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Universit´
e Abou-Bakr-Belkaid

Ann´
ee 2015-2016

Facult´
e des Sciences

L2-Physique


epartement de Physique


eries et Equ. Diff.

Chapitre III (bis)

Suites Num´
eriques
I. D´
efinition et Notation.
´
DEFINITION
1. Une suite de nombres r´eels (ou une suite dans R) est une fonction d´efinie sur
l’ensemble N = {1, 2, · · ·} des nombres naturels dont l’image est contenue dans l’ensemble R.

Notation. Si X : N → R est une suite, on note la valeur de X en n par le symbole xn au lieu
d’utiliser la notation de fonction X(n).
Les valeurs xn sont appel´es les termes ou les ´
el´
ements de la suite. On note cette suite par :
X,

(xn ; n ∈ N).

(xn ),

Par exemple, on d´efinit la suite des inverses des nombres pairs en ´ecrivant :
(
X :=

)
1 1 1 1
, , , ,··· ,
2 4 6 8
(

ou
X :=

)
1
;n ∈ N ,
2n

ou plus simplement

(
X :=

1
2n

)
.

Une autre fa¸con pour d´efinir une suite c’est de donner la valeur de x1 et donner une formule
pour xn+1 , (n > 1) en fonction de xn . Plus g´en´eralement, on fixe x1 et on donne une formule
pour obtenir xn+1 `a partir de x1 , x2 , · · · , xn .
Les suites d´efinies de cette mani`ere sont appel´ees suites r´
ecurrentes.
EXEMPLES 1.
1) Si b ∈ R, la suite B := (b, b, b, · · ·), tous les termes sont ´egaux `a b, est dite suite constante b.
Donc la suite constante 1 est la suite (1, 1, 1, · · ·), et la suite constante 0 est la suite (0, 0, 0, · · ·).
1
2) Si b ∈ R, alors B := (bn ) est la suite B := (b, b2 , b3 , · · · , bn , · · ·). En particulier, si b = ,
2
alors on obtient la suite
(
) (
)
1
1 1 1
1
, n∈N =
, , ,···, n,··· .
2n
2 4 8
2

2


eries et Equa.Diff./

D.Beghdadi

3) La suite (2n; n ∈ N) des nombres naturels pairs peut ˆetre d´efinie par :
x1 = 2,

xn+1 := xn + 2.

EXERCICES 1.
I) La suite (xn ) est d´efinie par le ni`eme terme. Donner les cinq premiers termes dans chacun des
cas suivants :
(−1)n
1) xn = 1 + (−1)n .
2) xn =
.
n
1
1
3) xn =
.
4) xn = 2
.
n(n + 1)
n +2
II) On donne quelques termes de la suite (xn ). Donner une formule pour le ni`eme terme xn .
1
1 1
1
1) 5, 7, 9, 11, · · · .
2) , − , , − , · · · .
2
4 8
16
1 2 3 4
3) , , , , · · · .
4) 1, 4, 9, 16, · · · .
2 3 4 5
III) Donner les cinq premiers termes des suites r´ecurrentes suivantes :
1) x1 = 1,

xn+1 = 3xn + 1.
(
)
1
2
2) y1 = −2, yn+1 =
yn +
.
2
yn
(
)
zn+1 + zn
3) z1 = 1, z2 = 2, zn+2 =
.
zn+1 − zn
4) s1 = 1, s2 = 2,

sn+2 = sn+1 + sn .

II. Suites Monotones.
´
DEFINITION
2. Soit X = (xn ) une suite de nombres r´eels.
1) On dit que X est croissante si elle satisfait l’in´egalit´e

xn 6 xn+1 .
2) On dit que X est d´
ecroissante si elle satisfait l’in´egalit´e
xn > xn+1 .
3) On dit que X est monotone si elle est soit croissante, soit d´ecroissante.
EXEMPLES 2.
1) Les suites suivantes sont croissantes :
(1, 2, 3, 4, · · · , n, · · ·),
(a, a2 , a3 , · · · , an , · · ·)

(1, 2, 2, 3, 3, 3, · · ·),
si a > 1.

2) Les suites suivantes sont d´ecroissantes :
1 1
1
1 1
1
(1, , , · · · , , · · ·),
(1, , 2 , · · · , n−1 , · · ·),
2 3
n
2 2
2
2 3
n
(b, b , b , · · · , b , · · ·) si 0 < b < 1.
3) Les suites suivantes ne sont pas monotones :
(+1, −1, +1, · · · , (−1)n+1 , · · ·),
(−1, +2, −3, · · · , (−1)n n, · · ·).

Chap 3 (bis)/ Suites Num´
eriques/

D.Beghdadi

3

´
`
THEOR
EME
1. Soient f une fonction r´eelle continue et (xn ) une suite d´efinie par xn =f (n).
- Si f est croissante alors (xn ) est croissante.
- Si f est d´ecroissante alors (xn ) est d´ecroissante.

