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Université Abdelhamid Ben Badis
Faculté des Sciences Exactes et de l’Informatique
Département de Mathématiques
Master1 MCO
Matière : Outils d’Analyse Fonctionnelle 1
Responsable : S. M. Bahri

Quelques Aspects Fondamentaux des Espaces
Fonctionnels
1

Espaces vectoriels (ou linéaires)

1.1

Concept d’un espace vectoriel

En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant
en pratique d’e¤ectuer des combinaisons linéaires.
Étant donné un corps (commutatif) K (R ou C), un espace vectoriel E sur K
est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) muni d’une action compatible
de K :
1. (x + y) + z = x + (y + z) (associativité de l’addition);
2. x + y = y + x
3. il existe un élément

(commutativité de l’addition);
dans E tel que 0x =

4. ( + ) x = x + x

(distributivité);

5.

(distributivité);

(x + y) = x + y

pour tout x 2 E;

6. 1x = x:
Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des
scalaires.
1. Les plus simples exemples d’espaces vectoriels étudiés dans un cours d’algébre
linéaire sont ceux des espaces vectoriels de dimension …nie Rn , Cn ou
l’espace des polynômes de degré inférieur à n.
2. Un important exemple d’espace vectoriel est l’espace C [a; b] des fonctions
continues à valeurs réels (ou complexes) dé…nies sur l’intervalle [a; b].
3. s est l’ensemble des suites à support …ni : c’est l’ensemble des suites
in…nies d’éléments telles que seul un nombre …ni d’éléments soit non nul.
En d’autres termes, un suite (ai ) est dans s si, et seulement si, il existe
N 2 N de sorte que ai = 0 pour tout i > N . Cet ensemble forme un
espace vectoriel par rapport à l’addition et la multiplication des suites, et
bien évidemment Il est isomorphe à l’espace de tous les polynômes.

1

4. L’ensemble c0 des suites convergentes vers zero.
5. L’ensemble c des suites convergentes.
6. L’ensemble l1 des suites bornées.
7. L’ensemble s de toutes les suites.
Tous ces ensembles sont des espaces vectoriels et ils sont liés de la manière
suivante:
s
c0 c l1 s:
(1)
1.1.1

Dépendance linéaire et indépendance - Base

Un système de vecteurs x1 ; x2 ; :::; xn est dit linéairement indépendant si toute
combinaison linéaire nulle de ces vecteurs a nécessairement tous ses coe¢ cients
nuls
n
X
)
= n = 0:
(2)
k xk =
1 = 2 =
k=1

Dans le cas contraire, ces vecteurs sont dits linéairement dépendants.
Un système in…ni de vecteurs est dit linéairement indépendant si toute
famille …nie de vecteurs distincts de ce système est linéairement indépendante.
Un système linéairement indépendant fxn g est dit base algèbrique de l’espace
vectoriel E si tout vecteur x 2 E est représentable sous forme d’une combinaison
linéaire d’un nombre …ni de vecteurs de fxn g :
x=

n
X

ix

i

:

(3)

i=1

Comme une base algèbrique est un système linéairement indépendant, la représentation (3) est unique.
Tout espace vectoriel admet admet une base algèbrique. Et deux bases
algébriques d’un même espace vectoriel E admettent le même cardinal qui est
en fait la dimension de l’espace vectoriel E.
Un espace vectoriel est dit de dimension …nie si sa dimension est un entier
naturel n. Dans ce cas, une base algébrique consiste en n éléments. Dans le
cas où est in…ni, l’espace vectoriel E est dit de dimension in…nie.
Remarques 1.1 Notons que l’on a dé…nie une base uniquement pour les espaces
vectoriels de dimension …nie. Les concepts correspondants sont moins utilisés
en dimension in…nie (au fait ce concept est remplacé par la notion de séparabilité, i.e., existence d’un ensemble dénombrable partout dense ( pour les espaces
Banach). Exception faite pour les espaces de Hilbert où l’on peut dé…nir un
concept similaire.

2

1.1.2

Variétés linéaires et ensembles convexes

Un sous ensemble non vide M d’un espace vectoriel E est dit variété linéaire
si, pour tout couple de vecteurs x1 ; x2 de l’ensemble M toutes les combinaisons
linéaires 1 x1 + 2 x2 appartiennent aussi à M .
Soient S et T deux sous ensembles d’un espace vectoriel E. La somme
algébrique S T des ensembles S et T est l’ensemble des vecteurs de la forme x+
y, où x 2 S et y 2 T . Deux variétés linéaires M et N sont dites algébriquement
complémentaires si M \ N = ? et M N = E. Pour toute variété linéaire M
d’un espace vectoriel E il existe une variété linéaire N qui soit son complément
algébrique.
Le segment dé…ni par les vecteurs x et y d’un espace vectoriel est l’ensemble
des vecteurs de la forme
x + (1

) y; où 0

1:

Un ensemble S dans un espace vectoriel E est dit convexe s’il contient le segment
dé…ni par n’importe quel couple de ses vecteurs. Le plus simple exemple d’un
ensemble convexe est donné par une variété linéaire quelconque M E.
Pour tous ensemble quelconque S E il existe un plus petit ensemble convexe Se contenant S, dit enveloppe convexe de l’ensemble S. L’enveloppe convexe
Se consiste en tous les vecteurs ayant la forme
x=

n
X

k xk ;

k=1



2

k

0;

Pn

k=1

k

= 1; xk 2 S et n est un nombre naturel arbitraire.

