Polycope Belhoussaine .pdf



Nom original: Polycope Belhoussaine.pdf
Titre: Théorème des classes monotones fonctionnelles de Dynkin et applications
Auteur: AIT BELHOUSSAINE BRAHIM

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Université Cadi Ayyad
Département de Mathémathiques

Faculté des Sciences Semlalia Marrakech
Sciences Mathémathiques et Application

Analyse Réelle

Auteur :
BELHOUSSAINE Brahim
Filière: SMA
Semestre 1

4 juin 2016
2

BRAHIM AIT BELHOUSSAINE

0

3

BRAHIM AIT BELHOUSSAINE

0

4

BRAHIM AIT BELHOUSSAINE

Table des matières

1

Suites réelles
1.1 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Limites et opérations arithmétiques
1.1.2 Limites et inégalités . . . . . . . .
1.2 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sous-Suites . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . .

5

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9
12
13
14
15
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0

TABLE DES MATIÈRES

REMERCIEMENTS
Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à mes encadrants les Professeurs Abdelkhalek EL
ARNIet Moulay Tayeb Loumi, de m’avoir accorder ce projet de mémoire, dont j’espère que mon
travail soit à la hauteur de leurs attentes. Je les remercies pour leurs excellent suivi, leurs remarques
pertinentes et les recommandations fort enrichissantes.
Je remercie les professeurs M.Houimdi et M.H.Lalaoui qui nous ont initié au logiciel de traitement de texte scientifique LATEX, chose qui a été très bénifique et a facilité notre travail.
Mes remerciements vont aussi à l’ensemble des professeurs qui ont assuré avec succès l’encadrement et l’enseignement de la filière SMA.
Je remercie également d’avance toute personne qui aura la gentillesse de me faire part de ses
remarques sur ce document,dont le but de l’améliorer.

6

BRAHIM AIT BELHOUSSAINE

0

TABLE DES MATIÈRES

Introduction :
Ce travail présente un exemple de liens étroits existant entre la théorie de l’intégration et la théorie
des probabilités.
Le théorème classique des classes monotones est un exemple déjà étudié dans le cours d’intégration. L’aspect présenté dans ce document est fort intéressant et moins abordé dans les livres académiques au niveau de la licence, il s’agit d’une version fonctionnelle de théorème de Dynkin, d’où
l’interêt du sujet de mémoire. Expliquons de quoi il s’agit :
Lorsque l’on dispose d’une partie M d’un sous-espace vectoriel H qui contient les constantes,
d’un espace vectoriel de fonctions bornées sur un ensemble X a valeurs réels, le théorème de Dynkin
montre sous des conditions de stabilité par convergence monotone de H et de stabilité de M par
multiplication, que H contient toutes les fonctions bornées σ(M )-mesurables.
Ce résultat admet une preuve moyennant le théorème classique de Dynkin (classes monotones
version ensemblistes). Mais on va lui en donner une preuve purement fonctionnelle.
Comme application de ce théorème on va montrer des résultats concernant l’identification des lois
en probabilités et des résultats de densité dans les espaces de Lebesgue L p .

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BRAHIM AIT BELHOUSSAINE

0

TABLE DES MATIÈRES

8

BRAHIM AIT BELHOUSSAINE

Chapitre

1

Suites réelles
Étant donné un ensemble E, une suite à valeurs dans E est une application a : N → E, on utilise la
notation an pour désigner l’élément a(n). Une suite à valeurs dans E = R est appelée une suite réelle.
Ce chapitre est consacré à l’étude des suites réelles. Nous nous intéressons essentiellement au comportement asymptotique de telles suites, c’est-à-dire leur comportement lorsque n devient de plus en
plus grand.

1.1

Suites convergentes
Définition 1.
Soit (an )n une suite réelle, on dit que (an )n est convergente s’il existe un réel l tel que :
∀ε>0

∃ Nε ∈ N, ∀ n ≥ Nε

|an − l| < ε

(1.1)

dans ce cas on dit que (an )n est converge vers l et on note limn→∞ an = l ou an 7−→ l, le réel
l est appelé la limite de (an )n lorsque n tend vers +∞.
S’il n’existe pas de réel l vérifiant cette propriété, on dit alors que la suite (an )n est divergente.

