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eveloppement : Th´
eor`
eme de Frobenius-Zolotarev
Alison BOCQUET, Elodie MAKOWSKI, Thibault GAUTHIER

Th´
eor`
eme de Frobenius-Zolotarev
Lecons Possibles :
– 152 : D´eterminant. Exemples et applications.
R´ef´erences :
– Objectif Agr´egation. p251.
– Perrin. p74/75.
– Oraux X-ENS Alg2. p165.
Th´
eor`
eme 1. Soit p un nombre premier ≥ 3, et V un espace vectoriel de dimension finie n sur
Fp . Soit u ∈ GL(V ), si (u) d´esigne la signature de u en tant qu’´el´ement de Spn , alors


det(u)
(u) =
p

a
O`
u
d´esigne le symbole de Legendre ´egal `a 1 si a est un carr´e dans Fp , −1 sinon.
p
D´emonstration. GL(V ) peut ˆetre interpr´et´e comme un sous-groupe de Spn , la signature induit
un morphisme de groupes de GL(V ) sur {−1, 1} par restriction. Le groupe d´eriv´e D(GL(V )) de
GL(V ) engendr´e par les commutateurs [u, v] = uvu−1 v −1 , est un sous groupe distingu´e (Lemme 4)
de GL(V ) et v´erifie D(GL(V )) ⊆ Ker( ), donc.par le th´eor`eme de factorisation, on a, en notant Π
la projection canonique de GL(V ) sur GL(V ) D(GL(V )) :
= ◦Π
Avec

.
GL(V
)
:
D(GL(V )) → {−1, 1}

On commence par montrer que
D(GL(V )) = SL(V )
On a facilement l’inclusion D(GL(V )) ⊆ SL(V ), car le d´eterminant est un morphisme de groupe
sur GL(V ).
On sait que SL(V ) est engendr´e par les transvections (lemme 1), donc il suffit de montrer que toute
transvection est un commutateur. Soit u ∈ GL(V ) une transvection :
u = Id + λEi,j
Avec i 6= j, alors
2
u2 = (Id + λEi,j )2 = Id + 2λEi,j + λ2 Ei,j
= Id + 2λEi,j

1 de 3

Comme p ≥ 3, alors la caract´eristique de Fp est diff´erente de 2, donc u2 est encore une transvection.
Or toutes les transvections de GL(V ) sont conjugu´ees (lemme 2), donc il existe v ∈ GL(V ), tel
que u2 = vuv −1 , soit encore u = vuv −1 u−1 , donc u est un commutateur. On a bien montr´e que
D(GL(V )) = SL(V ).
Par ailleurs, le morphisme surjectif det : GL(V ) → F∗p a pour noyau SL(V ) par d´efinition. Par
.

GL(V)
le th´eor`eme de factorisation, il existe det :
SL(V ) → Fp , isomorphisme tel que
det = det ◦ Π
−1

On obtient finalament un morphisme δ = ◦ det
est de montrer que δ est le symbole de Legendre.

: F∗p → {−1, 1}, tel que δ ◦ det = . Le but

On note d’abord que

·
: F∗p → {−1, 1}
p
est un morphisme multiplicatif non trivial. C’est un morphisme (lemme 3) et il est non trivial car il
vaut −1 sur les g´en´erateurs de F∗p (on sait que F∗p est cyclique). En effet : si g est un g´en´erateur de
p−1
F∗p , g est d’ordre p − 1, et si g ´etait un carr´e, on aurait une ´ecriture g = h2 , donc g 2 = hp−1 = 1,
ce qui contredirait le fait que l’ordre de g est p − 1. Comme F∗p est cyclique, tout morphisme de
groupes de F∗p sur {−1, 1} est d´etermin´e par l’image d’un g´en´erateur : il n’y en a donc que deux,
qui sont le morphisme trivial et le symbole de Legendre.
Il reste a` montrer que δ n’est pas le morphisme trivial. Comme V est un Fp espace vectoriel de
dimension n, on a
V ' Fnp ' Fpn = Fq
On prend g un g´en´erateur de F∗q , et on consid`ere

Fq → Fq
φ:
x 7→ gx
φ est Fp -lin´eaire bijective, donc φ ∈ GL(V ), de plus φ est ´egal en tant que permutation au cycle
(1, g, g 2 , · · · , g q−2 ) qui est de longueur paire q − 1, donc (φ) = −1. Comme = δ ◦ det, on a
δ(det(φ)) = −1, et donc δ n’est pas le morphisme trivial. Finalement δ ne peut ˆetre que le symbole
de Legendre, d’o`
u le r´esultat.

