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Universit´
e Abou-Bakr-Belkaid

Ann´
ee 2015-2016

Facult´
e des Sciences

L2-Physique


epartement de Physique


eries et Equ. Diff.

Chapitre III


eries
I. D´
efinitions et Propri´
et´
es.
Si X = (xn ) est une suite dans R, alors la s´
erie g´en´er´ee par X, est la suite S := (Sk ) d´efinie
par :
S1 = x 1
S2 = S1 + x2 (= x1 + x2 )
..
.
Sk = Sk−1 + xk (= x1 + x2 + · · · + xk )
..
.
Les nombres xn sont appel´es les termes de la s´erie et les nombres Sk sont appel´es les sommes
partielles de cette s´eries.
Si lim Sk existe, on dit que la s´erie est convergente et on appelle cette limite la somme ou
k→∞

la valeur de cette s´erie.
Si cette limite n’existe pas, on dit que la s´erie est divergente.
On utilise les symboles


(xn )

ou



xn

ou




xn ,

n=1

pour d´efinir la s´erie S g´en´er´ee par la suite X = (xn ), aussi pour d´efinir la valeur lim Sk dans
k→∞

le cas o`
u cette limite existe.
Si le premier terme n’est pas x1 , mais x0 ou x7 ou x87 , on ´ecrit



xn

n=0

ou



n=7

xn

ou




xn .

n=87

EXEMPLES 1.
i) Soit la s´erie
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+ ···,
1·2 2·3 3·4
n(n + 1)
a) trouver S1 , S2 , S3 , S4 , S5 et S6 ,
b) trouver Sn ,

2


eries et Equa.Diff./

D.Beghdadi

c) montrer que la s´erie converge et trouver sa somme.
ii) Soit la s´erie



(−1)n−1 = 1 + (−1) + 1 + (−1) + · · · + (−1)n−1 + · · · ,

n=1

a) trouver S1 , S2 , S3 , S4 , S5 et S6 ,
b) trouver Sn ,
c) montrer que la s´erie diverge.
´
`
THEOR
EME
1.


i) Si la s´erie
xn est convergente, alors lim xn = 0.
n→∞

n=1




ii) Si lim xn ̸= 0, alors la s´erie
n→∞

xn est divergente.

n=1

REMARQUE 1.
Si lim xn = 0, alors d’autres m´ethodes sont n´ecessaires pour d´eterminer si la s´erie
n→∞




xn est

n=1

convergente ou divergente.
´
`
THEOR
EME
2. Pour tout entier positif k, les s´eries




xn =x1 +x2 + · · · et
xn =xk+1 +xk+2 + · · · ,
n=1

n=k+1

sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes.
´
`
THEOR
EME

3. Si




xn et

n=1




yn sont des s´eries convergentes de sommes L et K respective-

n=1

ment, alors


i)
(xn + yn ) converge et a pour somme L + K.
ii)

n=1



iii)

cxn converge et a pour somme cL, pour tout nombre r´eel c.

n=1



(xn − yn ) converge et a pour somme L − K.

n=1



´
`
THEOR
EME
4. Si
xn est une s´erie convergente et
n=1

s´erie (xn + yn ) est divergente.




yn est une s´erie divergente, alors la

n=1

II. S´
eries Remarquables.
1) S´
eries G´
eom´
etriques.
La s´erie donn´ee par :



arn = a + ar + ar2 + · · · + arn + · · · ,

n=0

est une s´erie g´
eom´
etrique de raison r.

a ̸= 0,

Chap 3/ S´
eries/

D.Beghdadi

3

´
`
THEOR
EME
5. Soit la s´erie g´eom´etrique




arn .

n=0

- Si |r| > 1, alors la s´erie diverge.
- Si 0 < |r| < 1, alors la s´erie converge vers



arn =

n=0

a
.
1−r

Preuve.
- Si r = ±1, alors la s´erie diverge.
- Si r ̸= 1, on a Sn = a + ar + ar2 + · · · + arn−1 , et rSn = ar + ar2 + ar3 + · · · + arn . Alors
a(1 − rn )
Sn − rSn = a − arn et Sn =
.
1−r
a
- Si 0 < |r| < 1, alors lim rn = 0 et lim Sn =
.
n→∞
n→∞
1−r
- Si |r| > 1, alors lim rn = ∞ et la s´erie diverge.
n→∞

EXEMPLES 2.
( )n




5
1
1
i) La s´erie
=
5
est g´eom´etrique de raison r = < 1, alors elle converge.
n
2
2
2
n=0
n=0
(
)

n

5
5
ii) La s´erie
est g´eom´etrique de raison r = > 1, alors elle diverge.
2
2
n=0

