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formulaire SMA V1 .pdf



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1

Table des matières
1 Identités remarquables
1.1 Formule du binôme . . . . . . . . . .
1.2 Sommes remarquables . . . . . . . .
1.3 Inégalités remarquables . . . . . . .
1.4 Résolution des équations algébriques

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5
6
6
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2 Formules de la géométrie analytique plane
2.1 Equation d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
7

3 Progression
3.1 Progression arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Progression géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7
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4 Les nombres complexes
4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Partie réelle et imaginaire . . . . . . . . . .
4.4 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Conjugué, module . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Racines carrées, équation du second degré .
4.7 Racines carrées d’un nombre complexe . . .
4.8 Équation du second degré . . . . . . . . . . .
4.9 Théorème fondamental de l’algèbre . . . . .
4.10 Argument et trigonométrie . . . . . . . . .
4.11 Formule de Moivre, notation exponentielle
4.12 Racines n-ième . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13 Applications à la trigonométrie . . . . . . .

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13

5 Formules trigonométriques
5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Formules angles associés . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Formules de linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Formules de transformation . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Formules de transformation de produits en sommes
5.8 Formules de transformation de sommes en produits
5.9 Formule de l’angle double . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Formule de l’angle moitié . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11 Formule des multiples d’un angle . . . . . . . . . . .
5.12 Puissances des fonctions circulaires . . . . . . . . .

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6 Formules de trigonométrie hyperboliques
7 Etude globale d’une fonction
7.1 Limites uselles . . . . . . . . . .
7.2 Opérations sur les limites . . . .
7.3 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Opération sur les dérivées . . .
7.5 Dérivées des fonctions usuelles

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8 Fonctions circulaires
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8.1 Propriétés des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.2 Graphe des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9 Fonctions logarithme et exponentielle
21
9.1 Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9.2 Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9.3 Puissance et comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2

10 Fonctions circulaires inverses
23
10.1 Arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10.2 Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10.3 Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses
11.1 Cosinus hyperbolique et son inverse . . . . . . . . . .
11.2 Sinus hyperbolique et son inverse . . . . . . . . . . . .
11.3 Tangente hyperbolique et son inverse . . . . . . . . .
11.4 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . .

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26
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12 Développement limité
28
12.1 Développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
12.2 Opérations sur les DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
12.3 Etude locale d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
13 Intégration et dérivation
13.1 Primitive et intégration d’une fonction continue
13.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5 Exemple de calcule primitive . . . . . . . . . . . .
13.6 Table de certaines primitives . . . . . . . . . . . .

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30
30
30
30
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32

14 Equation différentielle
33
14.1 Equation différentielle linéaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
14.2 Equation différentielle linéaire du second ordre à coeffcients constants. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
14.3 Dérivées et primitives de fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

Algèbre
1. Identités Remarquables.
2. Inégalités Remarquables.
3. Résolution des équations algébriques.
4. Progression.
5. Nombres complexes

4

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

1

Identités remarquables

1.1
1.1.1

Formule du binôme
Factoriel d’un entier naturel
∀ n ∈ N∗ , n! = 1 × 2 × 3 × . . . × ( n − 1) × n.

Par convention, on pose
0! = 1.
On a

n! = ( n − 1)! × n.
1.1.2

Le nombre de combinaisons de k éléments parmis n
Ùkn =

n( n − 1)( n − 2) . . . ( n − k + 1)
n!
=
.
k!
k!( n − k)!
1
Ùkn + Ùkn+1 = Ùkn+
+1 .

1.1.3

Cas particuliers de la formule du binôme

( x + y)2
( x − y)2
( x + y)3
( x − y)3
( x + y)4
( x − y)4
( x + y)5
( x − y)5
( x + y)6
( x − y)6
1.1.4

=
=
=
=
=
=
=
=
=
=

x2 + y2 + 2 x y.
x2 + y2 − 2 x y.
x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3 .
x3 − 3 x2 y + 3 x y2 − y3 .
x4 + 4 x3 y + 6 x2 y2 + 4 x y3 + y4 .
x4 − 4 x3 y + 6 x2 y2 − 4 x y3 + y4 .
x5 + 5 x4 y + 10 x3 y2 + 10 x2 y3 + 5 x y4 + y5 .
x5 − 5 x4 y + 10 x3 y2 − 10 x2 y3 + 5 x y4 − y5 .
x6 + 6 x5 y + 15 x4 y2 + 20 x3 y3 + 15 x2 y4 + 6 x y5 + y6 .
x6 − 6 x5 y + 15 x4 y2 − 20 x3 y3 + 15 x2 y4 − 6 x y5 + y6 .

Formule du binôme
( x + y)n = x n + Ù1n x n−1 y + Ù2n x n−2 y2 + Ù3n x n−3 y3 + . . . + Ùnn−1 x yn−1 + yn .

Cas particulièrs
2n
0

=
=

= (1 + 1)n = Ù0n + Ù1n + Ù2n + Ù3n + . . . + Ùnn−1 + Ùnn .
= (1 + (−1))n = Ù0n − Ù1n + Ù2n − Ù3n + . . . + (−1)n−1 Ùnn−1 + (−1)n Ùnn .
p

Le triangle de Pascal pour calculer les coefficients Ùn de la formule du binôme.
Ù00
1
Ù01 Ù11
. 1 1
Ù02 Ù12 Ù22
1 2 1
1 3 3
1
Ù03 Ù13 Ù23 Ù33
1 4 6
4
1
Ù04 Ù14 Ù24 Ù34 Ù44
1 5 10 10 5 1
Ù05 Ù15 Ù25 Ù35 Ù45 Ù55
Ù06 Ù16 Ù26 Ù36 Ù46 Ù56 Ù66 1 6 15 20 15 6 1
Les résultats ci-dessous sont des cas particuliers de la formule du binôme
x2 − y2 = ( x − y)( x + y)
x3 − y3 = ( x − y)( x2 + x y + y2 )
x3 + y3 = ( x + y)( x2 − x y + y2 )
x4 − y4 = ( x − y)( x + y)( x2 + y2 )
x5 − y5 = ( x − y)( x4 + x3 y + x2 y2 + x y3 + y4 )
x5 + y5 = ( x + y)( x4 − x3 y + x2 y2 − x y3 + y4 )
x6 − y6 = ( x − y)( x + y)( x2 + x y + y2 )( x2 − x y + y2 )
On généralise les résultats ci-dessus pour n ∈ N.
x2n+1 − y2n+1 = ( x − y)( x2n + x2n−1 y + x2n−2 y2 + . . . + y2n )
x2n+1 + y2n+1 = ( x + y)( x2n − x2n−1 y + x2n−2 y2 − . . . + y2n )
x 2 n − y2 n
= ( x − y)( x + y)( x n−1 + x n−2 y + x n−3 y2 + . . .)( x n−1 − x n−2 y + x n−3 y2 − . . .)
n+1
x
−1
= ( x − 1)(1 + x + x2 + x3 + . . . + x n )
5

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

1.2

Sommes remarquables

Pour tout n ∈ N∗ .

1.3

n( n+1)
2
n( n+1)(2 n+1)
6
2
2

1+2+3+4+...+ n
2
1 + 22 + 32 + 42 + . . . + n2
3
3
1 + 3 + 53 + 73 + . . . + (2 n − 1)3
23 + 43 + 63 + 83 + . . . + (2 n)3

=
=
=
=

n (2 n − 1)
2 n2 ( n + 1)2

14 + 24 + 34 + 44 + . . . + n4

=

n( n+1)(6 n3 +9 n2 + n−1)
30

Inégalités remarquables

Dans R on a Inégalité triangulaire
| a| − | b |
|a 1 + a 2 + . . . + a n |

É
É

| a + b | É | a| + | b |
|a 1 | + |a 2 | + . . . + |a n |

Inégalité de Cauchy-Schwartz
|a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n |2 É (|a 1 |2 + |a 2 |2 + . . . + |a n |2 )(| b 1 |2 + | b 2 |2 + . . . + | b n |2 )

L’égalité est valable si et seulement si a 1 / b 1 = a 2 / b 2 = . . . = a n / b n

1.4

Résolution des équations algébriques

Equation du deuxième degré : ax2 + bx + c = 0
Si a 6= 0, b et c sont des réels. et si on appelle D = b2 − 4ac le discriminant, alors
1. Si D > 0 alors l’équation admet deux solutions

x1 =

p
p
b+ D
b− D
, x2 =
2a
2a

2. Si D = 0 alors l’équation admet une seule solutuion

x1 =

b
2a

3. Si D < 0 alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées

x1 =

p
p
b − i −D
b + i −D
, x2 =
2a
2a

Remarque. Si x1 et x2 sont les racines alors : x1 + x2 = − b/a et x1 .x2 = c/a.
Equation du troisième degré x3 + a 1 x2 + a 2 x + a 3 = 0
Soit
3a 2 −a21
Q =
,
q9 p
3
S =
R + Q3 + R2,
Les solutions

 x1
x
 2
x2

=
=
=

R

=

T

=

9a 1 a 2 −27a 3 −2a31
54
q
3

R−

p
Q3 + R2

S + T − 13 a 1
p
− 21 (S + T ) − 13 a 1 + 12 i 3(S − T )
p
− 12 (S + T ) − 13 a 1 − 12 i 3(S − T )

Si a 1 , a 2 et a 3 sont réels et si on pose D = Q 3 + R 2 le discriminant, alors
1. une racine est réelle et les deux autres conjugées complexes si D > 0.
2. les trois racines sont réelles et au moins deux sont égaux si D = 0.
3. toutes les racines sont réelles distinctes si D < 0.