Pour comprendre cette définition, consiste à interpréter n comme un temps. À l’instant n, on allume
un point sur l’axe (Ox) d’abscisse un . Pour tout ε > 0, à partir de l’instant N, tous les points allumés
seront dans l’intervalle [l − ε, l + ε] (Voir le dessin de la figure ci-dessous).

9

1

CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES

Remarque 1
On peut remplacer (1.1) dans la définition 1 par :
∀ε>0

∃ Nε ∈ N, ∀ n ≥ Nε |an − l| ≤ ε
(1.2)
ε
0
En effet : dans (1.2) on pose ε = , avec ε > 0.
2
Exemple 1
1− Soit an = l, à partir d’un certain rang N ∈ N alors (an )n converge vers l, en effet :
Soit ε > 0 et soit n ≥ N, on a |an − l| < ε (dans ce cas N ne dépend pas de ε ).
1
2− Pour tout n ≥ 1 on pose an = , la suite (an )n est converge vers 0, en effet :
n
1
1
1
1
Soit ε > 0, posons N = E( ) + 1, on a | |< ε ∀n ≥ N. Ou E( ) désigne la partie entier de .
ε
n
ε
ε
Remarque 2
Soit (an )n une suite réelle et l ∈ R, si par exemple on a montré que pour tout 0 < ε < 1, il existe un
rang Nε ∈ N tel que ∀n ≥ Nε |an − l| < ε, alors limn7→+∞ = l, en effet :
0
0
Soit ε > 0 tel que ε ≥ 1.
0
0
Pour tout 0 < ε < 1, on a ]l − ε, l + ε[ ⊆ ]l − ε , l + ε [ (∗), cette inclusion montre qu’il existe Nε0 ∈ N
0
tel que |an − l| < ε , pour tout n ≥ Nε0 .
1
1
Par exemple : Si ε =
0 il existe Nε ∈ N tel que |an − l| < ε, on pose Nε0 = Nε (0 <
0 < 1)
1+ε
1+ε
1
1
0
0
et l’inclusion (∗) montre que ]l −
0 ,l +
0 [ ⊆ ]l − ε , l + ε [, d’où pour tout n ≥ Nε0 on a
1+ε
1+ε
0
|an − l| < ε .
Conclusion : Pour étudier la convergence d’une suite réelle on s’intéresse à les epsilons assez petit.
Exemple 2
1
Considérons la suite (an )n∈N définie par an = n .
2
On a an 7−→ 0, en effet : Soit ε > 0, on suppose que 0 < ε < 1 et on pose N = E(
tout n ≥ N on a |

−ln(ε)
) + 1, pour
ln(2)

1
|< ε, donc d’après la remarque 2, (an )n∈N est converge vers 0.
2n

Définition 2.
On dit qu’une suite réelle (an )n est :
- majorée si la partie {an \n ∈ N} est majorée dans R. C’est à dire ∃M ∈ R : ∀n ∈ N an ≤ M.
- minorée si la partie {an \ n ∈ N} est minorée dans R. C’est à dire ∃m ∈ R : ∀n ∈ N an ≥ m.
- bornée si et seulement si à la fois majorée et minorée.

Proposition 1.
Soit (an )n une suite réelle, alors la suite (an )n est bornée si et seulement s’il existe un réel
M positive tel que : ∀n ∈ N, |an | ≤ M. Autrement dit la suite (|an |)n est majorée.
Démonstration
⇒) Il existe m, K ∈ R tels que ∀n ∈ N, m ≤ an ≤ K. Posons M = max(|m|, |K|) et on a :
−M ≤ −|m| ≤ m ≤ an ≤ K ≤ |K| ≤ M

∀n ∈ N

Donc ∀n ∈ N, |an | < M.
⇐) ∀n ∈ N on a −M ≤ an ≤ M. I
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BRAHIM AIT BELHOUSSAINE

1

1.1. SUITES CONVERGENTES
Proposition 2.
Soit (an )n une suite réelle convergente, alors on a les propriétés suivantes :
i) la limite de (an )n est unique.
ii) la suite (an )n est bornée.
iii) la suite (|an |)n est converge vers | limn an |.