Espaces vectoriels topologiques, métriques, normés et de Banach

2.1

Espace vectoriel topologique

Un espace vectoriel topologique est une structure composite. Sa structure est
induite par les opérations algébriques et une topologie. Le concpt de l’espace
vectoriel topologique re‡ète les propriétés liées avec les concepts intuitives de
voisinage, limite et continuité dans les espace euclidiens ordinaires. Dans un
espace vectoriel topologique les deux structures sont interdépendants. Cette
relation re‡ète les propriétés de continuité des opérations algébriques sur les
vecteurs dans les espaces euclidiens.
Une application A : E1 ! E2 entre deux espaces vectoriels E1 et E2 est dite
linéaire si, et seulement si, pour tout x; y 2 E1 et pour tout scalaire a; b nous
avons que
A(ax + by) = aA(x) + hA(y):
(4)
3

Pour de telles applications nous ecrivons souvent Ax à la place de A (x) : En
outre, nous dé…nissons deux ensembles importants associés avec une application
linéaire A. C’est son noyau ker A et son image Im A dé…nis par :
ker A = fx 2 E1 : Ax = 0g

(5)

Im A = fAx : x 2 E1 g :

(6)

et
Une application linéaire A : E1 ! E2 entre deux espaces vectoriels E1 et E2
est appellée isomorphisme si ker A = 0 et Im A = E2 , c’est à dire que A est une
application linéaire bijective et par conséquent inversible. Nous notons par A 1
son inverse.
Exemples d’espaces vectoriels
Dé…nition 2.1 Un sous-ensemble E1 de l’espace vectoriel E est dit sous-espace
s’il est relativement fermé aux opérations linéaires dans E. Nous écrivons E1 ,!
E:
Donc, c0 , par exemple, est un sous-espace de c qui est un sous-espace de l1 :
Il est clair que pour un opérateur A : E1 ! E2 , ker A est un sous-espace de
E1 and Im A est un sous-espace de E2 :
Un ensemble de vecteurs x1 ; x2 ; : : : ; xn est dit ensemble linéairement dépendant et les vecteurs des vecteurs linéairement dépendants, s’il existe des nombres
(ai )ni=1 non tous nuls tels que
a1 x1 + a2 x2 + : : : + an xn = 0:

(7)

D’autre part, les (xi )ni=1 sont dits linéairement indépendants s’ils ne sont pas
linéairement
dépendants. Par conséquent, pour de tel ensemble de vecteurs,
Pn
a
x
=
0
implique que ai = 0 8i = 1; 2; : : : ; n.
i
i
i=1
Nous dé…nissons l’enveloppe linéaire (notée span) d’un sous-ensemble M
d’un espace vectoriel E comme étant l’intersection de tous les sous-espaces de
E contenant M . C’est à dire
spanM = \ fE : E ,! E et M

E g:

(8)

On peut aussi dé…nir spanM comme l’ensemble de toutes les combinaisons
linéaires …nies des vecteurs de M .
Le résultat suivant est un important théorème d’algèbre linéaire :
Théorème 1 Soit (xi )ni=1 un ensemble maximal de vecteurs linéairement indépendants dans E (cela signi… qu’il n’existe pas une extension linéairement
indépendante de cet ensemble). Alors le nombre n est invariant et appellé la dimension de l’espace E. Nous écrivons dim E = n et nous dirons que les vecteurs
(xi )ni=1 forment une base de E.

4

Maintenant, nous introduisons la notion des espaces quotients. Pour un
sous-espace E1 de E, nous dé…nissons un nouveau espace vectoriel appellé espace
quotient de E relativement à E1 de la manière suivante. Considérons une famille
de sous-ensembles
f[x] = x + E : x 2 Eg:
(9)
Les ensembles [x] sont dits coensembles de E. Notons que deux coensembles
[x] et [y] sont, soit identiques, soit disjoints. En e¤et, si z 2 [x] \ [y], alors
z x; z y sont deux éléments de E1 . Comme E1 est un espace vectoriel, il s’en
suit que
y

x = (z

Donc, si a 2 [x] nous avons a
a

x)

(z

y) 2 E1 :

x 2 E1 et d’aprés la structure linéaire de E1 ;
y = (a

x)

(y

x)

c’est à dire, a 2 [y]. Ainsi, nous avons montré que [x]
[y]. D’une manière
similaire, nous montrons que [y] [x]. Nous dénotons par E=E1 la collection
de tous les coensembles [x]. Il est utile de noter que [x] = [y] si, et seulement si,
x y 2 E1 :
Maintenat, nous introduisons la structure linéaire sur E=E1 par
[x] + [y] = [x + y];
a [x] = [ax]:
Notons que [0] est le vecteur nul du nouveau espace E=E1 . L’espace E=E1 est
dit espace quotient. La dimension dim E=E1 est dite codimension de E1 et nous
écrivons
co dim E1 = dim E=E1 :
Exemples 2 La codimension de co à l’intérieur de l’espace c des suites conver1
gentes est égale à 1. En e¤ et, pour tout x = (xn ) ; 2 c;
x + c0 = a (1 + c0 )
où a = lim xn et 1 est la suite constante avec tous les termes égaux à 1.Ainsi,
[x] = a [1] :
Dé…nition 2.2 Les vecteurs x1 ; x2 ; :::; xn sont dits linéairementt indépandants
relatirement au sous-espace E1 ! E, si
n
X
ai xi 2 E implique que a1 = a2 = ::: = an = 0:
i=1