6

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

2

Formules de la géométrie analytique plane

2.1

Equation d’une droite

Distance d entre deux points P1 ( x1 , y1 ) et P2 ( x2 , y2 )

d=

q
( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

La pente m de la droite passant par les deux points P1 ( x1 , y1 ) et P2 ( x2 , y2 ) est donnée par

m=

y2 − y1
= tan θ
x2 − x1

Equation de la droite passant par les deux points P1 ( x1 , y1 ) et P2 ( x2 , y2 ).
On a
y − y1 y2 − y1
=
= m ou y − y1 = m( x − x1 ).
x − x1 x2 − x1
Donc l’équation de la droite est

y = mx + b


b = y1 − mx1 =

x2 y1 − x1 y2
x2 − x1

Equation de la droite joignant le point d’abssice a de l’axe ox, a 6= 0 au point d’ordonnée b de l’axe o y, b 6= 0.

x y
+ =1
a b

3

Progression

3.1

Progression arithmétique

Définition 1. Progression arithmétique est une suite de nombres réels ( u n )n∈N , définie par
½

u0
u n+1

=

donnée
un + r

où r est une constante réelle, appelée la raison.
Proposition 1.
Si ( u n )n∈N est une suite arithmétique de raison r alors on a
1. u n = u 0 + n.r.
n+1
2 (u0 + u n )
S = u 0 + u 1 + u 2 + . . . + u n = ( n + 1) u 0 + n(n2+1) r

2. S = u 0 + u 1 + u 2 + . . . + u n =
3.

3.2

Progression géométrique

Définition 2. Progression géométrique est une suite de nombres réels ( u n )n∈N , définie par
½

u0
u n+1

=

donnée
q.u n

où q est une constante réelle, appelée la raison.
Proposition 2.
Si ( u n )n∈N est une suite géométrique de raison q alors on a
1. u n = q n u 0
2. S = u 0 + u 1 + u 2 + . . . + u n = u 0 (1 + q + q2 + q3 + . . . + q n )
3. si q 6= 0 alors

S = u0 + u1 + u2 + . . . + u n = u0

7

1 − q n+1
1− q

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

4
4.1

Les nombres complexes
Définition

Définition 3. Un nombre complexe est un couple (a, b) ∈ R2 que l’on notera a + i b
iR

a + ib

b

i

0

a

1

R

Cela revient à identifier 1 avec le vecteur (1, 0) de R2 , et i avec le vecteur (0, 1). On note C l’ensemble des nombres
complexes. Si b = 0, alors z = a est situé sur l’axe des abscisses, que l’on identifie à R. Dans ce cas on dira que z
est réel, et R apparaît comme un sous-ensemble de C, appelé axe réel. Si b 6= 0, z est dit imaginaire et si b 6= 0 et
a = 0, z est dit imaginaire pur.

4.2

Opérations

Si z = a + i b et z0 = a0 + i b0 sont deux nombres complexes, alors on définit les opérations suivantes :
– addition : (a + i b) + (a0 + i b0 ) = (a + a0 ) + i( b + b0 )
iR

z + z0
z0

i

0

z

R

1

– multiplication : (a + i b) × (a0 + i b0 ) = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + ba0 ). C’est la multiplication usuelle avec la convention
suivante :
i2 = −1

4.3

Partie réelle et imaginaire

Soit z = a + i b un nombre complexe, sa partie réelle est le réel a et on la note Re( z) ; sa partie imaginaire est le
réel b et on la note Im( z).
iR

z

Im( z)

i

0

1

Re( z)

R

Par identification de C à R2 , l’écriture z = Re( z) + i Im( z) est unique :

0
 Re( z) = Re( z )
0
et
z = z ⇐⇒

Im( z) = Im( z0 )
En particulier un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Un nombre complexe
est nul si et et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nuls.
8

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

4.4

Calculs

Quelques définitions et calculs sur les nombres complexes.
λz

z

i
0
1
−z

– L’opposé de z = a + i b est − z = (−a) + i(− b) = −a − i b.
– La multiplication par un scalaire λ ∈ R : λ · z = (λa) + i(λ b).
– L’ inverse : si z 6= 0, il existe un unique z0 ∈ C tel que zz0 = 1 (où 1 = 1 + i × 0).
Pour la preuve et le calcul on écrit z = a + i b puis on cherche z0 = a0 + i b0 tel que zz0 = 1. Autrement dit (a +
i b)(a0 + i b0 ) = 1. En développant et identifiant les parties réelles et imaginaires on obtient les équations
½
aa0 − bb0 = 1 (L 1 )
ab0 + ba0 = 0 (L 2 )
En écrivant aL 1 + bL 2 (on multiplie la ligne (L 1 ) par a, la ligne (L 2 ) par b et on additionne) et − bL 1 + aL 2 on
en déduit
(
¢
½ 0¡ 2
a0 = a2 +a b2
a ¡a + b2 ¢ = a
donc
b 0 a2 + b 2 = − b
b0 = − a2 +b b2
L’inverse de z est donc

z0 =

−b
a − ib
a
1
+i 2
= 2
.
= 2
2
2
z a +b
a +b
a + b2

– La division : zz0 est le nombre complexe z × z10 .
– Propriété d’intégrité : si zz0 = 0 alors z = 0 ou z0 = 0.
¡ ¢n
– Puissances : z2 = z × z, z n = z × · · · × z ( n fois, n ∈ N). Par convention z0 = 1 et z−n = 1z =

1
zn .

Proposition 3.
Pour tout z ∈ C différent de 1
1 + z + z2 + · · · + z n =

1 − z n+1
.
1− z

La preuve est simple : notons S = 1 + z + z2 + · · · + z n , alors en développant S · (1 − z) presque tous les termes se
télescopent et l’on trouve S · (1 − z) = 1 − z n+1 .
Remarque. Il n’y pas d’ordre naturel sur C, il ne faut donc jamais écrire z Ê 0 ou z É z0 .

4.5

Conjugué, module

Le conjugué de z = a + i b est z¯ = a − i b, autrement dit Re( z¯ ) = Re( z) et Im( z¯ ) = − Im( z). Le point z¯ est le symétrique
du point z par rapport à l’axe réel.
p
Le module p
de z = a + i b est le réel positif | z| = a2 + b2 . Comme z × z¯ = (a + i b)(a − i b) = a2 + b2 alors le module vaut
aussi | z| = z z¯ .

z

z = a + ib

i
| z|

0
1

0



9

a

b

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

Quelques formules :






¯ 0
z + z0 = z¯ + z0 , z¯ = z, zz0 = zz
z = z¯ ⇐⇒ z ∈ R
¯ ¯
| z|2 = z × z¯ , | z¯ | = | z|, ¯ zz0 ¯ = | z|| z0 |
| z| = 0 ⇐⇒ z = 0
¯
¯
¯ ¯
L’inégalité triangulaire : ¯ z + z0 ¯ É | z| + ¯ z0 ¯

Exemple 1. Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales égale la somme des carrés des côtés.
Si les longueurs des côtés sont notées L et ` et les longueurs des diagonales sont D et d alors il s’agit de montrer
l’égalité
D 2 + d 2 = 2`2 + 2L2 .
z + z0
| z − z0 |

| z|

L
z0
`

d
`

| z0 |

| z + z0 |
| z0 |

z

D
| z|

L

0

4.6

Racines carrées, équation du second degré

4.7

Racines carrées d’un nombre complexe

Pour z ∈ C, une racine carrée est un nombre complexe ω tel que ω2 = z.
p
p
Par exemple si x ∈ R+ , on connaît deux racines carrées : x, − x. Autre exemple : les racines carrées de −1 sont i
et −i.
Proposition 4.
Soit z un nombre complexe, alors z admet deux racines carrées, ω et −ω.
Attention ! Contrairement au cas réel, il n’y a pas de façon privilégiée de choisir une racine plutôt que l’autre, donc
pas de fonction racine. On ne dira donc jamais « soit ω la racine de z ».
Si z 6= 0 ces deux racines carrées sont distinctes. Si z = 0 alors ω = 0 est une racine double.
Pour z = a + i b nous allons calculer ω et −ω en fonction de a et b.
Il n’est pas nécessaire d’apprendre ces formules mais il est indispensable de savoir refaire les calculs.
Exemple 2. Les racines carrées de i sont +
En effet :

p
2
2 (1 + i)

ω2 = i

et −

⇐⇒
⇐⇒

p
2
2 (1 + i).

