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Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,

1.2

Sommes remarquables

Pour tout n ∈ N∗ .

1.3

n( n+1)
2
n( n+1)(2 n+1)
6
2
2

1+2+3+4+...+ n
2
1 + 22 + 32 + 42 + . . . + n2
3
3
1 + 3 + 53 + 73 + . . . + (2 n − 1)3
23 + 43 + 63 + 83 + . . . + (2 n)3

=
=
=
=

n (2 n − 1)
2 n2 ( n + 1)2

14 + 24 + 34 + 44 + . . . + n4

=

n( n+1)(6 n3 +9 n2 + n−1)
30

Inégalités remarquables

Dans R on a Inégalité triangulaire
| a| − | b |
|a 1 + a 2 + . . . + a n |

É
É

| a + b | É | a| + | b |
|a 1 | + |a 2 | + . . . + |a n |

Inégalité de Cauchy-Schwartz
|a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n |2 É (|a 1 |2 + |a 2 |2 + . . . + |a n |2 )(| b 1 |2 + | b 2 |2 + . . . + | b n |2 )

L’égalité est valable si et seulement si a 1 / b 1 = a 2 / b 2 = . . . = a n / b n

1.4

Résolution des équations algébriques

Equation du deuxième degré : ax2 + bx + c = 0
Si a 6= 0, b et c sont des réels. et si on appelle D = b2 − 4ac le discriminant, alors
1. Si D > 0 alors l’équation admet deux solutions

x1 =

p
p
b+ D
b− D
, x2 =
2a
2a

2. Si D = 0 alors l’équation admet une seule solutuion

x1 =

b
2a

3. Si D < 0 alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées

x1 =

p
p
b − i −D
b + i −D
, x2 =
2a
2a

Remarque. Si x1 et x2 sont les racines alors : x1 + x2 = − b/a et x1 .x2 = c/a.
Equation du troisième degré x3 + a 1 x2 + a 2 x + a 3 = 0
Soit
3a 2 −a21
Q =
,
q9 p
3
S =
R + Q3 + R2,
Les solutions

 x1
x
 2
x2

=
=
=

R

=

T

=

9a 1 a 2 −27a 3 −2a31
54
q
3

R−

p
Q3 + R2

S + T − 13 a 1
p
− 21 (S + T ) − 13 a 1 + 12 i 3(S − T )
p
− 12 (S + T ) − 13 a 1 − 12 i 3(S − T )

Si a 1 , a 2 et a 3 sont réels et si on pose D = Q 3 + R 2 le discriminant, alors
1. une racine est réelle et les deux autres conjugées complexes si D > 0.
2. les trois racines sont réelles et au moins deux sont égaux si D = 0.
3. toutes les racines sont réelles distinctes si D < 0.

6