Démonstration
0
i) Supposons par l’absurde que la suite (an )n admet deux limites différente l et l . Il existe un rang
0
0
|l − l |
|l − l |
0
N1 ∈ N, ∀n ≥ N1 |an − l| <
. Il existe un rang N2 ∈ N, |an − l | <
.
2
2
Soit n ≥ max(N1 , N2 ) on a d’après l’inégalité triangulaire :
0

0

0

0
|l − l | |l − l |
|l − l |
|l − l | ≤ |an − l| + |an − l | <
+
=2
= |l − l |
2
2
2
Donc 1< 1, contradiction. I
0

0

0
0
Remarque 3
|l − l |
|l − l |
0
et on obtient |l − l | ≤
.
Si on utilise la remarque 1 on prend ε =
4
2

ii) Il existe un rang N ∈ N : ∀n ≥ N |an − l| < 1 ou l = limn an . On a : ||an | − |l|| ≤ |an − l| ≤ 1
donc ∀n ≥ N |an | ≤ |l| + 1.
Posons M = max(|a0 |, |a1 |, ..., |aN−1 |, |l| + 1), alors on a |an | ≤ M ∀n ∈ N. I
iii) Il existe un rang N ∈ N : ∀n ≥ N |an − l| < ε ou l = limn an . On a : ||an | − |l|| ≤ |an − l| ≤ ε. I
Transformation de limite en inégalité.
Théorème 1.
0

Soient (an )n une suite réelle et k, k deux réels, on suppose que :
i) an −→ l ∈ R.
0
ii) k < l < k .
0
Alors, il existe un rang N ∈ N tel que ∀n ≥ N k ≤ an ≤ k .

Démonstration
0
Soit ε = min(k − l, l − k) > 0. Comme an −→ l, alors il existe un rang N ∈ N, ∀n ≥ N on a :
0

k = k − l + l ≤ l − ε ≤ an ≤ l + ε ≤ l + k − l = k

0

0

Donc ∀n ≥ N, k ≤ an ≤ k . I

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BRAHIM AIT BELHOUSSAINE

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CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES

1.1.1

Limites et opérations arithmétiques

La proposition suivante nous montre comment les opérations arithmétiques +, −, ×, ÷, se comportent par rapport au passage à la limite.
Proposition 3.
Soient (an )n et (bn )n deux suites réelles qui convergent vers les réels l1 et l2 respectivement.
Alors on a les propriétés suivantes :
i) la suite réelle (an + bn )n est converge vers l1 + l2 .
ii) la suite réelle (an bn )n est converge vers l1 l2 .
iii) pour toute α ∈ R, la suite réelle (αan )n est converge vers αl1 .
iv) si l1 6= 0, alors il existe un rang N ∈ N tel que an 6= 0 ∀n ≥ N.
l2
bn
De plus la suite réelle ( )n est converge vers .
an
l1
Démonstration
ε
i) Soit ε > 0. Il existe un rang N1 ∈ N tel que ∀n ≥ N1 |an − l1 | < .
2
ε
Il existe un rang N2 ∈ N tel que ∀n ≥ N2 |bn − l2 | < . Soit n ≥ max(N1 , N2 ) on a :
2
ε ε
ε
|an + bn − (l1 + l2 )| ≤ |an − l1 | + |bn − l2 | < + = 2 = ε
2 2
2
ii) Soit ε > 0, comme (an )n est convergente, alors il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an | ≤ M.
ε
. De même il existe un rang N2 ∈ N tel
Il existe un rang N1 ∈ N tel que ∀n ≥ N1 |an − l1 | <
M + |l2 |
ε
que ∀n ≥ N2 |bn − l2 | <
. Soit n ≥ max(N1 , N2 ) on a :
M + |l2 |
|an bn − l1 l2 | = |an bn − an l2 + an l2 − l1 l2 |
≤ |an ||bn − l2 | + |l2 ||an − l1 |
ε
ε
< M
+ |l2 |
M + |l2 |
M + |l2 |
ε(M + |l2 |)

