircea Sofonea
LAboratoire de Mathématiques et de PhySique
Université de Perpignan Via Domitia

Vendredi 08 juillet 2016.

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact

Plan de la thèse
Introduction
Notations
Préliminaires
Modélisation
Analyse fonctionnelle
Méthodes numériques

Analyse mathématiques de quelques problèmes de contact
Problème statique de contact avec compliance normale et contrainte unilatérale
Problème viscoélastique de contact avec contraintes unilatérales et réponse normale
instantanée
Problème viscoélastodynamique de contact avec compliance normale et frottement non
monotone

Modélisation numérique en hyperélasticité
Une méthode de projection de type active set pour un problème statique avec
contrainte unilatérale
Conservation de l’énergie pour un problème de contact hyperélastique

Conclusion

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact

Plan de l’exposé
1 Motivations
2 Préliminaires
3 Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Modèle
Analyse variationnelle
Approximation numérique
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
4 Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Formulations du problème mécanique
Méthodes de type "Active set"
Résultat de convergence
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
5 Conclusion

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Motivations

Plan de l’exposé
1 Motivations
2 Préliminaires
3 Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Modèle
Analyse variationnelle
Approximation numérique
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
4 Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Formulations du problème mécanique
Méthodes de type "Active set"
Résultat de convergence
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
5 Conclusion

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Motivations

Mécanique du contact :
Domaines d’application particulièrement étendu ;

Figure 1: Crash test de voiture.

Figure 3: Comportement d’un pont au
passage d’un train.

Figure 2: Biomécanique.

Figure 4: Milieux granulaire.

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Motivations

Mécanique du contact :
Domaines d’application particulièrement étendu ;
Modélisation sous forme d’équations aux dérivées partielles avec des conditions
aux limites ;
Théorie mathématique récente ;
Traitement numérique non trivial.

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Motivations

Mécanique du contact :
Domaines d’application particulièrement étendu ;
Modélisation sous forme d’équations aux dérivées partielles avec des conditions
aux limites ;
Théorie mathématique récente ;
Traitement numérique non trivial.

Sujet transversal à la frontière des domaines suivants :
Modélisation mathématique de problèmes de contact ;
Analyse mathématique : approximation variationnelle, analyse variationnelle et
analyse numérique ;
Calcul scientifique : méthodes de résolution spécifiques aux problèmes de
contact ;
Simulations numériques.

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Préliminaires

Plan de l’exposé
1 Motivations
2 Préliminaires
3 Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Modèle
Analyse variationnelle
Approximation numérique
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
4 Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Formulations du problème mécanique
Méthodes de type "Active set"
Résultat de convergence
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
5 Conclusion

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Préliminaires

Notations
Ω − domaine borné de Rd (d = 2, 3);
Γ − frontière de Ω;
Γ1 , Γ2 , Γ3 − partition de Γ telle que mes(Γ1 ) > 0;
ν − normale unitaire sortante à Γ;
Sd − espace des tenseurs symétriques d’ ordre 2 sur Rd ;
“ · ”, k · k − produit scalaire et la norme Euclidienne sur Rd et Sd ;
R+ − ensemble des nombres réels positifs.
u − champ de déplacements;

σ − tenseur des contraintes;

ε − opérateur de déformation : ε(u) = (εij (u)),

εij (u) =

ui ,j + uj,i
;
2

Div − opérateur de divergence : Div σ = σij, j ;
uν , u τ − composantes normale et tangentielle de u sur Γ : uν = u · ν,
σν , σ τ composantes normale et tangentielle de σ sur Γ : σν = (σν) · ν,

u τ = u − uν ν;
σ τ = σν − σν ν.

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Préliminaires

Espaces fonctionnels

Q=

σ = (σij ) : σij = σji ∈ L2 (Ω) ,



(σ, τ )Q =

Z



σij τij dx ,


H1 = {u = (ui ) : ε(u) ∈ Q} ,
(u, v )H1 = (u, v)L2 (Ω)d + (ε(u), ε(v ))Q ,
Q1 =

V =





σ ∈ Q : Div σ ∈ L2 (Ω)d



,

(σ, τ )Q1 = (σ, τ )Q + (Div σ, Div τ )L2 (Ω)d ,

v ∈ H 1 (Ω)d : v = 0 sur Γ1 ,
(u, v )V =

Z



ε(u) · ε(v ) dx ,



Q∞ = { E = (Eijkl ) | Eijkl = Ejikl = Eklij ∈ L∞ (Ω),
kEkQ∞ =

X

1 ≤ i, j, k, l ≤ d },

kEijkl kL∞ (Ω) .

