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√2 − √3
𝜋
)=
12
2

⇒ sin (

3) a) tan 𝑥 est définie si et seulement si cos 𝑥 ≠ 0 donc si et seulement si 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 où 𝑘 est
un entier relatif.
𝜋

Donc le domaine de définition de la fonction tangente est : 𝐷𝑡 = ℝ_{𝑥 = 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}.
𝜋

b) Soient 𝑎 et 𝑏 tels que (𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ_{𝑥 = 2 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ ℤ}.
𝜋

𝜋

Si 𝑎 et 𝑏 sont tels que 𝑎 ∈ ℝ_{𝑥 = 2 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ ℤ} et 𝑏 ∈ ℝ_{𝑥 = 2 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ ℤ} alors on
peut exprimer tan(𝑎 + 𝑏) en fonction de tan 𝑎 et tan 𝑏 et on a alors :
tan(𝑎 + 𝑏) =
⇒ tan(𝑎 + 𝑏) =

sin(𝑎 + 𝑏)
cos(𝑎 + 𝑏)

sin 𝑎 cos 𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏
cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏

sin 𝑎 cos 𝑏 cos 𝑎 sin 𝑏
+ cos 𝑎
⇒ tan(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎
cos 𝑎 cos 𝑏 sin 𝑎 sin 𝑏
cos 𝑎 − cos 𝑎
cos 𝑏 sin 𝑏
+
cos 𝑏 cos 𝑏
⇒ tan(𝑎 + 𝑏) =
cos 𝑏
sin 𝑏
− tan 𝑎
cos 𝑏
cos 𝑏
tan 𝑎

⇒ tan(𝑎 + 𝑏) =

tan 𝑎 + tan 𝑏
1 − tan 𝑎 tan 𝑏

Et exactement, de la même manière, on trouve que :
𝜋

Soient 𝑎 et 𝑏 tels que (𝑎 − 𝑏) ∈ ℝ_{𝑥 = 2 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ ℤ},
tan(𝑎 − 𝑏) =

sin(𝑎 − 𝑏)
tan 𝑎 − tan 𝑏
=
cos(𝑎 − 𝑏) 1 + tan 𝑎 tan 𝑏

4) D’après le théorème de Pythagore, on a :
𝑂𝐴 = 𝜌 = √𝑥 2 + 𝑦 2
On note 𝐻 le projeté orthogonal de 𝐴 sur l’axe des abscisses. Le triangle 𝑂𝐻𝐴 est donc
rectangle en 𝐻 et on alors :