2) S´
eries de Riemann et S´
erie Harmonique.
La s´erie donn´ee par :



1
1
1
1
1
= p + p + p + ··· + p + ···,
p
n
1
2
3
n
n=1

est une s´
erie de Riemann, o`
u p est une constante positive.
Lorsque p = 1, la s´erie



1
1 1
1
= 1 + + + ··· + + ···,
n
2 3
n
n=1

est la s´erie harmonique.
La s´erie harmonique g´
en´
eralis´
ee est de la forme :



1
.
(an + b)
n=1
o`
u a, b ∈ R et a ̸= 0.
´
`
THEOR
EME
6. La s´erie de Riemann


1
1
1
1
1
= p + p + p + ··· + p + ···,
p
n
1
2
3
n
n=1

- converge si p > 1,
- diverge si 0 < p 6 1.

4


eries et Equa.Diff./

EXEMPLES 3.


1
1 1
i) La s´erie harmonique
= 1 + + + · · · est divergente puisque p = 1.
n
2 3
n=1


1
1 1
ii) La s´erie
= 1 + + + · · · est convergente puisque p = 2.
2
n
4 9
n=1

3) S´
eries T´
el´
escopiques.
La s´erie d´efinie par :



xn =(a1 − a2 ) + (a2 − a3 ) + (a3 − a4 ) + · · ·

n=1

+ (an − an+1 ) + · · · ,
est une s´erie t´
el´
escopique.
On a Sn = a1 − an+1 .
EXEMPLES 4.
Montrer que les s´eries suivantes sont t´el´escopiques et trouver Sn :
i)



n=1

ii)

1
.
−1

4n2




ln

n=1

n
.
n+1

4) S´
eries Altern´
ees.
La s´erie donn´ee par :




n

(−1) xn

ou

n=1




(−1)n+1 xn ,

n=1

o`
u xn , n ∈ N, sont tous positifs, est une s´erie altern´
ee.
´
`
THEOR
EME
7. Soit xn > 0. Les s´eries altern´ees



n

(−1) xn

et

n=1




(−1)n+1 xn ,

n=1

convergent si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
i) lim xn = 0,
n→∞

ii) xn+1 6 xn pour tout n ((xn ) est d´ecroissante).
EXEMPLES 5.
Les s´eries suivantes sont-elles convergentes ?
1)

2)




1
(−1)n .
n
n=1


n=1

(−2)n .

D.Beghdadi

Chap 3/ S´
eries/

D.Beghdadi

5

III. S´
eries `
a termes positifs.
1) Crit`
ere de Comparison.
´
`
THEOR
EME
8. Soient

i) Si
ii) Si







xn et

n=1




yn deux s´eries `a termes positifs.

n=1

yn converge et xn 6 yn pour tout entier positif n, alors

n=1






xn converge.

n=1

yn diverge et xn > yn pour tout entier positif n, alors

n=1




xn diverge.

n=1

EXEMPLES 6.
Les s´eries suivantes sont-elles convergentes ?



1
.
2 + 5n
n=1


1

ii)
.
n−1
n=2
i)

2) Crit`
ere d’equivalence.

´
`
THEOR
EME

9. Soient

positif c telque lim




n=1
xn

n→∞

yn

xn et




yn deux s´eries `a termes positifs. S’il existe un nombre r´eel

n=1

= c > 0, alors toute les deux s´eries convergent ou toute les deux s´eries

divergent.

EXEMPLES 7.
Les s´eries suivantes sont-elles convergentes ?
i)



n=1

1

.
3
2
n +1



3n2 + 5n
ii)
.
n n2 + 2n
2
n=1

3) Crit`
ere de Comparison `
a une Int´
egrale.
´
`
THEOR
EME
10. Si f is positive, continue et d´ecroissante pour x > 1, et xn = f (n), alors la


s´erie
xn
n=1
∫ ∞
i) converge lorsque
f (x)dx converge,
∫ 1∞
ii) diverge lorsque
f (x)dx diverge.
1

6


eries et Equa.Diff./

D.Beghdadi

EXEMPLES 8.


1
i) Utiliser le crit`ere de comparison `a une int´egrale pour montrer que la s´erie harmonique
n
n=1
diverge.


1
ii) Utiliser le crit`ere de comparison `a une int´egrale pour montrer que la s´erie de Riemann
np
n=1
converge pour p > 1, et diverge pour p 6 1.

