Exercices de calcul .pdf



Nom original: Exercices de calcul.pdfAuteur: Paul PAOLI

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Fiche d’exercices
I - Calcul algébrique


Soient 𝑎, 𝑏, 𝑐 des nombres réels. Simplifier au maximum les expressions suivantes :
𝐴 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 − 𝑏 − 𝑐)
𝐵 = (𝑎 + 𝑐)𝑏 − 𝑐(𝑏 − 𝑎)
𝐶 = (𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 ) − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
𝐷 = (𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏) − (𝑎 + 𝑏)2 − (𝑏 + 𝑐)2
𝐸 = (𝑎 − 𝑏)3 − (𝑎 + 𝑏)3
𝐹 = (𝑎𝑏 + 𝑐)2 + 𝑎𝑏𝑐 − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
𝐺 = 𝑎(𝑏 + 𝑐) + 𝑏(𝑎 + 𝑐) + 𝑐(𝑎 + 𝑏)
𝐻 = 𝑎2 (𝑏 − 𝑐) + 𝑏 2 (𝑐 − 𝑎) + 𝑐 2 (𝑎 − 𝑏)
𝐼 = 𝑎𝑏𝑐 − (𝑎𝑏 + 𝑐)(𝑎𝑐 + 𝑏)
𝐽 = (𝑎𝑏 + 𝑐𝑏)2 − 𝑎2 𝑏
𝐾 = (𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑐)
𝐿 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏)(𝑏 − 𝑐)
𝑀 = (𝑎2 𝑏 + 𝑏 2 𝑐)(𝑏 2 𝑐 + 𝑐 2 𝑎)
𝑁 = (𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐)(𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 2 )
𝑂 = (𝑎 − 𝑏𝑐)(𝑏𝑐 − 𝑎)
𝑃 = 2[𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 ] − (𝑎 + 𝑏)2 − (𝑏 + 𝑐)2 − (𝑎 + 𝑐)2
𝑄 = 𝑎3 + 𝑏 3 − (𝑎 + 𝑏)3
𝑅 = (𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)𝑎𝑏𝑐
𝑆 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑐)(𝑏 − 𝑐)(𝑏 + 𝑐)
𝑇 = (𝑎𝑏𝑐 + 𝑎)(𝑎𝑏𝑐 + 𝑏)(𝑎𝑏𝑐 + 𝑐)
𝑈 = (𝑎2 − 𝑏 2 )(𝑏 2 − 𝑐 2 )
𝑉 = (𝑎𝑏 + 𝑐𝑏 + 𝑎2 )𝑎𝑏
𝑊 = (𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐)2
𝑋 = (𝑎𝑏𝑐 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐)2



Quelques identités célèbres : Démontrer chacune des identités suivantes
 Identité de Sophie Germain :

Soit (𝑥, 𝑦) un couple de nombres réels quelconques. On a :
((𝑥 + 𝑦)2 + 𝑦 2 )((𝑥 − 𝑦)2 + 𝑦 2 ) = 𝑥 4 + 4𝑦 4
 Identité d’Argand :
Soit 𝑥 un nombre réel quelconque. On a :
(𝑥 2 + 𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥 + 1) = 𝑥 4 + 𝑥 2 + 1
 Identité de Gauss :
Soit (𝑎, 𝑏, 𝑐) un triplé de nombres réels quelconques. On a :
1
𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 − 3𝑎𝑏𝑐 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)[(𝑎 − 𝑏)2 + (𝑏 − 𝑐)2 + (𝑎 − 𝑐)2 ]
2
 Identités de Legendre :
Soit (𝑎, 𝑏) un couple de nombres réels quelconques. On a :




(𝑎 + 𝑏)2 + (𝑎 − 𝑏)2 = 2(𝑎2 + 𝑏 2 )
4𝑎𝑏 = (𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2
(𝑎 + 𝑏)4 − (𝑎 − 𝑏)4 = 8𝑎𝑏(𝑎2 + 𝑏 2 )



Montrer que :

Quel que soient les nombres réels 𝑎 et 𝑏 :
(𝑎 + 𝑏)2 − 𝑎2 − 𝑏 2 (𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2
=
2
4


Simplifier au maximum :

Soit 𝑥 un réel :
𝑊(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 + 1 − (𝑥 + 1)3 − (𝑥 + 1)2


Développer, réduire et ordonner (𝛼 est un réel quelconque fixé) :
𝑃1 (𝑥) = 𝛼𝑥 2 + (2𝛼 + 𝑥)2 − 1
𝛼 2
𝑃2 (𝑥) = 𝛼𝑥 − 2𝑥 2 + (𝑥 + ) + (𝑥 2 + 𝛼)
2
𝑃3 (𝑥) = 2(𝑥 − 𝛼)(𝑥 + 𝛼)
𝛼
𝑃4 (𝑥) = 2(𝑥 − 𝛼) (𝑥 − )
2

II - Calcul fractionnaire


Pour quelles valeurs de 𝑥 les fractions suivantes sont impossibles :
𝑁1 (𝑥) =
𝑁2 (𝑥) =
𝑁3 (𝑥) =