=
M + |l2 |
iii) Soit ε > 0
Si α = 0, le résultat est trivial. On suppose que α 6= 0, il existe un rang N ∈ N tel que ∀n ≥ N
ε
ε
|an − l1 | <
. On a pour tout n ≥ N : |αan − αl1 | = |α||an − l1 | < |α|

|α|
|α|
iv) On suppose que l1 6= 0, il existe un rang N0 ∈ N tel que ∀n ≥ N0 |an − l1 | < |l1 | , cette inégalité
montre que an 6= 0 ∀n ≥ N0 (car sinon on aura |l1 | < |l1 | ).
Remarque 4
|l1 |
Si on utilise la définition (1.2) au sens large, on choisi ε =
.
2
1
1
)n≥N0 converge vers le réel
. Comme an −→ l1 , il
an
l1
ε|l1 |2
|an − l1 | <
. Soit n ≥ max(N0 , N1 ), on a :
2

Il faut d’abord montrer que la suite réelle (
existe un rang N1 ∈ N tel que ∀n ≥ N1
|

1
1
|an − l1 |
ε|l1 |2
− |=
<
an l1
|an ||l1 |
2|an ||l1 |
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BRAHIM AIT BELHOUSSAINE

1

1.1. SUITES CONVERGENTES

Comme limn |an | = |l1 |, alors d’après le théorème 1, il existe un rang N2 ∈ N tel que ∀n ≥ N2 on
a:
|l1 |
1
1
ε|l1 |2
|l1 |
( car |l1 | >
). Soit maintenant n ≥ max(N0 , N1 , N2 ) on a : | − | <
< ε.
|an | ≥
2
2
an l1
2|an ||l1 |
En fin on applique ii) on obtient le résultat. I

1.1.2

Limites et inégalités

Dans cette sous-section nous étudiants comment l’ordre de R se comporte par rapport au passage
à la limite. Pour étudier la convergence d’une suite réelle on est souvent ramené au cas d’une suite
tendant vers 0.
Le critère suivant est très utile.
Proposition 4.
Soit (an )n une suite réelle et l un réel. On suppose qu’il existe une suite réelle (bn )n et un
entier N tels que |an − l| < bn , pour tout n ≥ N.
Si la suite (bn )n est converge vers 0, alors la suite réelle (an )n est convergente et sa limite
vaut l.
Démonstration
Soit ε > 0, il existe un rang Nε ∈ N tel que bn < ε ∀n ≥ Nε .
Soit n ≥ max(N, Nε ) on a |an − l| < bn < ε. I
Théorème 2.
Soit (an )n une suite réelle qui converge vers un réel l. Supposons qu’il existe un entier N et
une constant k tes que an ≤ k (respectivement an ≥ k) ∀n ≥ N.
Alors l ≤ k (respectivement l ≥ k).

Démonstration
Supposons par l’absurde que l > k, il existe un rang Nε ∈ N tel que |an − l| < l − k.
Pour n ≥ max(N, Nε ) on a an > k, contradiction. I
Corollaire 1.
Soient (an )n et (bn )n deux suites convergentes respectivement vers l1 et l2 tels que :
an ≤ bn ∀n ∈ N. Alors l1 ≤ l2 .
Démonstration
D’après le théorème 2 on a l1 ≤ bn ∀n ∈ N et on applique le même théorème on a l2 ≥ l1 . I
Ce théorème est appelé le théorème des gendarmes.
Théorème 3.
Soient (an )n , (bn )n et (cn )n des suites réelles on suppose que :
i) Il existe N ∈ N ∀n ≥ N cn ≤ an ≤ bn .
ii) limn cn = limn bn = l.
Alors la suite (an )n est convergente et de plus sa limite vaut l.

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BRAHIM AIT BELHOUSSAINE

1

CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES

Démonstration
Soit ε > 0, comme bn −→ l, alors il existe un range N1 ∈ N tel que bn − l < ε ∀n ≥ N1 . De même
il existe un range N2 ∈ N tel que cn − l > −ε ∀n ≥ N2 . ∀n ≥ max(N, N1 , N2 ) on a |an − l| < ε. I

1.2

Limites infinies

Nous étendons dans cette section la notion de la limite pour englober les cas infinies.
Définition 3.
Soit (an )n une suite réelle .
i) On dit que (an )n est tend vers +∞ (lorsque n tend vers +∞ ) si et seulement si ∀M > 0,
∃ NM ∈ N ∀n ≥ NM an > M. Et on note limn an = +∞ ou an −→ +∞.
ii) On dit que (an )n est tend vers −∞ (lorsque n tend vers +∞ ) si et seulement si ∀M < 0,
∃ NM ∈ N ∀n ≥ NM an < M. Et on note limn an = −∞ ou an −→ −∞.