4) Crit`
ere de Cauchy.
´
`
THEOR
EME
11. Soit




xn une s´erie `a termes positifs, on suppose que

n=1

lim

n→∞


n
xn = L.

i) Si L < 1, alors la s´erie converge.

ii) Si L > 1, ou lim n xn = ∞, alors la s´erie diverge.
n→∞

iii) Si L = 1, appliquer un autre crit`ere; la s´erie peut ˆetre convergente ou divergente.
EXEMPLES 9.
D´eterminer la convergence ou la divergence des s´eries suivantes :


22n+1
i)
.
nn
n=1


e2n
ii)
.
2n
n=1

5) Crit`
ere de d’Alembert.
´
`
THEOR
EME

12. Soit




xn une s´erie `a termes positifs, on suppose que

n=1

xn+1
= L.
n→∞ xn
lim

i) Si L < 1, alors la s´erie converge.
xn+1
ii) If L > 1, ou lim
= ∞, alors la s´erie diverge.
n→∞ xn
iii) Si L = 1, appliquer un autre crit`ere; la s´erie peut ˆetre convergente ou divergente.
EXEMPLES 10.
D´eterminer la convergence ou la divergence des s´eries suivantes :


3n
i)
.
n!
n=1


2n
ii)
.
2
n
n=1

Chap 3/ S´
eries/

D.Beghdadi

7

IV. Convergence Absolue.
´
DEFINITION




1. Une s´erie

xn est absolument convergente si la s´erie

n=1



|xn | = |x1 | + |x2 | + · · · |xn | + · · ·

n=1

est convergente.
EXEMPLES 11.
D´eterminer si les s´eries suivantes sont absolument convergentes ou absolument divergentes :
i)
ii)




(−1)n

n=1



1
.
n2

1
(−1)n−1 .
n
n=1

´
`
THEOR
EME

13. Si une s´erie




xn est absolument convergente, alors elle est convergente.

n=1

EXEMPLES 12.
D´eterminer si les s´eries suivantes sont convergentes ou divergentes :
1
1
1
1
1
1
1
1
i) + 2 − 3 − 4 + 5 + 6 − 7 − 8 + · · ·.
2 2
2
2
2
2
2
2


sin n
ii)
.
n2
n=1

Crit`
ere de la convergence absolue.
´
`
THEOR
EME
14. Soit




xn une s´erie `a termes non nuls, et on suppose que

n=1



xn+1

= L.
lim
n→∞ xn
i) Si L < 1, alors la s´e rie est absolument convergente.
xn+1
= ∞, alors la s´erie est divergente.
ii) Si L > 1, ou lim
n→∞
xn
iii) Si L = 1, appliquer un autre crit`ere; la s´erie peut ˆetre convergente ou divergente.

V. S´
eries Enti`
eres.
´
DEFINITION
2. Soit x une variable. Une s´
erie enti`
ere en x est une s´erie de la forme :



an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + · · · ,

n=0

o`
u chaque an est un nombre r´eel.

8


eries et Equa.Diff./

D.Beghdadi

EXEMPLES 13.
Trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles les s´eries enti`eres suivantes sont absolument
convergentes :


nxn
i)
.
5n
n=0


1 n
ii)
x .
n!
n=0


n!xn .
iii)
n=0

´
`
THEOR
EME
15. Si




an xn est une s´erie enti`ere, alors exactement une de ces assertions suiv-

n=1

antes est vraie :
i) La s´erie converge seulement si x = 0.
ii) La s´erie est absolument convergente pour tout x.
iii) Il existe un nombre r > 0, telque la s´erie est absolument convergente lorsque x est dans
l’intervalle ouvert ] − r, r[, et divergente lorsque x < −r ou x > r.
EXEMPLE 14.
Trouver l’intervalle de convergence de la s´erie enti`ere



1
√ xn .
n
n=1

´
DEFINITION
3. Soient c un nombre r´eel et x une variable. Une s´
erie enti`
ere en (x-c) est
une s´erie de la forme :



an (x − c)n =a0 + a1 (x − c) + a2 (x − c)2 + · · ·

n=0

+ an (x − c)n + · · · ,
o`
u chaque an est un nombre r´eel.
EXEMPLE 15.
Trouver l’intervalle de convergence de la s´erie


n=0

´
`
THEOR
EME

16. Si




(−1)n

1
(x − 3)n .
n+1

an (x − c)n est une s´erie enti`ere, alors exactement une de ces trois

n=1

possibilit´es suivantes est vraie :
i) La s´erie converge absolument seulement si x = c (et diverge pour toutes les autres valeurs).
Le rayon de convergence est r = 0.
ii) La s´erie est absolument convergente pour tout x ∈] − ∞, +∞[. Le rayon de convergence est
r = ∞.
iii) Il existe un nombre r > 0, tel que la s´erie est absolument convergente lorsque x est dans

