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Cours de math´ematique pour 1`ere ann´e Bac
Erraji Elmahdi
July 17, 2016

Contents
1 Introduction `
a la logique
1.1 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Assertion . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Op´erateurs . . . . . . . . . . . . .
1.2 Assertion a param´etre et quantificateur .
1.2.1 Assertion a param´etre . . . . . . .
1.2.2 Quantificateur . . . . . . . . . . .
1.3 Raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Raisonnement direct . . . . . . . .
1.3.2 Raisonnement par contrapos´e . . .
1.3.3 Absurde . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Raisonnement par contre exemple
1.3.5 R´eccurence . . . . . . . . . . . . .

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3
3
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4
4
5
5
5

2 Ensembles et applications
2.1 Ensembles: . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 D´efinisions . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Op´erations sur les ensemble . . . .
2.1.3 R´egles de calcules . . . . . . . . .
2.1.4 Produit cart´esien . . . . . . . . . .
2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Image direct et Image r´eciproque:
2.2.3 Injection, Surjection et Bijection .

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1

Chapter 1

Introduction `
a la logique
1.1
1.1.1

Logique
Assertion


efinition Une assertion est une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux
en mme temps.
Une assertion est not´e par un des symbole latin p, q, r, ...
Example Les phrase suivante sont des assertions:
• p: Il pleut.
• q: Je suis plus grand que toi.
• r: 2 + 2 = 4
• k: Pour tout x ∈ R on a x2 ≥ 0.
La phrase suivant n’est pas une assertion:
p(x,y): x et y sont des elements de R tel que: x ≤ y

1.1.2

Op´
erateurs


efinition soit p et q deux assertions :
1. L’assertion ”p et q” est vraie lorsque p est vraie et q est vraie.
2. L’assertion ”p ou q” est vraie si au moins l’une des deux est vraie.
3. L’assertion ”¬p” est vraie lorsque p est fausse (L’op´erateur de n´egation)
4. L’assertion ”p ⇒ q” est vraie si au moin ¬p est vraie ou bien q est
vraie (L’implication)
5. L’assertion ”p ⇔ q” est vraie si les deux sont vraie ou bien les deux
sont fausses. (L’´equivalence)
2

Alg´ebre

Professeur: Elmahdi Erraji

Tableau de v´
erit´
e:
p
1
1
0
0

q
1
0
1
0

p et q
1
0
0
0

p ou q
1
1
1
0

p⇒q
1
0
1
1

¬p
0
0
1
1

Proposition 1.1.1 soit p, q, r trois assertions alors on a:
1. p ⇔ ¬(¬p)
2. p et q ⇔ q et p
3. p ou q ⇔ q ou p
4. ¬(p ou q) ⇔ ¬q et ¬p
5. ¬(p et q) ⇔ ¬q ou ¬p
6. (p et (q ou r)) ⇔ (p et q) ou (p et r)
7. (p ou (q et r)) ⇔ (p ou q) et (p ou r)
8. (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)
Preuve Exercice: utilisez le tableaux de v´erit´e.

1.2
1.2.1

Assertion a param´
etre et quantificateur
Assertion a param´
etre


efinition une assertion a param´etre est une phrase math´ematique qui
d´epends d’un param´etre appartenant `a un ensemble arbitraire. Elle devient
une assertion lorsqu’on fixe le param´etre.
Example p(x) = ”x ≥ 1” x ∈ R est une assertion `a param´etre.
p(5) est une assertion vraie.

1.2.2

Quantificateur


efinition soit p(x) x ∈ E une assertion `a param´etre.
• L’expression ∀x ∈ E p(x), est vraie lorsque p(x) est vraie pour toute
x dans E. ∀ est le quantificateur universel.
• L’expression ∃x ∈ E p(x), est vraie lorsqu’il existe x dans E tel que
p(x) est vraie. ∃ est le quantificateur existentielle.
3

Alg´ebre

Professeur: Elmahdi Erraji

• L’expression ∃!x ∈ E p(x), est vraie lorsqu’il existe un unique ´el´ement
x de E tel que p(x) est vraie.
Example

• ”∀x ∈ [0.1] (x2 ≥ 1)” est une assertion vraie.