Lemme 2.1 La dimension de E=E1 est égalé à n si ,et seulement si, il existe
des vecteurs x1 ; x2 ; :::; xn linéairement indépandants relativement à E1 tel que
pour chaque x 2 E, il existe un ensemble de nombres uniques a1 ; a2 ; :::; an et un
vecteur unique y 2 E1 tel que
5

x=

n
X

ai xi + y:

(10)

i=1

Par conséquent, les ensembles [x1 ] ; [x2 ] ; :::; [xn ] de ces vecteurs forment une
base de E=E1 :
Preuve. Soit [x1 ] ; [x2 ] ; :::; [xn ] une base de E=E1 : Alors les vecteurs x1 ; x2 ; :::; xn
sont linéairement indépandants relativement à E1 et par conséquent si
n
X
i=1

En e¤ et,

ai xi 2 E1 alors ai = 0 pour tout i = 1; n:
n
X
i=1

ai xi 2 E1 )

n
X

ai ([xi ]) = 0

i=1

et de la linéarité indépendante de [xi ] il s’en suit suit que ai = 0. Maintenant,
n
X
X
8x 2 E, considérons x + E1 =
ai ([xi ]) c’est à dire x 2
ai xi + E1 :
i=1

2.2
2.2.1

Espaces Normés
Distances

Dé…nition 2.3 Soit E un ensemble non vide quelconque.
Une distance sur E est une fonction d : ExE ! R , dé…nie sur le produit
cartésien ExE, à valeurs dans l’ensemble R des nombres réels, véri…ant les
propriétés suivantes :
1. 8x 2 E; 8y 2 E : d (x; y)

0

(positivité)

2. 8x 2 E; d (x; x) = 0
diagonale)

(nullité sur la

3. d (x; x) = 0 ) x = 0

(séparation)

4. 8x 2 E; 8y 2 E : d (x; y) = d (y; x)
5. 8x 2 E; 8y 2 E; 8z 2 E : d (x; y)
gulaire)

(symétrie)
d (x; z) + d (z; y)

(inégalité trian-

Pour x 2 E et y 2 E donnés, le nombre réel positif ou nul d (x; y) est appelé
distance de x à y.
Remarques 2.1
On dit parfois métrique à la place de distance et E
equipé d’une métrique est dit espace métrique.
Si la propriété 3. n’est pas véri…ée, on dit que d est une semi-distance sur
E.
6

Proposition 3 Soit d une distance sur un ensemble E. Alors on a :
i) la seconde inégalité triangulaire
8x 2 E; 8y 2 E; 8z 2 E : d (x; y)

jd (x; z)

d (z; y)j ;

ii) et l’inégalité triangulaire généralisée
8x1 2 E; 8x2 2 E; : : : ; 8xn 2 E : d (x1 ; xn )

n
X

d (xk ; xk+1 ) :

k=1

Preuve. Exercice.
Exemples de distances
1. (a) E = Rn (n
dans Rn :
q
d (x; y) = (x1

1) : Soient x = (x1 ; x2 ; : : : xn ) et y = (y1 ; y2 ; : : : yn )

2

y1 ) + (x2

2

y2 ) +

(xn

v
u n
uX
2
yn ) = t
(xk

2

yk )

k=1

dé…nit la distance euclidienne sur Rn .
2. Soit E 6= ? un ensemble arbitraire. Posons :
1
0

(x; y) =

si x 6= y
;
si x = y

(11)

cette distance est appelée la distance discrète sur E.
2.2.2

Espaces Métriques

Dé…nition 2.4 Un espace métrique est un couple constitué par un ensemble
non vide E et par une distance d sur E. On dit souvent que E est muni de la
distance d et on note un espace métrique par (E; d) :
Remarques 2.2
1. Sur un même ensemble E on peut dé…nir une in…nité
de distances. Mais les structures des di¤ érents espaces métriques (sur le
même ensemble E) seront bien di¤ érentes.
Procédons maintenant à dé…nir la notion de distance dans un espace vectoriel
(linéaire). Cela est nécessaire si on veut étudier et analyser la convergence.
Dé…nition 2.5 Une norme p(x) = kxk pour x 2 E est une fonction de E dans
R véri…ant les propriétés suivantes:
1. p(x)

0 et p(x) = 0 si, et seulement si, x = 0.
7

2. p( x) = j j p(x):
3. p(x + y)

p(x) + p(y) pour tout x; y 2 E et pour tout

2 R (ou C) :

Avec cette dé…nition, la distance entre deux points x et y dans E est la
norme de la di¤érence : kx yk :
Exemples 4 Sur les espaces c0 ; c; l1 nous dé…nissons la norme comme borne
1
supérieure de la valeur absolue des suites : pour x = (ai )1 nous posons
kxk = sup jai j :
Pour l’espace C [0; 1], nous dé…nissons la norme d’une fonction par :
kf k = max fjf (x)j : x 2 [0; 1]g :
Un autre exemple est l’espace l1 = (R1 ; kk1 ) qui consiste en les suites x =
1
(xi )1 véri…ants
1
X
kxk1 =
jxi j < 1:
(12)
i=1

