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Convexité et Lipschitz continuité

MOUKHACHAFIQ kamal
Encadré par: Mr. CHBANI Zaki

29 juillet 2016

TABLE DES MATIÈRES

Remerciements

iii

Introduction : Rappel des théorèmes du point fixe et applications

iv

1

Etude des opérateurs nonexpansifs et généralisations
1.1 Les opérateurs nonexpansifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Projecteurs sur les ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Points fixes des opérateurs nonexpansifs

10

3

Applications à quelques problèmes et algorithmes
3.1 Transformation d’un problème de minimisation en un problème de point fixe . . . . .
3.2 Application à quelques algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20
20
21

ii

1
1
4

REMERCIEMENTS
La réalisation de ce mémoire m’apparait pratiquement difficile au début, mais grâce au concours
de personnes à qui je voudrais témoigner toute ma reconnaissance, elle est devenu plus abordable.
Je voudrais tout d’abord adresser mes remerciements et mes respects à mon encadrant le professeur
monsieur CHBANI Zaki, pour sa patience, sa grande disponibilité et surtout ses conseils efficaces qui
ont orienté mon travail et alimenté ma réflexion.
Je désire aussi remercier les membres du jury, le professeur A . EL ARNI et le professeur H . RIAHI,
qui ont soutenu ce travail, je les remercie pour leurs interventions, leurs conseils et leurs remarques
pratiques.
Et en fin je tiens à remercier les responsables de la bibliothèque de la faculté, qui facilitent la tâche
de la recherche des étudiants par une riche documentation.

iii

INTRODUCTION : RAPPEL DES
THÉORÈMES DU POINT FIXE ET
APPLICATIONS
En analyse, un théorème de point fixe est un résultat qui permet d’affirmer qu’une fonction f
vérifie sous certaines conditions f (x) = x. Ces théorèmes se révèlent être des outils très utiles en
mathématiques, principalement dans le domaine de la résolution des équations différentielles. Par
exemple le théorème du point fixe de Banach 1 (également attribué au mathématicien français Émile
Picard) 2 donne un critère général dans les espaces métriques complets pour assurer que le procédé
d’itération d’une fonction tende vers un point fixe ; et le théorème du point fixe de Browder, démontré
indépendamment en 1965 par Felix Browder et William Arthur Kirk, fait partie de la grande famille
des théorèmes de point fixe, dans le cas particulier des espaces de Hilbert (espaces normées complets
dont leurs norme provient d’un produit scalaire).
Théorème du point fixe de Banach-Picard : Soient (E, d) un espace métrique complet (non vide) et f
une application k-contractante de E dans E (i.e : 0 6 k < 1 et ∀x, y ∈ E d(f (x), f (y)) 6 kd(x, y)).
Alors existe un point fixe unique x∗ de f . De plus, toute suite (xn )n∈N d’éléments de E vérifiant la
récurrence :
xn+1 = f (xn )
est convergente vers x∗ .
Caristi a énoncé un théorème qui étend cette définition, en garantissant l’existence de points fixes,
pour une plus large classe d’applications d’un espace métrique complet dans lui-même, en disant
que pour que f admet un point fixe il suffit qu’il existe une application semi-continue inférieurement (on verra la définition dans le chapitre 2) ϕ : X −→ [0, +∞[ telle que pour tout point x de E,
d(x, f (x)) 6 ϕ(x) − ϕ(f (x)).
Théorème du point fixe de Browder : 3 Dans un espace de Hilbert, si K est un convexe fermé borné
non vide, alors toute application non expansive (on verra sa définition dans le premier chapitre) de
K dans lui-même admet un point fixe.
Théorème du point fixe de Brower 4 (1912) : Toute application continue d’un convexe compact non
vide K d’un espace de dimension finie à valeurs dans K admet un point fixe. En 1930 Schauder 5 a
étendu ce théorème vers les espaces de Banach. L’origine de ce théorème proviendrait de l’observation d’une tasse de café par Brouwer. Quand on mélange son sucre, il semble qu’il y ait toujours
1. Stefan Banach : (1892-1945) est un mathématicien polonais. Ses travaux ont surtout porté sur l’analyse fonctionnelle
dont il est l’un des fondateurs.
2. Emile Picard : né le 24 juillet 1856 à Paris et mort le 11 décembre 1941 à Paris, est un mathématicien français, spécialiste de l’analyse mathématique. Il a laissé son nom à une méthode itérative de résolution des équations intégrales.
3. Felix Earl Browder : est un mathématicien américain, né le 31 juillet 1927.En 1948, il obtient un doctorat de l’université de Princeton.Browder est connu pour ses recherches en analyse fonctionnelle non linéaire, notamment la théorie des
semi-groupes, les opérateurs monotones, les points fixes des sommes au sens de Cesàro des opérateurs non expansifs.
4. Luitzen Egbertus Jan Brouwer :(1881-1966) est un mathématicien néerlandais.Il soutient son doctorat le 16 juin 1904,
à l’université d’Amsterdam, où il obtient une chaire en 1912.Brouwer est surtout connu pour son travail en topologie.
5. Juliusz Pawel Schauder : (1899-1943) est un mathématicien polonais, connu pour ces travaux dans des domaines
de l’analyse fonctionnelle, les équations aux dérivées partielles et la physique mathématique.

iv

un point immobile. Il en déduit que : « À tout moment, il y a un point de la surface qui n’aura pas
changé de place ». Le point fixe n’est pas nécessairement celui qui semble immobile car le centre du
tourbillon bouge un petit peu. Le résultat n’est pas intuitif, car le point initialement fixe aura peutêtre bougé, mais un autre point fixe apparaîtra.
Brouwer aurait ajouté : « Je peux formuler ce magnifique résultat autrement, je prends une feuille
horizontale, une autre feuille identique que je froisse et que je replace en l’aplatissant sur l’autre. Un
point de la feuille froissée est à la même place que sur l’autre feuille ». Quand Brouwer aplatit sa
feuille froissée, il ne la déplie pas, il l’écrase, comme à l’aide d’un fer à repasser.
Motivation du travail et structuration : Généralement en vertu du théorème de Banach-Picard si
un opérateur T , défini d’un espace métrique complet quelconque, est contractant alors il admet un
point fixe. Mais ce résultat n’est plus valable si T est nonexpansif (i.e : 1-lipschitzien) ; et il faut alors
ajouter plus de conditions sur son ensemble de définition. Ce mémoire traite typiquement ce problème.
Le mémoire se présente ainsi : Le premier chapitre comporte des définitions et généralisations concernant les opérateurs nonexpansifs. Le deuxième contient des résultats sur l’ensemble des points fixes
des opérateur nonexpansifs. Et comme application, le troisième chapitre traite l’algorithme du point
proximal où on donne les résultats de convergence faible et forte de la suite vers le minimum d’une
fonction convexe s.c.i. Ensuite on présente cet algorithme de Kranosel’skii-Mann pour les opérateurs
nonexpansifs où on obtient une convergence faible de la suite générée par l’algorithme vers un point
fixe de l’opérateur.

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

[v/26]

Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

[vi/26]

Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

CHAPITRE 1
ETUDE DES OPÉRATEURS
NONEXPANSIFS ET GÉNÉRALISATIONS
Dans toute la suite on
p désigne par H un espace de Hilbert muni du produit scalaire (h., .i), et de
la norme déduite k.k = h., .i.

1.1

Les opérateurs nonexpansifs

Définition 1.1.1 Soit D ⊂ H, D 6= ∅, et soit T : D −→ H, on dit que T est :
i) firmly nonexpansif si :
∀x, y ∈ D; kT x − T yk2 + k(Id − T )x − (Id − T )yk2 6 kx − yk2 ,
ii) nonexpansif avec la constante égale à 1 si :
∀x, y ∈ D; kT x − T yk 6 kx − yk,
iii) quasinonexpansif si :
∀x ∈ D, ∀y ∈ F ix(T ); kT x − yk 6 kx − yk,
avec F ix(T ) = {x ∈ D T x = x}.
iv) strictement quasinonexpansif si :
∀x ∈ D \ F ix(T ), ∀y ∈ F ix(T ); kT x − yk < kx − yk.

Remarque 1.1.1

1. Si T est défini sur intervalle I fermé borné de R alors :

∀x, y ∈ I; |T x − T y|2 + |(Id − T )x − (Id − T )y|2 6 |x − y|2 ⇔ ∀x 6= y ∈ I;

06

2. i) ⇒ ii) ⇒ iii) et i) ⇒ iv) ⇒ iii).
En effet :
1. On a :

∀x, y ∈ I; |T x − T y|2 + |(Id − T )x − (Id − T )y|2 6 |x − y|2



2
T x − T y 2

T
x

T
y
+ 1 −
6 1.
⇔ ∀x 6= y ∈ I
(∗)


x−y
x−y
1

Tx − Ty
6 1.
x−y

Tx − Ty
, on a (∗) est équivalente à a2 + (1 − a)2 = 2a2 − 2a + 1 6 1 i.e
x−y
a(a − 1) 6 0, ce qui est équivalent à a ∈ [0, 1]

Alors en posons a =
2. i) ⇒ ii) : On a :

∀x, y ∈ D; kT x − T yk2 6 kT x − T yk2 + k(Id − T )x − (Id − T )yk2
6 kx − yk2

donc kT x − T yk 6 kx − yk.
ii) ⇒ iii) : Si ∀x, y ∈ D; kT x − T yk 6 kx − yk,
alors ∀x ∈ D, ∀y ∈ F ix(T ) (T y = y), kT x − T yk = kT x − yk 6 kx − yk.
i) ⇒ iv) : Supposons que i) est vérifié ; si x ∈ D \ F ix(T ) et y ∈ F ix(T ) on aura kT x − xk 6= 0 et
par suite :
kT x − T yk2 + k(Id − T )x − (Id − T )yk2 = kT x − yk2 + kT x − xk2
< kx − yk2 ,

(voir i))

donc kT x − yk < kx − yk.
iv) ⇒ iii) : Si ∀x ∈ D \ F ix(T ), ∀y ∈ F ix(T ); kT x − yk < kx − yk,
alors ∀x ∈ D, ∀y ∈ F ix(T ), kT x − yk 6 kx − yk, car si x ∈ D \ F ix(T ), on aura kT x − yk <
kx − yk. Donc kT x − yk 6 kx − yk, sinon si T x = x on a kT x − yk = kx − yk.
Proposition 1.1.1 Soient D un sous-ensemble non vide de H et T : D −→ H. Les propriétés suivantes
sont équivalentes :
i) T est firmly nonexpansif.
ii) Id-T est firmly nonexpansif.
iii) 2T-Id est nonexpansif.
iv) ∀x, y ∈ D; kT x − T yk2 6 hx − y, T x − T yi.
v) ∀x, y ∈ D;

0 6 hT x − T y, (Id − T )x − (Id − T )yi.

vi) ∀x, y ∈ D, ∀α ∈ [0, 1] ; kT x − T yk 6 kα(x − y) + (1 − α)(T x − T y)k.