0≤i ,j,k,l≤d

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Plan de l’exposé
1 Motivations
2 Préliminaires
3 Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Modèle
Analyse variationnelle
Approximation numérique
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
4 Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Formulations du problème mécanique
Méthodes de type "Active set"
Résultat de convergence
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
5 Conclusion

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Plan de l’exposé
1 Motivations
2 Préliminaires
3 Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Modèle
Analyse variationnelle
Approximation numérique
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
4 Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Formulations du problème mécanique
Méthodes de type "Active set"
Résultat de convergence
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
5 Conclusion

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Lois de contact
Compliance normale

Réponse normale instantanée

−σ ν

−σ ν

(contact)

(Non contact)

−σν = p(uν ),

(contact)



p(r ) = c [r ]+

(Non contact)

−σν = p(u˙ ν ),

.



p(r ) = κ [r ]+

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Lois de contact
Compliance normale

Réponse normale instantanée

−σ ν

−σ ν

(contact)

(Non contact)

−σν = p(uν ),

(contact)



p(r ) = c [r ]+

=⇒ Pénétration non contrôlable.

(Non contact)

−σν = p(u˙ ν ),

.



p(r ) = κ [r ]+

=⇒ Vitesse non contrôlable.
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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Lois de contact : Réponse normale instantanée limitée par une loi de
contact unilatéral en vitesse
u˙ ν ≤ g,

−σ ν

σν + p(u˙ ν ) ≤ 0,
(u˙ ν − g)(σν + p(u˙ ν ) = 0.

(contact)

a) Si u˙ ν < 0, alors σν = 0 =⇒ Pas de
contact.
(Non contact)

g

.



b) Si 0 < u˙ ν < g =⇒ Réponse normale
instantanée.
c) Si u˙ ν = g =⇒ Contact unilatéral en
vitesse.

M. Sofonea, N. Renon & M. Shillor Stress formulation for frictionless contact of
an elastic-perfectly-plastic body, Applicable Analysis 83 (11) :1157-1170 (2004).
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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Lois de frottement
d) Déplacement du corps vers l’obstacle avec u˙ ν < g : loi de frottement de Coulomb

.

0 ≤u ν < g

=⇒





−σν = p(u˙ ν ),
kσ τ k ≤ µ |σν |,




˙τ
−σ τ = µ |σν | ku
u˙ τ k if u˙ τ 6= 0.





−σν ≥ Fb ,

(1)

e) Vitesse limite atteinte : loi de frottement de Tresca de seuil Fb

.

uν = g

=⇒




kσ τ k ≤ Fb ,

(2)

˙τ
−σ τ = Fb ku
u˙ τ k if u˙ τ 6= 0.

f) Condition de compatibilité entre (1) et (2) : continuité du seuil de frottement
(3)

Fb = µp(g).
M. Barboteu, D. Danan & M. Sofonea, Analysis of a contact problem with
normal damped response and unilateral constraint, ZAMM, (2015), 408–428.

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Formulation forte
Problème P. Trouver un champ de déplacements u : Ω × R+ → Rd et un champ de
contraintes σ : Ω × R+ → Sd tels que
˙
σ(t) = Aε(u(t))
+ Bε(u(t)) +

Z

t

˙
K(t − s)ε(u(t))ds

dans

Ω,

(4)

Div σ(t) + f 0 (t) = 0

dans

Ω,

(5)

u(t) = 0

sur

Γ1 ,

(6)

σ(t)ν = f 2 (t)

sur

Γ2 ,

(7)

0

u˙ ν (t) ≤ g,

σν (t) + p(u˙ ν (t)) ≤ 0,

(u˙ ν (t) − g)(σν (t) + p(u˙ ν (t))) = 0
kσ τ (t)k ≤ µ p(u˙ ν (t)),
−σ τ (t) =

u˙ (t)
µ p(u˙ ν (t)) ku˙ τ (t)k
τ

si u˙ τ (t) 6= 0



sur

Γ3 ,

(8)



sur

Γ3 ,

(9)

pour tout t ∈ R+ et, de plus,
u(0) = u 0

dans

Ω.