D’une manière similaire, nous dé…nissons les espaces lp = R1 ; kkp
1 p < 1 par
!1=p
1
X
p
kxkp =
jxi j
< 1:

pour

(13)

i=1

Ils est souvent non trivial que ces ensembles ( pour p > 1) forment des
espaces vectoriels. En e¤et, nous montrons en premier que la fonction kkp est
une norme et que l’inégalité triangulaire implique que si x et y sont dans lp ,
alors x + y est aussi dans lp . Cela découle de l’inégalité de Hôlder suivante.
2.2.3

Inégalité de Hôlder

Théorème 5 Pour toutes suites de scalaires (ai ) et (bi ) nous avons :



1
p

+

1
q

= 1:

X

X

ak bk

p

1=p

jak j

X

q

1=q

jbk j

;

(14)

Preuve. Observons en premier quelques liaisons entre les nombres p et q :
1
p

1

=q

1 et (p

1) q = p:

Pour montrer l’inégalité (14), nous posons
jai j
jbi j
ci = P
et di = P
:
p 1=p
q 1=q
( jaj j )
( jbj j )
8

(15)

Alors
Maintenant, montrons que

X

cpi = 1 et

X

dqi = 1:

1 p 1 q
c + di :
p i
q

ci di

En e¤et, cela est vrai car si l’on considère la fonction y = xp 1 et si on l’intègre
par rapport à la variable x de 0 à ci ; ensuite si on intègre son inverse x = yp1 1 =
y q 1 par rapport à y de 0 à di , il est facile de voir, géométriquement, que la
somme de ces deux intégrales excede toujours le produit ci di et qu’il est égale à
1 q
1 p
p ci + q di . Ainsi, nous obtenons
X

ci di

1 1
+ = 1:
p q

(16)

L’inégalité (15) est dite inégalité de Cauchy si p = q = 2.
De l’inégalité de Hôlder s’en suit l’inégalité de Minkowski qui est l’inégalité
triangulaire des espaces lpn = Rn ; kkp :
2.2.4

Inégalité de Minkowski

Théorème 6 Pour toutes suites de scalaires a = (ai ) et b = (bi ) et pour tout
1 p 1 nous avons :
ka + bkp
Preuve.
p

ka + bkp

=

=

X

X

X

3

1
p

+

p
p

(jak j + jbk j)

X

1
q

(17)

jak + bk j

X
p 1
p 1
(jak j + jbk j)
jak j +
(jak j + jbk j)
jbk j
X
X
X
1=q
1=p
p
p
p
(jak j + jbk j)
jak j
+
jbk j

=
pour q tel que

kakp + kbkp :

p

1=p

1=q

(jak j + jbk j)

kakp + kbkp

= 1:

Notions topologiques et géométriques

Quelques remarques topologiques s’imposent. Nous dirons qu’une suite (xn )
converge vers un point x dans l’espace E si, et seulement si, kxn xk ! 0. Une
boule ouverte de rayon r > 0 centrée en x0 est dé…nie par :
Dr (x0 ) = fx= kx
9

x0 k < rg

(18)

et un ensemble O est dit ouvert si, et seulement si, pour tout x 2 O il existe
r > 0 tel que Dr (x0 )
O: Un ensemble F est dit fermé si pour toute suite
xn 2 F convergente vers x 2 E on a x 2 F:
Lemme 3.1 Si O est un ensemble ouvert alors l’ensemble F = Oc est fermé.
Réciproquement, si F est un ensemble fermé alors l’ensemble O = F c est ouvert.
Preuve. Soit xn 2 F et xn ! x 2 E. Si x 2 O alors pour tout r > 0 et n assez
grand, dist (xn ; x) < r ce qui implique que pour n assez grand xn 2 O et non
dans F.
Pour l’inverse, si x 2 F c il existe > 0 telque D (x) O: Sinon pour toute
suite décroissante vers zéro n > 0 il existe xn 2 F et dist (xn ; x) < n telque
xn ! x c’est à dire x 2 F:
Notons aussi que la réunion d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert et
l’intersection d’ensembles fermés est un ensemble fermé.
Discutons maintenant quelques idées géométriques. Si deux points x et y
sont données alors l’ensemble f x + (1
y)g pour 0
1 est le segment
joignant ces deux points. Nous appelons aussi cet ensemble intervalle et nous
ecrirons I [x; y].
Exercice 7 Montrer que si z 2 I [x; y] alors
kx

yk = kx

zk + kz

yk

c’est à dire que l’inégalité triangulaire devient égalité.
Dé…nition 3.1 Un sous ensemble M d’un espace vectoriel E est dit convexe
si, et seulement si, pour tous points x; y 2 M; l’intervalle I [x; y] est contenu
dans M .
Il est facile de voir (exercice) que si (M ) est une famille d’ensembles convexes alors l’intersection \ M est aussi un ensemble convexe. Nous observons
ici que si E est un espace vectoriel normé, l’ensemble
D (E) = fx= kxk