Démonstration: Soient x, y ∈ D;
i) ⇔ ii) : En effet on a : kT x − T yk2 + k(Id − T )x − (Id − T )yk2 = k(Id − (Id − T ))x − (Id − (Id − T ))yk2
+ k(Id − T )x − (Id − T )yk2 .
i) ⇒ iii) : En appliquant l’égalité du parallélogramme ka + bk2 + ka − bk2 = 2(kak2 + kbk2 ), on a :
k(2T − Id)x − (2T − Id)yk2 = k(T − Id)x − (T − Id)y + (T x − T y)k2
= 2(kT x − T yk2 + k(Id − T )x − (Id − T )yk2 ) − kx − yk2
6 2kx − yk2 − kx − yk2
= kx − yk2
d’où 2T − Id est nonexpansif.
iii) ⇒ iv) : On a : k(2T − Id)x − (2T − Id)yk2 = k2(T x − T y) − (x − y)k2
= h2(T x − T y) − (x − y), 2(T x − T y) − (x − y)i
= 4kT x − T yk2 − 4hx − y, T x − T yi + kx − yk2
6 kx − yk2
donc kT x − T yk2 6 hx − y, T x − T yi.
iv) ⇒ v) : on a : hT x − T y, (Id − T )x − (Id − T )yi = hT x − T y, x − y − (T x − T y)i
= hx − y, T x − T yi − kT x − T yk2
> 0.
Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

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Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

v) ⇒ vi) : Soit α ∈ [0, 1] ; on a :
kα(x − y) + (1 − α)(T x − T y)k2 = kα((Id − T )x − (Id − T )y) + T x − T yk2
= α2 k(Id − T )x − (Id − T )yk2 + 2αh(Id − T )x − (Id − T )y, T x − T yi
+ kT x − T yk2
> kT x − T yk2 .

( car v) implique h(Id − T )x − (Id − T )y, T x − T yi > 0)

vi) ⇒ iv) : On a : kT x − T yk2 6 kα(x − y) + (1 − α)(T x − T y)k2
= α(αk(Id − T )x − (Id − T )yk2 + 2h(Id − T )x − (Id − T )y, T x − T yi)
+ kT x − T yk2

∀α ∈ [0, 1]

d’où αk(Id − T )x − (Id − T )yk2 + 2hx − y − (T x − T y), T x − T yi > 0, donc pour α = 0 on aura le
résultat.
iv) ⇒ i) : On a : iv) ⇒ kT x − T yk − hx − y, T x − T yi 6 0
donc : kT x − T yk2 + k(Id − T )x − (Id − T )yk2 = kT x − T yk2 + kx − y − (T x − T y)k2
= kT x − T yk2 + kT x − T yk2 − 2hx − y, T x − T yi + kx − yk2
= 2(kT x − T yk2 − hx − y, T x − T yi) + kx − yk2
6 kx − yk2 ,
d’où T est firmly nonexpansif.
Corollaire 1.1.1 Soit T ∈ L (H) = {T : H −→ Htel que T est linéaire}. Les propriétés suivantes sont
équivalentes :
i) T est firmly nonexpansif.
ii) k2T − Idk 6 1.
iii) ∀x ∈ H kT xk2 6 hx, T xi.
iv) T ∗ est firmly nonexpansif. (T ∗ est l’unique opérateur qui vérifie ∀x, y ∈ H hT x, yi = hx, T ∗ yi.)
v) T + T ∗ − 2T ∗ T est positif. Un opérateur T est dit positif ssi :
∀x ∈ H hx, T xi > 0.

Démonstration: Soient x, y ∈ H :
i) ⇔ ii) ⇔ iii) : En appliquant la relation ∀a, b ∈ H; kak2 + kbk2 =
T ∈ L (H), alors :

1
(ka + bk2 + ka − bk2 ), et puisque
2

i) ⇔ kT x − T yk2 + k(Id − T )x − (Id − T )yk2 = kT (x − y)k2 + k(Id − T )(x − y)k2
1
= (k(2T − Id)(x − y)k2 + kx − yk2 )
2
6 kx − yk2 ∀x, y ∈ H
1
1
⇔ k(2T − Id)(x − y)k2 6 kx − yk2 ∀x, y ∈ H
2
2
⇔ k(2T − Id)(x − y)k 6 kx − yk ∀x, y ∈ H
⇔ k(2T − Id)xk 6 kxk ∀x ∈ H
k(2T − Id)xk
61
⇔ ii) k2T − Idk = sup
kxk
x6=0
⇔ k(2T − Id)xk2 = 4(kT xk2 − hx, T xi) + kxk2 6 kxk2 ∀x ∈ H

(car ∀T ∈ L (H); kT xk 6 kT kkxk)

⇔ iii) kT xk2 6 hx, T xi ∀x ∈ H.
Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

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Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

i) ⇔ iv) : On sait que : ∀u, v ∈ L (H) ; ku∗ k = kuk ; Id∗ = Id ; v ∗ + u∗ = (v + u)∗ ; et (u∗ )∗ = u.
D’près l’équivalence i) ⇔ ii), on a :
T est firmly nonexpansif ⇔ k2T ∗ − Idk = k(2T − Id)∗ k = k2T − Idk 6 1
⇔ T ∗ est firmly nonexpansif.
iii) ⇔ v) : On a :

iii) ⇔ ∀x ∈ H kT xk2 6 hT ∗ x, xi
⇔ hx, T ∗ T xi = hT x, T xi = kT xk2 6 hT ∗ x, xi ∀x ∈ H
⇔ 0 6 hx, T ∗ x − T ∗ T xi ∀x ∈ H
⇔ hx, 2(T ∗ x − T ∗ T x)i = hx, T ∗ x − T ∗ T xi + hx, T ∗ x − T ∗ T xi
= hx, (T ∗ − T ∗ T )xi + h(T − T ∗ T )x, xi ((T ∗ T )∗ = T ∗ T )
= hx, (T + T ∗ − 2T ∗ T )xi > 0 ∀x ∈ H
⇔ v) T + T ∗ − 2T ∗ T est positif.

1.2

Projecteurs sur les ensembles convexes

Définition 1.2.1
1. Soit C ⊂ H. On dit que C est convexe si :
∀x, y ∈ H ∀α ∈ [0, 1] αx + (1 − α)y ∈ C.
2. Soit C ⊂ H un ensemble convexe fermé non vide et soit x ∈ H. Alors l’unique point p ∈ H vérifiant :

p ∈ C
kx − pk = inf kx − yk
y∈C

est dit la projection de x sur C. On note alors PC x = p.

Remarque 1.2.1 Le vecteur p existe car C est fermé dans H, qui est complet, alors il est complet, or la
caractérisation de la bornne inférieure nous donne l’existence d’une suite (xn ) dans C telle que kx − xn k −→
inf kx − yk, on montre que (xn ) est de Cauchy dans C donc convergente vers un p ∈ C. Pour l’unicité on

y∈C

utilise la convexité de C.

Proposition 1.2.1 Soit C ⊂ H un ensemble convexe fermé non vide. Donc la projection PC est firmly
nonexpansive.

Pour démontrer cette proposition on a besoin du lemme suivant.
Lemme 1.2.1 Soit C ⊂ H un ensemble convexe fermé non vide. Alors on a :
∀x, p ∈ H ∈ C p = PC x ⇔ [∀y hx − p, y − pi 6 0 et p ∈ C ] .