Chap 3/ S´
eries/

D.Beghdadi

9

l’intervalle ouvert ]c − r, c + r[, et divergente lorsque x < c − r ou x > c + r. Le rayon de
convergence est r.


erivation de S´
eries enti`
eres
Il se trouve que la fonction
f (x) =




an (x − c)n

n=0

= a0 +a1 (x − c)+a2 (x − c)2 + · · · +an (x − c)n + · · · ,
est continue et d´erivable.
En fait, on d´erive exactement de la fa¸con la plus ´evidente.
)
d (
a0 +a1 (x−c)+a2 (x−c)2 + · · · +an (x−c)n + · · ·
dx
=a1 +2a2 (x−c)+3a3 (x−c)2 + · · · +nan (x−c)n−1 + · · ·


=
nan (x − c)n−1 ,

f ′ (x)=

n=1

Le rayon de convergence de cette s´erie est aussi r.
On trouve la d´eriv´ee en d´erivant chaque terme de la s´erie, on dit qu’on fait une d´erivation terme
`a terme.

Int´
egration de S´
eries enti`
eres
De la mˆeme fa¸con, on peut int´egrer une s´erie enti`ere convergente terme `a terme,

f (x)dx =

∫ ∑


an (x − c) dx =

n=0

=



n=0




n


an

(x − c)n dx

n=0

(x − c)
n+1

n+1

an

+ K,

o`
u le rayon de convergence de la s´erie qui en r´esulte est r et o`
u K est une constante d’int´egration.
Ces r´esultats sont vrais pour les s´eries enti`eres, mais ne sont pas valables pour une s´erie en
g´en´eral.
EXEMPLE 16.
Utiliser la s´erie enti`ere




(−1)n xn , pour trouver les repr´esentations en s´eries enti`eres des fonc-

n=0

1
1
,
et arctan x.
tions
2
(1 + x) 1 + x2


eries de Taylor
Supposons que la s´erie enti`ere



n=0

a un rayon de convergence r > 0.

an (x − c)n

10


eries et Equa.Diff./

D.Beghdadi

Cela signifie que la s´erie est absolument convergente vers une certaine fonction f sur l’intervalle
]c − r, c + r[.
On a


f (x) =
an (x − c)n
n=0

= a0 +a1 (x − c)+a2 (x − c)2 +a3 (x − c)3 +a4 (x − c)4 + · · · ,
pour tout x ∈]c − r, c + r[.
D´erivons terme `a terme (pour tout x ∈]c − r, c + r[),


f (x)=




nan (x − c)n−1

n=0

=a1 +2a2 (x−c)+3a3 (x−c)2 +4a4 (x−c)3 + · · · ,


′′
f (x)=
n(n − 1)an (x − c)n−2
n=0

=2a2 +3 · 2a3 (x−c)+4 · 3a4 (x−c)2 + · · · ,


′′′
f (x)=
n(n − 1)(n − 2)an (x − c)n−3
n=0

=3 · 2a3 +4 · 3 · 2a4 (x−c)+ · · · ,
f ′ (x)=a1 +2a2 (x−c)+3a3 (x−c)2 +4a4 (x−c)3 + · · · ,
f ′′ (x)=2a2 +3 · 2a3 (x−c)+4 · 3a4 (x−c)2 + · · · ,
f ′′′ (x)=3 · 2a3 +4 · 3 · 2a4 (x−c)+ · · · ,
Notons que si on remplace x par c dans chacune des d´eriv´ees ci-dessus, tous les termes de la
s´erie s’annulent, sauf un.
f (c)=a0 ,
f ′ (c)=a1 ,
f ′′ (c)=2a2 ,
f ′′′ (c)=3!a3
En g´en´eral,
f (n) (c) = n!an
an =

f (n) (c)
n!

pour n = 0, 1, 2, · · · .

Pour r´esumer, nous avons constat´e que si



an (x − c)n

n=0

est une s´erie enti`ere convergente avec rayon de convergence r > 0, alors la s´erie converge vers
une fonction f et on peut ´ecrire





f (n) (c)
f (x) =
an (x − c) =
(x − c)n ,
n!
n=0
n=0
n

Chap 3/ S´
eries/

D.Beghdadi

11

pour x ∈]c − r, c + r[.
Supposons qu’on a une fonction infiniment d´erivable f . On peut construire la s´erie