( x + i y)2 = i
½ 2
x − y2 = 0
2x y = 1

Rajoutons la conditions |ω|2 = |i| pour obtenir le système équivalent au précédent :

 2

1
2
2

 x −y =0
 2x = 1
 x = ± p2
2
2x y = 1
2 y = 1 ⇐⇒
⇐⇒
y = ± p1
2

 2

2

x +y =1
2x y = 1
2x y = 1

Les réels x et y sont donc de même signe, nous trouvons bien deux solutions :
1
1
x + iy = p + i p
2
2

ou

10

1
1
x + iy = − p − i p
2
2

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

4.8

Équation du second degré

Proposition 5.
L’équation du second degré az2 + bz + c = 0, où a, b, c ∈ C et a 6= 0, possède deux solutions z1 , z2 ∈ C éventuellement
confondues.
Soit ∆ = b2 − 4ac le discriminant et δ ∈ C une racine carrée de ∆. Alors les solutions sont

z1 =

−b + δ
2a

et

z2 =

−b − δ
.
2a

p
Et si ∆ = 0 alors la solution z = z1 = z2 = − b/2a est unique (elle est dite double). Si on s’autorisait à écrire δ = ∆
pour le nombre complexe ∆, on obtiendrait la même formule que celle que vous connaissez lorsque a, b, c sont
réels.

Exemple 3.

p
p
−1 ± i 3
– z + z + 1 = 0, ∆ = −3, δ = i 3, les solutions sont z =
.
2
p
p
p
−1 ± 22 (1 + i)
2
1−i
2
= − 12 ± 42 (1 + i).
– z + z + 4 = 0, ∆ = i, δ = 2 (1 + i), les solutions sont z =
2
2

On retrouve aussi le résultat bien connu pour le cas des équations à coefficients réels :
Corollaire 1. Si les coefficients a, b, c sont réels alors ∆ ∈ R et les solutions sont de trois types :
b
– si ∆ = 0, la racine double est réelle et vaut − ,
p 2a
−b ± ∆
– si ∆ > 0, on a deux solutions réelles
,
2a
p
− b ± i −∆
– si ∆ < 0, on a deux solutions complexes, mais non réelles,
.
2a

4.9

Théorème fondamental de l’algèbre

Théorème 1 (d’Alembert–Gauss).
Soit P ( z) = a n z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 1 z + a 0 un polynôme à coefficients complexes et de degré n. Alors l’équation
P ( z) = 0 admet exactement n solutions complexes comptées avec leur multiplicité.
En d’autres termes il existe des nombres complexes z1 , . . . , z n (dont certains sont éventuellement confondus) tels
que
P ( z ) = a n ( z − z1 ) ( z − z2 ) · · · ( z − z n ) .
Nous admettons ce théorème.

4.10
4.10.1

Argument et trigonométrie
Argument

Si z = x + i y est de module 1, alors x2 + y2 = | z|2 = 1. Par conséquent le point ( x, y) est sur le cercle unité du plan, et
son abscisse x est notée cos θ , son ordonnée y est sin θ , où θ est (une mesure de) l’angle entre l’axe réel et z. Plus
généralement, si z 6= 0, z/| z| est de module 1, et cela amène à :
Définition 4. Pour tout z ∈ C∗ = C − {0}, un nombre θ ∈ R tel que z = | z| (cos θ + i sin θ ) est appelé un argument de z
et noté θ = arg( z).
iR

z

| z|

i

arg( z)
0

R

1

Cet argument est défini modulo 2π. On peut imposer à cet argument d’être unique si on rajoute la condition
θ ∈] − π, +π].
11

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

Remarque.
θ≡θ

0

(mod 2π)

⇐⇒

½

0

∃ k ∈ Z, θ = θ + 2 kπ

⇐⇒

cos θ = cos θ 0
sin θ = sin θ 0

Proposition 6.
L’argument
suivantes :
¡ ¢ satisfait les propriétés
¡ ¢
– arg zz0 ≡ arg( z) + arg z0 (mod 2π)
– arg ( z n ) ≡ n arg( z) (mod 2π)
– arg (1/ z) ≡ − arg( z) (mod 2π)
– arg( z¯ ) ≡ − arg z (mod 2π)

4.11

Formule de Moivre, notation exponentielle

La formule de Moivre est :
(cos θ + i sin θ )n = cos ( nθ ) + i sin ( nθ )
Nous définissons la notation exponentielle par

eiθ = cos θ + i sin θ
et donc tout nombre complexe s’écrit

z = ρ eiθ
où ρ = | z| est le module et θ = arg( z) est un argument.
0

Avec la notation exponentielle, on peut écrire pour z = ρ eiθ et z0 = ρ 0 eiθ

0
0
zz0 = ρρ 0 eiθ eiθ = ρρ 0 ei(θ+θ )


¡
¢
 n ¡ iθ ¢n
n

z = ρe
= ρ n eiθ = ρ n einθ
¡ iθ ¢ 1 −iθ

1/ z = 1/ ρ e = ρ e



z¯ = ρ e−iθ
¡ ¢n
La formule de Moivre se réduit à l’égalité : eiθ = einθ .
0
Et nous avons aussi : ρ eiθ = ρ 0 eiθ (avec ρ , ρ 0 > 0) si et seulement si ρ = ρ 0 et θ ≡ θ 0 (mod 2π).

4.12

Racines n-ième

Définition 5. Pour z ∈ C et n ∈ N, une racine n-ième est un nombre ω ∈ C tel que ωn = z.
Proposition 7.
Il y a n racines n-ièmes ω0 , ω1 , . . . , ωn−1 de z = ρ eiθ , ce sont :
ωk = ρ 1/n e

iθ +2i kπ
n

,

k = 0, 1, . . . , n − 1

Par exemple pour z = 1, on obtient les n racines n-ièmes de l’unité e2ikπ/n , k = 0, . . . , n − 1 qui forment un groupe
multiplicatif.
j = e2iπ/3

i

i

eiπ/3

−1 = eiπ

1 = e0
0

0

j 2 = e4iπ/3

1

e−iπ/3

Racine 3-ième de l’unité ( z = 1, n = 3)

Racine 3-ième de −1 ( z = −1, n = 3)

Les racines 5-ième de l’unité ( z = 1, n = 5) forment un pentagone régulier :
12

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

e2iπ/5

i

e4iπ/5

1
0

e6iπ/5
e8iπ/5

4.13

Applications à la trigonométrie

Voici les formules d’Euler, pour θ ∈ R :
cos θ =

eiθ + e−iθ
2

,

sin θ =

eiθ − e−iθ
2i

Ces formules s’obtiennent facilement en utilisant la définition de la notation exponentielle. Nous les appliquons
dans la suite à deux problèmes : le développement et la linéarisation.
Développement. On exprime sin nθ ou cos nθ en fonction des puissances de cos θ et sin θ .
Méthode : on utilise la formule de Moivre pour écrire cos ( nθ ) + i sin ( nθ ) = (cos θ + i sin θ )n que l’on développe avec
la formule du binôme de Newton.
Exemple 4.
cos 3θ + i sin 3θ

=

(cos θ + i sin θ )3

=

cos3 θ + 3i cos2 θ sin θ − 3 cos θ sin2 θ − i sin3 θ
¡ 3
¢ ¡
¢
cos θ − 3 cos θ sin2 θ + i 3 cos2 θ sin θ − sin3 θ

=

En identifiant les parties réelles et imaginaires, on déduit que
cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ

et

sin 3θ = 3 cos2 θ sin θ − sin3 θ .