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

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Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

F IGURE 1.1 – Projetion sur un convexe de R2
Démonstration: ⇒: On sait que kx − PC xk = d(x, C) = inf kx − yk (C est convexe fermé)
y∈C

et puisque ∀y ∈ C; ∀α ∈ [0, 1] αy + (1 − α)PC x ∈ C car C est convexe, alors :
kx − (αy + (1 − α)PC x)k2 = kx − PC x − α(y − PC x)k2
= kx − PC xk2 + α2 k(y − PC x)k2 − 2αhx − PC x, y − PC xi
≥ kx − PC xk2 .
Donc : α(αk(y − PC x)k2 − 2hx − PC x, y − PC xi) ≥ 0
i.e : αk(y − PC x)k2 − 2hx − PC x, y − PC xi ≥ 0.
Donc pour α = 0 hx − PC x, y − PC xi ≤ 0.
⇐: Supposons que ∀y ∈ C hx − p, y − pi 6 0 et p ∈ C.
Soit y ∈ C, on a :
kx − yk2 = kx − p − (y − p)k2

∀α ≥ 0,

= kx − pk2 + ky − pk2 − 2hx − p, y − pi
> kx − pk2 .
On suppose qu’il existe p1 et p2 de C tels que kx − p1 k = kx − p2 k = inf kx − yk. Alors
y∈C

kp1 − p2 k2 = kp1 − x − (p2 − x)k2
= 2kx − p1 k2 + 2kx − p2 k2 − kp1 − x + (p2 − x)k2


2


p
+
p
1
2
2

= 4kx − p1 k − 4
x −

2


p1 + p2
∈ C parce que C est convexe).
6 4 kx − p1 k2 − inf kx − yk2 = 0 (car
y∈C
2
Démonstration (Démonstration de la poposition 1.2.1) D’après le lemme précédent, on a :
(
hy − PC y, PC x − PC yi 6 0 (1)
hx − PC x, PC y − PC xi 6 0 (2)
puisque PC x ∈ C.
En ajoutant (1) à (2) on aura hPC x − PC y, − ((x − PC x) − (y − PC y))i 6 0,
c’est à dire hPC x − PC y, (Id − PC )x − (Id − PC )yi ≥ 0.
D’où d’après la proposition 1.1.1 v), PC est firmly nonexpansif.
Exemple: Supposons que H 6= {0} et soit α ∈]0, 1]. Soient T1 et T2 deux opérateurs définis par :

(
(1 − 1 )x si kxk > 1
αx si kxk > 1
kxk
et T2 x =
T1 x =

0
si kxk 6 1.
0
si kxk 6 1
Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

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Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

Alors T1 est firmly nonexpansif. Pour α < 1 T2 est quasinonexpansif mais n’est pas nonexpansif, pour
α = 1 T2 n’est pas quasinonexpansif. L’application définie sur H par :


 1− 2
x si kxk > 1
kxk
T3 x =

−x
si kxk 6 1
est nonexpansif mais n’est pas firmly nonexpansif.
En effet :• Puisque PB(0;1) est définie sur H par : 
 x
PB(0;1) = kxk
x

si kxk > 1
si kxk 6 1

x
= (Id − PB(0;1) )(x)
kxk
sinon si kxk 6 1 on a T1 x = 0 = x − x = (Id − PB(0;1) )(x) et d’après la proposition 1.2.1, PB(0;1) est firmly
nonexpansive (B(0; 1) est convexe fermée non vide), donc en vertu de la proposition 1.1.1 i) T1 est firmly
nonexpansif.
• Soit α < 1, alors :
alors T1 = Id − PB (0; 1) car si kxk > 1 c’est à dire x ∈
/ B(0; 1) ; T1 x = x −

x ∈ F ixT2 ⇔ ((α − 1)x = 0 si kxk > 1) ou bien (x = 0 si kxk 6 1)
|
{z
}
impossible (α6=1)

⇔ x = 0.
(
αkxk 6 kxk = kx − yk si kxk > 1
Donc F ixT2 = {0}, d’où ∀xH, ∀y ∈ F ixT2 , kT2 x−yk = kT2 xk =
0 6 kx − yk
si kxk 6 1.
Donc T2 est quasinonexpansif.



1
1
• Soient x ∈ H \ {0} et xn =
une suite dans H \ {0}.
x
+
n kxk
n∈N
kxk
x
On a : ∀n ∈ N∗ kxn k =
+ 1 > 1 et xn −→
= x.
n
kxk

1
x
1
Or : T2 xn = α
+
6= 0 = T2 x.
x −→ α
n kxk
kxk
D’où T2 n’est pas continue alors il n’est pas nonexpansif.
S
x
Si α = 1 , on aura F ixT2 = B(0; 1)c {0} ; soit maintenant x ∈ B(0; 1) \ {0} ; posons y = 3
; on a :
kxk



x
= 3 > 3 − kxk = kxk( 3 − 1) = k 3x − xk = kx − yk,

kT2 x − yk = −3
kxk
kxk
kxk
donc T2 n’est pas quasinonexpansif.
• Remarquons que T3 = 2T1 − Id, donc d’après la proposition 1.1.1 iii), T3 est nonexpansif.
• Prenons x ∈ B(0; 1) \ {0} et posons y = −x (kyk = kxk = 1),
donc : kT x − T yk2 + k(Id − T )x − (Id − T )yk2 = k(−x) − (−y)k2 + kx + x − (y + y)k2
3

3

3

3

= kx − yk2 + 4kx − yk2
= 5kx − yk2
> kx − yk2 .
Donc T3 est non firmly nonexpansif.
Corollaire 1.2.1 Soient C ⊂ H convexe fermé non vide. Donc Id − PC est firmly nonexpansif et 2PC − Id
est nonexpansif.

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

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Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

Démonstration: Puisque C est un sous-ensemble non vide convexe fermé de H, alors d’après la proposition
1.2.1, la projection PC est firmly nonexpansive, et par la proposition 1.1.1 ((ii) et (iii)) on a Id − PC est firmly
nonexpansif et 2PC − Id est nonexpansif.
Définition 1.2.2
1. Soient (xn )n∈N une suite dans H. On dit que (xn ) converge faiblement vers x ∈ H ssi ∀y ∈
H hxn , yi −→ hx, yi. On note xn * x.
2. Soit T : D ⊂ H −→ H. On dit que T est faiblement continue si pour tout suite (xn )n∈N dans H telle
que xn * x on a T xn * T x.
3. T est dit un opérateur affine si :
∀x, y ∈ H = D, ∀λ ∈ [0, 1] ; T (λx + (1 − λ)y) = λT x + (1 − λ)T y.
De manière équivalente ; si l’application suivante :
ϕ : H −→ H
x 7−→ T x − T 0
est linéaire continue.

Lemme 1.2.2 Soit T : H −→ H un opérateur affine. Alors T est faiblement continu.

Démonstration: Soit ϕ : x 7−→ T x − T 0. Puisque T affine, alors ϕ ∈ Lc (H) = {T ∈ Lc (H) :
T est continu}. Soit une suite (xn )n∈N dans H telle que xn * x, donc ∀y ∈ H hxn , ϕ∗ (y)i −→ hx, ϕ∗ (y)i,
c’est à dire ∀y ∈ H hϕ(xn ), yi −→ hϕ(x), yi et par suite ϕ(xn ) * ϕ(x),
d’où T xn = ϕ(xn ) + T 0 * ϕ(x) + T 0 = T x, finalement, T est faiblement continu.
Lemme 1.2.3 Soit C un sous-espace affine fermé de H. Alors :
∀x, p ∈ H, p = PC x ⇔ [∀y, z ∈ C hy − z, x − pi = 0 et p ∈ C].

Démonstration: Puisque C est un sous-espace affine fermé de H, alors :
∀x, p ∈ H, p = PC x ⇔ x − p ∈ C ⊥ et p ∈ C
⇔ ∀y, z ∈ C hy − z, x − pi = hy, x − pi − hz, x − pi = 0 et p ∈ C.
| {z } | {z }
=0

=0

Définition 1.2.1 Soit D un sous-ensemble non vide de H. On dit que D est un sous-espace affine de H si :



∃→
u ∈ D, ∃ D un ss.e.v de H tel que :




D=→
u + D.

Proposition 1.2.2 Soit C un sous-espace affine fermé de H. Alors :
i) PC est faiblement continue.
ii) ∀x, y ∈ H kPC x − PC yk2 = hx − y, PC x − PC yi.

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

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Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

Démonstration:
i) Montrons que PC est un opérateur affine.
Soient λ ∈ R, et x, y ∈ H. Posons z = λx + (1 − λ)y ∈ C et p = λPC x + (1 − λ)PC y ∈ C (C est
u sous-espace affine). Soient u, v ∈ C, on a :
hu − v, z − pi = hu − v, λ(x − PC x) + (1 − λ)(y − PC y)i
= λhu − v, x − PC xi + (1 − λ)hu − v, y − PC yi
= λ0 + (1 − λ)0 = 0.

(lemme 1.2.3)

Donc d’après le lemme 1.2.3, PC (λx + (1 − λ)y) = λPC x + (1 − λ)PC y, c.à.d PC est un opérateur
affine, et le lemme 1.2.2 implique que PC est faiblement continu.
(
hPC x − PC y, x − PC xi = 0
ii) Puisque C est un sous-espace affine fermé de H, alors d’après le lemme 1.2.3
hPC y − PC x, y − PC yi = 0
car PC x et PC y ∈ C, et par suite en faisant la somme de (1) et (2) on aura :
hPC x − PC y, x − PC x − (y − PC y)i = hPC x − PC y, x − y − (PC x − PC y)i
= hPC x − PC y, x − yi − kPC x − PC yk2
= 0.
D’où : kPC x − PC yk2 = hPC x − PC y, x − yi.

Lemme 1.2.4 (inégalité de Bessel) Supposons que H est de dimension infinie et (en )n∈N une suite orthogonale dans H, alors
X
∀y ∈ H;
|hy, en i|2 6 kyk2
n∈N

et par suite en * 0.

Démonstration: On a :

2

2
* k
+
k
k


X

X
X




2
0 6 y −
hy, en ien = kyk + hy, en ien − 2 y,
hy, en ien




n=0

= kyk2 +
= kyk2 −

n=0
k
X

n=0

|hy, en i|2 − 2

n=0
k
X

k
X

hy, en i hy, en i

(∀i 6= j ei ⊥ej )

n=0

|hy, en i|2 .

n=0

Donc

k
P

|hy, en i|2 6 kyk2 (∀k ∈ N). En passe à la limite et on aura le résultat.

n=0

Remarque 1.2.2 La continuité faible des projections n’est pas toujours assurée.
Exemple: supposons que H est de dimension infinie et posons C = B(0, 1). Alors PC n’est pas faiblement
continue.
En effet : Soit (en )n∈N une suite orthogonale dans H ; ce choix est possible car la dimensionPde H est infinie.
Posons xn = e1 + en+1 , soit y ∈ H on a hen+1 , yi −→ 0 ; car d’après l’inégalité de Bessel
|hy, en+1 i|2 <
n∈N

∞ d’où |hy, en+1 i|2 −→ 0 ; donc hxn , yi −→ he1 , yi c’est à dire que xn * e1 . Or la projection PB(0,1) est
x
définie par :
∀x ∈ H PB(0,1) x =
max{kxk, 1}
xn
e1 + en+1

donc
PB(0,1) xn =
=
,
max{kxn k, 1}
2
Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

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Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

(1)
(2)

car
d’où :

kxn k2 = ke1 + en+1 k2 = ke1 k2 + ken+1 k2 + 2 he1 , en+1 i = 1 + 1 = 2
| {z }
e1
PC xn * √ 6= e1 = PC e1
2

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

((en ) est orthogonale)

=0

(e1 ∈ B(0, 1)).