Lemme 1. SL(V ) est engendr´e par les transvections.
D´emonstration. Pour i 6= j, λ ∈ F∗p , on note Tij (λ) = Idn + λEij , une transvection.
Notons que les matrices de transvections sont toutes dans SL(V ), le groupe qu’elles engendrent
est donc inclus dans SL(V ), la multiplication `a gauche par une matrice de transvection revient
a` effectuer l’op´eration ´el´ementaire Li ← Li + λLj , et la multiplication a` droite revient a` faire
Cj ← Cj + λCi . Donc il est possible d’effectuer l’´echange de deux lignes, car la multiplication a`
gauche par Tij (1)Tji (−1)Tij (1) a pour effet de remplacer Li par Lj , et Lj par −Li .
Soit A ∈ GL(V ), en appliquant l’algorithme de Gauss nous allons transformer A en la matrice
identit´e, en utilisant uniquement des matrices de transvections. Comme A est inversible sa premi`ere
2 de 3

colonne est non nulle. Si ai1 6= 0, l’op´eration L1 ← L1 − a11ai1−1 Li permet de mettre un coefficient 1
en position (1, 1). Si tous les coefficients ai1 = 0, pour i ≥ 2, alors on ´echange les lignes L1 ← L2 ,
L2 ← −L1 , pour se ramener au cas pr´ec´edent. En utilisant le coefficient (1, 1) comme pivot, une
succession d’op´erations sur les lignes et les colonnes permet d’annuler tous les autres coefficients de
la premi`ere ligne et de la premi`ere colonne, autrement dit, il existe des matrices de transvections
M1 , · · · , Mp , et N1 , · · · , Nq , telles que


1 0
Mp · · · M1 AN1 · · · Nq =
0 A1
O`
u A1 ∈ GLn−1 (V ).
On recommence le mˆeme algorithme sur la matrice A1 et ainsi de suite. On aboutit a` la fin a`
la matrice diag(1, · · · , 1, det(A)) =, mais det(A) = 1, donc On vient de montrer qu’il existe des
matrices de transvections U1 , · · · , Ur , et V1 , · · · , Vs telles que
A = Ur · · · U1 V1 · · · Vs
Lemme 2. Les transvections de GL(V ) sont conjugu´ees.
D´emonstration. Toutes transvections a pour polynˆome caract´eristique (X −1)n , elles ont donc pour
seule valeur propre 1 et leur polynˆome caract´eristique est scind´e, elles ont donc toutes mˆeme forme
r´eduite de Jordan J. Soit M et N deux matrices de transvections, il existe P et Q dans GL(V ),
telles que M = P JP −1 , et N = QJQ−1 , alors
M = P Q−1 N QP −1
Lemme 3. Le symbole de Legendre est un morphisme.
D´emonstration.
On commence par remarquer (Perrin p74/75) que
o
n
p−1
2
=
1
F∗2
=
x

F
|x
p
p
p−1 2
Comme x 2
= xp−1 = 1, et que le polynˆome X 2 − 1 admet deux racines qui sont 1 et −1,
alors pour tout x ∈ F∗p , on a soit x
pas un carr´e. Donc

q−1
2

= 1, lorsque x est un carr´e, soit x

q−1
2

= −1 lorsque x n’est


p−1
x
=x 2
p
Ainsi il s’agit bien d’un morphisme :


p−1
p−1 p−1
ab
a
b
2
2
2
= (ab)
=a b
=
p
p p
Lemme 4. Soit G un groupe, le groupe d´erivi´e D(G) est distingu´e dans G.
D´emonstration. Il s’agit de montrer que si g ∈ G et [x, y] = xyx−1 y −1 ∈ D(G) alors : g[x, y]g −1
appartient `a D(G), or on a :
g[x, y]g −1 = (gxg −1 )(gyg −1 )(gx−1 g −1 )(gy −1 g −1 ) = [gxg −1 , gyg −1 ]

3 de 3


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