Linéarisation. On exprime cosn θ ou sinn θ en fonction des cos kθ et sin kθ pour k allant de 0 à n.
³ iθ −iθ ´n
. On développe à l’aide du binôme de Newton puis on
Méthode : avec la formule d’Euler on écrit sinn θ = e −2ie
regroupe les termes par paires conjuguées.
Exemple 5.
3

sin θ

¶3
eiθ − e−iθ
2i
´
1 ³ iθ 3
( e ) − 3( eiθ )2 e−iθ + 3 eiθ ( e−iθ )2 − ( e−iθ )3
−8i
´
1 ³ 3iθ
e − 3 eiθ + 3 e−iθ − e−3iθ
−8i
µ

1 e3iθ − e−3iθ
eiθ − e−iθ

−3
4
2i
2i
sin 3θ 3 sin θ

+
4
4

µ
=
=
=
=
=

13

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

Trigonométrie
1. Formule des angles associés.
2. Formules d’addition.
3. Formules de duplication.
4. Formules de linéarisation.
5. Formules de transformation.
6. Formules de transformation de produit en somme.
7. Formules de transformation de somme en produit.
8. Formule de l’angle double.
9. Formule de l’angle moitié.
10. Formule des multiples d’un angle.
11. Puissance des fonctions circulaires

14

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

5

Formules trigonométriques

5.1

Définition
cos α =

ON côté adjacent
=
OM
hypoténus

x
M

MN côté opposé
sin α =
=
OM
hypoténus
tan α =

MN
côté opposé
=
ON
coté adjacent

N
O

cotanα =

ON
côté adjacent
=
MN
côté opposé

T

y
1
M

sin x

tan x

x

x
cos x

O

1

On a
∀x ∈ R

5.1.1

− 1 É cos( x) É 1

et − 1 É sin( x) É 1

Relations entre fonctions circulaires

1. tan( x) =
2. ∀ x ∈ R

sin( x)
cos( x)
2

cot( x) =

1
tan( x)

=

cos( x)
sin( x)

cos ( x) + sin2 ( x) = 1

3. ∀ k ∈ Z, ∀ x ∈ R \ { π2 + kπ}
4. ∀ k ∈ Z, ∀ x ∈ R \{ kπ}

1 + tan2 ( x) =
1 + cot2 ( x) =

1
cos2 ( x)

1
sin2 ( x)

5. sin et cos sont 2π périodiques tan et cotan sont π périodiques

5.2

Formules angles associés

1. cos(− x) = cos( x)

sin(− x) = − sin( x)

2. cos(π − x) = − cos( x)

sin(π − x) = sin( x)

3. cos(π + x) = − cos( x)

sin(π + x) = − sin( x)
15

y

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

4. cos( π2 + x) = − sin( x)

sin( π2 + x) = cos( x)

5. cos( π2 − x) = sin( x)

sin( π2 − x) = cos( x)
sin( π2 − x)
sin x

sin x

x

π
−x
x2
π cos x
cos( 2 − x)

cos x
−cos(
x − x)

sin(− x)
sin x
cos(π + x)

5.3

sin(π − x) sin x

xπ + x
cos x
sin(π + x)

cos(π − x)

xπ − x
cos x

Formules d’addition

1. cos(a ± b) = cos(a) cos( b) ± sin(a) sin( b)
2. sin(a ± b) = sin(a) sin( b) ± cos(a) cos( b)
3. tan(a ± b) =

5.4

tan(a)±tan( b)
1±tan(a) tan( b)

Formules de duplication

1. cos(2 x) = 2 cos2 ( x) − 1 = 1 − sin2 ( x) = cos2 ( x) − sin2 ( x)
2. sin(2 x) = 2 sin( x) cos( x)
3. tan(2 x) =

5.5

Formules de linéarisation

cos2 ( x) =

5.6

2 tan( x)
1−tan2 ( x)

1+cos(2 x)
2

sin2 ( x) =

1−cos(2 x)
2

Formules de transformation

1. a cos(
p x) + b sin( x) = r cos( x − φ) avec
r = a2 + b2 et cos(φ) = a/ r
sin(φ) = b/ r
2. t = tan( 2x )⇒cos( x) =

5.7

1− t2
1+ t2

sin( x) =

2t
1+ t2

tan( x) =

2t
1− t2

Formules de transformation de produits en sommes

1. cos(a) cos( b) = 21 [cos(a + b) + cos(a − b)]
2. sin(a) sin( b) = 12 [cos(a − b) − cos(a + b)]
3. sin(a) cos( b) = 12 [sin(a + b) + sin(a − b)]

5.8

Formules de transformation de sommes en produits
p+ q
p− q
2 ) cos( 2 )
p+ q
p− q
cos( p) − cos( q) = −2 sin( 2 ) sin( 2 )
p+ q
p− q
sin( p) + sin( q) = 2 sin( 2 ) cos( 2 )
p+ q
p− q
sin( p) − sin( q) = 2 cos( 2 ) sin( 2 )

1. cos( p) + cos( q) = 2 cos(
2.
3.
4.

5.9

Formule de l’angle double

sin 2 x
cos 2 x

=
=

tan 2 x

=

2 sin x cos x
cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos x − 1
2 tan x
1 − tan2 x
16

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

5.10

Formule de l’angle moitié

sin 2x

=

cos 2x

=

tan 2x

=

5.11

Formule des multiples d’un angle

sin 3 x
cos 3 x

=
=

tan 3 x
sin 4 x
cos 4 x

=
=
=

tan 4 x

=

5.12
sin2 x
cos2 x
sin3 x
cos3 x
sin4 x
cos4 x

6

q
x
± 1−cos
q 2
x
± 1+cos
q 2
cos x
± 11−
+cos x

3 sin x − 4 sin3 x
4 cos3 x − 3 cos x
3 tan x−tan3 x
1−3 tan2 x

4 cos x sin x − 8 sin3 x cos x
8 cos4 x − 8 cos2 x + 1
4 tan x−4 tan3 x
1−6 tan2 x+ tan4 x

Puissances des fonctions circulaires
=
=
=
=
=
=

1
2
1
2
3
4
3
4
3
8
3
8

− 12 cos 2 x;
+ 12 cos 2 x;
sin x − 41 sin 3 x;
cos x − 14 cos 3 x;
− 12 cos 2 x + 18 cos 4 x;
+ 12 cos 2 x + 18 cos 4 x;

Formules de trigonométrie hyperboliques
ch( x) =

e x + e− x
e x − e− x
sh( x)
ch( x)
, sh( x) =
, th( x) =
, coth( x) =
2
2
ch( x)
sh( x)

On a

e x = ch( x) + sh( x), e− x = ch( x) − sh( x), ch2 ( x) − sh2 ( x) = 1
6.0.1

6.0.2

Formules d’addition
ch(a + b)
sh(a + b)

=
=

th(a + b)

=

ch(a) ch( b) + sh(a) sh( b)
sh(a) ch( b) + ch(a) sh( b)
th(a) + th( b)
1 + th(a) th( b)

=
=

th(a − b)

=

ch(a) ch( b) − sh(a) sh( b)
sh(a) ch( b) − ch(a) sh( b)
th(a) − th( b)
1 − th(a) th( b)

Formules d’angle double
ch(2 x)

ch2 ( x) + sh2 ( x)

=
=

6.0.3

ch(a − b)
sh(a − b)

2

2

2 ch ( x) − 1 = 2 sh ( x) + 1

sh(2 x)

=

th(2 x)

=

2 sh( x) ch( x)
2 th( x)
1 + th2 ( x)

Formules du demi angle
ch2 ( x) =

ch(2 x) − 1
sh(2 x)
ch(2 x) − 1
1 + ch(2 x)
, sh2 ( x) =
, th( x) =
=
2
2
1 + ch(2 x)
sh(2 x)

En posant t = th( 2x ) on a
ch( x) =

1 + t2
2t
2t
, sh( x) =
, th( x) =
1 − t2
1 − t2
1 + t2

17

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

6.0.4

Sommes, différences et produits de fonctions hyperboliques
ch( p) + ch( q)
sh( p) + sh( q)

=
=

th( p) + th( q)

=

p+ q

p− q

2 ch( 2 ) ch( 2 )
p+ q
p− q
2 sh( 2 ) ch( 2 )
sh( p + q)
ch( p) ch( q)

ch( p) − ch( q)
sh( p) − sh( q)

=
=

th( p) − th( q)

=

p+ q

p− q

2 sh( 2 ) sh( 2 )
p+ q
p− q
2 ch( 2 ) sh( 2 )
sh( p − q)
ch( p) ch( q)

Procédé mathématiques à retenir ” coco-sisi-sico-cosi” pour l’ordre des fonctions.
Les produits ch(a) ch( b), sh(a) sh( b) sh(a) ch( b) et ch(a) sh( b) s’obtiennent à partir des formules d’addition.