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Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

CHAPITRE 2
POINTS FIXES DES OPÉRATEURS
NONEXPANSIFS
Le projecteur PC , sur un sous-ensemble non vide convexe fermé de H, est (firmly) nonexpansif
d’après la proposition 1.2.1, or F ixPC = C donc F ixPC est convexe fermé. La proposition suivante
étend cette remarque.
Proposition 2.0.1 Soient D un sous-ensemble non vide convexe de H et T : D −→ H un opérateur
quasinonexpansif. Alors F ixT est convexe.

Démonstration: Soit x, y ∈ F ixT et soit α ∈ [0, 1]. Posons z = αx + (1 − α)y = y + α(x − y), on a :
kT z − zk2 = kT z − αx + (1 − α)yk2
= kα(T z − x) + (1 − α)(T z − y)k2
= α2 kT z − xk2 + (1 − α)2 kT z − yk2 + 2α(1 − α)hT z − x, T z − yi
= α2 kT z − xk2 + (1 − α)2 kT z − yk2 − α(1 − α)(kx − yk2 − kT z − xk2 − kT z − yk2 )
= (α2 + α(1 − α))kT z − xk2 + ((1 − α)2 + α(1 − α))kT z − yk2 − α(1 − α)kx − yk2
= αkT z − xk2 + (1 − α)kT z − yk2 − α(1 − α)kx − yk2
6 αkz − xk2 + (1 − α)kz − yk2 − α(1 − α)kx − yk2

(T est quasinonexpansif)

2

= kα(z − x) + (1 − α)(z − y)k

= kα(1 − α)(y − x) + (1 − α)α(x − y)k2
= 0.
Donc T z = z, d’où z ∈ F ixT . On en déduit que F ixT est convexe.

Proposition 2.0.2 Soient D un sous-ensemble non vide fermé de H et T : D −→ H un opérateur continu.
Alors F ixT est fermé.

Démonstration: Si F ixT = ∅ c’est fini car ∅ est fermé.
Si F ixT 6= ∅, on prend une suite (xn )n∈N dans F ixT telle que xn −→ x ∈ D (fermé). On a T est continu,
donc T xn −→ T x, or ∀n ∈ N xn ∈ F ixT c’est à dire T xn = xn ,
donc xn −→ x et xn −→ T x, alors T x = x i.e x ∈ F ixT .
10

Corollaire 2.0.1 Soient D un sous-ensemble non vide convexe fermé de H et T : D −→ H un opérateur
nonexpansif. Donc F ixT est convexe fermé.

Démonstration: On a D est non vide convexe et T est nonexpansif, donc d’après la remarque 1.1.1 il
est quasinonexpansif, et par la proposition 2.0.1 F ix(T ) est convexe. On a D est non vide fermé et T est
nonexpansif, donc il est continu, et par la proposition 2.0.2 F ixT est fermé.

Corollaire 2.0.2 Soient D un sous-ensemble non vide convexe fermé de H et T : D −→ H un opérateur
firmly nonexpansif. Alors :
\
F ixT =
{y ∈ D : hy − T x, x − T xi 6 0}.
x∈D

Démonstration: Posons C =

T

{y ∈ D : hy − T x, x − T xi 6 0}, et soit y ∈ C. Alors on a ∀x ∈

x∈D

D, hy − T x, x − T xi 6 0, en particulier hy − T y, y − T yi = ky − T yk2 6 0, d’où y ∈ F ixT , on en déduit
alors que C ⊂ F ixT .
Soit maintenant y ∈ F ixT (T y = y). Puisque T est firmly nonexpansif, alors d’après la proposition 1.1.1
v), on a :
∀x ∈ D hT x − T y, (Id − T )x − (Id − T )yi = hT x − y, x − T xi
>0
et par suite ∀x ∈ D hT x − y, T x − xi 6 0, donc y ∈ C, puis F ixT ⊂ C. Donc finalement F ixT = C.

Définition 2.0.1 Soit D un sous-ensemble non vide de H. On dit que D est faiblement fermé si pour toute
suite (xn )n∈N d’éléments dans D telle que xn * x, on a x ∈ D.

On aura besoin de se théorème par la suite :
Théorème 2.0.1 (Banach-Steinhaus) soient (E, k.kE ) un espace de Banach, (F, k.kF ) un espace normé
quelconque, et (fn ) une suite d’applications linéaires continues de E vers F . On muni Lc (E, F ) = {f :
E −→ F telle que f est linéaire continue} par la norme kf k = sup kf (x)k ∀f ∈ Lc (E, F ). Alors :
kxkE =1

sup kfn k < +∞ ⇔ ∀u ∈ H,

sup kfn (u)k < +∞.

n∈N

n∈N

Démonstration: Admis

Théorème 2.0.2 (principe de la demi-fermeture ) Soit D un sous-ensemble non vide faiblement fermé
de H et T : D −→ H un opérateur nonexpansif. Soient (xn )n∈N une suite dans D et x, u ∈ H. Supposons
que xn * x et que xn − T xn −→ u alors x − T x = u.

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

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Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

Démonstration: Si xn * x alors x ∈ D car D est faiblement fermé. On a :
kx − T x − uk2 = kx − xn + xn − T x − uk2

(2.1)

= kx − xn k2 + kxn − T x − uk2 − 2hx − xn , xn − T x − ui
2

2

= kx − xn k + kxn − T xn − u + T xn − T xk − 2hx − xn , xn − T x − ui

(2.2)
(2.3)

= kx − xn k2 + kxn − T xn − uk2 + kT xn − T xk2 + 2hxn − T xn − u, T xn − T xi (2.4)
− 2hx − xn , xn − T x − ui
2

(2.5)
2

2

6 kx − xn k + kxn − T xn − uk + kxn − xk + 2hxn − T xn − u, T xn − T xi
− 2hx − xn , xn − T x − ui

(2.6)
(2.7)

= 2hxn − x, T x − x + ui + kxn − T xn − uk2 + 2hxn − T xn − u, T xn − T xi,

(2.8)

puisque xn * x alors xn − x * 0, et on a xn − T xn − u −→ 0.
or on a : hT xn − T x − (x − T x − u), yi = hT xn − x + u, yi
= hu − (xn − T xn ), yi + hxn − x, yi −→ 0 quand n −→ +∞
donc T xn − T x * x − T x − u. Pour conclure on ait besoin du lemme suivant :
Lemme 2.0.1 Soient (xn )n∈N et (yn )n∈N deux suites de H et soit x, y ∈ H telles que xn * x et yn −→ y,
alors hxn , yn i −→ hx, yi.

Démonstration: puisque xn * x, alors (xn ) est bornée, en effet :
puisque ∀u ∈ H, hxn , ui −→ hx, ui alors sup |hxn , ui| < +∞.
n∈N

En effet : ∃N ∈ N, ∀n > N |hxn , ui − hx, ui| < 1,
donc |hxn , ui| < 1 + |hx, ui|.
Posons M = max{1 + |hx, ui| , max |hxn , ui|} > 0.
06n6N −1

Donc on a : ∀n ∈ N, |hxn , ui| 6 M < +∞. (∗)
Considérons la suite d’applications linaires continues (fn ) définie par fn (y) = hxn , yi ∀y ∈ H, on muni
Lc (H, R) par la norme sup |f (x)|.
kxk=1

On a alors kfn k = kxn k car d’après Cauchy ∀y ∈ H |fn (x)| 6 kxn kkyk. Alors kfn k 6 kxn k. On sait que
∀y ∈ H |fn (x)| 6 kfn kkyk, pour y = xn on a ∀n ∈ N kxn k2 6 kfn kkxn k, et par étude des cas on a
kxn k 6 kfn k.
puisque H est un espace de Banach et d’après (∗) ∀y ∈ H sup |fn (y)| < +∞. Alors en vertu du théorème
n∈N

de Banach-Steinhaus sup kfn k = sup kxn k < +∞. Donc (xn ) est bornée.
n∈N

n∈N

Et comme |hxn , yn i − hx, yi| = |hxn , yn − yi + hxn − x, yi|
6 kxn kkyn − yk + |hxn − x, yi|

(inégalité triangulaire et de Cauchy Schwartz)

6 sup kxn kkyn − yk + |hxn − x, yi| −→ 0 quand n −→ +∞.
n∈N

Revenons maintenant à la démonstration du théorème.
D’après le lemme précédent hxn − T xn − u, T xn − T xi −→ h0, x − T x − ui = 0
finalement, en passant à la limite dans (2.8) on a kx − T x − uk2 6 0, d’où x − T x = u.
Corollaire 2.0.3 Soit D un sous-ensemble non vide convexe fermé de H et soient T : D −→ H un opérateur
nonexpansif, (xn )n∈N une suite dans D, et x ∈ H. Supposons que xn * x et que xn − T xn −→ 0, alors
x ∈ F ixT .

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

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Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

Démonstration: puisque D un sous-ensemble non vide convexe fermé de H, alors d’après le lemme 1.2.1
pour toute (x0n )n∈N telle que x0n * x0 , on a ∀n ∈ N hx0n − PD x0 , x0 − PD x0 i 6 0.
Donc en passant à la limite on a hx0 − PD x0 , x0 − PD x0 i = kx0 − PD x0 k2 6 0, donc x0 = PD x0 ∈ D et par
suite D est faiblement fermé.
Puisque T est nonexpansif, xn * x et xn − T xn −→ 0, alors en posant u = 0 et en appliquant le théorème
2.0.1 on a x − T x = u = 0, c’est-à-dire x ∈ F ixT .