(10)
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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Hypothèses
Les opérateurs de viscosité et d’élasticité satisfont les conditions suivantes











(a) A : Ω × Sd → Sd .
(b) kA(x , ε1 ) − A(x, ε2 )k ≤ LA kε1 − ε2 k
∀ ε1 , ε2 ∈ Sd , p.p. x ∈ Ω.
(c) (A(x , ε1 ) − A(x, ε2 )) · (ε1 − ε2 ) ≥ mA kε1 − ε2 k2
∀ ε1 , ε2 ∈ Sd , p.p. x ∈ Ω.
(d) L′ application x 7→ A(x, ε) est mesurable sur Ω,
pour n′ importe quel ε ∈ Sd .
„ Q.
(e) L′ application x 7→ A(x, 0Sd ) appartient a

(11)







(a) B : Ω × Sd → Sd .
(b) kB(x, ε1 ) − B(x, ε2 )k ≤ LB kε1 − ε2 k
∀ ε1 , ε2 ∈ Sd , p.p. x ∈ Ω.
(c) L′ application x 7→ B(x, ε) est mesurable sur Ω,
pour n′ importe quel ε ∈ Sd .
„ Q.
(d) L′ application x 7→ B(x, 0Sd ) appartient a

(12)















Le tenseur de relaxation satisfait
K ∈ C (R+ , Q∞ ).

(13)

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Hypothèses
Les grandeurs f 0 et f 2 sont dotées de la régularité suivante
f 0 ∈ C (R+ , L2 (Ω)d ),

f 2 ∈ C (R+ , L2 (Γ2 )d ).

(14)

La fonction g est telle que

(

(a) g : Γ3 → R+ .
(b) Il existe G > 0 tel que g(x ) ≤ G p.p. x ∈ Γ3 .
(c) L′ application x 7→ g(x ) est continue sur Γ3 .

(15)

Enfin, la fonction de réponse normale instantanée, le coefficient de frottement et le
déplacement initial satisfont











(a) p : Γ3 × R → R+ .
(b) |p(x, r1 ) − p(x, r2 )| ≤ Lp |r1 − r2 | ∀ r1 , r2 ∈ R, p.p. x ∈ Γ3 .
(c) L′ application x 7→ p(x, r ) est mesurable sur Γ3 ,
pour n′ importe quel r ∈ R.
(d) (p(x , r1 ) − p(x, r2 )) (r1 − r2 ) ≥ 0 ∀ r1 , r2 ∈ R, p.p. x ∈ Γ3 .
(e) p(x, r ) = 0 pour tout r ≤ 0, p.p. x ∈ Γ3 .
µ ∈ L∞ (Γ3 ), µ(x ) ≥ 0
u0 ∈ V .

p.p. x ∈ Γ3 .

(16)

(17)
(18)
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Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Plan de l’exposé
1 Motivations
2 Préliminaires
3 Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Modèle
Analyse variationnelle
Approximation numérique
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
4 Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Formulations du problème mécanique
Méthodes de type "Active set"
Résultat de convergence
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
5 Conclusion

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Formulation variationelle
Nous introduisons un ensemble de vitesses admissibles U ainsi que les fonctions
j : U × U → R, f : R+ → V définies par
U = { v ∈ V : vν ≤ g p.p. sur Γ3 },
j(w, v) =

Z

µ p(wν )kv τ k da

(19)

∀ w ∈ U, v ∈ V ,

(20)

f 2 (t) · v da

(21)

Γ3

(f (t), v)V =

Z



f 0 (t) · v dx +

Z

∀ v ∈ V , t ∈ R.

Γ2

Nous obtenons la formulation variationnelle suivante pour le problème P :
Problème PV . Trouver un champ de déplacements u ∈ C 1 (R+ ; V ) tel que u(0) = u 0
et pour tout t ∈ R+ :
˙
u(t)
∈ U,
+

Z

0

t

˙
˙
˙
(Aε(u(t)),
ε(v ) − ε(u(t)))
Q + (Bε(u(t)), ε(v ) − ε(u(t)))
Q



˙
˙
K(t − s)ε(u(t))
ds, ε(v ) − ε(u(t)

Q

(22)

+ (p(u˙ ν (t)), vν − u˙ ν (t))L2 (Γ3 )

˙
˙
˙
˙
+j(u(t),
v ) − j(u(t),
u(t))
≥ (f , v − u(t))
V

∀ v ∈ U.
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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Existence et unicité
Théorème 1
Supposons que les conditions (11)–(18) sont vérifiées et que
c02 Lp kµkL∞ (Γ3 ) < mA .