Analyse
1. Etude globale d’une fonction.
2. Fonctions circulaires
3. Fonctions logarithme et exponentielle
4. Fonctions circulaires inverses

18

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

7

Etude globale d’une fonction

7.1

Limites uselles

7.2

Opérations sur les limites

7.3

Dérivée

7.4

Opération sur les dérivées

Soient u, v deux fonctions réelles d’une variable réelle, k est une constante et α un réel.
1. ( u + v)0 = u0 + v0
2. ( ku)0 = ku0
3. ( uv)0 = u0 v + uv0
0

4. ( u1 )0 = − uu2
0

5. ( uv )0 = − u vv−2uv

0

6. ( uov)0 = v0 .( u0 ov), ( u(v( x)))0 = v0 ( x) u0 (v( x))
7. ( e u )0 = u0 e u
8. (ln u)0 =
α 0

u0
u , u à valeurs
0 α−1

strictement positives

9. ( u ) = α u u

7.5

Dérivées des fonctions usuelles

f ( x)
k
x
xn , n ∈ N
1
xn ,

1
x

n ∈ N∗
p
x

xα , α ∈ R
ln x
ex
sin x
cos x

8
8.1

f 0 ( x)
0
1
nx n−1
− x12
− xnn+1

1
p
2 x
α−1

Intervalle de dérivabilité
] − ∞, +∞[
] − ∞, +∞[
] − ∞, +∞[
] − ∞, 0[ ou ]0, +∞[
] − ∞, 0[ ou ]0, +∞[
]0, +∞[

αx

1
x
x

e
cos x
− sin x

]0, +∞[
]0, +∞[
] − ∞, +∞[
] − ∞, +∞[
] − ∞, +∞[

Fonctions circulaires
Propriétés des fonctions circulaires

On a

cos : R
x


7→

[−1, 1]
cos x

La fonction cos est périodique de période 2π
∀x ∈ R

cos( x + 2π) = cos x.

La fonction cos est paire
∀ x ∈ R, cos(− x) = cos( x)

La fonction cos est continue, bornée et dérivable

d cos x
= − sin x
dx
On a

sin : R
x


7→

19

[−1, 1]
sin x

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

La fonction sin est périodique de période 2π
∀x ∈ R

sin( x + 2π) = sin x.

La fonction sin est impaire
∀ x ∈ R, sin(− x) = − sin( x)

La fonction sin est continue, bornée et dérivable

d sin x
= cos x
dx
On a

tan : R\{(2 k + 1) π2 , k ∈ Z}
x


7→

R
tan x

La fonction tan est périodique de période π
π
∀ x ∈ R\{(2 k + 1) , k ∈ Z}
2

La fonction tan est impaire
∀ x ∈] −

tan( x + π) = tan x.

π π
, [, tan(− x) = − tan( x)
2 2

La fonction tan est continue sur R\{(2 k + 1) π2 , k ∈ Z} et dérivable
1
d tan x
= 1 + tan2 x =
dx
cos2 x
La fonction tan n’est pas bornée
lim tan( x) = +∞,

x→+ π2

On a

lim tan( x) = −∞

x→− π2

cotan : R\{ kπ, k ∈ Z}
x


7


R
cotan x

La fonction cotan est périodique de période π
∀ x ∈ R\{ kπ, k ∈ Z}

La fonction cotan est impaire

cotan( x + π) = cotan x.

π
, 0[∪]0 [, cotan(− x) = − cotan( x)
2
2
La fonction cotan est continue sur R\{ kπ, k ∈ Z} et dérivable

∀ x ∈] −

π

d cotan x
1
=−
= −(1 + cotan2 x)
dx
sin2 x
La fonction cotan n’est pas bornée
lim cotan( x) = +∞, lim− cotan( x) = −∞
x →π

x→0+

8.2

Graphe des fonctions circulaires

La fonction cos

y
+1

−π

0

cos x

x


π

−1

La fonction sin

20

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

y
+1

f ( x) = sin x
0

−π

x sin x


π

−1

La fonction cotan

y

−π

−π/2

0

π

π/2

x


3π/2

co tan x
cotanx

co tan x

La fonction tan
tan x

y

tan x
tan x

+1

x
−π

−π/2

0

π

π/2



3π/2

−1

9
9.1

Fonctions logarithme et exponentielle
Logarithme

Proposition 8.
Il existe une unique fonction, notée ln :]0, +∞[→ R telle que :
ln0 ( x) =

1
x

(pour tout x > 0)

De plus cette fonction vérifie (pour tout a, b > 0) :
21

et

ln(1) = 0.

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

1. ln(a × b) = ln a + ln b,
2. ln( a1 ) = − ln a,
3. ln(a n ) = n ln a, (pour tout n ∈ N)
4. ln est une fonction continue, strictement croissante et définit une bijection de ]0, +∞[ sur R,
5. lim x→0 ln(1x+ x) = 1,
6. la fonction ln est concave et ln x É x − 1 (pour tout x > 0).
y

ln x
1

0

1

x

e

Remarque. ln x s’appelle le logarithme naturel ou aussi logarithme néperien. Il est caractérisé par ln( e) = 1. On
définit le logarithme en base a par
ln( x)
loga ( x) =
ln(a)
De sorte que loga (a) = 1.
Pour a = 10 on obtient le logarithme décimal log10 qui vérifie log10 (10) = 1 (et donc log10 (10n ) = n). Dans la
y
pratique on utilise l’équivalence : x = 10 ⇐⇒ y = log10 ( x) En informatique intervient aussi le logarithme en
base 2 : log2 (2n ) = n.

9.2

Exponentielle

Définition 6. La bijection réciproque de ln :]0, +∞[→ R s’appelle la fonction exponentielle, notée exp : R →]0, +∞[.
y

exp x

e

1

0

Pour x ∈ R on note aussi e x pour exp x.
Proposition 9.
La fonction exponentielle vérifie les propriétés suivantes :
– exp(ln x) = x pour tout x > 0 et ln(exp x) = x pour tout x ∈ R
– exp(a + b) = exp(a) × exp( b)
– exp( nx) = (exp x)n
22

1

x

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

– exp : R →]0, +∞[ est une fonction continue, strictement croissante vérifiant lim x→−∞ exp x = 0 et lim x→+∞ exp =
+∞.
– La fonction exponentielle est dérivable et exp0 x = exp x, pour tout x ∈ R. Elle est convexe et exp x Ê 1 + x
Remarque. La fonction exponentielle est l’unique fonction qui vérifie exp0 ( x) = exp( x) (pour tout x ∈ R) et exp(1) =
e. Où e ' 2, 718 . . . est le nombre qui vérifie ln e = 1.

9.3

Puissance et comparaison

Par définition, pour a > 0 et b ∈ R,
¡
¢
a b = exp b ln a
¢
¡
p
1
Remarque. – a = a 2 = exp 21 ln a
¡
¢
p
1
– n a = a n = exp n1 ln a (la racine n-ième de a)
¡
¢
– On note aussi exp x par e x ce qui se justifie par le calcul : e x = exp x ln e = exp( x).
– Les fonctions x 7→ a x s’appellent aussi des fonctions exponentielles et se ramènent systématiquement à la fonction exponentielle classique par l’égalité a x = exp( x ln a). Il ne faut surtout pas les confondre avec les fonctions
puissances x 7→ xa .

Comparons les fonctions ln x, exp x avec x :
Proposition 10.
lim

x→+∞

ln x
=0
x

et

lim

x→+∞

y

exp x
= +∞.
x

exp x

xa

(a > 1)

x
xa

(a < 1)

ln x
1

0

10
10.1

1

x

Fonctions circulaires inverses
Arccosinus

Considérons la fonction cosinus cos : R → [−1, 1], x 7→ cos x. Pour obtenir une bijection à partir de cette fonction, il
faut considérer la restriction de cosinus à l’intervalle [0, π]. Sur cet intervalle la fonction cosinus est continue et
strictement décroissante, donc la restriction
cos| : [0, π] → [−1, 1]
est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arccosinus :
arccos : [−1, 1] → [0, π]
23

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

y
π

arccos x

y
+1
π
2

x
−π

−π
2

0

π

π
2

x
−1

cos x

−1

On a donc, par définition de la bijection réciproque :
¡
¢
cos arccos(
x)¢ = x
¡
arccos cos( x) = x

0

1

∀ x ∈ [−1, 1]
∀ x ∈ [0, π]

Autrement dit :

x ∈ [0, π]

Si

cos( x) = y ⇐⇒ x = arccos y

Terminons avec la dérivée de arccos :
−1
arccos0 ( x) = p
1 − x2

∀ x ∈] − 1, 1[

Démonstration. On démarre de l’égalité cos(arccos x) = x que l’on dérive :
cos(arccos x) = x
=⇒ − arccos0 ( x) × sin(arccos x) = 1
−1
sin(arccos x)
−1
=⇒ arccos0 ( x) = p
1 − cos2 (arccos x)
−1
=⇒ arccos0 ( x) = p
1 − x2
=⇒ arccos0 ( x) =

(∗)

Le point crucial (∗) se justifie ainsi : on démarre de l’égalité cos2 y + sin2 y = 1, en substituant y p
= arccos x on
obtient cos2 (arccos x) + sin2 (arccos x) = 1 donc x2 + sin2 (arccos x) = 1. On en déduit : sin(arccos x) = + 1 − x2 (avec
le signe + car arccos x ∈ [0, π]).