• ”∃x ∈] − ∞, 0[ (x ≥ 0)” est une assertion fausse.
La n´
egation des quantificateur
• La n´egation de ”∀x ∈ E p(x)” est ”∃x ∈ E ¬p(x)”.
• La n´egation de ”∃x ∈ E p(x)” est ”∀x ∈ E ¬p(x)”.

1.3

Raisonnement

1.3.1

Raisonnement direct

C’est l’argument la plus classique est le plus utiliser comme argument pour
montrer les assertions on se basant sur des hypoth`eses. Si ona des donn´ee
(hypoth`eses) sous forme d’assertion p et on veut montrer la v´erit´e d’une
autre assertion q, on justifie la v´erit´e de l’assertion p ⇒ q puis on conclue la
v´erit´e de q on se basant sur p.
si p est vrai et p ⇒ q est vraie alors q est vraie.
Example soit a, b ∈ Q montrer que a + b ∈ Q??

p
p0
et b = 0 avec p, p0 ∈ Z et q, q 0 ∈ N
q
q
pq 0 + qp0
⇒ a+b=
avec p, p0 ∈ Z et q, q 0 ∈ N
qq 0
⇒ a+b∈Q

a ∈ Q et b ∈ Q ⇒ a =

1.3.2

Raisonnement par contrapos´
e

Parfois les raisonnement direct parait inefficace pour ateindre notre objectif.
Dans ce cas on consid`ere la n`egation du r´esultat comme hypoth`ese et la
n`egation de l’hypoth`ese est le r´esultat esp´er´e, puisqu’on a:
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)
Example Soit n ∈ N montrons que n2 est pair alors n est pair:
Preuve nous supposons que n est impaire est montrons que n2 est impaire.
on a:
n impaire ⇒ n = 2k + 1 avec k ∈ N
⇒ n2 = 4k 2 + 4k + 1 avec k ∈ N
⇒ n2 = 2(2k 2 + 2k) + 1 avec k ∈ N
⇒ n2 impair
d’o`
u n2 pair ⇒ n pair
4

Alg´ebre

1.3.3

Professeur: Elmahdi Erraji

Absurde

Le raisonnement par l’absurde pour montrer que p ⇒ q consiste `a admettre
que ¬q et p et vrai afin de trouver une contradiction.
Example Soit a, b ≥ 0 montrons que

a
b
=
⇒ a = b.
1+b
1+a

a
b
=
et a 6= b.
1+b
1+a
alors on a : a(1+a) = b(1+b) ⇒ a2 −b2 = −(a−b) ⇒ (a−b)(a+b) = −(a−b)
et puisque a − b 6= 0 on peut d´eviser par a − b
ce qui donne : a + b = −1. Or a et b sont des nombre positifs ce qui est
a
b
absurde donc
=
⇒ a = b est vrai.
1+b
1+a
Preuve Supposons que

1.3.4

Raisonnement par contre exemple

Si on veut montrer que l’assertion ”∀x ∈ E p(x)” est vrai il suffit de montrer
que p(x) est vrai pour tout x dans E. Ce qui est pas le cas si on veut montrer
que ”∀x ∈ E p(x)” est fausse il suffit de trouver un seul ´el´ement x de E tel
que p(x) est fausse. Le x en question et appeler le contre exemple.

1.3.5


eccurence

Le principe de R´eccurence permet de montrer qu’une assertion p(n), d´ependante
d’un entier naturel n est vraie pour tout n. La d´emonstration se fait en deux
´etape:
1. Etape 1 (Initialisation) : Montrer que p(0) est vrai.
2. Etape 2 (Induction) : Monter que p(n) ⇒ p(n + 1)∀n ∈ N est vrai

5

Chapter 2

Ensembles et applications
2.1

Ensembles:

2.1.1


efinisions


efinition un ensemble est une collection d’el´ement. On note les ensembles
par des lettre majuscule.
Example voici des exemple sur les ensembles:
• A = {0, 1, 2}
• B = {pain, lait, fromage}
• C = {a, b, c}
• un ensemble particulier qui ne contient aucun ´el´ement est l’ensemble
vide : ∅ = {}
Une autre facon pour d´efinir un ensemble c’est de d´ecrire ces ´el´ement
par une propriet´e :
A = {x ∈ E / p(x) est vraie }
[0, 1] = {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 1}
On dit que x appartiens a` E si x figure parmi les ´el´ement de E. On ´ecrit
x ∈ E.
x∈
/ E c’est la n´egation de x ∈ E.

