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Alg´ebre

2.1.4

Professeur: Elmahdi Erraji

Produit cart´
esien


efinition E et F deux ensembles. le produit cart´esien de E par F est
l’ensemble des couples (x, y) o`
u (x ∈ E et y ∈ F ).
E × F = {(x, y) / x ∈ E et y ∈ E}
Example :
1. R2 = R × R = {(x, y) / x ∈ R et y ∈ R}
2. [0, 1] × R = {(x, y) / x ∈ [0, 1] et y ∈ R}

2.2

Applications

2.2.1


efinitions


efinition soit E et F deux ensembles. Une application f : E −→ F , c’est
la donn´ee pour chaque ´ele´ement x ∈ E un unique ´el´ement f (x) de F .

efinition :
• Soit f, g : E −→ F deux application alors:
f = g ⇔ ∀x ∈ E; f (x) = g(x)
• Soit f : E −→ F et g : F −→ E deux applications. Le compos´e de f
et g est l’application:
g ◦ f (x) = f (g(x))
.
Example L’identit´e c’est l’application idE : E −→ E qui envoie x de E
vers lui mˆeme. (idE (x) = x)

2.2.2

Image direct et Image r´
eciproque:

Soit E et F deux ensembles:

efinition Soit A ⊂ E et f : E −→ F . L’image direct de A par f est
l’ensemble :
f (A) = {f (x) ∈ F / ∈ E}
.
Soit B ⊂ F . L’image r´eciproque de B par f est l’ensemble:
f −1 (B) = {x ∈ E / f (x) ∈ B}

Ant´
ec´
edents : Soit y ∈ F les ´el´ement x de E tel que y = f (x) sont
appel´es les ant´ec´edent de y par f .
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