Attention : une suite tendant vers +∞ ou −∞ est une suite divergente.
Proposition 5.
Soient (an )n et (bn )n deux suites réelles, alors on a les propriétés suivantes :
i) Si limn an = +∞ et s’il existe N ∈ N tel que an ≤ bn ∀n ≥ N, alors limn bn = +∞.
ii) Si limn bn = −∞ et s’il existe N ∈ N tel que an ≤ bn ∀n ≥ N, alors limn an = −∞.
iii) Si limn an = +∞ ou −∞, alors il existe N ∈ N tel que an 6= 0 ∀n ≥ N, en plus, la suite
1
( )n≥N est converge vers 0.
an

Démonstration
i) Soit M > 0, ∃ NM ∈ N tel que ∀n ≥ NM an ≥ M.
Or bn ≥ an donc bn ≥ M ∀n ≥ NM .
ii) Même preuve.
iii) Il existe un rang N1 ∈ N tel que ∀n ≥ N1 an ≥ 1, d’où an 6= 0 ∀n ≥ N1 .
1
Soit ε > 0. On pose M = , comme (an )n tend vers +∞, alors ∃ Nε ∈ N tel que an > M ∀n ≥ Nε .
ε
1
1
Soit n ≥ max(Nε , N1 ) on a
<
= ε. I
an M
Tenant compte les propositions 3 et 5 nous avons la proposition suivante :
Proposition 6.
Soit (an )n et (bn )n deux suites réelles, alors on a les propriétés suivantes (dans chaque
tableaux la premier linge (respectivement premier colonne) représente la limite de la suite
(an )n (respectivement la suite (bn )n )).

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BRAHIM AIT BELHOUSSAINE

1

1.3. SOUS-SUITES

1.3

Sous-Suites

Le concept de sous-suite, appelée aussi suite extraite est très important.
Définition 4.
On dit qu’une suite (vn )n∈N est une sous suite d’une (an )n∈N s’il existe une application
ϕ : N 7−→ N strictement croissante tel que :
vn = aϕ(n)

∀n ∈ N.

Lemme 1.
Soit ϕ : N 7−→ N une application strictement croissante. Alors on a :
ϕ(n) ≥ n

∀n ∈ N

Démonstration
Par récurrence sur n.
Pour n = 0 on a ϕ(0) ∈ N donc ϕ(0) ≥ 0.
Supposons que ϕ(n) ≥ n. Puisque ϕ est strictement croissante, alors ϕ(n + 1) ≥ ϕ(n).
Remarque 5
Soient n, m ∈ N tels que n < m, alors on a n + 1 ≤ m ( car m − n ≥ 1).
Donc d’après la remarque précédente on a ϕ(n + 1) ≥ ϕ(n) + 1 ≥ n + 1. (car ϕ(n + 1) et ϕ(n) sont
des entiers).I
Proposition 7.
Soit (an )n une suite réelle, alors on a les propriétés suivantes :
i) Si la suite (an )n est converge vers l ∈ R, alors toute sous suite (aϕ(n) )n de(an )n est
converge vers l.
ii) Si la suite (an )n est tend vers +∞ (respectivement −∞), alors toute sous suite (aϕ(n) )n
de (an )n est tend vers +∞ (respectivement −∞).