f (n) (c)
an (x − c) =
(x − c)n .
n!
n=0
n=0



n

Cette s´erie est appel´ee d´eveloppement en s´erie de Taylor de f .
Il y a deux questions importantes auxquelles on doit r´epondre.
- Une s´erie construite de cette mani`ere est-elle convergente ? Si oui, quel est son rayon de
convergence ?
- Si la s´erie converge, elle converge vers une fonction. Est-ce qu’elle converge vers f ?
On peut r´epondre `a la premi`ere question au cas par cas, g´en´eralement en appliquant le crit`ere
de d’Alembert. Pour la deuxi`eme question, il faudra utiliser d’autres arguments.
EXEMPLE 17.
Construire le d´eveloppement en s´erie de Taylor de f (x) = ex , autour de x = 0 (prendre c = 0).
REMARQUE 2.
Le cas particulier d’un d´eveloppement en s´erie de Taylor autour de x = 0 est souvent appel´e
une s´erie de Maclaurin.
Autrement dit, la s´erie


f (n) (0) n
x .
n!
n=0
est le d´eveloppement en s´erie de Maclaurin de f .

Polynˆ
omes de Taylor
Notons que les sommes partielles d’une s´erie de Taylor (comme celles de toutes les s´erie enti`eres)
sont tout simplement des polynˆomes.
On d´efinit
Pn (x) =

n

f (k) (c)
k=0

k!

(x − c)k

= f (c) + f ′ (c)(x − c) +

f ′′ (c)
f (n) (c)
(x − c)2 + · · · +
(x − c)n .
2!
n!

Pn est le polynˆome de Taylor de degr´e n correspondant `a la fonction f autour de x = c.
EXEMPLE 18.
Pour f (x) = ex , trouver le polynˆome de Taylor de degr´e n autour de x = 0.
On a
n
n


e0 k
f (k) (0)
k
(x − 0) =
x
Pn (x) =
k!
k!
=

k=0
n


k=0

k=0

2

1 k
x
x2
xn
x =1+x+
+
+ ··· +
.
k!
2!
2!
n!

On sait d´ej`
a que la s´erie de Taylor converge. Pn paraˆıt converger vers ex quand n devient assez
grand.

12

Polynˆ
ome P1 (x)

Polynˆ
ome P2 (x)

Polynˆ
omes P3 (x) et P4 (x)


eries et Equa.Diff./

D.Beghdadi

Chap 3/ S´
eries/

D.Beghdadi

13

VI. S´
eries de Fourier.
Dans la nature, de nombreux ph´enom`enes sont p´eriodiques, autrement dit, ils se r´ep`etent tout
le temps. Pour de tels ph´enom`enes, les approximations polynomiales de Taylor ne donnent pas
de bons r´esultats.
On rappelle que lorsque x devient plus loin de c (le point autour duquel on d´eveloppe), la
diff´erence entre la fonction et le polynˆome de Taylor donn´e grandit. Un tel comportement est
illustr´e sur la figure pour le cas de f (x) = sin x autour du point x = π/2.

Les polynˆomes de Taylor donnent une approximation pr´ecise seulement dans le voisinage de c,
on dit qu’ils sont exacts localement.
Dans de nombreuses situations, notamment dans les communications, on doit trouver une approximation d’une fonction p´eriodique donn´ee qui soit valable globalement (par exemple, pour
tout x).
Pour cette raison, on construit un type de d´eveloppement en s´erie pour les fonctions p´eriodiques,
o`
u chacun des termes dans le d´eveloppement est p´eriodique.
´
DEFINITION
4. On dit qu’une fonction f est p´eriodique de p´eriode T > 0 si f (x + T ) = f (x),
pour tout x dans le domaine de f .

Donc, si on veut d´evelopper une fonction p´eriodique de p´eriode 2π en une s´erie, on peut envisager
une s´erie dont chaque terme a une p´eriode 2π.


eries de Fourier


a0 ∑
+
[ak cos(kx) + bk sin(kx)]
2
k=1

Notons que si la s´erie converge, elle converge vers une fonction p´eriodique de p´eriode 2π, puisque
chaque terme de la s´erie est de p´eriode 2π.
Les coefficients de la s´erie, a0 , a1 , a2 , · · · et b1 , b2 , · · ·, sont appel´es les coefficients de Fourier.

Formules Euler-Fourier
Supposons qu’une s´erie de Fourier donn´ee converge sur l’intervalle [−π, π]. Elle repr´esente alors
une fonction f sur cet intervalle,


f (x) =

a0 ∑
+
[ak cos(kx) + bk sin(kx)]
2
k=1

o`
u f doit ˆetre p´eriodique en dehors de [−π, π].