(23)

Alors le Problème PV a une unique solution, qui satisfait u ∈ C 1 (R+ ; V ).
Y. Renard, A uniqueness criterion for the Signorini problem with coulomb
friction, SIAM J. Math. Anal., 38, 2012, 452–467.
Démonstration.
Résultat concernant une classe d’inéquations variationnelles ;
Théorème de point fixe.

M. Sofonea & A. Matei, Mathematical Models in Contact Mechanics, London
Mathematical Society Lecture Note Series 398, Cambridge University Press,
Cambridge, 2012.

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Perturbation des données
Pour chaque ρ > 0 soient Kρ , µρ , f 0ρ , f 2ρ , les perturbations de K, µ, f 0 , f 2 de même
régularité.
Problème PVρ . Trouver un champ de déplacements u ρ ∈ C 1 (R+ ; V ) tel que u ρ (0) = u 0
et pour tout t ∈ R+ :
u˙ ρ (t) ∈ U,
+

Z

(Aε(u˙ ρ (t)), ε(v) − ε(u˙ ρ (t)))Q + (Bε(u ρ (t)), ε(v ) − ε(u˙ ρ (t)))Q

t



Kρ (t − s)ε(u˙ ρ (t)) ds, ε(v ) − ε(u˙ ρ (t))

0

Q

+ (p(u˙ ρν (t)), vν − u˙ ρν (t))L2 (Γ3 )

+jρ (u˙ ρ (t), v ) − jρ (u˙ ρ (t), u˙ ρ (t)) ≥ (f ρ (t), v − u˙ ρ (t))V

∀ v ∈ U.

Les fonctions jρ et f ρ sont définies par
jρ (w(t), v) =

Z

µρ p(wν (t))kv τ k da

∀ w ∈ U, v ∈ V ,

(24)

Γ3

(f ρ (t), v )V =

Z

f 0ρ (t) · v dx +


Z

f 2ρ (t) · v da

∀ v ∈ V , t ∈ V . (25)

Γ2

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Résultat de convergence
Pour chaque ρ > 0, le Problème PVρ admet une unique solution (Théorème 1) u ρ telle
que u ρ ∈ C 1 (R+ ; V ). Considérons maintenant les hypothèses suivantes :
ρ → 0.

(26)

Kρ → K

dans C (R+ ; Q∞ )

µρ → µ



dans L (Γ3 )

f 0ρ → f 0

dans C (R+ ; L2 (Ω)d )

lorsque

ρ → 0.

(28)

f 2ρ → f 2

dans C (R+ ; L2 (Γ2 )d )

lorsque

ρ → 0.

(29)

lorsque
lorsque

ρ → 0.

(27)

Théorème 2
Supposons que (26)–(29) soient vérifiées. Alors la solution u ρ du Problème PVρ
converge vers la solution u du Problème P V , i.e.
uρ → u

dans

C 1 (R+ ; V )

lorsque ρ → 0.

(30)

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Plan de l’exposé
1 Motivations
2 Préliminaires
3 Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Modèle
Analyse variationnelle
Approximation numérique
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
4 Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Formulations du problème mécanique
Méthodes de type "Active set"
Résultat de convergence
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
5 Conclusion

08/07/2016

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Discrétisation temporelle et spatiale
Discrétisation spatiale : Méthode des éléments finis (élément P1 de Lagrange)
Soient V h ⊂ V et U h ⊂ U, l’ensemble de dimension finie donné par :
U h = { v h ∈ V h : vνh ≤ g p.p. sur Γ3 }.

(31)

Discrétisation temporelle :
Soient I = [0, T ], avec T > 0 fixé, et N, un entier positif. Nous considérons une
discrétisation temporelle uniforme :
tn = nk,

0 ≤ n ≤ N.

˙ n ) à l’instant tn .
Euler implicite : pour la discrétisation de u(t
hk
hk
δn u hk
n = (u n − u n−1 )/k, n = 1, ..., N.

On note δu hk =



δn u hk

N

n=1

(32)

.

Méthode des trapèzes : discrétisation du terme mémoire

Z

0

n

tn

z(s)ds ≈ k

X′

z(tj ).