10.2

Arcsinus

La restriction

π π
sin| : [− , + ] → [−1, 1]
2 2
est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arcsinus :
π π
arcsin : [−1, 1] → [− , + ]
2 2
y
π
2

arcsin x

y
+1

x

sin x

−1

0

x
−π

−π
2

0

π

π
2

−π
2

−1

24

1

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

¡
¢
sin arcsin(
x)¢ = x
¡
arcsin sin( x) = x

x ∈ [− π2 , + π2 ]

Si

∀ x ∈ [−1, 1]
∀ x ∈ [− π2 , + π2 ]

sin( x) = y ⇐⇒ x = arcsin y

1
arcsin0 ( x) = p
1 − x2

10.3

∀ x ∈] − 1, 1[

Arctangente

La restriction

π
, + [→ R
2 2
est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arctangente :

tan| :] −

π

arctan : R →] −
y

π

π
,+ [
2 2

tan x

−π

π

−π
2

π
2

x

2

π
2

y
arctan x

0

−π
2

¡
¢
tan arctan(
x)¢ = x
¡
arctan tan( x) = x

Si

x ∈] − π2 , + π2 [

tan( x) = y ⇐⇒ x = arctan y

arctan0 ( x) =

11
11.1

∀x ∈ R
∀ x ∈] − π2 , + π2 [

1
1 + x2

∀x ∈ R

Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses
Cosinus hyperbolique et son inverse

Pour x ∈ R, le cosinus hyperbolique est :
ch x =

e x + e− x
2

La restriction ch| : [0, +∞[→ [1, +∞[ est une bijection. Sa bijection réciproque est argch : [1, +∞[→ [0, +∞[.

25

x

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

y
ch x
sh x

y
1

argsh x
argch x
0

1

1

x

0

11.2

1

x

Sinus hyperbolique et son inverse

Pour x ∈ R, le sinus hyperbolique est :
sh x =

e x − e− x
2

sh : R → R est une fonction continue, dérivable, strictement croissante vérifiant lim x→−∞ sh x = −∞ et lim x→+∞ sh x =
+∞, c’est donc une bijection. Sa bijection réciproque est argsh : R → R.
Proposition 11.

ch2 x − sh2 x = 1.
ch0 x = sh x, sh0 x = ch x.
argsh : R → R est strictement croissante et continue.
argsh est dérivable et argsh0 x = p 12 .
x +1
p
¡
¢
– argsh x = ln x + x2 + 1 .






11.3

Tangente hyperbolique et son inverse

Par définition la tangente hyperbolique est :
th x =

sh x
ch x

La fonction th : R →] − 1, 1[ est une bijection, on note argth :] − 1, 1[→ R sa bijection réciproque.

26

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

y
argth x

y
1

−1

th x

0

x

0

−1

11.4

Trigonométrie hyperbolique
ch2 x − sh2 x = 1
ch(a + b) = ch a · ch b + sh a · sh b
ch(2a) = ch2 a + sh2 a = 2 ch2 a − 1 = 1 + 2 sh2 a
sh(a + b) = sh a · ch b + sh b · ch a
sh(2a) = 2 sh a · ch a

th(a + b) =

th a + th b
1 + th a · th b

ch0 x = sh x
sh0 x = ch x
th0 x = 1 − th2 x =

argch0 x = p
argsh0 x = p

1

x2 − 1
1

1
ch2 x

( x > 1)

x2 + 1
1
argth0 x =
(| x| < 1)
1 − x2

p
¡
¢
argch x = ln x + x2 − 1 ( x Ê 1)
p
¡
¢
argsh x = ln x + x2 + 1 ( x ∈ R)
µ

1
1+ x
argth x = ln
(−1 < x < 1)
2
1− x

27

1

x

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

12

Développement limité

12.1

Développement limité

12.1.1

Développement limité

Si f définie au voisinage de x0 , V ( x0 ), alors f admet un DL d’ordre n au V ( x0 ) ⇔ ∃P n polynôme de g(P n ) É n /
f ( x) = P n ( x) + ( x − x0 )ε( x) avec lim ε( x) = 0
x → x0

P n ( x) : partie régulière,

12.1.2

( x − x0 )ε( x) : reste,

alors f ( x) ∼ P n ( x).

Unicité :

Si f possède un DL d’ordre n au V (0) il est unique.
12.1.3

Troncature

Si f possède un DL d’ordre n au V (0) de partie régulière P n ( x) =

p de partie régulière P p ( x) =

12.1.4

p
P

n
P
k=0

a k xk .

k=0

Parité :

Soit f posséde un DL d’ordre n au V (0) de partie régulière P n ( x).
– f ( x) paire ⇒ P n ( x) paire.
– f ( x) impaire ⇒ P n ( x) impaire.
12.1.5

Continuité et dérivabilité

Soient I ⊂ R, 0 ∈ I et f une fonction définie sur I , alors
– f continue en 0 ⇔ f admet au V (0) un DL au moins d’ordre 0.
– f dérivable en 0 ⇔ f admet au V (0) un DL au moins d’ordre 1.
12.1.6

Formule de Taylor Young

Si f est n fois dérivable au V (0) alors f ( x) =

12.1.7

n f ( k) (0)
P
x k + o( x n )
k!
k=0

Exemples de DL des fonctions usuelles

∀ x ∈ V (0) on a :

xn
x
1. (1 + x)α = 1 + α + ... + α(α − 1)...(α − n + 1) + o( x n )
1!
n!
1 p
1
1 2 1 3
3
α=
1+ x = 1+ x− x +
x + o( x )
2
2
8
16
1
α = −1
= 1 − x + x2 + ... + (−1)n x n + o( x n )
1+ x
1
1
1
3
5 3
α=−
= 1 − x + x2 −
x + o( x3 )
p
2
2
8
16
1+ x
x
xn
2. e x = 1 + + ... +
+ o( x n )
1!
n!
x2
x2 p
3. cos( x) = 1 −
+ ... + (−1) p
+ o( x2 p+1 )
2!
(2 p)!
x3
x2 p−1
4. sin( x) = x −
+ ... + (−1) p−1
+ o( x2 p )
3!
(2 p − 1)!
x2 x3
xn
5. ln(1 + x) = x −
+
+ ... + (−1)n−1
+ o( x n )
2
3
n
1
6.
= 1 + x + x2 + ... + x n + o( x n )
1− x

28

a k x k , soit p É n, alors f admet un DL d’ordre

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

12.2

Opérations sur les DL

Soit ∀ x ∈ V (0) f ( x) = P ( x) + o( x n ) et g( x) = Q ( x) + o( x n )
1. Somme : ( f + g)( x) = P ( x) + Q ( x) + o( x n )
2. Produit : ( f .g)( x) = [P ( x).Q ( x)]n + o( x n )
3. Composé : lim f ( x) = 0 alors ( go f )( x) = [Q (P ( x))]n + o( x n )
x →0

4. Quotient : f / g division suivant puissance %
R P ( x) par Q ( x)
5. Primitive : Si f contine alors F ( x) = F (0) + P ( x) + o( x n+1 ) sa primitive.
6. Dérivé : f 0 ( x) = P 0 ( x) + o( x n−1 )

12.3

Etude locale d’une courbe

Soit ∀ x ∈ V (a) et n Ê 2 et C f la courbe de f , on suppose qu’on a
f ( x) = a 0 + a 1 ( x − a) + ... + a n ( x − a)n + o( x − a)n

12.3.1

Position par rapport à la tangente en un point

L’équation de la tangente à C f au point (a, f (a)) s’écrit
T a : y = a 0 + a 1 ( x − a) = f (a) + f 0 (a)( x − a)
Si n est pair : C f se trouve
1. Au dessus de T a si a n > 0.
2. Au dessous de T a si a n < 0.
Si n est impair : C f traverse T a et se trouve
1. Au dessus de T a si (a n > 0 et x > a) ou (a n < 0 et x < a).
2. Au dessous de T a si (a n > 0 et x < a) ou (a n < 0 et x > a).
12.3.2

Position par rapport à une asymptote horizontale

C’est un DL de la forme f ( x) = a +
Si n est pair : C f se trouve

an
1
+ o( n )
xn
x

1. Au dessus de l’asymptote y = a si a n > 0.
2. Au dessous de l’asymptote y = a si a n < 0.
Si n est impair : on peut dresser le tableau suivant
1. Au dessus de l’asymptote y = a si si g(a n ).si g( x) > 0.
2. Au dessous de l’asymptote y = a si si g(a n ).si g( x) < 0.
12.3.3

Position par rapport à une asymptote oblique

an
1
+ o( n )
n
x
x
l’asymptote oblique est de la forme y = α x + β et les conclusions comme les asymptotes horizontales.
On utilise f ( x) = α x + β +

13
13.0.4

Intégration et dérivation
Propriété d’une intégrale

Soit f , g ∈ CM([a, b],R).
Rx
1. f Ê 0 sur [a, b] ⇔ ∀ x ∈ [a, b] a f Ê 0.
Rb
Ra
Ra
2. a f = − b f et a f = 0.
Rb
Rb
Rb
3. Linéarité : λ ∈ R, on a a ( f + λ g) = a f + λ a g.
Rb
Rb
4. Croissance : f É g ⇒ a f É a g.
¯R ¯ R
¯ b ¯
b
5. Valeur absolue : a < b ⇒ ¯ a f ¯ É a | f |.
Rb
Rb
6. Comparaison : a < b et f < g ⇒ a f É a g.