(⋆)

14


eries et Equa.Diff./

D.Beghdadi

Int´egrons les deux membres de l’´equation (⋆) par rapport `a x sur l’intervalle [−π, π] :




π

π

a0
dx+
2

f (x)dx=
−π

−π



π

=
−π






π

−π k=1

[ak cos(kx) + bk sin(kx)]dx

]
∫ π
∫ π
∞ [

a0
dx +
ak
cos(kx)dx + bk
sin(kx)dx .
2
−π
−π
k=1

On suppose qu’on peut ´echanger l’ordre d’int´egration et de sommation.
Pour k = 1, 2, 3, · · ·, on a :



π
1
1

cos(kx)dx= sin(kx) = [sin(kπ)− sin(−kπ)]=0,
k
k
−π
−π
π

π
1
1

sin(kx)dx=− cos(kx) =− [cos(kπ)− cos(−kπ)]=0.
k
k
−π
−π
π



On obtient donc



π

π

f (x)dx=
−π

−π

d’o`
u

1
a0 =
π



a0
dx = a0 π,
2

π

f (x)dx.
−π

On multiplie les deux membres de l’´equation (⋆) par cos(nx) (o`
u n est un nombre entier, n > 1)
puis on int`egre par rapport `a x sur l’intervalle [−π, π] :




π

π

f (x) cos(nx)dx=
−π



π

+




−π k=1

−π

a0
cos(nx)dx
2

[ak cos(kx) cos(nx) + bk sin(kx) cos(nx)]dx


a0 π
=
cos(nx)dx
2 −π
]
∫ π
∞[ ∫ π

+
ak cos(kx) cos(nx)dx+bk sin(kx) cos(nx)dx .
−π

k=1

−π

Il est tr`es facile de montrer que


π

sin(kx) cos(nx)dx = 0,
−π

et



pour tous n, k = 1, 2, 3, · · · ,
{

π

cos(kx) cos(nx)dx =
−π

0,
π,

si n ̸= k,
si n = k.

Ainsi, chaque terme de la s´erie dans l’´equation est nul, sauf un (le terme correspondant `a k = n)
et l’´equation devient

π

−π

f (x) cos(nx)dx = an π.

Chap 3/ S´
eries/

D.Beghdadi

15

Apr`es remplacement de n par k :
1
ak =
π



π

f (x) cos(kx)dx,
−π

pour k = 1, 2, 3, · · · .

De mˆeme, multiplions les deux membres de l’´equation (⋆) par sin(nx) et int´egrons de −π `a π :


1
bk =
π

π

f (x) sin(kx)dx,
−π

pour k = 1, 2, 3, · · · .

On obtient donc les formules d’Euler-Fourier suivantes :

1 π
f (x)dx,
a0 =
π −π

1 π
ak =
f (x) cos(kx)dx,
π −π

1 π
bk =
f (x) sin(kx)dx,
π −π

pour k = 1, 2, 3, · · · ,
pour k = 1, 2, 3, · · · .

EXEMPLE 19.
Trouver la s´erie de Fourier correspondant `a la fonction d’onde carr´ee
{ 0,

si − π < x 6 0

f (x) =
si 0 < x 6 π,

1,

o`
u f est suppos´ee ˆetre p´eriodique `a l’ext´erieur de l’intervalle [−π, π].

1
a0 =
π



1
ak =
π

π

1
f (x)dx =
π
−π





0

1
0dx +
π
−π



π

1dx = 0 +
0

π

f (x) cos(kx)dx
−π
∫ 0


1
1 π
=
(0) cos(kx)dx +
(1) cos(kx)dx
π −π
π 0
π
1
1

=
sin(kx) =
[sin(kπ) − sin(0)] = 0.
πk
πk
0

π
= 1.
π

16


eries et Equa.Diff./

1
bk =
π



D.Beghdadi

π

f (x) sin(kx)dx
−π
∫ 0


1 π
(0) sin(kx)dx +
(1) sin(kx)dx
π 0
−π
π
1
1

cos(kx) = − [cos(kπ) − cos(0)]
=−
πk
πk
0

si k est pair
 0,

1
= − [(−1)k − 1)] =
2

πk

, si k est impair.

