Correction épreuve de Maths bac math 2016 P .pdf



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ABDA EZEDDiNE

Épreuve : MATHEMATIQUES

EXAMEN DU BACCALAUREAT

Durée : 4 H

SESSION DE JUIN 2016

Coefficient : 4

Section : Mathématiques

Session Principale
Correction

Exercice 1 (5 points)

1.

( )=
a.



et ( ) = .
⃗,

⃗ [2 ] ≡ [2 ].

b. On a ( ) = , alors ((
D’où
c.

(

) =(

Comme

(

) =(

∈(

)∩(

et perpendiculaire à (

).

)) est la droite passant par

et perpendiculaire à (

).

).

On a ( ) = , alors ((
D’où

)) est la droite passant par

).
), alors ( ) ∈

(

) ∩

(

) =(

)∩(

) = { }.

D’où ( ) = .
Tél :

Page 1

2.

a.

On a ( ) =

b.

= ( ).


On a

et ( ) =

alors ∈

) alors

perpendiculaire à (
Finalement ∈
c.

On a

)) ( bien sur ≠

∩ ((

(

).

(

) =(

∈(

Comme

.

)∩(

).

).

) alors ( ) ∈ (

)∩(

) = { }. Finalement ( ) = .

et ( ) = .

(

)



(

)

∘ ( )=

et

(

b. On a

est une similitude indirecte comme étant composée d’une s.d et une s.i

)



( )=

)(

(

)=

∈(
(

et

(

)

∘ ( )=

(

)(

)= .

coïncident en deux points distincts alors elles sont égales.

= ( ) alors (

D’où

)

)⊥(

). Et on sait que (

)⊥(

).

).

∘ ( )=

(

)(

) = ′.

Construction de ′ : on sait que ( ) = alors
Construction de ′ : on sait que ( ) = alors
Construction de ′ : on a (

)⊥(

=
=

) est le rectangle indirect

)(

(
(

)(

).
).

) alors ′ appartient à la droite passant par

perpendiculaire à ( ′ ′). D’où la construction de ′ (

Tél :

] est un diamètre

)) est la droite passant par et perpendiculaire à (

) =(

On a de plus

(

= , alors [

avec

est un rectangle.

D’où

c.

).

] est un diamètre pour

d. On a ( ) = alors ((

a.

et

.

D’où

( )=

.

).

On sait encore que [

3.

]. D’où ( ) =

)) la droite passant par

((

appartient aussi à

est le cercle circonscrit au triangle

pour

]) = [

.

∈(

On a de plus

, ce qui donne que ([

∈(

et

)).

′ ′ ′.

Page 2

Exercice 2 (3 points)
1.

a. ( ): ² − (1 + 2 )
∆= (1 + 2 )
=

+ 4(1 − ) ² =

On a

∈ ℝ∗ ⟺ (1 − )

= −(1 − )

arg(1 − ) + 2 arg
2.

≡ [2 ] ⟺ 2 ≡

[2 ] alors



+ [2 ] ⟺

=| .

.

et [

est rectangle en

a.

∈ ℝ∗ ⟺ arg (1 − )

| = |−(1 − )

=√

.

=

[2 ].



=

| = √2 | |².

] la hauteur issue de . Pythagore affirme que :
²=

b.



≡ [2 ]

∈ ℝ∗ .

.

Ce qui nous permet d’écrire :
3.

².

= (1 + ) .

,
.

b.

− (1 − ) ² = 0.




.

= | |.

| |=
4.

Tél :

a.

On a :

b.

=

arg
,



[2 ]

= (1 + )

.


=

,

( ) et

=

,√ ,

( )

Page 3

Exercice 3 (4 points)
1.

2 divise

≡ 1(

D’où
2.

− 1 et 5 divise

− 1. Comme 2 ∧ 5 = 1 alors 2 × 5 divise

10 ).

9217 ≡ 2(

5) ⟹ 9217 ≡ 2 (

5) ⟹ 9217 ≡ 1(

9217 = 576 × 16 + 1 ⟹ 9217 ≡ 1(
3.

∈ ℕ,

a. Soit

4.

a. 5

=

+ 1) − 1.

=

+5

+ 10

+ 10

²+5

+1−1

=

+5

+ 10

+ 10

²+5

.

alors 5

divise

: « pour tout entier ,
=




−1

et 5 divise

On en déduit que 5
b.

−1=(

−1 =

+ 1) − 1 = ∑

divise

5).

2 )

=(

b.

− 1.

× 5 divise

×

.

.