EXERCICES 2.
D´eterminer les suites monotones.
1) xn = 3 + (−1)n .
1
xn .
2n + 1
n
= xn −
.
n+1

2) x1 = 3, xn+1 =
3) x1 = 2, xn+1
4) xn =

2n
.
1+n

III. Suites Born´
ees.
´
DEFINITION
3. Soit X = (xn ) une suite de nombres r´eels.
1) On dit que X est major´
ee s’il existe une nombre M ∈ R tel que

xn 6 M

pour tout n ∈ N.

M est appel´e majorant de (xn ).
2) On dit que X est minor´
ee s’il existe une nombre m ∈ R tel que
xn > m

pour tout n ∈ N.

m est appel´e minorant de (xn ).
3) On dit que X est born´
ee s’il existe une nombre r´eel M > 0 tel que
|xn | 6 M

EXEMPLES 3.

pour tout n ∈ N.

(

)
1
1) La suite X =
est major´ee : xn 6 1 pour tout n ∈ N.
2n
( )
1
2) La suite X =
est minor´ee : xn > 0 pour tout n ∈ N.
n
3
3) La suite X = ((−1)n ) est born´ee : |xn | = 1 6 pour tout n ∈ N.
2
EXERCICES 3.
n+ sin n
est major´ee et minor´ee.
2n + 5
n+ sin n
2) Montrer que la suite d´efinie par xn =
est major´ee et minor´ee.
5n+ cos n
1) Montrer que la suite d´efinie par xn =

IV. Op´
erations sur les suites.
´
DEFINITION
4. Soient X = (xn ) et Y = (yn ) deux suites de nombres r´eels.

On d´efinit :
1) leur somme par la suite X + Y := (xn + yn ),

4


eries et Equa.Diff./

D.Beghdadi

2) leur diff´
erence par la suite X − Y := (xn − yn ),
3) leur produit par la suite X · Y := (xn yn ),
( )
X
xn
4) leur quotient par la suite
:=
, si yn ̸= 0 for all n ∈ N,
Y
yn
5) la multiplication de X par c, par la suite cX := (cxn ).

EXEMPLES 4.
Soit X et Y be d´efinie par:
)
(
1
1 1
X=(2, 4, 6, · · · , 2n, · · ·), Y = 1, , , · · · , , · · · .
2 3
n
Trouver
X + Y, X − Y, X · Y, 3X et

X
.
Y

V. Limite d’une Suite.
´
DEFINITION
5. Une suite (xn ) a une limite L, ou converge vers L, not´ee par

lim xn = L,

n→∞

si pour tout ε > 0, il existe un entier positif N tel que :
|xn − L| < ε

d`es que

n > N.

Si un tel nombre L n’existe pas, la suite n’a pas de limite ou diverge.

´
`
THEOR
EME
2. Soient f une fonction r´eelle continue et (xn ) une suite d´efinie par xn =f (n).
- Si lim f (x) = L, alors lim xn = L.
x→+∞

n→∞

- Si lim f (x) = ∞, alors lim xn = ∞.
x→+∞

n→∞

EXEMPLES 5.
Trouver les limites des suites suivantes :
( )
1
.
1) (xn ) =
n2
2) (xn ) = ((−1)n ).
(
)
3) (xn ) = n2 − 1 .

Chap 3 (bis)/ Suites Num´
eriques/

D.Beghdadi

5

´
`
THEOR
EME
3. Soient (xn ) et (yn ) deux suites telles que

lim xn = L

n→∞

et

lim yn = K.

n→∞

On a
- lim (xn + yn ) = L + K,
n→∞

- lim (cxn ) = cL,
n→∞

- lim (xn yn ) = LK,
n→∞
( )
xn
L
- lim
= , si K ̸= 0.
n→∞
yn
K

´
`
THEOR
EME
4. (Th´eor`eme du Sandwich )

Soient (xn ), (yn ) et (zn ) des suites et xn 6yn 6zn pour tout n. Si lim xn = lim zn =L, alors
n→∞
n→∞
lim yn = L.
n→∞

EXEMPLES 6.

(

Trouver la limite de la suite

)
cos2 n
.
n3

´
`
THEOR
EME
5. Soit (xn ) une suite.
Si lim |xn |=0, alors lim xn =0.
n→∞

n→∞

EXEMPLES 7.

(

Trouver la limite de la suite

)
(−1)n
.
n2

Quelques Limites Remarquables.
1) Si α > 0, alors lim nα = +∞.
n→∞

2) Si |a| < 1, alors lim an = 0.
n→∞

3) Si a > 1, alors lim an = +∞.
n→∞

an
= +∞.
n→∞ nα
5) Si |a| < 1 et α > 0, alors lim an nα = 0.
4) Si a > 1 et α > 0, alors lim

n→∞

ln n
= 0.
n→∞ nα
7) Si α < 0, alors lim nα ln n = 0.
6) Si α > 0, alors lim

n→∞


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