1
=
π

Notons qu’on peut ´ecrire les coefficients d’indices pairs et impairs s´epar´ement comme b2k = 0,
pour k = 1, 2, · · · et b2k−1 = 2/[(2k − 1)π], pour k = 1, 2, · · ·.
On a alors



a0 ∑
+
[ak cos(kx) + bk sin(kx)]
2
k=1



(
)
1 ∑
1 ∑
bk sin(kx) = +
b2k−1 sin (2k − 1)x)
= +
2
2

=

1
+
2

k=1


k=1

k=1

(
)
2
sin (2k − 1)x)
(2k − 1)π

1
2
2
2
= + sin x +
sin(3x) +
sin(5x) + · · · .
2 π


Malheureusement, aucun des crit`eres de convergence existants ne peut ˆetre appliqu´e `a cette
s´erie.
Au lieu de cela, on consid`ere les graphes des premi`eres sommes partielles de la s´erie d´efinies par
Fn (x) =

n
(
)
1 ∑
2
+
sin (2k − 1)x)
2
(2k − 1)π
k=1

y = F4 (x) et y = f (x)

Chap 3/ S´
eries/

D.Beghdadi

17

y = F20 (x) et y = f (x)

Notons que lorsque n devient assez grand, le graphe des Fn (x) semble se rapprocher du graphe
de la fonction d’onde carr´ee f (x).
EXEMPLE 20.
Trouver le d´eveloppement en s´erie de Fourier de f (x) = |x|, pour −π 6 x 6 π, o`
u f est suppos´ee
ˆetre p´eriodique, de p´eriode 2π, en dehors de l’intervalle [−π, π].



1 0
1 π
|x|dx =
−xdx +
xdx
π −π
π 0
−π
1 x2 0
1 x2 π
π π
=−
+
= + = π.
π 2 −π π 2 0
2
2
∫ π
1
ak =
|x| cos(kx)dx
π −π


1 0
1 π
=
(−x) cos(kx)dx +
x cos(kx)dx
π −π
π 0
1
a0 =
π



π

u=x

1
π
1
+
π

=−

dv = cos(kx)dx
1
du = dx
v = sin(kx)
k
∫ 0
[x
]0
1
sin(kx)
+
sin(kx)dx
k
kπ −π
−π
∫ π
[x

1
sin(kx) −
sin(kx)dx
k
kπ 0
0

18


eries et Equa.Diff./

1
π
1
+
π

=−

D.Beghdadi

0
]
π
1

sin(−kπ) − 2 cos(kx)
k
k π
−π
π

]
1

sin(kπ) − 0 + 2 cos(kx)
k
k π
o
[

0+

1
[cos 0 − cos(−kx)] + 0 + 2 [cos(kπ) − cos 0]
k π

si k est pair

 0,
2
= 2 [cos(kπ) − 1] =
−4

k π

, si k est impair.
k2 π

=0−

1

k2 π

On peut ´ecrire les coefficients d’indices pairs et impairs s´epar´ement comme a2k = 0, pour
k = 1, 2, · · · et a2k−1 = − 4/[(2k − 1)2 π], pour k = 1, 2, · · ·.
On laisse comme exercice, `a montrer que bk = 0, pour tout k > 1.
On a alors



a0 ∑
+
[ak cos(kx) + bk sin(kx)]
2
k=1



(
)
π ∑
π ∑
= +
ak cos(kx) = +
a2k−1 cos (2k − 1)x)
2
2

=

π

2

k=1


k=1

k=1

(
)
4
cos (2k − 1)x)
2
(2k − 1) π

π
4
4
4
= − cos x −
cos(3x) −
cos(5x) + · · · .
2
π

25π
(
)
π ∑
4

cos
(2k

1)x)
2
(2k − 1)2 π
n

Fn (x) =

k=1

y = F1 (x) et y = f (x)

Chap 3/ S´
eries/

D.Beghdadi

19

y = F8 (x) et y = f (x)

On peut montrer que cette s´erie converge absolument pour tout x, en utilisant le crit`ere de
comparaison.

Fonctions de p´
eriode autre que 2π
Soit f une fonction p´eriodique de p´eriode T ̸= 2π, on veut d´evelopper f en une s´erie de fonctions
simples de p´eriode T .
On d´efinit l = T /2. Notons que
(
cos

kπx
l

)

(
et

sin

kπx
l

)

sont p´eriodiques de p´eriode T = 2l, pour tout k = 1, 2, · · ·.
Le developpement en s´erie de Fourier de f de p´eriode 2l est alors
(
)
(
)]
∞ [
a0 ∑
kπx
kπx
+
ak cos
+ bk sin
.
2
l
l
k=1

Dans ce cas, les formules d’Euler-Fourier sont :
1
ak =
l
1
bk =
l



(

l

f (x) cos
−l
∫ l

(
f (x) sin

−l

kπx
l
kπx
l

)
dx,

pour k = 0, 1, 2, · · · ,

dx,

pour k = 1, 2, 3, · · · .

)

´
`
THEOR
EME
17. On Suppose que f est une fonction p´eriodique de p´eriode 2l et que f et f ′ sont
continues sur l’intervalle [-l, l], `a l’exception d’au plus un nombre fini de points de discontinuit´e.
Alors, la s´erie de Fourier correspondant `a f est convergente. En plus elle converge vers f (x)
lorsque f est continue en x, et vers

1
2
lorsque f n’est pas continue en x.