1+𝑥
1−𝑥

1 + 𝑥 + 𝑥2
𝑥2 − 2

1 + 𝑥2
(𝑥 − 1)(𝑥 2 − 3)(𝑥 2 − 2)

𝑁4 (𝑥) =

𝑥3 − 𝑥 − 1
𝑥 2 + 2𝑥

𝑁5 (𝑥) =
𝑁6 (𝑥) =

(𝑥 +

𝑁7 (𝑥) =

𝑥+1
𝑥 4 + 24

1)2

1
− (𝑥 − 1)2
1
1

1+

1+
𝑁8 (𝑥) =

𝑁9 (𝑥) =



1
𝑥

1
𝑥+

1
1
𝑥+𝑥+1
1

𝑥−

1
1
𝑥+𝑥−1

Réduire sur un même dénominateur et préciser les valeurs interdites pour 𝑥 :
𝐷1 (𝑥) =
𝐷2 (𝑥) =

13𝑥
7𝑥
9

+
𝑥
𝑥−1 𝑥+1

𝐷3 (𝑥) =

5𝑥
6
+
𝑥(𝑥 + 1) 𝑥 − 1

𝐷4 (𝑥) =
𝐷5 (𝑥) =

𝑥 3 16𝑥
+ 2
𝑥
𝑥

12𝑥
12

2
𝑥 −1 𝑥

16𝑥
5
7(𝑥 + 1)2

+
2(𝑥 + 1) 𝑥 − 1
𝑥

1
+1
𝐷6 (𝑥) =
−𝑥
1 𝑥−1
1+
𝑥
5𝑥

𝐷7 (𝑥) =


4𝑥 2
1

1 𝑥2
1−𝑥

Mettre sous forme d’une somme de plusieurs termes (éventuellement fractionnaires) et
préciser les valeurs interdites pour 𝑥 :
𝐺1 (𝑥) =
𝐺2 (𝑥) =
𝐺3 (𝑥) =

𝑥−1
𝑥

𝑥2 − 1 + 𝑥
𝑥2 − 1

1
(𝑥 − 1)𝑥(𝑥 + 1)

𝐺4 (𝑥) =
𝐺5 (𝑥) =

1
+ 1)

𝑥(𝑥 2

1
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

III - Calcul avec racines carrées


Simplifier au maximum et préciser les valeurs interdites pour 𝑥 (quand l’expression dépend de
𝑥) :
𝑅1 (𝑥) = √𝑥 2 − 4𝑥 + 4
2

𝑅2 (𝑥) = 𝑥√3 − (𝑥 + √2)
𝐴 = √3 + 2√2
𝐵 = √3 − 2√2
𝐶 = √28 + 10√3
𝐷 = √21 + 8√5

IV - Calcul trigonométrique
On appelle cercle trigonométrique, le cercle de centre O (l’origine du repère et de rayon 1). On appelle
radian la longueur de l’arc de cercle (sur le cercle trigonométrique) intercepté par un angle. Le radian
est une mesure d’angle :

𝛼
O

Cercle trigonométrique (de rayon 1 de centre l’origine du repère). L’angle 𝛼 intercepte sur le cercle
trigonométrique un arc de cercle de longueur 𝐿 (en rouge), on dit alors que 𝛼 = 𝐿 rad. Le radian est
donc une mesure d’angle.
La mesure d’un angle en degré s’étale de 0° à 360°. En radian, la mesure d’un angle s’étale de 0 rad à
2𝜋 rad. En effet, la longueur d’un cercle est 𝐶 = 2𝜋𝑟 où 𝑟 est son rayon.
Pour le cercle trigonométrique de rayon 1, sa circonférence totale est donc 2𝜋. Lorsque l’angle est
plein (360°) il intercepte tout le cercle, donc il vaut 2𝜋 rad. Lorsque l’angle intercepte la moitié du
cercle il vaut 𝜋 rad (la moitié de la longueur totale) ce qui équivaut à 180°. Lorsque l’angle intercepte
𝜋
un quart de cercle, c’est un angle droit, il vaut donc 90° et 2 rad.
Si on note 𝛼 la valeur en ° de l’angle et 𝜃 sa valeur en radian. On cherche une relation entre 𝛼 et 𝜃.
On utilise la règle de 3 : On sait que à 360° correspond 𝜋 radians et on cherche que vaut 𝜃 radians
lorsqu’on a un angle de 𝛼 degrés. On cherche une relation linéaire.
On suppose qu’il existe un réel 𝐶 tel que quel que soit l’angle on a :
𝛼 =𝐶×𝜃
Or on sait que :
360 = 𝐶 × 𝜋
Donc on a :
𝐶=

360
𝜋

Donc la relation entre 𝛼 et 𝜃 quelque soit l’angle est :
𝛼=

360
𝜃
𝜋



Donner en radian la mesure des angles en degré suivant :

+ 60°
+ 30°
+ 120°

Calcul mental (sans calculatrice)
Equations et inéquations
Fonctions
Logique
Physique


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