1g ;

(19)

dit boule unité de l’espace E, est un ensemble convexe et symétrique par rapport
à l’origine.
Lemme 3.2 Si E0 ,! E, et E0 est un sous espace fermé alors E=E0 est un
espace normé et pour [x] 2 E=E0 sa norme est donnée par
k[x]k = inf kx
y2E0

yk :

(20)

Preuve. Si k[x]k = 0 alors il existe une suite xn 2 E0 telle que xn ! x: Ainsi
x 2 E0 car E0 est fermé et donc [x] = 0.
L’homogéniété de k[x]k est evidente car E0 est un sous espace linéaire et
en…n, nous montrons l’inégalité triangulaire.
10

Pour tout

> 0; nous prenons z1 ; z2 2 E0 tels que
kx + z1 k

k[x]k +

kx + z2 k

k[y]k + :

et
Il s’en suit que pour chaque

> 0 nous avons

k[x] + [y]k =

inf kx + y + zk

z2E0

kx + y + z1 + z2 k
kx + z1 k + kx + z2 k
k[x]k + k[y]k + 2 ;
ce qui achève la preuve.
Une notion faible que celle de la norme est la notion de semi-norme.
p (x) est une semi-norme sur un espace vectoriel E si elle satisfait les propriétés d’une norme sauf qu’elle peut être nulle pour des vecteurs non nuls.
Donc, une semi-norme p : E ! R+ satisfait :
1. p (0) = 0;
2. p ( x) = j j p (x) ;
3. p (x + y)

p (x) + p (y)

pour tout x; y 2 E et tout 2 R (ou C) :
Il est utile de noter que si p est une semi-norme et si E0 est son noyau, i.e.,
E0 = ker p = fx 2 E : p (x) = 0g, alors
1. E0 est un sous espace de E ( d’aprés l’inégalité triangulaire ) et
2. p dé…nie une norme sur le quotient E=E0 :
En e¤et, 1. est vrai d’aprés l’inégalité triangulaire et 2. est vrai puisque
p (x + y) est indépendante de y 2 E0 :
p (x + y1 )

p (x + y2 ) + p (y2

y1 ) = p (x + y2 )

et de même
p (x + y2 )

p (x + y1 ) + p (y1

y2 ) = p (x + y1 ) ; (y1 ; y2 2 E0 ) :

Par conséquent, p peut être regardé comme fonction sur les les classes d’equivalence
: p ([x]) = p (x) et elle ne dépent pas du représentant de la classe. Ainsi une
seminorme p (x) sur E dé…nie d’une manière naturelle une norme sur l’espace
quotient E=E0 :Ceci est un point crucial pour l’exemple suivant d’espace normé.

11

Un analogue aux espaces lp est donné par les espaces de fonctions avec des
p-normes …nies. Nous dé…nissons l’espace des fonctions continues C(p) [a; b] de
la façon suivante
!1=p
Z
b

f 2 C(p) [a; b] si kf kp =

a

p

jf (x)j dx

< 1:

Notons que la quantité kf kp est une semi-norme et donc nous pouvons passé
à l’espace quotient si on veut avoir une norme. Donc nous passons à l’espace
quotient comme il a été décrit çi dessus (quotient relativement à l’ensemble des
zéros de k:kp ). Dans cet espace nous observons le problème suivant. Il est facile
de montrer qu’il existe des suites de fonctions continues fn et une fonction non
continue f telle que la quantité kfn f kp converge vers zéro. Donc fn est à
l’intérieur de l’espace mais elle converge vers une fonction qui se trouve en dehors
de l’espace des fonctions continues. Ce type d’espace est dit "incomplet". Dans
la section suivante, nous abordons les espaces complets.

3.1

Complétion

Pour approcher l’image générale nous avons besoin de la dé…nition suivante.
Dé…nition 3.2 Un espace normé X est dit complet si, et seulement si, toute
suite de Cauchy (xn ) dans X converge vers un élément x de l’espace X.
Exemples 8
1. Il est bien connu du cours d’analyse que si (xn ) est une suite
de Cauchy dans l’espace C [a; b] muni de la norme de la borne supérieure
(i.e., pour tout " > 0; il existe N ( ) 2 N telle que supt2[a;b] jxn (t) xm (t)j <
1 pour tout n; m plus grand que N ( ) et pour tout t 2 [a; b] alors il existe
une fonction continue x (t) telle que
sup jxn (t)

x (t)j ! 0

t2[a;b]

quand n tend vers l’in…ni. Donc l’espace C [a; b] muni de la norm kxk1 =
supt2[a;b] jx (t)j est un espace normé complet.
2. L’espace l2 est un espace normé complet, en e¤ et si xn = (xnm )m est une
suite de Cauchy avec la norme k k2 alors toute suite (xnm )m est une suite
de Cauchy et par complétude de R ou de C il existe la limite de (xnm )
quand n tend vers l’in…ni. Soit x = (xm )m alors
k
X
1

2

jxm j = lim

n!1

k
X
1

2

jxnm j

2

sup kxn k2 < M < 1

pour un certain M > 0. Donc x 2 l2 : Finalement xn xk 2
" pour
n; k assez grands et en passant à la limite quand k tend vers l’in…ni, nous
obtenons kxn xk2 "; par conséquent xn ! x:

