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Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

1

Identités remarquables

1.1
1.1.1

Formule du binôme
Factoriel d’un entier naturel
∀ n ∈ N∗ , n! = 1 × 2 × 3 × . . . × ( n − 1) × n.

Par convention, on pose
0! = 1.
On a

n! = ( n − 1)! × n.
1.1.2

Le nombre de combinaisons de k éléments parmis n
Ùkn =

n( n − 1)( n − 2) . . . ( n − k + 1)
n!
=
.
k!
k!( n − k)!
1
Ùkn + Ùkn+1 = Ùkn+
+1 .

1.1.3

Cas particuliers de la formule du binôme

( x + y)2
( x − y)2
( x + y)3
( x − y)3
( x + y)4
( x − y)4
( x + y)5
( x − y)5
( x + y)6
( x − y)6
1.1.4

=
=
=
=
=
=
=
=
=
=

x2 + y2 + 2 x y.
x2 + y2 − 2 x y.
x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3 .
x3 − 3 x2 y + 3 x y2 − y3 .
x4 + 4 x3 y + 6 x2 y2 + 4 x y3 + y4 .
x4 − 4 x3 y + 6 x2 y2 − 4 x y3 + y4 .
x5 + 5 x4 y + 10 x3 y2 + 10 x2 y3 + 5 x y4 + y5 .
x5 − 5 x4 y + 10 x3 y2 − 10 x2 y3 + 5 x y4 − y5 .
x6 + 6 x5 y + 15 x4 y2 + 20 x3 y3 + 15 x2 y4 + 6 x y5 + y6 .
x6 − 6 x5 y + 15 x4 y2 − 20 x3 y3 + 15 x2 y4 − 6 x y5 + y6 .

Formule du binôme
( x + y)n = x n + Ù1n x n−1 y + Ù2n x n−2 y2 + Ù3n x n−3 y3 + . . . + Ùnn−1 x yn−1 + yn .

Cas particulièrs
2n
0

=
=

= (1 + 1)n = Ù0n + Ù1n + Ù2n + Ù3n + . . . + Ùnn−1 + Ùnn .
= (1 + (−1))n = Ù0n − Ù1n + Ù2n − Ù3n + . . . + (−1)n−1 Ùnn−1 + (−1)n Ùnn .
p

Le triangle de Pascal pour calculer les coefficients Ùn de la formule du binôme.
Ù00
1
Ù01 Ù11
. 1 1
Ù02 Ù12 Ù22
1 2 1
1 3 3
1
Ù03 Ù13 Ù23 Ù33
1 4 6
4
1
Ù04 Ù14 Ù24 Ù34 Ù44
1 5 10 10 5 1
Ù05 Ù15 Ù25 Ù35 Ù45 Ù55
Ù06 Ù16 Ù26 Ù36 Ù46 Ù56 Ù66 1 6 15 20 15 6 1
Les résultats ci-dessous sont des cas particuliers de la formule du binôme
x2 − y2 = ( x − y)( x + y)
x3 − y3 = ( x − y)( x2 + x y + y2 )
x3 + y3 = ( x + y)( x2 − x y + y2 )
x4 − y4 = ( x − y)( x + y)( x2 + y2 )
x5 − y5 = ( x − y)( x4 + x3 y + x2 y2 + x y3 + y4 )
x5 + y5 = ( x + y)( x4 − x3 y + x2 y2 − x y3 + y4 )
x6 − y6 = ( x − y)( x + y)( x2 + x y + y2 )( x2 − x y + y2 )
On généralise les résultats ci-dessus pour n ∈ N.
x2n+1 − y2n+1 = ( x − y)( x2n + x2n−1 y + x2n−2 y2 + . . . + y2n )
x2n+1 + y2n+1 = ( x + y)( x2n − x2n−1 y + x2n−2 y2 − . . . + y2n )
x 2 n − y2 n
= ( x − y)( x + y)( x n−1 + x n−2 y + x n−3 y2 + . . .)( x n−1 − x n−2 y + x n−3 y2 − . . .)
n+1
x
−1
= ( x − 1)(1 + x + x2 + x3 + . . . + x n )
5