Définition 2.0.2 Soit D un sous-ensemble non vide de H. On dit que D est faiblement compact si de toute
suite (xn )n∈N dans D on peut extraire une sous-suite faiblement convergente vers un x ∈ D.

Exemple: Dans un espace de Hilbert quelconque la boule fermé unité Bf (0, 1) est faiblement compact. 1
Lemme 2.0.2 Soit K ⊂ H un faiblement compact et soit D ⊂ K, alors :
D est faiblement fermé ⇒ D est faiblement compact.

Démonstration: Soit (xn )n∈N ⊂ D ⊂ K, alors ∃x ∈ K, ∃(xϕn )n∈N une sous-suite de (xn ) telle que
(xϕn ) * x car K est faiblement compact, or D est faiblement fermé donc x ∈ D.
Lemme 2.0.3 Soit K un sous-ensemble non vide de H, alors si K est faiblement fermé et borné alors il est
faiblement compact.

Démonstration: puisque K est borné alors ∃r > 0 tel que K ⊂ Bf (0, r) = rBf (0, 1) qui est faiblement
compact (voir l’exemple ci-dessus). Or K est faiblement fermé, alors d’après le lemme 2.0.2, K est faiblement
compact.

Théorème 2.0.3 (Browder-Gohde-Kirk) Soit D 6= ∅ un sous-ensemble fermé borné convexe de H et soit
T : D −→ D un opérateur nonexpansif, alors F ixT 6= ∅.

Démonstration: Soit x0 ∈ D, pour tout n ∈ N∗ on considère l’opérateur :
Tn : D −→ D
1
1
x 7−→ x0 + (1 − )T x.
n
n
1
1
On a ∀x, y ∈ D kTn x − Tn yk = (1 − )kT x − T yk 6 (1 − )kx − yk ( T est nonexpansif).
n
n
Donc Tn est strictement contractant sur D, d’où ∃xn ∈ D tel que Tn xn = xn ,
1
1
c’est-à-dire kxn − T xn k = kx0 − T xn k 6 diam(D) −→ 0 quand n −→ +∞,
n
n
donc xn − T xn −→ 0. Et puisque D est convexe fermé, alors il est faiblement fermé (voir la démonstration
du corollaire 2.0.2), or D est borné donc d’après le lemme 2.0.3, il est faiblement compact. Puisque (xn )n∈N ⊂
D, alors ∃(xϕn )n∈N une sous-suite de (xn ) telle que xϕn * x ∈ D. Comme xϕn − T xϕn −→ 0, donc le
corollaire 2.0.3 implique que x ∈ F ixT .
1. voir : Brézis, analyse fonctionnelle.

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

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Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

Proposition 2.0.3 (courbe approchante) Soit D 6= ∅ un sous-ensemble fermé convexe de H, et soit T :
D −→ D un opérateur nonexpansif. Alors pour tout ε ∈ ]0, 1[, pour tout x ∈ D, il existe un unique
xε ∈ D tel que :
xε = εx + (1 − ε)T xε ,
pour tout ε ∈ ]0, 1[, on considère l’application : Tε : D −→ D
x 7−→ xε .
Soit x ∈ D,alors :
i) ∀ε ∈ ]0, 1[ Tε = εId + (1 − ε)T Tε = (Id − (1 − ε)T )−1 ◦ εId.
ii) ∀ε ∈ ]0, 1[ Tε est firmly nonexpansif.
iii) ∀ε ∈ ]0, 1[ F ixTε = F ixT .
iv) ∀ε ∈ ]0, 1[ ε(x − T xε ) = xε − T xε = (1 − ε)−1 ε(x − xε ).
v) Supposons que F ixT = ∅. Donc lim kxε k = +∞.
vi) ∀ε ∈ ]0, 1[ , ∀y ∈ F ixT kx −

ε−→0
xε k2 +

kxε − yk2 6 kx − yk2 .

vii) Supposons que F ixT 6= ∅. Donc lim xε = PF ixT x.
ε−→0

viii) ∀ε ∈ ]0, 1[ ∀δ ∈ ]0, 1[


ε−δ
1−ε

2

kxε − xk2 + δ(2 − δ)kxδ − xε k2 6 2

ε−δ
hxε − x, xδ − xε i.
1−ε

ix) ∀ε ∈ ]0, 1[ , ∀δ ∈]0, ε[ kx − xε k2 + kxε − xδ k2 6 kx − xδ k2 .
x) La fonction ϕx : ]0, 1[ −→ R+ définie pour tout ε ∈ ]0, 1[ par ϕx ε = kx − xε k, est décroissante.
xi) La courbe Cx : ]0, 1[ −→ H, définie pour tout ε ∈ ]0, 1[ par Cx ε = xε est continue.
xii) Si x ∈ F ixT , donc Cx ≡ x constante, sinon Cx est une courbe injective.

Démonstration: Soit ε ∈ ]0, 1[, posons l’application T0ε : D −→ D définie par T0ε x = εx + (1 − ε)T z
kT0ε y − T0ε zk = (1 − ε)kT y − T zk 6 (1 − ε)ky − zk.
Donc T0ε est strictement contractante, alors ∃!xε ∈ D tel que xε = T0ε xε = εx + (1 − ε)T xε .
i) On a :

∀x ∈ D Tε x = εx + (1 − ε)Txε
= εx + (1 − ε)T Tε x
= (εId + (1 − ε)T Tε )x.

Donc, et alors (Id − (1 − ε)T )Tε = εId d’où Id − (1 − ε)T est surjective, en effet :
εId est bijective, alors ∀y ∈ D ∃x ∈ D (Id − (1 − ε)T )Tε x = y. Posons x0 = Tε x, d’où la
surjectivité.
Comme Id − (1 − ε)T est injective, car :
x − (1 − ε)T x = y − (1 − ε)T y,
implique kx − (1 − ε)T x − y − (1 − ε)T yk = kx − y − (1 − ε)(T x − T y)k = 0,
et on sais que kx − y − (1 − ε)(T x − T y)k > kx − yk − (1 − ε)kT x − T yk,
i.e 0 = kx − y − (1 − ε)(T x − T y)k > kx − yk − (1 − ε)kx − yk = εkx − yk, car T est nonexpansif.
Donc x = y. Par suite Id − (1 − ε)T est bijective et on a :
Tε = (Id − (1 − ε)T )−1 ◦ εId.

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

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Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

(
xε = εx + (1 − ε)T Tε x
ii) On a :
yε = εy + (1 − ε)T Tε y,
donc x − y = ε−1 (Tε x − Tε y − (1 − ε)(T Tε x − T Tε y)),et par suite :

hx − y, Tε x − Tε yi = ε−1 kTε x − Tε yk2 − (1 − ε)hT Tε x − T Tε y, Tε x − Tε yi

≥ ε−1 kTε x − Tε yk2 − (1 − ε)kT Tε x − T Tε ykkTε x − Tε yk
(Cauchy Shwartz)

−1
2
2
≥ε
kTε x − Tε yk − (1 − ε)kTε x − Tε yk
(T est nonexpansif)
= kTε x − Tε yk2 .
Donc d’après la proposition 1.1.1 iv) Tε est firmly nonexpansif.
iii) on a :

x ∈ F ixTε ⇔ Tε x = εx + (1 − ε)T Tε x = x
⇔ εx + (1 − ε)T x = x
⇔ −(1 − ε)x + (1 − ε)T x = 0
⇔ (1 − ε)(T x − x) = 0

(ε < 1)

⇔ Tx = x
⇔ x ∈ F ixT.
Donc F ixTε = F ixT.
iv) On a : xε = εx + (1 − ε)T xε , alors εx = xε − (1 − ε)T xε ,
donc :
ε(x − T xε ) = εx − εT xε
= xε − (1 − ε)T xε − εT xε
= xε − T xε ,
et on a :

ε(x − T xε ) = (1 − ε)−1 ε(1 − ε)(x − T xε )
= (1 − ε)−1 ε(x − (εx + (1 − ε)T xε ))
= (1 − ε)−1 ε(x − xε ).

v) Soit F ixT 6= ∅, supposons que ∃(εn )n∈N ⊂ ]0, 1[ telle que εn −→ 0 mais (xεn ) est bornée.
On a (xεn ) est bornée, donc ∃(xεϕn ) une sous-suite de (xεn ) telle que xεϕn * x ∈ D.
Comme iv) nous donne xεϕn − T xεϕn −→ 0. Car :
kxεϕn − T xεϕn k = (1 − εϕn )−1 εϕn kx − xεϕn k 6 (1 − εϕn )−1 εϕn M.
Et puisque D est convexe fermé et T est nonexpansif. Il en résulte alors, d’après le corollaire 2.0.3, que
x ∈ F ixT ce qui est absurde.
vi) Soit ε ∈]0, 1[, y ∈ F ixT
ona d’après iii) F ixT = F ixTε donc y = yε
donc :
kx − xε k2 + kxε − yk2 = kx − y − (xε − y)k2 + kxε − yk2
= kx − y − (xε − yε )k2 + kxε − yε k2
= kx − y − (Tε x − Tε y)k2 + kTε x − Tε yk2
= k(Id − Tε )x − (Id − Tε )y)k2 + kTε x − Tε yk2
= kx − yk2 .