Démonstration
i) Soit ε > 0. Il existe rang N ∈ N tel que ∀n ≥ N |an − l| < ε. (∗)
Soit n ∈ N tel que n ≥ N on a ϕ(n) ≥ n (d’après le lemme 1) donc ϕ(n) ≥ N et d’après (∗) on a
|aϕ(n) − l| < ε.
ii) Soit M > 0. Il existe un rang NM ∈ N ∀n ≥ NM an ≥ M (∗∗). De même soit n ≥ NM on a
ϕ(n) ≥ n ≥ NM et d’après (∗∗) on a aϕ(n) ≥ M.I
Remarque 6
La proposition 7 est très utile pour prouver qu’une suite est divergente. En effet :
Si (aϕ(n) )n et (aψ(n) )n sont deux sous suite d’une suite (an )n qui convergent vers deux limites différentes, alors (an )n est divergente.
15

BRAHIM AIT BELHOUSSAINE

1

CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES
Proposition 8.
Soit (an )n une suite réelle et l un réel on suppose que :
i) (a2n )n est converge vers l.
ii) (a2n+1 )n est converge vers l.
Alors la suite (an )n est converge vers l.

Démonstration
Soit ε > 0.
Il existe un rang N1 ∈ N ∀k ≥ N1 |a2k − l| < ε.
Il existe un rang N2 ∈ N ∀k ≥ N2 |a2k+1 − l| < ε.
Soit n ∈ N.
Si n = 2k : On prend k ≥ N1 c-a-d n ≥ 2N1 on a |an − l| < ε.
Si n = 2k + 1 : On prend k ≥ N2 c-a-d n ≥ 2N2 + 1 on a |an − l| < ε.
On pose N = max(2N1 , 2N2 + 1), pour tout n ≥ N |an − l| < ε.I

1.4

Suites monotones
Définition 5.
Soit (an )n une suite réelle.
i) On dit que (an )n est croissante (respectivement strictement croissante) si et seulement si
pour tous n < m on a an ≤ am (respectivement an < am ).
ii) On dit que (an )n est décroissante (respectivement strictement décroissante) si et seulement si pour tous n < m on a an ≥ am (respectivement an > am ).
iii) On dit que (an )n est monotone (respectivement strictement monotone) si et seulement si ou bien croissante (respectivement strictement croissante) ou bien décroissante
(respectivement strictement décroissante).

Pour montrer qu’une suite réelle est monotone (respectivement strictement monotone), on utilise la
proposition suivante.
Proposition 9.
Soit (an )n∈N une suite réelle. On a les propriétés suivantes :
i) La suite (an )n∈N est croissante (respectivement strictement croissante) si et seulement si
∀ n ∈ N an ≤ an+1 (respectivement an < an+1 ).
ii) La suite (an )n∈N est décroissante (respectivement strictement décroissante) si et seulement si ∀ n ∈ N an ≥ an+1 (respectivement an > an+1 ).

Démonstration
i) ⇒) Poser m = n + 1, pour n ∈ N on a an ≤ am .
⇐) Soient (n, m) ∈ N2 tels que n < m. Par récurrence sur p = m − n on montre que an ≤ am
(respectivement an < am ).
Pour p = 1 c-a-d m = n + 1, par hypothèse an ≤ an+1 .
Supposons que le résultat est vraie pour p. Soit (n, m) ∈ N2 tel que p + 1 = m − n c-a-d
p = m−(n+1), par hypothèse de récurrence an+1 ≥ am (respectivement an+1 < am ). Donc an ≤ am
16

BRAHIM AIT BELHOUSSAINE

1

1.4. SUITES MONOTONES

(respectivement an < am ).
ii) Même démonstration.I
Le résultat le plus important concernant les suites monotones est le suivante.
Théorème 4.
Soit (an )n∈N une suite réelle. On a les propriétés suivantes :
i) Si (an )n∈N est croissante est majorée, alors elle converge.
ii) Si (an )n∈N est décroissante est minorée, alors elle converge.
iii) Si (an )n∈N est croissante est non majorée, alors lim an = +∞.
n7−→+∞

iv) Si (an )n∈N est décroissante est non minorée, alors

lim an = −∞.

n7−→+∞

Démonstration
i) Soit ε > 0. Considérons l’ensemble A définie par : A = { an \ n ∈ N } ⊆ R. Comme A est non vide et
majorée, alors A possède une borne supérieur noté s. Il existe un rang N ∈ N tel que : s − ε < aN ≤ s.
Soit n ≥ N on a : s − ε < aN ≤ an ≤ s < s + ε. D’où ∀n ≥ N |an − s| < ε.I

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1

CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES

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