≡ 0(

− 1 ≡ 0(

5



5), alors la propriété

Supposons que la propriété

est vraie à l’ordre

est vraie à l’ordre

= 0.

et montrons qu’elle vraie à l’ordre

+ 1.
≡ 0(

On a
5

+ 10

5
+ 10

5.

=5

= (9217 )

=

=

b. 9217

= (9217 )

≡1

(

D’où 9217

≡ 1(

9217

≡ 9217(

(9217

) ≡ 9217(

L’entier 9217

≡ 1(

5

(

+2

≡ 0(

5

+ 1 ≡ 1(

5

5

a. 9217

c.

≡ 0(

).
+ 1) ≡ 0(

5

).

).

Conclusion : pour tout entier ,

On a de plus 9217

Tél :

²+5

≡ 0(

Et par suite


) alors

2 ) ≡ 1(
625) ≡ 1(

10 ) ≡ 1(

).
) ≡ 1(

625).

2 ).
5 ).

10000).

10000)
10000).

répond au question.

Page 4

Exercice 4 (8 points)
Partie A :
1.

a.

( ) = +∞.

lim


Graphiquement :

admet l’axe des ordonnées comme asymptote verticale.

b. On a : lim √ = +∞ et lim


( )

=





=

a.





. Comme lim √ = +∞ et lim







= +∞, alors lim

( )



= +∞.

admet une branche parabolique de direction ( , ⃗) au (+∞).

est dérivable sur ]0, +∞[ et on a pour tout
( )=

( ) = +∞.



Graphiquement :
2.

= +∞. Alors lim









=






∈]0, +∞[ :

.

b.
0
( )
( )


+∞

+∞

1
0

+
+∞

c.

Tél :

Page 5

= ∫ | ( )|

3.

lim



=∫

= 2





).

= 2( −

= 2( − 1).



Partir B :
1.

est strictement décroissante sur ]0,1] et

On a

( ]0,1] ) = [ , +∞[ , alors

réalise une

( [1, +∞[ ) = [ , +∞[ , alors

réalise une

bijection de ]0,1] sur [ , +∞[.
est strictement croissante sur [1, +∞[ et

On a

bijection de [1, +∞[ sur [ , +∞[.
2.

a. Soit

∈ ℕ∗ : + ∈] , +∞[.

D’après TVI il existe une unique solution
(

)=

+ .



(

)>

(



<

∈]1, +∞[ telle que

unique solution

(

∈ ]0,1[ telle que

)=

+ et il existe une

D’où le résultat.
b. Soit

∈ ℕ∗ : + >

+

Ce qui donne que la suite (
On en déduit alors que (
lim

∈ ℕ∗ : + >

=

( ) (car lim

+ =



(

)



+

)>


Ce qui donne que la suite (
On en déduit alors que (
lim

= lim



lim ℎ( ) = lim


et

est continue en )

>

(car

est strictement croissante)
) est minorée par 1.

) est convergente.
( ) (car lim

=

+ =



et

est continue en )

= 1.



a.

(

) est décroissante. De plus (

+



Finalement lim
3.

) est majorée par 1.

= 1.



Soit

est strictement décroissante)

) est croissante. De plus (

+



Finalement lim

(car

) est convergente.

= lim



)



−√



+

= 1 = ℎ(0).

Ce qui donne que ℎ est continue à droite en 0.
b.
+∞

0
Sig ( )
4.

a.

La fonction

+




0



est continue sur [0, +∞[. Alors

+

0
:

⟼∫



est continue et

dérivable sur [0, +∞[.
Tél :

Page 6





est continue sur [0, +∞[ et dérivable sur ]0, +∞[ (comme étant composée de
⟼ 2(√ − 1) est continue sur [0, +∞[ et dérivable sur ]0, +∞[.

deux fonctions). Et
D’où :

⟼ 2 + 2(√ − 1)



est continue sur [0, +∞[ et dérivable sur ]0, +∞[ (comme

étant produit de deux fonctions).

on a pour tout
D’où

( ) = ( ) − ( ) est dérivable sur ]0, +∞[. Et

définie sur [0, +∞[ par :

b. La fonction

∈]0, +∞[:

( )=

( )−

( )=



−(







√ −1




) = 0.

est constante sur ]0, +∞[.

Comme elle est continue sur [0, +∞[, alors ( ) = (0) = 0.
Finalement pour tout
c.

( )=∫



∈ [0, +∞[ on a : ( ) = ( ).

−√

=2+2 √ −1
5.

=∫
On a : lim


Tél :

|ℎ( )|
(

=∫

) = lim


+


ℎ( )
(

=∫


+
−∫

)= 2−





+

∫ √

= ( )−

)− (

)

=2−

.

+



√ .
ℎ( )

=2 (

, alors lim


Page 7




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