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Aperçu texte


Alg´ebre

Professeur: Elmahdi Erraji

• L’expression ∃!x ∈ E p(x), est vraie lorsqu’il existe un unique ´el´ement
x de E tel que p(x) est vraie.
Example

• ”∀x ∈ [0.1] (x2 ≥ 1)” est une assertion vraie.

• ”∃x ∈] − ∞, 0[ (x ≥ 0)” est une assertion fausse.
La n´
egation des quantificateur
• La n´egation de ”∀x ∈ E p(x)” est ”∃x ∈ E ¬p(x)”.
• La n´egation de ”∃x ∈ E p(x)” est ”∀x ∈ E ¬p(x)”.

1.3

Raisonnement

1.3.1

Raisonnement direct

C’est l’argument la plus classique est le plus utiliser comme argument pour
montrer les assertions on se basant sur des hypoth`eses. Si ona des donn´ee
(hypoth`eses) sous forme d’assertion p et on veut montrer la v´erit´e d’une
autre assertion q, on justifie la v´erit´e de l’assertion p ⇒ q puis on conclue la
v´erit´e de q on se basant sur p.
si p est vrai et p ⇒ q est vraie alors q est vraie.
Example soit a, b ∈ Q montrer que a + b ∈ Q??

p
p0
et b = 0 avec p, p0 ∈ Z et q, q 0 ∈ N
q
q
pq 0 + qp0
⇒ a+b=
avec p, p0 ∈ Z et q, q 0 ∈ N
qq 0
⇒ a+b∈Q

a ∈ Q et b ∈ Q ⇒ a =

1.3.2

Raisonnement par contrapos´
e

Parfois les raisonnement direct parait inefficace pour ateindre notre objectif.
Dans ce cas on consid`ere la n`egation du r´esultat comme hypoth`ese et la
n`egation de l’hypoth`ese est le r´esultat esp´er´e, puisqu’on a:
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)
Example Soit n ∈ N montrons que n2 est pair alors n est pair:
Preuve nous supposons que n est impaire est montrons que n2 est impaire.
on a:
n impaire ⇒ n = 2k + 1 avec k ∈ N
⇒ n2 = 4k 2 + 4k + 1 avec k ∈ N
⇒ n2 = 2(2k 2 + 2k) + 1 avec k ∈ N
⇒ n2 impair
d’o`
u n2 pair ⇒ n pair
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