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Alg´ebre

2.2.3

Professeur: Elmahdi Erraji

Injection, Surjection et Bijection


efinition soit E, F deux ensembles f : E −→ F une application.
• f est surjective si :
∀x, y ∈ E(x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)
• f est injective si :
∀y ∈ F ∃x ∈ E / f (x) = y
• f est bijectif si :
∀y ∈ F ∃!x ∈ E / f (x) = y
Proposition 2.2.1 f est bijective si et seulement s’elle est injective et surjective.
Preuve Exercice.
Proposition 2.2.2 Soit E et F des ensembles et f : E −→ F .
1. L’application f est bijectif si et seulement s’il existe une application
g : F −→ E tel que g ◦ f = idE .
2. Si f est bijectif alors l’application g est unique et bijective. g est appel´e
l’application r´eciproque de f , not´e f −1 de plus (f −1 )−1 = f .
Preuve (Execice**)
Proposition 2.2.3 soit f : E −→ F et g : F −→ G deux application
bijectives alors g ◦ f est bijective et :
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1
Preuve Exercice*

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