(33)

j=0

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Problème discret
L’approximation variationnelle en temps et en espace du Problème PV est la suivante
Problème PVhk . Trouver un champ de déplacements discret
h
u hk
0 = u0



u hk
n

N

n=0

∈ V h tel que
(34)

et pour n=1,...N,
h
δn u hk
n ∈ U
h
hk
hk
h
hk
(Aε(δn u hk
n ), ε(v ) − ε(δn u n ))Q + (Bε(u n ), ε(v ) − ε(δn u n ))Q



h
hk
+(Cnhk δn u hk
n , ε(v ) − ε(δn u n )

Q

(35)

h
hk
+ (p(δn u hk
nν ), vν − δn u nν )L2 (Γ3 )

h
hk
hk
h
hk
+j(δn u hk
n , v ) − j(δn u n , δn u n ) ≥ (f , v − δn u n )V

∀ vh ∈ Uh,

avec Cnhk , l’approximation de l’opérateur de mémoire défini par
n

Cnhk w

=k

X′

K(tn − tj )ε(w j ),

1 ≤ n ≤ N.

(36)

j=0

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Estimation d’erreur
Théorème 3
Si k est suffisamment petit, avec les régularités u ∈ W 3,∞ (0, T ; V ) et
K ∈ C 2 (0, T , Q∞ ), nous avons l’estimation de l’erreur suivante
˙ n − δn u hk
max (ku n − u hk
n kV + ku
n kV )

(37)

0≤n≤N

≤ c max

1/2

1/2

inf (ku˙ n − v h kV + ku˙ n − v h kL2 (Γ ) + ku˙ n − v h kV )
3

0≤n≤N v h ∈V h

˙ + k 2 kuk
˙ W 2,∞ (0,T ;V ) ).
+c(ku h0 − u 0 kV + Ik (u)
De plus si nous choisissons la valeur initiale u h0 de telle manière que
ku h0 − u 0 kV → 0

h → 0,

lorsque

(38)

et puisque
(39)

˙ ≤ ckk¨
Ik (u)
u kL1 (0,T ;V ) ,
nous avons la convergence
˙ n − δn u hk
max (ku n − u hk
n kV + ku
n kV ) → 0

0≤n≤N

lorsque

h, k → 0.

(40)
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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Estimation d’erreur optimale

Hypothèses d’extra régularité :
u˙ ∈ C ([0, T ]; H 2 (Ω)d ),
2

u˙ |Γ3 ∈ C ([0, T ]; H 2 (Γ3 )d ),

d

(41)

σ ∈ C ([0, T ], L (Γ3 ) ),

(42)

u 0 ∈ H 2 (Ω)d .

(43)

Théorème 4
Sous les conditions de régularité (41)–(43) et K ∈ C 2 (0, T , Q∞ ), si k est
suffisamment petit, nous avons l’estimation d’erreur optimale suivante
˙ n − δn u hk
max (ku n − u hk
n kV + ku
n kV ) ≤ c(h + k).

0≤n≤N

(44)

08/07/2016

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Plan de l’exposé
1 Motivations
2 Préliminaires
3 Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Modèle
Analyse variationnelle
Approximation numérique
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
4 Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Formulations du problème mécanique
Méthodes de type "Active set"
Résultat de convergence
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
5 Conclusion

08/07/2016

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Ω = (0, L) × (0, l) ⊂ R2 avec L > 0, l > 0 et
Γ1 = ({0} × [0, l]) ∪ ({L} × [0, l]), Γ2 = [0, L] × {l}, Γ3 = [0, L] × {0}.

Γ2
Ω Corps deformable

Γ1

Γ1

Γ3
Obstacle

Figure 1: Configuration de référence d’un corps bi-dimensionnel.

Comportement du matériau :
(Aτ )αβ = µ1 (τ11 + τ22 )δαβ + µ2 ταβ ,
(Bτ )αβ =

1 ≤ α, β ≤ 2, ∀τ ∈ S2 .


E
(τ11 + τ22 )δαβ +
ταβ ,
(1 + κ)(1 − 2κ)
1+κ

1 ≤ α, β ≤ 2, ∀τ ∈ S2 .

K = 0.

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Traitement numérique du problème :
Méthode de pénalisation pour traiter les conditions de réponse normale
instantanée.
Méthode du Lagrangien augmenté pour le contact unilatéral en vitesse ainsi que
pour le frottement.
P. Alart & A. Curnier, A mixed formulation for frictional contact problems prone
to Newton like solution methods, Comput. Meth. Appl. Mech., Engrg. 92 (1991),
353–375.
A. D. Kudawoo, F. Lebon et al., Etude de la robustesse d’un algorithme basé sur
le lagrangien stabilisé pour la résolution des problèmes de contact et de
frottement, 10 ème Colloque national de calcul des structures, 2011,
hal-00592780 , May 2011, Giens, France.
Pour le calcul, nous utilisons les données suivantes :
T = 1s,
u 0 = 0m,

L = 5m,

l = 1m,

µ1 = 0.25GPa,

f 0 = (0, 0)GPa,
p(r ) = cν [r ]+ ,

µ2 = 0.5GPa,

f 2 = (0, −10t) GPa.m sur
cν = 10GPa.s,

E = 100GPa,

κ = 0.3,

[0, L] × {l},

g = 0.01 m/s,

µ = 0.6.