Notons que la même démonstration (avec les modi…cations évidentes) est
aussi valable.
12

3. L’espace c0 des suites convergentes vers zéro, muni de la norme de la borne
supérieure est complet (laisser comme exercice).
Pour les espaces normés non complets il existe une procédure pour "remplir
le vide" et les rendrent complets.
Théorème 9 Soit E un espace linéaire normé. Il existe un espace normé comb et un opérateur linéaire T : E ! E
b tel que
plet E
(i) kT xk = kxk (isométrie );

b (i.e., T E = E).
b
(ii) Im T = (= T E) est un ensemble dense dans E

3.2

Construction du complété

Soit E l’espace linéaire de toutes les suites de Cauchy
1

X = (xi 2 E)i=1

(21)

dans E. Introduisons une seminorme dans l’espace E : p (X) = limi!1 kxi k ;
où X = (xi ) est une suite de Cauchy. Notons que la limite existe toujours. [ En
e¤et, jkxn k kxm kj kxn xm k ! 0 quand n m ! 1; par dé…nition des
suites de Cauchy; alors la suite de nombres fkxn kg est une suite de Cauchy et
donc convergente.]
Dé…nissons N = fX : p (X) = 0g ; alors N est le sous espace de toutes les
suites qui convergent vers 0. Alors p dé…nie bien une norme sur l’espace quotient
b = E=N (comme indiqué çi dessus) par la même formule p (X) = limi!1 kxi k
E
( pour tout représentant X d’une classe d’équivalence
= X + N 2 E=N .
b
L’opérateur T : E ! E est dé…ni par T x = (= X + N ) où X est la suite
constante X = (x; x; :::; x; :::)). (Une suite constante est, bien sûr, une suite de
Cauchy et p (X) = kxk :)
Maintenant, pour montrer le théorème, nous devons montrer que
b
(a) T E est dense dans E;

b est un espace complet.
(b) E
Preuve.

(a) Pour tout

> 0 et X = (xn ), il existe N 2 N tel que
kxn

xm k <

pour n > m

N:

Dé…nissons Yn 2 E; Yn = (xn ; xn ; :::; xn ; :::) une suite constante; i.e.,
T xn = Yn : Alors la distance de X à Yn est p (X Yn )
. Donc tout X
est approché par des éléments de T E.

13

(b) Soit p X (n) X (m) ! 0 quand n
m ! 1 (i.e. X (n) est une suite
b = E=N ).
de Cauchy dans E et représente une suite de Cauchy dans E
(n)
Prenons n & 0 et xn 2 E tel que p X
T xn < n . Alors fxn g est
une suite de Cauchy dans E: En e¤et,
kxn

xm k = p (T xn

T xm )

p T xn

X (n) +p X (n)

X (m) +p X (m)

quand n
m ! 1. Alors X (0) = (xn ) est une suite de Cauchy (donc
appartient à E) et X (0) = lim X (n) : En e¤et,
p X (n)

X (0)

p (T xn

T xn ) + p T xn

X (0) ! 0:

(Comparer cela avec la construction des nombres irrationnels à partir des
nombres rationnels.)
La complétion de C(p) [a; b] est appelé Lp [a; b]. Donc un élément dans
Lp [a; b] est une classe de fonctions, mais nous choisissons toujours un représentant de cette classe et nous le traitons comme un élément de l’espace Lp [a; b].
Le plus important espace pour nous est L2 [a; b].

4

Espaces de Hilbert

4.1

Notions de base

Soit H un espace vectoriel (linéaire) sur C avec une fonction de deux variables
à valeurs complexes
hx; yi : H H ! C;
admettant les propriétés suivantes :
1. la linéarité par rapport au premier argument :
hax1 + bx2 ; yi = a hx1 ; yi + b hx2 ; yi ;
2. la conjugaison complexe :
hx; yi = hy; xi ;
ceci implique la "semi-linéarité" par rapport au second argument :
hx; ay1 + by2 i = a hx; y1 i + b hx; y2 i ;
3. la non-négativité :
8
< hx; xi 0;
et
:
hx; xi = 0 ssi x = 0:
14

(22)

T xm ! 0

Une telle fonction est appelé "produit scalaire". Considérons aussi la fonction
1=2
p (x) = hx; xi :
( Nous verrons que p (x) est une norme et nous écrirons p (x) = kxk.)
Pn
n
n
Exemples 10
1. Dans C soit hx; yi = 1 ai bi où x = (ai )1 ; y = (bi )1 .
P
P1
ai bi
2. Dans l2 soit hx; yi = 1 ai bi ( d’aprés l’inégalité de Hölder
q
q
P
P
2
2
jai j
jbi j < 1). Alors, jhx; yij kxk kyk :

Rb
3. Dans L2 [a; b] soit hf; gi = a f (t) g (t)dt: De même, jhf; gij kf k2 kgk2
d’aprés l’inégalité de "Cauchy-Schwartz" (qui l’inégalité de Hölder pour
p = q = 2.