(d’après i) )

vii) soit (εn )n∈N ⊂]0, 1[ telle que (εn ) & vers 0. Posons zn = xεn et soit y ∈ F ixT ,
1
d’après iv) kx − zn k2 + kzn − yk2 6 kx − yk2 . Donc kzn k 6 (kx − yk + kx + yk).
2
1
(Utilisez les formules kak2 + kbk2 = (ka − bk2 + ka + bk2 ) et kak − kbk 6 ka − bk )
2
Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

[15/26]

Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

D’où (zn ) est bornée, donc elle admet une sous-suite zϕn faiblement convergente vers z .
on a d’après vi) kx − zϕn k2 6 kx − zϕn k2 + kzϕn − zk2 6 kx − zk2 , donc limkx − zϕn k2 6 kx − zk2 .
Puisque k.k2 est semi-continue inférieurement alors :
kx − zk2 6 limkx − zϕn k2 6 limkx − zϕn k2 6 kx − zk2 .
Donc x − zϕn * x − z (car kx − zϕn − (x − z)k2 = kx − zϕn k2 + kx − zk2 − 2hx − zϕn , x −
zi −→ kx − zk2 + kx − zk2 − 2hx − z, x − zi = 0), d’où zϕn −→ z, d’après iv) zϕn − T zϕn =
(1 − εϕn )−1 εϕn (x − zϕn ) −→ 0, donc comme T est continu alors z ∈ F ixT (H est séparé).
Or d’après iv) kx − zk2 + kz − yk2 6 kx − yk2 = kx − zk2 + kz − yk2 + 2hx − z, z − yi, d’où
hx − z, y − zi 6 0 pour tout y ∈ F ixT , donc d’après le lemme 2.0.1, F ixT est convexe fermé et le
lemme 1.2.1 donne z = PF ixT x, d’où xε −→ PF ixT x quand ε −→ 0.
viii) Soit δ et ε ∈]0, 1[ et x ∈ H, on a :


ε−δ 2
ε−δ
kxε − xk2 + δ(2 − δ)kxδ − xε k2 − 2
hxε − x, xδ − xε i
1−ε
1−ε


1−δ
=k
− 1 (xε − x) − (xδ − xε )k2 + (δ(2 − δ) − 1)kxδ − xε k2
1−ε
= k1 − δ(1 − ε)−1 (xε − x) − (xδ − x)k2 + (1 − δ)−1 kxδ − xε k2
= (1 − δ)2 k(1 − ε)−1 (xε − x) − (1 − δ)−1 (xδ − x)k2 + (1 − δ)2 kxδ − xε k2

= (1 − δ)2 k(T xε − x) − (T xδ − x)k2 + kxδ − xε k2
(d’apès iv))

= (1 − δ)2 kT xε − T xδ − xk2 + kxδ − xε k2
60

(car T est nonexpansif).

ix) Soit ε ∈]0, 1[ et δ ∈]0, ε et x ∈ H, on a :
kx − xε k2 + kxε − xδ k2 = kx − xδ k2 + 2(kx − xε k2 + hkx − xε , x − xδ i)
= kx − xδ k2 + 2(kx − xε k2 − kx − xε k2 + hkx − xε , xε − xδ i)
= kx − xδ k2 + 2hkx − xε , xε − xδ i
6 kx − xδ k2 ,
car d’après viii) hx − xε , xε − xδ i > 0

(
ε−δ >0
1−ε>0

!
.

x) D’après ix) ∀δε ∈]0, 1[ tels que δ 6 ε
kx − xε k2 6 kx − xε k2 + kxε − xδ k2 6 kx − xδ k2 .
Donc ϕx (ε) = kx − xε k 6 kx − xδ k = ϕx (δ), d’où ϕx est décroissante.
xi) Soient ε0 ∈]0, 1[ et ε < ε0 . On a d’après viii)
ε − ε0
hxε − x, xε − xε0 i
1 − ε0 0
ε − ε0
62
kxε0 − xkkxε − xε0 k,
1 − ε0

ε(2 − ε)kxε0 − xε k2 6 2

(Cauchy cshwatz)

ε0 − ε
kxε0 − xk,
(1 − ε0 )ε(2 − ε)
− xε k = 0, c’est-à-dire que la courbe Cx est continue à gauche. De même on a

d’où par étude des cas on a : 0 6 kxε0 − xε k 6 2
et par suite lim kxε0
ε−→ε−
0

pour ε0 ∈]0, 1[ :
∀ε < ε0

0 6 kxε − xε0 k 6 2

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

ε − ε0
kx0 − xk
(1 − ε)ε0 (2 − ε0 )
[16/26]

(car kxε − xk est décroissante)
Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

d’où lim kxε0 − xε k = 0, c’est-à-dire que la courbe Cx est continue à droite. on conclu alors que Cx
ε−→ε+
0

est continue sur ]0, 1[.
xii) Si x ∈ F ixT , alors Tε x = x pour tout ε ∈]0, 1[ car d’après iii) F ixT = F ixTε , donc C ≡ x.
Supposons x ∈
/ F ixT = F ixTε (voir iii))
6 0.
alors
pour tout ε ∈]0, 1[ kxε − xk =
ε − δ
On a :


Cx (ε) = Cx (δ) ⇒
kxε − xk 6 0
(d’après viii))
1 − ε
⇒ ε = δ.
Donc Cx est injective.
Définition 2.0.1
Soient X un espace séparé, f : X −→ U =] − ∞, +∞].
1. f est dite semi-continue inférieurement ssi :
∀(xn )n∈N ⊆ X telle que xn −→ x ∈ X alors f (x) 6 limf (xn )
On note alors Γ0 (X) = {f : X −→ U telle que f est convexe semi-continue inférieurement et f 6= ∞}.
On dit que f est dite faiblement semi-continue inférieurement si on a les même conditions que la
définition précédente mais en changeant xn −→ x par xn * x.
2. Soient f ∈ Γ0 (H), et x ∈ H, on appelle P roxγf x l’unique point de H qui satisfait :


1
1
γ
kx − yk2 = f (P roxγf x) +
kx − P roxγf xk2 .
f (x) = min f (y) +
y∈H



(∗)

Remarquons que P roxf est le point de H qui vérifie (∗) avec γ = 1.


Notation: Soit f : D ⊆ H −→ U , On note Argminf =


x ∈ H f (x) = min f (y) .
y∈H

Remarque 2.0.1 (Existence et unicité du point proximal) posons gγ = f (y) +

1
kx − yk2 , pour l’exis2γ

tence de la borne inf on utilise le théorème suivant :
soit g ∈ Γ0 (H), si lim g(x) = +∞ (g est coercive) alors g admet un minimum sur H. 2
kxk−→+∞

L’unicité découle du fait que gγ est strictement convexe.
montrons que gγ ∈ Γ0 (H) et qu’elle est coercive.
♦ On a f ∈ Γ0 (H) et y −→ kx − yk2 ∈ Γ0 (H) donc gγ ∈ Γ0 (H).
♦ Puisque f ∈ Γ0 (H) alors ∃u ∈ H ∃ξ ∈ R tels que :
∀x ∈ H f (x) > hx, ui + ξ.
En effet : Puisque f ∈ Γ0 (H), alors l’épigraphe de f epif = {(x, β) ∈ H × R β > f (x)} est
convexe fermé. Soient x0 ∈ H, et ζ < f (x0 ). Posons (p, Π) = Pepif (x0 , ζ).
On défini sur H × R le produit scalaire :
∀(x, α) (y, β) ∈ H × R

h(x, α)|(y, β)i = hx, yi + αβ.

D’après le lemme 1.2.1, (p, Π) ∈ epif et ∀(y, η) ∈ epif
hy − p, x0 − pi + (η − Π)(ζ − Π) 6 0.
Donc

h(y, η) − (p, Π)|(x0 , ζ) − (p, Π)i =

2. Heinz H. Bauschke Patrick L. Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, université Dalhousie, 2010, page : 159.

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

[17/26]

Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

et

f (p) 6 Π,

(2.9)

∀y ∈ H ∀λ ∈ R+ hy − p, x0 − pi + (f (y) + λ − Π)(ζ − Π) 6 0,

(2.10)

max{f (p), ζ} 6 Π,

(2.11)

∀y ∈ H hy − p, x0 − pi + (f (y) − Π)(ζ − Π) 6 0,

(2.12)

et par suite
et
car (2.10)nous donne

lim

λ−→+∞

λ(ζ − Π) 6 0 i.e : ζ 6 Π, et pour l’autre inégalité λ = 0.

Supposons ζ > f (p), donc ζ − Π > f (p) − Π. Or d’après (2.11) ζ − Π 6 0, d’où (ζ − Π)2 6
(f (p) − Π)(ζ − Π), d’après (2.12) (f (p) − Π)(ζ − Π) 6 0. Donc ζ = Π et d’après (2.11) encore
hx0 − p, x0 − pi 6 0, c’est-à-dire donc (x0 , ζ) = (p, Π), ce qui est absurde car (x0 , ζ) ∈
/ epif
et (p, Π) ∈ epif . Finalement, ζ < f (p) = Π (car (p, Π) ∈ F r(epif ) = {(x, f (x)) x ∈ H} et
∀y ∈ H hy − p, x0 − pi 6 (f (y) − Π)(Π − ζ) = (f (y) − f (p))(f (p) − ζ), c’est-à-dire :



x0 − p
x0 − p
∀y ∈ H
y,
− p,
+ f (p) 6 f (y).
f (p) − ζ
f (p) − ζ


x0 − p
x0 − p
On prend alors u =
+ f (p), et on pose g(y) = hy, ui + ξ, on a
et ξ = − p,
f (p) − ζ
f (p) − ζ
g 6 f.

gγ (y)
1
♦ On a :
−kykkuk + ξ + (kyk − kxk)2
(Cauchy)
>
kyk
kyk
!2
p
ξ
kxk
= −kuk +
+
kyk − p
−→ +∞ quand kyk −→ +∞,
kyk
kyk
alors gγ est coersive car

lim

kyk−→+∞

gγ (y) =

lim

kyk−→+∞

kyk

gγ (y)
= +∞.
kyk

Proposition 2.0.4 Soit f ∈ Γ0 (H), et soit x ∈ H,donc :
p = P roxf x ⇔ ∀y ∈ H, hy − p, x − pi + f (p) 6 f (y).