29

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

Rb

Rb
f ( x) dx + c f ( x) dx.
1 Rb
8. Valeur moyenne de f sur [a, b] est
f.
b−a a
¯R
¯
¯R ¯
Rb
¯ b
¯
¯ b ¯
9. Inégalité de la moyenne : ¯ a f .g¯ É sup | f | . a | g| en particulier ¯ a f ¯ É | b − a| sup | f |

7. Relation de Chasles :

a

f ( x) dx =

Rc
a

[a,b]

[a,b]

13.0.5

Théorème de Cauchy Schwarz
¯R
¯ ³R
´1/2 ³R
´1/2
¯ b
¯
b
b
Soient f , g ∈ C ([a, b] , R) ⇒ ¯ a f .g¯ É a f 2
. a g2

13.0.6

Théorème de Darboux Riemann

Soit f ∈ C ([a, b] , R) ⇒

13.1

Rb
a

f = lim

n→∞

n
b−a
b−a P
f (a + k
)
n k=1
n

Primitive et intégration d’une fonction continue

Soit f : I 7−→ R, F : I 7−→ R et a ∈ I .
1. F primitive de f si F est dérivable sur I et ∀ x ∈ I on a F 0 ( x) = f ( x).
Rx
2. F ( x) = a f ( t) dt est l’unique primitive de f qui s’annule en a.
Rx
3. a f ( t) dt = [F ( x)]ax = F ( x) − F (a).
R ψ( x )
4. f ∈ C p ( I, R) et ψ, ϕ ∈ C p+1 ( J, I ) et Ω( x) = ϕ( x) f ( t) dt alors Ω ∈ C p+1 ( J, R) et on a
R ψ( x )
Ω0 ( x) = ( ϕ( x) f ( t) dt)0 = ψ0 ( x) f (ψ( x)) − ϕ0 ( x) f (ϕ( x)).
5. Primitive usuelle :
R 0
f + α g0 = f + α g
R

13.2

f n. f 0 =

R

f 0 .g + f .g0 = f .g

f n+1
( n 6= −1)
n+1

R f0
= log | f |
f

R f 0 .g − f .g0
f
=
g
g2
p
R f0
p = f.
2 f

Intégration par parties

1
Soient
de
R bclasse0 C sur I et a, b ∈ I alors :
R b 0 f et g deux fonctions
b
a f ( x) g( x) dx = [ f ( x) g( x)]a − a f ( x) g ( x) dx

13.3

Changement de variable

Soient f continue sur I et ϕ de classe C 1 sur J à valeurs dans I alors ∀α, β ∈ J on a

R ϕ(β)
0
α f (ϕ( t))ϕ ( t) dt = ϕ(α) f ( x) dx

13.4

Formule de Taylor

13.4.1

Formule de Taylor avec reste d’intégrale

Soient f de classe C 1 sur I , n ∈ N et a ∈ I alors on a ∀ b ∈ I
Z
n f ( k ) ( a)
1 b
P
f ( b) =
( b − a) k +
( b − x)n f ((xn)+1) dx
k!
n! a
k=0
|
{z
}
reste d 0 int e´ gral e

13.4.2

Inégalité de Taylor

¯
¯
Soient f de classe C 1 sur I , n ∈ N, supposons qu’il existe A ∈ R∗ tel que ∀ x ∈ I ¯ f (n+1) ( x)¯ É A alors ∀a, b ∈ I on a
¯
¯
( k)
n
¯
¯
¯ f ( b) − P f ( x) ( b − a) x ¯ É M | b − a|n+1
¯
¯ ( n + 1)!
k!
k=0

30

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

13.5

Exemple de calcule primitive

Soit P ∈ Rn [ x], ensemble des ’polynôme’ de degré inférieur ou égale à n. Le calcule de

R

f ( x) dx

1. f ( x) = P eα x ou f ( x) = P cos(α x) ou f ( x) = P sin(α x) se fait par n intégration par partie
2. f ∈ Rn ( x) (une fraction polynômiale) :se fait par une décomposition en éléments simples
(a) Primitives d’un élément simple de première espèce.
Il s’agit de calculer
Z
dx
, n entier Ê 1.
( x − a) n
Deux cas se présentent
Z
dx
n = 1,
= ln | x − a | + c
x
−a
Z
1
dx
= −
n Ê 2,
+ c.
( x − a) n
( n − 1)( x − a)n−1
(b) Primitives d’un élément simple de seconde espèce.
Il s’agit de calculer
Z
ax + b
dx, n ∈ IN ∗
( x2 + px + q)n
avec p2 − 4 q < 0
Première étape

ax + b =
On pose
u = x2 + px + q et λ = b −

pa
2 ,

Z

pa
a
(2 x + p) + b −
2
2

par suite

ax + b
a
dx =
2
n
2
( x + px + q)

Z

du

un

dx

Z

( x2 + px + q)n

du
est la primitive d’un élément simple de première espèce, il reste à calculer
un
Deuxième étape
On décompose x2 + px + q en somme de deux carrés

Z

x2 + px + q
q
p
où t = x + 2 et k = q −
Si
1, alors
R n=
dx
= 1k Arctg kt
x2 + px+ q

Si n Ê 2 on pose

t
k

p2
4

car q −

p2
4

=
=

p

( x + 2 )2 + q −
t2 + k 2

p2
4

> 0.

= tgθ , on obtient
Z

dx
( x2 + px + q)n

=
=

1 + tg2 θ

2 n
Z (1 + tg θ )
k1−2n cos2n−2 θ d θ ,

k1−2n

Z

que l’on calcule par linéarisation et éventuellement changement de variable.
3. f ( x) = cosm ( x) sinn ( x) : si m et n sont pairs : par linéarisation
si m et n sont impairs : chagement de variable
4. Régle de Bioche :
Soit f ( x) = g(sin( x), cos( x)) dans le cas où f ( x) dx est invariante
par le changent x par − x. On pose t = cos( x) et dt = − sin( x) dx
par le changent x par π − x. On pose t = sin( x) et dt = cos( x) dx
par le changent x par π + x on pose t = tan( x) et
1
dx = (1 + tan2 ( x)) dx
dt =
cos2 ( x)
Sinon on peut poser t = tan( 2x )
5. f ( x) =

q
n

ax+ b
cx+ d

chagement de variable t =

q
n

ax+ b
cx+ d

31

Z

dx
( x2 + px + q)n

.

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

13.6

Table de certaines primitives

Primitives de bases

Z

Z

udv = uv −

1.

vdu

1
u n+1 + c, si n 6= −1
n+1

Z

u n du =

Z

1
du = ln | u | + c
u

Z

e u du = e u + c

Z

a u du =

2.
3.
4.
5.

1 u
a +c
lna

Z

sinudu = − cosu + c

6.
Z

cosudu = sinu + c

7.
Z

tgudu = − ln | cosu | + c

8.

du

Z

9.

p

a2 − u 2

u
= Arcsin( ) + c
a

du
1
u
= Arctg( ) + c
a
a2 + u 2 a
Z
p
du
= ln | u + u2 − a2 | + c
11.
p
u 2 − a2
Z
1
du
u+a
=
12.
ln |
| + c.
u−a
a2 − u 2 2 a
Z

10.

Primitives de fonctions rationnelles de u et

13.

Z p
Z

14.
Z

15.
Z

16.
Z

17.
Z

18.
Z

19.
Z

20.

a2 + u2 du =

p

a2 + u 2

p
up 2
a2
a + u2 +
ln | u + a2 + u2 | + c
2
2

p
p
u 2
a4
(a + 2 u2 ) a2 + u2 − ln | + a2 + u2 | + c
8
8
p
p
p
a2 + u 2
a + a2 + u 2
du = a2 + u2 − aln |
| +c
u
a
p
p
p
a2 + u 2
a2 + u 2
du = −
+ ln | u + a2 + u2 | + c
2
u
u
p
du
= ln | u + a2 + u2 | + c
p
a2 + u 2
p
u2 du
up 2
a2
=
a + u2 −
ln | u + a2 + u2 | + c
p
2
a2 + u 2 2
p
du
1
a2 + u 2 + a
= − ln |
| +c
p
a
u
u a2 + u 2
p
du
a2 + u 2
=−
| + c.
p
a2 u
u 2 a2 + u 2

u2

p

a2 + u2 du =

32

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

14
14.1

Equation différentielle
Equation différentielle linéaire du premier ordre

Soit a( x), b( x) ∈ C ( I, R) et (E ) :a( x) y0 ( x) + b( x) y( x) = c( x)
L’équation homogéne est (E 0 ) :a( x) y0 ( x) + b( x) y( x) = 0 a une solution qui s’écrit :
∀ x ∈ I a( x) 6= 0
La solution générale de l’équation (E) est donnée par

y0 ( x) = λ e−

R

b ( x)
a( x) dx

avec λ ∈ R

yg ( x) = y0 + yp ( x)
où yp ( x) est une solution particulière de l’équation (E). Si yp ( x) n’est pas une solution particuliére apparente, on
utilise la méthode
de la variation de la constante de Lagrange. On pose
R

yp ( x) = λ( x) e−

14.2

b ( x)
a( x) dx

qu’on injecte dans l’éqution E et on cherche la fonction λ( x).