4.2

Inégalité de Cauchy-Schwartz

Théorème 11 (Inégalité de Cauchy-Schwartz) Pour tous vecteurs x; y dans
un espace vectoriel H muni du produit scalaire h ; i, l’inégalité suivante est vrais
:
1=2
1=2
jhx; yij hx; xi
hy; yi :
1=2

Preuve. Rappelons notre notation p (x) = hx; xi
o

hx

2

y; x

Si hx; yi =
6 0, soit

=

yi = p (x)
p(x)2
hy;xi ;

alors

0

p (x) +

2

2

2 Re ( hy; xi) + j j p (y) :

4

2

. Alors

2

p (x) p (y)
2

jhy; xij

ce qui implique l’inégalité de Cauchy-Schwartz. De plus
jhx; yij = p (x) p (y)
si, et seulement si, x = y.
Maintenant montrons que p (x) = kxk est une norme. En e¤et :
p ( x) = j j p (x)
et l’inégalité triangulaire est véri…ée :
2

p (x + y)

= hx + y; x + yi
2

2

= p (x) + 2 Re hx; yi + p (y)
2

[p (x) + p (y)] ;

et d’aprés l’inégalité de Cauchy-Schwartz :
jRe hx; yij

jhx; yij
15

p (x) p (y) :

Ainsi
p (x + y)

p (x) + p (y)

et il ne reste qu’à remplacer p (x) par kxk.
Donc H est un espace normé avec la norme kxk dé…nie par le produit scalaire
dans H. Nous appelons H un espace de Hilbert si H est un espace normé
complet pour cette norme.
En général, un espace normé complet X est dit espace de Banach.
Exercice 12
1. Montrer que le produit scalaire hx; yi est une fonction continue par rapport aux deux variables :
hxn ; yn i ! hx; yi quand

xn ! x et yn ! y:

Preuve. Considérer l’expression
hx; yi

hxn ; yn i = hx; yi hx; yn i + hx; yn i hxn ; yn i
= hx; y yn i hx xn ; yn i

et utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwartz.
2. La loi du parallélogramme :
2

kx + yk + kx

2

2

2

yk = 2 kxk + kyk

:

3. Dé…nir la notion d’orthogonalité :
x?y

si, et seulement si,

hx; yi = 0:

4. Théorème de Pythagore :
si x ? y

2

2

2

alors kx + yk = kxk + kyk :
2

2

hx + y; x + yi = hx; xi + hx; yi + hy; xi + hy; yi = kxk + kyk :
n

Corollaire 4.1 Si fei g1 sont deux à deux orthogonals et normalisés dans H
(i.e. kei k = 1) alors
!1=2
n
n
X
X
2
j ij
;
i ei =
1

1

de plus :

lim

n!1

n
X

i ei

1

=

qX

2

j ij

( sous la condition hei ; ej i = ij).
P1
2
La complétion
de l’espace de Hilbert H assure que si 1 j i j < 1 alors
P1
les séries 1 i ei convergent. En e¤ et,
qP
Pm
m
2
k n i ei k =
n j i j ! 0 quand m > n ! 1:
16

Exemples 13 (systèmes orthogonaux)
1. Dans l2 considérer les vecteurs
1
fen = (0; :::; 0; 1; 0; :::)gn=1 où le 1 apparaît dans la nieme position.
n
o1
2. Dans L2 [ ; ] considérer les vecteurs p12 eint
:
n= 1

3. Dans L2 [

4.3

; ] considérer les vecteurs

p nx ; sin
pnx ; pour n = 1; 2; :::
; cos

p1
2

Systèmes Complets

Nous dirons qu’un système fxi gi 1 est complet dans H (ou tout autre espace
Pn
normé X) si l’enveloppe linéaire f i=1 i xi j 8n 2 N; pour tous scalaires i gi 1
est un ensemble dense dans H (ou, respectivement, dans X).
Remarques 4.1 Quelques théorèmes connus d’analyse a¢ rme que certains systèmes de fonctions sont complets dans certains espaces. Le théorème d’approximation
de Weierstrass, par exemple, a¢ rme que le système ftn gn 0 est complet dans
C [0; 1] (signi…ant que les polynômes sont denses dans C [0; 1]). Comme C [0; 1]
est dense dans L2 [0; 1] (par dé…nition de L2 [0; 1]) et la convergence fn ! f
dans C [0; 1] implique que fn ! f dans L2 [0; 1] (à montrer). Il s’en suit que
ftn gn 0 est un système dense dans L2 [0; 1] aussi.
Une autre version du théorème de Weierstrauss a¢ rme que les polynômes
trigonométriques sont denses dans l’espace des fonctions 2 périodiques sur
[ ; ] (pour la norme de l’espace C [ ; ]). Comme conséquence, le système
1
1
f1; cos nx; sin nxgn=1 est complet dans L2 [ ; ]. De même pour eint n= 1 .
Lemme 4.1 Si ffi g est un système complet et x ? fi ; alors x = 0:

4.4

Procédure d’orthogonalisation de Gram-Schmidt
1

Algorithme 14 Soit fxi g1 un système linéairement indépendant. Considérer
e1 = x1 = kx1 k ;
et par induction,
en =

xn yn
kxn yn k

pour yn =

Alors,

Pn
1

1

hxn ; ei i ei :

1

1. fei g1 est un système orthogonal (il su¢ t de montrer que pour m < n;
(em ; en ) = 0).
n

n

2. span fxi g1 = span fei g1 pour tout n = 1; 2; :::La démonstration ici est
par reccurence : si c’est vrais pour n 1 alors xn
yn 6= 0 d’aprés
n
l’indépendance linéaire de fxk g. Aussi évidement, ek 2 span fxi g1 pour
n
k n; et xn 2 span fei g1 .

