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2016-2017

Statistique inférentielle

UE 3: Contrôle de qualité approche statistique et validation des
méthodes
Semaine : n°2 (du 12/09/16 au
16/09/16)
Date : 14/09/2016

Heure : de 14h00 à
15h00

Binôme : n°57

Professeur : Pr. Lemdani
Correcteur : n°68

Remarques du professeur : aucune

PLAN DU COURS

C)

Deux échantillons : tests de type « observé/observé »

1)

Comparaison de deux proportions observées

2)

Comparaison de moyennes (et de variances) observées

1/4

2016-2017

Statistique inférentielle

Exemple :
La calcémie moyenne (sujets sains) est de 2,5 mmol/L. On soupçonne que cette valeur est dépassée par les
patients atteints d'une pathologie M.
Échantillon de 18 sujets atteints de M : on note x = 3,1 mmol/L et s = 1,2 mmol/L.
Que peut-on en conclure ?

Variable observée : X = « calcémie » (quantitative connue)
μ = calcémie moyenne pour les sujets atteints de M
Echantillon de taille n = 18
On teste H0 : {μ = 2,5 mmol/L} contre H1 : {μ > 2,5 mmol/L}
Variable de décision :

Conditions : n = 18 (petit échantillon) → donc nécessité de faire un test de normalité avec :
H'0 : {X ~ N (μ ;σ)} contre H'1 : {X ne suit pas N (μ ;σ)} → utilisation du test de Shapiro-Wilk (nécessite la
connaissance des observations).
Sous H0 (si non-rejet pour le test de normalité), t ~ St17 → zone de rejet (α = 0,05) : [1,740 ; +∞[
Attention : dans la table de la loi de Student, on a des zones d'acceptation et de rejet en bilatéral. Or, ici,
l'hypothèse alternative H1 est unilatérale (μ > 2,5 mmol/L) donc la zone de rejet sera unilatérale ce qui signifie
que les 5% seront du même côté, soit du côté de +∞, soit du côté de -∞. Donc, dans la table de la loi de Student, il
faut chercher la valeur pour laquelle on a α/2 = 5% soit α = 10 % et v = n -1 = 17 ddl : on lit comme valeur
1,740. Enfin, ici, on va rejeter du côté de +∞ car t > 0 sous H 1.

Tc=

3,1−2,5
≈ 2,12
1,2 / √ 18

Conclusion : rejet de H0 au seuil de 5% (car tc > 1,740)
p-value ≈ 0,025

C)

Deux échantillons : tests de type « observé/observé »

Deux échantillons (de deux populations différentes) sont observés : de tailles respectives n1 et n2 .
Objectif : comparer les deux populations étudiées (pour un paramètre).

1)

Comparaison de deux proportions observées

H0 : {∏1 = ∏2} versus H1 : {∏1 ≠ ∏2}
Variable de décision :

2/4

2016-2017

Statistique inférentielle

p1, p2 : proportions respectives sur les échantillons
p : proportion commune estimée sous H0

Sous H0 , u ~ N(0, 1) si :


« grands échantillons » (n1 ≥ 30 et n2 ≥30)



ET p « raisonnable » : n1.p ≥ 5, n2.p ≥ 5, n1.(1-p) ≥ 5 et n2.(1-p) ≥ 5

Exemple :
Comparaison traitement/placebo : amélioration chez 75 patients traités (sur 160) et chez 50 patients sous placebo
(sur 140).
Peut-on conclure à l'efficacité du traitement, au seuil de 5% ?
X: « amélioration » (oui/non) → qualitative
∏1 : taux (proportion) d'efficacité – traitement
∏2 : taux (proportion) d'efficacité – placebo
n1 = 160 et n2 = 140
H0 : ∏1 = ∏2 contre H1 : ∏1 > ∏2
Variable de décision :

Calculs : p1 = 75/160 ≈ 0,469 , p2 = 50/140 ≈ 0,357 et p =
et 1 – p =

75+50
=
160+140

125
≈ 0,417
300

175
≈ 0,583
300

Conditions : n1, n2 ≥ 30 ; n1.p ≈ 66,7 ; n2.p ≈ 58,3 ; n1.(1-p) ≈ 93,3 et n2.(1-p) ≈ 81,7 ≥ 5

Sous H0 , u ~ N(0, 1) → zone de rejet (α = 0,05) : [1,6449 ; +∞ [
NB : Ici si π1 > π2 alors p1 > p2 (les échantillons étant représentatifs des populations) donc (p 1 – p2)> 0 d'où u > 0
sous H1 donc rejet du côté de +∞.

uc =

75
50

160 140
≈ 1,956
√125/300 x 175/300 x (1/160+1 /140)

Conclusion : rejet de H0 au seuil de 5% (car uc > 1,6449)
p-value = G(1,956) = 0,025

3/4

2016-2017
2)

Statistique inférentielle
Comparaison de moyennes (et de variances) observées

Variable quantitative X observée sur deux échantillons.
Pour comparer les moyennes → comparer d'abord les variances.
H0 : {μ1 = μ2} contre H1 : {μ1 ≠ μ2}
K0 : {σ1 = σ2} contre K1 : {σ1 ≠ σ2}
Conditions d'utilisation du test t (de Student) :


normalité de X sur les deux populations



OU grands échantillons (n1 ≥ 30 et n2 ≥ 30)

Comparer d'abord les variances et calculer t en fonction du résultat :


non-rejet de K0 →

avec s² =



(n1−1) . s1² +(n2−1). s2²
(variance commune estimée)
n1+n2−2

rejet de K0 →

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