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Statuts de contact

Zoom

18 RNI/S−
5 CUV/S−

17 CUV/S=

18 RNI/S+
5 CUV/S+

Figure 2: Maillage déformé, forces de contact et statuts de contact sur Γ3 .

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Influence de cν sur u˙ ν au cours du temps

c ν = 20 GPa.s

c

.

ν

= 10 GPa.s

0,06

0,05

0,05

0,04

t=1s

0,03

t = 0.7 s

t = 0.7 s

t=1s
t = 0.5 s

0,04



.

u ν 0,03

t = 0.5 s

0,02

t = 0.3 s

0,02
t = 0.3 s

0,01

t = 0.1 s

0,01
t = 0.1 s

0
0

1

2

x

3

4

5

0
0

1

2

x 3

4

5

Figure 3: Vitesses normales sur Γ3 pour g = 0.05m/s et pour 2 valeurs de cν (cν = 10GPa.s et
cν = 20GPa.s) en fonction du temps.

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Influence de g
t=1s
Noeuds RNI: 4
g = 0.001 m/s
Penetration max : 0.003 m c = 10 GPa.s
ν

Noeuds RNI: 16
g = 0.01 m/s
Penetration max : 0.15 m c = 10 GPa.s
ν

Noeuds RNI: 36
g = 0.05 m/s
Penetration max : 0.46 m cν = 10 GPa.s

Noeuds RNI: 63
g = 0.1 m/s
Penetration max : 0.54 m cν = 10 GPa.s

Figure 4: Maillages déformés et forces de contact sur Γ3 correspondant aux différentes valeurs du
coefficient g .

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée
0,1

0,001

hk

||uhkρ - u ||V

0,01

0,0001
1e-05
1e-06
1e-07

0,1

0,01

0,001

ρ

0,0001

1e-05

1e-06

Figure 5: Résultat de convergence.

error estimates: E

hk

0,0078
0,0039
0,002
0,00098
0,00049
0,00024
0,5

0,25

0,125

0,0625

0,03125

0,015625

h+k

Figure 6: Estimations de l’erreur numérique
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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Plan de l’exposé
1 Motivations
2 Préliminaires
3 Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Modèle
Analyse variationnelle
Approximation numérique
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
4 Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Formulations du problème mécanique
Méthodes de type "Active set"
Résultat de convergence
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
5 Conclusion

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Dans la continuité de ce problème, on considère le modèle précédent avec les
conditions suivantes :
Cas dynamique ;
Modélisation du déplacement d’une masse le long du corps ;
Modification de la loi de contact : fondation de type Kelvin-Voigt "non
symétrique" :
−σν = p(u˙ ν , u˙ τ ) + q(uν ),

(45)

avec
p(u˙ ν , u˙ τ ) = cν [u˙ ν ]+ + cν∗ [u˙ τ · τ ],

(46)

q(uν ) = dν [uν ]+ .

(47)

Frottement non monotone :
µ(ku˙ τ k) = (a − b)e −αku τ k + b,
˙

(48)

avec a ≥ b et α > 0.
E. Rabinowicz, The nature of the static and kinetic coefficients of friction,
Journal of Applied Physics, 22 (1951), 1373–1379.

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Travail effectué pour cν∗ = 0 : cas Kelvin-voigt "symétrique"
J. Li et al., An Elastic-Viscoplastic Model for Time-Dependent Behavior of Soft
Clay and Its Application on Rheological Consolidation, Hindawi Publishing
Corporation Mathematical Problems in Engineering.
Analyse mathématique (existence/unicité, estimation d’erreur), simulations :
t=0.375 s

t=0.75 s

Figure 7: Maillages déformés et forces de contact sur Γ3 .