17

Dé…nition 4.1 Un espace normé X est dit separable s’il existe un ensemble
dénombrable partout dense dans X.
Corollaire 4.2 L’espace de Hilbert H est separable si, et seulement si, il existe
un système orthonormal complet.
1

Preuve. Si H est separable alors il existe un sous-ensemble fei gi=1 dénombrable partout dense dans H. Choisissant d’une manière inductive un sous1
1
ensemble fxi g1 tel que l’ensemble span fxi g1 soit aussi dense, et il est linéairement indépendant. Maintenant, en appliquant l’algorithme de Gram-Schmidt
1
au système fxi g1 , nous achevons cette direction de la démonstration.
1
P D’autre part, fei gi=1 est complet alors considérons toutes les sommes …nies
i ei avec des coé¢ cients rationnels ( i ). C’est un ensemble dénombrable
dense dans H.
1

Dé…nition 4.2 Une suite fxi g1 P
est dite base de l’espace normé X si pour tout
x 2 X, il existe une unique série i 1 i ei convergente vers x.
1

Théorème 15 Un système orthonormal complet fei gi=1 dans H est une base
dans H.
Preuve. Pour tout x 2 H, on a d’aprés l’inégalité de Bessel :
X
2
jhx; ei ij < 1:
i 1

D’aprés le corollaire4.1 l’élément
y=

X
i 1

hx; ei i ei 2 H

existe. Cela implique que pour tout i :
(y

x) ? ei :

D’aprés le lemme4.1 nous aurons y = x. Donc
X
x=
hx; ei i ei :
i 1

(L’unicité est évidente : si x =

P1

i=1

i ei ;

alors hx; ei i =

i :)

Corollaire 4.3 Tout espace de Hilbert separable admet une base orthonormale.

4.5

Egalité de Parseval

Corollaire 4.4 Soit fei gi 1 un système orthonormal. Alors fei gi
base dans H si, et seulement si, pour tout x 2 H;
X
2
2
kxk =
jhx; ei ij :
i 1

18

1

est une
(23)

Preuve. ")" :
si x =

X
i 1

2

hx; ei i ei ) kxk =

X
i 1

2

jhx; ei ij ;

(24)

"(" :
si

n
X

x

1

2

n
X

2

= kxk

hx; ei i ei

1

2

jhx; ei ij

! 0:

n!1

(25)

Théorème 16 Si H1 et H2 sont deux espaces de Hilbert de dimension in…nie
et séparables alors ils sont isométriquement équivalents; i.e., il existe un isomorphisme linéaire T : H1 ! H2 tel que kT xk = kxk ; et de plus pour tout
x; y 2 H1 :
(T x; T y)H2 = (x; y)H1
1

Preuve. Nous construisons l’opérateur T pour H = H1 et H = l2 . Soit ffi g1
une base orthonormale de H. Alors pour tout x 2 H :
x=

1
X
1

soit

1
fei g1

2

(x; fi ) fi et kxk =

1
X

2

jhx; fi ij :

1

la base naturelle de l2 . Alors
1
X

Tx =

1

(x; fi ) ei 2 l2 :

(26)

Montrer l’isométrie.
1.

Exemples 17
2. De même,

n

p1
2

n

p1
2

eint

o1

1

p nt ; sin
p nt
; cos
2
2

est une base orthonormale de L2 [

o1

est une base orthonormale de L2 [

1

; ].
; ].

Donons maintenant un exemple d’application de l’égalité de Parseval : Pour
un intervalle I = [a; b] on note par L2 I 2 l’espace des fonctions à carré intégrable de deux variables muni de la norme :
sZ Z
kf (t; )k =

2

f (t; ) dtd :

I

(27)

I

1

Soit f'i (t)g1 une base orthonormale de L2 ([a; b]). Alors le système
'i (t) 'j ( ) =
2

est une base orthonormale de L2 [a; b]

19

ij

.

(t; )

1
i;i=1

(28)

Preuve. Notons que le système
ij est orthonormal et dé…ni
Z Z
aij =
f (t; ) 'i (t) 'j ( )dtd :
I2

D’aprés le théorème "égalité de Parseval", il su¢ t de montrer que pour tout
f 2 L2 I 2 :
Z Z
X
2
2
jf j dtd =
jaij j :
(29)
I2

ij

Soit
aj (t) =

Z

f (t; ) 'j ( )dt:

I

D’aprés l’égalité de Parseval, il s’en suit que
1
X
j=1

2

jaj (t)j =

Aussi
aij =

Z Z

I2

Z

I

2

jf (t; )j d :

aj (t) 'i (t)dt

et encore d’aprés l’égalité de Parseval,
1
X
i=1

2

jaij j =

Z

I

2

jaj (t)j dt:

En…n, en combinant ces égalités, nous obtenons :
1
X
i=1

2

jaij j =

Z X
I

j

2

jaj (t)j dt =

20

Z Z

I2

2

jf (t; )j dtd :



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