Démonstration: ⇒:Soient α ∈]0, 1[, et pα = αy + (1 − α)p ∈ H, avec l’hypothèse p = P roxf , on a :
1
1
f (p) + kx − pk2 6 f (pα ) + kx − pα k2
2
2

(par définition)

1
6 αf (y) + (1 − α)f (p) + kx − p − α(y − p)k2
(f convexe)
2

1
= α(f (y) − f (p)) + f (p) +
kx − pk2 + α2 ky − pk2 − 2αhx − p, y − pi .
2
α2
D’où α (f (y) − [f (p) + hx − p, y − pi]) +
ky − pk2 > 0,
2
α
donc hx − p, y − pi + f (p) 6 f (y) + ky − pk2
(∀α ∈]0, 1[).
2
On fait tendre α vers 0 et aura le résultat.
⇐: Supposons ∀y ∈ H, hx − p, y − pi + f (p) 6 f (y).

1
D’après l’inégalité du parallélogramme, hx − p, y − pi =
kx − pk2 + ky − pk2 − kx − yk2 .
2
1
1
1
2
6
Donc y ∈ H f (p) + kx − pk + ky − pk f (y) + kx − yk2 ,
2
2
2
1
1
2
2
puis y ∈ H f (p) + kx − pk 6 f (y) + kx − yk .
2
2


1
1
D’où min f (y) + kx − yk2 = f (p) + kx − pk2 , et par suite p = P roxf .
y∈H
2
2

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

[18/26]

Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

Proposition 2.0.5 Soit f ∈ Γ0 (H), donc P roxf et Id − P roxf sont firmly nonexpansif.

Démonstration: D’après la proposition 2.0.4, en posant X = P roxf x et Y = P roxf y, on a hX − Y, x −
Xi + f (X) 6 f (Y ) et hX − Y, y − Y i + f (Y ) 6 f (X), donc si on fait la somme de ces deux relation on
aura :
hX − Y, x − y − (X − Y )i = hP roxf x − P roxf y, (Id − P roxf )x − (Id − P roxf )yi > 0.
Or la proposition 1.1.1 v) et ii), donne respectivement que P roxf et Id − P roxf sont firmly nonexpansif.

Proposition 2.0.6 Soit f ∈ Γ0 (H), donc :

F ixP roxf = Argminf .

Démonstration: D’après la proposition 2.0.4, on a :
x ∈ F ixP roxf ⇔ x = P roxf x ⇔ ∀y ∈ H hy − x, x − xi + f (x) 6 f (y)
⇔ ∀y ∈ H f (x) 6 f (y)
⇔ f (x) = min f (y)
y∈H

⇔ x ∈ Argminf.

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

[19/26]

Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

CHAPITRE 3
APPLICATIONS À QUELQUES
PROBLÈMES ET ALGORITHMES
3.1

Transformation d’un problème de minimisation en un problème de
point fixe

Définition 3.1.1 Soit f : D ⊆ Rn −→] − ∞, +∞], on appelle gradient de f au point x, le vecteur de Rn
(s’il existe) noté par ∇f (x), tel que :
f (x + th) − f (x)
∀h ∈ Rn h∇f (x), hi = lim
.
t−→0
t
Supposons que f est définie sur H, on appelle sous-gradient de f , l’opérateur noté ∂f définie de H vers
P(H) = {l’ensemble des partie de H } par :
∂f (x) = {y ∈ H ∀z ∈ H f (z) − f (x) > hy, z − xi} .

Proposition 3.1.1 Soient D un sous-ensemble convexe fermé de Rn , et f : D −→] − ∞, +∞] une fonction
convexe, alors :
f (x∗ ) = min f (x) ⇔ x∗ = T x∗ ,
x∈D

avec T x = PD (x − γ∇f (x)) ∀γ > 0.

Démonstration: D’après le lemme 1.2.1, on a :
x∗ = T x∗ = PD (x∗ − γ∇f (x∗ )) ∀γ > 0 ⇔ h(x∗ − γ∇f (x∗ )) − x∗ , y − x∗ i 6 0 ∀y ∈ D, ∀γ > 0
⇔ −γ h∇f (x∗ ), y − x∗ i 6 0 ∀y ∈ D, ∀γ > 0
⇔ γ h∇f (x∗ ), y − x∗ i > 0 ∀y ∈ D.
Montrons alors que f (x∗ ) = min f (x) ⇔ h∇f (x∗ ), y − x∗ i > 0 ∀y ∈ D.
x∈H

⇐:Supposons que ∀y ∈ D h∇f (x∗ ), y − x∗ i > 0, puisque f est convexe, alors pour tout t ∈ [0, 1] :
f (x∗ + t(y − x∗ )) − f (x∗ )
tf (y) + (1 − t)f (x∗ ) − f (x∗ )
6
t
t

= f (y) − f (x ).
20

Par passage à la limite quand t tend vers 0, on a : 0 6 h∇f (x∗ ), y − x∗ i 6 f (y) − f (x∗ ) ∀y ∈ D.
Donc f (x∗ ) = min f (x).
x∈H

⇒:Supposons que f (x∗ ) = min f (x), alors : ∀z ∈ D f (x∗ ) 6 f (z).
x∈H

Posons z = ty + (1 − t)x∗ ∈ D (car D est convexe), avec t ∈]0, 1], on a : f (x∗ ) 6 f (z) = f (x∗ + t(y − x∗ )).
f (x∗ + t(y − x∗ )) − f (x∗ )
Donc :
06
∀t ∈]0, 1].
t

D’où en faisant tendre t vers 0, on a : 0 6 h∇f (x ), y − x∗ i ∀y ∈ D.

3.2

Application à quelques algorithmes

Définition 3.2.1 Soient D ⊆ H et une suite (xn )n∈N dans H. On dit que (xn ) est Fejér monotone par
rapport à D ssi ∀y ∈ D (kxn − yk) est décroissante.

Proposition 3.2.1 Tout suite Fejér monotone par rapport à D ⊆ H est bornée.

Démonstration: Soit (xn )n∈N suite Fejér monotone par rapport à D ⊆ H, alors ∀y ∈ D (kxn − yk) est
décroissante, or pour tout ∀y ∈ D n ∈ N kxn − yk > 0, donc (kxn − yk) est convergente, d’où elle est
bornée c’est-à-dire ∃M > 0 ∀n ∈ N kxn − yk 6 M , et par suite :
kxn k 6 kxn − yk + kyk 6 M + kyk = M 0 .
Définition 3.2.2 Soient f : H −→] − ∞, +∞], et φ : R+ −→ R+ , alors f est dite uniformément convexe
modulo φ, si φ est croissante et ne s’annule qu’en 0 et :
∀x, y ∈ domf ∀α ∈]0, 1[ f (αx + (1 − α)y) + α(1 − α)φ(kx − yk) 6 αf (x) + (1 − α)f (y),
avec domf = {x ∈ H f ({x}) 6= ∅}.

Proposition 3.2.2 Soient f : H −→] − ∞, +∞] une application, alors :
Argminf = {x ∈ H 0 ∈ ∂f (x)} ⊆ dom∂f.

Démonstration: On a :
x∗ ∈ Argminf ⇔ ∀y ∈ H f (x∗ ) 6 f (y)
⇔ ∀y ∈ H f (x∗ ) − f (y) 6 h0, y − x∗ i
⇔ 0 ∈ ∂f (x∗ )
⇒ x∗ ∈ dom∂f

(∂f (x∗ ) 6= ∅).

Lemme 3.2.1 Soit (γn )n∈N et (βn )n∈N deux suites dans R+ . Supposons que

P
n∈N

γn = +∞ et

P

γn β n <

n∈N

∞, alors limβn = 0.

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

[21/26]

Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

Démonstration: supposons par l’absurde que limβn = sup inf βk =
n>0 k>n

0 ∃N ∈ N ∀n > N

lim

inf βk > 0. Alors ∃α >

n−→+∞ k>n

inf βk > α > 0 ( car en utilisant la définition de la limite, si

k>n

c’est vérifiée pour α = ε = 1, si

lim

inf βk = β > 0 on prend α = ε =

n−→+∞ k>n

lim

inf βk = +∞,

n−→+∞ k>n

β
), donc ∀k > N
2

βk > α, et

par suite :
X

γn βn >

n∈N

On conclu alors que limβn = 0

+∞
X
n=N

γn β n >

+∞
X

γn α = +∞

absurde.

n=N

(car ∀n ∈ N βn > 0).

Théorème 3.2.1 (Algorithme du point
P proximale) Soit f ∈ Γ0 (H), telle que Argminf 6= ∅, soit

(γn )n∈N une suite dans R+ telle que
γn = +∞, et soit x0 ∈ H. Posons :
n∈N

∀n ∈ N xn+1 = P roxγn f xn
alors on a les propriétés suivantes :
i) (xn )n∈N est une suite minimisante de f , c’est-à-dire (f (xn )) est décroissante vers inf f (H).
ii) (xn )n∈N converge faiblement vers un élément de Argminf .
iii) supposons que f est uniformément convexe sur tout sous-ensemble borné non vide de dom∂f . Donc
(xn )n∈N converge fortement vers un élément de Argminf .