Modélisation du déplacement d’une masse le long de la frontière Γ2 :
(49)

f 2 (x , t) = (0, −g(x , t)),
2

g(x , t) = Fe −ψ(x−cmasse t) , ∀x ∈ [0, L] ∀t ∈ [0, T ],

(50)

où F , ψ, cmasse > 0.
M. Barboteu & D. Danan, A dynamic viscoelastic contact problem with normal
compliance, normal damped response and nonmonotone slip rate dependent
friction, soumis à Advances in Mathematical Physics.
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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

En cours d’étude : problème d’optimisation de paramètres
Nécessité de lancer une grande série de calculs avec pour objectifs :
−→ Minimisation du décollement du "rail" ;
−→ Minimisation de la force de contact verticale.
Variation aléatoire des paramètres du problème dans un intervalle donné
E

Intervalle
[E1 ,E2 ]

κ

[κ1 ,κ2 ]

ρ

[ρ1 ,ρ2 ]



[cν 1 ,cν 2 ]

cν∗

[cν∗ 1 ,cν∗ 2 ]



[dν 1 ,dν 2 ]

µ

[µ1 ,µ2 ]

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Plan de l’exposé
1 Motivations
2 Préliminaires
3 Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Modèle
Analyse variationnelle
Approximation numérique
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
4 Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Formulations du problème mécanique
Méthodes de type "Active set"
Résultat de convergence
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
5 Conclusion

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Plan de l’exposé
1 Motivations
2 Préliminaires
3 Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Modèle
Analyse variationnelle
Approximation numérique
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
4 Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Formulations du problème mécanique
Méthodes de type "Active set"
Résultat de convergence
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
5 Conclusion

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Formulation forte
Problème P. Trouver un champ de déplacements u : Ω → Rd et un champ de
contraintes Π : Ω → Md tels que

uν ≤ 0,

Π = ∂F W (F(u))

dans

Ω,

(51)

Div Π + f 0 = 0

dans

Ω,

(52)

u=0

sur

Γ1 ,

(53)

Πν = f 2

sur

Γ2 ,

(54)

uν Πν = 0

sur

Γ3 ,

(55)

Πτ = 0

sur

Γ3 .

(56)

Πν ≤ 0,

Ici, W (F ) est la densité d’énergie hyperélastique et F est le gradient de déformation
défini par F = I + ∇u. La condition (55) peut également s’écrire sous la forme d’une
inclusion sous-différentielle
− Πν ∈ ∂ΨR− (uν ).
(57)
S. Abide, M. Barboteu & D. Danan, Analysis of two active set type methods to
solve unilateral contact problem, Journal of Applied Mathematics and
Computation, doi :10.1016/j.amc.2016.03.012.
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40 / 73

Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Formulation faible
Afin d’obtenir la formulation faible du Problème P, nous considérons les espaces
suivants
V = {v ∈ H 1 (Ω; Rd ) : v = 0 sur Γ1 }, H = L2 (Ω; Rd ),
Xν =



v ν | Γ3 : v ∈ V



et Xν′ son dual .

Nous introduisons l’opérateur ϕν et les fonctions A et f :
ϕν (vν ) =

Z

ΨR+ (vν ) dΓ,

∀ vν ∈ Xν ,

(58)

Γ3

hA(u), viV ∗ ×V =

Z

Π : ∇v dx ,

∀ u, v ∈ V ,

(59)

∀v ∈ V .

(60)



(f , v)V = (f 0 , v )H + (f 2 , v)L2 (Γ2 ) ,
Notons que (58) conduit à l’inclusion sous-différentielle
λν ∈ ∂ϕν (uν )

dans

Xν′ .

(61)

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Formulation faible
Nous supposons que
f 0 ∈ L2 (Ω)d ,

f 2 ∈ L2 (Γ2 )d .

A présent, à l’aide de la formule de Green

Z



Π : ∇v dx +

Z



Div Π · v dx =

Z

Πν · v da

pour tout v ∈ H1 ,

Γ

en considérant le multiplicateur de Lagrange λν associé à la contrainte normale de
contact Πν et la condition (56) nous avons

Problème PV Trouver un champ de déplacements u et un champ de contraintes normales λ = λν ν tels que
u ∈ V , hA(u), v iV ∗ ×V + hλν , vν iXν′ ,Xν = (f , v )V
λν ∈ ∂ϕν (uν )

∀v ∈ V,

dans X′ν .