[

]
lim f (t) + lim f (t)

t→x+

t→x−

20


eries et Equa.Diff./

D.Beghdadi

EXEMPLE 21.
Montrer que la s´erie de Fourier de p´eriode 2π

(
)
4
π ∑

cos
(2k

1)x)
2
(2k − 1)2 π
k=1

correspondant `a la fonction f (x) = |x|, pour −π 6 x 6 π et p´eriodique en dehors de [−π, π],
converge vers f (x) pour tout x.
Notons que la fonction f (x) est continue pour tout x car
{ −x,
si − π 6 x < 0
f (x) = |x| =
x,
si 0 6 x < π
et p´eriodique en dehors de [−π, π], alors
{ −1,


si − π < x < 0,

f (x) =

.
1,

si 0 < x < π

Donc f ′ est continue sur [−π, π], sauf aux points x = 0 et x = ±π.
D’apr`es le Th´eor`eme 17, la s´erie de Fourier converge vers f (x) pour tout x et on a


f (x) =

(
)
π ∑
4

cos
(2k

1)x)
2
(2k − 1)2 π
k=1

EXEMPLE 22.
Etudier la convergence de la s´erie de Fourier


k=1

(
)
8
sin (2k − 1)πx) ,
(2k − 1)π

correspondant `a la fonction
{ −2,

si − 1 < x 6 0

f (x) =
2,

si 0 < x 6 1

o`
u f est p´eriodique `a l’ext´erieur de [−1, 1].
La fonction f est continue sauf aux points x=0, ±1, ±2, · · ·.

Chap 3/ S´
eries/

D.Beghdadi

21

En plus,

{ 0,



si − 1 < x < 0

f (x) =
0,

si 0 < x < 1

est p´eriodique `a l’ext´erieur de [−1, 1].
Ainsi, f ′ est ´egalement continue partout, sauf aux valeurs enti`eres de x o`
u f ′ n’est pas d´efinie.
D’apr`es le Th´eor`eme de convergence, la s´erie de Fourier converge vers f (x) partout, sauf aux
points de discontinuit´e, x = 0, ±1, ±2, · · ·, o`
u la s´erie converge vers la moyenne des limites `a
droite et `a gauche, soit 0.
Puisque la s´erie ne converge pas vers f partout, on ne peut pas dire que la fonction et la s´erie
sont ´egales.
Dans ce cas, on ´ecrit


(
)
8
f (x) ∼
sin (2k − 1)πx) ,
(2k − 1)π
k=1

pour indiquer que la s´erie correspond `a f (mais n’est pas n´ecessairement ´egale `a f ).

Fonctions paires et impaires
Une fonction f
Le graphe de f
Une fonction f
Le graphe de f

est paire si pour tout x, f (−x) = f (x).
est sym´etrique par rapport `a l’axe des y.
est impaire si pour tout x, f (−x) = −f (x).
est sym´etrique par rapport l’origine O.

On a les propri´et´es suivantes :
- Si f est une fonction paire, alors




a

a

f (x)dx = 2
−a

f (x)dx.
0

- Si f est une fonction impaire, alors


a

f (x)dx = 0.
−a

- Le produit d’une fonction paire et d’une fonction impaire, est une fonction impaire.
- Le produit de deux fonctions paires, est une fonction paire.
- Le produit de deux fonctions impaires, est une fonction paire.
La s´erie de Fourier correspondant `a la fonction f est
)
(
)]
(
∞ [
a0 ∑
kπx
kπx
+
+ bk sin
.
ak cos
2
l
l
k=1

avec
1
ak =
l
1
bk =
l



(

l

f (x) cos
−l
∫ l

(
f (x) sin

−l

kπx
l
kπx
l

)
dx,

pour k = 0, 1, 2, · · · ,

dx,

pour k = 1, 2, 3, · · · .

)

22


eries et Equa.Diff./

- Si f est paire, alors
2
ak =
l



(

l

f (x) cos
0

kπx
l

)
pour k = 0, 1, 2, · · · ,

dx,

pour k = 1, 2, 3, · · · .

bk = 0,
et la s´erie de Fourier est



a0 ∑
+
ak cos
2

(

k=1

kπx
l

)
.

- Si f est impaire, alors
ak = 0,
bk =
et la s´erie de Fourier est

2
l


0

l

pour k = 0, 1, 2, · · · ,
(
)
kπx
f (x) sin
dx,
l


k=1

(
bk sin

kπx
l

pour k = 1, 2, 3, · · · .
)
.

D.Beghdadi


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