formulaire SMA V1 .pdf


Aperçu du fichier PDF formulaire-sma-v1.pdf - page 10/36

Page 1 ... 8 9 101112 ... 36



Aperçu du document


Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

Quelques formules :






¯ 0
z + z0 = z¯ + z0 , z¯ = z, zz0 = zz
z = z¯ ⇐⇒ z ∈ R
¯ ¯
| z|2 = z × z¯ , | z¯ | = | z|, ¯ zz0 ¯ = | z|| z0 |
| z| = 0 ⇐⇒ z = 0
¯
¯
¯ ¯
L’inégalité triangulaire : ¯ z + z0 ¯ É | z| + ¯ z0 ¯

Exemple 1. Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales égale la somme des carrés des côtés.
Si les longueurs des côtés sont notées L et ` et les longueurs des diagonales sont D et d alors il s’agit de montrer
l’égalité
D 2 + d 2 = 2`2 + 2L2 .
z + z0
| z − z0 |

| z|

L
z0
`

d
`

| z0 |

| z + z0 |
| z0 |

z

D
| z|

L

0

4.6

Racines carrées, équation du second degré

4.7

Racines carrées d’un nombre complexe

Pour z ∈ C, une racine carrée est un nombre complexe ω tel que ω2 = z.
p
p
Par exemple si x ∈ R+ , on connaît deux racines carrées : x, − x. Autre exemple : les racines carrées de −1 sont i
et −i.
Proposition 4.
Soit z un nombre complexe, alors z admet deux racines carrées, ω et −ω.
Attention ! Contrairement au cas réel, il n’y a pas de façon privilégiée de choisir une racine plutôt que l’autre, donc
pas de fonction racine. On ne dira donc jamais « soit ω la racine de z ».
Si z 6= 0 ces deux racines carrées sont distinctes. Si z = 0 alors ω = 0 est une racine double.
Pour z = a + i b nous allons calculer ω et −ω en fonction de a et b.
Il n’est pas nécessaire d’apprendre ces formules mais il est indispensable de savoir refaire les calculs.
Exemple 2. Les racines carrées de i sont +
En effet :

p
2
2 (1 + i)

ω2 = i

et −

⇐⇒
⇐⇒

p
2
2 (1 + i).

( x + i y)2 = i
½ 2
x − y2 = 0
2x y = 1

Rajoutons la conditions |ω|2 = |i| pour obtenir le système équivalent au précédent :

 2

1
2
2

 x −y =0
 2x = 1
 x = ± p2
2
2x y = 1
2 y = 1 ⇐⇒
⇐⇒
y = ± p1
2

 2

2

x +y =1
2x y = 1
2x y = 1

Les réels x et y sont donc de même signe, nous trouvons bien deux solutions :
1
1
x + iy = p + i p
2
2

ou

10

1
1
x + iy = − p − i p
2
2


Ce fichier a été mis en ligne par un utilisateur du site. Identifiant unique du document: 00445847.
⚠️  Signaler un contenu illicite
Pour plus d'informations sur notre politique de lutte contre la diffusion illicite de contenus protégés par droit d'auteur, consultez notre page dédiée.