M. Barboteu, D. Danan & M. Sofonea, A Hyperelastic Dynamic Frictional
Contact Model with Energy-Consistent Properties, Springer 2015, AMMA.
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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Formulation discrète

V h = { v h ∈ [C (Ω)]d : v h |T ∈ [P1 (Tr )]d ∀ Tr ∈ T h ,
v h = 0 aux noeuds situés sur Γ1 },
{T h }, une famille d’éléments finis triangulaires réguliers constituant une partition
de Ω ;
P1 (Tr ) représente l’espace des polynômes dont le degré est inférieur ou égal à un
dans Tr ;
h > 0 désigne le paramètre de discrétisation spatiale ;
Yνh désigne la discrétisation de l’espace du multiplicateur de Lagrange.
Problème PVh Trouver un champ de déplacements discret u h et un champ de contraintes
normales discret λh = λhν ν tels que
u h ∈ V h , hA(u h ), v h iV ∗ ×V + hλhν , vνh iXν′ ,Xν = (f , v h )V
λhν ∈ ∂ϕν (uνh )

∀ vh ∈ V h,

dans Yνh .
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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Plan de l’exposé
1 Motivations
2 Préliminaires
3 Problème viscoélastique avec contraintes unilatérales et réponse normale instantanée

Modèle
Analyse variationnelle
Approximation numérique
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
4 Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

Formulations du problème mécanique
Méthodes de type "Active set"
Résultat de convergence
Simulations numériques
Travaux en cours et perspectives
5 Conclusion

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

"Primal dual active set"

Principe : Déterminer l’ensemble des noeuds en contact avec une fondation rigide.
Proposition 5
Soit γ > 0, la condition de contact unilatérale (55) est équivalente à :
Πν = −[−Πν + γuν ]+ ,

avec [a]+ = max(a, 0).

(62)

F. Chouly, P. Hild & Y. Renard. A Nitsche finite element method for dynamic
contact : 1. Semi-discrete problem analysis and time-marching schemes. 2014.
Alors, le Problème PVh peut être écrit comme un système d’équations non linéaires :
Ru (u, λ) = A(u) + λν ν − f
R(u, λ) =

Rλ (u, λ) = λν − [λν + γuν ]+

!

0
=
0

!

.

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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

"Primal dual active set" : schéma itératif
GRλ la dérivée généralisée de Rλ , nous obtenons
GRλ (uν,p , λν,p )(δuν,p , δλν,p ) = −γXA δuν,p + (1 − XA )δλν,p
(k)

(k)

(k)

(k)

avec XA = 0, si λν,p + γuν,p < 0 et XA = 1, si λν,p + γuν,p ≥ 0.
(k)

(k)

En utilisant le formalisme de Newton semi-régulier à l’étape (uν,p , λν,p ), on peut
obtenir l’itéré

(k+1)
(k+1)
(uν,p , λν,p )
(k)

(k)

(k+1)

GRλ (uν,p , λν,p )(δuν,p
(k+1)
(k+1)
(uν,p , λν,p )

=

(k+1)

, δλν,p

(k)
(k)
(uν,p , λν,p )

+

(k)

(k)

) = −Rλ (uν,p , λν,p )
(k+1)
(k+1)
(δuν,p , δλν,p ).

Par suite
Non contact : XA = 0
(k+1)

λν,p

(k)

(k)

− λν,p = −λν,p



(k+1)

λν,p

= 0,

(63)

Contact : XA = 1
(k+1)

−γ(uν,p

(k)

(k)

− uν,p ) = γuν,p



(k+1)

uν,p

= 0.

(64)
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Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact
Comparaison de deux méthodes de type "Active set"

"Primal dual active set" : algorithme
Désignons par S, l’ensemble des noeuds de Γh3 . L’algorithme itératif est décrit par
(i) Choix de (u (0) , λ(0) ), posons k = 0.
(k)

(k)

(ii) Définir Ak+1 = {p ∈ S : λν,p + γuν,p ≥ 0},

Ik+1 = S \ Ak+1 .

(iii) Déterminer (u (k+1) , λ(k+1) ) tels que
(k+1)

A(u (k+1) ) + λν

ν = f,

uν,p

(k+1)

=0

pour tout

p ∈ Ak+1 ,

(k+1)
λν,p

=0

pour tout

p ∈ Ik+1 .
(k+1)

Suite de problèmes sans contrainte, pas de multiplicateurs (λν,p
(iv) Si k(u (k+1) , λ(k+1) ) − (u (k) , λ(k) )k ≤ ǫ, kA(u (k+1) ) +
Ak+1 = Ak alors stop, sinon retour en (ii).

(k+1)

= −σν,p

(k+1)
λν
ν

).

− f k ≤ ǫ et

S. Hueber & B.I. Wohlmuth, A primal-dual active set strategy for non-linear
multibody contact problems, Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering, Volume 194, Issues 27-29, 22 July 2005, Pages 3147-3166.
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