Equation différentielle linéaire du second ordre à coeffcients constants.

Etape 0 : On cherche à résoudre l’équation différentielle (E) : a y00 ( x) + b y0 ( x) + c y( x) = f ( x) ; où a ; b et c sont des
constantes réelles. On associe à (E) l’équation homogène (H) : a y00 ( x) + b y0 ( x) + c y( x) = 0 :
Etape 1 : On cherche les solutions générales yG ( x) de (H) : a y00 ( x) + b y0 ( x) + c y( x) = 0 :
1. Equation caractéristique. On associe à (H) l’équation caractéristique (EC) suivante
(EC) : ar 2 + br + c = 0;
et on note 4 = b2 − 4ac son discriminant.
2. Les solutions générales yG ( x) de (H) sont données par le tableau suivant.
Discriminant 4
4>0

4=0

4<0

Racines de l’équation (EC)
Deux racines p
réelles
(
r 1 = −b2−ap4
r 2 = −b2+a 4
Une racine double
b
r1 = r2 = r = −
2a
Deux
racines
complexes

r 1 = α + iβ


r 2 = α − iβ
p


−4
b
α= −
2a , β = 2a

Ensemble des solutions de (H) : S (H )
{λ e r 1 x + µ e r 2 x ; λ; µ ∈ R.}
{(λ x + µ)e rx ; λ; µ ∈ R.}

{(λ cos(β x) + µ sin(β x))eα x ; λ; µ ∈ R.}

Etape 2 : On cherche une solution particulière yp ( x) de (E) : a y00 ( x) + b y0 ( x) + c y( x) = f ( x) :
1. Principe de superposition. Si f ( x) = f 1 ( x) + f 2 ( x) + . . . + f n ( x), on cherche une solution particulière yp k ( x) de
l’équation (Ek) a y00 ( x) + b y0 ( x) + c y( x) = 0 = f k ( x). Une solution particulière yp ( x) de (E) est alors donnée par

y p ( x ) = y p 1 ( x ) + y p 2 ( x ) + . . . + y p n ( x ).
2. Utilisation du tableau. On cherche une solution particulière yp ( x) sous une certaine forme en utilisant le
tableau ci-dessous.
3. Calcul de yp ( x). Une fois la forme de yp ( x) identifiée, on calcule y0p ( x) et y00p ( x) puis on injecte ces quantités
dans l’équation (E) ce qui permet d’identifier les paramètres défnissant yp ( x).
Etape 3 Les solutions de (E) sont données par :

S (E ) = { y( x) = yG ( x) + yp ( x); λ; µ ∈ R }
Etape 4 : Si il y a des conditions initiales y( x0 ) = z0 et y0 ( t 0 ) = s 0 , on calcule les constantes λ et µ correspondantes
en injectant les conditions initiales dans la solution trouvée dans l’étape 3. On obtient alors une unique solution
au problème.
Tableau : Dans ce tableau, P ( x) est un polynôme, ω, α, β et k sont des nombres réels. D’autre part, Q ( x) est un
polynôme de même degré que P ( x) à déterminer, et A, B, . . . sont des constantes réelles à déterminer.

33

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

Second membre f (x)
f (x) = k = cste
f (x) = P(x)

f (x) = α e kx

f (x) = P(x)e kx
f (x) = α cos(ω x) + β sin(ω x)
f (x) = e kx α cos(ω x) + β sin(ω x)

Solution Particulière yp (x)
yp (x) = A = cste

 y p (x) = Q(x) si c 6= 0;
y (x) = xQ(x) si c = 0 et b 6= 0;
 p
yp (x) = x2 Q(x) si c = b = 0;

kx

 y p (x) = Ae si k pas racine de (EC) : k 6= r 1 k 6= r 2
yp (x) = Axe kx si k racine simple de (EC) : r 1 6= r 2 k = r 1 ou r 2


2 kx
 yp (x) = Ax e si k racine double de (EC) : r 1 = r 2 = k = r
kx

 yp (x) = Q(x)e si k pas racine de (EC) : k 6= r 1 k 6= r 2
yp (x) = xQ(x)e kx si k racine simple de (EC) : r 1 6= r 2 k = r 1 ou r 2


yp (x) = x2 Q(x)e kx si k racine double de (EC) : r 1 = r 2 = k = r
½
yp (x) = A cos(ω x) + Bsin(ω x) si i ω pas racine de (EC) :
yp (x) = x(A cos(ω x) + Bsin(ω x)) si i ω racine de (EC) :
(
yp (x) = e kx (A cos(ω x) + Bsin(ω x)) si k + i ω pas racine de (EC) :
yp (x) = xe kx (A cos(ω x) + Bsin(ω x)) si k + i ω racine de (EC) :

34

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

14.3

Dérivées et primitives de fonctions usuelles
Annexe A

Dérivées primitives de
fonctions usuelles
f (x)
a
xa
1
x
1
a2 + x2
1
a2 − x2
1
a2 + x2
p
x2 + a2

p

x2 − a2

p

a2 − x2

p 1
x2 + a2
p 1
x2 − a2
p 1
a2 − x2
ex

Dérivée de f
0
axa−1
−1
x2
−2 x
2
( a + x 2 )2
2x
( a 2 − x 2 )2
−2 x
( x 2 − a 2 )2
p x
x2 + a2
p x
x2 − a2
p −x
a2 − x2
p −x
( x 2 + a 2 )3
p −x
( x 2 − a 2 )3
p x
( a 2 − x 2 )3
ex

ax
ln x
sin x
cos x
tan x
cot x

a x ln a
cos x
− sin x
1 + tan2 x
−(1 + coth2 x)

1
sin x
1
cos x

− cos x
sin2 x
sin x
cos2 x

1
x

Une primitive de f
ax
1
a+1
a+1 x
ln | x|

Conditions
a 6= −1, x > 0
x 6= 0

x
1
a arctan a
1
a+ x
2a ln | a− x |
1
x− a
2a ln | x+a |
p
p
2
x
2
2 a
2
2
2 x + a + 2 ln(x + x + a )
p
p
2
x
2
2 a
2
2
2 x − a − 2 ln | x + x − a |
p
2
x
x
2
2 a
2 a − x + 2 arcsin a
p
ln(x + x2 + a2 )

ln | x +

p

x2 + a2 |

a 6= 0
a 6= 0, x 6= ±a
a 6= 0, x 6= ±a
a 6= 0
a 6= 0, | x| > |a|
a > 0, x < |a|
a 6= 0
a 6= 0, | x| > |a|

arcsin ax
ex

a > 0, | x| < |a|

ax
ln a

a > 0, a 6= 1
x>0

x ln x − x
− cos x
sin x
− ln | cos x|
ln | sin x|
ln | tan 2x |

x 6= π/2 + kπ
x 6= kπ
x 6= kπ

ln | tan( 2x + π
4 )|

x 6= π
2 + kπ

35

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

f (x)

Dérivées de f

arcsin x
arccos x
arctan x
arg cot x
sinh x
cosh x
th x
coth x

p 1
1− x2
p −1
1− x2
1
1+ x2
−1
1+ x2

cosh x
sinh x
1 − th2 x
1 − coth2 x

arg sinh x
arg cosh x
arg th x
arg coth x

p 1
1+ x2
p 1
x2 −1
1
1− x2
1
1− x2

Une primitive de f
p
1 − x2
p
x arcsin x − 1 − x2
p
x arctan x − ln 1 + x2
p
x arg cot x + ln 1 + x2
x arcsin x +

cosh x
sinh x
ln cosh x
ln | sinh x|
p
x arg sinh x − x2 + 1
p
x arg cosh x − x2 − 1
p
x arg th x + ln 1 − x2
p
x arg coth x + ln x2 − 1

Conditions
| x| < 1
| x| < 1

x 6= 0
x>1
| x| < 1
| x| > 1

Auteurs
E. Labriji

36


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