#03 La physique en rose .pdf



Nom original: #03 La physique en rose.pdfAuteur: Kerwann Tep

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DYNAMIQUE DES FLUIDES : ECOULEMENTS PARFAITS
ρF , ext
Définition 1 : Densité volumique de force ⃗

ρF , ext =

d⃗
F ext


Equation d'Euler :

ρF , ext = μ( M , t) ⃗
a = μ ( M ,t )(∂ t (⃗v )+( v⃗.⃗
grad )( ⃗
v ))
Propriété 1 :

ρ pres = −⃗
grad ( P )
⃗ .⃗
u = ⃗
u .∯Σ P d ⃗
S i = −∯Σ P ⃗u . d ⃗
S e = −∭V div( P ⃗u )d τ où ⃗
u est
En effet, F
un champ uniforme. Or, div(P ⃗
u ) = P div(⃗u )+⃗
grad ( P). ⃗
u =⃗
grad ( P). ⃗
u .

⃗ . u⃗ = −∭ ( P ) ⃗u d τ = −⃗u .∭ ⃗
grad ( P)d τ , et ce pour tout u
Donc F
⃗ .
V
V
⃗ =∭ ⃗
ρ pres d τ = ∭ (−⃗
grad (P))d τ .
Donc F
V

V

Remarque 1 :
a // ⃗
v , i.e (−⃗
En écoulement unidimensionnel, ⃗
grad ( P)+⃗
ρext ).⃗
eN = 0 .
Théorème 1 : De Bernoulli
Soit un écoulement incompressible, soumis à des forces massiques
dérivant d'une énergie potentielle.

Cas 1 : Mouvement stationnaire
2




v
P
rot ( ⃗v ) = ⃗0 , alors
Si ⃗
+ μ + e p ,m = C .
2
v2
P
rot ( ⃗v ) ≠ 0⃗ , alors
Si ⃗
+ μ + e p , m = C (ligne de courant) .
2

Cas 2 : Mouvement instationnaire
2



v
P
Si ⃗v = ⃗
grad (φ) , alors ∂ t φ +
+ μ + e p , m = C ( t)
2

Propriété 2 : Effet Venturi
Il y a dépression dans la zone où les particules de fluides sont
accélérées.

μ S1 v1 = μ S2 v2 ⇒

v2
S
= 1
v2
S2

( )

S 21
μ 2 2
μ 2
P 2−P 1 = (v 1−v 2 ) = v 1 1− 2
2
2
S2

Exemple 1 : Applications
1) Sonde de Pitot

PB' ≃ PO'
1
P A+ μ air v 2 = P O
2
1
1
P B + μ air v 2 = P B ' + μair v 2
2
2
μH O
2
2
v = μ (P O −PO ' ) = 2 μ g ( hO −hO ' )
air
air
2

2) Pompe à eau/Vase de Tantale

Vase de Tantale :
– Oscillateur à relaxation (remplissage → Siphonnage)

μ q−μ s v siphon = m˙ = μ S h˙

3) Siphon
Régime amorcé :
v uniforme dans le siphon
P A = P A +μ g A0 A1 = P 0+μ g A0 A1
1
P A = P A − μ v2
2
P A = P A −μ g A2 A3
1

0

2

1

3

2

v2 = 2 g H

Propriété 3 : Effet Coanda (force de portance)

μ⃗
a = −⃗
grad ( P)
v2
μ a.
⃗ ⃗n = μ
= −⃗
grad ( P)
R
Différence de pression sous et sur la sphère : =>
Force dirigée vers la pression basse.
=> Ci-contre, la force tend à porter la sphère.

Théorème 2 : De Torricelli (Temps de vidange d'un récipient)
Grandeurs caractéristiques : v jet , h , s≪ S
Approx. Quasi-stat (AQS) : ∂t ⃗
v ≪(⃗
v.⃗
grad ( v))(⃗v )
2
v
v
=> Il suffit de vérifier que τjet ≪ jet
h
Cons. Masse : v A dt = − h˙ dt ⇒ −S h˙ = s v jet = s √ 2 g h

τ ?

dh
s √g
s√ g
=−
dt ⇒ −√ h = −
τ ⇒ τ =
2 √h
S √2
S √2

AQS ?

v jet h
h
h s√ g
s
τ v2 = τ v = S √ 2 h √ 2 h g = 2 S ≪ 1
jet
jet



2h S
g s

Propriété 4 : Surface d'un tourbillon de Rankine
Rappel des propriétés :
Vitesse générale : v⃗ = v θ (r ) e⃗θ

2
2
a ω
r > a ⇒ v =
2r

Expression : r < a ⇒ v =

Extérieur : ω
⃗ = ⃗0


Pression dans le fluide :



Hauteur de la surface :

1 2
P+ μ v +μ g z = C = P 0
2
v2
a4ω2
P = P0 ⇒ z = −
= −
2g
8 g r2

⃗ = 1ω
Intérieur : ω
⃗ ≠ ⃗0 et Ω

2


Chang. de référentiel :



Energie potentielle :



Pression dans le fluide :



