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Alg´ebre

1.3.3

Professeur: Elmahdi Erraji

Absurde

Le raisonnement par l’absurde pour montrer que p ⇒ q consiste `a admettre
que ¬q et p et vrai afin de trouver une contradiction.
Example Soit a, b ≥ 0 montrons que

a
b
=
⇒ a = b.
1+b
1+a

a
b
=
et a 6= b.
1+b
1+a
alors on a : a(1+a) = b(1+b) ⇒ a2 −b2 = −(a−b) ⇒ (a−b)(a+b) = −(a−b)
et puisque a − b 6= 0 on peut d´eviser par a − b
ce qui donne : a + b = −1. Or a et b sont des nombre positifs ce qui est
a
b
absurde donc
=
⇒ a = b est vrai.
1+b
1+a
Preuve Supposons que

1.3.4

Raisonnement par contre exemple

Si on veut montrer que l’assertion ”∀x ∈ E p(x)” est vrai il suffit de montrer
que p(x) est vrai pour tout x dans E. Ce qui est pas le cas si on veut montrer
que ”∀x ∈ E p(x)” est fausse il suffit de trouver un seul ´el´ement x de E tel
que p(x) est fausse. Le x en question et appeler le contre exemple.

1.3.5


eccurence

Le principe de R´eccurence permet de montrer qu’une assertion p(n), d´ependante
d’un entier naturel n est vraie pour tout n. La d´emonstration se fait en deux
´etape:
1. Etape 1 (Initialisation) : Montrer que p(0) est vrai.
2. Etape 2 (Induction) : Monter que p(n) ⇒ p(n + 1)∀n ∈ N est vrai

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