Démonstration:

i) d’après la proposition 2.0.4, on a :

∀x ∈ H ∀p ∈ H p = P roxγn f x ⇔ hy − p, x − pi + γn f (p) 6 γn f (y) ∀y ∈ H


x−p
∀y ∈ H
,y − p
⇔ f (y) − f (p) >
γn
x−p

∈ ∂f (p)
γn
⇔ x − p ∈ γn ∂f (p).
Et par suite xn+1 = P roxγn f xn ⇔ xn − xn+1 ∈ γn ∂f (xn+1 ).
Par définition de ∂f on a :

(∗)


1
1

∀n ∈ N f (xn ) − f (xn+1 ) >
hxn − xn+1 , xn − xn+1 i =
kxn − xn+1 k2 > 0
(1)
γn
γn
1

∀y ∈ Arminf inf f (H) − f (xn+1 ) = f (y) − f (xn+1 ) >
hy − xn+1 , xn − xn+1 i, (2)
γn
donc d’après (1) (f (xn )) est décroissante, et d’après (2) γn (inf f (H) − f (xn+1 )) > hy − xn+1 , xn −
xn+1 i, et on a pour tout n ∈ N et y ∈ Arminf :
kxn+1 − yk2 = kxn − yk2 + kxn+1 − xn k2 + 2hy − xn , xn − xn+1 i

= kxn − yk2 + kxn+1 − xn k2 + 2 −kxn − xn+1 k2 + hy − xn+1 , xn − xn+1 i
= kxn − yk2 − kxn+1 − xn k2 + 2hy − xn+1 , xn − xn+1 i
6 kxn − yk2 + 2hy − xn+1 , xn − xn+1 i
6 kxn − yk2 + 2γn (inf f (H) − f (xn+1 ))
= kxn − yk2 − 2 γn (f (xn+1 ) − inf f (H)) .
{z
}
|
>0

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

[22/26]

Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

Donc (xn ) est Fejér monotone par rapport à Arminf . Puisque d’après ce qui est précédent :
0 6 2γn (f (xn+1 ) − inf f (H)) 6 kxn − yk2 − kxn+1 − yk2 ,
N
X

alors

2γn (f (xn+1 ) − inf f (H)) 6

n=0

N
X

kxn − yk2 − kxn+1 − yk2

n=0

= kx0 − yk2 − kxN +1 − yk2
6 kx0 − yk2 ,
d’où

P

2γn (f (xn+1 ) − inf f (H)) < ∞. Comme

n∈N

P

γn = +∞, alors d’après le lemme 3.2.1

n∈N

lim(f (xn+1 ) − inf f (H)) = 0, donc limf (xn ) = inf f (H). Or (f (xn )) est décroissante et minorée par
inf f (H) donc elle est convergente vers inf f (H).
ii) Puisque (xn ) est Fejér monotone par rapport à Arminf , alors d’après la proposition 3.2.1, (xn ) est
bornée, donc elle admet une sous-suite faiblement convergente. Soit (xϕn ) une sous-suite de (xn ) telle
que xϕn * x ∈ H. Puisque f est semi-continue inférieurement, alors :


inf f (H) 6 f (x) 6 limf (xϕn ) = inf f (H)
voir i) : lim f (xn ) = inf f (H) ,
n−→+∞

donc x ∈ Argminf . Soient (xϕn ) et (xψn ) deux sous-suites de (xn ), telles que xϕn * x ∈ Argminf et xψn *
y ∈ Argminf . On a ∀z ∈ Argminf (kxn − zk) est décroissante minorée par 0, alors elle est convergente,donc puisque :
1
(2hxn , xi − 2hxn , yi)
2


1
=
− kxn − xk2 − kxn k2 − kxk2 + kxn − yk2 − kxn k2 − kyk2
2

1
kxn − yk2 − kxn − xk2 + kyk2 − kxk2 .
=
2

hxn , x − yi =

Donc la suite (hxn , x − yi) est convergente, et par unicité de la limite on a :
lim hxϕn , x − yi =

n−→+∞

lim hxψn , x − yi,

n−→+∞

c’est-à-dire hx, x − yi = hy, x − yi, et par suite kx − yk2 = 0, on en déduit x = y. Finalement,
(xn ) converge faiblement vers un élément de Argminf .
iii) D’après ii) et la proposition 3.2.2, ∃x ∈ Argminf ⊂ dom∂f tel que xn * x. D’après (∗) ∂f (xn+1 ) 6=
∅ c’est-à-dire
S xn+1 ∈ dom∂f , puisque (xn ) est Fejér monotone, alors (xn+1 ) est bornée dans dom∂f ,
d’où {x} {xn+1 }n∈N est borné dans dom∂f . Puisque f est uniformément convexe alors ∃φ : R+ −→
R+ une fonction croissante qui ne s’annule qu’en 0, telle que :


1
f (xn ) + f (x)
xn + x
∀n ∈ N
φ(kxn − xk) 6
−f
.
4
2
2
Comme i) implique que (f (xn )) & vers inf f (H) = f (x), et f est semi-continue inférieurement,
alors :
xn + x
xn + x
f (xn ) + f (x)
f (x) 6 limf (
) 6 limf (
) 6 lim
.
2 }|
2
2
|
{z
{z
}
car f est convexe
xn + x
car
*x
2
Donc

1
φ(kxn − xk) = 0, d’où xn −→ x.
n7−→+∞ 4
lim

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

[23/26]

Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

Théorème 3.2.2 (Algorithme de Krasnosel’skii-Mann) Soit D un sous-ensemble non vide convexe
fermé de H, soit
PT : D −→ D un opérateur nonexpansif tel que F ixT 6= ∅. Soit (λn )n∈N une suite dans
[0, 1] telle que
λn (1 − λn ) = +∞, et soit x0 ∈ D. Posons
n∈N

∀n ∈ N xn+1 = xn + λn (T xn − xn ),
alors on a les résultats suivants :
i) (xn ) est Fejér monotone par rapport à F ixT .
ii) (T xn − xn ) est convergente vers 0.
iii) (xn ) converge faiblement vers un point dans F ixT .

Démonstration:

i) Puisque D est convexe alors (xn ) reste dans D. Soit y ∈ F ixT , on a :

kxn+1 − yk2 = kxn + λn (T xn − xn ) − yk2
= k(1 − λn )(xn − y) + λn (T xn − y)k2
= (1 − λn )2 kxn − yk2 + λ2n kT xn − yk2 + 2λn (1 − λn )hxn − y, T xn − yi
= (1 − λn )2 kxn − yk2 + λ2n kT xn − yk2 − λn (1 − λn )(kT xn − xn k2 − kT xn − yk2 − kxn − yk2 )
= (1 − λn )kxn − yk2 + λn kT xn − T yk2 − λn (1 − λn )kT xn − xn k2
2

2

2

(T y = y)

= kxn − yk + λn (kT xn − T yk − kxn − yk ) − λn (1 − λn )kT xn − xn k
|
{z
}

2

60, car T est nonexpansif

2

6 kxn − yk − λn (1 − λn )kT xn − xn k2 .

(∗∗)

Donc (xn ) est Fejér monotone par rapport à F ixT .
ii) On a d’après (∗∗) :
∀n ∈ N

λn (1 − λn )kT xn − xn k2 6 kxn − yk2 − kxn+1 − yk2 ,

N
P
λn (1 − λn )kT xn − xn k2 6
kxn − yk2 − kxn+1 − yk2 6 kx0 − yk2 .
n=0
P n=0
P
D’où par passage à la limite, on a
λn (1 − λn )kT xn − xn k2 < ∞, or
λn (1 − λn ) = +∞, donc

donc

N
P

n∈N

n∈N

d’après le lemme 3.2.1 limkT xn − xn k2 = 0. On a :
kT xn+1 − xn+1 k = kT xn+1 − T xn + T xn − xn − λn (T xn − xn )k
= kT xn+1 − T xn + (1 − λn )(T xn − xn )k
6 kxn+1 − xn k + (1 − λn )kT xn − xn k

(car T est nonexpansif)

= λn kT xn − xn k + (1 − λn )kT xn − xn k
= kT xn − xn k,
alors la suite (kT xn −xn k) est décroissante minorée par 0, donc convergente. Or

lim

n−→+∞

kT xn −xn k =

limkT xn − xn k = 0, d’où le résultat.
iii) Puisque (xn ) est Fejér monotone d’après i), alors en utilisant la proposition 3.2.1, (xn ) est bornée, donc
elle admet une sous-suite faiblement convergente. Soit (xφn ) une sous-suite de (xn ) telle que xφn *
x ∈ H. Puisque (kT xφn −xφn k) est une sous-suite de (kT xn −xn k), alors d’après ii) T xφn −xφn −→
0, et en vertu du corollaire 2.0.3, on a x ∈ F ixT .
Soient (xφn ) et (xψn ) deux sous-suites de (xn ) telles que xφn * x ∈ F ixT , et xψn * y ∈ F ixT . On
Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

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Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

a (xn ) est Fejér monotone par rapport à F ixT , donc pour tout y ∈ F ixT (kxn −yk) est convergente,
or on a :

1
hxn , x − yi =
kxn − yk2 − kxn − xk2 + kyk2 − kxk2 ,
2
donc (hxn , x − yi) est convergente, et par suite :
lim hxφn , x − yi =

n−→+∞

lim hxψn , x − yi,

n−→+∞

d’où hx, x − yi = hy, x − yi, puiskx − yk2 = 0 et par suite x = y.
Remarque 3.2.1 On peut écrire cet algorithme de la façon suivante :
xn+1 = (1 − λn )xn + λn T xn ,
qui s’apparente à la courbe approchante dans la proposition 2.0.3.

Auteur: MOUKHACHAFIQ Kamal

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Encadrant: Mr. CHBANI Zaki

BIBLIOGRAPHIE

[1] Heinz H. Bauschke Patrick L. Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in
Hilbert Spaces, université Dalhousie, 2010
[2] https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_de_point_fixe
[3] https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_du_point_fixe_de_
Banach
[4] https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_du_point_fixe_de_
Caristi
[5] https://fr.wikipedia.org/wiki/Stefan_Banach
[6] https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89mile_Picard
[7] https://fr.wikipedia.org/wiki/Luitzen_Egbertus_Jan_Brouwer
[8] http://www.ann.jussieu.fr/~smets/MM005/MM005_Chapitre_7.pdf

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