Hauteur de la surface :


grad ( P) = μ ⃗
g −μ ⃗
a e = μ (⃗
g +Ω2 r ⃗
er )
1
E pie = − μ Ω2 r 2
2
1
a2 ω 2
P−μ g z + μ Ω2 r 2 = C 1 = P0 +μ
2
4
2
2
2
P = P 0 ⇒ z = ω ( r −2 a )
8g

Propriété 5 : Paradoxe de d'Alembert
Soit un écoulement irrotationnel autour d'un cylindre de rayon
⃗ . On
R , sans circulation, soumis à un courant de vitesse à l'infini
U
P
*
a donc k = 0 et ⃗
.
v =⃗
grad ( φ) . On définit la pression réduite P =
μU 2
Alors :



1
1
1
P (r , θ) = P 0+ μ (U 2−v 2) ⇒ P * = P *0+ (1−v *2) = P*0+ (1−4 sin2 θ)
2
2
2

1
1

F p , h ,l =
Pd⃗
S int =
P(−⃗
e r ) R d θ dz = −∫0 P * (1,θ) d θ ⃗
er = ⃗
0
2∬
2 ∬
hμ U
hμU
Il n'y a donc pas de portance, ni de traînée.

Propriété 6 : Effet Magnus
Soit un écoulement irrotationnel autour d'un cylindre de rayon
⃗ , de circulation
R soumis à un courant de vitesse à l'infini U
k .
Alors :



1
P * = P *0+ (1−(k 2+4 sin 2 θ−4 k sin θ)) = T (θ , int nulle)−2 k sin θ
2


*
*
2

F .⃗
e = −
P (1, θ) ⃗
e .⃗
e d θ = −2 k
sin θ d θ = −2 π k




⃗ ∧Γ

F p ,l = −2 πμ U R k ⃗
e y = −μ U Γ e y = μ U



lin

y

∫0

r

y

∫0

2

Propriété 7 : Bilan de quantité de matière
Soit Σ un système et Σ * un volume de contrôlé de Σ tel que
*
Σ (t) = Σ(t )∪Σ 1 et Σ * (t+dt ) = Σ(t+dt )∪Σ2 . Alors :
D ⃗p
= ⃗
F ext
Dt


⃗p (Σ(t+dt))+ ⃗p(Σ 2)− ⃗p(Σ( t))− ⃗p (Σ 1)
D ⃗p
.
= lim
Dt
dt
dt → 0

Exemple 2 : La Fusée !




u
Ejection de gaz à un débit q m à une vitesse ⃗
Masse M TOT = M 0+m(t) où m˙ = −q m .
v (t)
Vitesse ⃗






Σ1 = ∅
v (t)+⃗
u)
⃗p (Σ 2) = q m dt( ⃗
v ( t+dt )+d p gaz⃗,turbine
⃗p (Σ(t+dt)) = ( M 0+m(t+dt)) ⃗
⃗p (Σ(t)) = (M 0+m(t )) v⃗ (t)+d p gaz⃗, turbine



D ⃗p
d
dv
=
(M TOT ⃗v )+q m ⃗v +q m ⃗u = M TOT (t) ⃗ +q m ⃗
u =⃗
F ext
Dt
dt
dt
d ⃗v
= ⃗
F ext +⃗
F poussée où ⃗
F poussée = −q m ⃗
u
Finalement, M TOT (t)
dt

Méthode 1 : Calcul de forces de surpression
Parfois, il vaut mieux décomposer les forces de pressions pour se
ramener à une intégrale sur une surface fermée avec une
pression
constante (qui est alors nulle).

Exemple 3 : Quelques applications
1) Coude de canalisation
Conservation de la masse :
S v1 = S v2 ⇒ v1 = v2
Théorème de Bernoulli (ligne de courant) :
1
1
P 1+ μ v12 = P 2+ μ v 22 ⇒ P 1 = P 2
2
2
Bilan de quantité de mouvement :
⃗p (Σ 2)− ⃗p (Σ 1)
D ⃗p
= lim
= −μ v 21 S (⃗
e x +⃗
e y)
Dt
dt
dt → 0
Bilan des forces :

F ext = ⃗
Rcond →coude +⃗
F pres


F pres = ( P 1− P0 )S ( ⃗
e x +⃗
e y)
2

R cond → coude = −[( P1 −P 0)S +μ v1 S ](⃗
e x +⃗
e y)
2) Jet sur une plaque fixe
Conservation de la masse :
q 0 = q 1+q 2
Théorème de Bernoulli :
1
1
P 0+ μ v 20 = P 0+ μ v 21 ⇒ v 0 = v 1
2
2
1 2
1 2
P 0+ μ v 0 = P 0 + μ v 2 ⇒ v 0 = v 2
2
2
Bilan de quantité de mouvement :
D ⃗p
.⃗
e = μ v 20 ( s2 −s1−s 0 sin α) = 0
Dt y
Bilan des débits :
1
1
q 1 = q 0 (1+sin α) et q 2 = q0 (1−sin α)
2
2
Remarque 2 : Retour sur le tonneau percé




Le théorème de Bernoulli permet d'obtenir la vitesse
La conservation de la masse nous donne le temps de vidange
Le bilan de quantité de matière nous donne la section du jet


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