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Alg´ebre

2.1.2

Professeur: Elmahdi Erraji

Op´
erations sur les ensemble


efinition Soit E, F et G trois ensemble:
• On dit que E ⊂ F si tout ´el´ement de E est ´el´ement de F .
(E ⊂ F ) ⇔ (∀x x ∈ E ⇒ x ∈ F )
• l’´egalit´e E = F si E ⊂ F et F ⊂ E.
• P (E) l’ensemble des parties de E. C’est la collection de tous les sous
ensemble de E.
• Compl´ementaire: si A ⊂ E, le compl´ementaire de E est d´efinit comme
suit:
Ac = {x ∈
/ A /x ∈ E}
• union: soit A, B ∈ E.
A ∪ B = {x ∈ E / x ∈ A ou x ∈ B}
• intersection: soit A, B ∈ E.
A ∩ B = {x ∈ E / x ∈ A et x ∈ B}

2.1.3


egles de calcules

soit A, B et C trois sous-ensemble de E.
1. A ∩ B = B ∩ A
2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
3. A ∩ ∅ = ∅ et A ∩ E = A
4. A ∪ B = B ∪ A
5. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
6. A ∪ ∅ = A et A ∪ E = E
7. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
8. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
9. A ⊂ B ⇔ B c ⊂ Ac
10. (A ∩ B)c = Ac ∪ B c
11. (A ∪ B)c = Ac ∩ B c
Essayer d’amuser a prouver les propri´et´es pr´ec´edente c’est un bon exercice de logique.
7

Alg´ebre

2.1.4

Professeur: Elmahdi Erraji

Produit cart´
esien


efinition E et F deux ensembles. le produit cart´esien de E par F est
l’ensemble des couples (x, y) o`
u (x ∈ E et y ∈ F ).
E × F = {(x, y) / x ∈ E et y ∈ E}
Example :
1. R2 = R × R = {(x, y) / x ∈ R et y ∈ R}
2. [0, 1] × R = {(x, y) / x ∈ [0, 1] et y ∈ R}

2.2

Applications

2.2.1


efinitions


efinition soit E et F deux ensembles. Une application f : E −→ F , c’est
la donn´ee pour chaque ´ele´ement x ∈ E un unique ´el´ement f (x) de F .

efinition :
• Soit f, g : E −→ F deux application alors:
f = g ⇔ ∀x ∈ E; f (x) = g(x)
• Soit f : E −→ F et g : F −→ E deux applications. Le compos´e de f
et g est l’application:
g ◦ f (x) = f (g(x))
.
Example L’identit´e c’est l’application idE : E −→ E qui envoie x de E
vers lui mˆeme. (idE (x) = x)

2.2.2

Image direct et Image r´
eciproque:

Soit E et F deux ensembles:

efinition Soit A ⊂ E et f : E −→ F . L’image direct de A par f est
l’ensemble :
f (A) = {f (x) ∈ F / ∈ E}
.
Soit B ⊂ F . L’image r´eciproque de B par f est l’ensemble:
f −1 (B) = {x ∈ E / f (x) ∈ B}

Ant´
ec´
edents : Soit y ∈ F les ´el´ement x de E tel que y = f (x) sont
appel´es les ant´ec´edent de y par f .
8

Alg´ebre

2.2.3

Professeur: Elmahdi Erraji

Injection, Surjection et Bijection


efinition soit E, F deux ensembles f : E −→ F une application.
• f est surjective si :
∀x, y ∈ E(x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)
• f est injective si :
∀y ∈ F ∃x ∈ E / f (x) = y
• f est bijectif si :
∀y ∈ F ∃!x ∈ E / f (x) = y
Proposition 2.2.1 f est bijective si et seulement s’elle est injective et surjective.
Preuve Exercice.
Proposition 2.2.2 Soit E et F des ensembles et f : E −→ F .
1. L’application f est bijectif si et seulement s’il existe une application
g : F −→ E tel que g ◦ f = idE .
2. Si f est bijectif alors l’application g est unique et bijective. g est appel´e
l’application r´eciproque de f , not´e f −1 de plus (f −1 )−1 = f .
Preuve (Execice**)
Proposition 2.2.3 soit f : E −→ F et g : F −→ G deux application
bijectives alors g ◦ f est bijective et :
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1
Preuve Exercice*

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